5.2运动的合成与分解（知识解读）-2024-2025学年高中物理同步知识点解读与专题训练（人教版2019必修第二册）

5.2运动的合成与分解（知识解读）（原卷版） •知识点1 运动的合成与分解 •知识点2 小船过河问题 •知识点3 关联速度问题 •作业 巩固训练 运动的合成与分解 知识点1 1、分运动和合运动：一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动即分运动，物体的实际运动即合运动。 2、运动的合成与分解：已知分运动求合运动称为运动的合成；已知合运动求分运动称为运动的分解。两者互为逆运算。在对物体的实际运动进行分解时，要根据实际效果分解。 3、遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。 （1）如果各分运动在同一直线上，需选取正方向，与正方向同向的量取“+”号，与正方向反向的量取“-”号，从而将矢量运算简化为代数运算。 （2）两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图所示。 4、合运动和分运动的关系 （1）等时性：合运动与分运动经历的时间相等。 （2）独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响。 （3）等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。 5、合运动的性质与轨迹：由两个分运动的性质及合初速度与合加速度的方向关系决定。 （1）根据加速度判定合运动的性质：若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度（大小或方向）变化，则为非匀变速运动。 两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动[来源:学+科+网Z+X+X+K][来源:学_科_网] 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 （2）合力（或合加速度）方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力（或合加速度）方向和速度方向之间，速度方向与运动轨迹相切，合力（或合加速度）方向指向曲线的凹侧。 【典例1-1】关于运动的合成，下列说法正确的是（　　） A．合运动的速度一定比每一个分运动的速度都大 B．两个匀速直线运动的合运动也一定是匀速直线运动 C．只要两个分运动是直线运动，那么合运动也一定是直线运动 D．两个分运动的时间不一定与它们合运动的时间相等 【典例1-2】（多选）某架飞机在进行一定距离的航空测量时，需要严格按照从南到北的航线飞行。在无风时飞机相对地面的速度大小恒为100m/s，飞行过程中航路上有持续东风（风向从东向西），要确保完成航空测量。下列说法正确的是（    ） A．飞机的飞行朝向为北偏东方向 B．飞机的飞行朝向为北偏西方向 C．风速越大，飞机完成航空测量的时间越短 D．风速越大，飞机完成航空测量的时间越长 【典例1-3】花样滑冰是冰上运动项目之一，运动员通过冰刀在冰面上划出图形，并表演跳跃、旋转等高难度动作。花样滑冰的裁判会按照动作的质量与艺术性表现进行综合评分，一女运动员在冰面上运动，假设在方向的速度图像和方向的位移图像如图所示，运动员可视为质点，求： （1）女运动员的初速度大小； （2）末女运动员的速度大小； （3）内女运动员的位移大小。 【变式1-1】物体在直角坐标系xOy所在平面内由O点开始运动，其沿坐标轴方向的两个分速度随时间变化的图像如图所示，则对该物体运动过程的描述正确的是（　　） A．物体在0~3s做匀变速直线运动 B．物体在0~3s做匀变速曲线运动 C．物体在3~4s做变加速直线运动 D．物体在3~4s做匀变速曲线运动 【变式1-2】（多选）如图所示，在光滑水平面上有两条互相平行的直线、且二者间距为确定值，是这两条直线的垂线，A点在直线上，B、C两点在直线上且间距为确定值；一个物体沿直线以确定的速度匀速向右运动，如果物体要从A点运动到C点，图中1、2、3为可能的路径，则可以在物体通过A点时（　　） A．获得由A指向B的任意瞬时速度，物体的路径是2 B．获得由A指向B的确定瞬时速度，物体的路径是2 C．持续受到平行于方向的恒力，物体的路径可能是1 D．持续受到平行于方向的恒力，物体的路径可能是3 【变式1-3】某直升飞机投物资时，可以停在空中不动，设投出物资离开飞机后由于降落伞的作用能匀速下落，无风时落地速度为5m/s，若飞机停留在离地面100m高处空投物质时，由于风的作用，使降落伞和物资以1m/s的速度匀速向北运动，竖直方向速度不变。求： （1）物资在空中的运动时间； （2）物资落地时的速度； （3）物资下落时水平向北移动的距离。 知识点2 1、模型构建 （1）船实际的运动：船随水流的运动和船在静水中的运动的合运动。 （2）如图所示，v水表示水流速度，v静水表示船在静水中的速度，将船在静水中的速度v静水沿平行于河岸方向和垂直于河岸的方向进行正交分解，则v水-v静水cosθ为船实际沿水流方向的运动速度，v⊥=V静水sinθ为船在垂直于河岸方向的运动速度。两个方向的运动情况相互独立、互不影响。 2、小船过河问题的几种情况 （1）渡河时间最短问题：渡河时间仅由v静水垂直于河岸的分量v⊥决定，即（d为河宽），与v水无关。要使渡河时间最短，应使船在垂直于河岸方向的速度最大，如图所示，当sinθ=1，即v静水垂直于河岸时，渡河所用时间最短，即，与v水无关。 （2）渡河位移最小问题 ①当v水＜v静水时，渡河的最小位移即河的宽度d。如图所示，为了使渡河位移等于河的宽度d，这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，使船的合速度v的方向与河岸垂直。此时，v水-v静水cosθ=0，即，渡河时间。 ②当v水＞v静水时，如果船头方向（即v静水方向）与合速度方向垂直，渡河位移最小，如图所示，渡河位移最小为。 【典例2-1】如图所示，AB两点连线垂直于河岸，小南同学由A点划船渡河，船头指向始终与河岸垂直，河宽为100m，水流速度为4m/s，船在静水中的速度为5m/s，则小船到达对岸的位置距B点（　　） A．160m B．120m C．100m D．80m 【典例2-2】（多选）如图所示，某段河面宽，小船从A点开始渡河，A点下游的B处是一片左侧边界与河岸垂直的险滩，已知水流速度大小恒为。小船不进入险滩处可视为安全渡河，下列说法正确的是（    ） A．若小船相对静水的速度大小恒为，则小船最短渡河时间为 B．若小船相对静水的速度大小恒为，则小船最短渡河位移大小为 C．若小船相对静水的速度大小恒为，则小船最短渡河位移大小为 D．若要使小船能安全渡河，则小船相对静水的最小速度为 【典例2-3】一条河两岸平行，河宽，河水流速，一小船在静水中的速度为。求： （1）若小船以最短时间渡河，船头朝着什么方向航行？最短时间是多少？小船位移是多少？ （2）若小船以最短位移渡河。船头与河岸夹角是多少？ 【变式2-1】如图所示，小船以大小为v1、方向与上游河岸成θ角的速度（在静水中的速度）从A处过河，经过t时间正好到达正对岸的B处。现要使小船在更短的时间内过河并且也正好到达正对岸B处，在水流速度不变的情况下，可采取下列方法中的哪种（　　） A．在减小v1的同时，也必须适当减小θ角 B．在增大v1的同时，也必须适当增大θ角 C．只要增大v1的大小，不必改变θ角 D．只要增大θ角，不必改变v1的大小 【变式2-2】（多选）随着我国全面进入主汛期，防汛形势十分严峻。各地区各部门坚持人民至上、生命至上，全力以赴抗洪抢险。某船积极参加抗洪，已知该船在静水中的最大速度为5m/s。现让该船渡过某条河，假设河的两岸是平行线，河水流速恒定，河宽。船以最短时间渡河，航线与岸的夹角为60°，则（    ） A．渡河时间为20s B．河水流速为10m/s C．实际渡河位移为 D．调整船头斜向上游，可以到达正对岸 【变式2-3】小船在静水中的速度大小与时间t的关系如图甲所示，河水的流速与小船离河岸的距离d的变化关系如图乙所示，河岸平直。取。求： （1）小船渡河的最短时间； （2）在小船以最短时间渡河的情况下，小船渡河的最大速度及其与河岸下游的夹角。 关联速度问题 知识点3 1、模型本质：通过绳和杆连接的两个物体，尽管实际的运动方向不同，但可以通过速度的合成与分解，找出其速度的关联性。 2、模型的建立：物体斜拉绳或绳斜拉物体的问题可看成“关联物体”模型，如图所示，由于绳不可伸长，所以绳两端所连物体的速度沿着绳方向的分速度大小相同。 3、速度的分解 （1）分解依据：物体的实际运动就是合运动。 （2）分解方法：把物体的实际速度分解为垂直于绳方向和平行于绳方向的两个分量，根据沿绳方向的分速度大小相同列方程并求解。 （3）分解结果：把上图甲、乙所示的速度进行分解，结果如下图甲、乙所示。 【典例3-1】如图所示，以速度沿竖直杆匀速下滑的物体A用绕过定滑轮的轻绳拉物体B，当滑轮右侧的绳与水平方向的夹角为时，物体B的速度为（物体B始终未碰到定滑轮）（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（多选）如图所示，物体A和B分别用不可伸长的轻绳连接跨过定滑轮（不计摩擦）。当用水平力F拉物体B水平向右做匀速直线运动的过程中（　　） A．物体A也做匀速直线运动 B．绳子的拉力始终大于物体A所受的重力 C．物体A的速率小于物体B的速率 D．拉力F保持不变 【典例3-3】如图所示，一人站在岸上，利用绳和定滑轮拉船靠岸，在某一时刻绳的速度为v，绳AO段与水平面夹角为θ，OB段与水平面夹角为α。不计摩擦和绳的质量，则此时小船的速度多大？ 【变式3-1】质量为的物体P置于倾角为的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着物体P与小车，物体P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以的速度水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向的夹角时，物体P的速率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（多选）如图所示，物体A通过轻质细绳拉光滑水平面上的物体B，现用适当的外力作用在物体B上，使物体A沿光滑竖直杆以速度v匀速下滑，某一时刻细绳与竖直杆间的夹角为θ．则以下说法正确的是（    ） A．此时物体B的速度为 B．物体B向右加速运动 C．细绳对B的拉力逐渐变小 D．细绳对A的拉力逐渐变大 【变式3-3】如图所示，质量都为1kg的两个物体A、B，用轻绳跨过定滑轮相连接，在水平力作用下，物体B沿水平地面向右运动，物体A恰以速度2m/s匀速上升，已知物体B与水平面间的动摩擦因数为0.1，重力加速度为g=10m/s²。当物体B运动到使斜绳与水平方向成α=37°时。（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）求： （1）物体B所受摩擦力的大小； （2）物体B的速度大小。    一、单选题 1．河水的流速随离一侧河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示。若要以最短时间渡河，则（　　） A．船渡河的最短时间是60s B．船在行驶过程中，船头应斜向上游 C．船在河水中航行的轨迹是一条直线 D．船在河水中的最大速度是5m/s 2．下列说法正确的是（    ） A．曲线运动的速度方向可能不变 B．物体做曲线运动合力为零，合力与速度方向不一致 C．曲线运动一定是变速运动 D．运动的合成与分解合运动的时间一定比分运动的时间长 3．如图所示，一条小船渡河，河宽80米，河水流速，船在静水中的速度，船头方向与河岸垂直，关于小船的运动，下列说法正确的是（    ） A．小船能垂直到达正对岸 B．小船过河所用时间为 C．小船实际航行的速度大小为 D．小船过河后到达河对岸下游处 4．如图所示，一条两岸平行的河，水流速度方向平行河岸且大小保持不变。一条小船在河中匀速运动，船在静水中的速度大小为，船头方向与垂直河岸方向的夹角为，船的实际速度（合速度）与河岸的夹角也为，关于与的大小关系，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，小车以速度v匀速向右运动，通过滑轮拖动物体A上升，不计滑轮摩擦与绳子质量，当绳子与水平面夹角为时，下面说法正确的是（   ） A．物体A的速度大小为 B．物体A的速度大小为 C．物体A减速上升 D．绳子对物体A的拉力等于物体A的重力 6．图为汽车在水平路面上匀速行驶时车轮边缘上M点的运动轨迹。已知时刻M点与坐标原点O重合，车轮半径，汽车的速度，则（　　） A．M点运动到最高点A时的速度为零 B．M点在OA与AB的平均速度大小相同 C．最高点A的坐标为 D．M点从O运动到B的时间为0.3s 7．各种大型的货运站中少不了悬臂式起重机。如图甲所示，某起重机的悬臂保持不动，可沿悬臂行走的天车有两个功能，一是吊着货物沿竖直方向运动，二是吊着货物沿悬臂水平方向运动。现天车吊着质量为100kg的货物在x方向的位移时间图像和y方向的速度-时间关系图像如图乙、丙所示，下列说法正确的是（　　） A．2s末货物的速度大小为3m/s B．货物的运动轨迹是图丙中的抛物线Q C．货物所受的合力大小为150N D．0到2s末这段时间内，货物的合位移大小为11m 8．如图所示，地铁站内某乘客站在自动扶梯上随扶梯一起上行，扶梯与水平面夹角为30°，速度为0.8m/s，将速度沿水平和竖直方向分解，则顾客在水平方向的分速度大小为（　　） A． B． C． D． 9．火灾逃生的首要原则是离开火灾现场，如图是火警设计的一种让当事人快捷逃离现场的救援方案：用一根不变形的轻杆MN支撑在楼面平台AB上，N端在水平地面上向右以匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆向平台B端靠近，平台高为h，当时，被救人员向B点运动的速率是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 10．如图所示是小船过河的情景，已知水流速度恒定，以下分析正确的是（　　） A．要想时间最短，船头应该朝向图中1的方向 B．要想到达C点，船头应该朝向图中3的方向 C．要想位移最短，船头应该朝向1的方向 D．若船头朝向2，可能会在C点靠岸 11．下图为某物体沿相互垂直的x、y方向的分速度的图像，根据图像判定，物体一定做曲线运动的是（　　） A． B． C． D． 12．如图所示，汽车以速度v匀速行驶，当汽车到达P点时，绳子与水平方向的夹角为，则下列说法正确的是（　　） A．此时物体M上升的速度大小为 B．此时物体M上升的速度大小为 C．汽车匀速行驶的过程中，物体M处于超重状态 D．汽车匀速行驶的过程中，物体M向上做匀加速运动 13．一船在静水中的速度是10 m/s，要渡过宽为240 m、水流速度为8 m/s的河流，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6.则下列说法中正确的是（　　） A．此船过河的最短时间是24s B．船垂直到达正对岸的实际航行速度是6 m/s C．船头的指向与上游河岸的夹角为53°船可以垂直到达正对岸 D．此船不可能垂直到达正对岸 三、解答题 14．已知河宽200m，一艘小艇从河岸上的A处出发渡河，小艇艇身保持与河岸垂直，经过t1=10min，小艇到达正对岸下游x=120m的C处，如图所示，如果小艇保持速度大小不变逆水斜向上游与河岸成角方向行驶，则经过t2=12.5min，小艇恰好到达正对岸的B处，求： （1）水流的速度v1： （2）小艇在静水中的速度v2； （3）小艇与河岸的夹角。    15．如图所示，为某装置的俯视图。质量为m的正方形小木块放在水平钢板C上，同时因受水平长直导轨A、B的限制，只能在导轨之间移动。导轨间距略大于小木块的宽度。现使钢板以速度v1向右匀速运动，同时沿导轨的方向水平拉动小木块，使其以速度v2在导轨间匀速移动。若小木块与所有物体间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，求水平拉力F的大小。 16．风洞是研究空气动力学的实验设备。如图所示，将刚性杆水平固定在风洞内距地面高度处，杆上套一可沿杆滑动、质量为的小球，将小球所受的风力调节为方向水平向左、大小为，小球以大小为的初速度向右离开杆端。假设小球所受风力不变，重力加速度g取，求： （1）小球在空中运动的时间； （2）小球落地时的水平位移大小； （3）小球落地时的速度。 学科网（北京）股份有限公司原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2运动的合成与分解（知识解读）（解析版） •知识点1 运动的合成与分解 •知识点2 小船过河问题 •知识点3 关联速度问题 •作业 巩固训练 运动的合成与分解 知识点1 1、分运动和合运动：一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动即分运动，物体的实际运动即合运动。 2、运动的合成与分解：已知分运动求合运动称为运动的合成；已知合运动求分运动称为运动的分解。两者互为逆运算。在对物体的实际运动进行分解时，要根据实际效果分解。 3、遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。 （1）如果各分运动在同一直线上，需选取正方向，与正方向同向的量取“+”号，与正方向反向的量取“-”号，从而将矢量运算简化为代数运算。 （2）两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图所示。 4、合运动和分运动的关系 （1）等时性：合运动与分运动经历的时间相等。 （2）独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响。 （3）等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。 5、合运动的性质与轨迹：由两个分运动的性质及合初速度与合加速度的方向关系决定。 （1）根据加速度判定合运动的性质：若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度（大小或方向）变化，则为非匀变速运动。 两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动[来源:学+科+网Z+X+X+K][来源:学_科_网] 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 （2）合力（或合加速度）方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力（或合加速度）方向和速度方向之间，速度方向与运动轨迹相切，合力（或合加速度）方向指向曲线的凹侧。 【典例1-1】关于运动的合成，下列说法正确的是（　　） A．合运动的速度一定比每一个分运动的速度都大 B．两个匀速直线运动的合运动也一定是匀速直线运动 C．只要两个分运动是直线运动，那么合运动也一定是直线运动 D．两个分运动的时间不一定与它们合运动的时间相等 【答案】B 【详解】A．合运动的速度可能比分运动的速度大，也可能比分运动的速度小，故A错误； B．两个匀速直线运动的合速度肯定是恒定的，所以肯定是匀速直线运动，故B正确； C．如果两个方向上的速度合成与两个方向上的加速度合成不在一条直线上，则物体做曲线运动，故C错误； D．分运动和合运动具有等时性、等效性和独立性，则两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等，故D错误。 故选B。 【典例1-2】（多选）某架飞机在进行一定距离的航空测量时，需要严格按照从南到北的航线飞行。在无风时飞机相对地面的速度大小恒为100m/s，飞行过程中航路上有持续东风（风向从东向西），要确保完成航空测量。下列说法正确的是（    ） A．飞机的飞行朝向为北偏东方向 B．飞机的飞行朝向为北偏西方向 C．风速越大，飞机完成航空测量的时间越短 D．风速越大，飞机完成航空测量的时间越长 【答案】AD 【详解】AB．要确保完成航空测量，根据速度合成的平行四边形法则，如图所示 合速度的方向是从南向北的，所以飞机的飞行朝向为北偏东方向，故A正确，B错误； CD．根据 可知风速越大，飞机的合速度越小，飞机完成航空测量的时间越长，故C错误，D正确。 故选AD。 【典例1-3】花样滑冰是冰上运动项目之一，运动员通过冰刀在冰面上划出图形，并表演跳跃、旋转等高难度动作。花样滑冰的裁判会按照动作的质量与艺术性表现进行综合评分，一女运动员在冰面上运动，假设在方向的速度图像和方向的位移图像如图所示，运动员可视为质点，求： （1）女运动员的初速度大小； （2）末女运动员的速度大小； （3）内女运动员的位移大小。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）由方向的速度图像可知，在方向的初速度为 由方向的位移图像可知在方向做匀速直线运动，速度为 因此运动员的初速度大小为 （2）末在方向的速度为 方向的速度为 因此末运动员的速度大小为 （3）由图知在方向上第加速度，末运动员的速度大小 方向上内方向上位移大小 方向上位移大小 合位移大小 【变式1-1】物体在直角坐标系xOy所在平面内由O点开始运动，其沿坐标轴方向的两个分速度随时间变化的图像如图所示，则对该物体运动过程的描述正确的是（　　） A．物体在0~3s做匀变速直线运动 B．物体在0~3s做匀变速曲线运动 C．物体在3~4s做变加速直线运动 D．物体在3~4s做匀变速曲线运动 【答案】B 【详解】AB．物体在0～3 s内，由题意可知，x方向做匀速直线运动，速度为 vx=4 m/sy方向做初速度为零的匀加速直线运动，其加速度 ay=1 m/s2 合初速度 v0=vx=4 m/s 合加速度 a=ay=1 m/s2 物体的合初速度与合加速度不在同一直线上，所以物体的合运动为匀变速曲线运动， A错误，B正确； CD．物体在3～4 s内，x方向做初速度 vx=4 m/s 加速度 ax=－4 m/s2 在x方向做匀减速直线运动，y方向做初速度 vy=3 m/s 加速度 ay=－3 m/s2 在y方向也做匀减速直线运动，合初速度大小 v=5 m/s 合速度的方向 合加速度大小 a=5 m/s2 合加速度的方向 v、a在同一直线上，但方向恰好相反，所以物体的合运动为匀减速直线运动， CD错误。 故选B。 【变式1-2】（多选）如图所示，在光滑水平面上有两条互相平行的直线、且二者间距为确定值，是这两条直线的垂线，A点在直线上，B、C两点在直线上且间距为确定值；一个物体沿直线以确定的速度匀速向右运动，如果物体要从A点运动到C点，图中1、2、3为可能的路径，则可以在物体通过A点时（　　） A．获得由A指向B的任意瞬时速度，物体的路径是2 B．获得由A指向B的确定瞬时速度，物体的路径是2 C．持续受到平行于方向的恒力，物体的路径可能是1 D．持续受到平行于方向的恒力，物体的路径可能是3 【答案】BC 【详解】AB．物体沿直线以确定的速度匀速向右运动，若获得由A指向B的确定瞬时速度，若两个分速度的合速度方向沿AC方向，则物体沿路径2做直线运动；若获得由A指向B的任意瞬时速度，则物体仍做直线运动，但路径不一定是2，选项B正确，A错误； CD．持续受到平行于方向的恒力，则物体沿平行AB方向做匀加速运动，因沿垂直AB方向做匀速运动，则合运动为曲线运动，合力方向沿平行AB方向指向轨迹的凹向，可知物体的路径可能是1，选项C正确，D错误。 故选BC。 【变式1-3】某直升飞机投物资时，可以停在空中不动，设投出物资离开飞机后由于降落伞的作用能匀速下落，无风时落地速度为5m/s，若飞机停留在离地面100m高处空投物质时，由于风的作用，使降落伞和物资以1m/s的速度匀速向北运动，竖直方向速度不变。求： （1）物资在空中的运动时间； （2）物资落地时的速度； （3）物资下落时水平向北移动的距离。 【答案】（1）20s；（2）；速度方向与水平方向的夹角的正切值为5；（3）20m 【详解】（1）整个落地过程中水平方向与竖直方向始终做匀速直线运动。可得下落的时间为 （2）根据运动的合成，落地时的速度大小为 速度方向与水平方向的夹角的正切值为 （3）下落时水平向北移动的距离 知识点2 1、模型构建 （1）船实际的运动：船随水流的运动和船在静水中的运动的合运动。 （2）如图所示，v水表示水流速度，v静水表示船在静水中的速度，将船在静水中的速度v静水沿平行于河岸方向和垂直于河岸的方向进行正交分解，则v水-v静水cosθ为船实际沿水流方向的运动速度，v⊥=V静水sinθ为船在垂直于河岸方向的运动速度。两个方向的运动情况相互独立、互不影响。 2、小船过河问题的几种情况 （1）渡河时间最短问题：渡河时间仅由v静水垂直于河岸的分量v⊥决定，即（d为河宽），与v水无关。要使渡河时间最短，应使船在垂直于河岸方向的速度最大，如图所示，当sinθ=1，即v静水垂直于河岸时，渡河所用时间最短，即，与v水无关。 （2）渡河位移最小问题 ①当v水＜v静水时，渡河的最小位移即河的宽度d。如图所示，为了使渡河位移等于河的宽度d，这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，使船的合速度v的方向与河岸垂直。此时，v水-v静水cosθ=0，即，渡河时间。 ②当v水＞v静水时，如果船头方向（即v静水方向）与合速度方向垂直，渡河位移最小，如图所示，渡河位移最小为。 【典例2-1】如图所示，AB两点连线垂直于河岸，小南同学由A点划船渡河，船头指向始终与河岸垂直，河宽为100m，水流速度为4m/s，船在静水中的速度为5m/s，则小船到达对岸的位置距B点（　　） A．160m B．120m C．100m D．80m 【答案】D 【详解】船头指向始终与河岸垂直，则船渡河的时间为 小船到达对岸的位置距B点 故选D。 【典例2-2】（多选）如图所示，某段河面宽，小船从A点开始渡河，A点下游的B处是一片左侧边界与河岸垂直的险滩，已知水流速度大小恒为。小船不进入险滩处可视为安全渡河，下列说法正确的是（    ） A．若小船相对静水的速度大小恒为，则小船最短渡河时间为 B．若小船相对静水的速度大小恒为，则小船最短渡河位移大小为 C．若小船相对静水的速度大小恒为，则小船最短渡河位移大小为 D．若要使小船能安全渡河，则小船相对静水的最小速度为 【答案】BD 【详解】A．若小船相对静水的速度大小恒为，小船船头垂直河岸渡河时，时间最短，则有 故A错误； B．若小船相对静水的速度大小恒为，由于小船相对静水的速度大于水流速度，则小船可以到达正对岸，所以小船最短渡河位移大小为，故B正确； C．若小船相对静水的速度大小恒为，由于小船相对静水的速度小于水流速度，则小船不可以到达正对岸，所以小船最短渡河位移一定大于，故C错误； D．若要使小船能安全渡河，小船渡河的临界轨迹如图所示 根据几何关系可得 解得小船相对静水的最小速度为 故D正确。 故选BD。 【典例2-3】一条河两岸平行，河宽，河水流速，一小船在静水中的速度为。求： （1）若小船以最短时间渡河，船头朝着什么方向航行？最短时间是多少？小船位移是多少？ （2）若小船以最短位移渡河。船头与河岸夹角是多少？ 【答案】（1）船头垂直河岸；40s；； （2）船头与河岸夹角是 【详解】（1）要使得小船过河时间最短，那就需要船头垂直河岸，时间为 沿着水流方向的位移 小船位移是多少 （2）因为，所以小船可以到达正对岸，则若要小船到对岸的位移最短，则合速度方向指向正对岸，则 解得 【变式2-1】如图所示，小船以大小为v1、方向与上游河岸成θ角的速度（在静水中的速度）从A处过河，经过t时间正好到达正对岸的B处。现要使小船在更短的时间内过河并且也正好到达正对岸B处，在水流速度不变的情况下，可采取下列方法中的哪种（　　） A．在减小v1的同时，也必须适当减小θ角 B．在增大v1的同时，也必须适当增大θ角 C．只要增大v1的大小，不必改变θ角 D．只要增大θ角，不必改变v1的大小 【答案】B 【详解】由题意可知，水流的速度和河岸的宽度为 ， 现要使小船在更短的时间内过河并且也正好到达正对岸B处，在水流速度不变的情况下，应满足（、是变化后的速度和夹角），则有 ， 当时，则有，即在增大v1的同时，也必须适当增大θ角。 故选B。 【变式2-2】（多选）随着我国全面进入主汛期，防汛形势十分严峻。各地区各部门坚持人民至上、生命至上，全力以赴抗洪抢险。某船积极参加抗洪，已知该船在静水中的最大速度为5m/s。现让该船渡过某条河，假设河的两岸是平行线，河水流速恒定，河宽。船以最短时间渡河，航线与岸的夹角为60°，则（    ） A．渡河时间为20s B．河水流速为10m/s C．实际渡河位移为 D．调整船头斜向上游，可以到达正对岸 【答案】ACD 【详解】A．渡河时间 故A正确； B．由于航线与岸的夹角为60°，则有 解得 故B错误； C．实际渡河位移为 故C正确： D．由于，当船头与上游河岸的夹角满足时，船可到达正对岸，故D正确。 故选ACD。 【变式2-3】小船在静水中的速度大小与时间t的关系如图甲所示，河水的流速与小船离河岸的距离d的变化关系如图乙所示，河岸平直。取。求： （1）小船渡河的最短时间； （2）在小船以最短时间渡河的情况下，小船渡河的最大速度及其与河岸下游的夹角。 【答案】（1）；（2）， 【详解】（1）设船头与河岸的夹角为，由图乙知，河宽为，则小船渡河的时间 当时，即当船头垂直河对岸行驶时，小船渡河的时间最短，小船渡河的最短时间 （2）当河水的流速最大（设为）时，小船渡河的速度最大，有 其中 解得 小船渡河的最大速度与河岸下游的夹角满足 解得 关联速度问题 知识点3 1、模型本质：通过绳和杆连接的两个物体，尽管实际的运动方向不同，但可以通过速度的合成与分解，找出其速度的关联性。 2、模型的建立：物体斜拉绳或绳斜拉物体的问题可看成“关联物体”模型，如图所示，由于绳不可伸长，所以绳两端所连物体的速度沿着绳方向的分速度大小相同。 3、速度的分解 （1）分解依据：物体的实际运动就是合运动。 （2）分解方法：把物体的实际速度分解为垂直于绳方向和平行于绳方向的两个分量，根据沿绳方向的分速度大小相同列方程并求解。 （3）分解结果：把上图甲、乙所示的速度进行分解，结果如下图甲、乙所示。 【典例3-1】如图所示，以速度沿竖直杆匀速下滑的物体A用绕过定滑轮的轻绳拉物体B，当滑轮右侧的绳与水平方向的夹角为时，物体B的速度为（物体B始终未碰到定滑轮）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】物体A向下的运动为合运动，将A的速度沿绳方向和垂直于绳方向分解，如图所示 根据平行四边形定则得 故选D。 【典例3-2】（多选）如图所示，物体A和B分别用不可伸长的轻绳连接跨过定滑轮（不计摩擦）。当用水平力F拉物体B水平向右做匀速直线运动的过程中（　　） A．物体A也做匀速直线运动 B．绳子的拉力始终大于物体A所受的重力 C．物体A的速率小于物体B的速率 D．拉力F保持不变 【答案】BC 【详解】AC．由速度的分解规律可知 可知 向右过程中，减小，增大，增大，故A错误；故C正确； B．A做加速运动，则拉力大于重力，故B正确； D．由于，根据余弦变化规律可知，速度变化越来越快，根据 可知增大，物体B在水平方向上平衡，有 可知F增大，故D错误； 故选BC。 【典例3-3】如图所示，一人站在岸上，利用绳和定滑轮拉船靠岸，在某一时刻绳的速度为v，绳AO段与水平面夹角为θ，OB段与水平面夹角为α。不计摩擦和绳的质量，则此时小船的速度多大？ 【答案】 【详解】小船的运动是合运动，它产生了两个效果：一个是沿绳子方向的运动，另一个是垂直于绳子方向的运动，所以将小船的运动分解到绳子收缩的方向和垂直于绳子的方向，如图所示 由图可知 【变式3-1】质量为的物体P置于倾角为的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着物体P与小车，物体P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以的速度水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向的夹角时，物体P的速率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将小车的速度分解为沿绳子方向分速度和垂直绳子方向分速度，则当小车与滑轮间的细绳和水平方向的夹角时，物体P的速率为 故选C。 【变式3-2】（多选）如图所示，物体A通过轻质细绳拉光滑水平面上的物体B，现用适当的外力作用在物体B上，使物体A沿光滑竖直杆以速度v匀速下滑，某一时刻细绳与竖直杆间的夹角为θ．则以下说法正确的是（    ） A．此时物体B的速度为 B．物体B向右加速运动 C．细绳对B的拉力逐渐变小 D．细绳对A的拉力逐渐变大 【答案】ABC 【详解】AB．将A物体的速度按图示两个方向分解，如图所示 则绳子速率 而绳子速率等于物体B的速率，则有物体B的速率 因θ减小，则B物体加速运动，故AB正确； CD．对A受力分析，则重力、拉力、弹力，因A做匀速运动，所以根据平衡条件可知 因θ减小，增大，F减小，所以绳上的力减小，故C正确，D错误。 故选ABC。 【变式3-3】如图所示，质量都为1kg的两个物体A、B，用轻绳跨过定滑轮相连接，在水平力作用下，物体B沿水平地面向右运动，物体A恰以速度2m/s匀速上升，已知物体B与水平面间的动摩擦因数为0.1，重力加速度为g=10m/s²。当物体B运动到使斜绳与水平方向成α=37°时。（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）求： （1）物体B所受摩擦力的大小； （2）物体B的速度大小。    【答案】（1）0.4N；（2）2.5m/s 【详解】（1）A物体匀速运动可得 T=mg 当斜绳与水平方向成α角时 ， 解得 f=0.4N （2）如图根据平行四边形定则，将B物体的速度沿绳子方向和垂直绳子方向进行分别有 解得B物体的速度大小 一、单选题 1．河水的流速随离一侧河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示。若要以最短时间渡河，则（　　） A．船渡河的最短时间是60s B．船在行驶过程中，船头应斜向上游 C．船在河水中航行的轨迹是一条直线 D．船在河水中的最大速度是5m/s 【答案】D 【详解】B．根据分运动的等时性可知，当船头始终垂直于河岸过河时，渡河时间最短，故B错误； A．根据图甲可知，河的宽度为300m，结合上述可知，渡河的最短时间为 故A错误； C．由于船沿河漂流的分速度的大小时刻在变化，则船的实际速度大小和方向也在时刻发生变化，即船在河水中航行的轨迹是一条曲线，故C错误； D．结合上述可知，船沿河漂流的分速度方向与垂直与河岸的分速度方向垂直，则船在河水中的最大速度为 故D正确。 故选D。 2．下列说法正确的是（    ） A．曲线运动的速度方向可能不变 B．物体做曲线运动合力为零，合力与速度方向不一致 C．曲线运动一定是变速运动 D．运动的合成与分解合运动的时间一定比分运动的时间长 【答案】C 【详解】AC．曲线运动的速度方向一定是变化的，则曲线运动一定是变速运动，选项A错误，C正确； B．物体做曲线运动合力一定不为零，合力与速度方向不一致，选项B错误； D．运动的合成与分解合运动的时间一定与分运动的时间相等，选项D错误。 故选C。 3．如图所示，一条小船渡河，河宽80米，河水流速，船在静水中的速度，船头方向与河岸垂直，关于小船的运动，下列说法正确的是（    ） A．小船能垂直到达正对岸 B．小船过河所用时间为 C．小船实际航行的速度大小为 D．小船过河后到达河对岸下游处 【答案】B 【详解】A．船头方向与河岸垂直，故实际轨迹是合速度方向，不与岸垂直，故A错误； B．小船过河所用时间为 =20s 故B正确； C．小船相对于岸的速度大小为 故C错误； D．小船过河后航行到了河对岸下游 处，故D错误。 故选B。 4．如图所示，一条两岸平行的河，水流速度方向平行河岸且大小保持不变。一条小船在河中匀速运动，船在静水中的速度大小为，船头方向与垂直河岸方向的夹角为，船的实际速度（合速度）与河岸的夹角也为，关于与的大小关系，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意作出船的运动图示如下，由于垂直河岸方向的夹角为，与河岸的夹角也为，在矢量三角形OAB中，OA表示，OB表示，根据几何知识可得 则有 在中，由正弦定理可得 即有 整理可得 故选A。 5．如图所示，小车以速度v匀速向右运动，通过滑轮拖动物体A上升，不计滑轮摩擦与绳子质量，当绳子与水平面夹角为时，下面说法正确的是（   ） A．物体A的速度大小为 B．物体A的速度大小为 C．物体A减速上升 D．绳子对物体A的拉力等于物体A的重力 【答案】B 【详解】AB．将小车的速度沿绳和垂直绳方向分解，则物体A的速度与小车的速度沿绳方向的分速度大小相等，即 故A错误，B正确； CD．小车向右匀速运动，v不变，减小，增大，所以增大，物体A加速上升，加速度向上，合外力向上，绳子对物体A的拉力大于物体A的重力，故C、D错误。 故选B。 6．图为汽车在水平路面上匀速行驶时车轮边缘上M点的运动轨迹。已知时刻M点与坐标原点O重合，车轮半径，汽车的速度，则（　　） A．M点运动到最高点A时的速度为零 B．M点在OA与AB的平均速度大小相同 C．最高点A的坐标为 D．M点从O运动到B的时间为0.3s 【答案】B 【详解】A．M点运动到最高点A时的速度不为零，方向水平向右，故A错误； B．由运动轨迹的对称性可知，OA段与AB段的位移大小和运动时间均相同，则M点在OA与AB的平均速度大小相同，故B正确； C．M点的运动可看成匀速圆周运动与匀速直线运动的合成，则最高点A的纵坐标为 匀速圆周运动的周期为 O点运动至A点的时间为 最高点A的横坐标为 最高点A的坐标为，故C错误； D．根据对称性，M点从O运动到B的时间为 故D错误。 故选B。 7．各种大型的货运站中少不了悬臂式起重机。如图甲所示，某起重机的悬臂保持不动，可沿悬臂行走的天车有两个功能，一是吊着货物沿竖直方向运动，二是吊着货物沿悬臂水平方向运动。现天车吊着质量为100kg的货物在x方向的位移时间图像和y方向的速度-时间关系图像如图乙、丙所示，下列说法正确的是（　　） A．2s末货物的速度大小为3m/s B．货物的运动轨迹是图丙中的抛物线Q C．货物所受的合力大小为150N D．0到2s末这段时间内，货物的合位移大小为11m 【答案】C 【详解】A．由图乙和图丙可以分析出货物水平方向做速度大小为4m/s的匀速直线运动，竖直方向做初速度为0的匀加速直线运；2s末货物的竖直分速度为3m/s，水平分速度为4m/s，因此合速度大小为 故A错误； B．由于竖直方向加速运动，水平方向匀速运动，因此货物的运动轨迹是图丙中的抛物线P，故B错误； C．由图乙可知，货物的加速度大小 因此物体所受的合力大小 故C正确； D．0到2s末这段时间内，竖直方向位移等于图丙中图像与时间轴围成的面积 水平方向位移 因此合位移大小 故D错误。 故选C。 8．如图所示，地铁站内某乘客站在自动扶梯上随扶梯一起上行，扶梯与水平面夹角为30°，速度为0.8m/s，将速度沿水平和竖直方向分解，则顾客在水平方向的分速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】顾客在水平方向的分速度大小为 故选D。 9．火灾逃生的首要原则是离开火灾现场，如图是火警设计的一种让当事人快捷逃离现场的救援方案：用一根不变形的轻杆MN支撑在楼面平台AB上，N端在水平地面上向右以匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆向平台B端靠近，平台高为h，当时，被救人员向B点运动的速率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设杆与水平面CD的夹角为，由几何关系可知 即 将杆上N点的速度分解成沿杆的分速度和垂直杆转动的速度 ，由矢量三角形可知 而沿着同一根杆，各点的速度相同，故被救人员向B点运动的速率为。 故选C。 二、多选题 10．如图所示是小船过河的情景，已知水流速度恒定，以下分析正确的是（　　） A．要想时间最短，船头应该朝向图中1的方向 B．要想到达C点，船头应该朝向图中3的方向 C．要想位移最短，船头应该朝向1的方向 D．若船头朝向2，可能会在C点靠岸 【答案】AD 【详解】A．要想时间最短，船头应垂直河岸，应朝向图中1的方向，故A正确； B．要想到达C点，则合速度方向沿图中3方向，所以船头应该朝向图中3的左侧方向，故B错误； C．要想位移最短，则合速度方向沿图中1方向，所以船头应该朝向图中1的左侧方向，故C错误； D．若船头朝向2，则合速度方向有可能沿图中3方向，小船能会在C点靠岸，故D正确。 故选AD。 11．下图为某物体沿相互垂直的x、y方向的分速度的图像，根据图像判定，物体一定做曲线运动的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】物体做直线运动的条件是速度方向与加速度方向在同一直线，做曲线运动的条件是速度方向与加速度方向不在同一直线。 A.物体竖直方向初速度为0。所以合初速度沿正方向。轴加速度为0，所以合加速度沿轴正方向，速度方向与加速度方向不在同一直线，所以做曲线运动，故A正确； B.物体初速度为0。、轴都有加速度，合加速度不为0，所以物体做匀加速直线运动，故B错误； C.物体竖直方向初速度为0。所以合初速度沿正方向。、轴都有加速度，合加速度不为0，且不沿轴，所以物体做曲线运动，故C正确； D.物体、初速度都不为0，合初速度不为0，方向夹于两轴之间，物体、加速度都不为0，合加速度不为0，方向也是夹于两轴之间，当两者方向能在同一直线时，物体可以做直线运动，故D错误。 故选AC。 12．如图所示，汽车以速度v匀速行驶，当汽车到达P点时，绳子与水平方向的夹角为，则下列说法正确的是（　　） A．此时物体M上升的速度大小为 B．此时物体M上升的速度大小为 C．汽车匀速行驶的过程中，物体M处于超重状态 D．汽车匀速行驶的过程中，物体M向上做匀加速运动 【答案】AC 【详解】AB．将汽车的速度分解为沿细绳方向的速度和垂直细绳方向的速度，则沿细绳方向的速度等于物体的速度，则此时物体M上升的速度大小为 选项A正确，B错误； CD．汽车匀速行驶的过程中，随着θ角减小，则物块M的速度增加，但不是匀加速上升，加速度向上，可知物体M处于超重状态，选项C正确，D错误。 故选AC。 13．一船在静水中的速度是10 m/s，要渡过宽为240 m、水流速度为8 m/s的河流，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6.则下列说法中正确的是（　　） A．此船过河的最短时间是24s B．船垂直到达正对岸的实际航行速度是6 m/s C．船头的指向与上游河岸的夹角为53°船可以垂直到达正对岸 D．此船不可能垂直到达正对岸 【答案】AB 【详解】A．合运动和分运动之间具有等时性，所以当船速垂直河岸时用时最少，有 故A正确； CD．因为，则船头指向斜上游方向，可以使河岸方向的速度为零，合速度垂直河岸从而垂直过河，设船头的指向与上游河岸的夹角为θ，有 可得 即 故CD错误； B．垂直过河时，有 故B正确。 故选AB。 三、解答题 14．已知河宽200m，一艘小艇从河岸上的A处出发渡河，小艇艇身保持与河岸垂直，经过t1=10min，小艇到达正对岸下游x=120m的C处，如图所示，如果小艇保持速度大小不变逆水斜向上游与河岸成角方向行驶，则经过t2=12.5min，小艇恰好到达正对岸的B处，求： （1）水流的速度v1： （2）小艇在静水中的速度v2； （3）小艇与河岸的夹角。    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）水流速度为，小艇在静水中速度为，艇身与河岸垂直时，由 故 （2）艇身与河岸垂直时 故得 （3）小艇逆向上游行驶时，速度情况如图所示    小艇与河岸夹角的余弦 解得 15．如图所示，为某装置的俯视图。质量为m的正方形小木块放在水平钢板C上，同时因受水平长直导轨A、B的限制，只能在导轨之间移动。导轨间距略大于小木块的宽度。现使钢板以速度v1向右匀速运动，同时沿导轨的方向水平拉动小木块，使其以速度v2在导轨间匀速移动。若小木块与所有物体间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，求水平拉力F的大小。 【答案】 【详解】水平面内受力如图所示：      小木块和水平钢板间的摩擦力 小木块与导轨B间的压力 小木块与导轨B间的摩擦力 小木块和水平钢板间的摩擦力在v2反方向的分量 所以 16．风洞是研究空气动力学的实验设备。如图所示，将刚性杆水平固定在风洞内距地面高度处，杆上套一可沿杆滑动、质量为的小球，将小球所受的风力调节为方向水平向左、大小为，小球以大小为的初速度向右离开杆端。假设小球所受风力不变，重力加速度g取，求： （1）小球在空中运动的时间； （2）小球落地时的水平位移大小； （3）小球落地时的速度。 【答案】（1）；（2）；（3），水平方向的夹角的正切值为2 【详解】（1）小球在竖直方向做自由落体运动，有 解得 （2）小球在水平方向，由牛顿第二定律有 小球落地时的水平位移大小为 （3）小球落地前瞬间，竖直分速度大小为 水平分速度大小为 小球落地时的速度大小为 设落地速度方向与水平方向的夹角为，则有 学科网（北京）股份有限公司原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 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