专题04 图形的平移与旋转（考点串讲）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（鲁教版五四制）

八年级新鲁教版（2024）数学上册期末考点大串讲 串讲04 图形的平移与旋转 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大常考点：知识梳理 五大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 期末真题对应考点练 考点透视 知识点1．平移的概念及性质 知识点2．坐标系中的平移 1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这 样的图形运动称为平移.平移不改变物体的形状和大小； 注：平移要素：平移方向、平移距离. 2. 平移的性质：对应点所连线段 (或在一条直线上)且相等，对 应线段 (或在一条直线上)且相等，对应角相等. 平行 平行 1. 坐标系中平移点坐标的变化： 横移横变，纵移纵变，正向相加，负向相减. 　 旋转的概念及性质 知识点3. 1. 旋转的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个 角度，这样的图形运动称为旋转. 2. 旋转的性质： (1)对应点到旋转中心的距离 ⁠； (2)在意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角； (3)对应线段相等，对应角相等 相等 知识点4.　 中心对称的概念及性质 1. 中心对称的概念：如果把一个图形绕着某一点旋转 °，它能 够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称. 2. 中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连线段都经 过 ，且被对称中心 ⁠. 180 对称中心 平分 题型剖析 题型一 平移的性质 例1. 如图，已知△ABC的周长为20 cm，现将△ABC沿AB方向平移2 cm至△A′B′C′的位置，连接CC′，则四边形AB′C′C的周长为( ) A．20 cm B．22 cm C．24 cm D．26 cm C 举一反三 1. 如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿直线BC平移到△DCE的位置，连接BD，求△ABC平移的距离和BD的长． 题型二 旋转的性质 例1. 如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为( ) A．35° B．40° C．50° D．65° C 举一反三 1.如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB. (1)请判断△ACC′的形状，并说明理由． (2)求∠BAB′的度数． 解：(1)△ACC′是等腰三角形，理由如下： ∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置， ∴AC＝AC′，∴△ACC′是等腰三角形　 (2)∵CC′∥AB，∴∠C′CA＝∠CAB＝70°， ∵AC＝AC′，∴∠AC′C＝∠ACC′＝70°， ∴∠CAC′＝40°， ∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，∴∠CAC′＝∠BAB′＝40° 题型三 平移与旋转的坐标变换 例1.如图,在正方形ABCD中,A,B,C三点的坐标分别是(-1,2),(-1,0),(-3,0),将正方形ABCD向右平移3个单位,则平移后点D的坐标是( ) A.(-6,2) B.(0,2) C.(2,0) D.(2,2) B D -2 -3 x y B A C 2 1 -1 O -1 1 例2.如图,△DEF是由△ABC绕某点旋转得到的,则这点的坐标是_______. (0,1) 举一反三 1.在如图的正方形网格中,△ABC经过平移后得到△A1B1C1,已知在AC上一点P(2.4,2)平移后的对应点为P1,点P1绕点O逆时针旋转180º,得到对应点P2,则P2点的坐标为_______. 2.如图,在平面直角坐标系中,点B在第一象限,点A在x轴的正半轴上,∠AOB=∠B=30º,OA=2.将△AOB绕点O逆时针旋转90º,点B的对应点B´的坐标是( ) A.(-1,2+) B.(-,3) C.(-,2+) D.(-3,) (1.6，1) B 题型四 中心对称 例1 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）． 　　　A　　　　　 B　　　　　 C　　　　　D D 【解析】 图A、图B都是轴对称图形，图C是中心对称图形，图D既是中心对称图形也是轴对称图形. 点拨：中心对称图形和轴对称图形的主要区别在于一个是绕一点旋转，另一个是沿一条直线对折.这是易错点，也是辨别它们不同的关键 举一反三 1．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【详解】 解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意； B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 题型五 坐标系中的几何图形变换 例1: 如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其 中，C点坐标为（1，2）． （1）写出点A、B的坐标：A（ ， ）、B（ ， ）； （2）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位 长度，得到△A′B′C′，请画出相应图形，则 △A′B′C′的三个顶点 坐标分别是 A′（ ， ）、 B′（ ， ）、C′（ ， ）； （3）求△ABC的面积． 2 -1 4 3 0 0 2 4 -1 3 【分析】（1）根据图形写出相应点的坐标即可；（2）画出平移后图形，根据图形解题即可，或是让三个点的横坐标减去2，纵坐标加1即可得到平移后相应点的坐标； （3）△ABC的面积等于边长为3,4的长方形的面积减去3个小直角三角形的面积. 解： （2）平移后图形如图所示； （3）△ABC的面积 S=3×4﹣2×    ×1×3﹣    ×2×4 =5．                                A′ B′ C′ 举一反三 1.如图，在平面直角坐标系中，P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后点P的对应点为 P1（a+6，b+2）. （1）请画出上述平移后的△A1B1C1，并写出点A、C、A1、C1的坐标； （2）求出以A、C、A1、C1为顶 点的四边形的面积． 解：(1)△A1B1C1如图所示；各点的坐标为：A （﹣3，2）、C（﹣2，0）、A1（3，4）、C1（4，2）； (2)如图，连接AA1、CC1；△AC1C的面积                         △AC1A1的面积                                     则四边形ACC1A1的面积为7+7=14. 易错易混 易错题型一——利用图形平移解决面积问题 易错题型二——平移与坐标应用 易错题型三——图形的旋转应用 易错题针对训练 1.已知点O是△ABC内一点,连接OA,OB,将△BAO绕点B顺时针旋转如图所示,若△ABC是等边三角形,OA=5,OB=12,△BAO旋转后得到 △BCD,连接OC,OD,已知OC=13.求: (1)OD的长; 解:(1)∵将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD,∴△BAO≌△BCD. ∴∠ABO=∠CBD,BO=BD. ∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°. ∵∠ABO=∠CBD,∴∠ABO+∠OBC=∠CBD+∠OBC.∴∠OBD=∠ABC=60°. ∵BO=BD,∴△BOD是等边三角形.∴OD=OB=12. 2.如图所示,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,1),将线段AB平移,使其一个端点到C(3,2),则平移后另一端点的坐标为　 　.  (1,3)或(5,1) 3.如图所示,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1), B(4,2),C(3,4). (1)画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1; (2)画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2,并写出点A2,B2,C2的坐标; (3)画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后的△A3B3C3,并写出点A3,B3,C3的坐标. 解:(1)如图所示,△A1B1C1为所作. (2)如图所示,△A2B2C2为所作,点A2,B2,C2的坐标分别为(-1,-1),(-4, -2),(-3,-4). (3)如图所示,△A3B3C3为所作,点A3,B3,C3的坐标分别为(1,-1),(2,-4), (4,-3). 押题预测 练习&巩固 1.[2023年烟台市8年级上册期末] △OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，其三个顶点都在格点上． (1)将△OAB先向下平移4个单位长度，再向右平移1个单位长度得到△O1A1B1，请画出平移后的△O1A1B1，此时点A1的坐标为________，点B1的坐标为________； (2，0) (5，－2) 解：(1)如图，△OA1B1即为所求； (2)将△OAB绕着点O逆时针方向旋转90°得到△OA2B2，请画出△OA2B2. 解：(2)如图，△OA2B2即为所求． 2． [2023年泰安市8年级期末] 解：(1)旋转中心是点A； 解：(2)旋转的角度即为∠CAE＝65°； 如图，已知∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC，如果△ABC经过旋转后与△ADE重合． (1)旋转中心是哪个点？ (2)旋转的度数是多少？ 解：(3)根据旋转的性质知，∠EAC＝∠BAD＝65°， ∠C＝∠E＝70°. ∴在Rt△ACF中，∠CAF＝90°－∠C＝20°， ∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAF＝65°＋20°＝85°. 即∠BAC的度数为85°. (3)∠BAC的度数是多少？ 如图．∵AD⊥BC于点F，则∠AFC＝90°， 3. [2023年济宁市8年级上册期末] 如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝12 cm，点D在AC上，DC＝4 cm，将线段DC沿CB方向平移7 cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，求△EBF的周长． 解：∵将线段DC沿着CB的方向平移7 cm得到线段EF， ∴EF＝DC＝4 cm，FC＝7 cm，CD∥EF， ∴∠C＝∠EFB， ∵AB＝ AC，BC＝12 cm， ∴∠B＝∠C，BF＝12－7＝5 (cm)， ∴∠B＝∠EFB， ∴BE＝EF＝4 cm， ∴△EBF的周长为4＋4＋5＝13(cm). 4. [2023年临沂市8年级上册期末] 下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成的,每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影,请在余下的6个空白小正方形中,按下列要求涂上阴影: (1)选取1个涂上阴影,使阴影部分组成一个轴对称图形,但不是中心对称图形; 解:如图①所示. 图① (2)选取1个涂上阴影,使阴影部分组成一个中心对称图形,但不是轴对称图形; 解:如图②所示. 图② 解：∵△DCE由△ABC平移而成， ∴△ABC平移的距离为：BC＝2， ∴CD＝CB＝CE＝2， ∴∠BDE＝90°，∴△BED是直角三角形， ∵BE＝BC＋CE＝4，DE＝CE＝2， ∴BD＝ eq \r(BE2－DE2) ＝2 eq \r(3) $$