第03讲 二次根式的加减（3个知识点+7大考点举一反三+过关测试）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（人教版）

第03讲 二次根式的加减 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解同类二次根式的定义； 2.掌握二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运算； 3．掌握分母有理化，能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算。 知识点1： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点2： 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点3：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 考点一：同类二次根式 例1.下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式的判定，二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质化简，同类二次根式的概念是解题的关键． 同类二次根式是指“几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式”，先根据二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的概念判定即可求解． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、，与不是同类二次根式，不符合题意； C、，与是同类二次根式，符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C ． 【变式1-1】下列二次根式中，能与合并的二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式和化简二次根式为最简二次根式，先将每个二次根式化为最简二次根式，判断是否为的同类二次根式，即可判断各选项． 【详解】解：A. ，不能与合并，故该选项不符合题意； B. ，能与合并，故该选项符合题意；     C. ，不能与合并，故该选项不符合题意；     D. ，不能与合并，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】若能与二次根式合并，则的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，进行计算即可解答． 【详解】解： ，为二次根式，且能够与合并， 可以为2， 可以是1， 故选：A． 【变式1-3】若与最简二次根式可以合并，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了最简二次根式以及同类二次根式，先整理得，因为与最简二次根式可以合并，故，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵与最简二次根式可以合并， ∴， ∴， 故答案为：1． 考点二：二次根式的加减运算 例2.计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键； （1）直接合并同类二次根式即可； （2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2-1】计算 【答案】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别根据算术平方根的性质和立方根的定义化简各项后再合并即可． 【详解】解： 【变式2-2】计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的加减运算和实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （3）利用乘方的意义、二次根式的性质、绝对值的代数意义以及立方根定义计算即可求出答案． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【变式2-3】计算：． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是化为最简二次根式、二次根式的加减运算，解题关键是熟练掌握二次根式的加减运算． 先都化为最简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则进行运算即可． 【详解】解：， ， ． 考点三：二次根式的混合运算 例3.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）先进行除法运算，化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘法运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【变式3-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）先计算二次根式的乘法，化简二次根式、绝对值，再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的乘除，再进行二次根式的加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3-2】计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的计算是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除进行计算即可； （2）根据二次根式的加减以及零次方幂进行计算； （3）根据平方差公式以及完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式3-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确进行运算是解题的关键； （1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）分别用完全平方公式与平方差公式展开，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 考点四：分母有理化 例4.观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； ； ；… 利用发现的规律解决下列问题． (1)化简式子______； (2)直接写出式子的值： ； (3)计算：（n为正整数）． 【答案】(1)； (2)2023； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，式子规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的式子，总结规律，即可作答． （2）先运用式子规律化简括号内，再运算二次根式的乘法运算，即可作答． （3）先把原式的每个项进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：； （2）解： ． 故答案为：2023， （3）解：依题意， ． 【变式4-1】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分母有理化，分子分母同时乘以，然后利用平方差公式计算，再进行约分即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式4-2】阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的： 已知，求的值． 他是这样分析与解的：， ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求值． (2)化简：. 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分母有理化及乘法公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给方法可进行求解； （2）先分母有理化，再根据相互抵消计算． 【详解】（1）解：∵； ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：原式 ． 【变式4-3】小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)填空：______；______； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，掌握平方差公式的结构是解题关键． （1）利用平方差公式进行二次根式的分母有理化计算即可； （2）把原式分母有理化，再计算即可； （3）由，可得，再代入求值即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ． （3）解：∵ ， ． ，即． ． ∴． 考点五：化简求值 例5-1.已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了二次根式的化简求值和分母有理化． （1）先根据分母有理化求出，，即可求出； （2）由，，将原式整理成，再整体代入计算即可得解． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2）解：∵， ∴ ． 例5-2.先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的化简求值以及实数运算，根据平方差公式、完全平方公式的运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式5-1】已知：，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握二次根式的混合运算及分母有理化是解题的关键， （1）根据，，，代入求值即可； （2）先由，，求得，，再将化为后代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 【变式5-2】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先根据平方差公式、单项式乘以多项式的运算法则把原式化简，再把的值代入计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式5-3】已知，，．求： (1)和的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)9 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式．熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先将已知和的值进行分母有理化，得到，，再分别根据二次根式的加法法则和乘法法则即可求出答案； （2）根据完全平方公式将原式变为，再代入（1）的值即可求出答案． 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2）解：由（1）可知，，， ． 考点六：比较二次根式的大小 例6.比较大小： ； （填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据可得第一空答案；根据，则，据此可得第二空答案． 【详解】解：∵， ∴；， ∵， ∴， ∴ 故答案为：；． 【变式6-1】比较大小 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，先根据分母有理化的方法得到，，再根据得到，，即可得到，则． 【详解】解：， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-2】比较大小 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，可求出，再求出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】= 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的大小比较，掌握相应的法则是解题的关键． 把分母有理化即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 考点七：二次根式的应用 例7.如图，某小区内有一块长方形广场，广场长为米，宽为米，广场中间有两块大小相同的长方形绿地（阴影部分），每块小长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求广场的周长； (2)除绿地部分，广场其它部分都要铺上地砖，已知铺地砖的费用为50元/平方米，求这个广场铺地砖的费用为多少？ 【答案】(1)米 (2)元 【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式求解即可得到答案； （2）先用大长方形面积减去小长方形的面积，再乘以单价即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，广场的周长为：， 广场的周长为米； （2）解：铺地砖的面积为：（平方米）， 这个广场铺满地砖的费用为：（元）． 【变式7-1】已知刹车距离的计算公式为表示车速（单位：），表示刹车距离（单位：m），表示摩擦系数．在一次交通事故中测得，而发生交通事故的路段限速为．请你计算肇事汽车的车速并判断肇事汽车是否违规行驶． 【答案】，肇事汽车违规行驶 【分析】本题考查二次根式的应用，把，代入求出此时的速度，与限速速度进行比较即可得出结论。 【详解】解：． ， 肇事汽车违规行驶． 【变式7-2】有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)求矩形木板的面积； (2)木工乙想从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，则该矩形木料的长为_______； (3)木工丙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出_________根这样的木条． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，矩形面积的计算，正方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则． （1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的各边长，再求出结果即可； （2）根据矩形面积公式列式计算即可； （3）根据，，得出最多能截出5根这样的木条． 【详解】（1）解：∵木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． ∴正方形的边长为：， ∴，， ∴矩形木板的面积为； （2）解：该矩形木料的长为： ； （3）解：∵， 又∵， ∴从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出5根这样的木条． 【变式7-3】如图，有一块矩形木板，木工沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原矩形木板的面积； (2)求剩余木料的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，再求出原矩形木板的长为，宽为，进而根据矩形的面积得到答案； （2）求出剩余木料的长为，宽为，进而可得出答案． 【详解】（1）解：（1）∵两个正方形的面积分别为和， ∴这两个正方形的边长分别为，， ∴原矩形木板的长为，宽为， ∴原矩形木板的面积为； （2）解：剩余木料的长为，宽为， ∴剩余木料的周长为． 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根数的运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A．和不是同类二次根式，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意， B．和不是同类二次根式，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意， C．，故该选项计算正确，符合题意， D．，故该选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 2．最简二次根式与是同类二次根式，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式和同类二次根式的定义．掌握几个最简二次根式的被开方数相同，这几个最简二次根式就叫做同类二次根式是解题关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，即可求解． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， ， 故选：A． 3．化简的结果为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 故选C． 4．计算的结果为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的混合运算，能正确利用平方差公式是解题的关键．根据积的乘方的逆运算对原式进行变形，再利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 5．已知，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查分式的运算及二次根式的计算求值．先求得和的值，再通分将原式变形，进而整体代入计算得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故选：A． 二、填空题 6．计算： ． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式的化简和运算．熟练掌握二次根式的性质，合并同类二次根式法则，是解决问题的关键． 先化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】． 故答案为：0． 7．已知数轴上的两点A、B所对应的数分别是和，那么A、B两点的距离等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的减法运用， 数轴上两点之间的距离，根据两点A、B所对应的数分别是和，则A、B两点的距离等于，即可作答． 【详解】解：依题意， ， 故答案为：． 8．若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据题意得出二次根式与是同类二次根式，根据被开方数相等得出，求解即可得解． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和16，则图中阴影部分的面积和为 ． 【答案】4 【分析】本题考查二次根式的混合运算和正方形，长方形的面积，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．根据图形可以求得图中两个小正方形的边长，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 大正方形的边长为4，小正方形的边长为2， 图中阴影部分的面积为：， 故答案为：4． 10．电流通过导线时会产生热量．电流（单位：）、导线电阻R（单位：）、通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足：．已知导线的电阻，的时间导线产生的热量，则电流为 ．（结果用二次根式表示） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，把，，代入中计算即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：把，，代入得， ， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，注意平方差公式的应用． （1）先去括号，化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则计算即可； （2）根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．已知，求下列代数式的值； (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 由已知条件可得：， （1）利用平方差公式对式子进行整理，再代入相应的值运算即可； （2）利用分式的加减法对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解： ， ， ． 13．认真阅读下列解答过程，并解答下列各题： 比较与的大小． 解： 因为     所以 即： (1)试比较与的大小； (2)尝试计算： 【答案】(1) (2)9 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）根据题中方法进行二次根式的化简比较即可； （2）利用题目所给的方法以及结合二次根式的变形进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， 因为， 所以， 即：； （2）解： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二次根式的加减 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解同类二次根式的定义； 2.掌握二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运算； 3．掌握分母有理化，能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算。 知识点1： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点2： 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点3：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 考点一：同类二次根式 例1.下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列二次根式中，能与合并的二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若能与二次根式合并，则的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．11 【变式1-3】若与最简二次根式可以合并，则 ． 考点二：二次根式的加减运算 例2.计算： (1) (2) 【变式2-1】计算 【变式2-2】计算 (1)； (2)； (3)． 【变式2-3】计算：． 考点三：二次根式的混合运算 例3.计算： (1)； (2)． 【变式3-1】计算： (1)； (2)． 【变式3-2】计算 (1)； (2)； (3)． 【变式3-3】计算： (1)； (2)． 考点四：分母有理化 例4.观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； ； ；… 利用发现的规律解决下列问题． (1)化简式子______； (2)直接写出式子的值： ； (3)计算：（n为正整数）． 【变式4-1】计算的结果是 ． 【变式4-2】阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的： 已知，求的值． 他是这样分析与解的：， ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求值． (2)化简：. 【变式4-3】小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)填空：______；______； (2)计算：； (3)若，求的值． 考点五：化简求值 例5-1.已知，． (1)求的值； (2)求的值． 例5-2.先化简，再求值：，其中． 【变式5-1】已知：，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【变式5-2】先化简，再求值：，其中． 【变式5-3】已知，，．求： (1)和的值； (2)求的值． 考点六：比较二次根式的大小 例6.比较大小： ； （填“”或“”或“”） 【变式6-1】比较大小 【变式6-2】比较大小 ． 【变式6-3】比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 考点七：二次根式的应用 例7.如图，某小区内有一块长方形广场，广场长为米，宽为米，广场中间有两块大小相同的长方形绿地（阴影部分），每块小长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求广场的周长； (2)除绿地部分，广场其它部分都要铺上地砖，已知铺地砖的费用为50元/平方米，求这个广场铺地砖的费用为多少？ 【变式7-1】已知刹车距离的计算公式为表示车速（单位：），表示刹车距离（单位：m），表示摩擦系数．在一次交通事故中测得，而发生交通事故的路段限速为．请你计算肇事汽车的车速并判断肇事汽车是否违规行驶． 【变式7-2】有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)求矩形木板的面积； (2)木工乙想从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，则该矩形木料的长为_______； (3)木工丙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出_________根这样的木条． 【变式7-3】如图，有一块矩形木板，木工沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原矩形木板的面积； (2)求剩余木料的周长． 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．最简二次根式与是同类二次根式，则（   ） A． B． C． D． 3．化简的结果为（    ）． A． B． C． D． 4．计算的结果为（   ） A． B． C． D．1 5．已知，，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．计算： ． 7．已知数轴上的两点A、B所对应的数分别是和，那么A、B两点的距离等于 ． 8．若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 9．如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和16，则图中阴影部分的面积和为 ． 10．电流通过导线时会产生热量．电流（单位：）、导线电阻R（单位：）、通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足：．已知导线的电阻，的时间导线产生的热量，则电流为 ．（结果用二次根式表示） 三、解答题 11．计算： (1) (2) 12．已知，求下列代数式的值； (1)； (2) 13．认真阅读下列解答过程，并解答下列各题： 比较与的大小． 解： 因为     所以 即： (1)试比较与的大小； (2)尝试计算： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$