专题05 反比例函数（8大题型）-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（北师大版）

专题05 反比例函数 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 题型一 反比例函数及相关概念 题型二 反比例函数图象相关问题 题型三 反比例函数增减性与过象限问题 题型四 反比例函数K的几何意义 题型五 反比例函数与一次函数图象判断 题型六 反比例函数与一次函数综合问题 题型七 反比例函数与几何图形综合 题型八 反比例函数的实际应用 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 反比例函数及相关概念 ⭐技巧积累与运用 反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数。 反比例函数的解析式也可以写成的形式。k是比例系数。 自变量x的取值范围是一切非零实数（即：x≠0）；函数值y的取值范围也是非零实数（即：y≠0）。 1．（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京昌平区·九年级期末）若y＝是反比例函数，则m=________． 3．（2024·广西·校考二模）在反比例函数中，当x＝1时，y的值为（    ） A． B． C．1 D．－1 反比例函数图象相关问题 ⭐技巧积累与运用 图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限。由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 1．（23-24·石家庄九年级校考期中）如图，双曲线的一个分支为（　　） A．① B．② C．③ D．④ 2．（23-24·浙江·九年级期末）定义新运算：a※b＝，则函数y＝4※x的图象可能为（　　） A． B． C． D． 反比例函数增减性与过象限问题 ⭐技巧积累与运用 当k>0时，函数图象的两支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。 当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。 注：反比例函数图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 反比例函数图象的对称性：反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点． 1．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）对于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．这个函数的图象分布在第一、三象限 B．点在这个函数图象上 C．若图象上有两点，，且，则 D．当时，随的增大而减小 2．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．在每个象限内，y的值随x的值增大而增大 B．是轴对称图形，也是中心对称图形 C．过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点 D．图象分别位于第二、四象限内 3．（24-25九年级上·成都·期末）若反比例函数的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是 ． 4．（24-25八年级上·上海·期中）已知点、、都在反比例（）的图像上，用“”表示、、的大小关系是 ． 5．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 ． 反比例函数K的几何意义 ⭐技巧积累与运用 反比例函数中|k|的几何意义 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作x轴、轴的垂线，与反比例函数的图象交于两点，则四边形的面积为（   ） A．14 B．15 C．18 D．20 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点A在反比例函数的图象上，连结，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于B、C两点，过B、C两点作直线交x轴于点D，连结，若，的面积为3，则k的值为（   ） A． B．6 C． D．9 3．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴，交的图象于点，轴，交的图象于点．当点在的图象上运动时，以下结论：①和的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积不会发生变化；④当时，．其中一定正确的是（   ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 反比例函数与一次函数图象判断⭐技巧积累与运用 法1）画图象法：从系数出发，考虑可能的图象； 法2）看图象法：从图象出发，考虑系数的范围。 1．（23-24八年级下·四川内江·期中）已知一次函数与反比例函数，则其图像可能是（    ） A． B．C． D． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象大致为（   ） A． B．C． D． 反比例函数与一次函数综合问题 ⭐技巧积累与运用 1）涉及自变量取值范围型 当一次函数与反比例函数相交时，联立两解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围。 2）涉及三角形的面积型：当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． 1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|； 2）已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C， 如图②，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=； 3）如图③，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=． 3）求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点； 2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点取决于两函数所组成的方程组的解的情况。 1．（22-23八年级上·上海·阶段练习）定义：直线与双曲线的一支两个交点之间的距离叫做双曲线关于直线的“割距”．如图，直线与双曲线交于点A、B两点．那么双曲线关于直线的割距是 2．（23-24九年级上·山东泰安·期末）已知一次函数和反比例函数相交于点和点． (1)＝ ，＝ ；(2)连接，在反比例函数的图象上找一点，使，求出点的坐标；(3)点为轴正半轴上任意一点，过点作轴的垂线交反比例函数和一次函数分别于点，且满足，求的值． 3．（2023·贵州六盘水·一模）已知直线与双曲线的图象交于A，B两点，且． (1)求双曲线的解析式；(2)将直线平移得，当平移后的直线与双曲线没有公共点时，直接写出的取值范围．(3)直线交双曲线于，交线段于N，求面积的最大值． 反比例函数与几何图形综合 ⭐技巧积累与运用 解反比例函数与几何图形的综合题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的当成（组），解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值。 这类型的题目主要包括反比例函数与三角形的综合、反比例函数与四边形（平行四边形、矩形、菱形）的综合、反比例函数与正方形的综合、反比例函数与圆的综合等四种题型。 1．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点O 重合，角的一边与 x 轴正方向重合，反比例函数与相交于点M， 以 M 为圆心为半径作弧，交 反比例函数于点N， 分别过点M、N作x 轴和y 轴平行线，两线相交于点C，连接、相交于点D， 过 点M 作轴，垂足为E，  与相交点F，   则下列结论：①：②：③：④ 当时，： 其中一定正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．（2024·上海·模拟预测）如图1，已知点，，直线与反比例函数的图象与第一象限交于．(1)求k的值；(2)如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，，试问在轴上是否存在一点，使的面积与的面积相等，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)新定义：如图2，在平面内，若三角形的一边等于另一边的3倍，则两边较长的那一边叫做麒麟边，两边夹角叫做麒麟角，三角形叫做麒麟三角形，若为麒麟三角形，为麒麟边，为麒麟角，A，B在反比例函数上，且点A横坐标为，直线交y轴于C，与y轴的截距为2，求n的值． 3．（24-25九年级上·山东济南·期中）某数学兴趣小组学习了反比例函数后，进一步研究反比例函数的图象，他们在平面直角坐标系内选定点，过点作直线，并将图象沿该直线按一定的操作翻折，探究过程如下： 【动手操作】操作：如图，过点作轴的平行线，将直线上方的反比例函数图象沿直线翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“图象”． 操作：如图，过点作轴的平行线，将直线左侧的反比例函数图象沿直线翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“图象”． 操作：如图，过点作直线：，将第一象限内反比例函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折得到新图象，与直线下方的图象组成的封闭图象是“图象”．    【解决问题】(1)如图，求“图象”与轴的交点的坐标； (2)过轴上一点作轴的平行线，与“图象”交于点，．若，求的值； (3)如图，反比例函数的图象与直线交于点，，已知点和点是“图象”上的两个动点，当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，直接写出点和点的坐标． 反比例函数的实际应用 ⭐技巧积累与运用 反比例函数的实际应用：解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围。 1．（2024·贵州·模拟预测）如图①是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变．随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，下列说法不正确的是（    ） A．当该容器的体积V为时，氧气的密度为 B．该容器内氧气的密度是关于体积V的反比例函数 C．标准大气压下，该容器的体积约为 D．该容器内氧气的质量为 2．（2024·湖南·模拟预测）物理实验课上，小明为探究电流与接入电路的滑动变阻器之间的关 系，设计如图所示的电路图．已知电源的电压保持不变，小灯泡的电阻为．改变接入电路的滑动变阻器的电阻， 电流表的读数即电流发生改变．当接入电路的滑动变阻器的电阻为时，电流表的读数为． (1)求电路中的电阻关于接入电路的滑动变阻器的电阻之间的函数关系， (2)求电流关于电路中的电阻的函数关系； (3)如果电流表的读数为，则接入电路的滑动变阻器的电阻为多少？ 3．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）【背景素材】 预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段，室内每立方米空气中的含药量（）与释放时间（）成一次函数；释放后，与成反比例如图所示，且时，室内每立方米空气中的含药量（）达到最大值． 某兴趣小组记录部分（）与（）的测量数据如表．满足的自变量（）的取值范围为有效消毒时间段． 【解决问题】（1）求关于的函数表达式．（2）求“药熏消毒”的有效消毒时间．（3）若在实际生活中有效消毒时间段要求满足，其中为常数，请确定实际生活中有效消毒的时间段． 1．（24-25九年级上·山东威海·阶段练习）如图是反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ）    A．常数 B．在每个象限内，随的增大而增大 C．若，在图象上，则 D．若在图象上，则也在图象上 2．（24-25九年级上·辽宁阜新·阶段练习）在反比例函数的图象上有三个点，则函数值的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）正比例函数中，如果随增大而增大，那么它和反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图像是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）已知是关于的一元二次方程的一个根，点、均在反比例函数的图象上，则关于、的大小关系描述正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，直线与双曲线交于点A，点是直线上一点，且．（1） ；（2）过点B作轴于点C，作交双曲线于点D，过点D作于点E，则 ． 7．（2024·湖北恩施·模拟预测）小王同学用爸爸遗弃的充电宝和报废手机液晶屏，自制了一个亮度可调节的台灯．已知充电宝电压为5，液晶屏的电阻 ，如图的串联电路中，电流与滑动变阻器电阻，之间关系为 ，当电流表的读数 时，滑动变阻器电阻 ． 8．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，点C、E在坐标轴上，矩形分别交某反比例函数于点F、G，，，的面积为9，则该反比例函数解析式为 ． 9．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）已知反比例函数（为常数，且）． (1)若在其图象的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围；(2)若点、均在该反比例函数的图象上；①求、的值；②当时，求的取值范围． 10．（24-25九年级上·山东济南·期中）心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中分别为线段，为双曲线的一部分，注意力指标数越大，学生的注意力越集中）．(1)分别求出线段和曲线的函数解析式；(2)开始学习后第5分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？为什么？(3)为贯彻“品质课堂”的教育理念，以立德树人为根本任务，以“减负增效提质”为目标，立足打造“教有品、学有质、评有效”的品质课堂，某节数学课的学习主要可分为三个环节：即“整体感知，明确目标--探究思考，归纳新知—辨别应用，巩固新知”，其中重点环节“探究思考，归纳新知”这一过程要求至少需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40．请问这样的要求能否实现？如果能，请写出如何安排此环节的时间；如果不能，请说明理由． 11．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点，点，反比例函数；(1)求直线的函数关系式；(2)一条与平行的直线与反比例函数图象只有一个公共点，求公共点的坐标；(3)将线段平移，使点的对应点在反比例函数图像上，则点的对应点能否在反比例函数图象上？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． 12．（24-25九年级上·广西桂林·期中）如图，反比例函数的图象经过线段的端点，把线段沿x轴正方向平移3个单位得到线段与上述反比例函数的图象相交于点D． (1)求k的值和直线的解析式；(2)在y轴上是否存在点Q，使得的值最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（24-25九年级上·山东淄博·期中）学习完函数的有关知识之后，小刚对函数产生了浓厚的兴趣，他利用绘图软件画出了如图（1）所示的函数的图象，并对该函数的性质进行了探究． ①该函数自变量的取值范围为；②该函数图象与轴没有交点； ③若是该函数图象上的两点，则当时，一定有； ④如图（2），若是该函数图象上的一个动点，是直线上的一个动点，过点作轴于点，连接，则．则上面小刚推断的①②③④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，直线与双曲线交于A、B两点，将直线绕点A顺时针旋转，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与双曲线交于点，作轴于点．平移直线使其经过点，得到直线，与双曲线交于点，作轴于点．作轴，交直线于点，反比例函数的图象是一条经过点的双曲线．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，点、、、……、(为自然数)在反比例函数图象上，且横坐标分别为1、2、3、……、，分别以、、、…、为斜边向下作直角三角形，使两条直角边平行于坐标轴，得到个直角三角形，则前2024个直角三角形的面积之和为 ． 5．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，直线与双曲线相交于两点，现将线段沿着直线对折，得到对应线段，过点作轴的垂线，交该双曲线于点，连接，．若，则的值为 ． 6．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． (1)如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； (2)矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为y，求y关于k的函数表达式； ③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值． 7．（24-25九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知反比例函数（，为变量）． (1)若点，都在该反比例函数图象上，求的值及反比例函数表达式； (2)如图1，一次函数的图象与图象在第一象限交于、两点，令点、、的横坐标分别为、、，纵坐标分别为、、，且，，则是否为定值．若为定值，则求出的值；若不为定值，请说明理由； (3)如图2，另一条直线与反比例函数交于、两点，与坐标轴交于、两点，且点是的中点，过的直线交反比例函数的另一支图象于点，连接，交轴于点，连接，若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 反比例函数 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 题型一 反比例函数及相关概念 题型二 反比例函数图象相关问题 题型三 反比例函数增减性与过象限问题 题型四 反比例函数K的几何意义 题型五 反比例函数与一次函数图象判断 题型六 反比例函数与一次函数综合问题 题型七 反比例函数与几何图形综合 题型八 反比例函数的实际应用 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 反比例函数及相关概念 ⭐技巧积累与运用 反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数。 反比例函数的解析式也可以写成的形式。k是比例系数。 自变量x的取值范围是一切非零实数（即：x≠0）；函数值y的取值范围也是非零实数（即：y≠0）。 1．（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，y不是x的反比例函数，故不符合题意； B．，y是x的反比例函数，故符合题意； C．，y不是x的反比例函数，故不符合题意； D．，y不是x的反比例函数，故不符合题意；故选B． 2．（2024·北京昌平区·九年级期末）若y＝是反比例函数，则m=________． 【答案】-3 【分析】根据反比例函数的定义，由 且 ，即可求出 m的值． 【详解】由题意得 ：且 ， 解之得 ：． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查反比例函数的定义，正确的列出方程是解题的关键．特别要注意不要忽略k≠0这个条件． 3．（2024·广西·校考二模）在反比例函数中，当x＝1时，y的值为（    ） A． B． C．1 D．－1 【答案】A 【分析】x＝1时代入计算即可． 【详解】中，当x＝1时，．故选A 【点睛】此题考查反比例函数，掌握自变量和因变量的关系式解题的关键． 反比例函数图象相关问题 ⭐技巧积累与运用 图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限。由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 1．（23-24·石家庄九年级校考期中）如图，双曲线的一个分支为（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】直接根据反比例函数的性质结合图象分布解答即可． 【详解】解：∵中，k=-6＜0∴双曲线的图象在二、四象限，排除C、D 当x=-2时，y=3时，故A符合题意，B不符合题意．故选A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数图像确定方法是解题关键． 2．（23-24·浙江·九年级期末）定义新运算：a※b＝，则函数y＝4※x的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】据题目中的新运算，可以得到函数y＝4※x的图象对应的函数解析式，从而可以解答本题． 【解析】解：根据新定义运算可知，y＝4※x＝ （1）当x≥4时，此函数解析式为y≥11，函数图象在第一象限，以（4，1）为端点且在第一象限的射线，故可排除A、B、C； （2）当x＜4时，此函数是反比例函数，图象在一、三象限．故选：D． 【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 反比例函数增减性与过象限问题 ⭐技巧积累与运用 当k>0时，函数图象的两支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。 当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。 注：反比例函数图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 反比例函数图象的对称性：反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点． 1．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）对于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．这个函数的图象分布在第一、三象限 B．点在这个函数图象上 C．若图象上有两点，，且，则 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据当，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小进行分析即可． 【详解】解：A. 反比例函数中的这个函数的图象分布在第一、三象限，故该选项正确，不符合题意；B. 点在这个函数图象上，故该选项正确，不符合题意； C. 选项没有说明两点在同一象限，所以不正确，符合题意； D. 当时，随的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；故选：C． 2．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．在每个象限内，y的值随x的值增大而增大 B．是轴对称图形，也是中心对称图形 C．过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点 D．图象分别位于第二、四象限内 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、，，在每个象限内，y的值随x的值增大而增大，故A选项正确； B、反比例函数图象，是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项正确； C、过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点，故C选项错误； D、图象分别位于第二、四象限内，故D选项正确故选：C． 3．（24-25九年级上·成都·期末）若反比例函数的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象．根据反比例函数的图象可列出不等式进行求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、第三象限，∴，∴；故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海·期中）已知点、、都在反比例（）的图像上，用“”表示、、的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质即可解题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】∵点、、都在反比例（）的图像上，∴，，， ∵，∴函数图象在第二和第四象限内，在每个象限内，随的增大而增大， ∴，∴，故答案为：． 5．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性得出比例系数的正负是解题的关键．由于反比例函数的图象当时，y随x的值增大而增大，可知比例系数为负数，据此列出不等式解答即可． 【详解】解：∵反比例函数，当时， y随x的增大而增大， ∴，解得：，故答案为：． 反比例函数K的几何意义 ⭐技巧积累与运用 反比例函数中|k|的几何意义 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作x轴、轴的垂线，与反比例函数的图象交于两点，则四边形的面积为（   ） A．14 B．15 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形，反比例函数比例系数k的几何意义．掌握反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是解题关键．设与x轴交于点A，与y轴交于点B，根据点P坐标可求出，根据反比例函数比例系数k的几何意义可求出，最后根据求解即可． 【详解】解：设与x轴交于点A，与y轴交于点B，∵，∴． ∵过点分别作x轴、轴的垂线，与反比例函数的图象交于两点， ∴，∴．故选B． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点A在反比例函数的图象上，连结，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于B、C两点，过B、C两点作直线交x轴于点D，连结，若，的面积为3，则k的值为（   ） A． B．6 C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查作图-复杂作图，反比例函数图象上的点的坐标特征，三角形全等的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．过A作轴于E，设交点为F，根据垂直平分，即可得到，进而得出，可得，再根据反比例函数系数k的几何意义，即可得到k的值． 【详解】解：如图，过A作轴于E，设交点为F，依据作图可得，垂直平分， ∴，∴，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∵点A在反比例函数的图象上，∴，解得，又∵，∴，故选：C． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴，交的图象于点，轴，交的图象于点．当点在的图象上运动时，以下结论：①和的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积不会发生变化；④当时，．其中一定正确的是（   ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义、反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征；由点均在反比例函数的图象上，利用反比例函数系数的几何意义即可得，即可判断①；设点的坐标为，则点的坐标为，点，求出的长度，由此可得出与的关系无法确定，即可判断②；利用分割图形求面积法即可得出，即可判断③；设点的坐标为，则点的坐标为，点，由点可得出，将其代入点的坐标即可得出，即可判断④． 【详解】解：①∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴，，∴，故①正确； ②设点的坐标为，则点的坐标为，点， ∴，，∵与的关系无法确定，故结论②错误； ③∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴， ∴，故结论③正确； ④设点的坐标为，则点的坐标为，点， ∵，则，∴，∴点的坐标为，， ∴，即故结论④正确；∴正确的结论为①③④，故选：D． 反比例函数与一次函数图象判断⭐技巧积累与运用 法1）画图象法：从系数出发，考虑可能的图象； 法2）看图象法：从图象出发，考虑系数的范围。 1．（23-24八年级下·四川内江·期中）已知一次函数与反比例函数，则其图像可能是（    ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数图象与系数的关系．解题的关键在于明确系数与函数图象的关系．当时，可知的图象过一二三象限，的图象过一三象限；当时，可知的图象过一二四象限，的图象过二四象限，进而得出答案． 【详解】解：当时，可知的图象过一二三象限，的图象过一三象限； 当时，可知的图象过一二四象限，的图象过二四象限， ∴与D选项中图象一致，故选：D． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象大致为（   ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的综合判断，先根据反比例函数所在象限确定的正负，进而判断一次函数图象应该分布在哪几个象限，逐项判断即可． 【详解】解：A，的图象在第一、三象限，可得，的图象应该在第一、三、四象限，而不是第一、二、四象限，不合题意； B，的图象在第二、四象限，可得，的图象应该在第一、二、四象限，而不是第一、二、三象限，不合题意； C，的图象在第一、三象限，可得，的图象应该在第一、三、四象限，而不是第一、二、三象限，不合题意； D，的图象在第二、四象限，可得，的图象在第一、二、四象限，符合题意； 故选D． 反比例函数与一次函数综合问题 ⭐技巧积累与运用 1）涉及自变量取值范围型 当一次函数与反比例函数相交时，联立两解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围。 2）涉及三角形的面积型：当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． 1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|； 2）已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C， 如图②，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=； 3）如图③，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=． 3）求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点； 2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点取决于两函数所组成的方程组的解的情况。 1．（22-23八年级上·上海·阶段练习）定义：直线与双曲线的一支两个交点之间的距离叫做双曲线关于直线的“割距”．如图，直线与双曲线交于点A、B两点．那么双曲线关于直线的割距是 【答案】 【分析】本题主要考查了双曲线与直线的交点问题，勾股定理，解方程组等知识点，根据新定义得出方程组，进而可得，，再勾造直角三角形，利用勾股定理求出的值即可得解，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】由题意得：，解方程组并检验得：或，∴，， 如图，作轴，轴，两线交于点D， ∴在中，，故答案为：． 2．（23-24九年级上·山东泰安·期末）已知一次函数和反比例函数相交于点和点． (1)＝ ，＝ ；(2)连接，在反比例函数的图象上找一点，使，求出点的坐标；(3)点为轴正半轴上任意一点，过点作轴的垂线交反比例函数和一次函数分别于点，且满足，求的值． 【答案】(1)3；1(2)或(3)或 【分析】本题是函数综合题，考查待定系数法求解析式、三角形的面积、两点之间距离公式等，涉及到了数形结合的思想，能够根据题意综合应用上述知识点是解题的关键．（1）把点分别代入和中即可得到结果；（2）根据两三角形同底等高即面积相等即可得到点的坐标；（3）根据点的坐标设的坐标，利用两点之间距离公式求出和的距离，再代入即可． 【详解】（1）解：把点分别代入和得，，，解得，． （2）解：由（1）可知，，，设过原点与直线平行的直线解析式为， 列方程组，解得，或（舍去），则点坐标为， 把直线向上平移2个单位得， 列方程组，解得，或（舍去），则点坐标为或． （3）解：点为轴正半轴上任意一点，， 设，，，，， 当时，整理得，解得或（舍去）， 当时，整理得，解得或（舍去）， 或． 3．（2023·贵州六盘水·一模）已知直线与双曲线的图象交于A，B两点，且． (1)求双曲线的解析式；(2)将直线平移得，当平移后的直线与双曲线没有公共点时，直接写出的取值范围．(3)直线交双曲线于，交线段于N，求面积的最大值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确理解题意是解此题的关键．（1）化简方程组，得到，于是得到，，根据的长度列方程可得结论；（2）根据题意列方程即可得到结论；（3）设，，表示出三角形面积即可得出答案． 【详解】（1）解：联立，∴，∴， ∴，，， ∴， ∴，∴； （2）解：由题意得直线l向下平移，，化简为：， ∵平移后的直线与双曲线没有公共点，∴，∴； （3）解：∵直线交双曲线于，交线段于N，∴轴， 设，，∴，∴面积的最大值是． 反比例函数与几何图形综合 ⭐技巧积累与运用 解反比例函数与几何图形的综合题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的当成（组），解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值。 这类型的题目主要包括反比例函数与三角形的综合、反比例函数与四边形（平行四边形、矩形、菱形）的综合、反比例函数与正方形的综合、反比例函数与圆的综合等四种题型。 1．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点O 重合，角的一边与 x 轴正方向重合，反比例函数与相交于点M， 以 M 为圆心为半径作弧，交 反比例函数于点N， 分别过点M、N作x 轴和y 轴平行线，两线相交于点C，连接、相交于点D， 过 点M 作轴，垂足为E，  与相交点F，   则下列结论：①：②：③：④ 当时，： 其中一定正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数与矩形的综合应用，根据反比例函数k的几何意义可判断①；证明四边形是矩形，得，则，而无法证明，故可判断②；运用平行线的性质可判断③；证明可判断④ 【详解】解：①∵点M在反比例函数的图象上，且轴，∴，故①正确；   设点 M 的坐标为，设点 N 的坐标为，∴点 C 的坐标为， 设直线的表达式为代入，得∴∴直线的表达式为 ， ∴点 F 的坐标为，∴轴，∴四边形是矩形， ∴，，∴，， 而无法证明，∴与不一定相等，故②不正确； ∵是的外角，且， ∴， 又∵轴，∴，∴，故③正确； 当时，，∴， 而，∴，， ∴，故④正确，综上，正确的结论是①③④，故选：C 2．（2024·上海·模拟预测）如图1，已知点，，直线与反比例函数的图象与第一象限交于．(1)求k的值；(2)如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，，试问在轴上是否存在一点，使的面积与的面积相等，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)新定义：如图2，在平面内，若三角形的一边等于另一边的3倍，则两边较长的那一边叫做麒麟边，两边夹角叫做麒麟角，三角形叫做麒麟三角形，若为麒麟三角形，为麒麟边，为麒麟角，A，B在反比例函数上，且点A横坐标为，直线交y轴于C，与y轴的截距为2，求n的值． 【答案】(1)(2)存在，点的坐标为：或(3) 【分析】（1）利用待定系数法求得直线的解析式，即可得点，则待定系数法即可求的反比例函数；（2）当点在点右侧时，过点作直线，交轴于点，则点为所求点，即可求解；当点在点的左侧时，根据点的对称性即可求解； （3）由题意可知，因此当为直角三角形时，不可能为斜边，有或两种情况讨论．作辅助线构造三垂直模型，证得相似三角形，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的表达式为：， 由点，点得，解得则直线的表达式为：， 当时，即，则，即点， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：，即反比例函数的表达式为：； （2）解：存在，理由：点是反比例函数图象上一点，则点， 当点在点右侧时，过点作直线，交轴于点，则点为所求点， 直线的表达式为：，，则直线的表达式为：， 令，则，解得：，则点，则， 当点在点的左侧时，由对称性可得点的坐标为：，即点， 综上，点的坐标为：或； （3）解：为“麒麟三角形”， 为“麒麟边”， 为“麒麟角”，， 是直角三角形，不可能为斜边，即，或， 如图1，当时，过作轴于，过作轴于， ，，，， ，，， ，，， ，，点坐标为，， 此时，点不可能在反比例函数上，故该情况不存在； ②如图2，当时，过作轴于，过作轴交于，， ，，，， ，，，设，， ，，点坐标，点坐标． ，在上，，解得：；综上，， 则点的坐标为：，将点的坐标代入函数表达式得：． 【点睛】本题为反比例函数综合题，考查了求一次函数解析式、反比例函数的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，以及对称性，解题的关键是构造直角三角形和相似三角形，以及分类讨论思想的应用． 3．（24-25九年级上·山东济南·期中）某数学兴趣小组学习了反比例函数后，进一步研究反比例函数的图象，他们在平面直角坐标系内选定点，过点作直线，并将图象沿该直线按一定的操作翻折，探究过程如下： 【动手操作】操作：如图，过点作轴的平行线，将直线上方的反比例函数图象沿直线翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“图象”． 操作：如图，过点作轴的平行线，将直线左侧的反比例函数图象沿直线翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“图象”． 操作：如图，过点作直线：，将第一象限内反比例函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折得到新图象，与直线下方的图象组成的封闭图象是“图象”．    【解决问题】(1)如图，求“图象”与轴的交点的坐标； (2)过轴上一点作轴的平行线，与“图象”交于点，．若，求的值； (3)如图，反比例函数的图象与直线交于点，，已知点和点是“图象”上的两个动点，当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，直接写出点和点的坐标． 【答案】(1)(2)或(3)，或， 【分析】（1）设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，再根据对称的性质即可求解．（2）分别谈论，当时和时的情况，设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，根据对称和反比例函数性质求得点和点坐标，再根据，即可分别求出的值．（3）联立直线与反比例函数，即可求得点和点为的坐标，根据点和点是“图象”上的两个动点，结合图象分析可得，当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，即点和点分别位于直线的上下两侧时，四边形面积最大，当点在直线的下侧时，连接点，，过点作直线的平行线，当取最大值时，直线与反比例函数的图象仅有一个交点，可设直线为，与反比例函数，得，令，求得，即可得点横坐标，代入中，可得点坐标，同理，作点关于直线在“图象”上方的对称点，连接，，形成的的面积最大，连接，交于点，根据轴对称的性质可得，即点为的中点，由，设的函数解析式为，待定系数法求得的函数解析式，与直线联立，可得点坐标，再根据求中点坐标公式，可得点坐标，故当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，点和点的坐标分别为，或，． 【详解】（1）解：设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，如图所示：          ∵，∴直线为，∵点的纵坐标为，点和点到直线的距离相等， ∴点的纵坐标为，将代入中，可得，解得：∴点坐标为， ∵，轴∴点和点的横坐标相等， ∴点坐标为， （2）解：当时，在轴正半轴，过点作轴的平行线，与“图象”交于点，，设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，如图所示： ∵轴，∴点，的横坐标均为，将代入中，可得， 即点的坐标为，∴，∵，∴直线为，设点的横坐标均为 又∵点的横坐标均为，点和点到直线的距离相等， ∴，即∴点的横坐标为，将代入中，可得， ∴点坐标为，∵，点和点的纵坐标相等， ∴点坐标为，∴，∵，∴， 代入数值可得，解得：． 当时，在轴负半轴，过点作轴的平行线，与“图象”交于点，，设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，如图所示： 同理可得：点的坐标为，点坐标为，∴， ∵，∴， 代入数值可得，解得：．∴的值为或． （3）解：联立直线与反比例函数，即，解得：， ∴点为，点为，∵点和点是“图象”上的两个动点， ∴结合图象可得，当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，即点和点分别位于直线的上下两侧时，四边形面积最大，当点在直线的下侧时，连接点，，形成，过点作直线的平行线，当取最大值时，直线与反比例函数的图象仅有一个交点，如图所示：      ∵，直线：∴可设直线为， 联立直线与反比例函数，即，即： ∵直线与反比例函数的图象仅有一个交点，∴， 代入数值可得：，解得：，（舍） 将代入，即，解得：∴点横坐标为， 将代入中，可得，∴点坐标为， ∴当点坐标为时，取最大值时 同理，作点关于直线在“图象”上方的对称点，连接，，形成的的面积最大， 连接，交于点，根据轴对称的性质可得，即点为的中点， ∵，直线：， 故可设的函数解析式为， 将点代入中，可得，解得：∴的函数解析式为， 联立与直线，即，解得：， ∴点坐标为， 设点坐标为，∵点为的中点，点∴， 解得：，，∴点坐标为， ∴当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，点和点的坐标分别为，或，． 【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与性质，坐标与图形，解二元一次方程，轴对称的性质，数形结合是解题的关键． 反比例函数的实际应用 ⭐技巧积累与运用 反比例函数的实际应用：解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围。 1．（2024·贵州·模拟预测）如图①是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变．随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，下列说法不正确的是（    ） A．当该容器的体积V为时，氧气的密度为 B．该容器内氧气的密度是关于体积V的反比例函数 C．标准大气压下，该容器的体积约为 D．该容器内氧气的质量为 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先求出反比例函数解析式，然后对各选项分析即可． 【详解】解：∵，且容器内氧气的质量一定， ∴该容器内氧气的密度是关于体积V的反比例函数，故B正确，不符合题意； 由图象可知，当时，，∴，故D正确，不符合题意；∴， 当时，，故A正确，不符合题意； 当时，，故C不正确，符合题意；故选C． 2．（2024·湖南·模拟预测）物理实验课上，小明为探究电流与接入电路的滑动变阻器之间的关 系，设计如图所示的电路图．已知电源的电压保持不变，小灯泡的电阻为．改变接入电路的滑动变阻器的电阻， 电流表的读数即电流发生改变．当接入电路的滑动变阻器的电阻为时，电流表的读数为． (1)求电路中的电阻关于接入电路的滑动变阻器的电阻之间的函数关系， (2)求电流关于电路中的电阻的函数关系； (3)如果电流表的读数为，则接入电路的滑动变阻器的电阻为多少？ 【答案】(1)(2)(3)接入电路的滑动变阻器的电阻为． 【分析】本题考查了反比例函数应用，掌握串联电路的特点以及欧姆定理是解题关键． （1）根据串联电路的特点可知，灯泡与滑动变阻器串联接入电路，则电路中的总电阻等于各部分的电阻之和，即可求解；（2）由欧姆定律可知，，进而得出电源的电压为，即可求解； （3）将代入（2）所求解析式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，灯泡与滑动变阻器串联接入电路，则电路中的总电阻等于各部分的电阻之和，电路中的电阻； （2）解：由欧姆定律可知，， 由题意可知，小灯泡的电阻为，当接入电路的滑动变阻器的电阻为时，电流表的读数为， ，解得：，即电源的电压为， 电流关于电路中的电阻的函数关系为； （3）解：电流表的读数为，，解得：， 答：接入电路的滑动变阻器的电阻为． 3．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）【背景素材】 预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段，室内每立方米空气中的含药量（）与释放时间（）成一次函数；释放后，与成反比例如图所示，且时，室内每立方米空气中的含药量（）达到最大值． 某兴趣小组记录部分（）与（）的测量数据如表．满足的自变量（）的取值范围为有效消毒时间段． 【解决问题】（1）求关于的函数表达式．（2）求“药熏消毒”的有效消毒时间．（3）若在实际生活中有效消毒时间段要求满足，其中为常数，请确定实际生活中有效消毒的时间段． 【答案】（1）；；（2）有效消毒时间段为；（3）实际生活中有效消毒的时间段为或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用．（1）利用待定系数法求解即可；（2）求得时，对应的x的值，根据图象即可求解；（3）分当和、时，三种情况讨论，求解即可． 【详解】（1）解：设当药物释放阶段（即）时，设， 把，代入，得，解得，∴； 设当药物释放后（即）时，设，把代入，得，解得，∴； （2）把分别代入，得，解得，由图象，得； （3）当时，把代入，得，解得； 把代入，得，满足题意；． （2）时，把代入，得，解得（舍去）； ∴无解； （3）时，（即） ①把代入，得，解得； 把代入，解得，满足要求（），∴； ②把代入，得，解得； 把代入，解得，满足要求（），∴ 综上，或 1．（24-25九年级上·山东威海·阶段练习）如图是反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ）    A．常数 B．在每个象限内，随的增大而增大 C．若，在图象上，则 D．若在图象上，则也在图象上 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是结合反比例函数的性质以及函数图象逐一分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉掌握反比例函数图象的有关知识是关键．结合函数图象逐一分析四个选项的对错，由此即可得出结论． 【详解】解：A、∵反比例函数y=的图象在第一三象限，∴，∴A错误，故本选项不符合题意； B、根据函数图象可得出：在每个象限内，y随x的增大而减小，∴B错误，故本选项不符合题意； C、根据函数图象可得出：在第三象限内，，在第一象限内，， ∵，，∴，∴C正确，故本选项符合题意； D、由反比例函数的对称性可知：若在图象上，则在图象上， ∴D错误，故本选项不符合题意．故选：C． 2．（24-25九年级上·辽宁阜新·阶段练习）在反比例函数的图象上有三个点，则函数值的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断反比例函数图象所在象限，判断反比例函数的增减性等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 先根据反比例函数的解析式判断函数图象所在的象限，再根据其增减性解答即可． 【详解】解：反比例函数的解析式为，其中，反比例函数的图象位于二、四象限， ，，在反比例函数的图象上，，在第二象限， 又，，又在第四象限，，，故选：． 3．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）正比例函数中，如果随增大而增大，那么它和反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的性质，由正比例函数中，如果随增大而增大，可得，得到反比例函数过一、三象限，据此判断即可． 【详解】解：∵正比例函数中，如果随增大而增大， ∴，图象过一、三象限，∴反比例函数在一三象限，故选：A． 4．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）已知是关于的一元二次方程的一个根，点、均在反比例函数的图象上，则关于、的大小关系描述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，反比例函数的性质；先根据题意得出的值，进而根据反比例函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴解得：∴反比例数解析式为 ∵点、均在反比例函数的图象上， ∴∴，∴，故选：D． 5．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，由此可解． 【详解】解：反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，、两点关于原点对称， 点的坐标为，点的坐标为．故选D． 6．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，直线与双曲线交于点A，点是直线上一点，且．（1） ；（2）过点B作轴于点C，作交双曲线于点D，过点D作于点E，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，求反比例函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，先根据平行线分线段成比例，求出点A的坐标即可得到，然后判断是等腰直角三角形，设，根据勾股定理和因式分解解题即可． 【详解】解：过点A作轴于点F，∴，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴点A的坐标为， ∴，∴反比例函数解析式为，∵，，∴， 设，则，即点D的坐标为，∴， ∴，故答案为：，． 7．（2024·湖北恩施·模拟预测）小王同学用爸爸遗弃的充电宝和报废手机液晶屏，自制了一个亮度可调节的台灯．已知充电宝电压为5，液晶屏的电阻 ，如图的串联电路中，电流与滑动变阻器电阻，之间关系为 ，当电流表的读数 时，滑动变阻器电阻 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了欧姆定律、反比例函数的应用等知识，正确理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．将，，代入，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知，，， 代入，可得，解得，所以，滑动变阻器电阻．故答案为：． 8．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，点C、E在坐标轴上，矩形分别交某反比例函数于点F、G，，，的面积为9，则该反比例函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．由反比例函数k的几何意义得到的面积=的面积=，根据的面积=矩形的面积-的面积-的面积-的面积可求出k，即可求出答案． 【详解】解：设反比例函数解析式为，∵矩形分别交某反比例函数于点F、G，，， ∴,的面积=的面积=， ∵的面积=矩形的面积-的面积-的面积-的面积=9，矩形的面积， ∴，解得（负值已舍去）， ∴反比例函数解析式为．故答案为：． 9．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）已知反比例函数（为常数，且）． (1)若在其图象的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围；(2)若点、均在该反比例函数的图象上；①求、的值；②当时，求的取值范围． 【答案】(1)(2)①，；② 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，求函数解析式，与不等式的结合，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）根据反比例函数的性质即可求解；（2）①点、代入即可求解； ②求出解析式为，则当时，,作出大致函数图象，数形结合即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，解得； （2）解：①把，代入中，得到，解得， ，，； ②∵，∴解析式为：当时，, 作出大致函数图象如图： 由图象可得，当，． 10．（24-25九年级上·山东济南·期中）心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中分别为线段，为双曲线的一部分，注意力指标数越大，学生的注意力越集中）． (1)分别求出线段和曲线的函数解析式；(2)开始学习后第5分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？为什么？(3)为贯彻“品质课堂”的教育理念，以立德树人为根本任务，以“减负增效提质”为目标，立足打造“教有品、学有质、评有效”的品质课堂，某节数学课的学习主要可分为三个环节：即“整体感知，明确目标--探究思考，归纳新知—辨别应用，巩固新知”，其中重点环节“探究思考，归纳新知”这一过程要求至少需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40．请问这样的要求能否实现？如果能，请写出如何安排此环节的时间；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)第35分钟时学生的注意力更集中，见解析 (3)要求能够实现，见解析 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的实际应用．（1）从图象上看，表示的函数为一次函数 ，为反比例函数的一部分，设出解析式，代入数值可以解答；（2）把和的值代入相对应的函数解析式，求出对应的函数值比较得出；（3）求出40相对应的自变量的取值范围，与30相比较，得出答案． 安排时间具体方案答案不唯一，合理即可． 【详解】（1）解：设，把代入函数解析式得 ，解得：∴， 设，把代入函数解析式解得； （2）解：把代入，得，把代入，得， 因为，所以第35分钟时学生的注意力更集中； （3）解：由题意知，注意力指数不低于40 当即；同时，即 即当开始上课分钟直至上课37.5分钟时学生的注意力指数均不小于40． 而∴要求能够实现． 具体方案答案不唯一，合理即可． 例1：探究思考，归纳性质环节不早于分钟开始，不早于分钟结束． 例2：探究思考，归纳性质环节不晚于分钟开始，不晚于分钟结束． 11．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点，点，反比例函数；(1)求直线的函数关系式；(2)一条与平行的直线与反比例函数图象只有一个公共点，求公共点的坐标；(3)将线段平移，使点的对应点在反比例函数图像上，则点的对应点能否在反比例函数图象上？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题主要考查反比例函数与直线的交点问题以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．（1）用待定系数法求出直线的函数关系式；（2）根据直线平行的性质设出直线的函数关系式，根据只有一个公共点即可求出答案；（3）设，，根据平移的性质和反比例函数的几何意义求出即可得到答案． 【详解】（1）解：设直线的函数关系式为，代入点，点， 得，解得，所以； （2）解：设直线的函数关系式为 则有，化简得，只有一个公共点，， 由题得，所以，则，故公共点坐标为； （3）解：设，，则有，解得，所以． 12．（24-25九年级上·广西桂林·期中）如图，反比例函数的图象经过线段的端点，把线段沿x轴正方向平移3个单位得到线段与上述反比例函数的图象相交于点D． (1)求k的值和直线的解析式；(2)在y轴上是否存在点Q，使得的值最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，；(2)存在，； 【分析】（1）根据题意结合待定系数法可进行求解；（2）延长交轴于点，此时的值最大，求出的解析式，联立得到方程组求交点坐标，求出直线的解析式即可得到点的坐标 【详解】（1）解：∵反比例函数（）的图象经过线段的端点， ∴，即反比例函数解析式为，设直线的解析式为， 则代入点A坐标得：，解得：，∴直线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 如图，延长交轴于点，根据三角形不等关系可知：，所以此时的值最大，    把线段沿轴正方向平移3个单位得到线段，，即，， 设的表达式为，将代入得到，， 解得，，的表达式为，联立，解得，， 点的横坐标大于0，的横坐标为4，将代入得到：，即， 设的表达式为，将，代入得，解得，， 令，代入得到，． 1．（24-25九年级上·山东淄博·期中）学习完函数的有关知识之后，小刚对函数产生了浓厚的兴趣，他利用绘图软件画出了如图（1）所示的函数的图象，并对该函数的性质进行了探究． ①该函数自变量的取值范围为；②该函数图象与轴没有交点； ③若是该函数图象上的两点，则当时，一定有； ④如图（2），若是该函数图象上的一个动点，是直线上的一个动点，过点作轴于点，连接，则．则上面小刚推断的①②③④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数的图象和性质，涉及到函数的平移，理解反比例函数系数的几何意义是解题的关键．①由分式的性质知，，即可求解；②对于，故函数，即可求解；③当、在图象的两个分支时，当时，错误，即可求解；④和面积相等，均为，即可求解． 【详解】解：①由分式的性质知，，即，故①正确，符合题意； ②对于，∵，故函数，即该函数图象与轴没有交点，故②正确，符合题意； ③当在图象的两个分支时，当时，，故③不正确，不符合题意； ④将轴向左平移3个单位，如下图， 连接，则和面积相等，均为，故④正确，符合题意；故选：B． 2．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，直线与双曲线交于A、B两点，将直线绕点A顺时针旋转，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作轴于H，交于E，轴于F，轴于N，连接，设交x轴于M，证明，求出与的比，再求出的份数，证明出与的比，表示出的份数，利用的面积求出x的值，即可求出k． 【详解】解：作轴于H，交于E，轴于F，轴于N，连接，设交x轴于M，如图， ，为等腰直角三角形，，，， ，，， 设，，，， ，，即，， ，，点C、A在反比例函数上，， 设，，，解得：或（舍去）， ，，即，即， 或（舍去），，，．故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，反比例函数与一次函数的交点，等腰三角形的性质、全等三角形的性质、平行线分线分线段成比例的性质等知识点的应用是解题关键． 3．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与双曲线交于点，作轴于点．平移直线使其经过点，得到直线，与双曲线交于点，作轴于点．作轴，交直线于点，反比例函数的图象是一条经过点的双曲线．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，得，，确定直线的解析式为，联立，得，，设，得，继而得到，，可判断A；根据，，点、在双曲线上，推出，，可判断B；根据两点间距离求出，，可判断C；求出，，可判断D． 【详解】解：设，∵直线与双曲线交于点，∴， ∵轴，∴，设直线的解析式为，过点， ∴，∴，∴直线的解析式为， 联立，∴，即， 解得：或（负值不符合题意，舍去） ∴，∴， ∵轴，∴，∵轴，交直线于点，设，∴， ∵点在直线：和反比例函数的图象上， ∴，∴，∴， A．∵，，∴，该选项结论正确，故此选项不符合题意； B．∵，， 又∵，， ∵点、在双曲线上，∴，∴， ∴，该选项结论正确，故此选项不符合题意； C．∵，，，∴， ， ∴，该选项结论错误，故此选项符合题意； D．∵，，，∴，， ∴，该选项结论正确，故此选项不符合题意．故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法确定函数解析式，平移的性质，函数图象上点的坐标特征，坐标与图形，两点间距离，等积变换等知识点．利用联立方程组求函数图象的交点坐标是解题的关键． 4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，点、、、……、(为自然数)在反比例函数图象上，且横坐标分别为1、2、3、……、，分别以、、、…、为斜边向下作直角三角形，使两条直角边平行于坐标轴，得到个直角三角形，则前2024个直角三角形的面积之和为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征及数字类变化规律，正确得出是解题关键． 根据反比例函数图像上点的坐标特征可得，，，即可得出，，，进而可得，分别求出和的值即可得答案． 【详解】解：设前2024个直角三角形的面积分别为、、……、， ∵点、、、……、在图象上，且横坐标分别为1、2、3、……、， ∴，， ，，…… ，， ∴当时，，当时，， ∴． 5．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，直线与双曲线相交于两点，现将线段沿着直线对折，得到对应线段，过点作轴的垂线，交该双曲线于点，连接，．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先联立直线与双曲线，可得，分和时，代入直线中可得两点坐标，由轴对称的性质可列，可得点坐标，根据轴，点在双曲线上，代入到双曲线中即可求得坐标，长度，由，求解即可得的值． 【详解】解：联立直线与双曲线，可得：， ∴，即，当时，则有，∴， 当时，则有，∴， 由轴对称的性质可知：与关于直线对称， 令点的横坐标为，则，∴，即， ∵轴，点在双曲线上，当时，双曲线，即 ∴，∴，解得：．故答案为：． 6．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． (1)如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； (2)矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为y，求y关于k的函数表达式； ③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值． 【答案】(1)是矩形的“友好函数”(2)①；②；③ 【分析】（1）求出反比例函数解析式，并判断D在反比例函数图像上，根据“友好函数”的概念即可得出结论；（2）求出正比例函数，设点， 则，则，根据折叠的性质得，，，延长交y轴与F，根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定可得，，，根据勾股定理列方程并求出m，求出B点坐标，即可求出k；分两种情况讨论，当时，即，当时，即，再根据矩形周长公式求解即可；分四种情况讨论，当，且时，当，且时，当，且时，当，且时，根据矩形面积公式，求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 反比例函数的表达式为：， 当时，，点D在反比例函数图像上， 该函数为矩形的“友好函数”； （2）解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得，正比例函数表达式为， 正比例函数是矩形的“友好函数”，点C在直线上， 设点， 则，； 将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上， ，，，延长交y轴于F， 四边形是矩形，，， 轴， ，，， ，，， 轴，，，，， 在中，，，解得：或， ,，，，当时，，把代入反比例函数得，； ②当时，即，将点的坐标代入反比例函数表达式得，即  ，， ， ，，当时，，当时，即时，如图， 设点， 则，； 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ， ，当时，，综上所述，， ③当，且时，解得，则， ，， 当，且时，解得，则， ，， 当，且时，解得，不符合题意， 当，且时， 解得，则， ，，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数，一次函数，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，理解“友好函数”，综合运用以上知识求解，运用分类讨论思想是解题的关键； 7．（24-25九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知反比例函数（，为变量）． (1)若点，都在该反比例函数图象上，求的值及反比例函数表达式； (2)如图1，一次函数的图象与图象在第一象限交于、两点，令点、、的横坐标分别为、、，纵坐标分别为、、，且，，则是否为定值．若为定值，则求出的值；若不为定值，请说明理由； (3)如图2，另一条直线与反比例函数交于、两点，与坐标轴交于、两点，且点是的中点，过的直线交反比例函数的另一支图象于点，连接，交轴于点，连接，若，求的值． 【答案】(1)；(2)不为定值，理由见解析(3) 【分析】（1）根据，即可求得反比例函数的解析式；（2）联立，得，由韦达定理，可得：，得出k为变量，即可得结论；（3）作轴于P，轴于E，轴于F，轴于Q，连接，设，则，得，，由，得，由点D、G关于点O中心对称，得，证明，进而可求k． 【详解】（1）解：点，都在反比例函数的图象上， ，即，整理得，， 解得（舍），，反比例函数的解析式为； （2）解：不为定值，理由：联立，得，，， 由韦达定理，可得：，， 为变量，不为定值； （3）解：作轴于P，轴于E，轴于F，轴于Q，连接，， ，，设，则，，， ，，， 点D、G关于点O中心对称，则，， 轴于P， 轴于Q，， ，，， ，，是的中点，，，， 即，，即． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，三角形面积．解题关键是通过设坐标表示线段长度，确定图象上点的坐标，进而求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$