第01讲 二次根式（3个知识点+5大考点举一反三+过关测试）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（人教版）

第01讲 二次根式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解二次根式的概念； 2．理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围； 3．掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简。 知识点1：二次根式 1. 二次根式的概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号． 如都是二次根式。 二次根式满足条件： （1） 必须含有二次根号 （2） 被开方数必须是非负数 知识点2：二次根式有无意义的条件 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数为非负数 二次根式无意义 被开方数为负数 知识点3：二次根式的性质 1.的性质 符号语言 文字语言 一个非负数的算数平方根是非负数 提示 有最小值，为0 2.的性质 符号语言 应用 （1） 正用： （2） 逆用：若a≥0，则 提示 逆用可以再实数范围内分解因式：如 3.的性质 符号语言 a（a＞0） 0（a=0) -a(a＜0） 文字语言 任意一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 应用 （1） 正用： （2） 逆用： 考点一：二次根式的概念 例1.下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】当时，二次根式的值为 ． 考点二：求二次根式中的参数 例2.已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 【变式2-1】已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 ． 【变式2-2】已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 ． 【变式2-3】若是整数，则正整数的最小值是 ． 考点三：二次根式有意义的条件 例3.当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】若代数式有意义．则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】若，则的值是 ． 考点四：利用二次根式的性质化简 例4.实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简:的结果是 ． 【变式4-1】将根号外的因式移到根号内，结果为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】若，则x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【变式4-3】已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则 （    ） A． B． C． D． 考点五：复合二次根式的化简 例5.阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． (1)填空：______，______； (2)化简： ①， ②； (3)计算：． 【变式5-1】先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 【变式5-2】阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 【变式5-3】先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考 ①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ① ② 一、单选题 1．下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中，化简正确的是（    ） A． B． C． D． 3．把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列结论中，正确的是（    ） A．的算术平方根是3 B． C． D． 二、填空题 5．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 6．已知，则 ． 7．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： ． 8．如果一个正方形的面积为12，则这个正方形的边长为 ． 9．满足的整数是 ． 10．已知是整数，则的最小整数值是 ． 三、解答题 11．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，． (1)化简M； (2)当时，求M的值． 12．（1）填空： ； ； （2）例题：化简 解：因为 所以． 仿照上例的方法，化简下列各式： ①     ② 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次根式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解二次根式的概念； 2．理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围； 3．掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简。 知识点1：二次根式 1. 二次根式的概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号． 如都是二次根式。 二次根式满足条件： （1） 必须含有二次根号 （2） 被开方数必须是非负数 知识点2：二次根式有无意义的条件 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数为非负数 二次根式无意义 被开方数为负数 知识点3：二次根式的性质 1.的性质 符号语言 文字语言 一个非负数的算数平方根是非负数 提示 有最小值，为0 2.的性质 符号语言 应用 （1） 正用： （2） 逆用：若a≥0，则 提示 逆用可以再实数范围内分解因式：如 3.的性质 符号语言 a（a＞0） 0（a=0) -a(a＜0） 文字语言 任意一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 应用 （1） 正用： （2） 逆用： 考点一：二次根式的概念 例1.下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义．根据形如的式子叫做二次根式，逐项分析即可求解． 【详解】解：A、是二次根式，A符合题意； B、，不是二次根式，B不符合题意； C、不是二次根式，C不符合题意； D、不是二次根式，D不符合题意． 故选：A． 【变式1-1】下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如（）是二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数即可得解． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，该选项不符合题意； B、当时，不是二次根式，该选项不符合题意； C、是三次根式，该选项不符合题意； D、 ， 是二次根式，该选项符合题意； 故选：D． 【变式1-2】下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟记“形如的式子叫做二次根式”是解题关键． 【详解】解：A、不是二次根式，不符合题意； B、不是二次根式，不符合题意； C、不是二次根式，不符合题意； D、是二次根式，符合题意； 故选：D 【变式1-3】当时，二次根式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的求值．将代入代数式求值即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：2． 考点二：求二次根式中的参数 例2.已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， ∵是整数，n是一个正整数， ∴n的最小值是7． 故选：C． 【变式2-1】已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 ． 【答案】35 【分析】本题主要考查了二次根式的化简．根据题意可变形为，即可求解． 【详解】解：∵，是整数，n是正整数， ∴n的最小值为35． 故答案为：35 【变式2-2】已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质．能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， ∵是整数， ∴n的最小值是2． 故答案为：2． 【变式2-3】若是整数，则正整数的最小值是 ． 【答案】4 【分析】根据二次根式有意义的条件和m为正整数，得出，即可得出m的值． 【详解】解：∵有意义， ∴，解得：， ∵m是正整数， ∴， ∴， ∵是整数， ∴， 解得：， ∴正整数的最小值是4， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数． 考点三：二次根式有意义的条件 例3.当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数非负．根据被开方数非负得到，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：C． 【变式3-1】若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解不等式以及二次根式有意义的条件等知识点，根据二次根式有意义的条件，解不等式即可得解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决此题的关键． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：D． 【变式3-2】若代数式有意义．则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 根据二次根式和分式有意义的条件可得，再求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 【变式3-3】若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的概念，理解二次根式被开方数大于或等于零是解决问题的关键．和被开方数互为相反数，且必须大于或等于零，所以，由此可以求得，的值． 【详解】解： 和有意义， ， ， ， ， ． 故答案为：． 考点四：利用二次根式的性质化简 例4.实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简:的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴，二次根式的性质与化简，利用数轴得出，进而化简得出答案，正确得出各部分符号是解题关键． 【详解】解：如图所示：， ∴ ， 故答案为：． 【变式4-1】将根号外的因式移到根号内，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是根据题意得出．根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选：B． 【变式4-2】若，则x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式性质化简，掌握二次根式的性质是关键．根据二次根式的性质得出不等式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故选：B． 【变式4-3】已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，数轴上的点表示实数，理解并运用二次根式的性质是解题的关键．根据数轴可得到，，，再根据所给的二次根式的性质即可求解． 【详解】解：由数轴可知，，， ，， ； 故选：C． 考点五：复合二次根式的化简 例5.阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． (1)填空：______，______； (2)化简： ①， ②； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式： （1）先把变形为，进而得到，据此化简即可；同理可把变形为据此化简即可； （2）①根据进行化简即可；②根据进行化简即可； （3）先把原式变形为，进一步变形得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：；； （2）解：① ； ② ； （3）解： ． 【变式5-1】先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题主要考查了复合二次根式化简： （1）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可； （2）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：；；；； （2）解： ． 【变式5-2】阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． （1）仿照例题，根据，即可求解；直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． （2）根据材料提供计算步骤，对进行化简，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ； ， ； （2）解： ． 【变式5-3】先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考 ①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ① ② 【答案】(1)④， (2)①；② 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 ④步出现了错误， 故答案为：④，； （2）解：①原式 ； ②原式 ． 一、单选题 1．下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟知这个定义是解题的关键．形如的式子叫做二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A、被开方数为负数，所以不是二次根式，故此选项不符合题意； B、被开方数x有可能为负数，所以不是二次根式，故此选项不符合题意； C、被开方数3为正数，所以是二次根式，故此选项不符合题意； D、根指数为3，所以不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．下列各式中，化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 直接根据二次根式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项正确，符合题意； D、，根号里面的数不能为负数，该选项错误，不符合题意． 故选：C． 3．把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据题意可得，得到，据此利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：根据题意可得，得到， 那么 故选：A． 4．下列结论中，正确的是（    ） A．的算术平方根是3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，二次根式的性质，据此相关运算法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，则3的算术平方根是，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 二、填空题 5．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的意义．根据二次根式有意义的条件即可解得． 【详解】解：由题意可得， ， ， 故答案为：． 6．已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．根据题意得到，，根据二次根式以及绝对值的性质，化简即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：1． 7．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质，由数轴可得：，，从而得出，再由二次根式的性质化简即可得解． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如果一个正方形的面积为12，则这个正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据正方形的面积公式正确建立等式是解题关键． 设这个正方形的边长为，再根据正方形的面积公式和二次根式的性质即可得． 【详解】解：设这个正方形的边长为， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 故答案为：． 9．满足的整数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式，根据题意可知，据此即可求得答案． 【详解】根据题意可知 ，． 所以，． 故答案为： 10．已知是整数，则的最小整数值是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式有意义的条件等知识点，确定n的取值范围成为解题的关键． 由结合题意可得是完全平方数，即，进而确定n的取值范围，然后取最小整数即可． 【详解】解：∵且是整数， ∴是整数， ∴是完全平方数． ∵， ∴， ∴n的最小整数值是0． 故答案为：0． 三、解答题 11．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，． (1)化简M； (2)当时，求M的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由实数在数轴上对应点的位置确定的符号以及绝对值的大小，进而确定的符号，根据绝对值以及二次根式的化简方法进行计算即可； （2）根据绝对值、算术平方根的非负性求出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：由实数在数轴上对应点的位置可知，，且， ， ． （2）解：， ， ∴， ． 12．（1）填空： ； ； （2）例题：化简 解：因为 所以． 仿照上例的方法，化简下列各式： ①     ② 【答案】（1）；；（2）①；② 【分析】本题考查了完全平方公式、二次根式的混合运算、二次根式的性质． （1）根据完全平方公式计算即可得解； （2）①仿照题干所给例子计算即可得解；②仿照题干所给例子计算即可得解． 【详解】解：（1）， ； （2）①∵， ∴； ②∵， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$