精品解析：安徽省合肥市庐江县 柯坦初级中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

柯坦中学九年级上学期月考 数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称及中心对称的定义，由轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后两部分可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，绕对称中心旋转180度后与原图重合，逐选项判断即可，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念是解决此题的关键． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A、是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 已知的直径为，点在内，则线段的长度可以是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，设为圆半径，为点到圆心距离．当时，点在圆内；当时，点在圆外；当时，点在圆上；据解决本题的关键是根据点到圆心的距离与半径的大小关系判断的长度． 【详解】解：的直径为， 的半径为， 点在内， ， 的长度可以是．   故选： D． 3. 有11个杯子，其中有一等品5个，二等品4个，次品2个，任取1个杯子是次品的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率，难度适中，根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵有11个杯子，其中有一等品5个，二等品4个，次品2个，任取1个杯子可能出现11种结果，是次品的有2种可能， ∴次品的概率是， 故选：C． 4. 抛物线是由某抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，此抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到， 故选：B． 5. 若m，n是关于x的方程的两个根，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，是一元二次方程的两根时，．先根据一元二次方程根与系数的关系求出，再代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】解：∵m，n是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：A． 6. 一个不透明的盒子中装有1个黑球，2个白球，这些球除颜色外没有其他差别，随机从盒子中摸出2个球，下列事件属于必然事件的是（ ） A. 摸出的2个球中有黑球 B. 摸出的2个球中有白球 C. 摸出的2个球都是黑球 D. 摸出的2个球都是白球 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件，根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念逐项分析即可得解，熟练掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解此题的关键． 【详解】解：A、摸出的2个球中有黑球是随机事件，故不符合题意； B、摸出的2个球中有白球是必然事件，故符合题意； C、摸出的2个球都是黑球是不可能事件，故不符合题意； D、摸出的2个球都是白球是随机事件，故不符合题意； 故选：B． 7. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质、勾股定理等知识点，正确理解旋转的性质是解答本题的关键． 先根据旋转的性质可知：，，再应用勾股定理求出的长，又由旋转的性质可得，最后再用勾股定理求解即可． 【详解】解：由旋转的性质得到：，， ∴，，， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 故选． 8. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 本题考查了正多边形与圆，含度角的直角三角形的性质，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】如图，过作于， 圆的内接正十二边形的圆心角为， ， ， ， 这个圆的内接正十二边形的面积为， 故选：B． 9. 已知二次函数的、的部分对应值如下表： 0 1 2 3 5 1 1 下列结论中正确的个数有（ ） ①；②抛物线的对称轴是直线；③方程有一个根，且；④不等式的解集是；⑤是方程的根． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据表格确定二次函数图象的开口方向以及对称轴，结合表格数据即可对各个选项进行判断． 【详解】解：由表格可知：当越来越大，先减小后增大，即二次函数图象开口向上， 则，故①错误； 由表格可知：当，，当，，即抛物线的对称轴为，故②正确； 当，，当，，即在和0之间，函数值都大于0， 则方程的根不在之间，故③错误； 不等式，即，根据表格数据可知当时不等式，故④正确； 当时，，即，故⑤正确； 正确的选项有3个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质的知识，解答本题的关键是根据表格发现二次函数图象的对称轴以及开口方向，此题难度不大． 10. 如图，，，以点为圆心，为半径作弧交于点，交于点，若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求不规则图形的面积，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，扇形的面积．正确的分割图形，利用分割法求面积是解题的关键．连接，根据直角三角形的性质求出，证明为等边三角形，得到，，得到，得到，推出阴影部分的面积等于，计算即可． 【详解】解：连接， ，，， ，， ， 为等边三角形， ，， ，， ， ， 阴影部分的面积为， 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 一元二次方程配方为，则的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查利用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题关键．将原方程变形为的形式，即可得出k的值． 【详解】解：， ， ， ， ∴． 故答案为：2． 12. 一个不透明的盒子里装有个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀任意摸出一个球记下颜包后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中红球的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率求数量，一元一次方程的应用，根据利用频率估计概率得摸到黄球的频率稳定在，进而可估计摸到黄球的概率，根据概率公式列方程求解即可，正确理解通过大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：设盒子中红球的个数为， 根据题意，得：， 解得：，即盒子中红球的个数为， 故答案为：． 13. 如图是某隧道截面，由部分抛物线和矩形构成，以矩形的顶点为坐标原点，所在直线为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系，抛物线的解析式为，顶点为，且，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握矩形的性质和二次函数的性质是解题的关键． 根据矩形的性质和抛物线的对称性求解． 【详解】由题意得：， 设， 抛物线的对称轴为：直线， 在矩形中，， 、关于对称， ，， 解得， ． 故答案为：． 14. 如图1，以边长为8的正方形纸片的边为直径作，以点为端点作，交于点，沿将四边形剪掉，使绕点逆时针旋转（如图2），设旋转角为，旋转过程中与交于点． （1）当时，线段的长为________； （2）当________，与相切． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）接、，判断出是等边三角形，即可得出答案； （2）根据等于的直径，可得出当与相切时，点在上，即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，连接、， ， 以边长为8的正方形纸片的边为直径作， ，， 由题意得：，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：； （2）如图， ， 以边长为8的正方形纸片的边为直径作， ，和圆的直径长度相等， 当与相切时，点在上， 故此时可得， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的； （2）在（1）条件下，画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的，的面积为______． 【答案】（1）见解析 （2）图见解析；6 【解析】 【分析】本题主要考查了作中心对称图形与旋转图形，写出点的坐标，求图形面积，正确得出对应点位置是解题关键． （1）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得； （2）分别作出点绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得；利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，为所求作； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求作； ． 16. 已知关于的方程． （1）若方程的一个实根是3，求实数的值． （2）求证：无论取什么实数，方程总有实数根． 【答案】（1） （2）证明：∵， ∴ ； ∴无论取什么实数，方程总有实数根． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，根的判别式： （1）将代入方程，进行求解即可； （2）求出判别式的符号，即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意，得：， 解得：； 【小问2详解】 略 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）根据对称轴为直线，且与轴交于点，求出与轴的另一个交点坐标为，然后根据交点式即可求解； （）先由，则当时，有最小值，最小值为，进而根据离对称轴的远近判断函数值的大小，进而求得的取值范围； 本题考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，且与轴交于点， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴抛物线解析式为，即； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∵的对称轴为直线，， ∴离对称轴越远，的值越大， ∵， ∴当时，， ∴当时，的取值范围为． 18. 笼子里关着一只小松鼠（如图），管理员决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（或），再经过第二道门（或或）才能出去． （1）松鼠经过第一道门时，从口出去的概率是_____； （2）请用画树状图或列表的方法表示松鼠出笼子的所有可能路线（经过两道门），并求松鼠经过门出去的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的应用，掌握概率的求解方法以及画树状图或列表法是解题关键． （1）根据松鼠经过第一道门时，要么选择，要么选择，即可求解； （2）根据题意画出树状图，找出总的可能情况和松鼠经过门出去的情况，即可求出概率． 【小问1详解】 解：∵松鼠经过第一道门时，要么选择，要么选择， ∴松鼠经过第一道门时，从口出去的概率是， 故答案为： 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有6种等可能的情况，其中松鼠经过门出去的情况有2种， ∴松鼠经过门出去的概率是 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，四边形内接于，，是的直径，连接． （1）求的度数； （2）若直径为4，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，根据题意求出； （2）连接，根据圆周角定理得到，，根据直角三角形的性质求出，结合勾股定理即可求出的长度． 【小问1详解】 ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 连接， 由圆周角定理得：， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 20. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时；可全部租出：若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元，同时尽可能让利居民？ 【答案】（1）道路的宽为米； （2）每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元． 【解析】 【分析】（）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程，解答并检验即可； （）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据“月租金每个车位的月租金车位数”，列出方程并解答即可； 本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据道路的宽为米， 根据题意得，， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米； 【小问2详解】 解：设月租金上涨元，停车场月租金收入为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵尽可能让利居民， ∴， 答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元． 六、（本题满分12分） 21. 《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学一门独立课程．为培养同学们爱劳动的习惯，某校开展了“做好一件家务”主题活动（家务类型为：洗衣、刷碗、做饭、拖地），要求人人参与班劳动委员将本班同学做家务的信息绘制成了如图两幅尚不完整的统计图，请根据统计图信息，回答下列问题： （1）班学生共有 人；扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数为 ；若该校共有初中学生1500人，则可估计出该校初中学生中参与“做饭”的人数约有 人； （2）班评选出了近期做家务表现优秀的一男三女共四名同学，准备从这四名同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率． 【答案】（1）50；；150 （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体： （1）用条形统计图中“刷碗”的人数除以扇形统计图中“刷碗”的百分比可得9.1班的学生人数；用乘以“洗衣”的人数所占的百分比，即可得扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数；求出9.1班参与“做饭”的人数，根据用样本估计总体，用1500乘以“做饭”的人数所占的百分比，即可得出答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及所选同学中有男生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解： 9.1班学生共有（人）． 扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数为． 9.1班参与“做饭”的人数为（人）， ∴估计该校初中学生中参与“做饭”的人数约有（人）． 故答案为：50；；150． 【小问2详解】 解：列表如下： 男 女 女 女 男 （男，女） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，女） （女，女） 共有12种等可能的结果，其中所选同学中有男生的结果有：（男，女），（男，女），（男，女），（女，男），（女，男），（女，男），共6种， ∴所选同学中有男生的概率为． 七、（本题满分12分） 22. 如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，当，时，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， 点必在上，即：是直径， ， ， ， ， ∵， ， ， ，即：， 点在上， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的面积公式，切线的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键． （1）先判断出是圆的直径，再判断出，即可得出结论； （2）先判断出，进而求出，再用勾股定理求出，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 即， ，， 在中，， ， ． 八、（本题满分14分） 23. 如图，以点为顶点的抛物线交直线于另一点，过点作平行于轴的直线，交该抛物线于另一点． （1）用含的代数式表示的值； （2）若． ①求该抛物线的函数解析式； ②在直线下方的抛物线上，是否存在点，使得的面积和的面积比是？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）① ②存在；或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，面积问题，列代数式，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由题意得，点，将点的坐标代入一次函数解析式即可； （2）①，抛物线的对称轴为直线，则，可求点，将点的坐标代入抛物线的解析式得：，解方程即可求出m值，即可求出抛物线的表达式； ②将共高三角形面积的比化为高的比，即，即，解得，则，解得或，所以点或． 【小问1详解】 解：由题意得，点，抛物线的对称轴为直线， 将点的坐标代入一次函数解析式得：； 【小问2详解】 解：①，抛物线的对称轴为直线，则， 当时，，即点， 将点的坐标代入抛物线的解析式得：， 解得或． 当时，，不合题意，舍去，则，，即点， 所以抛物线的解析式为． ②因为的面积和的面积比是，且和的底均为， 所以面积的比等于高的比，即，即，解得， 所以，解得或，所以点或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柯坦中学九年级上学期月考 数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的直径为，点在内，则线段的长度可以是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3. 有11个杯子，其中有一等品5个，二等品4个，次品2个，任取1个杯子是次品的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线是由某抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，此抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 若m，n是关于x的方程的两个根，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 6. 一个不透明的盒子中装有1个黑球，2个白球，这些球除颜色外没有其他差别，随机从盒子中摸出2个球，下列事件属于必然事件的是（ ） A. 摸出的2个球中有黑球 B. 摸出的2个球中有白球 C. 摸出的2个球都是黑球 D. 摸出的2个球都是白球 7. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 8. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 9. 已知二次函数的、的部分对应值如下表： 0 1 2 3 5 1 1 下列结论中正确的个数有（ ） ①；②抛物线的对称轴是直线；③方程有一个根，且；④不等式的解集是；⑤是方程的根． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 如图，，，以点为圆心，为半径作弧交于点，交于点，若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 一元二次方程配方为，则的值是______． 12. 一个不透明的盒子里装有个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀任意摸出一个球记下颜包后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中红球的个数为______． 13. 如图是某隧道截面，由部分抛物线和矩形构成，以矩形的顶点为坐标原点，所在直线为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系，抛物线的解析式为，顶点为，且，则点的坐标为______． 14. 如图1，以边长为8的正方形纸片的边为直径作，以点为端点作，交于点，沿将四边形剪掉，使绕点逆时针旋转（如图2），设旋转角为，旋转过程中与交于点． （1）当时，线段的长为________； （2）当________，与相切． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的； （2）在（1）条件下，画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的，的面积为______． 16. 已知关于的方程． （1）若方程的一个实根是3，求实数的值． （2）求证：无论取什么实数，方程总有实数根． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当时，求的取值范围． 18. 笼子里关着一只小松鼠（如图），管理员决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（或），再经过第二道门（或或）才能出去． （1）松鼠经过第一道门时，从口出去的概率是_____； （2）请用画树状图或列表的方法表示松鼠出笼子的所有可能路线（经过两道门），并求松鼠经过门出去的概率． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，四边形内接于，，是的直径，连接． （1）求的度数； （2）若直径为4，求的长． 20. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时；可全部租出：若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元，同时尽可能让利居民？ 六、（本题满分12分） 21. 《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学一门独立课程．为培养同学们爱劳动的习惯，某校开展了“做好一件家务”主题活动（家务类型为：洗衣、刷碗、做饭、拖地），要求人人参与班劳动委员将本班同学做家务的信息绘制成了如图两幅尚不完整的统计图，请根据统计图信息，回答下列问题： （1）班学生共有 人；扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数为 ；若该校共有初中学生1500人，则可估计出该校初中学生中参与“做饭”的人数约有 人； （2）班评选出了近期做家务表现优秀的一男三女共四名同学，准备从这四名同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率． 七、（本题满分12分） 22. 如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，当，时，求的长． 八、（本题满分14分） 23. 如图，以点为顶点的抛物线交直线于另一点，过点作平行于轴的直线，交该抛物线于另一点． （1）用含的代数式表示的值； （2）若． ①求该抛物线的函数解析式； ②在直线下方的抛物线上，是否存在点，使得的面积和的面积比是？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $