专题04 一元一次方程（5个知识点回顾+6大题型归纳+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（北师大版2024）

专题04 一元一次方程 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 一元一次方程的定义】 【题型2等式的性质】 【题型3 一元一次方程的解】 【题型4解一元一次方程】 【题型5一元一次方程的实际应用】 【题型6 一元一次方程与几何综合】 知识点1 一元一次方程 1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程； 标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）； 2. 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值 知识点2 等式的性质 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 如果a=b，那么a±c=b±c; 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等； 如果a=b，那么ac=bc;如果a=b，c0，那么； 知识点3：含参一元一次方程 1、次数含参：主要考察一元一次方程定义 2、常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题 3、解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数 知识点4： 解一元一次方程 解一元一次方程的步骤： 1. 去分母 两边同乘最简公分母 2.去括号 （1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号 （2）乘法分配律应满足分配到每一项 注意 ：特别是去掉括号，符合变化 3.移项 （1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项 （1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax  b ”的形式（ a  0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1 （1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 ； （2）注意：分子、分母不能颠倒 知识点5： 一元一次方程的实际应用 审:弄清题意，分清已知量和未知量，明确各数量间的关系 设:设未知数，并且用含未知数的代数式表示与所列方程有关的数量列:根据题目中的数量关系、相等关系、倍数关系以及若干倍多或少个数字列方程 解:解所列的方程，求出未知数的值以及题目中所要求的相关数量的值验:检验所求的解是否符合题意，是否符合实际意义。 题型归纳 【题型1 一元一次方程的定义】 1．下列各式中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若方程是关于x的一元一次方程，则（   ）． A．1 B．2 C．3 D．1或3 3．若是关于x的一元一次方程，则m等于 ． 【题型2等式的性质】 4．下列变形中，不正确的是（   ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．下列利用等式的性质变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．根据等式的性质，下列各式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．如果，那么 D．若，那么 7．下列变形不一定正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 8．如图，在两台天平的左右两边分别放入“□”“ ”“”三种物体．若图①所示的天平保持平衡，要使图②的天平也保持平衡，则需在右盘放入“”的个数是（    ） A． B． C．7 D．8 9．利用等式的性质解方程时，应在方程的两边同时（　　） A．加上 B．乘2 C．除以 D．乘 【题型3 一元一次方程的解】 10．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 11．若方程与的解互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D．-1 12．已知方程的解与关于x的方程的解相同， ． 13．若是关于的方程的解，则的值为 【题型4解一元一次方程】 14．解方程： (1)； (2)． 15．解方程： (1)； (2)． 16．解下列方程： (1) (2) 17．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．对于代数式，我们可以引入一种新的符号表示方式：，这种符号形式称为行列式．规定．例如． 按照这种规定，请解答下列问题： (1)计算： ； (2)观察这两个行列式：与，你发现它们之间的数量关系_____． (3)若，求x的值； 【题型5一元一次方程的实际应用】 19．某种风扇因季节原因准备打折出售，如果按定价的7.5折出售，将赔20元，如果按定价的9折出售，将赚25元，问这种风扇的定价为多少钱？ 20．用甲乙两种机器生产同一种零件，已知3台甲型机器生产一天的零件恰好能装满5箱，5台乙型机器生产一天的零件能装满7箱还余下6个零件． (1)若每台甲型机器比每台乙型机器一天多生产2个零件，求每箱能装多少个零件． (2)在（1）的情况下，求2台甲型机器和3台乙型机器一天能生产的零件数． 21．某机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套． (1)问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ (2)每套产品的利润为120元，求该车间每天获得的最大利润． 22．某次篮球联赛部分积分如下： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 24 21 18 据表格提供的信息解答下列问题： (1)列一元一次方程求出胜一场、负一场各积多少分？ (2)某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由． 23．一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过100件部分 2.6元/件 超过100件不超过300件部分 2.2元/件 超过300件部分 2元/件 (1)若买50件花 元，买300件花 元，买400件花 元； (2)小明买这种商品花了612元，列方程求购买这种商品多少件？ 24．2025年“双十一”期间，很多国货品牌受到人们的青睐，销量大幅增长．某平台的体育用品旗舰店实行优惠销售，规定如下：对原价160元/件的某款运动速干衣和20元/双的某款运动棉袜开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案A：买一件运动速干衣送一双运动棉袜； 方案B：运动速干衣和运动棉袜均按9折付款． 某户外俱乐部准备购买运动速干衣30件，运动棉袜x双（）． (1)若该户外俱乐部按方案A购买，需付款______元（用含x的代数式表示）；若该户外俱乐部按方案B购买，需付款______元（用含x的代数式表示）． (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算； (3)当购买运动棉袜多少双时两种方案付款相同． 25．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过170度的部分 第2档 超过170度但不超过260度的部分 0.55 第3档 超过260度的部分 已知8月份该市某居民家用电150度，交电费75元；9月份该居民家交电费107元． (1)表中的值为______； (2)求该居民家9月份的用电量； (3)若10月份该居民家用电的平均电价为0.65元/度，求10月份的电量． 26．综合与实践：砂糖桔是广西某县传统特产，具有皮薄，汁多，化渣，味清甜，吃后沁心润喉，是老少皆宜的美味佳品．请阅读以下材料，完成学习任务：请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成3个任务： 材料一：某县批发市场计划运输一批砂糖橘到甲地出售，为保证砂糖桔新鲜需用带冷柜的货车运输．现有，两种型号的冷柜车，若型车的平均速度为60千米小时，型车的平均速度为75千米小时，从某县到甲地型车比型车少用2小时． 材料二：已知型车每辆可运8吨，型车每辆可运7吨，若单独租用型车，则恰好装完：若单独租用相同数量的型车，则还剩4吨砂糖桔没有装上车． 材料三：在材料一与材料二的条件下，冷柜车运完砂糖桔从某县到甲地时，运输的相关数据如下表所示： 路费单价 冷柜使用单价 1.5元（千米辆） 型冷柜车 型冷柜车 10元（小时辆） 8元（小时辆） （参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目；总费用路费冷柜使用费） (1)请求出A型车从某县到甲地的时间； (2)问这批砂糖桔共有多少吨？ (3)本次砂糖桔从某县到甲地的运输单独安排A型车或B型车，应该选用哪种车型使得总费用较少？较少的总费用是多少元？ 【题型6 一元一次方程与几何综合】 27．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想． ①若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，其中表示点A和点B之间的距离．若A，B位置不确定时，则，若点A在B的右侧，即，则； ②点A向右运动m个单位长度（）后，点A表示的数为：，点A向左运动m个单位长度（）后，点A表示的数为：． 【问题情境】如图：在数轴上点A表示数，点B表示数1，点C表示数9，点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒（t＞0）． (1)运动t秒后，点A表示的数为 （用含t的式子表示）； (2)若t秒钟过后，点B到点A的距离与点B到点C的距离相等，求t值； (3)当点C在点B右侧时，的值是否为定值？若是定值，直接写出这个定值；若不是定值，请说明理由． 28．已知点在数轴上对应的数分别是，其中对应的数是，满足，（如图1）． (1)直接写出的值； (2)如图1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，若，求x的值； (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中两点在“折线数轴”上的距离为个单位长度），动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，在段运动速度变为原来的一半，之后立刻恢复：P从点A运动同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，在段运动速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 29．已知，如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为180． (1)请写出的中点对应的数及其、两点间的距离； (2)现在有一动点从点出发，以每秒6个单位的速度向左运动，同时另一动点恰好从点出发，以每秒4个单位的速度向右运动，设两动点在数轴上的点相遇，求点对应的数是多少； (3)若动点从点出发时，以每秒6个单位的速度向左运动，同时动点恰好从点出发，以每秒4个单位的速度向右运动，直接写出两点在数轴上相距70个单位长度时，点表示的数． 30．数学思想·数形结合根据所学数轴知识，解答下面的问题： (1)知识再现：在数轴上有三个点，，如图1所示． ①点表示的数是_____；之间的距离是_____； ②将点向左平移4个单位长度，此时该点表示的数是_____； (2)知识迁移：如图2，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合． ①若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为_____． ②图中点所表示的数是_____，点所表示的数是_____； (3)知识应用：如图3，由（2）中①、②的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦!”请问奶奶现在多少岁了？琪琪的想法是：借助数轴，把妙妙和奶奶的年龄差看作木棒，奶奶像妙妙这样大时，可看作点移动到点，此时点向左移动后，所对应的点所表示的数为，根据琪琪的想法，完成一下问题： ①若把移动到时，此时点向右移动后，所对应的点表示的数为_____； ②求奶奶现在多少岁． 过关检测 一、单选题 1．已知是关于x的一元一次方程的解，则m的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．下列变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．在解方程时，在方程的两边同时乘以，去分母正确的是（ ） A． B． C． D． 4．下列方程的解与的解相同的是（  ） A． B． C． D． 5．淘宝“618年中大促”活动，某网店所有商品打五折销售．明明的妈妈在该网店购买一件冲锋衣，加上邮费（邮费相当于原价的）共付132元，这件冲锋衣的原价是（　　） A．264 B．240 C．260 D．269 6．某车间有90名工人生产螺丝与螺母，平均每人每天生产50个螺丝或80个螺母，要使每天生产的螺丝和螺母按配套，如果有m人生产螺丝，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．2024年春节期间，某商场打出促销广告，如表所示． 优惠 条件 一次性购物不超过200元 一次性购物超过200元，但不超过500元 一次性购物超过500元 优惠 办法 没有优惠 全部按九折优惠 其中500元仍按九折优惠，超过500元部分按八折优惠 春节的某一天，小雅妈妈在该商场购买了一些商品，经过商场打折优惠后支付了522元，则小雅妈妈比原价节省了（    ）元 A．58元 B．68元 C．130.5元 D．78元 二、填空题 8．某商店把一种商品按标价的8折出售，仍可获利，若该商品进价为每件30元，则每件的标价为 元． 9．若单项式的次数为，则的值为 ． 10．小明同学在解关于的方程时，把处的数字看错了，解得，则该同学把看成了 ． 11．已知与的和等于9，则x的值为 ． 12．幻方是中国古代的一种谜题，又称九宫图，即在正方形网格中填上9个整数，使每行、每列及对角线上的数字之和都相等，图中给出了幻方的部分数字，则 ． 三、解答题 13．解方程： (1)； (2)． 14．一家服装店将某种衣服按成本价提高后标价，为了吸引顾客，商家又以标价的9折出售，结果每件仍可获利12元，求这种衣服每件的标价是多少元？ 15．为了庆祝元旦，甲、乙两校准备共同组织文艺汇演，两校共有92人参加演出，其中甲校人数比乙校多，且甲校人数不足90人，现准备购买演出服装．下表是某服装厂给出的演出服装的价格表，如果两所学校单独购买一共需要付5 000元． 购买服装的套数 1至45套 46至89套 90套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)如果两校联合起来购买演出服装，比各自购买可以节省多少钱？ (2)甲、乙两校各有多少人参加演出？ 16．某包装盒设计为长方体，这个长方体可由长为，宽为的长方形纸板制成．如图所示，在纸板四角分别剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形（阴影部分），再把剩余部分按虚线折成一个有盖的长方体纸盒，其中长方形为盒底，设小正方形的边长为． (1)填空：______，______（用含x的代数式表示）； (2)若长方体纸盒的底面长是宽的3倍，求长方体纸盒的体积． 17．【问题提出】 如图1，，在内，在外，平分，平分，试探究和的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化．如图2，若，． ①直接写出=______，=______； ②直接写出的值． （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立． 【问题拓展】 （3）已知，在的外部，平分，平分，且． ①如图3，求的度数； ②如图4，直接写出的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元一次方程 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 一元一次方程的定义】 【题型2等式的性质】 【题型3 一元一次方程的解】 【题型4解一元一次方程】 【题型5一元一次方程的实际应用】 【题型6 一元一次方程与几何综合】 知识点1 一元一次方程 1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程； 标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）； 2. 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值 知识点2 等式的性质 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 如果a=b，那么a±c=b±c; 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等； 如果a=b，那么ac=bc;如果a=b，c0，那么； 知识点3：含参一元一次方程 1、次数含参：主要考察一元一次方程定义 2、常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题 3、解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数 知识点4： 解一元一次方程 解一元一次方程的步骤： 1. 去分母 两边同乘最简公分母 2.去括号 （1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号 （2）乘法分配律应满足分配到每一项 注意 ：特别是去掉括号，符合变化 3.移项 （1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项 （1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax  b ”的形式（ a  0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1 （1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 ； （2）注意：分子、分母不能颠倒 知识点5： 一元一次方程的实际应用 审:弄清题意，分清已知量和未知量，明确各数量间的关系 设:设未知数，并且用含未知数的代数式表示与所列方程有关的数量列:根据题目中的数量关系、相等关系、倍数关系以及若干倍多或少个数字列方程 解:解所列的方程，求出未知数的值以及题目中所要求的相关数量的值验:检验所求的解是否符合题意，是否符合实际意义。 题型归纳 【题型1 一元一次方程的定义】 1．下列各式中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义逐项判断即可，解题的关键是掌握一元一次方程的定义，即只含有一个未知数、未知数的最高次数为且两边都为整式的等式． 【详解】、是一元一次方程，符合题意； 、中等号左边不是整式，不是一元一次方程，不符合题意； 、不是等式，则不是方程，不符合题意； 、是二元一次方程，不符合题意； 故选：． 2．若方程是关于x的一元一次方程，则（   ）． A．1 B．2 C．3 D．1或3 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据定义可知且，从而解得答案． 【详解】解：由题意可知，，解得或 又，即 故选：C． 3．若是关于x的一元一次方程，则m等于 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元一次方程，绝对值，根据题意可得：，再解m即可． 【详解】解：根据题意可知，是关于x的一元一次方程， ∴， ， 或， 解得：或， 又∵， 解得：， 故． 故答案为：1． 【题型2等式的性质】 4．下列变形中，不正确的是（   ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、若，等式两边同时加3，可得，故选项A正确，不符合题意； B、若，可知，等式两边同时乘以，可得，故选项B正确，不符合题意； C、因为，若，等式两边同时除以，可得，故选项C正确，不符合题意； D、若，当时，不一定等于，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 5．下列利用等式的性质变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】此题考查了等式的性质，利用等式的性质判断即可． 【详解】解：A、若，则，故A选项符合题意； B、若，则，故B选项不符合题意； C、若，则，故C选项不符合题意； D、若，则，故D选项不符合题意． 故选：A． 6．根据等式的性质，下列各式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．如果，那么 D．若，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查等式的性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键． 直接利用等式的基本性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A．根据等式性质2，时，两边同时除以，才可以得，故本选项错误，不符合题意； B． 根据等式性质1，两边同时减6得，故本选项错误，不符合题意； C． 根据等式性质2，两边都乘以，即可得到，故本选项正确，符合题意； D． 根据等式性质2，两边都除以2，则，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 7．下列变形不一定正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质；按照等式的性质逐个选项分析即可得答案．等式的性质：1、等式两边同时加上或减去相等的数或式子，等式两边依然相等．2、等式两边同时乘或除相等且不为零的数或式子，等式两边依然相等． 【详解】解：A. 由，得，故该选项正确，不符合题意；     B. 由，当时，得，故该选项不一定正确，符合题意； C. 由，得，故该选项正确，不符合题意；         D. 由，得，故该选项正确，不符合题意；     故选：B． 8．如图，在两台天平的左右两边分别放入“□”“ ”“”三种物体．若图①所示的天平保持平衡，要使图②的天平也保持平衡，则需在右盘放入“”的个数是（    ） A． B． C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，代数式的求值．设□表示的数为，表示的数为，表示的数为，由图①可知，，由图②中，可得，即可解答． 【详解】解：设□表示的数为，表示的数为，表示的数为， 由图①知，， ∴， ∴图②中， ∴图②中需在右盘放入“”的个数是， 故选：B． 9．利用等式的性质解方程时，应在方程的两边同时（　　） A．加上 B．乘2 C．除以 D．乘 【答案】D 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键； 根据等式的基本性质，直接解答即可． 【详解】解： ， ∴利用等式的性质解方程时，应在方程的两边同时乘， 故选：D． 【题型3 一元一次方程的解】 10．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解的概念，使得方程等式成立的未知数的值叫做方程的解．将分别代入到四个选项中的方程中，看方程左右两边是否相等，进行判断即可． 【详解】、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 11．若方程与的解互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D．-1 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程，相反数的知识，解题的关键是分别解出两个方程，根据两个方程的解互为相反数，即可． 【详解】解：， 解得：； ， 解得：， ∵两个方程的解互为相反数， ∴， 解得：． 故选：A． 12．已知方程的解与关于x的方程的解相同， ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的同解问题，先求出方程的解，再代入，即可求出的值，进行作答． 【详解】解：∵， ∴， 解得； ∵方程的解与关于x的方程的解相同， ∴把代入， 得， ∴， 解得， 故答案为：． 13．若是关于的方程的解，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了一元一方程的解的定义，已知式子的值求代数式的值，根据是关于的方程的解，得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， 则， 故答案为：． 【题型4解一元一次方程】 14．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握等式的性质，解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）运用移项，合并同类项，系数化为1的方法计算即可求解； （2）运用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法计算即可求解． 【详解】（1）解： 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）解：：解 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 15．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； （）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； 本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键． （1）先移项，再合并同类项，化系数为1即可； （2）先去分母，再去括号，移项，然后合并同类项，化系数为1即可． 【详解】（1）解：移项合并得：， 解得：； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项，合并，得：， 解得：． 17．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，正确的计算，是解题的关键． （1）移项，合并同类项，系数化1，解方程即可； （2）去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可． （3）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可； （4）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可． 【详解】（1）； 解： ； （2） 解： ； （3） 解： ； （4） 解： ． 18．对于代数式，我们可以引入一种新的符号表示方式：，这种符号形式称为行列式．规定．例如． 按照这种规定，请解答下列问题： (1)计算： ； (2)观察这两个行列式：与，你发现它们之间的数量关系_____． (3)若，求x的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数的四则混合计算，新定义，整式的加减计算： （1）根据新定义列式计算即可； （2）分别求出两个行列式的结果即可得到答案； （3）根据新定义可得方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 理由如下： ∵，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 解得． 【题型5一元一次方程的实际应用】 19．某种风扇因季节原因准备打折出售，如果按定价的7.5折出售，将赔20元，如果按定价的9折出售，将赚25元，问这种风扇的定价为多少钱？ 【答案】300元 【分析】本题考查了一元一次方程应用，理解题意并找准等量关系是解题的关键． 根据题意得，然后解方程即可． 【详解】解：设这种风扇的定价是x元， 根据题意，得， 解得， 答：这种商品的定价为300元． 20．用甲乙两种机器生产同一种零件，已知3台甲型机器生产一天的零件恰好能装满5箱，5台乙型机器生产一天的零件能装满7箱还余下6个零件． (1)若每台甲型机器比每台乙型机器一天多生产2个零件，求每箱能装多少个零件． (2)在（1）的情况下，求2台甲型机器和3台乙型机器一天能生产的零件数． 【答案】(1)12个 (2)2台甲型机器和3台乙型机器一天能生产的零件数为个 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用以及有理数四则混合运算的应用，找出等量关系是解答本题的关键． （1）设每箱能装个零件，根据“每台甲型机器比每台乙型机器一天多生产2个零件”列出方程求解即可； （2）分别求出甲乙两种型号机器每天的平均产量即可解答本题． 【详解】（1）解：设每箱能装个零件，由题意得 解得， 答：每箱能装12个零件； （2）解：由（1）可知，1台甲型机器一天生产的零件数为个， 1台乙型机器一天生产的零件数为个， 所以，（个） 答：2台甲型机器和3台乙型机器一天能生产94个零件． 21．某机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套． (1)问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ (2)每套产品的利润为120元，求该车间每天获得的最大利润． 【答案】(1)安排25名工人加工大齿轮，60名工人生产小齿轮 (2)24000元． 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，有理数的混合运算的实际应用， （1）设安排x名工人加工大齿轮，则安排名工人生产小齿轮，共生产个大齿轮，个小齿轮，根据“2个大齿轮和3个小齿轮配成一套”列出方程，求解即可； （2）由（1）列出算式求解即可． 【详解】（1）解：设安排x名工人加工大齿轮，则安排名工人生产小齿轮．根据题意，得 解得：， ∴． 答：安排25名工人加工大齿轮，60名工人生产小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套； （2）解：根据题意得， （元） ∴该车间每天获得的最大利润为24000元． 22．某次篮球联赛部分积分如下： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 24 21 18 据表格提供的信息解答下列问题： (1)列一元一次方程求出胜一场、负一场各积多少分？ (2)某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)胜一场积2分，负一场积1分 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设胜一场积分，则负一场积分，根据队的积分建立方程，解方程即可得； （2）设胜场数为场，则负场数为场，根据某队的胜场总积分等于负场总积分建立方程，解方程求出的值，根据为整数即可得出答案． 【详解】（1）解：设胜一场积分，则负一场积分， 由题意得：， 解得， 则， 答：胜一场积2分，负一场积1分． （2）解：某队的胜场总积分不能等于负场总积分，理由如下： 设胜场数为场，则负场数为场， 由题意得：， 解得，不是整数，不符合题意， 所以某队的胜场总积分不能等于负场总积分． 23．一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过100件部分 2.6元/件 超过100件不超过300件部分 2.2元/件 超过300件部分 2元/件 (1)若买50件花 元，买300件花 元，买400件花 元； (2)小明买这种商品花了612元，列方程求购买这种商品多少件？ 【答案】(1)130，700，900 (2)260件 【分析】本题考查了利用一元一次方程解决实际问题，正确理解题意，列出方程是解题的关键． （1）由销售量与销售单价计算即可； （2）设小明购买这种商品x件，由，得出小明购买的件数少于300件，列方程解方程即可． 【详解】（1）解：买50件花：（元）， 买300件花：（元）， 买400件花：（元）， 故答案为：130，700，900； （2）解：设小明购买这种商品x件， ∵， ∴小明购买的件数少于300件， ∴， 解得：； 答：小明购买这种商品260件． 24．2025年“双十一”期间，很多国货品牌受到人们的青睐，销量大幅增长．某平台的体育用品旗舰店实行优惠销售，规定如下：对原价160元/件的某款运动速干衣和20元/双的某款运动棉袜开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案A：买一件运动速干衣送一双运动棉袜； 方案B：运动速干衣和运动棉袜均按9折付款． 某户外俱乐部准备购买运动速干衣30件，运动棉袜x双（）． (1)若该户外俱乐部按方案A购买，需付款______元（用含x的代数式表示）；若该户外俱乐部按方案B购买，需付款______元（用含x的代数式表示）． (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算； (3)当购买运动棉袜多少双时两种方案付款相同． 【答案】(1)， (2)方案A (3)双 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式和代数式求值，解决本题的关键是根据题意准确列出代数式． （1）根据两种不同的优惠方案列出代数式即可； （2）将分别代入（1）所列代数式计算比较即可； （3）根据“两种方案付款相同”列出方程并解答． 【详解】（1）解：按方案A购买，需付款：元， 按方案B购买，需付款：元， 故答案为：，； （2）解：当时， 方案A： （元）． 方案B：（元）． ∵， ∴按方案A购买较为合算； （3）解：根据题意，得． 解得． 答：当购买运动棉袜双时，两种方案付款相同． 25．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过170度的部分 第2档 超过170度但不超过260度的部分 0.55 第3档 超过260度的部分 已知8月份该市某居民家用电150度，交电费75元；9月份该居民家交电费107元． (1)表中的值为______； (2)求该居民家9月份的用电量； (3)若10月份该居民家用电的平均电价为0.65元/度，求10月份的电量． 【答案】(1)0.5 (2)该居民家9月份的用电量为度 (3)10月份的电量为度 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用： （1）根据收费方法，用8月份的电费除以用电量求出的值即可； （2）根据收费方法，列出算式进行计算即可； （3）设10月份的电量为度，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：0.5； （2）， ∴该居民家9月份的用电量为：度； 答：该居民家9月份的用电量为度． （3）设10月份的电量为度，由题意，得： ， 解得：， 答：10月份的电量为度． 26．综合与实践：砂糖桔是广西某县传统特产，具有皮薄，汁多，化渣，味清甜，吃后沁心润喉，是老少皆宜的美味佳品．请阅读以下材料，完成学习任务：请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成3个任务： 材料一：某县批发市场计划运输一批砂糖橘到甲地出售，为保证砂糖桔新鲜需用带冷柜的货车运输．现有，两种型号的冷柜车，若型车的平均速度为60千米小时，型车的平均速度为75千米小时，从某县到甲地型车比型车少用2小时． 材料二：已知型车每辆可运8吨，型车每辆可运7吨，若单独租用型车，则恰好装完：若单独租用相同数量的型车，则还剩4吨砂糖桔没有装上车． 材料三：在材料一与材料二的条件下，冷柜车运完砂糖桔从某县到甲地时，运输的相关数据如下表所示： 路费单价 冷柜使用单价 1.5元（千米辆） 型冷柜车 型冷柜车 10元（小时辆） 8元（小时辆） （参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目；总费用路费冷柜使用费） (1)请求出A型车从某县到甲地的时间； (2)问这批砂糖桔共有多少吨？ (3)本次砂糖桔从某县到甲地的运输单独安排A型车或B型车，应该选用哪种车型使得总费用较少？较少的总费用是多少元？ 【答案】(1)A型车从某县到甲地的时间为10小时 (2)这批砂糖橘共有32吨 (3)单独安排A型车运输才能使得本次总费用较少，较少的总费用是4000元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设型车从某县到甲地的时间为小时，则型车从某县到甲地的时间为小时，根据从某县到甲地的路程相等列方程求解即可； （2）设这批砂糖橘共有吨，根据单独租用相同数量的型车，则还剩4吨砂糖桔没有装上车列方程求解； （3）按照计费方式分别算出两种型号的车所需费用即可求解． 【详解】（1）解：设型车从某县到甲地的时间为小时，则型车从某县到甲地的时间为小时， 由题意得，， 解得：． 答：A型车从某县到甲地的时间为10小时； （2）解：设这批砂糖橘共有吨， 由题意得，， 解得：． 答：这批砂糖桔共有32吨； （3）解：∵型车为（辆）； 型车为（辆）4（吨），即：（辆）； ∴运输32吨砂糖橘，型车需要4辆，型车需要5辆， 某县到甲地的距离为：（千米）． 安排型车的总费用：（元）， 安排型车的总费用：（元）， 因为，所以单独安排运输能使总费用较少，是4000元． 【题型6 一元一次方程与几何综合】 27．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想． ①若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，其中表示点A和点B之间的距离．若A，B位置不确定时，则，若点A在B的右侧，即，则； ②点A向右运动m个单位长度（）后，点A表示的数为：，点A向左运动m个单位长度（）后，点A表示的数为：． 【问题情境】如图：在数轴上点A表示数，点B表示数1，点C表示数9，点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒（t＞0）． (1)运动t秒后，点A表示的数为 （用含t的式子表示）； (2)若t秒钟过后，点B到点A的距离与点B到点C的距离相等，求t值； (3)当点C在点B右侧时，的值是否为定值？若是定值，直接写出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)是定值． 【分析】本题考查整式的加减运算，一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式，数轴上的动点问题，是解题的关键： （1）根据数轴上的动点，左移减，右移加，列出代数式即可； （2）分点B在点A和点C之间和点C与点A重合两种情况，列出方程进行求解即可； （3）表示出，求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意，运动t秒后，点A表示的数为：； 故答案为：； （2）解：由题意可知，t秒时，A点所在的数为：，B点所在的数为：，C点所在的数为：． ①当点B在点A和点C之间时，则 ． 解得； ②当点C与点A重合时，则 ． 解得； 综上，当或点B到点A的距离与点B到点C的距离相等； （3）解：是定值； ∵点C在点B右侧，点B在点A右侧， ∴，， ∴． 28．已知点在数轴上对应的数分别是，其中对应的数是，满足，（如图1）． (1)直接写出的值； (2)如图1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，若，求x的值； (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中两点在“折线数轴”上的距离为个单位长度），动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，在段运动速度变为原来的一半，之后立刻恢复：P从点A运动同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，在段运动速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3)运动的时间为秒或秒或秒或秒． 【分析】（1）根据非负数的性质即可求解； （2）利用绝对值表示出，，根据列出方程，解之即可． （3）由路程、速度、时间三者关系，根据分类谈论求出四种情况下的时间即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， （2）解：∵，，点P对应的数为， 根据题意可得， ∵， ∴， 解得：或 ∴的值为或． （3）解：由上可知，， 当点在，点在上运动时，，， ∴当时，即， 解得：； 当在上，在上运动时，， ∴当时，即， 解得：； 当点、两点都在上运动时，，， ∴当时，即 解得：； 当在上，在上运动时，， ∴当时，即， 解得：； 综上，当时，运动的时间为秒或秒或秒或秒． 【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，数轴上的动点问题，非负数的性质，绝对值的意义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，数形结合思想，分类讨论的方法． 29．已知，如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为180． (1)请写出的中点对应的数及其、两点间的距离； (2)现在有一动点从点出发，以每秒6个单位的速度向左运动，同时另一动点恰好从点出发，以每秒4个单位的速度向右运动，设两动点在数轴上的点相遇，求点对应的数是多少； (3)若动点从点出发时，以每秒6个单位的速度向左运动，同时动点恰好从点出发，以每秒4个单位的速度向右运动，直接写出两点在数轴上相距70个单位长度时，点表示的数． 【答案】(1)80，200 (2)点对应的数是60 (3)32或88 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴的定义，理解题意，熟练掌握数轴的定义是解题关键． （1）根据中点公式和两点间距离公式求解即可得； （2）先根据两点所走的路程之和等于A、B两点之间的距离求出运动时间，从而可得点D与点A之间的距离，再根据数轴的定义即可得； （3）分相遇前相距70个单位长度和相遇后相距70个单位长度列式求解即可 【详解】（1）解：点表示的数为； 、两点间的距离为； （2）解：设两点运动秒后相遇，根据题意得， ， 解得，， 所以，点表示的数为； （3）解：①相遇前相距70个单位长度，设两点运动秒后相距70个单位长度，根据题意得， ， 解得，； ∴表示的数为：； ②相遇后相距70个单位长度，设两点运动秒后相距70个单位长度，根据题意得， ， 解得，； ∴表示的数为：； 综上，表示的数为32或88． 30．数学思想·数形结合根据所学数轴知识，解答下面的问题： (1)知识再现：在数轴上有三个点，，如图1所示． ①点表示的数是_____；之间的距离是_____； ②将点向左平移4个单位长度，此时该点表示的数是_____； (2)知识迁移：如图2，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合． ①若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为_____． ②图中点所表示的数是_____，点所表示的数是_____； (3)知识应用：如图3，由（2）中①、②的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦!”请问奶奶现在多少岁了？琪琪的想法是：借助数轴，把妙妙和奶奶的年龄差看作木棒，奶奶像妙妙这样大时，可看作点移动到点，此时点向左移动后，所对应的点所表示的数为，根据琪琪的想法，完成一下问题： ①若把移动到时，此时点向右移动后，所对应的点表示的数为_____； ②求奶奶现在多少岁． 【答案】(1)①；；②； (2)①；②；； (3)①；②奶奶现在的年龄：岁 【分析】本题主要考查数轴上两点之间距离的计算，解一元一次方程的运用，理解数轴上动点的运动，解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）①根据数轴的特点，点与数轴的关系即可求解；②根据数轴上两点之间距离的计算方法即可求解； （2）①根据木棒的长度不变，设木棒长为，分别用表示出点的数，结合木棒的长度为，根据两点之间距离的计算即可求解；②根据两点之间距离的计算即可求解； （3）①根据题意，妙妙和奶奶的年龄差看作木棒，设年龄差为：，根据对话即可求解；②根据题意分别表示出点的数，结合年龄差的计算，两点之间距离的计算方法，列方程求解即可． 【详解】（1）解：①根据图示可得，点表示的数是；之间的距离是； 故答案为：，； ②点向左平移个单位，该点表示的数是； 故答案为：； （2）解：根据题意，设木棒长为， ①当木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所应的数为时，点表示的数为：； 木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为时，点表示的数为：； ∵一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合 ∴， 解得，； 故答案为：； ②根据上述计算，点表示的数为：；点表示的数为：， 故答案为：；； （3）解：根据题意，妙妙和奶奶的年龄差看作木棒，设年龄差为：， ①根据题意，点表示的数为：， 故答案为：； ②点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， 解得，， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， ∴奶奶现在岁， 故答案为：岁． 过关检测 一、单选题 1．已知是关于x的一元一次方程的解，则m的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，由题意可得，解方程即可得解． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， 解得：， 故选：A． 2．下列变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查等式的基本性质．根据等式的性质，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：A、由可得，故本选项符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，则，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．在解方程时，在方程的两边同时乘以，去分母正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，根据等式的性质，进行化简即可． 【详解】解：， 方程的两边同时乘以，得：； ∴； 故选B． 4．下列方程的解与的解相同的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、方程的解等知识点，正确求得各方程的解答成为解题的关键． 先求出方程解，然后分别代入各选项进行判定即可． 【详解】解：解方程可得， A．将代入得，不符合题意； B．将代入得，不符合题意； C．将代入得，不符合题意； D．将代入得，符合题意． 故选D． 5．淘宝“618年中大促”活动，某网店所有商品打五折销售．明明的妈妈在该网店购买一件冲锋衣，加上邮费（邮费相当于原价的）共付132元，这件冲锋衣的原价是（　　） A．264 B．240 C．260 D．269 【答案】B 【分析】设这件冲锋衣的原价是x元，根据明明的妈妈在淘宝“618年中大促”活动中购买一件冲锋衣加上邮费（邮费相当于原价的）共付132元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设这件冲锋衣的原价是x元， 根据题意得：， 解得：， ∴这件冲锋衣的原价是240元． 故选：B． 6．某车间有90名工人生产螺丝与螺母，平均每人每天生产50个螺丝或80个螺母，要使每天生产的螺丝和螺母按配套，如果有m人生产螺丝，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用（配套问题），读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系并列出方程是解题的关键． 设分配m人生产螺丝，则有人生产螺母，根据每天生产的螺丝和螺母按配套，列出方程即可． 【详解】解：设分配m人生产螺丝，则有人生产螺母， 每天生产螺丝个，生产螺母个， 每天生产的螺丝和螺母按配套， ， 故选：． 7．2024年春节期间，某商场打出促销广告，如表所示． 优惠 条件 一次性购物不超过200元 一次性购物超过200元，但不超过500元 一次性购物超过500元 优惠 办法 没有优惠 全部按九折优惠 其中500元仍按九折优惠，超过500元部分按八折优惠 春节的某一天，小雅妈妈在该商场购买了一些商品，经过商场打折优惠后支付了522元，则小雅妈妈比原价节省了（    ）元 A．58元 B．68元 C．130.5元 D．78元 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由题知可推出小雅妈妈在该商场一次性购物超过500元，设小雅妈妈原价为元，根据“经过商场打折优惠后支付了522元”建立等式求解得到原价，再利用原价减去打折优惠后的价格，即可解题． 【详解】解： （元）， ， 小雅妈妈在该商场一次性购物超过500元， 设小雅妈妈原价为元， ， 解得， （元）， 故选：B． 二、填空题 8．某商店把一种商品按标价的8折出售，仍可获利，若该商品进价为每件30元，则每件的标价为 元． 【答案】45 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握利润、利润率及进价间的关系是解题的关键；设每件商品的标价为元，则可表示出每件商品的利润，根据等量关系：，列出一元一次方程，并求解即可． 【详解】解：设每件商品的标价为元，则每件商品的利润为元， 由题意得：， 解方程得：； 答：每件的标价为45元． 故答案为：45 9．若单项式的次数为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查由单项式次数定义求参数，涉及解一元一次方程，根据单项式次数定义“单项式中所有字母的次数和叫做单项式的次数”结合条件列出关于的一元一次方程，解方程即可得到答案，熟记单项式次数的定义列方程是解决问题的关键． 【详解】解：单项式的次数为， ，解得， 故答案为：． 10．小明同学在解关于的方程时，把处的数字看错了，解得，则该同学把看成了 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，解一元一次方程；设■为a，把代入方程中，求得a的值即可． 【详解】解：设■为a，则方程为， ∵是方程的解， ∴把代入方程中，得， 解得：， 即该同学把■看成了7； 故答案为：． 11．已知与的和等于9，则x的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解一元一次方程，能根据题意列出方程是解此题的关键．根据题意得出方程，再去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【详解】解：根据题意得：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得． 故答案为：2． 12．幻方是中国古代的一种谜题，又称九宫图，即在正方形网格中填上9个整数，使每行、每列及对角线上的数字之和都相等，图中给出了幻方的部分数字，则 ． 【答案】 【详解】本题考查了一元一次方程的应用，设第一行第一列的方格中的数字为，由每行、每列上的数字之和都相等，得到，即，解之即可得出结论，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【解答】解：设第一行第一列的方格中的数字为，如图所示， ∵每行、每列上的数字之和都相等， ∴， ∴ 解得：， 故答案为：． 三、解答题 13．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． （1）先去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1即可． （2）先去分母、去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 14．一家服装店将某种衣服按成本价提高后标价，为了吸引顾客，商家又以标价的9折出售，结果每件仍可获利12元，求这种衣服每件的标价是多少元？ 【答案】这种衣服每件的标价是元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这种衣服每件的成本价是元，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设这种衣服每件的成本价是元，根据题意得， ． 解得：． 答：这种衣服每件的标价是元． 15．为了庆祝元旦，甲、乙两校准备共同组织文艺汇演，两校共有92人参加演出，其中甲校人数比乙校多，且甲校人数不足90人，现准备购买演出服装．下表是某服装厂给出的演出服装的价格表，如果两所学校单独购买一共需要付5 000元． 购买服装的套数 1至45套 46至89套 90套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)如果两校联合起来购买演出服装，比各自购买可以节省多少钱？ (2)甲、乙两校各有多少人参加演出？ 【答案】(1)可以节省1320元 (2)甲校52人参加，乙校40人参加 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，准确理解题意是解题的关键． （1）根据节省的钱=单独购买的钱-联合购买的钱列式求解即可； （2）设乙校x人，甲校人，根据两所学校单独购买一共需要付5 000元列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：（元）， 答：比各自购买服装共可以节省1320元； （2）解：∵， ∴甲校人数多于46少于90，乙校人数少于46， 设乙校x人，甲校人，由题意得：， 解得：， 则（人）， 答：甲校52人，乙校40人． 16．某包装盒设计为长方体，这个长方体可由长为，宽为的长方形纸板制成．如图所示，在纸板四角分别剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形（阴影部分），再把剩余部分按虚线折成一个有盖的长方体纸盒，其中长方形为盒底，设小正方形的边长为． (1)填空：______，______（用含x的代数式表示）； (2)若长方体纸盒的底面长是宽的3倍，求长方体纸盒的体积． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用． （1）根据图形，即可解答； （2）根据长是宽的3倍，列出方程，求出x的值，再根据长方体体积公式，即可解答． 【详解】（1）解：由图可知： ，； 故答案为：，； （2）解：， 解得：． ∴， ∴长方体纸盒的体积为． 17．【问题提出】 如图1，，在内，在外，平分，平分，试探究和的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化．如图2，若，． ①直接写出=______，=______； ②直接写出的值． （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立． 【问题拓展】 （3）已知，在的外部，平分，平分，且． ①如图3，求的度数； ②如图4，直接写出的度数． 【答案】（1）①；；②；（2）见解析；（3）①；② 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、几何图形中角的计算以及一元一次方程的应用，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）①首先求得的值，再结合角平分线的定义即可确定的度数；求得，结合角平分线的定义易得，然后由求解即可；②结合和的值直接求解即可； （2）结合题意即角平分线的定义可得 ，然后证明（1）中②的结论仍然成立即可； （3）设，根据图形用表示出和，根据列式求解，即可获得答案． 【详解】解：（1）①∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵平分， ∴； ∵， 又∵平分， ∴， ∴， 故答案为：；； ②； 故答案为：； （2）证明：∵，，平分，平分， ∴ ， ， ∴ ， ∴； （3）设，分三种情况讨论： ①如下图， ∵，∴，， ∵平分，平分， ∴     ， ， ∵， ∴， 解得，即； ②如下图， ∵ ， ， ∵， ∴， 解得，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$