【寒假衔接】导数拓展专题1 原函数导函数混合还原，利用导数比大小【9大题型】- 2024-2025学年高二数学寒假精品讲义

【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 导数拓展专题1 原函数导函数混合还原，利用导数比大小 模块一 题型·解读 【题型1】利用ex进行构造 【题型2】 f(x)与g(x)构造 【题型3】幂函数加减型 【题型4】利用x进行构造 【题型5】利用enx进行构造 【题型6】三角函型导函数不等式构造 【题型7】构造型函数比大小 【题型8】切线放缩比大小 【题型9】构造其它函数比大小 【重点题型巩固】 模块二 基础知识·梳理 知识点01 常见函数不等式的构造 模型1．对于构造 模型2．对于不等式构造函数 模型3．对于不等式构造函数 模型3拓展：对于不等式构造函数 模型4．对于不等式构造函数 模型4拓展：对于，构造函数 模型5．对于不等式，构造函数 模型5拓展：对于不等式构造函数 模型6．对于不等式构造函数 模型6拓展：对于，构造函数 模型7.三角函数构造 （1） （2） （3） （3） 知识点02 型函数 函数极值点： 要点诠释：此函数定义域为，求导，当时，，故为增函数，当时，，故为减函数，当时，取得极大值为，且，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较 知识点03 常见不等式放缩 1、常见的指数放缩：；； 证明1：设，所以，所以当时，，所以为减函数，当当时，，所以为增函数，所以当时，取得最小值为，所以，即 证明2：对于，该不等式在R上恒成立，若令，则有 ，当时，不等式两边同乘，则有， 最后得出 2.常见的对数放缩： 证明3： 对于，令，则有，可得. 3.常见三角函数的放缩： 模块三 核心题型·训练 【题型1】利用ex进行构造 对于不等式，构造函数 对于不等式，构造函数 【例题1】已知定义在R上的函数，其导函数满足：对任意都有，则下列各式恒成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】构造函数，结合已知判断其导数符号可知单调性，然后由单调性可解. 【详解】记，则， 因为，即， 所以，所以在R上单调递增， 故，， 整理得，. 【例题2】定义在上的函数满足，且有，则的解集为 . 【答案】 【分析】构造函数，应用导数及已知条件判断的单调性，而题设不等式等价于即可得解. 【详解】设，则， ， ， 在R上单调递增. 又，则. ∵等价于，即， ∴，即所求不等式的解集为. 【巩固练习1】已知是可导函数，且对于恒成立，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】 构造函数，由导数确定其单调性，可判断各选项． 【详解】设，则，由已知得， 所以是上的减函数， ∴，即， 即， 【巩固练习2】定义在上的函数满足，且有，则的解集为 . 【答案】 【分析】构造函数，应用导数及已知条件判断的单调性，而题设不等式等价于即可得解. 【详解】设，则， ， ， 在R上单调递增. 又，则. ∵等价于，即， ∴，即所求不等式的解集为. 【变式训练】定义在R上的函数满足，是的导函数，且，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，，研究的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解． 【详解】设，， 则， ，，， 在定义域R上单调递增， ，，即， ，，不等式的解集为 【题型2】 f(x)与g(x)构造 【例题1】设在上的导函数均存在，，且，当时，下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，不妨设，， 则，所以在上单调递增， 因为与1的大小不确定， 所以无法比较的大小关系，故A、B无法判断； 则，即， 且，则，故D错误； 由，即， 且，则，C正确；故选：C． 【巩固练习1】设函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，，且，则不等式f(x)g(x)>0的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】构造函数F(x)＝f(x)·g(x)．由题意可知，当x<0时，， 所以F(x)在上单调递增． 又因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数， ，所以F(x)是定义在R上的奇函数， 从而F(x)在上单调递增． 而F(3)＝f(3)g(3)＝0，所以F(－3)＝－F(3)＝0， 当时，f(x)g(x)>0的解为； 当时，f(x)g(x)>0的解为； 综上可知不等式f(x)g(x)>0的解集为.故选：A. 【巩固练习2】（多选）若函数，的导函数都存在，且，则的值可能为（ ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】CD 【解析】由，得. 设函数， 则， 所以在上单调递减， 所以，即，则. 故的值可能为5，6.故选：CD 【巩固练习3】已知定义在上的函数的导函数都存在，若，且为整数，则的可能取值的最大值为 . 【答案】14 【分析】构建，根据题意利用导数可得在上单调递减，由，结合题意分析求解. 【详解】因为， 设函数，则， 所以在上单调递减， 则，即， 整理得， 又因为为整数， 所以的可能取值的最大值为14. 故答案为：14. 【题型3】幂函数加减型 【例题1】设函数在R上存在导数，对任意的，有，且在上．若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过构造函数，利用的奇偶性和条件得到在上单调递减，再将变形成，从而得到，即可求出结果. 【详解】因为，所以，得到， 令，所以， 则为奇函数，且， 又当时，，所以由奇函数的性质知，在上单调递减， 又，所以，即，所以，即 【例题2】已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当时，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意构造函数，通过导数研究函数的单调性和奇偶性，将不等式等价转化为，分情况讨论并求解即可. 【详解】因为，所以， 构造函数，当时，， 所以函数在区间内单调递增，且， 又是定义在R上的偶函数，所以是定义在R上的偶函数， 所以在区间内单调递减，且． 不等式整理可得：， 即，当时，，则，解得；当时，，则， 解得，又，所以． 综上，不等式的解集为． 【巩固练习1】若函数为定义在上的偶函数，当时，，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的结构，构造函数，判断其奇偶性及单调性，解不等式即可. 【详解】令， 因为为偶函数，即， 故，为偶函数，当时，，则在上单调递增， 因为，即， 所以，故，解， 所以不等式的解集为. 【巩固练习2】已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】构造函数，由导数确定其单调性，题设不等式化为，再利用单调性变形求解． 【详解】令，则， ∴在上是减函数， ， 不等式化为， 即，也即为， 所以，. 故答案为： 【巩固练习3】设定义在R上的函数满足，且当时，，其中为函数的导数，则不等式的解集是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 解析：构造函数，， ，即为奇函数 当时，在上单调递减，故在上单调递减， ，，，， ，故选D 【题型4】利用x进行构造 【模型解读】 对于不等式，构造函数 对于不等式，构造函数 【例题1】已知函数是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 构造函数,利用条件考查的单调性，分析的大小关系，根据函数的单调性即可比较大小. 【详解】构造函数，则由题意可知当时， 所以函数在区间上单调递减， 又因为是定义在上的奇函数，所以是定义在上的偶函数， 所以在区间上单调递增， 又，，， 因为，，所以， 所以，即，正确. 【例题2】定义在上的偶函数的导函数为，且当时，．则（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数在上单调递增，再根据奇偶性可判断各选项. 【详解】由当时，， 得， 设，则， 所以在上单调递增， 又函数为偶函数， 所以为偶函数， 所以在在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，所以，A选项错误； ，即，所以，B选项错误； ，即，所以，C选项错误； ，即，所以，D选项正确 【巩固练习1】已知为偶函数，且当时，，其中为的导数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨函数的单调性，再结合奇偶性求解不等式作答. 【详解】令函数，当时，，即函数在上单调递减， 由为偶函数，得，即函数是奇函数，于是在R上单调递减， 不等式， 因此，解得，所以原不等式的解集是. 【巩固练习2】已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则使得成立的的取值范围是 . 【答案】 【分析】构造函数，求导可得函数的单调性，由奇偶性的定义可得为奇函数，进而根据不等式的性质即可求解. 【详解】记，则， 故当，，所以，因此在上单调递增， 又当时，， 因此为奇函数，故在上单调递增， 又，因此当和时，， 当和时，， 因此，即可得和， 故成立的的取值范围是 【巩固练习3】已知为定义在上的奇函数，且（2），当时，恒成立，不等式的解集为_______________． 【答案】，， 【解答】解：令，， 当时，恒成立，即当时，， 在上单调递增， 为定义在上的奇函数，， ， 是定义在上的偶函数，在上单调递减， （2），， 则（2）， 由得或，得， 由得或， 故答案为：，，． 【巩固练习4】已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时， ，若，则不等式的解集是________． 【答案】 【分析】构造新函数，利用条件求得的单调性，再根据奇偶性即可解得不等式解集. 【详解】解：构造函数，其中为奇函数且， 则， 所以，函数为奇函数，且，， 当时，， 所以，函数在上是单调递增函数， 因为函数为奇函数，故函数在上是严格增函数， 故， 当时，，可得； 当时，，可得． 综上所述，不等式的解集为． 【巩固练习5】已知是定义在R上的偶函数，当时，有恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的和运算法则，构造新函数，研究其单调性、奇偶性得到值的大小. 【详解】设，则， 因为当时，有恒成立，所以时，， 所以在单调递减； 又是定义在R上的偶函数，则， 故为偶函数， 则，A选项错误； ，B选项错误； ，C选项错误； ，D选项正确 【题型5】利用enx进行构造 【例题1】已知定义在上的函数满足，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意设，结合题意可得，即函数是定义在上的奇函数，又当，时，，则，可得在，上单调递增，在，上单调递增，利用单调性，即可得出答案． 【详解】令， 则，即， 故函数是定义在上的奇函数， 当,时，，则， 故在,上单调递增，在,上单调递增， 所以在上单调递增， 又，则， 则不等式，即， 故，解得． 【巩固练习1】已知定义在上的函数满足，在下列不等关系中，一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】构造函数，求导得到在R上单调递减，然后根据单调性比较大小即可. 【详解】因为，所以 令，则， 因为，，所以，所以在R上单调递减， ，即，即，故A正确，B错； ，即，即，故C错，D正确. 【巩固练习2】已知函数满足，且，则（    ） A．不可能是偶函数 B．若，则 C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】由题意构造函数，求导后可得，所以在上单增，然后逐个分析判断即可. 【详解】令，则，故在上单增. 对于A，如为常函数，此时为偶函数，A错误; 对于B，若，则从而，B正确； 对于C，由可得，C正确； 对于D，若，同B选项可知，令，则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以， 所以（当且仅当时等号成立）， 故，则，D正确. 【巩固练习3】设是函数的导函数，且，（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，由已知可得函数在上为增函数，不等式即为，根据函数的单调性即可得解. 【详解】解：令，则， 因为， 所以， 所以函数在上为增函数， 不等式即不等式， 又，， 所以不等式即为， 即，解得， 所以不等式的解集为. 【题型6】三角函型导函数不等式构造 【例题1】已知函数的定义域为，设的导数是，且恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，得到，得到为增函数，得到，即可求解. 【详解】设，则， 故在定义域上是增函数，所以， 即，所以. 【例题2】已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构建，求导，利用导数判断原函数单调性，结合单调性解不等式. 【详解】令， 则， 因为，则，且， 可知，且仅当时，则在上单调递增， 又因为为偶函数，， 可得 令，可得， 注意到， 不等式，等价于， 可得，解得， 所以不等式的解集为. 【巩固练习1】设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上．若．则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构造函数可得在上单调递增，在上单调递减，将不等式等价转化为，利用函数的单调性和奇偶性得到，解之即可. 【详解】因为,所以, 设可得,为偶函数 在上有，， 故在上单调递增，根据偶函数的对称性可知，在上单调递减， 由得， 即，，即，,解得. 【巩固练习2】记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，构造函数，利用其单调性结合奇函数性质比较. 【详解】令，则， 当时恒有，所以， 则在上单调递增， 所以，则，即，选项A错误； ，则，即，选项B正确； ，则，又为奇函数，所以，选项C错误； 由得，选项D错误 【巩固练习3】已知定义在上的函数满足，当时，不等式恒成立（为的导函数），若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，分析函数的奇偶性及其在上的单调性，可得出，，，结合函数在上的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】由题意得函数为偶函数，构造函数， 所以， 易知当时，，所以函数在上单调递减． 因为，则， 由，则， 且， 因为函数在上单调递减，且， 所以，即 【题型7】构造型函数比大小 【例题1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而可得a，b，c的大小． 【详解】令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 因为， 所以，即. 【例题2】设，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】b是函数的结构，而c可以变为，易知，故，而，则故选A 【例题3】实数中值最大的是 . 【答案】 【分析】由指数函数幂函数的单调性可知这4个数的最大数在与之中，令，利用导数判断出单调性可得，即可得答案. 【详解】因为，由指数函数是单调递增函数，所以， 幂函数是单调递增函数，所以， 故这4个数的最大数在与之中， 令，所以，当即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减，故函数的单调递增区间为， 单调递减区间为．  得，即．由， 得，所以； 这4个数中的最大数是. 【巩固练习1】已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，，，令，利用导数说明函数的单调性，结合函数的单调性比较大小. 【详解】依题意可得，，， 设，则，当时，，单调递减， 又，所以，即，即. 【巩固练习2】若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最大值，再利用作差法判断、，即可得解； 【详解】解：令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以 又，所以，即. 【巩固练习3】已知实数，且，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知的等式两边取对数可得，，.设函数，求导，分析导函数的正负，得出所令函数的单调性，由此可得选项． 【详解】由，，得，，，因此，，. 设函数，则，，， ，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，又， 所以 【巩固练习4】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，，构造研究单调性比较大小即可，结合指数函数、基本不等式确定大小. 【详解】由，，要比较大小，只需比较大小， 故只需比较大小，令且，故， 所以在上递增，而，即， 所以，故， 又，则（等号不能成立）， 所以. 【题型8】切线放缩比大小 【例题1】（多选）已知，，（是自然对数的底数），则下列结论正确的有（    ） A．， B．， C． D． 【答案】BD 【分析】构造函数，利用其单调性和最值一一判断即可. 【详解】首先证明切线不等式， 设，则，令，解得， 又因为为单调递增函数，所以有唯一零点， 且当，，此时单调递减，当，，此时单调递增， 故，则，即， 则，，而，所以B正确，A错误； 又因为当时，单调递增，，则， 因此，故D正确，C错误. 【例题2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，构造函数，，即可判断的大小关系，然后作差，即可得到结果. 【详解】因为，则，且， 则，则； 构造函数，，则， 令，则，令，则， 所以当，单调递增，当，单调递减， 则时，有极大值，即最大值， 所以，即时，， 且，，则，所以； 即. 【巩固练习1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别构建，，利用导数判断单调性，结合单调性分析判断. 【详解】构建，则当时恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以，即； 构建，则当时恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以，即； 综上所述：. 【巩固练习2】已知，其中为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 结合不等式， 观察，发现都含有，把换成， 自变量在内，可以得出的大小，故. 【巩固练习3】已知，，则( ) 【答案】D ，，故 ，，故 观察，发现都含有，把换成， 自变量在内，可以得出的大小，故. 【巩固练习4】设，，，，则( ) A．a＜b＜c＜d B．a＜c＜b＜d C．a＜b＜d＜c D．a＜c＜d＜b 【答案】B 由不等式，可得a＜c＜b 而，即，即 当x=0.1时，，， 故a＜c＜b＜d 【补充】——当x<1时，有，故 【题型9】构造其它函数比大小 【例题1】设，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用函数的导数讨论函数的单调性. 【详解】令 ，， 则， 所以在上单调递增 ， 所以，即， 所以， 故选：D 【例题2】已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据式子结构构造函数，利用导数判断出在上单调递减，得到，进而得到，即可得到答案. 【详解】令,则. 因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减. 而 所以在上有. 所以在上单调递减. 所以，即 故.故. 【巩固练习1】已知，且，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，根据单调性即可确定的大小. 【详解】设函数，，当，此时单调递增，当，此时单调递减，由题，，，得，因为，所以，则，且，所以. 【巩固练习2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解． 【重点题型巩固】 1． 是定义域为上的奇函数，，当时，有，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】构造函数，根据条件确定导数的符号，得到的单调性，利用单调性解不等式. 【详解】令，则， 故函数在上单调递减， 又为奇函数，所以， 因为， 所以当时，，即， 当时，，即， 综上，不等式的解集为. 故答案为： 2． 已知，，，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于，所以构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小即可 【详解】，，， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 因为， 所以，， 因为， 所以，所以 3． 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A ， 4． 函数在上可导，且满足，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】令，根据得到在上单调递减，然后利用单调性比较大小即可. 【详解】令，则， 因为，即， 所以，在上单调递减， 所以，，，即，，，故BD正确，AC错. 5． 已知是可导函数，且对于恒成立，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】 构造函数，由导数确定其单调性，可判断各选项． 【详解】设，则，由已知得， 所以是上的减函数， ∴，即， 即， 6． 设是定义在上的函数，其导函数为，满足，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意令，进而根据题意得在上单调递减，故，进而得答案. 【详解】解：因为满足，令， 则，所以在上单调递减， 所以，即，所以. 所以. 7． 已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为．若对任意有，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造，确定函数单调递增，计算，，转化得到，根据单调性得到答案. 【详解】设，则恒成立，故函数在上单调递增. ，则，即， 故. ，即，即，故，解得. 8． 已知是可导的函数，且，对于恒成立，则下列不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， ，，，在上单调递减， ，，即，， ，. 9． 已知函数的定义域为,其导函数满足,则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得当时，，构造函数，可判断在上的单调性，进而可将不等式转化为，利用的单调性，可求出不等式的解集. 【详解】由题意知，当时，， 设， 则， 所以在上单调递减， 不等式等价于， 即为，所以， 解得. 10． 已知，则的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构造函数，求导确定函数单调性，即可判断的大小. 【详解】令，则， 显然当时，是减函数且，故是减函数， ，即， 可得，即. 11． 已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数为．若，且，则使不等式成立的x的值可能为(    ) A．－2 B．－1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据已知条件构造函数，要求解的不等式可化为，判断F(x)单调性即可求解. 【详解】设，则， ∵，∴， ∴，即在定义域R上单调递减． ∵，∴， ∴不等式等价于，即，解得， 结合选项可知，只有D符合题意． 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 导数拓展专题1 原函数导函数混合还原，利用导数比大小 模块一 题型·解读 【题型1】利用ex进行构造 【题型2】 f(x)与g(x)构造 【题型3】幂函数加减型 【题型4】利用x进行构造 【题型5】利用enx进行构造 【题型6】三角函型导函数不等式构造 【题型7】构造型函数比大小 【题型8】切线放缩比大小 【题型9】构造其它函数比大小 【重点题型巩固】 模块二 基础知识·梳理 知识点01 常见函数不等式的构造 模型1．对于构造 模型2．对于不等式构造函数 模型3．对于不等式构造函数 模型3拓展：对于不等式构造函数 模型4．对于不等式构造函数 模型4拓展：对于，构造函数 模型5．对于不等式，构造函数 模型5拓展：对于不等式构造函数 模型6．对于不等式构造函数 模型6拓展：对于，构造函数 模型7.三角函数构造 （1） （2） （3） （3） 知识点02 型函数 函数极值点： 要点诠释：此函数定义域为，求导，当时，，故为增函数，当时，，故为减函数，当时，取得极大值为，且，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较 知识点03 常见不等式放缩 1、常见的指数放缩：；； 证明1：设，所以，所以当时，，所以为减函数，当当时，，所以为增函数，所以当时，取得最小值为，所以，即 证明2：对于，该不等式在R上恒成立，若令，则有 ，当时，不等式两边同乘，则有， 最后得出 2.常见的对数放缩： 证明3： 对于，令，则有，可得. 3.常见三角函数的放缩： 模块三 核心题型·训练 【题型1】利用ex进行构造 对于不等式，构造函数 对于不等式，构造函数 【例题1】已知定义在R上的函数，其导函数满足：对任意都有，则下列各式恒成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例题2】定义在上的函数满足，且有，则的解集为 . 【巩固练习1】已知是可导函数，且对于恒成立，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【巩固练习2】定义在上的函数满足，且有，则的解集为 . 【变式训练】定义在R上的函数满足，是的导函数，且，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）． A. B. C. D. 【题型2】 f(x)与g(x)构造 【例题1】设在上的导函数均存在，，且，当时，下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】设函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，，且，则不等式f(x)g(x)>0的解集是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（多选）若函数，的导函数都存在，且，则的值可能为（ ） A．9 B．8 C．6 D．5 【巩固练习3】已知定义在上的函数的导函数都存在，若，且为整数，则的可能取值的最大值为 . 【题型3】幂函数加减型 【例题1】设函数在R上存在导数，对任意的，有，且在上．若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【例题2】已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当时，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】若函数为定义在上的偶函数，当时，，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是 ． 【巩固练习3】设定义在R上的函数满足，且当时，，其中为函数的导数，则不等式的解集是 （ ） A． B． C． D． 【题型4】利用x进行构造 【模型解读】 对于不等式，构造函数 对于不等式，构造函数 【例题1】已知函数是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例题2】定义在上的偶函数的导函数为，且当时，．则（　 　） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知为偶函数，且当时，，其中为的导数，则不等式的解集为 ． 【巩固练习2】已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则使得成立的的取值范围是 . 【巩固练习3】已知为定义在上的奇函数，且（2），当时，恒成立，不等式的解集为_______________． 【巩固练习4】已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时， ，若，则不等式的解集是________． 【巩固练习5】已知是定义在R上的偶函数，当时，有恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【题型5】利用enx进行构造 【例题1】已知定义在上的函数满足，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知定义在上的函数满足，在下列不等关系中，一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知函数满足，且，则（    ） A．不可能是偶函数 B．若，则 C． D．若，则 【巩固练习3】设是函数的导函数，且，（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型6】三角函型导函数不等式构造 【例题1】已知函数的定义域为，设的导数是，且恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上．若．则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知定义在上的函数满足，当时，不等式恒成立（为的导函数），若，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型7】构造型函数比大小 【例题1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】设，，，则（       ） A． B． C． D． 【例题3】实数中值最大的是 . 【巩固练习1】已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】若，则（       ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知实数，且，，，则（       ） A． B． C． D． 【巩固练习4】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型8】切线放缩比大小 【例题1】（多选）已知，，（是自然对数的底数），则下列结论正确的有（    ） A．， B．， C． D． 【例题2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知，则（    ） A． B． C． D． 综上所述：. 【巩固练习2】已知，其中为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 【巩固练习3】已知，，则( ) 【巩固练习4】设，，，，则( ) A．a＜b＜c＜d B．a＜c＜b＜d C．a＜b＜d＜c D．a＜c＜d＜b 【题型9】构造其它函数比大小 【例题1】设，，，则（       ） A． B． C． D． 【例题2】已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【巩固练习1】已知，且，，，则（       ） A． B． C． D． 【详解】设函数，，当，此时单调递增，当，此时单调递减，由题，，，得，因为，所以，则，且，所以. 【巩固练习2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【重点题型巩固】 1． 是定义域为上的奇函数，，当时，有，则不等式的解集为 ． 2． 已知，，，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3． 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 4． 函数在上可导，且满足，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 5． 已知是可导函数，且对于恒成立，则（    ） A．， B．， C．， D．， 6． 设是定义在上的函数，其导函数为，满足，若，，，则（    ） A． B． C． D． 7． 已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为．若对任意有，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8． 已知是可导的函数，且，对于恒成立，则下列不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 9． 已知函数的定义域为,其导函数满足,则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10． 已知，则的大小关系为（       ） A． B． C． D． 11． 已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数为．若，且，则使不等式成立的x的值可能为(    ) A．－2 B．－1 C． D．2 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$