第09讲 因式分解-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（沪科版2024）

第09讲 因式分解 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数)； 知识点 1 因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 注意：(1)因式分解是针对多项式，而不是单项式；是针对多项式的整体，而不是部分. (2)因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式. (3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止. (4)因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不能混淆， 知识点 2 提公因式法 1.公因式 多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式. 注意：(1)公因式必须是每一项中都含有的因式， (2)公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. (3)公因式的确定分为数字系数和字母两部分： ①公因式的系数是各项系数的最大公约数； ②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 2.提公因式法 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.用字母表示为 其中称为这个多项式的公因式。 知识点 3 公式法 1.平方差公式 ，即两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 注意：(1)左边是两个数(整式)的平方，且符号相反. (2)右边是两个数的和与这两个数的差的积. (3)与既可以是单项式也可以是多项式. 2.完全平方公式 (1)定义：/即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 注意：(1)公式左边是三项式，其中首、末两项分别是两个数(或两个式子)的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数(或两个式子)的积的2倍，符号正、负均可. (2)公式右边是这两个数(或两个式子)的和(或差)的平方.当中间的乘积项与首、末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首、末两项的符号相反时，是差的平方. 考点01：公因式 例题1．整式各项的公因式是 ． 【答案】 【解析】解：各项的公因式是．故答案为：． 【变式1-1】多项式与多项式的公因式是在（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：，， ∴多项式与多项式的公因式是， 故选：A． 【变式1-2】多项式与的公因式是 ． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴多项式与的公因式是． 故答案为：． 【变式1-3】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）多项式与多项式的公因式是 ． 【答案】 【解析】解：，， 多项式与多项式的公因式是， 故答案为：． 考点02提公因式法分解因式 例题2.因式分解： 【答案】 【解析】 ． 【变式2-1】因式分解： ． 【答案】 【解析】解： 、 ． 故答案为：． 【变式2-2】因式分解： 【答案】 【解析】解：原式； 故答案为． 【变式2-3】分解因式： 【答案】 【解析】解： ． 考点03：平方差公式分解因式 例题3.分解因式： 【答案】 【解析】解： ． 【变式3-1】因式分解： 【答案】 【解析】解：； 故答案为：． 【变式3-2】因式分解： ． 【答案】 【解析】解：． 故答案为． 【变式3-3】分解因式：． 【答案】． 【解析】解： ． 考点04：完全平方公式分解因式 例题4.因式分解：； 【答案】 【解析】 ． 【变式4-1】因式分解： ． 【答案】 【解析】解： 故答案为：． 【变式4-2】分解因式： 【答案】 【解析】解： ． 【变式4-3】因式分解：． 【答案】 【解析】解： ． 考点05：综合运用公式法分解因式 例题5.因式分解： ． 【答案】 【解析】解： ， 故答案为：． 【变式5-1】因式分解：． 【答案】 【解析】解： ． 【变式5-2】分解因式： (1)． (2)． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解： （2）解： 【变式5-3】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【解析】（1）解： ； （2）解： ． 考点06：综合提公因式和公式法分解因式 例题6.因式分解：． 【答案】． 【解析】解： ． 【变式6-1】因式分解： 【答案】 【解析】解：原式； 故答案为． 【变式6-2】因式分解： 【答案】 【解析】解： 故答案为：． 【变式6-3】因式分解： ． 【答案】 【解析】解：原式 ． 故答案为：． 考点07：分组分解法分解因式 例题7.分解因式： ． 【答案】 【解析】解： 故答案为：． 【变式7-1】因式分解：． 【答案】 【解析】解： ． 【变式7-2】分解因式：． 【答案】 【解析】解： ． 【变式7-3】因式分解：． 【答案】 【解析】解： ． 考点08：因式分解的应用 例题8.因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解． (3)分解因式：． 【答案】(1)； (2)m、n的值分别为和0； (3) 【解析】（1）解：当时，， ∵是多项式的一个因式， ∴当时，， ∴， ∴ （2）解：∵和是多项式的两个因式， ∴当或时，， ∴或时，， ∴， 解得， ∴原多项式为； （3）解： ． 【变式8-1】已知，，求的值． 【答案】528 【解析】解：∵，， ∴ ． 【变式8-2】已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由． 【答案】等腰三角形，理由见解析 【解析】解：， ， ， ， 或， ，，是的三边， ， 为等腰三角形． 【变式8-3】请阅读下面材料，并解答问题： 阅读材料：利用多项式乘法法则可知，所以因式分解． 例如：． 利用以上的因式分解可以求出方程的解，如：，所以可知或者，解得或者，所以方程的解是或者． (1)因式分解： ①． ②． (2)利用因式分解求方程的解． 【答案】(1)①；② (2)或 【解析】（1）解：①， ②； （2）， ， 或， 或， 方程的解是或． 一、单选题 1．（23-24七年级下·安徽六安·期末）下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A．，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B、，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：，， ， 故选：D． 3．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 二、填空题 4．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）分解因式： ． 【答案】 【解析】解：； 故答案为：． 5．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）因式分解： ． 【答案】 【解析】解： ； 故答案为：． 三、解答题 6．（23-24七年级下·山东聊城·期末）把下列各式进行因式分解： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【解析】（1）原式 （2）原式 7．（23-24七年级下·安徽六安·期末）（1）计算： （2）分解因式： 【答案】（1）；（2） 【解析】解：（1）计算：； （2）分解因式：． 8．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），回答下列问题： (1)观察并说明上述操作能验证的等式． (2)已知，求的值． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：图1中，边长为a的正方形的面积为：， 边长为b的正方形的面积为：， ∴图1 的阴影部分为面积为：， 图2中长方形的长为：， 长方形的宽为：， ∴图2长方形的面积为：， ∴验证的等式是， （2）∵， ∴， ∵， ∴． 9．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． 得． 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法”． 例如：将式子分解因式． 解：. 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式：． (3)若可分解为两个一次因式的积，求整数p所有可能的值． 【答案】(1)(2)(3)整数p的值可能为5或﹣5或1或﹣1 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：原式 （3）解：∵， ∴或或或 因此整数p的值可能为5或或1或． 10．（23-24七年级下·河北唐山·期末）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“A”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法．结合材料1和材料2，完成下面小题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：令， 则原式， ∴； （2）令， 则原式， ∴原式． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 因式分解 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数)； 知识点 1 因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 注意：(1)因式分解是针对多项式，而不是单项式；是针对多项式的整体，而不是部分. (2)因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式. (3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止. (4)因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不能混淆， 知识点 2 提公因式法 1.公因式 多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式. 注意：(1)公因式必须是每一项中都含有的因式， (2)公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. (3)公因式的确定分为数字系数和字母两部分： ①公因式的系数是各项系数的最大公约数； ②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 2.提公因式法 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.用字母表示为 其中称为这个多项式的公因式。 知识点 3 公式法 1.平方差公式 ，即两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 注意：(1)左边是两个数(整式)的平方，且符号相反. (2)右边是两个数的和与这两个数的差的积. (3)与既可以是单项式也可以是多项式. 2.完全平方公式 (1)定义：/即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 注意：(1)公式左边是三项式，其中首、末两项分别是两个数(或两个式子)的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数(或两个式子)的积的2倍，符号正、负均可. (2)公式右边是这两个数(或两个式子)的和(或差)的平方.当中间的乘积项与首、末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首、末两项的符号相反时，是差的平方. 考点01：公因式 例题1．整式各项的公因式是 ． 【变式1-1】多项式与多项式的公因式是在（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】多项式与的公因式是 ． 【变式1-3】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）多项式与多项式的公因式是 ． 考点02提公因式法分解因式 例题2.因式分解： 【变式2-1】因式分解： ． 【变式2-2】因式分解： 【变式2-3】分解因式： 考点03：平方差公式分解因式 例题3.分解因式： 【变式3-1】因式分解： 【变式3-2】因式分解： ． 【变式3-3】分解因式：． 考点04：完全平方公式分解因式 例题4.因式分解：； 【变式4-1】因式分解： ． 【变式4-2】分解因式： 【变式4-3】因式分解：． 考点05：综合运用公式法分解因式 例题5.因式分解： ． 【变式5-1】因式分解：． 【变式5-2】分解因式： (1)． (2)． 【变式5-3】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）因式分解 (1)； (2)． 考点06：综合提公因式和公式法分解因式 例题6.因式分解：． 【变式6-1】因式分解： 【变式6-2】因式分解： 【变式6-3】因式分解： ． 考点07：分组分解法分解因式 例题7.分解因式： ． 【变式7-1】因式分解：． 【变式7-2】分解因式：． 【变式7-3】因式分解：． 考点08：因式分解的应用 例题8.因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解． (3)分解因式：． 【变式8-1】已知，，求的值． 【变式8-2】已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由． 【变式8-3】请阅读下面材料，并解答问题： 阅读材料：利用多项式乘法法则可知，所以因式分解． 例如：． 利用以上的因式分解可以求出方程的解，如：，所以可知或者，解得或者，所以方程的解是或者． (1)因式分解： ①． ②． (2)利用因式分解求方程的解． 一、单选题 1．（23-24七年级下·安徽六安·期末）下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）分解因式： ． 5．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）因式分解： ． 三、解答题 6．（23-24七年级下·山东聊城·期末）把下列各式进行因式分解： (1) (2) 7．（23-24七年级下·安徽六安·期末）（1）计算： （2）分解因式： 8．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），回答下列问题： (1)观察并说明上述操作能验证的等式． (2)已知，求的值． 9．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． 得． 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法”． 例如：将式子分解因式． 解：. 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式：． (3)若可分解为两个一次因式的积，求整数p所有可能的值． 10．（23-24七年级下·河北唐山·期末）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“A”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法．结合材料1和材料2，完成下面小题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$