专题26.4 反比例函数k的几何意义与面积之间关系探究的六大题型（解析版+原卷版）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题突破（典例+变式训练）及提优测试卷

专题26.4 反比例函数k的几何意义与面积之间关系探究的六大题型（原卷版） 【人教版】 专题解读： 本套训练卷共 40 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对反比例函数中 k 的几何意义与面积之间关系探究六大题型的理解！ 【题型 1 根据 k 的几何意义求三角形的面积】 1．（温江区开学）如图，曲线C2是双曲线C1：y（x＞0）绕原点O逆时针旋转60°得到的图形，P是双曲线C2上任意一点，点A在直线l：yx上，且PA＝PO，则△POA的面积等于　 　． 2．（2023•丽江二模）如图，△OAB是等边三角形，点B在x轴的正半轴上，点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，则△OAB的面积为 　 　． 3．（2022•炎陵县一模）如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y和y的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为 　 　． 【题型 2 已知三角形的面积求 k】 4．（秋•正定县期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象过点C，且交线段AB于点D，连结CD，OD，若S△OCD＝1，则k的值为（　　） A． B． C．2 D．1 5．（•东莞市二模）如图，已知点A在反比例函数y（x＜0）上，作Rt△ABC，点D是斜边AC的中点，连接DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为7，则k的值为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 6．（•诸城市一模）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，坐标原点O是AB的中点，AC交y轴于点D，∠CAB＝30°，△AOD的面积是1．若直角顶点C在反比例函数y（x＞0）的图象上，则k的值是（　　） A．1 B． C． D．2 7．（2024•重庆模拟）如图，△OAB为等腰三角形，AB＝OB，反比例函数过点B，若S△AOB＝4，则K为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．﹣8 8．（2023秋•本溪期中）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE＝5，则k＝　 ． 9．（2023•繁昌县模拟）如图，A，B是反比例函数y在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，S△OAB＝6，则k＝　 　． 10．（2022春•余姚市期末）如图，直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与原点O重合，点E为x轴上一点，连结AE，F为AE的中点，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过A，F两点，若AD平分∠CAE，△ADE的面积为6，则k的值为 　 　． 11．（2023•宝鸡一模）如图，过反比例函数y（k≠0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB＝3，则k的值为 　 　． 12．（2022秋•云阳县期末）如图，平行四边形ABCO的边OC在x轴上，若过点A的反比例函数的图象经过BC边的中点D，且S△ABD+S△OCD＝21，则k的值是（　　） A．12 B．24 C．28 D．32 13．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y与直线y＝﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点，AB⊥x 轴于点B，且S△ABO． （1）求上述两个函数的解析式； （2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积． 14．（•泰兴市一模）如图，点A（2，m），B（﹣2，3m）分别在反比例函数y1（x＞0）和y2（k＜0，x＜0）的图象上，经过点A、B的直线与y轴相交于点C． （1）求m和k的值； （2）求△AOB的面积． 15．（秋•蓝田县期末）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，已知反比例函数y（k＞0）的图象经过点A（3，m），过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为．求m的值及该反比例函数的表达式． 【题型 3 根据 k 的几何意义求四边形的面积】 16．（黑龙江中考）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在直线y＝﹣2x+8上，且点P的横坐标是2，过点P分别向x轴、y轴作垂线，交反比例函数y的图象于点A、点B，则四边形OAPB的面积是（　　） A．4 B． C． D．5 17．如图，在矩形OABC中，顶点O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点B，则矩形OABC的面积是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 18．（2023春•宿豫区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A、B分别在反比例函数和的图象上，点C、D都在x轴上，则▱ABCD的面积为 　 　． 【题型 4 已知四边形的面积求 k】 19．（2023•西华县二模）如图，过反比例函数的图象上一点A作AB⊥y轴交反比例函数 的图象于点B，连接OA，OB，若S△OAB＝4，则k的值为（　　） A．8 B．6 C．﹣8 D．﹣6 20．（2023•齐齐哈尔）如图，点A在反比例函数图象的一支上，点B在反比例函数y图象的一支上，点C，D在x轴上，若四边形ABCD是面积为9的正方形，则实数k的值为 　 　． 21．（春•西湖区期末）如图反比例函数y的图象与直线y＝﹣x+m（m＞0）交于A，B两点（点A在点B左侧），过点A作x轴的垂线，垂足为点C，连接AO，BO，图中阴影部分的面积为6，则m的值为 　 ． 22．（秋•平远县期末）如图，四边形OABC和四边形BDEF都是正方形，反比例函数y在第一象限的图象经过点E，若两正方形的面积差为12，则k的值为（　　） A．12 B．6 C．﹣12 D．8 23．（2022秋•槐荫区期中）如图，已知双曲线y（x＞0）与矩形OABC的对角线OB相交于点D，若，矩形OABC的面积为，则k等于（　　） A．6 B．12 C．24 D．36 24．（2024•娄底模拟）如图，点A，C在双曲线y上，点B，D在双曲线y上，AB∥y轴，且四边形ABCD是平行四边形，则▱ABCD的面积为 　． 25．（秋•青秀区月考）如图，在平面直角坐标系中，▱AOBC点A的边AO在x轴上，经过点C的反比例函数y交OB于点D，且OD＝2BD，若▱AOBC的面积是6，则k的值是 　 ． 26．（2023秋•武侯区月考）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，它的对角线OB与函数y（x＞0）的图象相交于点D，作矩形OEDF，点E，F分别在x轴和y轴上，且DFBC，若矩形OABC的面积为24，则k的值是 　 　． 27．（秋•锦江区期中）在直角坐标系中，函数y（x＞0，k为常数）的图象经过A（4，1），点B（a，b）（0＜a＜4）是双曲线上的一动点，过A作AC⊥y轴于C，点D是坐标系中的另一点．若以A、B、C、D为顶点的平行四边形的面积为12，那么对角线长度的最大值为 　 ． 28．（秋•锦州期末）如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于点E，双曲线y（x＞0）的图象经过点A，若S△BEC＝4，则反比例函数的表达式为（　　） A．y B．y C．y D．y 【题型 5 根据 k 的几何意义求坐标】 29．（秋•本溪期末）如图，正方形OABC和正方形ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数y（x＞0）的图象上，则E点的坐标是　 　． 30．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是直线y＝﹣x与反比例函数y图象的交点，点A在第二象限，点C的坐标为（3，﹣6）．若直线AC交x轴于点D，则点D的横坐标为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 31．（春•嘉兴期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的顶点A（0，2）和C（2，0），顶点B在x轴上，顶点D在反比例函数y的图象上，点E为边CD上的动点，过点E作EF∥x轴交反比例函数图象于点F，过点F作FG∥CD交x轴于点G，当CE＝CG时，点F的坐标为　 ． 32．（春•永春县期末）如图，面积为20的菱形OABC的两个顶点A，C在反比例函数y（x＞0）的图象上（点A在点C右侧），设点A的横坐标为a（a是整数），则a＝　 　． 33．（2024•巨野县二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）． （1）求k的值． （2）设点M在反比例函数图象上，连接MA，MD，若△MAD的面积是菱形ABCD面积的，求点M的坐标． 34．（2022•市中区一模）已知正方形OABC的面积为9，点O是坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y（x＞0，k＞0）的图象上，点P（m，n）是函数y（x＞0，k＞0）的图象上任意一点．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．若矩形OEPF在正方形OABC外的部分（阴影）面积为S．（提示：考虑点P在点B的左侧或右侧两种情况） （1）求B点的坐标和k的值； （2）写出S关于m的函数关系式； （3）当S＝3时，求点P的坐标． 35．（2024•双流区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax+1与y轴交于点A，与双曲线的交点为B（p，3），且△AOB的面积为． （1）求a，k的值； （2）直线y＝mx﹣8m+1与双曲线的交点为C，D（C在D的左边）． ①连接AC，AD，若△ACD的面积为24，求点C的坐标； ②直线y＝7与直线y＝mx﹣8m+1交于点E，过点D作DF⊥DE，交直线y＝7于点F，G为线段DF上一点，且，连接AG，求的最小值． 【题型 6 根据 k 的几何意义判断面积的变化情况】 36．（2022秋•岳阳期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（m，）在函数的图象上，AB∥y轴，交函数的图象于点B，BC∥x轴交AO的延长线于点C，随着m的增大，△ABC的面积（　　） A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．等于定值12.5 D．等于定值6.25 37．如图，点A是x轴上的一个动点，过点A作x轴的垂线AB交双曲线y于点B．连接OB，BO的延长线与双曲线y的另一个交点为D，作DC垂直于x轴，垂足为C，连接BC，AD．问：四边形ABCD的面积是否为一个常数？若是，求出这个常数的值；若不是，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题26.4 反比例函数k的几何意义与面积之间关系探究的六大题型（解析版） 【人教版】 专题解读： 本套训练卷共 40 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对反比例函数中 k 的几何意义与面积之间关系探究六大题型的理解！ 【题型 1 根据 k 的几何意义求三角形的面积】 1．（•温江区开学）如图，曲线C2是双曲线C1：y（x＞0）绕原点O逆时针旋转60°得到的图形，P是双曲线C2上任意一点，点A在直线l：yx上，且PA＝PO，则△POA的面积等于　3　． 【分析】将C2及直线y绕点O再逆时针旋转30°，得到双曲线C3：y（x＜0），此时直线l与y轴重合，P此时为C3上任意一点，A点此时在y轴上，且PA＝PO，过点P作PB⊥y轴于点B，根据k的几何意义问题可以得到解决． 【解答】解：将C2及直线y绕点O再逆时针旋转30°，得到双曲线C3， 此时直线l与y轴重合， ∵双曲线C3相当于是由（x＞0）绕原点逆时针旋转90得到的， ∴双曲线C3的解析式为：y（x＜0）， ∴P此时为C3上任意一点， A点此时在y轴上，且PA＝PO， 过点P作PB⊥y轴于点B， ∴B是OA的中点， ∴S△PAB＝S△POB， 由反比例函数k的几何意义可知， S△POB， ∴， 故答案为：3． 【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义，根据图形旋转的性质是解决问题的关键． 2．（2023•丽江二模）如图，△OAB是等边三角形，点B在x轴的正半轴上，点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，则△OAB的面积为 　12　． 【分析】过A点作AH⊥OB于H，如图，根据反比例函数比例系数k的几何意义得到S△AOH＝6，然后根据等边三角形的性质得到S△AOB＝2S△AOH． 【解答】解：过A点作AH⊥OB于H，如图， ∵点A在反比例函数y（x＞0）的图象上， ∴S△AOH|12|＝6， ∵△OAB是等边三角形，AH⊥OB， ∴OH＝BH， ∴S△AOB＝2S△AOH＝2×6＝12． 故答案为12． 【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积|k|，且保持不变．也考查了等边三角形的性质． 3．（2022•炎陵县一模）如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y和y的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为 　8　． 【分析】连接OA，OB，利用同底等高的两三角形面积相等得到三角形AOB面积等于三角形ACB面积，再利用反比例函数k的几何意义求出三角形AOP面积与三角形BOP面积，即可得到结果． 【解答】解：如图，连接OA，OB， ∵△AOB与△ACB同底等高， ∴S△AOB＝S△ACB， ∵AB∥x轴， ∴AB⊥y轴， ∵A、B分别在反比例函数y和y的图象上， ∴S△AOP，S△BOP， ∴S△ABC＝S△AOB＝S△AOP+S△BOP8． 故答案为：8． 【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数y的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了三角形的面积． 【题型 2 已知三角形的面积求 k】 4．（秋•正定县期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象过点C，且交线段AB于点D，连结CD，OD，若S△OCD＝1，则k的值为（　　） A． B． C．2 D．1 【分析】作CE⊥OA于E，则CE∥AB，得到△COE∽△BOA，进而得到，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△OEC＝S△AODk，从而得到S△BODk，由C为AB的中点，得到S△OCD＝S△BCDS△BOD＝1，即可得到k＝1，解得k． 【解答】解：作CE⊥OA于E， ∵C为AB的中点，OA＝AB，∠OAB＝90°， ∴CE∥AB， ∴△COE∽△BOA， ∴（）2， ∵S△OEC＝S△AODk， ∴S△AOB＝2k， ∴S△BODk， ∵C为斜边OB的中点， ∴S△OCD＝S△BCDS△BOD＝1， ∴k＝1， ∴k． 故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判断和性质，证得S△OCD＝S△BCDS△BOD＝1是解题的关键． 5．（•东莞市二模）如图，已知点A在反比例函数y（x＜0）上，作Rt△ABC，点D是斜边AC的中点，连接DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为7，则k的值为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，证明△ABC∽△EOB，根据相似比求出BA•BO的值，从而求出△AOB的面积． 【解答】解：∵△BCE的面积为7， ∴BC•OE＝7， ∴BC•OE＝14， ∵点D为斜边AC的中点， ∴BD＝DC， ∴∠DBC＝∠DCB＝∠EBO， 又∠EOB＝∠ABC， ∴△EOB∽△ABC， ∴， ∴AB•OB•＝BC•OE ∴k＝AB•BO＝BC•OE＝14， 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解决本题的关键是证明△EOB∽△ABC，得到AB•OB•＝BC•OE． 6．（•诸城市一模）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，坐标原点O是AB的中点，AC交y轴于点D，∠CAB＝30°，△AOD的面积是1．若直角顶点C在反比例函数y（x＞0）的图象上，则k的值是（　　） A．1 B． C． D．2 【分析】连接OC，作CE⊥OB于E，易证得S△OCES△ACB，解直角三角形求得，然后根据三角形相似证得（）2＝3，即可求得S△COE，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值． 【解答】解：连接OC，作CE⊥OB于E， ∵OC是Rt△ABC斜边AB上的中点， ∴OA＝OC， ∴∠ACO＝∠BAC＝30°， ∴∠OCB＝90°﹣30°＝60° ∵∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣30°＝60°， ∴△COB是等边三角形， ∴OE＝BE， ∴S△OCES△COB， ∵OA＝OB， ∴S△COBS△ACB， ∴S△OCES△ACB， ∴设OA＝OB＝m，则AB＝2m， ∵Rt△ABC中，AB是斜边，∠BAC＝30°， ∴BCABm， 在Rt△AOD中，∠BAC＝30°， ∴ODOAm， ∴， ∵∠OAD＝∠CAB，∠AOD＝∠ACB＝90°， ∴△OAD∽△CAB， ∴（）2＝3， ∴S△CAB＝3S△OAD＝3， ∴S△COE， ∵直角顶点C在反比例函数y（x＞0）的图象上， ∴|k|＝S△COE， ∵图象在第一象限， ∴k， 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形面积等，作出辅助线根据等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 7．（2024•重庆模拟）如图，△OAB为等腰三角形，AB＝OB，反比例函数过点B，若S△AOB＝4，则K为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．﹣8 【分析】过点B作x轴的垂线，垂足为M，根据等腰三角形的性质求出△BOM的面积，再结合反比例函数系数k的几何意义即可解决问题． 【解答】解：过点B作x轴的垂线，垂足为M， ∵△ABO是等腰三角形，且AB＝BO，S△AOB＝4， ∴． 又∵点B在反比例函数y的图象上， ∴， 则|k|＝4． ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴k＝﹣4． 故选：A． 【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征及等腰三角形的性质，熟知反比例函数的图象与性质及等腰三角形的性质是解题的关键． 8．（2023秋•本溪期中）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE＝5，则k＝　10　． 【分析】连接OD，OE，过点D作DH⊥CE于H，BT⊥EC于T，先证△ABT和△DCH全等得BT＝DH，由此得S△ADE＝S△ABE＝5，再由AD⊥x轴得AD∥OE，进而得S△ADO＝S△ADE＝5，然后根据反比例函数比例系数的几何意义得S△ADO|k|，据此可求出k的值． 【解答】解：连接OD，OE，过点D作DH⊥CE于H，BT⊥EC于T，如图所示： 则∠BTA＝∠DHC＝90°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC， ∴∠BAT＝∠DCH， 在△ABT和△DCH中， ， ∴△ABT≌△DCH（AAS）， ∴BT＝DH， ∴△ADE和△ABE同底等高， ∴S△ADE＝S△ABE＝5， ∵AD⊥x轴， ∴AD∥OE， ∴△ADO和△ADE同底等高， ∴S△ADO＝S△ADE＝5， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△ADO|k|， ∴|k|＝2S△ADO＝10， ∵反比例函数的图象在第一象限， ∴k＝10． 故答案为：10． 【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数比例系数k的几何意义，平行四边形的性质，准确识图，熟练掌握反比例函数比例系数k的几何意义，理解等底（同底）等高（同高）的两个三角形的面积相等． 9．（2023•繁昌县模拟）如图，A，B是反比例函数y在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，S△OAB＝6，则k＝　8　． 【分析】过点A作AD⊥x轴，过点B作BC⊥x轴，根据A，B是反比例函数（ k＞0）在第一象限内的图象上的两点，，再根据S四边形ABCO＝S△AOD+S四边形ADCB＝S△AOB+S△BOC，得S△AOB＝S四边形ADCB，列出方程，解出即可． 【解答】解：过点A作AD⊥x轴，过点B作BC⊥x轴， ∵A，B是反比例函数（ k＞0）在第一象限内的图象上的两点， ∴， ∵S四边形ABCO＝S△AOD+S四边形ADCB＝S△AOB+S△BOC， ∴S△AOB＝S四边形ADCB． ∵，S△OAB＝6， ∴， ∴k＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握这两个知识点的综合应用，其中辅助线的做法是解题关键． 10．（2022春•余姚市期末）如图，直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与原点O重合，点E为x轴上一点，连结AE，F为AE的中点，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过A，F两点，若AD平分∠CAE，△ADE的面积为6，则k的值为 　4　． 【分析】连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．证明BD∥AE，推出S△ABE＝S△AOE＝6，推出S△EOFS△AOE＝3，可得S△FMES△EOF＝1，由此即可解决问题． 【解答】解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M． ∵AN∥FM，AF＝FE， ∴MN＝ME， ∴FMAN， ∵A，F在反比例函数的图象上， ∴S△AON＝S△FOMk， ∴•ON•AN•OM•FM， ∴ONOM， ∴ON＝MN＝EM， ∴MEOE， ∴S△FMES△FOE， ∵AD平分∠OAE， ∴∠OAD＝∠EAD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAE， ∴AE∥BD， ∴S△ADE＝S△AOE， ∴S△AOE＝6， ∵AF＝EF， ∴S△EOFS△AOE＝3， ∴S△FMES△EOF＝1， ∴S△FOM＝S△FOE﹣S△FME＝3﹣1＝2k， ∴k＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判定和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明BD∥AE，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 11．（2023•宝鸡一模）如图，过反比例函数y（k≠0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB＝3，则k的值为 　﹣6　． 【分析】根据S△AOB＝3可得，进而可得k＝xA⋅yA＝﹣OB⋅AB＝﹣6． 【解答】解：∵S△AOB＝3，AB⊥x轴， ∴， ∴OB﹣AB＝6， ∵点A在第二象限， ∴OB＝﹣xA，AB＝yA， ∴﹣xA⋅yA＝6， ∴k＝xA⋅yA＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【点评】本题主要考查反比例函数图象与三角形相结合的问题，解题的关键是掌握反比例函数的比例系数的几何意义． 12．（2022秋•云阳县期末）如图，平行四边形ABCO的边OC在x轴上，若过点A的反比例函数的图象经过BC边的中点D，且S△ABD+S△OCD＝21，则k的值是（　　） A．12 B．24 C．28 D．32 【分析】过点A、D分别作OC的垂线，由反比例函数系数k的几何意义，可以得到S△AOM＝S△DON＝|k|，进而得到S四边形DNMA＝S△AOD，根据ABCD是平行四边形，S△ABD+S△OCD＝21，可得S△AOD＝21＝S四边形DNMA，由D是BC的中点，可得出AM＝2DN，设出点D、A的坐标，列方程求解即可． 【解答】解：过点A、D分别作AM⊥OC，DN⊥OC，垂足为M、N， ∵D是BC的中点， ∴DNAM， ∵四边形ABCD是平行四边形，S△ABD+S△OCD＝21， ∴S△AOD＝21， ∵点A、D在反比例函数的图象上， ∴S△AOM＝S△DON＝|k|， ∵S四边形DNMA+S△AOM＝S△DON+S△AOD， ∴S四边形DNMA＝S△AOD＝21， 设点D（，a），则A（，2a）， 即AM＝﹣2a，DN＝﹣a，OM，ON， ∴（﹣a﹣2a）（）＝21， 解得k＝28， 故选：C． 【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的性质，理解反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键． 13．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y与直线y＝﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点，AB⊥x 轴于点B，且S△ABO． （1）求上述两个函数的解析式； （2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积． 【分析】（1）设出A坐标（x，y），表示出OB与AB，进而表示出三角形ABO面积，由已知面积确定出反比例函数k的值，进而确定出一次函数； （2）联立反比例函数与一次函数解析式，求出A与C坐标即可； （3）由一次函数解析式求出D坐标，确定出OD的长，△AOC面积＝△AOD面积+△COD面积，求出即可． 【解答】解：（1）设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0， 则S△ABO•|OB|•|AB|•（﹣x）•y， ∴xy＝﹣3， 又∵反比例函数图象经过第二、四象限， ∴k＝﹣3， ∴所求的两个函数的解析式分别为y，y＝﹣x+2； （2）A、C两点坐标满足， 解得或， ∴交点A为（﹣1，3），C为（3，﹣1）； 由y＝﹣x+2，令x＝0，得y＝2． ∴直线y＝﹣x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2）， 则S△AOC2×12×3＝4． 【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及三角形面积，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 14．（•泰兴市一模）如图，点A（2，m），B（﹣2，3m）分别在反比例函数y1（x＞0）和y2（k＜0，x＜0）的图象上，经过点A、B的直线与y轴相交于点C． （1）求m和k的值； （2）求△AOB的面积． 【分析】（1）先把A（2，m）代入y1中求出m得到A（2，1），B（﹣2，3），然后把B点坐标代入y2中得到k的值； （2）先利用待定系数法确定直线AB的解析式为yx+2，再确定C点坐标，然后利用S△AOB＝S△AOC+S△BOC进行计算． 【解答】解：（1）把A（2，m）代入y1得2m＝2，解得m＝1， ∴A（2，1），B（﹣2，3）， 把B（﹣2，3）代入y2得k＝﹣2×3＝﹣6； （2）设直线AB的解析式为y＝px+q， 把A（2，1），B（﹣2，3）代入得，解得， ∴直线AB的解析式为yx+2， 当x＝0时，yx+2＝2， ∴C（0，2）， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC2×（2+2）＝4． 【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 15．（秋•蓝田县期末）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，已知反比例函数y（k＞0）的图象经过点A（3，m），过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为．求m的值及该反比例函数的表达式． 【分析】根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入y，可求出k的值． 【解答】解：∵A（3，m），AB⊥x， ∴OB＝3，AB＝m， ∴S△AOBOB•AB3m， ∴m， 把点A（3，）代入y，， ∴k＝1， ∴反比例函数的表达式y． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式以及代数式的变形能力． 【题型 3 根据 k 的几何意义求四边形的面积】 16．（黑龙江中考）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在直线y＝﹣2x+8上，且点P的横坐标是2，过点P分别向x轴、y轴作垂线，交反比例函数y的图象于点A、点B，则四边形OAPB的面积是（　　） A．4 B． C． D．5 【分析】将点P的横坐标x＝2，代入直线y＝﹣2x+8可求出点P的坐标，进而求出矩形OCPD的面积，根据反比例函数k的几何意义，可得S△AOC＝S△BOD＝2，进而求出四边形OAPB的面积，最后做出选择． 【解答】解：如图，当x＝2时，y＝﹣2×2+8＝4，即点P（2，4）， ∴S矩形OCPD＝2×4＝8， 又∵点A、点B在反比例函数y的图象上， ∴S△AOC＝S△BOD|k|4＝2， ∴S四边形OAPB＝8﹣2﹣2＝4， 故选：A． 【点评】考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用的方法，掌握反比例函数k的几何意义，是正确解答的前提． 17．如图，在矩形OABC中，顶点O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点B，则矩形OABC的面积是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【分析】四边形OABC为矩形，及根据反比例函数比例系数k的几何意义得S矩形OABC＝|k|，由此即可得出答案． 【解答】解：∵四边形OABC为矩形，点B在反比例函的图象上， 根据反比例函数比例系数k的几何意义得：S矩形OABC＝|k|＝6． 故选：B． 【点评】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质是解决问题的关键． 18．（2023春•宿豫区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A、B分别在反比例函数和的图象上，点C、D都在x轴上，则▱ABCD的面积为 　10　． 【分析】作AE⊥x轴于点E，作BF⊥x轴于点F，易证四边形AEFB是矩形，进而得到S▱ABCD＝S矩形AEFB，根据反比例函数中k的几何意义，可求矩形AEFB的面积，即可求解． 【解答】解：如图，作AE⊥x轴于点E，作BF⊥x轴于点F， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵AE⊥x轴，BF⊥x轴， ∴AE＝BF，AE∥BF，∠AEF＝90°， ∴四边形AEFB是矩形， ∴S▱ABCD＝S矩形AEFB， ∵点A、B分别在反比例函数和的图象上， ∴S矩形AEOG＝|﹣4|＝4，S矩形BFOG＝6， ∴S▱ABCD＝S矩形AEFB＝S矩形AEOG+S矩形BFOG＝4+6＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了反比例函数中k的几何意义，平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数中k的几何意义是解题的关键． 【题型 4 已知四边形的面积求 k】 19．（2023•西华县二模）如图，过反比例函数的图象上一点A作AB⊥y轴交反比例函数 的图象于点B，连接OA，OB，若S△OAB＝4，则k的值为（　　） A．8 B．6 C．﹣8 D．﹣6 【分析】利用反比例函数系数k的几何意义，先求出S△AOC，再求出S△BOC，进而求出k的值即可． 【解答】解：记AB与x轴的交点为C， ∵点A在反比例函数的图象上，且AB⊥y轴， ∴S△AOC|2|＝1， 又∵S△AOB＝4， ∴S△BOC＝4﹣1＝3， ∴|k|＝3， 而k＜0， ∴k＝﹣6， 故选：D． 【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正确计算的前提． 20．（2023•齐齐哈尔）如图，点A在反比例函数图象的一支上，点B在反比例函数y图象的一支上，点C，D在x轴上，若四边形ABCD是面积为9的正方形，则实数k的值为 　﹣6　． 【分析】由正方形的面积可求AB，AD的长度，从而可求出A，B两点的横坐标，结合AB长度列出关于k的方程，即可求解． 【解答】解：∵正方形ABCD的面积为9， ∴AD＝BC＝AB＝3， ∴A（，3），B（，3）， ∴AB， 解得k＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】本题主要考查了反比例函数中的面积问题，最基本的思路是通过点的坐标去求解，对于某些问题可以通过k的几何意义去求解． 21．（春•西湖区期末）如图反比例函数y的图象与直线y＝﹣x+m（m＞0）交于A，B两点（点A在点B左侧），过点A作x轴的垂线，垂足为点C，连接AO，BO，图中阴影部分的面积为6，则m的值为 　3　． 【分析】首先由已知得到S△BFG＝2S△OEC，从而可得A、B横坐标的关系，再设A、B坐标代入y＝﹣x+m，即可求解． 【解答】解：过点A、B分别作y轴和x轴的垂线，垂足分别为R、F， 设点M是AB的中点， 由整理得：x2﹣mx+6＝0， 由题意可得x2﹣mx+6＝0有两个不相等的实数根分别设为x1，x2， 则x1+x2＝m， 则y1+y2＝﹣x1+m﹣x2+m＝m， 则点M的坐标为（m，m）， 设直线AB交x轴于点G，交y轴于点H， 对于y＝﹣x+m，令x＝0，则y＝m，令y＝0，则x＝m， ∴点G、H的坐标分别为（m，0）、（0，m）， 则点HG中点的坐标为（m，m）， 即点M也为GH的中点， 故AH＝BG， ∵AR∥x轴， ∴∠HAR＝∠BGF， ∵∠HRA＝∠BFG＝90°， ∴△HRA≌△BFG（AAS）， ∴AR＝OC＝FG， ∴S△HRA＝S△BFG， ∵S△AEO+S△OCE+S△OCE+S四边形ECFB|k||k|＝6， 而阴影部分的面积＝S△AEO+S四边形EBFC+S△BFG＝6， ∴S△BFG＝2S△OEC， 即CO•EC＝2×BF•FG， 而OC＝FG， ∴ECBF， 即EC是△OBF的中位线， 故设点A的坐标为（t，），则点B（2t，）， 将点A、B的坐标代入一次函数表达式得： ， 解得（不合题意的值已舍去）， 故答案为：3． 【点评】本题为反比例函数综合运用，考查反比例函数和一次函数的基本性质、中点公式的运用、三角形全等及面积问题，题目较难，解题的关键是得出A、B横坐标的关系． 22．（秋•平远县期末）如图，四边形OABC和四边形BDEF都是正方形，反比例函数y在第一象限的图象经过点E，若两正方形的面积差为12，则k的值为（　　） A．12 B．6 C．﹣12 D．8 【分析】设正方形OABC、BDEF的边长分别为a和b，则可表示出D（a，a﹣b），F（a+b，a），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到E（a+b，），由于点E与点D的纵坐标相同，所以a﹣b，则a2﹣b2＝k，然后利用正方形的面积公式易得k＝12． 【解答】解：设正方形OABC、BDEF的边长分别为a和b，则D（a，a﹣b），F（a+b，a）， 所以E（a+b，）， 所以a﹣b， ∴（a+b）（a﹣b）＝k， ∴a2﹣b2＝k， ∵两正方形的面积差为12， ∴k＝12． 故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了正方形的性质． 23．（2022秋•槐荫区期中）如图，已知双曲线y（x＞0）与矩形OABC的对角线OB相交于点D，若，矩形OABC的面积为，则k等于（　　） A．6 B．12 C．24 D．36 【分析】设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n），根据矩形OABC的面积即可求得mn的值，把D的坐标代入函数解析式y（x＞0）即可求得k的值． 【解答】解：设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n）． ∵矩形OABC的面积为， ∴5m•5n， ∴mn． 把D的坐标代入函数解析式得：3n， ∴k＝9mn＝912． 故选：B． 【点评】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，理解矩形的面积与反比例函数的解析式之间的关系是解决本题的关键． 24．（2024•娄底模拟）如图，点A，C在双曲线y上，点B，D在双曲线y上，AB∥y轴，且四边形ABCD是平行四边形，则▱ABCD的面积为 　8　． 【分析】过点C作CE⊥AB交AB的延长线于E，根据平行四边形的性质得AB∥CD∥y轴，AB＝CD，设点A，点，则点B，D，进而得AB，CD，再由AB＝CD得，即a＝b，由此得CE＝a﹣（﹣b）＝2a，然后根据平行四边形的面积公式即可得出答案． 【解答】解：过点C作CE⊥AB交AB的延长线于E，如图所示： ∵四边形ABCD为平行四边形，AB∥y轴， ∴AB∥CD∥y轴，AB＝CD， ∵点A，C在双曲线y＝6/x上， 设点A，点， ∵AB∥CD∥y轴，点B，D在双曲线y＝2/x上， ∴点B，D， ∴AB，CD， ∵AB＝CD， ∴， ∴a＝b， ∵AB∥y轴，CE⊥AB， ∴CE⊥y轴， ∴CE＝a﹣（﹣b）＝a+b＝2a， ∴S▱ABCD＝AB•CE8． 故答案为：8． 【点评】此题主要考查了反比例函数图象上的点，平行四边形的性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握平行四边形的性质及面积公式是解决问题的关键． 25．（秋•青秀区月考）如图，在平面直角坐标系中，▱AOBC点A的边AO在x轴上，经过点C的反比例函数y交OB于点D，且OD＝2BD，若▱AOBC的面积是6，则k的值是 　　． 【分析】作BE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F，则DF∥BE，△ODF∽△OBE，根据相似三角形对应边成比例得出，设D（2x，），表示出B（3x，），C（，），根据▱AOBC的面积是6，列出方程（3x）•6，即可求出k的值． 【解答】解：作BE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F，则DF∥BE， ∴△ODF∽△OBE， ∴， 设D（2x，），则B（3x，），C（，）， ∵▱AOBC的面积是6， ∴（3x）•6， 解得k． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，平行四边形的面积，设出D点坐标后，表示出B、C两点的坐标是解题的关键． 26．（2023秋•武侯区月考）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，它的对角线OB与函数y（x＞0）的图象相交于点D，作矩形OEDF，点E，F分别在x轴和y轴上，且DFBC，若矩形OABC的面积为24，则k的值是 　12　． 【分析】过点D作DE⊥OA于E，先求出S△OABS矩形OABC＝12，再证△OED∽△OAB，从而得S△OED：S△OAB＝1：2，进而得S△OEDS△OAB＝6，然后根据反比例函数系数的几何意义即可求得k的值． 【解答】解：过点D作DE⊥OA于E，如图示： ∵四边形OABC为矩形，且面积为24， ∴∠OAB＝90°，S△OABS矩形OABC＝12， ∵DE⊥OA， ∴∠OED＝∠OAB＝90°， ∴DE∥AB， ∴△OED∽△OAB， ∵FD：BC＝1：， ∴S△OED：S△OAB＝1：2， ∴S△OEDS△OAB＝6， ∵点D在第一象限，且在反比例函数y（x＞0）的图象上， ∴k＝6， ∴k＝12． 故答案为：12． 【点评】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 27．（秋•锦江区期中）在直角坐标系中，函数y（x＞0，k为常数）的图象经过A（4，1），点B（a，b）（0＜a＜4）是双曲线上的一动点，过A作AC⊥y轴于C，点D是坐标系中的另一点．若以A、B、C、D为顶点的平行四边形的面积为12，那么对角线长度的最大值为 　　． 【分析】过点B作BF⊥AC于点F，可先将反比例函数式求解出，利用勾股定理得出PB；同时过点D1作D1M⊥CA于M，可得出CD1的长；过D2作D2N⊥直线AC于N，并得出AD2的长，分别比较BP、CD1和AD2的大小即可． 【解答】解：∵函数y（x＞0，k为常数）的图象经过A（4，1）， ∴k＝4×1＝4， 则双曲线为y， 如图，过B作BF⊥AC于F， 当平行四边形ABCD面积为12时，BF•AC＝12， ∴BF＝3，即b＝4． 把y＝4代入y得，x＝1，则B（1，4）， 设BD交AC于P，PC＝AP＝2，CF＝PF＝1， ∴PB2＝32+12＝10， ∴PB，BD＝2PB＝2， 当四边形AD1BC面积为12时，过D1作D1M⊥CA于M，D1M＝BF＝3，CF＝AM＝1，CD12＝52+32＝34， ∴CD1， 当平行四边形ABD2C的面积为12时， 过D2作D2N⊥直线AC于N，CN＝AF＝3，D2N＝BF＝3，AN＝7． ∴AD22＝72+32＝58，AD2， ∴对角线最长可达， 故答案为． 【点评】本题主要考查了反比例函数的综合应用以及平行四边形的面积等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用． 28．（秋•锦州期末）如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于点E，双曲线y（x＞0）的图象经过点A，若S△BEC＝4，则反比例函数的表达式为（　　） A．y B．y C．y D．y 【分析】先根据题意证明△BOE∽△CBA，根据相似比及面积公式得出BO×AB的值即为|k|的值，再由函数所在的象限确定k的值． 【解答】解：∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线， ∴BD＝DC，∠DBC＝∠ACB， 又∠DBC＝∠EBO， ∴∠EBO＝∠ACB， 又∠BOE＝∠CBA＝90°， ∴△BOE∽△CBA， ∴，即BC×OE＝BO×AB． 又∵S△BEC＝4，即BC×OE＝4BO×AB|k|． 又由于反比例函数图象在第一象限，k＞0． 所以k等于8． ∴反比例函数的表达式为y， 故选：C． 【点评】此题主要考查了反比例函数k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S|k|． 【题型 5 根据 k 的几何意义求坐标】 29．（秋•本溪期末）如图，正方形OABC和正方形ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数y（x＞0）的图象上，则E点的坐标是　（）　． 【分析】设正方形ADEF的边长是a，则E的纵坐标是a，则可以求得D的横坐标，进而求得A的横坐标，得到B的坐标，根据E的坐标满足函数的解析式即可求得a的值，从而求得E的坐标． 【解答】解：设正方形ADEF的边长是a，则E的纵坐标是a， 把y＝a代入y得：x， 则E的横坐标，即D的横坐标是：， 则A、B的横坐标是：a， ∵四边形ABCO是正方形， ∴OA＝AB，则B的坐标是：（，）． ∵B是y上的点． 则， 解得：a， 则E的横坐标是：． 则E的坐标是（，）． 故答案为：（，）． 【点评】本题考查了反比例函数的综合应用，以及正方形的性质，正确理解两个正方形的关系是关键． 30．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是直线y＝﹣x与反比例函数y图象的交点，点A在第二象限，点C的坐标为（3，﹣6）．若直线AC交x轴于点D，则点D的横坐标为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【分析】先联立直线y＝﹣x与函数组成方程组求出点B坐标，然后再用待定系数法求出直线AC的解析式，再令y＝0求出x即可． 【解答】解：∵点A，B是直线y＝﹣x与函数的交点， ∴联立方程得：， 解得：或， ∵点A在第二象限， ∴A（﹣3，3）， ∵点C的坐标为（3，﹣6）， 设直线AC的解析式为：y＝kx+b， 把A（﹣3，3），C（3，﹣6）代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为：yx， ∵直线AC交x轴于点D， ∴令y＝0，即x0， 解得：x＝﹣1， ∴点D横坐标是﹣1， 故选：B． 【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点，关键是列方程组求交点坐标． 31．（春•嘉兴期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的顶点A（0，2）和C（2，0），顶点B在x轴上，顶点D在反比例函数y的图象上，点E为边CD上的动点，过点E作EF∥x轴交反比例函数图象于点F，过点F作FG∥CD交x轴于点G，当CE＝CG时，点F的坐标为　（6，）　． 【分析】根据题意可得出三角形ABC是正三角形，进而得出AB＝BC＝CA＝AD＝CD＝4，确定点D的坐标，得出反比例函数的关系式，由题意可知四边形CGFE是菱形，再根据菱形的性质，和直角三角形的边角关系，表示出点F的坐标，列方程求解即可． 【解答】解：连接AC，过点F作FM⊥x轴，垂足为M， ∵A（0，2）），C（2，0）， ∴OA＝2，OC＝2， ∴AC4，tan∠OCA， ∴∠OCA＝60°， ∵菱形ABCD， ∴△ABC是正三角形， ∴AB＝BC＝CA＝4＝AD＝CD， ∴D（4，2）， ∴反比例函数的关系式为y， ∵EF∥x轴，FG∥CD，CE＝CG， ∴四边形CGFE是菱形，且∠ECG＝60°， 在Rt△FMG中，∠GFM＝30°， 设GM＝x，则CG＝GF＝2x，FMx， ∴点F（2+3x，x）， 又∵点F（2+3x，x）在y的图象上， ∴（2+3x）•x＝8， 解得，x1＝﹣2（舍去），x2， ∴点F（6，）， 故答案为：（6，）． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质和判定，把点的坐标代入是常用的方法． 32．（春•永春县期末）如图，面积为20的菱形OABC的两个顶点A，C在反比例函数y（x＞0）的图象上（点A在点C右侧），设点A的横坐标为a（a是整数），则a＝　6　． 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S△OCN＝S△OAM|k|＝12，由菱形的性质以及反比例函数图象的对称性可得BD是它们的对称轴，进而得出点A、点C坐标之间的关系，设出点A的坐标，得出点C坐标，由S△OAC＝S梯形AMNC＝10，可求出a的值． 【解答】解：如图．连接AC，BD，过点A作AM⊥x轴于M，过点C作CN⊥x轴于N， 则S△OCN＝S△OAM|k|＝12， ∵四边形OABC是菱形， ∴S△OACS菱形OABC＝10，BD是菱形的对称轴， 由于点A、C在反比例函数y第一象限的图象上，且关于BD对称， 因此BD也是反比例函数y图象的对称轴， 设点A（a，），则点C（，a）， 即OM＝CN＝a，ON＝AM， ∵S△OAC+S△OAM＝S梯形AMNC+S△OCN，而S△OCN＝S△OAM， ∴S△OAC＝S梯形AMNC＝10， 即（a）（a）＝10， 解得a＝6（取正值）， 故答案为：6． 【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，菱形的性质，理解菱形和双曲线的对称性，用点A的坐标表示S梯形AMNC，是解决问题的关键.. 33．（2024•巨野县二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）． （1）求k的值． （2）设点M在反比例函数图象上，连接MA，MD，若△MAD的面积是菱形ABCD面积的，求点M的坐标． 【分析】（1）过点D作x轴的垂线，垂足为F，由点D的坐标，利用勾股定理可求出OD的长，利用菱形的性质可得出AD的长，可得A，D，F三点共线，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k的值； （2）根据△MAD的面积是菱形ABCD面积的，列方程解出即可． 【解答】解：（1）过点D作x轴的垂线，垂足为F，则AD∥OB，如图1所示． ∵点D的坐标为（4，3）， ∴OF＝4，DF＝3， ∴OD5． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝OD＝5，AD∥OB， ∴A，D，F三点共线， ∴点A坐标为（4，8）． ∵点A在反比例函数y的图象上， ∴k＝4×8＝32； （2）由（1）知：反比例函数的关系式为y（x＞0）， 设点M的坐标为（m，）， ∵△MAD的面积是菱形ABCD面积的， ∴•AD•|xM﹣xD|OB•xD， 5×|m﹣4|5×4， ∴m＝6或2， ∴M（6，）或（2，16）． 【点评】本题考查了勾股定理、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形和三角形的面积等知识，解题的关键是：（1）利用勾股定理及菱形的性质，找出点A的坐标；（2）根据反比例函数解析式设点M的坐标，列方程解决问题． 34．（2022•市中区一模）已知正方形OABC的面积为9，点O是坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y（x＞0，k＞0）的图象上，点P（m，n）是函数y（x＞0，k＞0）的图象上任意一点．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．若矩形OEPF在正方形OABC外的部分（阴影）面积为S．（提示：考虑点P在点B的左侧或右侧两种情况） （1）求B点的坐标和k的值； （2）写出S关于m的函数关系式； （3）当S＝3时，求点P的坐标． 【分析】（1）由正方形的性质可求B点坐标，再将B点代入函数y，即可求k； （2）分两种情况求：当点P在点B的左侧时，即0＜m＜3时，S＝m（3）＝9﹣3m；当点P在点B的右侧时，即m＞3时，S＝9； （3）将S＝3代入（2）中所求表达式，即可求m的值． 【解答】解：（1）∵正方形OABC的面积为9， ∴OA＝OC， ∴B（3，3）， ∵B点在函数y（x＞0，k＞0）的图象上， ∴k＝9； （2）当点P在点B的左侧时，即0＜m＜3时， ∵点P（m，n）是函数y图象上的点， ∴mn＝9， ∵A（3，0），C（0，3）， ∴S＝m（3）＝9﹣3m； 当点P在点B的右侧时，即m＞3时， S＝（m﹣3）n＝9﹣3n， ∵n， ∴S＝9； （3）当点P在点B的左侧时，S＝9﹣3m＝3， ∴m＝2， ∴P（2，）； 当点P在点B的右侧时，S＝93， m， ∴P（，2）； 综上所述：P点坐标为（2，）或（，2）． 【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义，并分类讨论是解题的关键． 35．（2024•双流区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax+1与y轴交于点A，与双曲线的交点为B（p，3），且△AOB的面积为． （1）求a，k的值； （2）直线y＝mx﹣8m+1与双曲线的交点为C，D（C在D的左边）． ①连接AC，AD，若△ACD的面积为24，求点C的坐标； ②直线y＝7与直线y＝mx﹣8m+1交于点E，过点D作DF⊥DE，交直线y＝7于点F，G为线段DF上一点，且，连接AG，求的最小值． 【分析】（1）利用面积求出p的值，从而确定B点坐标，将B点代入y＝ax+1求a的值，将B点代入y中求k的值； （2）①设直线y＝mx﹣8m+1交y轴于点L，直线与反比例函数联立可求C（，﹣8m），D（8，1），根据S△ADL﹣S△ACL＝24，求出m的值，即可求C（，7）； ②设直线y＝7与直线AB交H点，则H（8，7），连接HD，HG，则HD⊥AD，HD＝6，先证明△ADE∽△HDG，再证明△QAE∽△HPG，可得HPAQ，从而得到点G的运动轨迹是直线PG，作点H关于直线PG的对称点L，则HG＝GL，当A、G、L三点共线时，AG+HG的值最小，最小值为AL，即AG+AE（AG+HG）AL，求出AL即可求解． 【解答】解：（1）在函数y＝ax+1中，当x＝0时，y＝1， ∴A（0，1）， ∵△AOB的面积为， ∴， 解得：p， ∴B（，3）， 将B（，3）坐标代入y＝ax+1中，得：， 解得：a， 将B（，3）坐标代入y中，得：k8． ∴a，k＝8． （2）①设直线y＝mx﹣8m+1交y轴于点L， 由题意得：， 解得：，， ∴C（，﹣8m），D（8，1）， 在y＝mx﹣8m+1中，令x＝0，得y＝﹣8m+1， ∴L（0，﹣8m+1）， ∵S△ACD＝24， ∴S△ADL﹣S△ACL＝24， ∴AL•xDAL•xC＝24， 即（﹣8m+1﹣1）×8（﹣8m+1﹣1）×（）＝24， 解得：m， ∴C（，7）； ②设直线y＝7与直线AB交H点，则H（8，7），连接HD，HG，则HD⊥AD，HD＝6， ∴∠ADH＝∠EDF＝90°， ∴∠ADE＝∠HDG， ∵DGDE，AD＝8，HD＝6， ∴， ∴△ADE∽△HDG， ∴AEHG，∠EAD＝∠GHD， ∵∠QAD＝∠PHD＝90°， ∴△QAE∽△HPG， ∴， ∴HPAQ， ∴点G的运动轨迹是直线PG， 作点H关于直线PG的对称点L，则HG＝GL， ∴当A、G、L三点共线时，AG+HG的值最小，最小值为AL， ∴AG+AEAGHG（AG+HG）， ∴AG+AE的最小值为（AG+HG）的最小值，即AL， ∵HL＝2HP＝9，QH＝AD＝8， ∴QL＝QH+HL＝17， ∴AL5， ∴AL， ∴AG+AE的最小值为． 【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，三角形相似判定及性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键． 【题型 6 根据 k 的几何意义判断面积的变化情况】 36．（2022秋•岳阳期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（m，）在函数的图象上，AB∥y轴，交函数的图象于点B，BC∥x轴交AO的延长线于点C，随着m的增大，△ABC的面积（　　） A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．等于定值12.5 D．等于定值6.25 【分析】根据反比例函数k的几何意义得出S△POC2＝1，S矩形ACOD＝6，即可得出，从而得出，通过证得 △POC∽△PBA，得出（）2，即可得出S△PAB＝16S△POC＝16． 【解答】解：由题意可知S△AOC2＝1，S矩形BDOE＝3， ∵S△AODOD•AD，S矩形BDOE＝OD•BD， ，， ∴， ∴， ∵AB∥x轴， ∴△AOD∽△ACB， ∴， ∴S△ABCS△AOC＝6.25， ∴△ABC的面积等于定值6.25． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，证得是解题的关键． 37．如图，点A是x轴上的一个动点，过点A作x轴的垂线AB交双曲线y于点B．连接OB，BO的延长线与双曲线y的另一个交点为D，作DC垂直于x轴，垂足为C，连接BC，AD．问：四边形ABCD的面积是否为一个常数？若是，求出这个常数的值；若不是，请说明理由． 【分析】欲求四边形ABCD的面积，需求△ACB和△ACD的面积．根据反比例函数的图象的特点，可得△ABC与△ACD的面积相等，则需求△ABC的面积，进而解决此题． 【解答】解：根据y的函数图象的性质，得OA＝OC． ∵B、D在y的函数图象上， ∴可设、（0＜xA）． ∴xA＝﹣xB． ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD3+3＝6． ∴四边形ABCD的面积为一个常数，且常数是6． 【点评】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征以及三角形的面积公式，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标特征以及三角形的面积公式是解决本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$