第二单元 5.正比例和反比例

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 二 比和比例 5.正比例和反比例 变化的量 一、 基础知识讲解 变化的量概念 二、 考法技法提炼 考法：判断实际问题变化的量 解题方法：列表可以表示变量之间的变化关系，分析表格时，要弄清两个变量及相对应的数 据。 例题：下面是小华 6～10岁的身高情况统计表。 （一）变化的量 （二）正比例的意义及辨识 （三）正比例图象的认识 （四）反比例的意义及辨识 类别 概念 变化的量 生活中存在着大量互相依赖的量，如：速度、时间和 路程；单价、数量和总价；工作效率、工作时间和工 作总量……当其中某一个量发生变化时，另外一个量 也会随之变化，这样的两个变量就叫作相关联的量。 模块导航 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 年龄/岁 6 7 8 9 10 身高/厘米 112 118 125 130 136 （1）上表中有哪两种变化的量？ （2）这两种量是怎样变化的？ 【答案】（1）年龄；身高； （2）见详解 【分析】（1）表格中有两栏，第一栏是年龄，第二栏是身高，身高随着年龄的变化而变化， 这两个都是变化的量。 （2）通过比较年龄及身高数据可知年龄增长，身高也随之增加；据此解答。 【详解】（1）上表中变化的两种量是年龄和身高； （2）身高随年龄的变化而变化，年龄增长，身高也增加。 【点睛】本题主要考查对数据的分析能力。 三、 易错提示 易错点：错误判断两种量的关联性 易错诠释：一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量才是相关联的量。 例题：李阿姨回家的路程与王阿姨汽车的速度是相关联的量。（ ） 【答案】× 【详解】李阿姨回家的路程与王阿姨汽车的路程毫无关系，其中一个变化的时候不会随着另 一个的变化而变化。原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】理解“相关联的量”是解题的关键。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 正比例的意义及辨识 一、 基础知识讲解 1.正比例的意义 类别 意义 字母表示 正比例 两种相关联的量，一种量变化，另 一种量也随着变化，如果这两种量 中相对应的两个数的比值一定，这 两种量就叫做成正比例的量，它们 的关系叫做正比例关系。 如果用字母 y 和 x 表示两种相关联的 量，用 k 表示它们的比值（一定）， 正比例关系可以用下面的式子表示： x y =k(一定) 2.正比例的辨识 辨识是否成正比例 两种相关联的量，只有它们的比值一定时，这两种量才成正比例关系。 温馨提示：只有两种相关联的量的比值一定时，这两种量才成正比例关系。当两种相关联的 量的和或差一定时，这两种量不成正比例关系。 二、 考法技法提炼 考法 1：判断两种量是否成正比例关系 解题方法：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应 的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 例题 1：判断两种量是否成正比例关系，并说明理由。 正方体的表面积与它的棱长。 【答案】不成正比例，因为正方体的表面积和它的棱长的平方成正比例。 【分析】判断两种量是否成正比例关系，就看这两个量对应的比值是否一定（不变），如果 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果 这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成 正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 比值一定，就成正比例。 【详解】正方体的表面积 26S a ，所以 2 6S a  （一定），即正方体的表面积和它的棱长 的平方成正比例； 所以正方体的表面积与它的棱长不成正比例，因为正方体的表面积和它的棱长的平方成正比 例。 三、 易错提示 易错点 1：错误认为和或差一定的两个量成正比例关系 易错诠释：只有两种相关联的量的比值一定时，这两种量才成正比例关系。当两种相关联的 量的和或差一定时，这两种量不成正比例关系。 例题 1：被减数一定，减数和差一定成正比例。( ) 【答案】× 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还 是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定， 这两种相关联的量成反比例。 如果既不是比值一定，也不是乘积一定，则这两种相关联的量不成比例。 【详解】差＋减数＝被减数（一定） 和一定，所以减数和差不成比例，更不可能成正比例。 原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】掌握正比例的意义及辨识方法是解题的关键。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 正比例图象的认识 一、 基础知识讲解 1.正比例的意义 类别 意义 字母表示 正比例 两种相关联的量，一种量变化，另 一种量也随着变化，如果这两种量 中相对应的两个数的比值一定，这 两种量就叫做成正比例的量，它们 的关系叫做正比例关系。 如果用字母 y和 x表示两种相关联的 量，用 k表示它们的比值（一定）， 正比例关系可以用下面的式子表示： x y ＝k（一定） 2. 正比例图象 举例： 路程/km 80 160 240 320 400 480 时间/h 1 2 3 4 5 6 速度 /km/h 80 80 80 80 80 80 总结：正比例图像是一条直线。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 二、考法技法提炼 考法：单位换算 解题方法：根据正比例图像可知，两种相关联的量如果成正比例，则两种量会是一条经过 原点的直线，则表示两个相关联的量成正比例关系。 例题：下图是出租车所行的路程和时间图像。图中反映了当（ ）一定 时，所行路程和时间成（ ）比例。照这样计算，这辆汽车 8小时行 （ ）千米。 【答案】 速度 正 640 【分析】根据正比例图像可知，行驶的路程与时间成正比例，即速度一定；80÷1＝80（千 米/小时），160÷2＝80（千米/小时），240÷3＝80（千米/小时），因此这辆汽车行驶的 速度是 80（千米/小时）；根据路程＝时间×速度，即可求出这辆汽车 8小时行驶的路程。 【详解】这辆汽车行驶的速度是 80（千米/小时），速度一定，它行驶的路程和时间成正比 例；8小时行驶的路程为：80×8＝640千米，因此这辆汽车 8小时行驶 640千米。 【点睛】本题考查了正比例的判定，明确正比例图像是一条经过原点的直线是解题的关键。 三、易错提示 易错点：错误根据正比例图像比较数据之间的关系 易错诠释：明确正比例图像是一条经过原点的直线，理解路程与时间成正比例关系。 例题：图像表示斑马和长颈鹿的奔跑情况。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 （1）长颈鹿的奔跑路程与奔跑时间成（ ）比例关系。 （2）从图上看，斑马比长颈鹿跑得（ ）（填“快”或“慢”）。 【答案】（1）正（2）快 【分析】（1）长颈鹿的奔跑路程与奔跑时间之间的关系图像是一条直线，可知长颈鹿的奔 跑路程与奔跑时间成正比例关系； （2）由图可知，斑马跑 24千米需要 20分钟，长颈鹿跑 24千米需要 30分钟，所以斑马跑 得快。 【详解】（1）长颈鹿的奔跑路程与奔跑时间成正比例关系。 （2）从图上看，斑马比长颈鹿跑得快。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 反比例的意义及辨识 一、基础知识讲解 1.反比例的意义 类别 意义 字母表示 反比例 两种相关联的量，一种量变化，另 一种量也随着变化，如果这两种量 中相对应的两个数的乘积一定，这 两种量就叫做成反比例的量，它们 的关系叫做反比例关系。 如果用字母 x 和 y 表示两种相关联的 量，用 k 表示它们的积（一定），反 比例关系可以用下面的式子表示： xy=k(一定) 2.反比例的辨识 辨识是否成反比例 两种相关联的量，只有它们的乘积一定时，这两种量才成反比例关系。 总结：判断两种量是否成反比例关系，先看这两种量是不是相关联的量，如果是，再看它们 的乘积是否一定，若乘积一定，则两种量成反比例关系；若乘积不一定，则两种量不成反比 例关系。 需要注意：乘积一定。 二、考法技法提炼 考法 1：判断两个量是否成反比例 解题方法：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的 两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 例题 1：判断下面各题中的两种量是否成反比例关系，并说明理由。 书的总册数一定，按每包册数相等的规定包装书，包数与每包的册数。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果 这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成 反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 【答案】包数与每包的册数成反比例关系，因为包数×每包的册数＝书的总册数（一定）。 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两 个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。 【详解】据分析，包数×每包的册数＝书的总册数（一定）。包数和每侧的包数的变化而变 化，而且两个两量的乘积不变，所以包数与每包的册数成反比例关系。 三、易错提示 易错点：错误认为和一定的两个量成反比例 易错诠释：对反比例的意义理解不全面，只抓住了两种量的大小变化，而忽略了在变化过程 中它们的乘积是不变的，而不是和不变。 例题：因为 a＋b＝1（一定），所以 a与 b成反比例。( ) 【答案】× 【分析】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定， 还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果 是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例，据此解答。 【详解】因为 a＋b＝1（一定），a 与 b 的和一定，所以 a 与 b 不成比例关系，更不可能成 反比例。 故答案为：× 【点睛】此题属于辨识反比例关系，就看这两个量的乘积是否一定，再做判断。橙 子 学