专题05 二元一次方程组（9大题型）-【寒假分层作业】2025年八年级数学寒假培优练（北师大版）

专题05 二元一次方程组 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 题型一 二元一次方程（组）相关概念 题型二 二元一次方程（组）的解 题型三 解二元一次方程组（代入消元法与加减消元法） 题型四 二元一次方程组的特殊解法（换元法与构造法） 题型五 二元一次方程组的错解还原问题 题型六 二元一次方程组的同解问题 题型七 三元一次方程组及解法 题型八 二元一次方程组的实际应用 题型九 二元一次方程组与一次函数 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 二元一次方程（组）相关概念 ⭐技巧积累与运用 1）二元一次方程：含有两个未知数，且 所含未知数的次数项的次数都是1的方程。 2）将几个相同未知数的一次方程联合起来，就组成了二元一次方程组。 注：①在方程组中，相同未知数必须代表同一未知量；②二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而成，方程个数也不一定是两个。 3）判断二元一次方程组的方法：①方程组中是否一共有两个未知数;②含未知数的项的次数是否都是1;③是否含有多个方程组成. 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．根据二元一次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、不是整式方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； B、是二元二次方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； C、是二元一次方程，故此选项符合题意； D、是一元一次方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意；故选：C． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组的定义，二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程．两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组．根据定义逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，是二元一次方程组，故该选项符合题意；     B. ，含有3个未知数，不是二元一次方程组，故该选项不符合题意；     C.，最高次为2次，故该选项不符合题意； D. ，第2个方程不是整式方程，故该选项不符合题意；故选：A． 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）是关于，的二元一次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，即可求得m的值． 【详解】解：根据题意，得且，解得，故答案为：1． 二元一次方程（组）的解 ⭐技巧积累与运用 1）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对） 2）二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解。 3）检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解。 注：方程组中只要有一个方程带入后不成立，则不是方程的解。 1．（23-24八年级上·山东济南·期中）是下面哪个二元一次方程的解（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．把代入各个选项中，看是否满足方程成立的符合条件，即可． 【详解】解：A、把代入得：，不是该二元一次方程的解，故本选项不符合题意； B、把代入得：，是该二元一次方程的解，故本选项符合题意； C、把代入得：，不是该二元一次方程的解，故本选项不符合题意； D、把代入，不是该二元一次方程的解，故本选项不符合题意；故选：B． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）若是关于、的方程的一个解，则的值是（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，把代入，再解关于的方程即可． 【详解】解：是关于、的方程的一个解，，解得：，故选：A． 3．（23-24七年级下·全国·期末）写出一个二元一次方程，使它的一个解为： ． 【答案】 （答案不唯一）． 【分析】本题考查了二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边成立的未知数的值叫二元一次方程的解． 根据二元一次方程的解的含义求解即可． 【详解】∵∴，∴使解为的二元一次方程可以为． 故答案为： （答案不唯一）． 解二元一次方程组（代入与加减消元法） ⭐技巧积累与运用 1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法。 2)代入消元法的步骤：①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程。③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解。 3）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法。 4）加减消元法步骤：①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值。 1．（24-25八年级上·山东济南·期中）解方程组(1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法解方程组是解此题的关键，注意：解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法．（1）运用加减消元法解出的值，再代入解出的值，即可作答；（2）先去分母，再运用代入消元法解出的值，即可作答． 【详解】（1）解：，，得，解得 把代入①，得，解得，所以方程组的解为； （2）解：整理①得，即 所以整理②得，把代入， 得，解得，把代入，解得，所以方程组的解为． 2．（24-25八年级上·山东济南·期中）解方程组：(1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组．（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）直接利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：，将①代入②得，，解得， 将代入①得，，所以原方程组的解为； （2）解：，①②得，，解得， 将代入①得，，解得，所以原方程组的解为． 二元一次方程组的特殊解法（换元法与构造法） ⭐技巧积累与运用 解二元一次方程组的过程实质上是转化过程，因此在解方程组时，要观察方程组的特点，根据方程组的不同特点，灵活运用解题技巧，选用更简便的方法来解题。 1．（24-25八年级上·山东济南·期中）已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了利用二元一次方程组求代数式的值，两个方程相加可得，从而可得答案．解题的关键是整体加减，使计算简便． 【详解】解：由得：， 即：，∴，故答案为：1． 2．（23-24七年级下·云南红河·期末）学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组．让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法： 解：将②变形为，③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，解得．方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 【答案】 【分析】本题考查的是代入法解方程组，先把方程②化为，再利用代入法解方程组即可． 【详解】解：，由②得：③， 把①代入③得：，解得：，把代入①得：， ∴方程组的解为； 3．（2024·山西大同·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应的任务． 换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，变量求出结果之后，返回去求原变量的结果，换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，下面以一个例题来说明． 例1：计算：． 解：设，则原式． 请你利用上述方法解答下列问题：(1)计算：； (2)已知方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了换元法解复杂式子以及二元一次方程组，整式的乘法运算，解决本题（2）的关键是先求、的解，再求、的值． （1）仿照例题的思路，设，分别表示原式，然后进行整式乘法运算即可；（2）根据加减法，可得、的解，再根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：依题意，设， （2）解：方程组的解是， 同理方程组中 二元一次方程组的错解还原问题 ⭐技巧积累与运用 给出的一组方程组的两个解，其中一个解是错误的，求题目中的未知字母的值。做这类题目的时候，根据题目的意思，哪一个看错了，就不带入哪一个，只带入正确的哪一个，在组合求出字母参数即可。 1．（23-24七年级下·广东·期中）李宁准备完成题目：解二元一次方程组发现系数“□”印刷不清楚．张老师说该题标准答案的结果x，y是一对相反数，通过计算说明原题中“□”是几？ 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，也考查了二元一次方程组的解，能得出关于a的方程是解题的关键；把代入，求出y，再求出x，最后求出答案即可； 【详解】解：设原题中“□”是为a， x、y是一对相反数，把代入得： ， 解得： ， ， 方程组的解是 ，代入得： ， 解得： ， 原题中“□”是． 2．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）小李和小张共同解关于x，y的二元一次方程组由于粗心，小李看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小张看错了方程②中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解问题；首先根据甲看错方程①中的a说明甲所解出的结果满足方程②，所以把代入方程②可得：即可求出b；而乙看错方程②中的b说明乙所解出的结果满足方程①，所以把代入方程①可得：即可求出a；根据的值得到原方程组，解方程组即可． 【详解】解：依题意，把代入②得：，解得：； 把代入①得：，解得：； 则原方程为：得，解得：， ，代入①得，，解得：，∴． 3．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期中）小明给小红出了一道数学题：“如果我将二元一次方程组第一个方程中y的系数遮住，第二个方程中x的系数遮住，并且告诉你 是这个方程组的解，你能求出我原来的方程组吗？”请你帮小红解答这个问题. 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组解的定义，设被遮住的y的系数为m，被遮住的x的系数为n，根据二元一次方程组的解为得到，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：设第①个方程y的系数为m，第②个方程x的系数为n， ∵ 是方程组的解，∴ ，解得 ，∴原来的方程组为 ． 二元一次方程组的同解问题 ⭐技巧积累与运用 关于二元一次方程组同解的问题，即指2个二元一次方程组的解相同，也就是两个二元一次方程(组)中方程的解相同。因为每个二元一次方程组中的两个方程的解相同，才能够组成一个二元一次方程组，既然2个二元一次方程组的解相同，故可将两个二元一次方程组中不含字母参数的两个方程组成新的方程组，求出未知数的值，再将未知数的值代入含有字母参数的方程组成的方程组中求出字母参数的值。 1．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则常数的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组．用表示出方程组的解是解题的关键．先求方程组的解，用表示出，的值，再根据可得到关于的等式，从而求得的值． 【详解】解：解方程组，可得， ，，解得．故答案为：． 2．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知关于、的方程组 和 有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，求出第一个方程组的解，然后将第一个方程组的解代入第二个方程组求出，再代入求出即可． 【详解】解：解方程组得，把代入方程组得， 解得：，则∴，故答案为：． 3．（2024·贵州毕节·三模）已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为（   ） A． B． C．2 D．无法计算 【答案】C 【分析】此题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．把k看作已知数求出x与y，代入已知方程计算即可求出k的值． 【详解】解：由①②得：，解得：， 把代入①得：，解得：， 把，代入，得：，解得：，故选：C 三元一次方程组及解法 ⭐技巧积累与运用 1.三元一次方程组的概念 1）三元一次方程组：方程中有三个未知数，且未知数的项的次数都是一的方程组。 2.解三元一次方程组的方法和步骤 1）步骤：三元一次方程二元一次方程一元一次消元。 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）【数学问题】解方程组 【思路分析】小明观察后发现可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的． (1)【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查解三元一次方程组、解二元一次方程组； （1）把①代入②，求出x的值，再把x的值带入①，求出y的值； （2）先把①代入③，求出c的值，再把c的值代入②，求出a的值，最后把a的值代入①，求出b的值，即可． 【详解】（1）解： 把①代入②，得，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为； （2）解： 把①代入③得：，解得：， 把代入②得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为． 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）解方程组：(1) (2) 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握三元一次方程组的解法是解答本题的关键． （1）把三元一次方程组化为二元一次方程组再运用加减消元法求解即可； （2）先将和消去，解出，再解出和即可求解． 【详解】（1）解：，把代入得， 联立方程组得，由得，解得， 把分别代入得，，原方程组的解为； （2）解：，由，得： 由，得：，把代入，得：， 把代入，得：， 原方程组的解集是：． 二元一次方程组的实际应用 ⭐技巧积累与运用 列方程组解应用题步骤 1）列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。 2）解应用题的一般步骤为：①读题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式；②设元：以好表达等量关系式为原则，设不知道的量为未知数；③列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程；④解答。 1．（24-25八年级上·重庆·期中）在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图1、图2所示．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图表示的方程组是，类似的，图2所示的算筹图表示的方程组是（   ） 图1                     图2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据图形，结合题目所给的运算法则列出方程组即可； 【详解】解：由题意可得，图②所示的算筹图可以表述为：，故选：B． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）甲、乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔相遇一次；如果同向而行，每隔相遇一次．则（   ） A．甲每分跑圈，乙每分跑圈 B．甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈 C．甲每分跑圈，乙每分跑圈 D．甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设甲的速度为，乙的速度为，环形路的长度为单位1，由题意得出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为，环形路的长度为单位1，当甲比乙跑得快时， 由题意得，解得，∴甲每分跑圈，乙每分跑圈， 当乙跑得比甲快时，同理可得：甲每分跑圈，乙每分跑圈；故选：B． 3．（24-25八年级上·全国·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某4S店用120万元购进A，B两种新能源汽车进行销售，这两种汽车的进价和售价如下表所示，全部销售后可获毛利润16万元．[毛利润（售价进价）销售量] A B 进价/（万元/辆） 15 12 售价/（万元/辆） 16.5 14 (1)该4S店购进A，B两种新能源汽车各多少辆？(2)由于销售状况特别好，该4S店决定再用240万元同时购进A，B两种新能源汽车（240万元资金刚好用完且两种汽车均购买），有哪几种购买方案？ 【答案】(1)购进A型号的汽车4辆，B型号的汽车每5辆 (2)共有三种购买方案：购买A型号的汽车12辆，B种型号的汽车5辆；购买A型号的汽车8辆，B种型号的汽车10辆；购买A型号的汽车4辆，B种型号的汽车15辆 【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）． （1）设购买A型号的汽车a辆，B种型号的汽车b辆，根据题意列二元一次方程组，即可求解； （2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，根据总价为240万元列出二元一次方程，进而分析得出购买方案． 【详解】（1）解：设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元， 由题意可得，解得， 答：购进A型号的汽车4辆，B型号的汽车每5辆； （2）解：设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆， 由题意可得，∴， ∵，，m和n均为整数，∴或或． 答：共有三种购买方案：购买A型号的汽车12辆，B种型号的汽车5辆；购买A型号的汽车8辆，B种型号的汽车10辆；购买A型号的汽车4辆，B种型号的汽车15辆． 4．（22-23七年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计制作木箱方案？ 素材1 如图1，是一个无盖的木箱，该木箱由A，B，C三种型号的木板制作而成，而三种型号的木板是由一个大长方形板材按如下甲、乙、丙三种不同切割方式进行无废料切割得到．已知． 素材2 若有24张长方形板材，将板材按以上三种方式进行切割，无材料剩余（恰好可以制作若干个木箱）． 素材3 若有20张B型号木板和m张长方形板材，将板材按以上三种方式进行切割，无材料剩余（恰好可以制作若干个木箱）． 问题解决 任务1 确定型号大小 求A，B，C三种型号木板的面积． 任务2 探究木箱容量 一共可以制作多少个木箱？并求出木箱的总体积． 任务3 拟定制作方案 请你设置一种合适的切割方案，并指出m的值． 【答案】任务1：A，B，C三种型号木板的面积分别是；任务2：一共可以做18个木箱，木箱的总体积；任务3：甲方式切割5张，乙方式切割8张，丙方式切割3张，此时（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的运算，二元一次方程组和三元一次方程组的应用： 任务1：根据图形分别求出三种型号的木板的长和宽，进行计算即可； 任务2：设用张按照图甲制作型木板，张按照图乙制作型木板，则张按照图丙制作型木板，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可； 任务3：设用张按照图甲制作型木板，张按照图乙制作型木板，则张按照图丙制作型木板，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：任务1：由图可知，型木板的宽为，型木板的宽和木板的长均为，由图1可知，木板的宽与型木板的宽相同，均为，由图丙可知，型木板的长型木板的宽，由图乙可知，型木板的长等于型木板的长， ∴型木板的面积为： 型木板的面积为： 型木板的面积为：； 任务2：设用张按照图甲制作型木板，张按照图乙制作型木板，则张按照图丙制作型木板，则共制作型木板，张，共制作型木板，张，共制作型木板，张，由图1可知，制作一个木盒需要2张，2张和1张， ∴，解得：，∴共制作型木板，张， ∴共能制作木盒18个，木箱的总体积为：； 任务3：设用张按照图甲制作型木板，张按照图乙制作型木板，则张按照图丙制作型木板，则共制作型木板，张，共制作型木板，张，共制作型木板，张，又原来有20张型木板，故共张型木板， 由题意，得：∴，解得：，（均为正整数）， ∵，∴∴当时，，， 即：甲方式切割5张，乙方式切割8张，丙方式切割3张，此时．（答案不唯一） 二元一次方程组与一次函数 ⭐技巧积累与运用 1）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 2）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 3）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 4）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立. 1．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，已知一次函数和的图象交于点M，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组的关系．观察图象得：一次函数与的图象交于点，再根据函数与方程组的关系结合交点坐标即可求得方程组的解． 【详解】解：观察图象得：一次函数与的图象交于点， ∴二元一次方程组的解是．故答案为：． 2．（23-24八年级上·四川巴中·校考期末）已知一次函数与的图象交点坐标是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案． 【详解】解：∵一次函数与图象的交点的坐标是（2，-1）， ∴方程组的解为，即方程组的解是．故选：A． 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 3．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）综合与实践 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失．    阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水8秒，则再接温水的时间为__________秒． (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是27秒，求乙同学分别接温水和开水所用的时间．(3)丙同学要接一杯700的温水和开水混合的水，先接温水再接开水，若先接x秒的温水，再接开水，请问最后水杯中的温度y与x的关系；若要接一杯的水，要先接多少秒温水？ 【答案】(1)29(2)乙同学接温水的时间为秒，接开水所用的时间为秒； (3)，要先接20秒温水 【分析】本题考查了一元一次方程、二元一次方程组，一次函数的应用，理解题意，列出方程及函数关系式是解题关键．（1）设再接温水的时间为秒，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解；（3）根据题意得：温水，则开水为，然后列出等式，整理出函数关系式为，然后求解即可． 【详解】（1）解：设再接温水的时间为秒，依题意得， ，解得：，答：再接温水的时间为秒，故答案为：29； （2）解：依题意，设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意得， ，解得：，答：乙同学接温水的时间为秒，接开水所用的时间为秒； （3）解：根据题意得：温水，则开水为， ∵最后水杯中的温度y，依题意，，∴， 当时，，解得：，∴要先接20秒温水． 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如果表中给出的每一对，的值都是二元一次方程的解，则表中的值为（    ） 0 1 2 5 3 1 A． B． C．0 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解）是解此题的关键． 将代入中求出，再把代入求出，再将代入方程即可求出m． 【详解】解：把代入，得，∴，则， 把代入，得，∴，∴二元一次方程为：， 把代入，得，∴，∴．故选：A． 2．（23-24九年级下·四川绵阳·期中）如图，每只蜻蜓有6条腿，2对翅膀，每只蝉有6条腿，1对翅膀．现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，则蜻蜓和蝉的只数分别是（   ） A．3，4 B．4，3 C．2，5 D．5，2 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设蜻蜓是x只，蝉是y只，根据现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，然后列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设蜻蜓是x只，蝉是y只，由题意得： ，解得：．所以蜻蜓和蝉的只数分别是3，4．故选：A． 3．（2024·山东枣庄·一模）已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能理解二元一次方程组的解的定义是解此题的关键．把②代入①，得：，整理后即可得出答案． 【详解】解：，把②代入①，得：，即，故选：C． 4．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，求这个两位数，所列方程组正确的是（　　） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】本题需掌握的知识点是两位数的表示方法：十位数字个位数字． 关键描述语是：十位上的数字x比个位上的数字y大1，新数比原数小9．等量关系为：①十位上的数字个位上的数字；②原数新数． 【详解】解：根据十位上的数字x比个位上的数字y大1，得方程； 根据对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，得方程． 列方程组为．故选C． 5．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）芳芳和元元一起玩用火柴棍摆图形的游戏，三角形和正方形一共摆了10个（如图，任意两个图形之间没有公共边）．如果她们一共用了36根火柴棍，那么她们摆了个 三角形， 正方形． 【答案】 4 6 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出二元一次方程组成为解题的关键． 设她们摆了x个三角形，y正方形，再根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设她们摆了x个三角形，y正方形， 由题意可得：，解得：，所以设她们摆了4个三角形，6正方形．故答案为：4，6． 6．（24-25八年级上·四川成都·期中）若是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】考查了二元一次方程的定义，利用平方根求解方程，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程，根据二元一次方程的定义得，解答即可得出结果． 【详解】解：是关于x，y的二元一次方程， ，解得：，故答案为：． 7．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）已知关于x、y的方程组和的解相同，则代数式值为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，根据方程组解的定义得到解相同得新方程组和，先求解方程组得x、y的值，再代入方程组中求出a、b，最后代入得结论． 【详解】解：关于x、y的方程组和的解相同， ∴方程组和的解也相同．解方程组，得． 把代入方程组，得．解这个方程组，得． ∴．故答案为：24． 8．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“和谐方程组”．若关于x，y的方程组是“和谐方程组”，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，相反数的定义，熟练运用整体法解方程组是解题的关键． 把两个方程相加可得，再根据相反数的定义可得，据此即可求解， 【详解】解：，得：，， x，y互为相反数，，，，故答案为：． 9．（24-25八年级上·山东德州·开学考试）已知关于x，y的方程组，给出以下结论：①是方程组的一个解；②当时，x，y的值互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④x，y之间的数量关系是．其中，正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 将代入方程组，可得，据此判断即可； 当时，解方程组，由加减消元法解得，据此判断即可； ③当时，方程组为，由加减消元法解得，再将解代入方程中，据此判断即可； 由加减消元法解方程组得，则，据此判断即可． 【详解】解：①将代入方程组，可得，故①符合题意； ②当时，方程组为，①②得，， 将代入①得，，、互为相反数，故②符合题意； ③当时，方程组为，①②得，，将代入②得，， 方程组的解为，将满足方程，故③符合题意； ④，①②得，，将代入②得，， ，④不符合题意；故答案为①②③． 10．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）用适当方法解方程组：(1) (2) 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法，是解题的关键： （1）代入消元法，解方程组即可；（2）加减消元法，解方程组即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②，得：，解得：， 把代入①，得：， ∴方程组的解为：； （2），得：，解得：， 把代入①，得：，解得：， ∴方程组的解为：． 11．（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为． (1)求a，b的值；(2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值． 【答案】(1)，；(2)； 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，以及代数式求值． （1）根据甲由于看错了方程组中的a，把得到的方程组的解代入可得出，即可求出b的值，根据乙由于看错了b，把得到方程组的解代入可得出，即可求出a的值 （2）由（1）得到方程组并求解，把解代入，再解出m，n的值，代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为∴，解得； ∵乙由于看错了b，得到方程组的解为∴，解得； （2）由（1）得方程组为，解得， ∵方程组的解与方程组的解相同， ∴，解得，∴． 12．（24-25八年级上·广东深圳·期中）某网购平台开展“爱心助农”活动，准备在平台推送两种特色水果．经过对往年情况的调查，这两种水果的进价和售价如下表所示： 种类 进价（元/） 售价（元/） 甲 x 12 乙 y 14 (1)购进甲种水果和乙种水果需要160元；购进甲种水果和乙种水果需要156元．求x，y的值；(2)该平台决定每天对甲、乙两种水果共进行销售，其中甲种水果的数量不超过，平台每天售完水果能获利2500元吗？ 【答案】(1)x，y的值分别为8，12(2)不能 【分析】本题主要考查了二元一次方程方程组的应用、一次函数的应用等知识点，正确列出方程组和函数解析式成为解题的关键．（1）先根据题意列出方程组，然后求解即可； （2）先根据题意列出一次函数解析式，然后根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ，解得：，∴x，y的值分别为8，12． （2）解：设甲种水果售出，则乙种水果售出，该平台利润为w元，则 ， ∵，∴w随m增大而增大， ∵∴当时，w最大，且最大值为2400元． ∴每天售完1000kg水果获利无法达到2500元． 1．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元：黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（    ） A．10元 B．9元 C．8元 D．6元 【答案】D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设A、B、C三种商品的单价分别为x元，y元，z元，则，再解方程组即可得到答案． 【详解】解：设A、B、C三种商品的单价分别为x元，y元，z元， 由题意得， 得：，∴， ∵x、y都是正整数，∴是正整数，∴当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意；∴， ∴黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款6元，故选：D． 2．（22-23七年级下·广西桂林·期中）已知是从1或2中取值的一列数（1和2都至少有一个），若，则这列数的个数n为 ． 【答案】9或14 【分析】本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是对给出的式子进行正确的变形，得到不定方程然后求整数解即可． 由是从1或2中取值的一列数和2都至少有一个，设有个个2，则有个个9，列不定方程解答即可确定正确的答案． 【详解】解：设有个个2，则对应中有个个9， ，，， ∵均为正整数，∴这列数的个数为9或14，故答案为：9或14． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据方程组的解求参数，先求出方程组的解，根据方程组的解为整数，为整数可得或或或或或，进而求出的值即可得到满足条件的所有整数，据此即可求解，正确求出方程组的解是解题的关键． 【详解】解：解方程得，， ∵方程组的解为整数，为整数，∴或，，，，， ∴或或或或或，∴或或或或或，∴或， ∴满足条件的所有整数的和为，故答案为：． 4．（24-25八年级上·成都·校考期末）甲、乙、丙三人各有糖若干块，甲从乙处取来一些糖，使原有糖的块数增加一倍，乙从丙处取来一些糖，使留下的块数增加一倍，丙再从甲处取来一些糖，也使留下的块数增加一倍．这时三人的糖块一样多．开始时，丙有32块糖，则乙原来有 块糖． 【答案】40 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用．根据题意列出方程组，解答即可． 【详解】解：设甲、乙二人原来分别有糖块、块糖，乙从丙处取来块糖． 则根据题意知，甲、乙、丙分别有糖块、、． 乙处糖的转换过程得知，， 由三处糖块一样多可得，，把①代入③，得④； 由得，． 故乙原来有40块糖块．故答案为：40． 5．（24-25八年级上·重庆潼南·期中）已知m为任意的两位数，若m的各位数字不同且不为0，这样的两位数学称为“异同数”．把一个“异同数”的十位和个位数字交换位置，得到一个新的两位数，把这两个数相加的和除以11的商记为．例如对调后的两位数为54，这两个数的和为99，，所以．计算： ．若a，b都是“异同数”，（，x，y为整数）当时，则的最大值为 ． 【答案】 7 136 【分析】本题考查求二元一次方程的整数解，理解新定义是解题的关键．根据题目中的新定义求解第一空；根据“异同数”的定义列出代数式，得出方程，结合方程的整数解可求解． 【详解】解：； ， ，， ，x，y为整数， ∴当时，，此时，则， 当时，，此时，不符合题意，舍去， 当时，，此时，不符合题意，舍去， 当时，，此时，则， 当时，，此时，则， 当时，，此时．则， ∴的最大值为，故答案为：7，136． 6．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程；(2)在（1）的基础上，求方程组的解． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的步骤及巧用整体思想是解题的关键．(1)根据解二元一次方程组的步骤对所给方程组进行求解即可； (2)将和看作一个整体，得出关于m，n的二元一次方程组，再对其进行求解即可． 【详解】（1）解：，得，，， 将代入①得，，， 所以原方程组的解为； （2）解：由题知，将和看作一个整体， 则，解得，所以原方程组的解为． 7．（24-25九年级上·福建福州·自主招生）甲乙分别从A、B两地出发，相向而行，同时丙从B出发骑摩托车往返两次，甲乙相遇时，丙正好在去B路上碰到他们；如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们；如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B．问摩托车走完全程要多久？ 【答案】摩托车走完全程要216分钟． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设A、B两地的距离为S，按照原速同时出发时，t分钟甲乙两人相遇，则，据此可得，再根据如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们推出，可得；再根据如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B得到，则，进而可得，，据此求出摩托车需要的时间即可． 【详解】解：设A、B两地的距离为S，按照原速同时出发时，t分钟甲乙两人相遇， 由题意得，，∴； ∵如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们， ∴，∴， ∴，∴； ∵如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B， ∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴分钟 答：摩托车走完全程要216分钟． 8．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）某加工厂生产大、小两种型号的书包．5个大书包和6个小书包成本需320元，4个大书包和3个小书包成本需220元．该工厂每日生产1000个书包，并按照大书包每个75元，小书包每个40元的价格出售，每日可获利润26000元． (1)该工厂生产的两种书包每个成本各是多少元？ (2)为提高工厂效益，现增加生产线，每日可多生产650个书包，全部卖出后，此时大、小书包利润相同．求额外增加的生产线，每天生产大小书包各多少个？ 【答案】(1)该工生产的大书包和小书包的每个成本各是40元，20元 (2)额外增加的生产线，每天生产大小书包各200个，450个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用： （1）设该工厂生产的大书包和小书包的每个成本各是x元，y元，根据个大书包和6个小书包成本需320元，4个大书包和3个小书包成本需220元列出方程组求解即可；（2）设原来每天生产大书包m个，小书包n个，根据生产1000个书本一共获利26000元列出方程求出；设额外增加的生产线，每天生产大小书包各s个，t个，再根据大小书包的利润相同列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：设该工厂生产的大书包和小书包的每个成本各是x元，y元， 由题意得，，解得， 答：该工生产的大书包和小书包的每个成本各是40元，20元； （2）解：设原来每天生产大书包m个，小书包n个， 由题意得，，解得， ∴原来每天生产大书包400个，小书包600个； 设额外增加的生产线，每天生产大小书包各s个，t个， 由题意得， ， 答：额外增加的生产线，每天生产大小书包各200个，450个． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二元一次方程组 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 题型一 二元一次方程（组）相关概念 题型二 二元一次方程（组）的解 题型三 解二元一次方程组（代入消元法与加减消元法） 题型四 二元一次方程组的特殊解法（换元法与构造法） 题型五 二元一次方程组的错解还原问题 题型六 二元一次方程组的同解问题 题型七 三元一次方程组及解法 题型八 二元一次方程组的实际应用 题型九 二元一次方程组与一次函数 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 二元一次方程（组）相关概念 ⭐技巧积累与运用 1）二元一次方程：含有两个未知数，且 所含未知数的次数项的次数都是1的方程。 2）将几个相同未知数的一次方程联合起来，就组成了二元一次方程组。 注：①在方程组中，相同未知数必须代表同一未知量；②二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而成，方程个数也不一定是两个。 3）判断二元一次方程组的方法：①方程组中是否一共有两个未知数;②含未知数的项的次数是否都是1;③是否含有多个方程组成. 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）是关于，的二元一次方程，则 ． 二元一次方程（组）的解 ⭐技巧积累与运用 1）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对） 2）二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解。 3）检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解。 注：方程组中只要有一个方程带入后不成立，则不是方程的解。 1．（23-24八年级上·山东济南·期中）是下面哪个二元一次方程的解（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）若是关于、的方程的一个解，则的值是（   ） A．4 B． C．8 D． 3．（23-24七年级下·全国·期末）写出一个二元一次方程，使它的一个解为： ． 解二元一次方程组（代入与加减消元法） ⭐技巧积累与运用 1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法。 2)代入消元法的步骤：①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程。③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解。 3）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法。 4）加减消元法步骤：①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值。 1．（24-25八年级上·山东济南·期中）解方程组(1)；(2)． 2．（24-25八年级上·山东济南·期中）解方程组：(1)；(2)． 二元一次方程组的特殊解法（换元法与构造法） ⭐技巧积累与运用 解二元一次方程组的过程实质上是转化过程，因此在解方程组时，要观察方程组的特点，根据方程组的不同特点，灵活运用解题技巧，选用更简便的方法来解题。 1．（24-25八年级上·山东济南·期中）已知，则 ． 2．（23-24七年级下·云南红河·期末）学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组．让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法： 解：将②变形为，③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，解得．方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 3．（2024·山西大同·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应的任务． 换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，变量求出结果之后，返回去求原变量的结果，换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，下面以一个例题来说明． 例1：计算：． 解：设，则原式． 请你利用上述方法解答下列问题：(1)计算：； (2)已知方程组的解是，则方程组的解是 ． 二元一次方程组的错解还原问题 ⭐技巧积累与运用 给出的一组方程组的两个解，其中一个解是错误的，求题目中的未知字母的值。做这类题目的时候，根据题目的意思，哪一个看错了，就不带入哪一个，只带入正确的哪一个，在组合求出字母参数即可。 1．（23-24七年级下·广东·期中）李宁准备完成题目：解二元一次方程组发现系数“□”印刷不清楚．张老师说该题标准答案的结果x，y是一对相反数，通过计算说明原题中“□”是几？ 2．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）小李和小张共同解关于x，y的二元一次方程组由于粗心，小李看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小张看错了方程②中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解． 3．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期中）小明给小红出了一道数学题：“如果我将二元一次方程组第一个方程中y的系数遮住，第二个方程中x的系数遮住，并且告诉你 是这个方程组的解，你能求出我原来的方程组吗？”请你帮小红解答这个问题. 二元一次方程组的同解问题 ⭐技巧积累与运用 关于二元一次方程组同解的问题，即指2个二元一次方程组的解相同，也就是两个二元一次方程(组)中方程的解相同。因为每个二元一次方程组中的两个方程的解相同，才能够组成一个二元一次方程组，既然2个二元一次方程组的解相同，故可将两个二元一次方程组中不含字母参数的两个方程组成新的方程组，求出未知数的值，再将未知数的值代入含有字母参数的方程组成的方程组中求出字母参数的值。 1．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则常数的值是 ． 2．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知关于、的方程组 和 有相同的解，则的值为 ． 3．（2024·贵州毕节·三模）已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为（   ） A． B． C．2 D．无法计算 三元一次方程组及解法 ⭐技巧积累与运用 1.三元一次方程组的概念 1）三元一次方程组：方程中有三个未知数，且未知数的项的次数都是一的方程组。 2.解三元一次方程组的方法和步骤 1）步骤：三元一次方程二元一次方程一元一次消元。 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）【数学问题】解方程组 【思路分析】小明观察后发现可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的． (1)【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）解方程组：(1) (2) 二元一次方程组的实际应用 ⭐技巧积累与运用 列方程组解应用题步骤 1）列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。 2）解应用题的一般步骤为：①读题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式；②设元：以好表达等量关系式为原则，设不知道的量为未知数；③列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程；④解答。 1．（24-25八年级上·重庆·期中）在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图1、图2所示．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图表示的方程组是，类似的，图2所示的算筹图表示的方程组是（   ） 图1                     图2 A． B． C． D． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）甲、乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔相遇一次；如果同向而行，每隔相遇一次．则（   ） A．甲每分跑圈，乙每分跑圈 B．甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈 C．甲每分跑圈，乙每分跑圈 D．甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈 3．（24-25八年级上·全国·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某4S店用120万元购进A，B两种新能源汽车进行销售，这两种汽车的进价和售价如下表所示，全部销售后可获毛利润16万元．[毛利润（售价进价）销售量] A B 进价/（万元/辆） 15 12 售价/（万元/辆） 16.5 14 (1)该4S店购进A，B两种新能源汽车各多少辆？(2)由于销售状况特别好，该4S店决定再用240万元同时购进A，B两种新能源汽车（240万元资金刚好用完且两种汽车均购买），有哪几种购买方案？ 4．（22-23七年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计制作木箱方案？ 素材1 如图1，是一个无盖的木箱，该木箱由A，B，C三种型号的木板制作而成，而三种型号的木板是由一个大长方形板材按如下甲、乙、丙三种不同切割方式进行无废料切割得到．已知． 素材2 若有24张长方形板材，将板材按以上三种方式进行切割，无材料剩余（恰好可以制作若干个木箱）． 素材3 若有20张B型号木板和m张长方形板材，将板材按以上三种方式进行切割，无材料剩余（恰好可以制作若干个木箱）． 问题解决 任务1 确定型号大小 求A，B，C三种型号木板的面积． 任务2 探究木箱容量 一共可以制作多少个木箱？并求出木箱的总体积． 任务3 拟定制作方案 请你设置一种合适的切割方案，并指出m的值． 二元一次方程组与一次函数 ⭐技巧积累与运用 1）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 2）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 3）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 4）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立. 1．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，已知一次函数和的图象交于点M，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 2．（23-24八年级上·四川巴中·校考期末）已知一次函数与的图象交点坐标是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）综合与实践 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失．    阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水8秒，则再接温水的时间为__________秒． (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是27秒，求乙同学分别接温水和开水所用的时间．(3)丙同学要接一杯700的温水和开水混合的水，先接温水再接开水，若先接x秒的温水，再接开水，请问最后水杯中的温度y与x的关系；若要接一杯的水，要先接多少秒温水？ 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如果表中给出的每一对，的值都是二元一次方程的解，则表中的值为（    ） 0 1 2 5 3 1 A． B． C．0 D．7 2．（23-24九年级下·四川绵阳·期中）如图，每只蜻蜓有6条腿，2对翅膀，每只蝉有6条腿，1对翅膀．现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，则蜻蜓和蝉的只数分别是（   ） A．3，4 B．4，3 C．2，5 D．5，2 3．（2024·山东枣庄·一模）已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，求这个两位数，所列方程组正确的是（　　） A． B．C． D． 5．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）芳芳和元元一起玩用火柴棍摆图形的游戏，三角形和正方形一共摆了10个（如图，任意两个图形之间没有公共边）．如果她们一共用了36根火柴棍，那么她们摆了个 三角形， 正方形． 6．（24-25八年级上·四川成都·期中）若是关于x，y的二元一次方程，则 ． 7．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）已知关于x、y的方程组和的解相同，则代数式值为 ． 8．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“和谐方程组”．若关于x，y的方程组是“和谐方程组”，则a的值为 ． 9．（24-25八年级上·山东德州·开学考试）已知关于x，y的方程组，给出以下结论：①是方程组的一个解；②当时，x，y的值互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④x，y之间的数量关系是．其中，正确的是 （填序号）． 10．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）用适当方法解方程组：(1) (2) 11．（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为． (1)求a，b的值；(2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值． 12．（24-25八年级上·广东深圳·期中）某网购平台开展“爱心助农”活动，准备在平台推送两种特色水果．经过对往年情况的调查，这两种水果的进价和售价如下表所示： 种类 进价（元/） 售价（元/） 甲 x 12 乙 y 14 (1)购进甲种水果和乙种水果需要160元；购进甲种水果和乙种水果需要156元．求x，y的值；(2)该平台决定每天对甲、乙两种水果共进行销售，其中甲种水果的数量不超过，平台每天售完水果能获利2500元吗？ 1．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元：黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（    ） A．10元 B．9元 C．8元 D．6元 2．（22-23七年级下·广西桂林·期中）已知是从1或2中取值的一列数（1和2都至少有一个），若，则这列数的个数n为 ． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 4．（24-25八年级上·成都·校考期末）甲、乙、丙三人各有糖若干块，甲从乙处取来一些糖，使原有糖的块数增加一倍，乙从丙处取来一些糖，使留下的块数增加一倍，丙再从甲处取来一些糖，也使留下的块数增加一倍．这时三人的糖块一样多．开始时，丙有32块糖，则乙原来有 块糖． 5．（24-25八年级上·重庆潼南·期中）已知m为任意的两位数，若m的各位数字不同且不为0，这样的两位数学称为“异同数”．把一个“异同数”的十位和个位数字交换位置，得到一个新的两位数，把这两个数相加的和除以11的商记为．例如对调后的两位数为54，这两个数的和为99，，所以．计算： ．若a，b都是“异同数”，（，x，y为整数）当时，则的最大值为 ． 6．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程；(2)在（1）的基础上，求方程组的解． 7．（24-25九年级上·福建福州·自主招生）甲乙分别从A、B两地出发，相向而行，同时丙从B出发骑摩托车往返两次，甲乙相遇时，丙正好在去B路上碰到他们；如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们；如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B．问摩托车走完全程要多久？ 8．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）某加工厂生产大、小两种型号的书包．5个大书包和6个小书包成本需320元，4个大书包和3个小书包成本需220元．该工厂每日生产1000个书包，并按照大书包每个75元，小书包每个40元的价格出售，每日可获利润26000元． (1)该工厂生产的两种书包每个成本各是多少元？ (2)为提高工厂效益，现增加生产线，每日可多生产650个书包，全部卖出后，此时大、小书包利润相同．求额外增加的生产线，每天生产大小书包各多少个？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$