8.1 功与功率（第一课时）-2024-2025学年高一物理同步讲义（人教版2019必修二）

8.1 功与功率（解析版） 题型1功的定义、计算式和物理意义 1 题型2 判断某个力是否做功，做何种功 3 题型3 力的方向与位移方向有夹角时的做功 5 题型4 平均力法求变力做功 8 题型5 图像法求解变力做功 10 题型6 微元法求力做功 13 题型7 功率的定义和物理意义 16 题型8 平均功率与瞬时功率的计算 18 题型9 功率推导式：力x速度 21 一、功 1．做功的两个要素 (1)作用在物体上的_力__。 (2)物体在_力的方向__上发生的位移。 2．功的物理意义 功是描述_力对物体空间__的累积效应的物理量。 3．公式 W＝ Flcosα　。 (1)α是力的方向与_位移方向__之间的夹角，l为物体对地的位移。 (2)该公式只适用于_恒力__做功。 4．功的正负 (1)当0≤α<时，W>0，力对物体做_正功__。 (2)当<α≤π时，W<0，力对物体做_负功__，或者说物体_克服__这个力做了功。 (3)当α＝时，W＝0，力对物体_不做功__。 二、功率 1．公式 (1)P＝，P为时间t内的_平均功率__。 (2)P＝_Fvcos_α__，α为F与v的夹角。 ①若v为平均速度，则P为_平均功率__。 ②若v为瞬时速度，则P为_瞬时功率__。 2．物理意义：描述做功的_快慢__，功率大则做功_快__，功率小则做功_慢__。 　一、恒力做功的分析和计算 1．判断力是否做功及做正、负功的方法 判断根据 适用情况 根据力和位移的方向的夹角判断 常用于恒力做功的判断 根据力和瞬时速度方向的夹角判断 常用于质点做曲线运动 根据功能关系或能量守恒定律判断 常用于变力做功的判断 2.合力做功的计算方法 方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcos α求合力做的功。 方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。 方法三：利用动能定理W合＝Ek2－Ek1，求合力做的功。 3．两个常用推论 (1)恒力做功等于力与物体在力的方向上位移的乘积，与运动路径无关。 (2)如图所示，物体由A滑到D克服摩擦力做的功W＝μmg·BD。 　二、变力做功的求解方法 1　微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR。 2　图像法 在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移上所做的功。 3　等效转换法 恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·。 4　平均值法 当力与位移为线性关系，力可用平均值＝表示，代入功的公式得W＝·Δx。 5　利用W＝Pt计算变力的功 当功率恒定时，利用公式W＝Pt计算功，在如图所示的P－t图像中前3 s内力做功W＝P1t1＋P2t2＋P3t3＝6 J。 6　功率的计算 计算功率的方法 1．平均功率的计算方法 (1)利用 ＝。 (2)利用 ＝F·cos θ，其中为物体运动的平均速度，F为恒力。 2．瞬时功率的计算方法 (1)利用公式P＝F·vcos θ，其中v为t时刻的瞬时速度。 (2)P＝F·vF，其中vF为物体的速度 v在力F方向上的分速度。 (3)P＝Fv·v，其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力。 一、题型1功的定义、计算式和物理意义 1．如图所示，固定斜面倾角为θ，一个物块在与斜面平行的拉力F的作用下，沿斜面向上运动一段距离L，在此过程中，拉力F对物块做的功为（　　） A．FL B．FLsin θ C．FLcos θ D．FLtan θ 【答案】A 【详解】根据功的计算公式可得 故选A。 2．用起重机把质量为2kg的物体以1m/s2的加速度提高了2m，重力加速度g取10m/s2，则合力的总功是（　　） A．44J B．40J C．20J D．4J 【答案】D 【详解】根据题意可得 故选D。 3．如图所示，甲、乙两名工人将相同的货物从斜面底端匀速推上平台。斜面粗糙程度相同，推力平行于斜面向上，则（    ） A．甲推力一定比乙小 B．甲推力一定比乙大 C．两人推力做功相等 D．甲推力做功比乙多 【答案】D 【详解】AB．设斜面倾角为，货物匀速运动，沿斜面方向受力平衡，有 由此可知，斜面倾角越大，越大，但不一定越大，所以甲和乙的推力大小关系无法确定，故A、B错误； CD．设斜面高度为，则推力做功为 由于左侧斜面倾角较小，较小，较大，即甲推力做功比乙多，故C错误，D正确。 故选D。 4．如图所示，一质量均匀分布的木板静止在粗糙水平桌面上，木板和桌面右端对齐。设木板质量为m，长度为L，与桌面间的动摩擦因数为，重力加速度为g。将木板右推，则推木板过程中克服摩擦力做的功为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于木板的重心并没有离开桌面，所以桌面对木板的支持力与木板的重力是一对平衡力，木板对桌面的正压力仍然等于木板的重力，因此在木板移动过程中，木板受到的摩擦力大小一直是，所以在木板右推，则推木板过程中克服摩擦力做的功为 故选B。 二、题型2 判断某个力是否做功，做何种功 5．如图所示，若用轻绳拴一物体，使物体以恒定加速度向下做减速运动，则下列说法正确的是（   ） A．重力做正功，拉力做负功，合外力做负功 B．重力做正功，拉力做负功，合外力做正功 C．重力做正功，拉力做正功，合外力做负功 D．重力做负功，拉力做负功，合外力做正功 【答案】A 【详解】物体所受重力与速度方向相同，所以重力做正功，拉力与速度方向相反，所以拉力做负功，由物体以恒定加速度向下做减速运动可知加速度向上，合外力向上，与速度方向相反，所以合外力做负功。 故选A。 6．如图所示，木块上表面是水平的，当木块置于上，一起沿光滑斜面由静止开始下滑，下滑过程中与保持相对静止，且斜面体相对地面静止。和在下滑过程中（　　） A．地面对斜面体的摩擦力为零 B．木块对的摩擦力做负功 C．对做正功 D．对不做功 【答案】D 【详解】A．光滑斜面，A、B一起沿斜面向下加速，因此具有沿斜面向下的加速度，此时加速度有水平向左的分加速度，将A、B和斜面体看成整体，地面对斜面体的摩擦力水平向左，故A错误； B．A、B一起沿斜面向下加速，此时加速度有水平向左的分加速度，则B对A的摩擦力水平向左，A的位移沿斜面向下与摩擦力方向的夹角小于90°，所以B对A的摩擦力做正功，故B错误； C．将A、B看成整体，整体具有沿斜面向下的加速度，将a正交分解为竖直方向a1，水平方向a2，如图 竖直方向上由牛顿第二定律可知 水平方向上 设斜面与水平方向的夹角为，摩擦力与弹力的合力与水平方向上的夹角为，由几何关系可知 联立解得 所以 因此B对A的作用力与斜面垂直，所以B对A的合力不做功，根据牛顿第三定律可知，A对B的作用力也不做功，故C错误； D．由于B对A的作用力与斜面垂直，所以A对B的作用力不做功，故D正确。 故选D。 7．下列说法错误的是（　　） A．静摩擦力既可做正功，也可做负功，甚至可以不做功 B．滑动摩擦力可以做正功或负功，甚至可以不做功 C．物体所受各力做功的代数和不为零，其机械能一定不守恒 D．作用力和反作用力均可都做正功或都做负功 【答案】C 【详解】A．静摩擦力的方向与相对运动趋势方向相反，可以与运动方向相同，也可以与运动方向相反，还可以与运动方向垂直，故静摩擦力既可做正功，也可做负功，甚至可以不做功，故A正确； B．滑动摩擦力的方向与相对运动方向相反，可以与运动方向相同，也可以与运动方向相反，物体受滑动摩擦力也有可能位移为0，滑动摩擦力可以做正功或负功，甚至可以不做功，故B正确； C．机械能守恒得条件是：只有重力做功或者弹力做功，如果除了重力或弹力之外的其他力做功为零，则物体所受各力做功的代数和不为零，其机械能是守恒的，故C错误； D．作用力与反作用力是作用在两个相互作用的物体上的，作用力与反作用力可以同时做正功，也可以同时做负功，可以同时不做功，还可以一个做正功，另一个不做功或做负功，故D正确。 本题选错误项，故选C。 8．下列几种情况，力对物体做功的是（　　） A．人用力推桌子，桌子不动 B．人从一楼上到三楼 C．运动员举着杠铃不动 D．起重机吊着重物不动 【答案】B 【详解】A．人用力推桌子，桌子不动，没有发生位移，力对物体不做功，故A错误； B．人从一楼上到三楼，重力对人做功，故B正确； C．运动员举着杠铃不动，物体没有发生位移，力对物体不做功，故C错误； D．起重机吊着重物不动，物体没有发生位移，力对物体不做功，故D错误。 故选B。 三、题型3 力的方向与位移方向有夹角时的做功 9．甲乙丙丁图中物体所受力的大小相等，位移方向向右、大小相同。关于下列四种情境说法正确的是（　　）    A．甲图中做功最少 B．乙图中做功做多 C．丙图中做功最多 D．丁图中做功做少 【答案】D 【详解】设位移为s，由恒力做功公式可知 即甲图中F做工最多，丁图中F做工最少，故ABC错误，D正确。 故选D。 10．如图所示，一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已知物体质量为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为μ，力F与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g，在物体移动距离为x的过程中合力做功大小为 ，力F做功大小为 ，摩擦力做功大小为 。 【答案】 【详解】[1]在物体移动距离为x的过程中合力做功大小为 [2]力F做功大小为 [3]摩擦力做功大小为 11．如图所示，水平粗糙地面上的物体被绕过光滑定滑轮的轻绳系着，现以大小恒定的拉力拉绳的另一端，使物体从点起由静止开始运动。若从点运动至点和从点运动至点的过程中拉力做的功分别为、，若图中，且动摩擦因数处处相同，则在物体的运动过程中，物体对地面的摩擦力 （填“增大”“不变”或“减小”） （填“<”“=”或“>”）。 【答案】 减小 > 【详解】[1]物体受力如图所示，将在水平和竖直方向上分解，由物体在竖直方向上平衡得 因此滑动摩擦力 物体从向运动的过程中细绳与水平方向的夹角角增大，所以滑动摩擦力减小。 [2]由于物体被绕过光滑定滑轮的轻绳系着，拉力为恒力，所以拉力做的功等于细绳对物体所做的功。根据功的定义式，增大，不变，在相同位移上拉力做的功减小，即。 12．一质量m=2kg的物块放于水平面上。在与水平面成α=37°斜向上的拉力F=10N作用下，从静止开始向右运动s=10m的距离，物块与水平面间的动摩擦因数μ=0.2，g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8求： （1）拉力对物块所做的功WF； （2）摩擦力对物块所做的功Wf。 【答案】（1）80J；（2）-28J 【详解】（1）拉力对物块所做的功为 （2）对物块，有 解得 摩擦力对物块所做的功为 四、题型4 平均力法求变力做功 13．如图所示，n个完全相同、棱长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起以速度v在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为µ，重力加速度为g，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】小方块依次进入粗糙区域，摩擦力逐渐增大，设小方块全部进入粗糙区域时的摩擦力为f，则 整个过程中的平均摩擦力 摩擦力对所有小方块做的功 所以做功的大小为。 故选C。 14．一质量为m的物块，在水平拉力F的作用下从静止开始沿水平面运动，其阻力f为物块重力的倍，水平拉力的大小，其中k为比例系数，x为物块运动的距离。在物块运动的距离为s的过程中拉力做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】物块受到的阻力为 当x=0时，牵引力大小为 当时，牵引力大小为 由于牵引力随位移线性变化，所以整个过程的平均牵引力大小为 在物块运动的距离为s的过程中拉力做的功为 故选D。 15．质量为的物体在水平力F的作用下在水平面上沿x轴由静止开始运动，F随位置x变化的图像如图所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度g取，则物体从运动到的过程中，合外力做功为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】力F是线性变化，可以用平均力求功。则所有力对物体做的功为 故选D。 16．如图所示，放在地面上的木块与一劲度系数k=200N/m的轻质弹簧相连。现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动了x=0.2m，木块相对地面始终未运动。则这个过程中拉力做功为 J。 【答案】4/4.0 【详解】根据胡克定律有 其中，x为弹簧的形变量，可知，弹簧的弹力与形变量成正比，根据题意可知，拉力作用点的位移等于弹簧的形变量，即而拉力大小等于弹簧的弹力，即拉力与拉力作用点的位移成正比，则这个过程中拉力做功为 五、题型5 图像法求解变力做功 17．如图，水平轨道AD足够长，BC段部分粗糙且长度为，其余部分光滑。质量为1kg、长度为2L的均匀木板以的初速度穿过BC部分，木板与粗糙部分的动摩擦因数为，重力加速度g取，木板穿过粗糙段后的速度大小为（　　） A．1m/s B．2m/s C．3m/s D．4m/s 【答案】C 【详解】木板穿过段所受摩擦力随位移变化如图所示 图像与坐标轴围成的面积表示物体克服摩擦力做的功，根据动能定理有 解得 故选C。 18．质量为m、初速度为零的物体，在按不同规律变化的合外力作用下都通过位移x0。下列各种情况中合外力做功最多的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由力做功公式可知W=Fx，则F-x图象中，图象与坐标轴围成的面积表示力F所做的功，由图象可知，C图象中围成的面积最大，所以C中合外力做功最多，故C正确，ABD错误。 故选C。 19．质量为的小物块，在水平拉力F的作用下在水平面上直线运动1m距离，此过程中拉力F随位移x变化的关系如图所示，已知物块与水平面间的动摩擦因数，重力加速度。则物块在内所受合力做功为（　　） A．3J B．4J C．5J D．6J 【答案】A 【详解】小物块所受的摩擦力 由图可知，拉力的最小值都大于小物块所受的摩擦力，所以从拉力作用开始，小物块就开始运动，根据可知图像的面积为对小物块做的功为 摩擦力对小物块做的功为 物块在内所受合力做功为 故选A。 20．一个弹簧放在水平地面上，Q为轻弹簧上端连在一起的秤盘，P为重物，已知P的质量M=10.5kg，Q的质量 m=1.5kg，弹簧的质量不计，劲度系数k=800N/m，系统处于静止。如图所示，现给 P施加一个方向竖直向上的力 F，使P、Q一起从静止开始向上做匀加速运动，已知在匀加速阶段 F的最大值为168N。（取g=10m/s2）求PQ 分离前拉力 F做的功。 【答案】14.4J 【详解】设初状态弹簧形变量，则有 设匀加速的位移为x，对秤盘和重物在分离前根据牛顿第二定律 可知位移x越大，F也增加，因此分离时拉力F最大，此时P、Q间作用力为零，根据牛顿第二定律得： F- Mg= Ma 解得 设分离时弹簧形变量，对秤盘由牛顿第二定律 整理得 F=72+800x 其中分离前最大位移为 画出F-x图像如图，由F-x图像所围面积可求出 J=14.4J 六、题型6 微元法求力做功 21．如图所示，一石磨的转动中心到手柄中心的距离为R。某人用大小恒为F，方向始终与手柄转动轨迹相切的方向推磨子时，转动一圈时该力做功大小为（　　） A．FR B． C． D．0 【答案】C 【详解】由于力F的方向始终与手柄转动轨迹相切，即力F的方向始终与力的作用点运动的方向相同，则转动一圈时该力做功大小 故选C。 22．如图所示，用一个大小不变的力拉着滑块（视为质点）使其沿半径为的水平圆轨道匀速运动半周，若力的方向始终与其在圆轨道上作用点的切线成夹角，则力做的功为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将力分解为切线方向和径向方向两个分力，其中径向方向始终与速度方向垂直，不做功，切线方向分力始终与速度方向相同，则滑块匀速运动半周，力做的功为 故选A。 23．为研究匀变速直线运动的位移时间关系，我们建立了速度随时间变化的图像，并将匀变速直线运动的时间分割成n个微元的时间间隔，若，每段过程中匀变速直线运动近似看作匀速直线运动，如图“台阶”状的折线图像无限逼近变速直线运动的图像，因此我们可以用图像中图线与横轴所围面积表示位移。已知根据初中所学知识，当恒力作用使物体在力的方向上通过一段直线距离时，称之为力对物体做功，表达式为。如图甲所示。假设驴以恒定速率沿半径为r的圆形磨盘切线方向拉磨，驴对磨杆末端的拉力F的大小不变，如图乙所示，利用上述无限分割与逼近的方法求证驴拉磨转动一周所做的功。 ①无限分割： ②近似处理： ③无限逼近： 解答过程： 【答案】 将圆周分割成n个弧长为的微元圆弧。 若，每段过程中匀速圆弧运动近似看作匀速直线运动。 n个匀速圆弧运动无限逼近匀速直线运动。 见解析 【详解】①[1]无限分割：将圆周分割成n个弧长为的微元圆弧。 ②[2]近似处理：若，每段过程中匀速圆弧运动近似看作匀速直线运动。 ③[3]无限逼近：n个匀速圆弧运动无限逼近匀速直线运动。 [4]解答过程： 驴拉磨转动一周的路程 n个匀速圆弧运动无限逼近匀速直线运动。驴拉磨转动一周位移的大小 由功的公式可得 24．水平桌面上，长R的轻绳一端固定于O点，如图所示（俯视图），另一端系一质量为m的小球。现小球在一个水平外力作用下从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ，不计空气阻力，重力加速度为g，则拉力F对小球做的功为 （选填“正功”或“负功”），小球克服摩擦力做的功为 。    【答案】 正功 【详解】[1]将圆弧分成很多小段l1，l2，…，ln，拉力F在每小段上做的功为W1，W2，…，Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，所以 W1 = Fl1cos37° W2 = Fl2cos37° Wn = Flncos37° 故 WF = W1＋W2＋…＋Wn 则拉力F对小球做的功为正功。 [2]同理可得小球克服摩擦力做的功 七、题型7 功率的定义和物理意义 25．功率的定义式为由此可得（　　） A．功率是描述做功多少的物理量 B．由定义式可求出在t时间内平均功率 C．功率与功成正比与时间成反比 D．由定义式可知功率方向与功的方向相同 【答案】B 【详解】A．功率指的是物体在单位时间内做功的多少，它描述的是物体做功快慢的一个物理量，故A错误； B．由定义式可求出在t时间内平均功率，故B正确； C．功率的定义式用功与时间的比值来量度，但是功率与时间和功无关，故B错误； D．功率与功均是标量，没有方向，故D错误。 故选B。 26．某热爱运动的同学质量为55kg，在做俯卧撑运动的过程中可将他的身体视为一根直棒。已知重心在c点，其垂线与脚、两手连线中点间的距离oa、ob分别为1.0m和0.5m。若他在1分钟内做了36个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.5m，则他在1分钟内克服重力做功和相应的功率约为（　　） A．3300J，55W B．4950J，82.5W C．6600J，110W D．9900J，165W 【答案】C 【详解】设每次重心上升的高度为，根据几何关系，有 解得 他在1分钟内克服重力做功为 功率为 故选C。 27．甲、乙两台挖掘机在工地上施工过程中，所做的功W随时间t变化的规律图象如图所示，根据图象可以确定的是（    ）    A．甲比乙做功多 B．甲比乙做功少 C．甲比乙做功快 D．甲比乙做功慢 【答案】C 【详解】AB．机械做功与时间有关，在不知道机械做功时间的情况下无法比较甲乙两台挖机做功的多少，故AB错误； CD．根据图像可知，在相等时间内，甲比乙做功多，由 可知，甲的功率大，即甲比乙做功快，故C正确，D错误。 故选C。 28．如图所示为古代的水车，该水车周边均匀分布着N个盛水的容器，容器到水车大圆转轴的距离为R。在流水的冲力作用下，水车以n转/分的转速匀速转动，当装满水的容器到达最高处时将水全部倒入水槽中。设每个盛水容器装入水的质量均为m，忽略容器装水给水增加的动能和水车浸入水的深度，不计一切摩擦。已知重力加速度为g，则水车运水的功率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】水车每秒转动的圈数为，水车转动一圈对水做的功，则水车的功率 故选A。 八、题型8 平均功率与瞬时功率的计算 29．如图所示，轻绳的一端固定于O点，另一端与小球相连。当把小球从与O等高的A点由静止释放，则小球从A点摆至最低点B的过程中，小球所受重力的瞬时功率（　　） A．一直变大 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大 【答案】C 【详解】在A点时，小球的速度为零，因此重力的功率为零，而在B点时，小球的速度最大，但速度方向沿水平方向，重力沿竖直方向，此时重力的功率也为零，在中间过程中，重力的功率不为零，所以重力的功率先变大后变小。 故选C。 30．起重机通过钢绳4次将某物体竖直匀速提升相同高度，所需时间分别为：第1次2s、第2次4s、第3次6s、第4次8s。空气阻力不计，其中钢绳拉力做功的平均功率最大的是（　　） A．第1次 B．第2次 C．第3次 D．第4次 【答案】A 【详解】由于起重机通过钢绳4次将某物体竖直匀速提升，可知钢绳拉力都等于重物重力，即 F=mg由相同高度，用时短的平均速度大，可知第1次提升时平均速度最大，根据 可知，第1次提升时钢绳拉力做功的平均功率最大，故选A，BCD错误。 故选A 。 31．如图甲所示，一物体置于倾角为的光滑斜面底端，时刻开始给物体施加沿斜面方向的力，力随时间变化的关系图像如图乙所示，以沿斜面向上为正方向。则下列说法正确的是（    ） A．末物体重力的功率为 B．末物体重力的功率为 C．内重力的平均功率为 D．内重力的平均功率为 【答案】C 【详解】AB．时间内物体沿斜面向上匀加速运动，由牛顿第二定律得 解得 末速度为 位移为 时间内物体匀速直线运动，速度 位移为 时间内物体匀减速运动，加速度大小 末速度大小为 时间内位移 物体沿斜面向下匀加速运动，加速度大小为 末物体速度为 时间内物体的位移为 末物体重力的功率为 故AB错误； CD．内物体的位移 内重力做功 内的平均功率为 故C正确，D错误。 故选C。 32．FAST是世界上最大的单口径球面射电望远镜，直径为500m，有效提高了人类观测宇宙的精度和范围。设直径为100m的望远镜能够接收到的来自某天体的电磁波功率为P1，FAST能够接收到的来自该天体的电磁波功率为P2。在宇宙大尺度上，天体的空间分布是均匀的，仅以辐射功率为P的同类天体为观测对象，设直径为100m的望远镜能够观测到的此类天体数目为N0，FAST能够观测到的此类天体数目为N，则（　　） A． B． C．N=25N0 D．N=125N0 【答案】D 【详解】AB．地球上不同望远镜观测同一天体，单位面积上接收的功率应该相同，所以 故AB错误； CD．在宇宙大尺度上，天体的空间分布是均匀的，因此一个望远镜能观测到的此类天体数目正比于以望远镜为球心、以最远观测距离为半径的球体体积，设地面上望远镜能观测到此类天体需收集到的电磁波的总功率的最小值为P0，直径为100m望远镜和FAST能观测到的最远距离分别为L0和L，则 可得 则 故C错误，D正确。 故选D。 九、题型9 功率推导式：力�速度 33．汽车定速巡航行驶（速度大小不变），通过如图所示的路段，1、2上坡，3、4下坡，路面对汽车的摩擦阻力和空气阻力大小恒定，汽车经过1、2、3、4位置时发动机的功率（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设汽车所处位置切线与水平面夹角为θ，根据题意，汽车经过上坡阶段，有 由于 所以 汽车经过下坡阶段，有 由于 所以 故选A。 34．起重机将一重物从静止开始竖直向上吊起，重物做匀加速直线运动，则起重机对重物做功的功率P随时间t变化的图像为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】重物做匀加速直线运动，根据 则起重机拉力 一定，重物速度 起重机对重物做功的功率 （k为定值） 所以P随时间t变化的图像为过原点的一条射线。 故选A。 35．如图所示，设高铁运行时受到的阻力与速度大小成正比，若高铁以速度v匀速行驶，发动机的功率为P。则当高铁速度为2v时，其匀速行驶时发动机的功率为（　　） A．2P B．4P C．8P D．16P 【答案】B 【详解】已知高铁运行时受到的阻力与速度大小成正比，即 匀速行驶时 功率 当速度变为2v时 故选B。 36．放在水平地面上的物体受到水平拉力的作用，其v—t图像和拉力的P—t图像分别如图（a）、（b）所示，则前2s拉力的大小为 N，2s～6s时间内拉力所做的功为 J。 【答案】 5 40 【详解】[1][2]前2s加速度不变，拉力不变，拉力 2s～6s时间内拉力 位移 拉力所做的功 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.1 功与功率（原卷版） 题型1功的定义、计算式和物理意义 1 题型2 判断某个力是否做功，做何种功 3 题型3 力的方向与位移方向有夹角时的做功 5 题型4 平均力法求变力做功 8 题型5 图像法求解变力做功 10 题型6 微元法求力做功 13 题型7 功率的定义和物理意义 16 题型8 平均功率与瞬时功率的计算 18 题型9 功率推导式：力x速度 21 一、功 1．做功的两个要素 (1)作用在物体上的_力__。 (2)物体在_力的方向__上发生的位移。 2．功的物理意义 功是描述_力对物体空间__的累积效应的物理量。 3．公式 W＝ Flcosα　。 (1)α是力的方向与_位移方向__之间的夹角，l为物体对地的位移。 (2)该公式只适用于_恒力__做功。 4．功的正负 (1)当0≤α<时，W>0，力对物体做_正功__。 (2)当<α≤π时，W<0，力对物体做_负功__，或者说物体_克服__这个力做了功。 (3)当α＝时，W＝0，力对物体_不做功__。 二、功率 1．公式 (1)P＝，P为时间t内的_平均功率__。 (2)P＝_Fvcos_α__，α为F与v的夹角。 ①若v为平均速度，则P为_平均功率__。 ②若v为瞬时速度，则P为_瞬时功率__。 2．物理意义：描述做功的_快慢__，功率大则做功_快__，功率小则做功_慢__。 　一、恒力做功的分析和计算 1．判断力是否做功及做正、负功的方法 判断根据 适用情况 根据力和位移的方向的夹角判断 常用于恒力做功的判断 根据力和瞬时速度方向的夹角判断 常用于质点做曲线运动 根据功能关系或能量守恒定律判断 常用于变力做功的判断 2.合力做功的计算方法 方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcos α求合力做的功。 方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。 方法三：利用动能定理W合＝Ek2－Ek1，求合力做的功。 3．两个常用推论 (1)恒力做功等于力与物体在力的方向上位移的乘积，与运动路径无关。 (2)如图所示，物体由A滑到D克服摩擦力做的功W＝μmg·BD。 　二、变力做功的求解方法 1　微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR。 2　图像法 在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移上所做的功。 3　等效转换法 恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·。 4　平均值法 当力与位移为线性关系，力可用平均值＝表示，代入功的公式得W＝·Δx。 5　利用W＝Pt计算变力的功 当功率恒定时，利用公式W＝Pt计算功，在如图所示的P－t图像中前3 s内力做功W＝P1t1＋P2t2＋P3t3＝6 J。 6　功率的计算 计算功率的方法 1．平均功率的计算方法 (1)利用 ＝。 (2)利用 ＝F·cos θ，其中为物体运动的平均速度，F为恒力。 2．瞬时功率的计算方法 (1)利用公式P＝F·vcos θ，其中v为t时刻的瞬时速度。 (2)P＝F·vF，其中vF为物体的速度 v在力F方向上的分速度。 (3)P＝Fv·v，其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力。 一、题型1功的定义、计算式和物理意义 1．如图所示，固定斜面倾角为θ，一个物块在与斜面平行的拉力F的作用下，沿斜面向上运动一段距离L，在此过程中，拉力F对物块做的功为（　　） A．FL B．FLsin θ C．FLcos θ D．FLtan θ 2．用起重机把质量为2kg的物体以1m/s2的加速度提高了2m，重力加速度g取10m/s2，则合力的总功是（　　） A．44J B．40J C．20J D．4J 3．如图所示，甲、乙两名工人将相同的货物从斜面底端匀速推上平台。斜面粗糙程度相同，推力平行于斜面向上，则（    ） A．甲推力一定比乙小 B．甲推力一定比乙大 C．两人推力做功相等 D．甲推力做功比乙多 4．如图所示，一质量均匀分布的木板静止在粗糙水平桌面上，木板和桌面右端对齐。设木板质量为m，长度为L，与桌面间的动摩擦因数为，重力加速度为g。将木板右推，则推木板过程中克服摩擦力做的功为（    ） A． B． C． D． 二、题型2 判断某个力是否做功，做何种功 5．如图所示，若用轻绳拴一物体，使物体以恒定加速度向下做减速运动，则下列说法正确的是（   ） A．重力做正功，拉力做负功，合外力做负功 B．重力做正功，拉力做负功，合外力做正功 C．重力做正功，拉力做正功，合外力做负功 D．重力做负功，拉力做负功，合外力做正功 6．如图所示，木块上表面是水平的，当木块置于上，一起沿光滑斜面由静止开始下滑，下滑过程中与保持相对静止，且斜面体相对地面静止。和在下滑过程中（　　） A．地面对斜面体的摩擦力为零 B．木块对的摩擦力做负功 C．对做正功 D．对不做功 7．下列说法错误的是（　　） A．静摩擦力既可做正功，也可做负功，甚至可以不做功 B．滑动摩擦力可以做正功或负功，甚至可以不做功 C．物体所受各力做功的代数和不为零，其机械能一定不守恒 D．作用力和反作用力均可都做正功或都做负功 8．下列几种情况，力对物体做功的是（　　） A．人用力推桌子，桌子不动 B．人从一楼上到三楼 C．运动员举着杠铃不动 D．起重机吊着重物不动 三、题型3 力的方向与位移方向有夹角时的做功 9．甲乙丙丁图中物体所受力的大小相等，位移方向向右、大小相同。关于下列四种情境说法正确的是（　　）    A．甲图中做功最少 B．乙图中做功做多 C．丙图中做功最多 D．丁图中做功做少 10．如图所示，一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已知物体质量为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为μ，力F与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g，在物体移动距离为x的过程中合力做功大小为 ，力F做功大小为 ，摩擦力做功大小为 。 11．如图所示，水平粗糙地面上的物体被绕过光滑定滑轮的轻绳系着，现以大小恒定的拉力拉绳的另一端，使物体从点起由静止开始运动。若从点运动至点和从点运动至点的过程中拉力做的功分别为、，若图中，且动摩擦因数处处相同，则在物体的运动过程中，物体对地面的摩擦力 （填“增大”“不变”或“减小”） （填“<”“=”或“>”）。 12．一质量m=2kg的物块放于水平面上。在与水平面成α=37°斜向上的拉力F=10N作用下，从静止开始向右运动s=10m的距离，物块与水平面间的动摩擦因数μ=0.2，g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8求： （1）拉力对物块所做的功WF； （2）摩擦力对物块所做的功Wf。 四、题型4 平均力法求变力做功 13．如图所示，n个完全相同、棱长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起以速度v在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为µ，重力加速度为g，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的大小为（　　） A． B． C． D． 14．一质量为m的物块，在水平拉力F的作用下从静止开始沿水平面运动，其阻力f为物块重力的倍，水平拉力的大小，其中k为比例系数，x为物块运动的距离。在物块运动的距离为s的过程中拉力做的功为（　　） A． B． C． D． 15．质量为的物体在水平力F的作用下在水平面上沿x轴由静止开始运动，F随位置x变化的图像如图所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度g取，则物体从运动到的过程中，合外力做功为（　　） A． B． C． D． 16．如图所示，放在地面上的木块与一劲度系数k=200N/m的轻质弹簧相连。现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动了x=0.2m，木块相对地面始终未运动。则这个过程中拉力做功为 J。 五、题型5 图像法求解变力做功 17．如图，水平轨道AD足够长，BC段部分粗糙且长度为，其余部分光滑。质量为1kg、长度为2L的均匀木板以的初速度穿过BC部分，木板与粗糙部分的动摩擦因数为，重力加速度g取，木板穿过粗糙段后的速度大小为（　　） A．1m/s B．2m/s C．3m/s D．4m/s 18．质量为m、初速度为零的物体，在按不同规律变化的合外力作用下都通过位移x0。下列各种情况中合外力做功最多的是（　　） A． B． C． D． 19．质量为的小物块，在水平拉力F的作用下在水平面上直线运动1m距离，此过程中拉力F随位移x变化的关系如图所示，已知物块与水平面间的动摩擦因数，重力加速度。则物块在内所受合力做功为（　　） A．3J B．4J C．5J D．6J 20．一个弹簧放在水平地面上，Q为轻弹簧上端连在一起的秤盘，P为重物，已知P的质量M=10.5kg，Q的质量 m=1.5kg，弹簧的质量不计，劲度系数k=800N/m，系统处于静止。如图所示，现给 P施加一个方向竖直向上的力 F，使P、Q一起从静止开始向上做匀加速运动，已知在匀加速阶段 F的最大值为168N。（取g=10m/s2）求PQ 分离前拉力 F做的功。 六、题型6 微元法求力做功 21．如图所示，一石磨的转动中心到手柄中心的距离为R。某人用大小恒为F，方向始终与手柄转动轨迹相切的方向推磨子时，转动一圈时该力做功大小为（　　） A．FR B． C． D．0 22．如图所示，用一个大小不变的力拉着滑块（视为质点）使其沿半径为的水平圆轨道匀速运动半周，若力的方向始终与其在圆轨道上作用点的切线成夹角，则力做的功为（　　）    A． B． C． D． 23．为研究匀变速直线运动的位移时间关系，我们建立了速度随时间变化的图像，并将匀变速直线运动的时间分割成n个微元的时间间隔，若，每段过程中匀变速直线运动近似看作匀速直线运动，如图“台阶”状的折线图像无限逼近变速直线运动的图像，因此我们可以用图像中图线与横轴所围面积表示位移。已知根据初中所学知识，当恒力作用使物体在力的方向上通过一段直线距离时，称之为力对物体做功，表达式为。如图甲所示。假设驴以恒定速率沿半径为r的圆形磨盘切线方向拉磨，驴对磨杆末端的拉力F的大小不变，如图乙所示，利用上述无限分割与逼近的方法求证驴拉磨转动一周所做的功。 ①无限分割： ②近似处理： ③无限逼近： 解答过程： 24．水平桌面上，长R的轻绳一端固定于O点，如图所示（俯视图），另一端系一质量为m的小球。现小球在一个水平外力作用下从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ，不计空气阻力，重力加速度为g，则拉力F对小球做的功为 （选填“正功”或“负功”），小球克服摩擦力做的功为 。    七、题型7 功率的定义和物理意义 25．功率的定义式为由此可得（　　） A．功率是描述做功多少的物理量 B．由定义式可求出在t时间内平均功率 C．功率与功成正比与时间成反比 D．由定义式可知功率方向与功的方向相同 26．某热爱运动的同学质量为55kg，在做俯卧撑运动的过程中可将他的身体视为一根直棒。已知重心在c点，其垂线与脚、两手连线中点间的距离oa、ob分别为1.0m和0.5m。若他在1分钟内做了36个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.5m，则他在1分钟内克服重力做功和相应的功率约为（　　） A．3300J，55W B．4950J，82.5W C．6600J，110W D．9900J，165W 27．甲、乙两台挖掘机在工地上施工过程中，所做的功W随时间t变化的规律图象如图所示，根据图象可以确定的是（    ）    A．甲比乙做功多 B．甲比乙做功少 C．甲比乙做功快 D．甲比乙做功慢 28．如图所示为古代的水车，该水车周边均匀分布着N个盛水的容器，容器到水车大圆转轴的距离为R。在流水的冲力作用下，水车以n转/分的转速匀速转动，当装满水的容器到达最高处时将水全部倒入水槽中。设每个盛水容器装入水的质量均为m，忽略容器装水给水增加的动能和水车浸入水的深度，不计一切摩擦。已知重力加速度为g，则水车运水的功率为（　　） A． B． C． D． 八、题型8 平均功率与瞬时功率的计算 29．如图所示，轻绳的一端固定于O点，另一端与小球相连。当把小球从与O等高的A点由静止释放，则小球从A点摆至最低点B的过程中，小球所受重力的瞬时功率（　　） A．一直变大 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大 30．起重机通过钢绳4次将某物体竖直匀速提升相同高度，所需时间分别为：第1次2s、第2次4s、第3次6s、第4次8s。空气阻力不计，其中钢绳拉力做功的平均功率最大的是（　　） A．第1次 B．第2次 C．第3次 D．第4次 F=mg由相同高度，用时短的平均速度大，可知第1次提升时平均速度最大，根据 可知，第1次提升时钢绳拉力做功的平均功率最大，故选A，BCD错误。 31．如图甲所示，一物体置于倾角为的光滑斜面底端，时刻开始给物体施加沿斜面方向的力，力随时间变化的关系图像如图乙所示，以沿斜面向上为正方向。则下列说法正确的是（    ） A．末物体重力的功率为 B．末物体重力的功率为 C．内重力的平均功率为 D．内重力的平均功率为 32．FAST是世界上最大的单口径球面射电望远镜，直径为500m，有效提高了人类观测宇宙的精度和范围。设直径为100m的望远镜能够接收到的来自某天体的电磁波功率为P1，FAST能够接收到的来自该天体的电磁波功率为P2。在宇宙大尺度上，天体的空间分布是均匀的，仅以辐射功率为P的同类天体为观测对象，设直径为100m的望远镜能够观测到的此类天体数目为N0，FAST能够观测到的此类天体数目为N，则（　　） A． B． C．N=25N0 D．N=125N0 九、题型9 功率推导式：力�速度 33．汽车定速巡航行驶（速度大小不变），通过如图所示的路段，1、2上坡，3、4下坡，路面对汽车的摩擦阻力和空气阻力大小恒定，汽车经过1、2、3、4位置时发动机的功率（　　） A． B． C． D． 34．起重机将一重物从静止开始竖直向上吊起，重物做匀加速直线运动，则起重机对重物做功的功率P随时间t变化的图像为（　　） A． B． C． D． 35．如图所示，设高铁运行时受到的阻力与速度大小成正比，若高铁以速度v匀速行驶，发动机的功率为P。则当高铁速度为2v时，其匀速行驶时发动机的功率为（　　） A．2P B．4P C．8P D．16P 36．放在水平地面上的物体受到水平拉力的作用，其v—t图像和拉力的P—t图像分别如图（a）、（b）所示，则前2s拉力的大小为 N，2s～6s时间内拉力所做的功为 J。 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$