导数拓展专题3：恒（能）成立之分类讨论与隐零点问题【6大题型】-【寒假衔接】2024-2025学年高二数学寒假精品讲义

【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 导数拓展专题3 恒（能）成立之分类讨论与隐零点问题 模块一 题型·解读 【题型1】不含参函数的隐零点问题 【题型2】含参函数的隐零点问题 【题型3】利用“隐零点”解决函数零点个数问题 【题型4】利用“隐零点”解决解答不等式恒成立（证明）问题 【题型5】利用“隐零点”证明不等式 【课后巩固】 模块二 基础知识·梳理 要点诠释：隐零点问题是指对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题. 1、隐零点就是指一个函数可以判断它在某个区间上有一个零点，但是这个零点具体是什么却无法计算或根本不需要计算，只需利用它的存在去解答题目. 2、在求解函数问题时，很多时候都需要求函数在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数在区间I上存在唯一的零点（例如，函数在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是(因为不易求出，所以把零点叫做隐零点)，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法. 知识点01 利用“隐零点”研究极（最）值问题 要点诠释：在利用“隐零点”研究极(最)值问题时,往往利用零点的存在性,对函数的零点设而不求,通过整体代换、构造函数等,再结合题目条件解决问题. 知识点02 利用“隐零点”确定参数取值范围 利用“隐零点”确定参数取值范围的方法：确定函数的单调性和极值点、利用极值点处导数值为零的条件表达参数、代入极值的保号性求出的范围、最后根据的范围和参数表达式求出参数的取值范围. 要点诠释：在求解参数范围时，需要根据求出的最值范围对零点的范围进行调整，以确保求出的参数范围准确.如果隐零点的限定范围合适，无需再缩小隐零点的范围，否则无法准确判断出参数的最大或最小值. 知识点03 利用“隐零点”解答不等式恒成立（证明）问题 要点诠释：利用“隐零点”解答不等式恒成立（证明）问题，关键在于通过设定隐零点，利用函数的单调性、极值等性质，结合不等式的性质进行解决问题.主要策略包括： ①‌运用隐零点式替换‌，简化函数表达式：通过设置隐零点，将复杂的函数表达式转化为更易于处理的形式，如通过替换幂和对数式等，简化问题的求解过程. ②‌借助隐零点搭桥‌，协助描绘函数性态：通过隐零点的设定和分析，可以更好地理解函数的单调性、极值等性质，从而协助解决问题. 模块三 核心题型·训练 【题型1】不含参函数的隐零点问题 【例题1】(多选)已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是(    ) A. B. C. D. 【例题2】已知函数，若，曲线在点处的切线与直线垂直，证明： 【巩固练习1】函数的最小值为(    ) A. B. C. D. 【巩固练习2】已知函数，求的最小值 【题型2】恒（能）成立问题之分类讨论法 【例题1】已知不等式对任意恒成立，则实数的最大值是 . 【例题2】已知不等式对任意恒成立，则实数的最大值是 . 【巩固练习1】设函数，若当时，求的取值范围． 【巩固练习2】已知函数，其中是自然对数的底数． (1)讨论函数的单调性；(2)若在区间上有解，求实数的取值范围． 【题型3】含参函数的隐零点问题 【例题1】已知函数，若在有实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【巩固练习2】（多选）函数在上的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知函数，求的最小值 【题型4】利用“隐零点”解决函数零点个数问题 【例题1】已知是自然对数的底数，函数只有一个零点，则实数a的取值范围为 ． 【巩固练习1】若函数（）有2个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【巩固练习2】已知函数． (1)若函数在点处的切线与直线垂直，求a的值； (2)讨论函数的单调性；(3)若有两个零点，求a的取值范围． 【题型5】利用“隐零点”解决解答不等式恒成立（证明）问题 【例题1】（22-23高二下·广东深圳·期中）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围 ． 【例题2】已知，若，且对任意恒成立，则k的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【巩固练习1】已知函数，时，，则实数的范围是 . 【巩固练习2】已知函数 若曲线在点处的切线方程为，求的值； 若对任意，不等式恒成立，求正整数的最大值． 【巩固练习3】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围. 【题型6】利用“隐零点”证明不等式 【例题1】设函数． 当，求在点处的切线方程； 证明：当时，． 【巩固练习1】已知函数. (1)若在上是减函数，求实数的最大值；（2）若，求证：. 【巩固练习2】给定函数. (1)判断函数的单调性，并求出函数的极值; (2)证明:当时，. 【巩固练习3】已知函数． (1)当时，求的最小值；(2)当时，证明：． 【课后巩固】 1． 已知函数，时，，则实数的范围是 . 2． 已知函数，不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3． 已知，若，且对任意恒成立，则k的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 4． 已知函数． (1)求函数的单调区间；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 5． 已知函数. (1)求的单调区间； (2)设函数.证明： （i）函数有唯一极值点；（ii）若函数有唯一零点，则. 6． 已知. (1)求在点处的切线方程； (2)记的最大值为，求证：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 导数拓展专题3 恒（能）成立之分类讨论与隐零点问题 模块一 题型·解读 【题型1】不含参函数的隐零点问题 【题型2】含参函数的隐零点问题 【题型3】利用“隐零点”解决函数零点个数问题 【题型4】利用“隐零点”解决解答不等式恒成立（证明）问题 【题型5】利用“隐零点”证明不等式 【课后巩固】 模块二 基础知识·梳理 要点诠释：隐零点问题是指对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题. 1、隐零点就是指一个函数可以判断它在某个区间上有一个零点，但是这个零点具体是什么却无法计算或根本不需要计算，只需利用它的存在去解答题目. 2、在求解函数问题时，很多时候都需要求函数在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数在区间I上存在唯一的零点（例如，函数在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是(因为不易求出，所以把零点叫做隐零点)，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法. 知识点01 利用“隐零点”研究极（最）值问题 要点诠释：在利用“隐零点”研究极(最)值问题时,往往利用零点的存在性,对函数的零点设而不求,通过整体代换、构造函数等,再结合题目条件解决问题. 知识点02 利用“隐零点”确定参数取值范围 利用“隐零点”确定参数取值范围的方法：确定函数的单调性和极值点、利用极值点处导数值为零的条件表达参数、代入极值的保号性求出的范围、最后根据的范围和参数表达式求出参数的取值范围. 要点诠释：在求解参数范围时，需要根据求出的最值范围对零点的范围进行调整，以确保求出的参数范围准确.如果隐零点的限定范围合适，无需再缩小隐零点的范围，否则无法准确判断出参数的最大或最小值. 知识点03 利用“隐零点”解答不等式恒成立（证明）问题 要点诠释：利用“隐零点”解答不等式恒成立（证明）问题，关键在于通过设定隐零点，利用函数的单调性、极值等性质，结合不等式的性质进行解决问题.主要策略包括： ①‌运用隐零点式替换‌，简化函数表达式：通过设置隐零点，将复杂的函数表达式转化为更易于处理的形式，如通过替换幂和对数式等，简化问题的求解过程. ②‌借助隐零点搭桥‌，协助描绘函数性态：通过隐零点的设定和分析，可以更好地理解函数的单调性、极值等性质，从而协助解决问题. 模块三 核心题型·训练 【题型1】不含参函数的隐零点问题 【例题1】(多选)已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是(    ) A. B. C. D. 解：函数，， ，易得在递增， ，，所以存在唯一的，使得， 当时，单调递减，当时，单调递增， 即是函数的极小值点，函数无极大值点，  ，即A正确，不正确； 是极值点， ， ，即 C错误，D正确， 故选AD． 【例题2】已知函数，若，曲线在点处的切线与直线垂直，证明： 【解】（1）， ， ， ， 设，则， 设，则， 单调递增， 又， 存在使得即， ， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 【巩固练习1】函数的最小值为(    ) A. B. C. D. ，定义域是， ， ，令，， 在上单调递增，，， 存在，使得，即， 在上，，在上，， 即在上，，在上，， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值， 又，， ． 故选：． 【巩固练习2】已知函数，求的最小值 【解】， 令， 则， 由，故恒成立， 故在上单调递增， 又，， 故存在，使，即， 即在上单调递减，在上单调递增， 故， 由，则， 令，则有， ，当时，恒成立， 故在上单调递增，故，即， 则， 即的最小值为 【题型2】恒（能）成立问题之分类讨论法 【例题1】已知不等式对任意恒成立，则实数的最大值是 . 【答案】 【分析】依题意，恒成立，构造函数，利用导数求最小值. 【详解】不等式对任意恒成立，即对任意恒成立， 设，， 时，在上恒成立，在上单调递增，无最小值， 函数和函数在上都单调递增，，，不恒成立. 时，恒成立，此时， 时，解得，解得， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值， 故，，， 综上可知，实数的最大值为. 【例题2】已知不等式对任意恒成立，则实数的最大值是 . 【答案】 【分析】依题意，恒成立，构造函数，利用导数求最小值. 【详解】不等式对任意恒成立，即对任意恒成立， 设，， 时，在上恒成立，在上单调递增，无最小值， 函数和函数在上都单调递增，，，不恒成立. 时，恒成立，此时， 时，解得，解得， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值， 故，，， 综上可知，实数的最大值为. 【巩固练习1】设函数，若当时，求的取值范围． 【答案】 【分析】方法一：令，所以，，再对分和两种情况讨论判断是否成立即得解. 【详解】[方法一]：由题得， 令，所以， 当时，恒成立，仅当时， 在单调递增，所以， 所以函数在上单调递增. 所以满足题意； 当时，得，得， 所以在单调递减，在单调递增， 又，所以函数在单调递减， 又，所以函数在上，与已知矛盾，不合题意，所以舍去. 综上所述：. [方法二]：，由指数不等式，当且仅当时，等号成立． 得，从而当，即时，， 而，于是当时，． 由可得 从而当时，1）， 故当时，，而，当时，0，不合题意． 综合得的取值范围为． 【巩固练习2】已知函数，其中是自然对数的底数． (1)讨论函数的单调性； (2)若在区间上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先求出导数，分，，讨论单调性. (2)根据第（1）问，分，，讨论在的单调性，求 【详解】（1） 当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增. 当时，时，；时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 当时，时，；时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上：时在上单调递增. 时在上单调递增，在上单调递减 时在上单调递增，在上单调递减. （2）若在区间上有解，即求 当时在上单调递增，所以在上的最小值为不成立，故不满足题意. 当时在上单调递增，在上单调递减 当时，所以函数在单调递减， 所以成立，满足题意. 时，函数在单调递减，在上单调递增. 所以不成立，舍去 时在上单调递增，在上单调递减. 所以函数在单调递增，，所以 综上的取值范围为： 【题型3】含参函数的隐零点问题 【例题1】已知函数，若在有实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 首先分析题意，由于，设出进一步分析，则，分析单调性解出实数的取值范围. 【详解】根据题意，，所以，令， 则函数在上存在零点等价于与的图象有交点. ， 令，则，故在上单调递增， 因为，，所以存在唯一的，使得， 即，即，， 所以当时单调递减，当 时，单调递增，所以， 又时，，故，所以 【巩固练习1】已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 解：由题意，因为函数在区间上有极值，得， 易知函数在区间上符号发生改变， 注意到的连续性，由零点存在定理得知，使得， 由，即得， 令，，得， 易知时，恒成立，所以函数 在上单调递增， 即得， 要使得在上有零点， 即得实数的取值范围为． 【巩固练习2】（多选）函数在上的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】解方程，根据零点个数可判断A；分，，讨论，利用二次导数讨论单调性，结合零点即可判断BCD. 【详解】， 令，得或，函数最多有两个零点，故A错误； 当时，显然为偶函数，， 当时，，所以，单调递增， 单调性结合奇偶性可知，B选项正确； 当且时，函数有两个零点或， 记， 则 因为且，所以， 所以，单调递增 又， ， 所以存在使得 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以，当时，可知图象如选项C，故C选项正确； 当时，可得的图象如D选项，故D选项正确； 故选：BCD 【巩固练习3】已知函数，求的最小值 【解】， 令， 则， 由，故恒成立， 故在上单调递增， 又，， 故存在，使，即， 即在上单调递减，在上单调递增， 故， 由，则， 令，则有， ，当时，恒成立， 故在上单调递增，故，即， 则， 即的最小值为 【题型4】利用“隐零点”解决函数零点个数问题 【例题1】已知是自然对数的底数，函数只有一个零点，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题可知函数只有一个零点等价于方程只有一个实数根，即函数图象与图象仅有一个交点，利用导数求出函数的单调性画出其图象利用数形结合即可得出实数a的取值范围为. 【详解】根据题意可得令，可得； 令，则， 易知， 令，则，即函数在上单调递增， 且，因此存在，使得，且； 因此当时，即， 当时，，即； 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 即存在极小值，也是最小值； 由可得，可得，所以； 当趋近于0时，函数趋近于，当趋近于时，函数趋近于0， 画出函数图象如下图所示： 若函数只有一个零点，等价于函数图象与图象仅有一个交点，由图可得当或时，满足题意； 所以，实数a的取值范围为. 【巩固练习1】若函数（）有2个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】化简函数，得到和在上单增，结合存在唯一的，使，即，且存在唯一的，使，结合，进而得到实数的取值范围． 【详解】由函数， 设，可得，单调递增， 且，， 所以存在唯一的，使，即， 令，即， 设，可得，则在上单增， 又由且时，， 所以当时，存在唯一的，使，即， 若时，可得，则，可得，所以， 所以，综上所述，实数的取值范围为． 【巩固练习2】已知函数． (1)若函数在点处的切线与直线垂直，求a的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，在上为减函数， 当时，在上是减函数，在上是增函数．(3) 【分析】（1）对求导，由已知可得，解方程即可求解的值； （2）对分类讨论，由导数与单调性的关系求解即可； （3）对分类讨论，结合（2）中结论，结合零点存在性定理即可求解的取值范围． 【详解】（1）由，求导得， 直线的斜率为， 又函数在点处的切线与直线垂直， 所以，即，解得． （2）因为，， 所以当时，，所以在上单调递减； 当时，， 令，解得，当，解得，当，解得， 所以时，单调递减，时，单调递增． 综上，可知：当时，在上为减函数， 当时，在上是减函数，在上是增函数． （3）①若，由（2）可知：最多有一个零点， ②当时，由（1）可知：当时，取得最小值，， 由于均为上单调递增函数，所以函数在单调递增， 当时，，故当时，，故只有一个零点， 当时，由，即，故没有零点， 当时，，， 由，故在有一个零点， 假设存在正整数，满足，则， 由，所以，因此在上有一个零点． 综上，的取值范围为． 【题型5】利用“隐零点”解决解答不等式恒成立（证明）问题 【例题1】（22-23高二下·广东深圳·期中）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】利用导数研究函数的单调性，求出函数最小值，依题意，即可得到关于的不等式，解得即可． 【详解】∵的定义域为， ∴， 令，， 又易知在上单调递增， 又，， ∴，使得， ∴时，即单调递减； 当时，即单调递增； ∴的最小值为， ∵，∴，， ∴的最小值为， 又恒成立， ∴，∴， 故实数的取值范围为． 【例题2】已知，若，且对任意恒成立，则k的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】 因为，且对任意恒成立，即对任意恒成立. 令（），则. 令（），则， 当时，，所以函数在上单调递增. 因为，， 所以方程在上存在唯一实根，满足. 当时，，即，当时，，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 又，所以，故， 所以，， 所以，故整数k的最大值是4. 【巩固练习1】已知函数，时，，则实数的范围是 . 【答案】 【分析】先应用参数分离，构造新函数，把恒成立转化为求最小值，二次求导根据单调性求最值即可. 【详解】由题可得对任意恒成立， 等价于对任意恒成立， 令，则， 令，则， 在单调递增， ，， 存在唯一零点，且，使得， 在单调递减，在单调递增， ， ，即， 令，显然在单调递增，则，即， 则，. 【巩固练习2】已知函数 若曲线在点处的切线方程为，求的值； 若对任意，不等式恒成立，求正整数的最大值． 【解答】解：， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，所以； 对任意，不等式恒成立， 即，即在上恒成立， 令， 则， 令，则， 所以函数在上单调递增，又， 所以存在使得，即， 当时，，即，当时，，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 又因，则， 所以正整数的最大值为． 【巩固练习3】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围. 【答案】解：（1）设切线斜率为，因为，所以， 又， 所以，切线方程是. （2）①当时，因为，所以， 所以. 记，则，. 因为当时，，所以在区间上单调递增， 所以，， 所以，在区间上单调递增， 所以，，所以. 当时，， 因为当时，，所以， 所以在区间上单调递增. 因为，， 所以，存在，使得， 所以，当时，，即在区间上单调递减， 所以，不满足题意. 综上可知，. 【题型6】利用“隐零点”证明不等式 【例题1】设函数． 当，求在点处的切线方程； 证明：当时，． 解：当时，，则，即， 所以在点处的切线方程为，即． 证明：因为， 因为为单调递增函数，也在上单调递增， 所以在上单调递增，又，且， 所以在上存在唯一零点，设为， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以， 由可得，即， 所以， 当且仅当时取等号， 所以当时，．  【巩固练习1】已知函数. (1)若在上是减函数，求实数的最大值；（2）若，求证：. 【答案】（1）（2）证明见解析 【解析】（1）根据函数单调性可将问题转化为在上恒成立问题，通过分离变量的方式将问题转化为，利用导数求得的最大值，进而得到结果； (2)将问题转化为的证明；利用单调递增和零点存在定理可确定存在，使得，从而得到；根据导函数正负可确定单调性，进而得到，化简后，结合基本不等式可证得结论. 【详解】由函数解析式可知，定义域为. （1）， 在上是减函数，在上恒成立，即恒成立 令，则，在上单调递增， ，，解得：， 的最大值为. (2)由（1）知：，则， 在上单调递增. ，当时，，，此时， 由零点存在定理可知，存在，使得，即， . 当时，；当时，， 当时，单调递减；当时，单调递增， （当且仅当，即时取等号）. 当时，. 【巩固练习2】给定函数. (1)判断函数的单调性，并求出函数的极值; (2)证明:当时，. 【答案】(1)在区间上单调递减，在区间上单调递增，极小值.(2)证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数与函数单调性的关系，求解函数的单调区间，再求函数的极值； （2）首先由不等式构造函数，转化为证明函数的最小值大于0. 【详解】（1）函数的定义域为. . 令，解得. 当变化时，的变化情况如下表 负 0 正 单调递减 极小值 单调递增 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，有极小值. （2）要证明当时，， 即证明当时，. 令函数. 则. 当时，. 设函数. 则，故在上单调递增. 又 所以存在唯一的使得. 且. 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以 设函数 则 即在单调递增. 所以原不等式得证. 【巩固练习3】已知函数． (1)当时，求的最小值；(2)当时，证明：． 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）求导函数并变形，再局部构造函数，再求导研究的单调性，并通过观察确定零点，判断的符号变化，从而得到符号，进而得单调性并求最值； （2）先利用零点性存在定理证明导函数的零点的存在，设出隐零点并得到其所在区间，判断函数的单调性得最值，将零点满足的（即）变形回代表达出最小值.证明恒成立，即转化为最小值在区间成立即可. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则， 令， 则，所以在单调递增， 其中， 故当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增； 在处取最小值，又. 故的最小值为； （2）由（1）知，当时，，即成立； 下面证明当时，也成立. ，定义域为， ， 令，又， 则，所以在区间单调递增， 其中，且， 由零点存在性定理及单调性可知，存在唯一实数， 使，即，则① 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，将①式代入可得， ②， 下面先证，， 令， 则，在单调递增， 则，即，故当，③. 由②③式可得， ， 又，则，即 ，所以，则有. 故当时，也成立. 综上所述，当时，． 【课后巩固】 1． 已知函数，时，，则实数的范围是 . 【答案】 【分析】先应用参数分离，构造新函数，把恒成立转化为求最小值，二次求导根据单调性求最值即可. 【详解】由题可得对任意恒成立， 等价于对任意恒成立， 令，则， 令，则， 在单调递增， ，， 存在唯一零点，且，使得， 在单调递减，在单调递增， ， ，即， 令，显然在单调递增，则，即， 则，. 2． 已知函数，不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得对任意恒成立，等价于对任意恒成立， 令，则， 令，则， 在单调递增， ， 存在唯一零点，且，使得， 在单调递减，在单调递增，， ，即， 令，显然在单调递增，则，即， 则，. 3． 已知，若，且对任意恒成立，则k的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】 因为，且对任意恒成立，即对任意恒成立. 令（），则. 令（），则， 当时，，所以函数在上单调递增. 因为，， 所以方程在上存在唯一实根，满足. 当时，，即，当时，，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 又，所以，故， 所以，， 所以，故整数k的最大值是4. 4． 已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2). 【分析】（1）对参数a分类讨论求单调区间即可； （2）法一、分离参数转化为求的最小值，利用导数研究函数的单调性及最值即可；法二、结合（1）结论，分类讨论的范围，计算即可. 【详解】（1）对函数求导可得． 当时，恒成立，可得函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令，可得，可得函数的单调递减区间为； 令，可得，可得函数的单调递增区间为； 综上所述：时，的单调递增区间为，无单调递减区间；时，的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）法一：当时，恒成立等价于， 令，则， 令，可得，即有在上单调递减； 令，可得，即有在上单调递增． 从而可得函数的最小值为， 综上即可得的取值范围是． 法二：由（1）知，当时，函数在上单调递增， 所以满足题意； 当时，，所以函数在上单调递增， 所以满足题意； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为，所以，即，解得：， 综上，实数的取值范围是． 5． 已知函数. (1)求的单调区间； (2)设函数.证明： （i）函数有唯一极值点； （ii）若函数有唯一零点，则. 【答案】(1)减区间是，增区间是.(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用函数导数求解函数单调性；（2）利用导数证明极值点和零点所在范围. 【详解】（1）由函数可得：，且， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以函数减区间是，增区间是. （2）（i）因为的定义域为， 所以， 设，则，当时，，所以单调递增， 当时，，所以单调递减，所以， 所以，即， 所以，又， 所以存在唯一的，使得，即， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以函数有唯一极值点. （ii）由（i）得，因为函数有唯一零点，所以， 所以， 即，所以， 设，所以， 所以在单调递减， 因为，所以. 6． 已知. (1)求在点处的切线方程； (2)记的最大值为，求证：. 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）求出的导函数，再将，代入导函数中得到该点的斜率，再使用点斜式即可得到切线方程. （2）由函数可知，当时，，所以只需讨论的情况. 根据导函数讨论函数的单调性，求出函数的最大值点，而且，.即可证明. 【详解】（1），，， 所以在点处的切线方程为. （2）证明：当时，；当时，， 所以求的最大值为只需讨论时，， 令，, 当时，，在上单调递减， ，，故，使得. 即. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以. 由于，，所以. 27 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$