专题26.3反比例函数在实际问题中的应用按题型分类【八大题型】-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题突破（典例+变式训练）及提优测试卷

专题26.3反比例函数在实际问题中的应用按题型分类【八大题型】（解析版） 类型一 化学问题 1．（2024•肇源县开学）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（单位：微克/毫升）与服药时间x（单位：h）之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）． （1）求y与x之间的函数表达式． （2）血液中药物浓度不低于4微克/毫升的时候对人体是有效的，服药后对人体的有效时间是多少？ 【分析】（1）分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可； （2）利用y＝4分别得出x的值，进而得出答案． 【解答】解：（1）当0≤x≤4时，设直线解析式为：y＝kx， 将（4，8）代入得：8＝4k， 解得：k＝2， 故直线解析式为：y＝2x， 当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y， 将（4，8）代入得：8， 解得：a＝32， 故反比例函数解析式为：y； 因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y＝2x（0≤x≤4）， 下降阶段的函数关系式为y（4≤x≤10）． （2）当y＝4，则4＝2x，解得：x＝2， 当y＝4，则4，解得：x＝8， ∵8﹣2＝6（小时）， ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时． 【点评】本题考查一次函数和反比例函数的应用，掌握待定系法求函数关系式是解题的关键． 类型二 物理问题 2．（2024•港南区四模）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图2所示．下列结论正确的是（　　） A． B．当I＞10时，R＞22 C．当I＝5时，R＝40 D．当I＞2时，0＜R＜110 【分析】设电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为，根据待定系数法求得，以此判断A选项；分别将I＝10、2代入函数关系中，在根据反比例函数的性质即可判断B、D选项；将I＝5代入函数关系式中，求出R即可判断C选项． 【解答】解：由图象可知，电流I（A）与电阻R（Ω）之间满足反比例函数关系， 设电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为， ∵点（50，4.4）在函数的图象上， ∴， 解得：k＝220， ∴电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为，故A选项错误，不符合题意； 当I＝10时，则， ∴R＝22， 由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小， ∴当I＞10时，0＜R＜22，故B选项错误，不符合题意； 当I＝5时，则， ∴R＝44，故C选项错误，不符合题意； 当I＝2时，则， ∴R＝110时， 由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小， ∴当I＞2时，0＜R＜110，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查反比例函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象与性质．要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想 3．（2023•怀化）已知压力F（N）、压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝PS．当F为定值时，如图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据函数的解析式判断函数的图形即可． 【解答】解：∵压力F（N）、压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝PS． ∴当F为定值时，压强P与受力面积S之间函数关系是反比例函数， 故选：D． 【点评】此题主要考查了反比例的应用，关键是会判断函数图象． 4．（2023•凤阳县二模）小满新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（　　） A．电流I（A）随电阻R（Ω）的增大而增大 B．电流I（A）与电阻R（Ω）的关系式为 C．当电阻R≥1100Ω时，电流I的范围为0＜I≤0.2A D．当电阻R为550Ω时，电流I为0.5A 【分析】直接利用反比例函数图象得出函数解析式，进而利用反比例函数的性质分析得出答案． 【解答】解：A．由图象知，电流I（A）随电阻R（Ω）的增大而减小，故此选项不符合题意； B．设反比例函数解析式为：I，把（1100，0.2）代入得：U＝1100×0.2＝220，则I，故此选项不符合题意； C．当电阻R≥1100Ω时，电流I的范围为0＜I≤0.2A；故此选项符合题意； D．把R＝550代入I得，I＝0.4A，故此选项不合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键． 5．（2023春•泰兴市校级期末）在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例．当V＝200时，p＝50，则当p＝100时，V＝　100　． 【分析】直接求出压强p与它的体积V得关系式，进而得出V的值． 【解答】解：∵一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例，当V＝200时，p＝50， ∴设p， 则m＝200×50＝10000， 故p， 则p＝100时，V100． 故答案为：100． 【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 6．（2023春•东莞市校级期中）我们知道，木板对地面的压强P（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数．八年级科技小组在一次实验中根据实验数据画出图象，如图所示： （1）请直接写出这一函数解析式和自变量取值范围； （2）当木板的面积为0.2m2时，压强是多少？ （3）如果要求压强不超过6000（Pa），木板的面积至少要多大？ 【分析】（1）由图可知1.5×400＝600为定值，即k＝600，易求出解析式． （2）在（1）的基础上可求出函数值p． （3）压强不超过6000Pa，即p≤6000时，求相对应的自变量的范围． 【解答】解：（1）∵函数图象经过点A（1.5，400） ∴这个函数的解析式为：y， 自变量取值范围是：x＞0； （2）当x＝0.2m2时，y3000（Pa）； （3）当y＝6000Pa时，x0.1m2 故压强不超过6000（pa），木板的面积至少要0.1m2． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，此题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，同学们要认真观察图象得出正确的结果． 7．星期天，小明在眼镜店配了一副200度的近视眼镜，感觉不太放心，回到学校后，在老师的帮助下，用仪器验得此镜片的焦距为0.4米．资料显示，近视镜的度数y（度）与镜片的焦距x（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，你认为小明配的这副眼镜合格吗？说出你的理由． 【分析】于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，可设y，由于点（0.25，400）在此函数解析式上，故可先求得k的值，然后代入y＝200求得x的值与0.4比较即可． 【解答】解：根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设y， 由于400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米， ∴k＝0.25×400＝100， ∴y， 当y＝200时，x＝0.5＞0.4， ∴小明配的这幅眼镜不合格． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据题意确定反比例函数的解析式，难度不大． 8．（2023•普兰店区一模）嵊州市三江购物中心为了迎接店庆，准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）试写出这个函数的表达式； （2）当气球的体积为2m3时，气球内气体的气压是多少？ （3）当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，对气球的体积有什么要求？ 【分析】（1）根据气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，且过点（1.6，60）故P•V＝96； （2）把V＝2代入（1）中的函数关系式求p即可； （3）依题意P≤120，解不等式即可，可判断V． 【解答】解：（1）设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P， ∵图象过点（1.6，60） ∴k＝96 即P； （2）当V＝2m3时，P＝48（kPa）； （3）当P＞120KPa时，气球将爆炸， ∴P≤120，即120， ∴V≥0.8． ∴气球的体积应大于等于0.8 m3． 【点评】此题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题． 9．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求p关于V的函数解析式． （2）当气球内气体的体积为1.5m3时，气压是多少？ （3）当气球内的气压大于144kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少？（精确到0.01m3） 【分析】（1）设P与V的函数的解析式为P，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把V＝1.5m3代入（1）中解析式，进而得出气球内的气压； （3）把P＝144kPa代入P得出V的值，可知当气球内的气压＞128千帕时，气球的体积范围． 【解答】解：（1）由图象可知，p与V是反比例函数关系，设其函数表达式为p． 由点A（0.8，120）在函数图象上可得：120，即k＝96． 故函数关系式为p． （2）当V＝1.5m3时，p64，当气体体积为1.5m3时，气压是64kPa． （3）当p≤144kPa时，即144， 解得V≥0.67． 因此，为了安全起见，气体的体积应不小于0.67m3． 【点评】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，会用不等式解决实际问题． 10． （2023•舟山二模）如图，某种品牌的电动车的蓄电池电压为定值，使用电源时，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象经过A（8，6），B（m，16）两点． （1）求I与R的函数表达式，并说明比例系数的实际意义； （2）求m的值，并说明m的实际意义； （3）如果以蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？ 【分析】（1）电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，可设I，把点A（8，6）代入求得U，即可得到I与R的函数表达式； （2）把I＝16（A）代入（1）中解析式即可得到电流I的大小； （3）根据I，求I≤10时，R的范围即可． 【解答】解：（1）由于电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数， 设I， ∵图象过点A（8，6）， ∴U＝IR＝8×6＝48， ∴I与R的函数表达式为I； （2）当R＝mΩ时，16（A）， ∴m＝3， 当电阻R为3Ω，电流大小为16A； （3）∵I， ∴当I＝10时，R＝4.8， ∴当I≤10时，R≥4.8． ∴该电路的限制电流不能超过10A，那么该电路的可变电阻控制在不低于4.8Ω． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，会利用待定系数法求反比例函数的关系式是解决问题的关键． 11．（2021•西湖区校级二模）某数学小组在“探究杠杆平衡条件”实验中，固定阻力和阻力臂，得到了下表中的动力y（N）与动力臂x（cm）的几组对应值，根据学习函数的经验，他们对动力y（N）与动力臂x（cm）之间的函数关系进行了探究． x/cm … 1.5 2 3 4 5 6 … y/N … 8 6 4 3 2.4 2 … （1）请根据表中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出各组数值所对应的点，并画出y关于x的函数图象； （2）观察图象，写出这个函数的一条性质：　y随x的增大而减小　； （3）若直线y＝﹣2x+10与上述探究的函数的图象交于点A，B（点A在点B的左边），与x轴，y轴分别交于点D，C，求证：AC＝BD． 【分析】（1）根据表中x，y的对应值为坐标在坐标系中描出各点，再用平滑的曲线连接起来即可得到y关于x的函数图象； （2）根据图象的变化趋势可得到函数的一个性质； （3）观察可得：x，y的乘积为定值12，故y与x之间的函数关系为反比例函数，用待定系数法可得反比例函数的关系式，解方程和方程组求出A，B，C，D的坐标，根据勾股定理求得AC和BD的值，即可得到结论． 【解答】解：（1）利用表中x，y的对应值为坐标在坐标系中描出各点，再用平滑的曲线连接起来；图象如图： （2）由图象可知，y随x的增大而减小； （3）设y（N）与动力臂x（cm）之间的函数关系式为y， 把x＝2时，y＝6代入，得k＝12， ∴y（N）与动力臂x（cm）之间的函数关系式为y（x＞0）， 解方程组， 解得：或， ∴A（2，6），B（3，4）， 令y＝0，即0＝﹣2x+10，解得得x＝5， 令x＝0，即y＝﹣2×0+10＝10， ∴C（0，10），D（5，0）， ∴AC2，BD2， ∴AC＝BD． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，根据题意正确画出图形是解决问题的关键． 12．（2023秋•中宁县期末）某动物园根据杠杆原理G1•L1＝G2•L2上演了一幕现代版“曹冲称象”，具体做法如下：如图所示，在一根已经水平地挂在起重机上的钢梁的左右两边分别挂上一根弹簧秤（重量可以忽略不计）和装有大象的铁笼，其中弹簧秤与钢梁之间的距离为L1＝6m，装有大象的铁笼与钢梁之间的距离为L2＝0.2m，已知当钢梁又呈水平状态（铁笼已经离地）时，弹簧秤显示的读数为G1＝1200N，装有大象的铁笼及其挂钩的总重量为G2． （1）求装有大象的铁笼及其挂钩的总重量G2； （2）若装大象的铁笼固定不动，装有大象的铁笼及其挂钩的总重量不变，那么G1是关于L1的什么函数？直接写出函数解析式； （3）当L1＝8m时，求弹簧秤的显示读数G1，当弹簧秤的显示读数G1＝1800N，求L1． 【分析】（1）将已知数据代入，即可求出总重量G2的值； （2）根据公式，代入G2，L2的值，即可判断出G1关于L1的什么函数，并得出函数解析式； （3）利用（2）中的函数关系，可求出答案． 【解答】解：（1）把 L1＝6m，L2＝0.2m，G1＝1200 代入 G1⋅L1＝G2⋅L2得 1200×6＝0.2G2， G2＝36000N， 答：装有大象的铁笼及其挂钩的总重量G2为36000N； （2）G1 是关于 L1 的反比例函数， ∵G1•L1＝G2•L2＝1200×6， ∴； （3）把L1＝8代入 ， 解得G1900（N）， 把G1＝1800代入 得， 解得L1＝4m． 【点评】本题考查反比例函数的应用，理解题意，列出函数解析式是解题的关键． 13．（2020秋•桂林期末）为了降低输电线电路上的电能消耗，发电站都采用高压输电．已知输出电压U（V）与输出电流I（A）的乘积等于发电功率P（即P＝UI）（W），且通常把某发电站在某时段的发电功率看作恒定不变的． （1）若某水电站的输出功率为5×105W，请写出电压U关于电流I的函数表达式，并求出当输出电压U＝5000（V）时，输出电流I是多少？ （2）若输出电压降低为原来的一半时，由线路损耗电能的计算公式Q＝I2Rt（其中R为常数）计算在相同时间内该线路的电能损耗变为原来的多少倍． 【分析】（1）由“输出电压U（V）与输出电流I（A）的乘积等于发电功率P（即P＝UI）（W）”列出函数关系式，然后代入求值； （2）根据P＝UI得出输出电流I将变为原来的多少倍，然后根据Q＝I2Rt求出相同时段内该路线的电能损耗减少为原来的多少倍． 【解答】解：（1）由题意可得：P＝UI， ∴U， 即电压U关于电流I的函数表达式为U， 当U＝5000时， 5000， 解得：I＝100； ∴当输出电压U＝5000（V）时，输出电流I是100（A）； （2）由P＝UI可得，I， ∴当输出电压降低为原来的一半时，输出电流I将扩大为原来的2倍， 又∵Q＝I2Rt（其中R为常数）， ∴在相同时间内该线路的电能损耗变为原来的4倍． 【点评】本题考查反比例函数的应用，涉及学科综合知识，培养学生应用意识，通过输出电压U（V）与输出电流I（A）的乘积等于发电功率P（即P＝UI）（W），感悟在远距离输电的过程中，通过提高输送电压，减小输送电流，从而减小功率的损失是关键． 14．（四川中考）制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃． （1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式； （2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？ 【分析】（1）首先根据题意，材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系；将题中数据代入用待定系数法可得两个函数的关系式； （2）把y＝15代入y中，进一步求解可得答案． 【解答】解：（1）材料加热时，设y＝ax+15（a≠0）， 由题意得60＝5a+15， 解得a＝9， 则材料加热时，y与x的函数关系式为y＝9x+15（0≤x≤5）． 停止加热时，设y（k≠0）， 由题意得60， 解得k＝300， 则停止加热进行操作时y与x的函数关系式为y（x≥5）； （2）把y＝15代入y，得x＝20， 因此从开始加热到停止操作，共经历了20分钟． 答：从开始加热到停止操作，共经历了20分钟． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 类型三 销售问题 15．（2018•东台市一模）某农户共摘收草莓1920千克，为寻求合适的销售价格，进行了6天试销，试销中发现这批草莓每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间成反比例关系，已知第1天以20元/千克的价格销售了45千克．现假定在这批草莓的销售中，每天的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间都满足这一关系． （1）求y与x的函数关系式； （2）在试销期间，第6天的销售价格比第2天低了9元/千克，但销售量却是第二天的2倍，求第二天的销售价格； （3）试销6天共销售草莓420千克，该农户决定将草莓的售价定为15元/千克，并且每天都按这个价格销售，问余下的草莓预计还需多少天可以全部售完？ 【分析】（1）直接利用第1天以20元/千克的价格销售了45千克，得出函数解析式即可； （2）利用第6天的销售价格比第2天低了9元/千克，但销售量却是第二天的2倍，得出等式求出答案； （3）把x＝15代入函数解析式得出y的值，进而求出答案． 【解答】解：（1）y与x的函数关系式：y； （2）设第二天的销售价格是x元/千克，则2， 解得x＝18，经检验x＝18是原方程的解 答：第二天的销售价格为18元/千克； （3）草莓的销售价定为15元/千克时，每天的销售量： y60（千克）， 由题意25（天）， 所以余下的草莓预计还要销售25天． 【点评】此题主要考查了反比例函数的应用以及分式方程的应用，正确得出反比例函数解析式是解题关键． 16．（2024•高新区一模）距离2024巴黎奥运会开幕还有不到3个月的时间，为抢占奥运商机，苏州一民营企业成功开发出成本价为4元/件的奥运特色商品，经市场调研发现：销售单价x（单位：元）与月销售量y（单位：万件）之间的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分． （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）设销售该商品月利润为w（万元），求出月利润的最大值． 【分析】（1）依据待定系数法，分情况即可求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式； （2）分4≤x≤8、8＜x≤28两种情况，分别求出W的最大值，进而求解． 【解答】解：（1）当4≤x≤8时，设y， 将A（4，40）代入得k＝4×40＝160， ∴y与x之间的函数关系式为y； 当8＜x≤28时，设y＝k'x+b， 将B（8，20），C（28，0）代入得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+28， 综上所述，y； （2）当4≤x≤8时， w160， ∵﹣640＜0， ∴w随x的增大而增大， ∴故当x＝8时，w取得最大值为80； 当8＜x≤28时， w＝（﹣x+28）（x﹣4）＝﹣x2+32x﹣112＝﹣（x﹣16）2+144， ∵﹣1＜0，故函数有最大值， ∴当x＝16时，Smax＝144， ∵144＞80， ∴当每件的销售价格定为16元时，月利润的最大值为144万元． 【点评】本题考查反比例函数与二次函数的综合应用，理解题意，运用分类思想以及数形结合思想确定出函数解析式是解题的关键． 17．（2015•青羊区模拟）某学校小组利用暑假中前40天参加社会实践活动，参与了一家网上书店的经营，了解到一种成本为20元/本的书在x天销售量p＝50﹣x，在第x天的售价为y（元/本），y与x的关系如图所示．已知当社会实践活动时间超过一半后．y＝20 （1）请求出当1≤x≤20时，y与x的函数关系式，请问第几天此书的销售单价为35元/本？ （2）这40天中该网点销售此书第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？ 【分析】（1）当1≤x≤20时，设y＝kx+b，将（1，30.5），（20，40）代入，利用待定系数法求出y与x的函数关系式；然后在每个x的取值范围内，令y＝35，分别解出x的值即可； （2）利用利润＝售价﹣成本，分别求出在1≤x≤20和21≤x≤40时，获得的利润w与x的函数关系式；再利用二次函数及反比例函数的性质求出最大值，然后比较即可． 【解答】解：（1）当1≤x≤20时，设y＝kx+b， 将（1，30.5），（20，40）代入得 ， 解得． 则y与x的函数关系式为yx+30； 当1≤x≤20时，令x+30＝35，解得x＝10， 当21≤x≤40时，令2035，解得：x＝21， 经检验得x＝21是原方程的解且符合题意， 即第10天或者第21天该商品的销售单价为35元/件； （2）设该网店第x天获得的利润为w元． 当1≤x≤20时，w＝（x+30﹣20）（50﹣x）x2+15x+500（x﹣15）2， ∵0， ∴当x＝15时，w有最大值w1，且w1， 当21≤x≤40时，w＝（2020）（50﹣x）315， ∵15750＞0， ∴随x的增大而减小， ∴x＝21时，最大． 于是，x＝21时，w有最大值w2，且w2315＝435， ∵w1＞w2， ∴这40天中该网点销售此书第10天获得的利润最大，最大的利润是612.5元． 【点评】本题考查了反比例函数、二次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质和反比例函数的性质以及最值的求法，难度适中． 类型四 工程问题 18．（2021秋•福清市期末）一艘载满货物的轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度ν（单位：吨/天）随卸货天数t的变化而变化．已知v与t是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求v与t之间的函数解析式； （2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？ 【分析】（1）直接利用待定系数法确定函数关系式，进而得出答案； （2）直接利用（1）中函数解析式，将t＝5代入，进而得出答案． 【解答】解：（1）∵v与t是反比例函数关系， ∴设v（k≠0）， ∵图象过点（2，120）， ∴k＝2×120＝240， ∴v与t之间的函数解析式为：v； （2）当t＝5时，v48， ∵当t＞0时，v随t的增大而减小， ∴当t≤5时，v≥48， 答：平均每天至少要卸载48吨． 【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解题关键． 19．（2024秋•安庆期中）某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200m3的生活垃圾运走． （1）假如每天能运xm3，所需的时间为y天，写出y与x之间的函数关系式； （2）若每辆拖拉机一天能运12m3，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？ 【分析】（1）根据每天能运xm3，所需时间为y天的积就是1200m3，即可写出函数关系式； （2）把x＝5×12＝60代入，即可求得天数； 【解答】解：（1）∵xy＝1200， ∴y； （2）x＝12×5＝60，代入函数解析式得；y20（天）； 【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义求解． 20．水塔中储有若干立方米的水，如果每小时放水5m3，那么8小时放完． （1）求水塔中原有多少立方米的水； （2）设放水时间为y（h），每小时放水量为x（m3），写出y与x的关系式； （3）画出（2）中函数的大致图象． 【分析】（1）根据每小时排水量×排水时间＝水塔中原有多少立方米的水； （2）根据每小时放水量×放水时间＝5×8＝40m3，可知放水时间y（h）与每小时放水量x（m3）成反比例关系，即y； （3）根据（2）中函数关系式，画出大致图象即可． 【解答】解：（1）5m3×8＝40m2， 答：水塔中原有40立方米的水； （2）∵xy＝40，y与x成反比例关系． ∴y与x之间的关系式为y； （3）如图所示： 【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，再运用函数关系式解题． 类型五 几何图形问题 21．（2021秋•新邵县期末）某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m的墙，用篱笆围一个面积为12m2的矩形园子． （1）如图，设矩形园子的相邻两边长分别为x（m）、y（m）． ①求y关于x的函数表达式； ②当y≥4时，求x的取值范围； （2）洋洋说篱笆的长可以为14m．你认为洋洋的说法对吗？若对，请求出矩形园子的长与宽；若不对，请说明理由． 【分析】（1）①利用矩形的面积计算公式，找出y关于x的函数表达式，结合墙长为10m，即可得出x的取值范围； ②代入y≥4，可求出x≤3，结合x，即可求出x的取值范围； （2）洋洋的说法对，设垂直于墙的一边长为a m，则平行于墙的一边长为（14﹣2a）m，根据矩形园子的面积为12m2，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a的值，再结合墙长10m，即可得出：洋洋的说法对，此时矩形园子的长为6m，宽为2m． 【解答】解：（1）①∵围成矩形园子的面积为12m2， ∴xy＝12， ∴y． 又∵0＜y≤10， ∴x， ∴y关于x的函数表达式为y（x）． ②∵y≥4，即4， ∴x≤3． 又∵x， ∴x≤3． （2）洋洋的说法对，理由如下： 设垂直于墙的一边长为a m，则平行于墙的一边长为（14﹣2a）m， 依题意得：a（14﹣2a）＝12， 整理得：a2﹣7a+6＝0， 解得：a1＝1，a2＝6， 当a＝1时，14﹣2a＝14﹣2×1＝12＞10，不合题意，舍去； 当a＝6时，14﹣2a＝14﹣2×6＝2＜10，符合题意． ∴洋洋的说法对，此时矩形园子的长为6m，宽为2m． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是：（1）①根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数表达式；②利用反比例函数图象上点的坐标特征，找出x的取值范围；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 22．某养鱼专业户准备挖一个面积为2000平方米的长方形鱼塘． （1）求鱼塘的长y（米）关于宽x（米）的函数表达式； （2）由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖20米，鱼塘的长至少应该为多少米？ 【分析】（1）根据矩形的面积＝长×宽，列出y与x的函数表达式即可； （2）把x＝20代入计算求出y的值，即可得到结果． 【解答】解：（1）由长方形面积为2000平方米，得到xy＝2000，即y； （2）当x≤20（米）时，y100（米）， 则鱼塘的宽最多只能挖20米，鱼塘的长至少应该为100米． 【点评】此题考查了反比例函数的应用，弄清题意是解本题的关键． 23．已知矩形的面积为9，试用图象表示出这个矩形两邻边之间的关系． 【分析】根据题意有：xy＝9；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x、y实际意义x、y应大于0，其图象应在第一象限． 【解答】解：设它的一组邻边长分别x，y， ∵矩形的面积为9， ∴xy＝9， ∴y（x＞0，y＞0）． 图象如图所示 ． 【点评】此题考查了反比例函数的应用及图象，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 类型六 表格问题 24．某厂从2017年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如表： 年度 2017 2018 2019 2020 投入技改资金x/万元 2.5 3 4 4.5 产品成本y/（万元/件） 7.2 6 4.5 4 （1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式； （2）按照这种变化规律，若2021年投入技改资金5万元． ①预计生产成本每件比2020年降低多少万元？ ②若打算在2021年把每件产品的成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元） 【分析】（1）有表格中数据分析可知xy＝2.5×7.2＝3×6＝4×6＝4×4.5＝4.5×4＝18，就可得到反比例函数关系； （2）①把x＝5代入求得y的值即可得到预计成本比09年降低的数额； ②把y＝3.2代入求得x的值即可求解． 【解答】解：（1）由表中数据知，x、y关系，得： xy＝2.5×7.2＝3×6＝4×6＝4×4.5＝4.5×4＝18， ∴x、y不是一次函数关系， ∴表中数据是反比例函数关系y； （2）①当x＝5得：y3.6， 4﹣3.6＝0.4万元； 答：预计成本比2020年降低0.4万元． ②当y＝3.2，得x＝5.625， 5.625﹣5≈0.63（万元）． 答：还要投入技改资金约0.63万元． 【点评】主要考查了函数的实际应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 25．某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现，此商品的销售单价x（单位：元）与日销售数量y（单位：张）之间有如下关系： x/元 3 4 5 6 y/张 20 15 12 10 （1）猜测并确定y关于x的函数解析式，并画出图象； （2）设经营此贺卡的日销售利润为W（单位：元），试求出W关于x的函数解析式．若物价局规定此贺卡的销售单价最高不能超过10元，请你求出销售单价x定为多少元时，才能获得最大的日销售利润？ 【分析】（1）观察表格可得y与x成反比例，用待定系数法得解析式，再画图象即可； （2）列出W关于x的函数关系式，根据反比例函数性质可得答案． 【解答】解：（1）观察表格可知，y与x成反比例， 设y，把（3，20）代入得： 20， 解得k＝60， ∴y关于x的函数解析式为y， 图象如下： （2）根据题意得：W＝（x﹣2）•60， ∵x＞0， ∴W随x的增大而增大， ∴x＝10时，W取最大值，最大值为6048（元）， 答：销售单价x定为10元时，才能获得最大的日销售利润48元． 【点评】本题考查反比例函数的应用，涉及待定系数法，解题的关键是用待定系数法求出函数解析式． 26．如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根质量均匀的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧测力计向下拉，直到木杆平衡，改变弹簧测力计与点O的距离x（单位：cm），观察弹簧测力计的示数y（单位：N）的变化情况．实验数据记录如下： x/cm … 4 6 8 10 12 … y/N … 12 8 6 4.8 4 … （1）把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的坐标系中描出相应的点，用平滑曲线顺次连接这些点并观察所得的图象，猜测y（单位：N）与x（单位：cm）之间的函数关系，并求出函数解析式． （2）当弹簧测力计的示数为5N时，弹簧测力计与点O的距离是多少？随着弹簧测力计与点O的距离不断减小，弹簧测力计的示数将发生怎样的变化？ 【分析】（1）仔细观察表格，在坐标系中分别描出各点，并用平滑曲线连接这些点，即可画出函数图象；观察所画图形，回想常见几种函数的图象特征，即可判断出函数类型，利用待定系数法求出函数解析式； （2）把y＝5代入上面所得解析式求解，并根据函数的性质判断弹簧秤与O点的距离不断减小时的弹簧秤示数变化情况． 【解答】解：（1）如图： 由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数， ∴设y，（k≠0） 把x＝4，y＝12代入，得k＝48， ∴y， 将其余各点的坐标代入验证，均适合， ∴y与x之间的函数关系式为y； （2）把y＝5代入y，得x＝9.6， ∴当弹簧秤的示数为5N时，弹簧秤与O点的距离是9.6cm，随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤的示数不断增大． 【点评】本题主要考查了反比例函数的实际应用，待定系数法求函数解析式等知识，得出函数解析式是解题的关键． 类型七 行程问题 27．如图，一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）的图象为双曲线的一段，若这段公路行驶速度不得超过80km/h，则该汽车通过这段公路最少需要（　　） A．40分钟 B．45分钟 C．55分钟 D．60分钟 【分析】先求出反比例函数解析式为，再求出当v＝80时，，根据反比例图象与性质即可求解． 【解答】解：设抛物线解析式为， ∵反比例函数图象经过点（60，1）， ∴， ∴k＝60， ∴反比例函数解析式为， ∴v＝80时，， ∴当v≤80时，， ∴， 故选：B． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，熟知反比例函数图象与性质，正确求出反比例函数解析式是解题关键． 28．如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（km/h） 与行驶时间t（h）是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于60km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是（　　） A．0.1h B．0.35h C．0.45h D．0.5h 【分析】先利用待定系数法求出AB段的平均行驶速度v（km/h） 与行驶时间t（h）的函数解析式，再将v＝120，v＝60分别代入求出对应的t值，进而求解即可． 【解答】解：由题意可设v， 将（0.3，80）代入得，k＝0.3×80＝24， ∴v． 当v＝120时，t0.2， 当v＝60时，t0.4， ∴通过该限速区间AB段的时间不超过0.4h，不低于0.2h，综观各选项，只有B符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 29．区间测速是指检测机动车通过两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小禾一家在五一小长假期间出去游玩，发现汽车在安全行驶且不超速的条件下，在某一测速区间内行驶的平均速度v（km/h）与行驶时间t（h）之间是反比例函数关系，其函数图象如图所示．若小禾的爸爸安全行驶的平均速度为100km/h，则他们通过此测速区间的时间为 　0.24　h． 【分析】由题意可设v，将（0.4，60）代入得到v．将v＝100代入v即可得到结论． 【解答】解：由题意可设v，将（0.4，60）代入得，k＝0.4×60＝24， ∴v． 当v＝100时，t0.24， 答：他们通过此测速区间的时间为0.24h， 故答案为：0.24． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 30．如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（单位：km/h）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）． （1）求v与t的函数表达式； （2）已知在限速区间AB上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于80km/h，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间范围． 【分析】（1）利用待定系数法求出AB段的平均行驶速度v（km/h） 与行驶时间t（h）的函数解析式； （2）再将v＝120，v＝80分别代入求出对应的t值，进而求解即可． 【解答】解：（1）由题意可设v， 将（0.3，80）代入得，k＝0.3×80＝24， ∴v； 答：v与t的函数表达式为v； （2）当v＝120时，t0.2， 当v＝80时，t0.3， ∴小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间范围为0.2≤t≤0.3． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 类型八 反比例函数在其他实际问题中的应用 31．自国家把印花税调到后，张铁头把10000股（每股8元）全部抛出，并用自带的钱付了交易税，第二天该股票大跌，于是他静观其变． （1）如果他再炒股，求此时股票数y与每股x元的函数关系式； （2）不到五天该股票每股已跌至5元，他把上次抛出的股票所得金额全部买进，问此时他买进多少股． 【分析】（1）根据题意求得张铁头缴税后所得资金，即反比例函数的系数k的值； （2）把x＝5代入（1）中的函数解析式即可求得结果． 【解答】解：因为张铁头卖出10000股后除去缴纳的印花税后，最后得到的资金为：10000×8﹣10000×879760（元）， 若利用这笔钱再炒股：xy＝79760， 则股票数Y与每股X元的函数关系式为：y； （2）把x＝5代入（1）中的函数关系式y，得 y15952． 即他把上次抛出的股票所得金额全部买进，此时他买进15952股． 【点评】本题考查了反比例函数的应用．解题时把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型． 32．（2023秋•大洼区校级期末）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB，BC为线段，CD为双曲线的一部分）． （1）上课后的第4分钟与第25分钟相比较，第 　25　分钟时学生的注意力更集中； （2）一道数学题，需要讲20分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么通过怎样的时间安排，教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？请通过计算说明． 【分析】（1）先用待定系数法分别求出线段AB和双曲线CD的函数解析式，再分别把x＝4和x＝25代入解析式求值即可； （2）把y＝40分别代入（1）中解析式即可求值 【解答】解：（1）设线段AB的解析式为：yAB＝kx+b， 把（10，50）和（0，30）代入得，， 解得， ∴直线AB的解析式为：yAB＝2x+30（0≤x≤10）； 设双曲线CD的函数关系式为：yCD， 把（20，50）代入得，50， ∴a＝1000， ∴双曲线CD的函数关系式为：yCD（20≤x≤40）， 当x＝4时，y＝2×4+30＝38， 当x＝25时，y40， ∴第25分钟时学生的注意力更集中， 故答案为：25； （2）当y＝40时，则2x+30＝40， 解得x＝5； 当y＝40时，则40， 解得x＝25， ∴25﹣5＝20． ∴教师应该在上课5分钟到25分钟时间内，能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题． 【点评】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 33．随着城镇建设发展，许多购物超市相继建成．经研究，我们可以尝试建立一个简单的数学模拟，初步探讨超市对人们购物的吸引力．用S（单位：次）表示人们每季度到超市的平均购物次数，d（单位：千米）表示人们居住地与购物超市的距离，在超市规模大小一定的情况下（忽略其他因素），S与d2成反比． （1）经调查，小明家距离某超市d＝1千米，每季度去购物的平均次数S＝100次，请求出关于这个S与d之间的函数关系式； （2）若小星家距离这个超市5千米，请你估计他家每季度去购物的平均次数． 【分析】（1）根据S与d2成反比设S，根据小明家距离某超市d＝1千米，每季度去购物的平均次数S＝100次求得：k＝100，从而确定函数关系式； （2）代入s＝5求得d值即可． 【解答】解：（1）∵S与d2成反比， ∴设S， ∵小明家距离某超市d＝1千米，每季度去购物的平均次数S＝100次， ∴100， 解得：k＝100， ∴S； （2）当S＝5时，5， 解得：d≈9． 故当小星家距离这个超市5千米，请你估计他家每季度去购物的平均次数为9次． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数的模型，难度中等． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题26.3反比例函数在实际问题中的应用按题型分类【八大题型】（原卷版） 类型一 化学问题 1．（2024•肇源县开学）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（单位：微克/毫升）与服药时间x（单位：h）之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）． （1）求y与x之间的函数表达式． （2）血液中药物浓度不低于4微克/毫升的时候对人体是有效的，服药后对人体的有效时间是多少？ 类型二 物理问题 2．（2024•港南区四模）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图2所示．下列结论正确的是（　　） A． B．当I＞10时，R＞22 C．当I＝5时，R＝40 D．当I＞2时，0＜R＜110 3．（2023•怀化）已知压力F（N）、压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝PS．当F为定值时，如图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（　　） A．B． C． D． 4．（2023•凤阳县二模）小满新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（　　） A．电流I（A）随电阻R（Ω）的增大而增大 B．电流I（A）与电阻R（Ω）的关系式为 C．当电阻R≥1100Ω时，电流I的范围为0＜I≤0.2A D．当电阻R为550Ω时，电流I为0.5A 5．（2023春•泰兴市校级期末）在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例．当V＝200时，p＝50，则当p＝100时，V＝　 　． 6．（2023春•东莞市校级期中）我们知道，木板对地面的压强P（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数．八年级科技小组在一次实验中根据实验数据画出图象，如图所示： （1）请直接写出这一函数解析式和自变量取值范围； （2）当木板的面积为0.2m2时，压强是多少？ （3）如果要求压强不超过6000（Pa），木板的面积至少要多大？ 7．星期天，小明在眼镜店配了一副200度的近视眼镜，感觉不太放心，回到学校后，在老师的帮助下，用仪器验得此镜片的焦距为0.4米．资料显示，近视镜的度数y（度）与镜片的焦距x（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，你认为小明配的这副眼镜合格吗？说出你的理由． 8．（2023•普兰一模）嵊州市三江购物中心为了迎接店庆，准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）试写出这个函数的表达式； （2）当气球的体积为2m3时，气球内气体的气压是多少？ （3）当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，对气球的体积有什么要求？ 9．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求p关于V的函数解析式． （2）当气球内气体的体积为1.5m3时，气压是多少？ （3）当气球内的气压大于144kPa时，气球将爆炸，为安全起见气球的体积应不小于多少？（精确到0.01m3） 10． （2023•舟山二模）如图，某种品牌的电动车的蓄电池电压为定值，使用电源时，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象经过A（8，6），B（m，16）两点． （1）求I与R的函数表达式，并说明比例系数的实际意义； （2）求m的值，并说明m的实际意义； （3）如果蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？ 11．（2021•西湖区校级二模）某数学小组在“探究杠杆平衡条件”实验中，固定阻力和阻力臂，得到了下表中的动力y（N）与动力臂x（cm）的几组对应值，根据学习函数的经验，他们对动力y（N）与动力臂x（cm）之间的函数关系进行了探究． x/cm … 1.5 2 3 4 5 6 … y/N … 8 6 4 3 2.4 2 … （1）请根据表中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出各组数值所对应的点，并画出y关于x的函数图象； （2）观察图象，写出这个函数的一条性质：　 　； （3）若直线y＝﹣2x+10与上述探究的函数的图象交于点A，B（点A在点B的左边），与x轴，y轴分别交于点D，C，求证：AC＝BD． 12．（2023秋•中宁县期末）某动物园根据杠杆原理G1•L1＝G2•L2上演了一幕现代版“曹冲称象”，具体做法如下：如图所示，在一根已经水平地挂在起重机上的钢梁的左右两边分别挂上一根弹簧秤（重量可以忽略不计）和装有大象的铁笼，其中弹簧秤与钢梁之间的距离为L1＝6m，装有大象的铁笼与钢梁之间的距离为L2＝0.2m，已知当钢梁又呈水平状态（铁笼已经离地）时，弹簧秤显示的读数为G1＝1200N，装有大象的铁笼及其挂钩的总重量为G2． （1）求装有大象的铁笼及其挂钩的总重量G2； （2）若装大象的铁笼固定不动，装有大象的铁笼及其挂钩的总重量不变，那么G1是关于L1的什么函数？直接写出函数解析式； （3）当L1＝8m时，求弹簧秤的显示读数G1，当弹簧秤的显示读数G1＝1800N，求L1． 13．（2020秋•桂林期末）为了降低输电线电路上的电能消耗，发电站都采用高压输电．已知输出电压U（V）与输出电流I（A）的乘积等于发电功率P（即P＝UI）（W），且通常把某发电站在某时段的发电功率看作恒定不变的． （1）若某水电站的输出功率为5×105W，请写出电压U关于电流I的函数表达式，并求出当输出电压U＝5000（V）时，输出电流I是多少？ （2）若输出电压降低为原来的一半时，由线路损耗电能的计算公式Q＝I2Rt（其中R为常数）计算在相同时间内该线路的电能损耗变为原来的多少倍． 14．（四川中考）制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃． （1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式； （2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？ 类型三 销售问题 15．（2018•东台市一模）某农户共摘收草莓1920千克，为寻求合适的销售价格，进行了6天试销，试销中发现这批草莓每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间成反比例关系，已知第1天以20元/千克的价格销售了45千克．现假定在这批草莓的销售中，每天的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间都满足这一关系． （1）求y与x的函数关系式； （2）在试销期间，第6天的销售价格比第2天低了9元/千克，但销售量却是第二天的2倍，求第二天的销售价格； （3）试销6天共销售草莓420千克，该农户决定将草莓的售价定为15元/千克，并且每天都按这个价格销售，问余下的草莓预计还需多少天可以全部售完？ 16．（2024•高新区一模）距离2024巴黎奥运会开幕还有不到3个月的时间，为抢占奥运商机，苏州一民营企业成功开发出成本价为4元/件的奥运特色商品，经市场调研发现：销售单价x（单位：元）与月销售量y（单位：万件）之间的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分． （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）设销售该商品月利润为w（万元），求出月利润的最大值． 17．（2015•青羊区模拟）某学校小组利用暑假中前40天参加社会实践活动，参与了一家网上书店的经营，了解到一种成本为20元/本的书在x天销售量p＝50﹣x，在第x天的售价为y（元/本），y与x的关系如图所示．已知当社会实践活动时间超过一半后．y＝20 （1）请求出当1≤x≤20时，y与x的函数关系式，请问第几天此书的销售单价为35元/本？ （2）这40天中该网点销售此书第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？ 类型四 工程问题 18．（2021秋•福清市期末）一艘载满货物的轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度ν（单位：吨/天）随卸货天数t的变化而变化．已知v与t是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求v与t之间的函数解析式； （2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？ 19．（2024秋•安庆期中）某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200m3的生活垃圾运走． （1）假如每天能运xm3，所需的时间为y天，写出y与x之间的函数关系式； （2）若每辆拖拉机一天能运12m3，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？ 20．水塔中储有若干立方米的水，如果每小时放水5m3，那么8小时放完． （1）求水塔中原有多少立方米的水； （2）设放水时间为y（h），每小时放水量为x（m3），写出y与x的关系式； （3）画出（2）中函数的大致图象． 类型五 几何图形问题 21．（2021秋•新邵县期末）某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m的墙，用篱笆围一个面积为12m2的矩形园子． （1）如图，设矩形园子的相邻两边长分别为x（m）、y（m）． ①求y关于x的函数表达式； ②当y≥4时，求x的取值范围； （2）洋洋说篱笆的长可以为14m．你认为洋洋的说法对吗？若对，请求出矩形园子的长与宽；若不对，请说明理由． 22．某养鱼专业户准备挖一个面积为2000平方米的长方形鱼塘． （1）求鱼塘的长y（米）关于宽x（米）的函数表达式； （2）由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖20米，鱼塘的长至少应该为多少米？ 23．已知矩形的面积为9，试用图象表示出这个矩形两邻边之间的关系． 类型六 表格问题 24．某厂从2017年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如表： 年度 2017 2018 2019 2020 投入技改资金x/万元 2.5 3 4 4.5 产品成本y/（万元/件） 7.2 6 4.5 4 （1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式； （2）按照这种变化规律，若2021年投入技改资金5万元． ①预计生产成本每件比2020年降低多少万元？ ②若打算在2021年把每件产品的成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元） 25．某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现，此商品的销售单价x（单位：元）与日销售数量y（单位：张）之间有如下关系： x/元 3 4 5 6 y/张 20 15 12 10 （1）猜测并确定y关于x的函数解析式，并画出图象； （2）设经营此贺卡的日销售利润为W（单位：元），试求出W关于x的函数解析式．若物价局规定此贺卡的销售单价最高不能超过10元，请你求出销售单价x定为多少元时，才能获得最大的日销售利润？ 26．如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根质量均匀的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧测力计向下拉，直到木杆平衡，改变弹簧测力计与点O的距离x（单位：cm），观察弹簧测力计的示数y（单位：N）的变化情况．实验数据记录如下： x/cm … 4 6 8 10 12 … y/N … 12 8 6 4.8 4 … （1）把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的坐标系中描出相应的点，用平滑曲线顺次连接这些点并观察所得的图象，猜测y（单位：N）与x（单位：cm）之间的函数关系，并求出函数解析式． （2）当弹簧测力计的示数为5N时，弹簧测力计与点O的距离是多少？随着弹簧测力计与点O的距离不断减小，弹簧测力计的示数将发生怎样的变化？ 类型七 行程问题 27．如图，一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）的图象为双曲线的一段，若这段公路行驶速度不得超过80km/h，则该汽车通过这段公路最少需要（　　） A．40分钟 B．45分钟 C．55分钟 D．60分钟 28．如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（km/h） 与行驶时间t（h）是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于60km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是（　　） A．0.1h B．0.35h C．0.45h D．0.5h 29．区间测速是指检测机动车通过两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小禾一家在五一小长假期间出去游玩，发现汽车在安全行驶且不超速的条件下，在某一测速区间内行驶的平均速度v（km/h）与行驶时间t（h）之间是反比例函数关系，其函数图象如图所示．若小禾的爸爸安全行驶的平均速度为100km/h，则他们通过此测速区间的时间为 　 　h． 30．如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（单位：km/h）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）． （1）求v与t的函数表达式； （2）已知在限速区间AB上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于80km/h，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间范围． 类型八 反比例函数在其他实际问题中的应用 31．自国家把印花税调到后，张铁头把10000股（每股8元）全部抛出，并用自带的钱付了交易税，第二天该股票大跌，于是他静观其变． （1）如果他再炒股，求此时股票数y与每股x元的函数关系式； （2）不到五天该股票每股已跌至5元，他把上次抛出的股票所得金额全部买进，问此时他买进多少股． 32．（2023秋•大洼区校级期末）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB，BC为线段，CD为双曲线的一部分）． （1）上课后的第4分钟与第25分钟相比较，第 　 　分钟时学生的注意力更集中； （2）一道数学题，需要讲20分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么通过怎样的时间安排，教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？请通过计算说明． 33．随着城镇建设发展，许多购物超市相继建成．经研究，我们可以尝试建立一个简单的数学模拟，初步探讨超市对人们购物的吸引力．用S（单位：次）表示人们每季度到超市的平均购物次数，d（单位：千米）表示人们居住地与购物超市的距离，在超市规模大小一定的情况下（忽略其他因素），S与d2成反比． （1）经调查，小明家距离某超市d＝1千米，每季度去购物的平均次数S＝100次，请求出关于这个S与d之间的函数关系式； （2）若小星家距离这个超市5千米，请你估计他家每季度去购物的平均次数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$