7.3 万有引力成就-2024-2025学年高一物理同步讲义（人教版2019必修二）

7.3 万有引力成就（原卷版） 题型1 根据已知量计算出天体的质量 1 题型2 计算中心天体的质量和密度 4 题型3 已知近地表运行周期求密度 6 题型4 已知地月/卫系统常识可以求出的物理量 7 题型5 不同纬度的重力加速度 9 题型6 在地球上空距离地心r 10 题型7 不计自转，万有引力与地球表面的重力加速度 13 一、 万有引力定律的应用 1．天体质量和密度的计算 使用方法 已知量 利用公式 表达式 质量的计算 利用运行天体 r、T G＝mr M＝ r、v G＝m M＝ v、T G＝m G＝mr M＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ 密度的计算 利用运行天体 r、T、R G＝mr M＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时 ρ＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ρ·πR3 ρ＝ 2.解答人造地球卫星运行问题的策略 (1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。 (2)两种关系 ①万有引力提供向心力：G＝ma＝m＝mω2r＝m2r。 ②重力等于万有引力：＝mg(R、g分别是地球的半径、地球表面重力加速度)。 (3)四字结论：越高越慢 G＝ 3．人造卫星运行轨道 卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道。如图所示。 估算天体质量和密度时应注意的问题 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。 (2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。 (3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有＝mg。 一、题型1 根据已知量计算出天体的质量 1．2008年12月，天文学家通过观测的数据确认了银河系中央人马座A*的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为个天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上，观测得到星的运行周期为15.2年。假若将星的运行轨道视为半径个天文单位的圆轨道，可估算出人马座A*的质量约是太阳质量的（　　） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 2．地球可视为质量分布均匀的球体，其半径为R，由于自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面赤道处的重力加速度大小为，两极处的重力加速度大小为，万有引力常量为G，则（　　） A． B．地球的质量为 C．地球的自转周期为 D．地球表面各处的重力加速度方向均指向地心 3．有一宇宙飞船到了某行星附近（该行星没有自转运动），以速度v绕行星表面做匀速圆周运动，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则该行星的半径为 ；该行星的质量为 。 4．在离地球约14光年的某红矮星周围有两颗星a、b，它们绕红矮星公转的周期分别是、，轨道可视为圆，如图所示，已知万有引力常量为G，则a、b公转半径之比为 。根据上述信息 （选填“能”“不能”）求出红矮星的质量。 5．2024年6月4日，嫦娥六号采样之后，月背呈现一个“中”字。若未来我国航天员登陆月球，并在月球上进行平抛实验，将一块石块（视为质点）从距月面高度为h处以大小为v0的速度水平抛出，测得石块的抛出点到落到月面上的点间的水平距离为x，已知月球的半径为r，引力常量为G。 （1）求月球的质量M； （2）若宇宙飞船在月球表面附近做匀速圆周运动，求此时飞船运行的周期T。 二、题型2 计算中心天体的质量和密度 6．2024年5月3日17时27分，长征五号运载火箭在中国文昌航天发射场点火起飞，成功将嫦娥六号探测器送入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功。世界首次月球背面采样返回之旅开启。探测器登月前，先进入椭圆轨道Ⅱ，再进入近月圆轨道I。图中P、Q分别为椭圆轨道的近月点和远月点。已知月球半径为R，嫦娥六号在轨道I运行周期为T，Q点离月球表面的高度为h，万有引力常量为G，则（　　） A．探测器第一次从Q点飞行到P点的时间 B．探测器第一次从Q点飞行到P点的时间 C．月球的密度为 D．月球的密度为 7．2020年诺贝尔物理学奖一半授予罗杰·彭罗斯，另外一半授予莱因哈德·根泽尔和安德里亚·格兹，其中莱因哈德·根泽尔和安德里亚·格兹发现了银河系中心的超大质量的黑洞。若该黑洞半径为太阳半径的倍，距黑洞中心为的某一星体以速度绕黑洞旋转，已知引力常量为，太阳半径为，则黑洞的密度为（　　） A． B． C． D． 8．如图所示，某卫星绕地球做椭圆运动，已知椭圆的长轴长度是地球直径的3倍，地球的平均密度为，引力常量为G，则卫星在椭圆上运行的周期为（　　） A． B． C． D． 9．2024年10月30日，“神舟十九号”载人飞船将乘组三名航天员送入空间站组合体，图中轨道①为低空轨道，轨道②为载人飞船变轨过程中的一条椭圆轨道，轨道③为空间站运行的高空圆轨道。为椭圆轨道的近地点，Q为远地点，载人飞船在圆轨道①的处点火加速，沿椭圆转移轨道②运动到远地点Q，再次点火加速，进入圆轨道③，恰好与圆轨道③上的空间站对接。已知地球半径为，地球表面重力加速度为，引力常量为G，圆轨道①离地高度为，圆轨道③的半径为，忽略地球自转的影响。则下列判断正确的是（    ） A．地球的平均密度 B．地球的平均密度 C．载人飞船从处第一次运动到Q处所用的时间 D．载人飞船从处第一次运动到Q处所用的时间 10．有两颗人造地球卫星A和B的轨道在同一平面内，A、B同向转动，轨道半径分别为r和4r，每隔时间t会发生一次“相冲”现象，即地球、卫星A和B三者位于同一条直线上，且A、B位于地球的同侧，已知万有引力常量为G，则地球质量可表示为（　　） A． B． C． D． 11．中国的月球计划分为“绕月—探月—登月”三步，并预计在2030年前实现登月计划。假设在不久的将来，中国载人飞船在月球表面成功着陆，宇航员在月球表面将一小球以初速度竖直向上抛出，经时间t小球落回抛出点。已知万有引力常量G、月球的半径R和，忽略月球的自转。求月球的平均密度。 三、题型3 已知近地表运行周期求密度 12．已知地球的密度为ρ，杨利伟当年乘坐的神舟五号可以认为是近地运行，它的运行周期为1.5h，已经测出了月球的密度约为 ，现发射一颗贴近月球表面的人造卫星对月球进一步观测，已知万有引力常量为G，则根据题中所给数据可以估算出（　　） A．人造卫星的周期 B．月球的质量 C．人造卫星的向心加速度大小 D．造卫星与月球的万有引力大小 13．2024年3月，航天科技集团相关研究团队表示，中国计划2030年前后完成火星采样返回。火星公转轨道半径是地球公转轨道半径的，火星的半径为地球半径的，火星的质量为地球质量的，火星探测器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动（探测器可视为火星的近地卫星），探测器绕火星运行周期为T，已知火星和地球绕太阳公转的轨道都可近似为圆轨道，地球和火星可看作均匀球体，已知万有引力常数为G，则（    ） A．火星的公转周期和地球的公转周期之比为 B．火星的自转周期和地球的自转周期之比为 C．探测器环绕火星表面运行速度与环绕地球表面运行速度之比为 D．火星的平均密度为 14．一颗卫星绕X行星做圆形轨道运行，且轨道距离行星表面非常近．要估计行星X的密度，我们只需测量（　　） A．卫星的周期 B．轨道半径 C．卫星的速度 D．行星X的质量 E．卫星的质量 15．宇宙中某恒星的质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的功率是太阳的16倍。现在假设地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳的公转周期为，绕此恒星公转的周期为，求。 四、题型4 已知地月/卫系统常识可以求出的物理量 16．已知地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍，月球绕地球公转的半径约为地球半径的60倍，则（　　） A．地球表面自由落体加速度与月球表面自由落体加速度之比为9：4 B．地球表面自由落体加速度与月球表面自由落体加速度之比为16：9 C．地球表面自由落体加速度与月球绕地球公转向心加速度之比为3600∶1 D．地球表面自由落体加速度与月球绕地球公转向心加速度之比为3600：81 17．如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带．假设该小行星带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动，下列说法中正确的是（   ） A．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年 B．与太阳距离相等的每一颗小行星，受到太阳的万有引力大小都相等 C．位于小行星带内侧的小行星的加速度大于位于小行星带外侧的小行星的加速度 D．小行星带内各个小行星绕太阳公转的线速度均大于地球公转的线速度 18．摄影爱好者拍摄到中国空间站“凌月”的画面如图所示。空间站与月球在同一轨道平面且绕行方向相同，在地球上观测月球时看到空间站在月球前面快速掠过的过程即为“凌月”过程，整个过程持续时间极短。已知地球半径为R，空间站绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r₁，月球绕地球做匀速圆周运动的半径为，地球表面的重力加速度大小为g，引力常量为G，忽略地球自转，下列说法正确的是（   ） A．根据题述条件可以求出月球的质量 B．根据题述条件可以求出地球的平均密度 C．空间站和月球绕地球做匀速圆周运动的周期之比为 D．空间站绕地球运动的周期为 19．2019年1月3日，嫦娥四号在月球背面预选区着陆，实现了人类航天器首次月球背面软着陆与巡视探测，这也是我国探月工程三步走“绕、落、回”中第二步，为接下来以月面采样返回为目标的月球探测第三步任务打下了很好的基础。如图所示为嫦娥四号飞行轨道示意图，卫星从地球发射后，每次经过近地点进行加速变轨，进入地月转移轨道后被月球俘获，每次经过月球的近月点进行减速变轨。图中轨道①②③为椭圆轨道，轨道③的远地点与地球同步卫星轨道距离地面的高度均为；轨道④⑤为椭圆轨道，它们轨道半长轴的三次方与环绕周期平方的比值均为，轨道⑥为月球的近月圆轨道，卫星在该轨道环绕的线速度为。已知地球表面重力加速度为，地球半径为。求： (1)月球的半径； (2)卫星在轨道③运动的周期。 五、题型5 不同纬度的重力加速度 20．中国科学家提出一项通过太空望远镜开展的巡天计划，寻找距离地球30多光年外的宜居类地行星。假设某颗星球具有和地球一样的自转特征，如图所示，该星球绕轴自转，半径为R，A、B所在的位置为南、北两极，C、D所在的位置为赤道平面内，连线与赤道平面的夹角为。经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．该星球的自转角速度大小为 B．该星球的自转周期为 C．该星球位置的自转向心加速度大小为 D．该星球位置的自转向心加速度大小为 21．设地球为正球体，半径为R，自转周期为T，则下列叙述正确的是（　　） A．在中国与在美国的时间不同，所以转动的角速度也不同 B．因为北极与赤道距地心的距离一样，所以视重相同 C．若将一质量为m的物体从北极移到赤道上，则重力变小 D．在维度为的地方，其向心加速度为 22．科学家发现距离地球17光年的地方有一颗“超级地球”，据测算，这颗星球具有和地球一样的自转特征。如图，若把这颗星球看成质量分布均匀的球体，OE连线与其“赤道”平面的夹角为30°，A位置的重力加速度为g，D位置的向心加速度为，如果未来的某天，第一个在D点登陆该星球质量为m1的宇航员1所受到的万有引力为 ；第一个在E点登陆该星球质量为m2的宇航员2所受到的重力为 。 23．假设地球是一半径为R，质量分布均匀的球体，一矿井深度为d．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为 ． 六、题型6 在地球上空距离地心r 24．2024年4月26日，神舟十八号载人飞船与天和核心舱成功进行对接。飞船运行与交会对接过程示意图如图所示，椭圆轨道1为飞船对接前的运行轨道，点是轨道1的近地点，离地高度可忽略不计。圆形轨道2距地面高度为，是天和核心舱的运行轨道，点是轨道1、2的切点，也是交会点。已知地球半径为，地球表面重力加速度为，忽略地球自转，则交会对接前天和核心舱的向心加速度大小为（   ） A． B． C． D． 25．《黑神话：悟空》是2024年全球大卖的中国3A大作，如果悟空的金箍棒可以长到地球直径的高度，把金箍棒立在地面上，若变长的金箍棒质量分布均匀，则金箍棒的质心在中点O处，那么金箍棒的重心位置（　　） A．也在O点处 B．在O点上方，比O点更远离地球 C．在O点下方，比O点更靠近地球 D．无法确定在O点上方还是下方 26．假设地球是一半径为R，质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体引力为零，地球表面处引力加速度为g。则关于地球引力加速度a随地球球心到某点距离r的变化图像正确的是（　　） A． B． C． D． 27．“天宫二号”是我国第一个真正意义上的太空实验室。“天宫二号”空间实验室将开展十四项空间科学和应用实验，例如“空间冷原子钟”、“液桥热毛细对流实验”等。氙老师想在离地表一定高度的天宫实验室内，通过测量以下物理量得到天宫实验室轨道处的重力加速度，可行的是（　　） A．用弹簧秤测出已知质量的砝码所受的重力 B．从高处释放一个重物、测量其下落高度和时间 C．测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径 D．以上三个方案都可行 28．假定地球为均匀球体，其半径为，在地球表面测得重力加速度为，设g为离开地球表面的高度达时的重力加速度。当比小得多时，和可能的变化关系近似式为：（　　） A． B． C． D． 29．2022年11月1日，梦天实验舱与“天宫”空间站在轨完成交会对接。11月3日，梦天实验舱与天和核心舱、问天实验舱形成新的空间站“T”字基本构型组合体。已知组合体的运行轨道距地面高度为h，地球视为理想球体且半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，组合体轨道处的重力加速度为 ，地球的平均密度可表示为 。 30．北斗系统主要由离地面高度约为6R（R为地球半径）的同步轨道卫星和离地面高度约为3R的中轨道卫星组成，已知地球表面重力加速度为g，忽略地球自转。则（　  ） A．中轨道卫星的向心加速度约为 B．中轨道卫星的向心加速度约为 C．中轨道卫星的运行周期约为小时 D．中轨道卫星的运行周期约为小时 31．阅读教材，并回答： 假设地球是一个密度均匀的球体，如图所示，人站在地球的不同位置，比如赤道、两极或者其他位置。 （1）如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得，引力F可分解为F1、F2两个分力，其中F2为物体随地球自转做圆周运动的向心力，F1就是物体的重力mg，试说出重力与万有引力的关系。 （2）在两极时，万有引力、重力、向心力有什么区别和联系？ （3）在赤道上时，万有引力、重力、向心力有什么区别和联系？ （4）在离地球表面一定高度处，万有引力与重力有何关系？ （5）空壳内及地表下一定距离处的万有引力又是怎么计算呢？ 七、题型7 不计自转，万有引力与地球表面的重力加速度 32．嫦娥六号完成人类从月球背面采样的壮举，带回1935.3克样品。已知月球与地球质量之比为a，半径之比为b，则这1935.3克样品在月球表面与地球表面的重力之比约为（　　） A． B． C． D． 三、万有引力和重力的关系 33．在地球上不同的纬度，万有引力和重力的关系不同： （1） 如图甲所示，在赤道上：重力和向心力在一条直线上， mg= 。 （2）如图乙所示，在两极上：F向 =0， mg= 。 （3）如图丙所示，在一般位置，重力是万有引力的一个分力， mg 。（选填“>”“<”或“=”） 34．越靠近南北两极g 值越 ，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即mg= 。 35．牛顿猜想月球绕地球运动是因为它们之间相互吸引，而且这种力与地球对树上苹果的吸引力也是同一种性质的力。在牛顿的时代，人们已经能够比较精确的测量月球与地球的距离，月球的公转周期，地球半径，根据这些数据可以估算出地球表面的重力加速度应该是（　　） A． B． C． D． 36．“称量”地球的质量的原理： 若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的 等于地球对物体的 ，即mg= ，则m地= ，由于g、R、G已经测出，因此可计算出地球的质量。 37．我国自主研发的北斗系统，是由GEO卫星、IGSO卫星和MEO卫星三种轨道卫星组成的混合导航系统。其中MEO卫星环绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，已知其轨道离地面高度为h，绕地球运行周期为T，地球半径为R，引力常量为G。求： （1）地球的密度； （2）地球两极的重力加速度大小。 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3 万有引力成就（解析版） 题型1 根据已知量计算出天体的质量 1 题型2 计算中心天体的质量和密度 4 题型3 已知近地表运行周期求密度 10 题型4 已知地月/卫系统常识可以求出的物理量 13 题型5 不同纬度的重力加速度 18 题型6 在地球上空距离地心r 22 题型7 不计自转，万有引力与地球表面的重力加速度 28 一、 万有引力定律的应用 1．天体质量和密度的计算 使用方法 已知量 利用公式 表达式 质量的计算 利用运行天体 r、T G＝mr M＝ r、v G＝m M＝ v、T G＝m G＝mr M＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ 密度的计算 利用运行天体 r、T、R G＝mr M＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时 ρ＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ρ·πR3 ρ＝ 2.解答人造地球卫星运行问题的策略 (1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。 (2)两种关系 ①万有引力提供向心力：G＝ma＝m＝mω2r＝m2r。 ②重力等于万有引力：＝mg(R、g分别是地球的半径、地球表面重力加速度)。 (3)四字结论：越高越慢 G＝ 3．人造卫星运行轨道 卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道。如图所示。 估算天体质量和密度时应注意的问题 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。 (2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。 (3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有＝mg。 一、题型1 根据已知量计算出天体的质量 1．2008年12月，天文学家通过观测的数据确认了银河系中央人马座A*的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为个天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上，观测得到星的运行周期为15.2年。假若将星的运行轨道视为半径个天文单位的圆轨道，可估算出人马座A*的质量约是太阳质量的（　　） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【详解】星绕人马座A*做圆周运动的向心力由人马座A*对星的万有引力提供，设星的质量为，角速度为，周期为T，则 其中 设地球质量为，公转轨道半径为，周期为，研究地球绕太阳做圆周运动，根据万有引力提供向心力，则 综合上述三式得 式中年，天文单位，代入数据可得 故选B。 2．地球可视为质量分布均匀的球体，其半径为R，由于自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面赤道处的重力加速度大小为，两极处的重力加速度大小为，万有引力常量为G，则（　　） A． B．地球的质量为 C．地球的自转周期为 D．地球表面各处的重力加速度方向均指向地心 【答案】AC 【详解】ABC．设地球质量为，地球的自转周期为，质量为的物体在地球表面赤道处有 质量为的物体在两极处有 可得 ，， 故AC正确，B错误； D．地球表面各处的重力加速度方向总是竖直向下，除了赤道和两极处，其他位置的重力加速度方向并不指向地心，故D错误。 故选AC。 3．有一宇宙飞船到了某行星附近（该行星没有自转运动），以速度v绕行星表面做匀速圆周运动，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则该行星的半径为 ；该行星的质量为 。 【答案】 【详解】[1]根据 解得 [2]根据 解得 4．在离地球约14光年的某红矮星周围有两颗星a、b，它们绕红矮星公转的周期分别是、，轨道可视为圆，如图所示，已知万有引力常量为G，则a、b公转半径之比为 。根据上述信息 （选填“能”“不能”）求出红矮星的质量。 【答案】 不能 【详解】[1]根据开普勒第三定律 可得 [2]围绕红矮星运动的星球的公转半径未知，根据题中信息无法求出红矮星的质量。 5．2024年6月4日，嫦娥六号采样之后，月背呈现一个“中”字。若未来我国航天员登陆月球，并在月球上进行平抛实验，将一块石块（视为质点）从距月面高度为h处以大小为v0的速度水平抛出，测得石块的抛出点到落到月面上的点间的水平距离为x，已知月球的半径为r，引力常量为G。 （1）求月球的质量M； （2）若宇宙飞船在月球表面附近做匀速圆周运动，求此时飞船运行的周期T。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）根据平抛运动得 解得 根据黄金代换 解得 （2）根据牛顿第二定律得 解得 二、题型2 计算中心天体的质量和密度 6．2024年5月3日17时27分，长征五号运载火箭在中国文昌航天发射场点火起飞，成功将嫦娥六号探测器送入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功。世界首次月球背面采样返回之旅开启。探测器登月前，先进入椭圆轨道Ⅱ，再进入近月圆轨道I。图中P、Q分别为椭圆轨道的近月点和远月点。已知月球半径为R，嫦娥六号在轨道I运行周期为T，Q点离月球表面的高度为h，万有引力常量为G，则（　　） A．探测器第一次从Q点飞行到P点的时间 B．探测器第一次从Q点飞行到P点的时间 C．月球的密度为 D．月球的密度为 【答案】B 【详解】AB．根据开普勒第三定律 解得 探测器第一次从Q点飞行到P点的时间为 联立解得 故A错误，B正确； CD．由万有引力提供向心力 根据 联立解得 故CD错误。 故选B。 7．2020年诺贝尔物理学奖一半授予罗杰·彭罗斯，另外一半授予莱因哈德·根泽尔和安德里亚·格兹，其中莱因哈德·根泽尔和安德里亚·格兹发现了银河系中心的超大质量的黑洞。若该黑洞半径为太阳半径的倍，距黑洞中心为的某一星体以速度绕黑洞旋转，已知引力常量为，太阳半径为，则黑洞的密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设黑洞质量为，星体质量为，该星体由万有引力提供向心力有 又 且 联立可得 故选D。 8．如图所示，某卫星绕地球做椭圆运动，已知椭圆的长轴长度是地球直径的3倍，地球的平均密度为，引力常量为G，则卫星在椭圆上运行的周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设地球的半径为，椭圆的长轴长度是地球直径的3倍，则其半长轴为3，根据开普勒第三定律可知该椭圆轨道与半径为3的圆周轨道运动的卫星的周期相等，根据万有引力提供向心力有 根据密度的计算公式有 解得 故选D。 9．2024年10月30日，“神舟十九号”载人飞船将乘组三名航天员送入空间站组合体，图中轨道①为低空轨道，轨道②为载人飞船变轨过程中的一条椭圆轨道，轨道③为空间站运行的高空圆轨道。为椭圆轨道的近地点，Q为远地点，载人飞船在圆轨道①的处点火加速，沿椭圆转移轨道②运动到远地点Q，再次点火加速，进入圆轨道③，恰好与圆轨道③上的空间站对接。已知地球半径为，地球表面重力加速度为，引力常量为G，圆轨道①离地高度为，圆轨道③的半径为，忽略地球自转的影响。则下列判断正确的是（    ） A．地球的平均密度 B．地球的平均密度 C．载人飞船从处第一次运动到Q处所用的时间 D．载人飞船从处第一次运动到Q处所用的时间 【答案】AC 【详解】AB．忽略地球自转，对于地球表面的物体，根据万有引力定律及牛顿第二定律有 地球的体积为 联立可得，地球的密度为 故A正确，B错误； CD．对于低空轨道上运行的卫星，根据万有引力定律有 对于在轨道①和轨道②上运行的卫星，根据开普勒第三定律得 因此载人飞船从处第一次运动到Q处所用的时间为 故C正确，D错误。 故选AC。 10．有两颗人造地球卫星A和B的轨道在同一平面内，A、B同向转动，轨道半径分别为r和4r，每隔时间t会发生一次“相冲”现象，即地球、卫星A和B三者位于同一条直线上，且A、B位于地球的同侧，已知万有引力常量为G，则地球质量可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】每隔时间t会发生一次“相冲”现象，得 根据万有引力提供向心力，有 ， 联立，解得 故选D。 11．中国的月球计划分为“绕月—探月—登月”三步，并预计在2030年前实现登月计划。假设在不久的将来，中国载人飞船在月球表面成功着陆，宇航员在月球表面将一小球以初速度竖直向上抛出，经时间t小球落回抛出点。已知万有引力常量G、月球的半径R和，忽略月球的自转。求月球的平均密度。 【答案】 【详解】小球在月球表面做匀变速直线运动，得 假设月球质量为，小球质量为，得 月球的密度为 月球的体积为 联立可得月球的密度为 三、题型3 已知近地表运行周期求密度 12．已知地球的密度为ρ，杨利伟当年乘坐的神舟五号可以认为是近地运行，它的运行周期为1.5h，已经测出了月球的密度约为 ，现发射一颗贴近月球表面的人造卫星对月球进一步观测，已知万有引力常量为G，则根据题中所给数据可以估算出（　　） A．人造卫星的周期 B．月球的质量 C．人造卫星的向心加速度大小 D．造卫星与月球的万有引力大小 【答案】A 【详解】对于近地卫星，由万有引力提供向心力，而轨道半径为地球半径，有 而地球的质量为 联立可得 同理可得对月球的近地卫星，也满足 已知地球的密度，月球的密度，近地卫星的周期，联立可求出月球的近地卫星，故A正确，BCD错误。 故选A。 13．2024年3月，航天科技集团相关研究团队表示，中国计划2030年前后完成火星采样返回。火星公转轨道半径是地球公转轨道半径的，火星的半径为地球半径的，火星的质量为地球质量的，火星探测器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动（探测器可视为火星的近地卫星），探测器绕火星运行周期为T，已知火星和地球绕太阳公转的轨道都可近似为圆轨道，地球和火星可看作均匀球体，已知万有引力常数为G，则（    ） A．火星的公转周期和地球的公转周期之比为 B．火星的自转周期和地球的自转周期之比为 C．探测器环绕火星表面运行速度与环绕地球表面运行速度之比为 D．火星的平均密度为 【答案】C 【详解】A．设太阳质量为M，火星、地球质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，公转周期分别为T1、T2，则由万有引力提供向心力 解得 故A错误； B．由题意可知，无法比较火星的自转周期和地球的自转周期，故B错误； C．设火星、地球的半径分别为R1、R2，探测器质量为m，运行速度分别为v1、v2，则 解得 故C正确； D．探测器绕火星表面附近运行时，有 解得火星的质量为 火星的体积为 即火星的平均密度为 故D错误。 故选C。 14．一颗卫星绕X行星做圆形轨道运行，且轨道距离行星表面非常近．要估计行星X的密度，我们只需测量（　　） A．卫星的周期 B．轨道半径 C．卫星的速度 D．行星X的质量 E．卫星的质量 【答案】A 【详解】根据题意，由于卫星轨道距离行星表面非常近，则认为卫星的轨道半径近似等于行星的半径，由万有引力提供向心力有 又有 ， 解得 可知，只需测量卫星的周期就可估算行星X的密度。 故选A。 15．宇宙中某恒星的质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的功率是太阳的16倍。现在假设地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳的公转周期为，绕此恒星公转的周期为，求。 【答案】 【详解】 设地球绕太阳公转半径为，绕此恒星公转半径为；设太阳辐射的功率为，由地球在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样可得 解得 由地球绕太阳公转可得 解得 由地球绕此恒星公转可得 解得 即 四、题型4 已知地月/卫系统常识可以求出的物理量 16．已知地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍，月球绕地球公转的半径约为地球半径的60倍，则（　　） A．地球表面自由落体加速度与月球表面自由落体加速度之比为9：4 B．地球表面自由落体加速度与月球表面自由落体加速度之比为16：9 C．地球表面自由落体加速度与月球绕地球公转向心加速度之比为3600∶1 D．地球表面自由落体加速度与月球绕地球公转向心加速度之比为3600：81 【答案】C 【详解】AB．根据 可得 可得 选项AB错误； CD．月球绕地球公转时加速度满足 即 可知 地球表面自由落体加速度与月球绕地球公转向心加速度之比为 选项C正确，D错误。 故选C。 17．如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带．假设该小行星带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动，下列说法中正确的是（   ） A．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年 B．与太阳距离相等的每一颗小行星，受到太阳的万有引力大小都相等 C．位于小行星带内侧的小行星的加速度大于位于小行星带外侧的小行星的加速度 D．小行星带内各个小行星绕太阳公转的线速度均大于地球公转的线速度 【答案】C 【详解】A．根据万有引力提供向心力有 解得 轨道半径越大，周期越大，各小行星的轨道半径均大于地球公转的轨道半径，所以周期均大于一年，A错误； B．根据万有引力公式 可知，由于各小行星的质量不同，所以太阳对各小行星的引力可能不同，B错误； C．根据万有引力提供向心力有 可得 则小行星带内侧小行星的向心加速度大于外侧小行星的向心加速度值，C正确； D．根据万有引力提供向心力有 可得 则小行星带内各小行星圆周运动的线速度值小于地球公转的线速度值，D错误。 故选C。 18．摄影爱好者拍摄到中国空间站“凌月”的画面如图所示。空间站与月球在同一轨道平面且绕行方向相同，在地球上观测月球时看到空间站在月球前面快速掠过的过程即为“凌月”过程，整个过程持续时间极短。已知地球半径为R，空间站绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r₁，月球绕地球做匀速圆周运动的半径为，地球表面的重力加速度大小为g，引力常量为G，忽略地球自转，下列说法正确的是（   ） A．根据题述条件可以求出月球的质量 B．根据题述条件可以求出地球的平均密度 C．空间站和月球绕地球做匀速圆周运动的周期之比为 D．空间站绕地球运动的周期为 【答案】BC 【详解】AB．空间站和月球都是绕地球做圆周运动，根据万有引力定律及匀速圆周运动的规律，只可求出中心天体的质量，无法求得卫星或行星的质量；根据万有引力定律可知，在地面附近 解得地球的质量 地球的体积 所以地球的密度 A错误，B正确； C．由开普勒第三定律可知 解得 C正确； D．由万有引力定律和牛顿第二定律可得 解得 又因为在地面附近的物体其受到的万有引力等于其重力 联立可得 D错误。 故选BC。 19．2019年1月3日，嫦娥四号在月球背面预选区着陆，实现了人类航天器首次月球背面软着陆与巡视探测，这也是我国探月工程三步走“绕、落、回”中第二步，为接下来以月面采样返回为目标的月球探测第三步任务打下了很好的基础。如图所示为嫦娥四号飞行轨道示意图，卫星从地球发射后，每次经过近地点进行加速变轨，进入地月转移轨道后被月球俘获，每次经过月球的近月点进行减速变轨。图中轨道①②③为椭圆轨道，轨道③的远地点与地球同步卫星轨道距离地面的高度均为；轨道④⑤为椭圆轨道，它们轨道半长轴的三次方与环绕周期平方的比值均为，轨道⑥为月球的近月圆轨道，卫星在该轨道环绕的线速度为。已知地球表面重力加速度为，地球半径为。求： (1)月球的半径； (2)卫星在轨道③运动的周期。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设卫星在近月轨道上的运行周期为，月球的半径为，根据开普勒第三定律可知 近地卫星的线速度 联立解得 （2）卫星在地球表面运动时，根据牛顿第二定律可知 设地球同步卫星的周期为T，则有 卫星在轨道3上的运行周期为，轨道3的半长轴 由开普勒第三定律可知 联立上述各式可得 五、题型5 不同纬度的重力加速度 20．中国科学家提出一项通过太空望远镜开展的巡天计划，寻找距离地球30多光年外的宜居类地行星。假设某颗星球具有和地球一样的自转特征，如图所示，该星球绕轴自转，半径为R，A、B所在的位置为南、北两极，C、D所在的位置为赤道平面内，连线与赤道平面的夹角为。经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．该星球的自转角速度大小为 B．该星球的自转周期为 C．该星球位置的自转向心加速度大小为 D．该星球位置的自转向心加速度大小为 【答案】C 【分析】万有引力定律的应用、行星自转与重力加速度的关系 【详解】A．在A处，根据万有引力等于重力有 在D处根据牛顿第二定律有 联立可得该星球的自转角速度大小为 A错误； B．该星球的自转周期为 B错误； C．由于与赤道夹角为，根据 可知M处的自转向心加速度为 C正确； D．该星球D位置的自转向心加速度大小为 D错误。 故选C。 21．设地球为正球体，半径为R，自转周期为T，则下列叙述正确的是（　　） A．在中国与在美国的时间不同，所以转动的角速度也不同 B．因为北极与赤道距地心的距离一样，所以视重相同 C．若将一质量为m的物体从北极移到赤道上，则重力变小 D．在维度为的地方，其向心加速度为 【答案】CD 【详解】A．地球绕地轴转动时，转动的各点角速度相同。故A错误； BC．重力是由万有引力引起的，其中一部分万有引力提供向心力，另一部分产生视重，就是重力，所以不同纬度处重力加速度值不同，视重不同。赤道上最小，北极最大。若将一质量为m的物体从北极移到赤道上，则重力变小。故B错误，C正确； D．在不同纬度处，圆周运动的轨迹是纬度所在平面，圆周运动的半径为，故该平面轨道上各点的向心加速度大小为 故D正确。 故选CD。 22．科学家发现距离地球17光年的地方有一颗“超级地球”，据测算，这颗星球具有和地球一样的自转特征。如图，若把这颗星球看成质量分布均匀的球体，OE连线与其“赤道”平面的夹角为30°，A位置的重力加速度为g，D位置的向心加速度为，如果未来的某天，第一个在D点登陆该星球质量为m1的宇航员1所受到的万有引力为 ；第一个在E点登陆该星球质量为m2的宇航员2所受到的重力为 。 【答案】 m1g 【详解】[1]在A位置，有 在D位置，有 所以 [2]在E位置，有 所以在E点宇航员2所受到的重力为 23．假设地球是一半径为R，质量分布均匀的球体，一矿井深度为d．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为 ． 【答案】 【详解】令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等 由于地球的质量为 所以重力加速度的表达式可写成 根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的井底，受到地球的万有引力即为半径等于（ ）的球体在其表面产生的万有引力，故井底的重力加速度为 所以有 六、题型6 在地球上空距离地心r 24．2024年4月26日，神舟十八号载人飞船与天和核心舱成功进行对接。飞船运行与交会对接过程示意图如图所示，椭圆轨道1为飞船对接前的运行轨道，点是轨道1的近地点，离地高度可忽略不计。圆形轨道2距地面高度为，是天和核心舱的运行轨道，点是轨道1、2的切点，也是交会点。已知地球半径为，地球表面重力加速度为，忽略地球自转，则交会对接前天和核心舱的向心加速度大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设对接前天和核心舱的向心加速度大小为，根据牛顿第二定律有 因为 解得 故选C。 25．《黑神话：悟空》是2024年全球大卖的中国3A大作，如果悟空的金箍棒可以长到地球直径的高度，把金箍棒立在地面上，若变长的金箍棒质量分布均匀，则金箍棒的质心在中点O处，那么金箍棒的重心位置（　　） A．也在O点处 B．在O点上方，比O点更远离地球 C．在O点下方，比O点更靠近地球 D．无法确定在O点上方还是下方 【答案】C 【详解】因为质量分布均匀，但越靠近地面重力加速度越大，所以重心与质心不重合，在O点下方，比质心更靠近地球。 故选C。 26．假设地球是一半径为R，质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体引力为零，地球表面处引力加速度为g。则关于地球引力加速度a随地球球心到某点距离r的变化图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若距离大于地球半径，则根据万有引力提供重力可得 可得加速度 随距离增大，加速度变小。当在地球球壳内即距离小于地球半径，此时距离地心r～R范围内的球壳对物体没有引力，那么地球对其产生引力的就是半径为r的中心球体对它产生的引力，因此 即加速度与距离成正比。 故选B。 27．“天宫二号”是我国第一个真正意义上的太空实验室。“天宫二号”空间实验室将开展十四项空间科学和应用实验，例如“空间冷原子钟”、“液桥热毛细对流实验”等。氙老师想在离地表一定高度的天宫实验室内，通过测量以下物理量得到天宫实验室轨道处的重力加速度，可行的是（　　） A．用弹簧秤测出已知质量的砝码所受的重力 B．从高处释放一个重物、测量其下落高度和时间 C．测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径 D．以上三个方案都可行 【答案】C 【详解】ABD．在天宫实验室内，物体处于完全失重状态，重力提供了物体绕地球匀速圆周运动的向心力，故A、B中的实验均无法得到天宫实验室轨道处的重力加速度，故ABD错误； C．重力提供天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的向心力，则 解得 故C正确。 故选C。 28．假定地球为均匀球体，其半径为，在地球表面测得重力加速度为，设g为离开地球表面的高度达时的重力加速度。当比小得多时，和可能的变化关系近似式为：（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据万有引力定律和牛顿第二定律有 ， 整理可得 由数学知识可知，当时有 故选C。 29．2022年11月1日，梦天实验舱与“天宫”空间站在轨完成交会对接。11月3日，梦天实验舱与天和核心舱、问天实验舱形成新的空间站“T”字基本构型组合体。已知组合体的运行轨道距地面高度为h，地球视为理想球体且半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，组合体轨道处的重力加速度为 ，地球的平均密度可表示为 。 【答案】 【详解】[1]根据万有引力提供向心力有 根据万有引力与重力的关系有 联立可得组合体轨道处的重力加速度为 [2]地球的平均密度为 30．北斗系统主要由离地面高度约为6R（R为地球半径）的同步轨道卫星和离地面高度约为3R的中轨道卫星组成，已知地球表面重力加速度为g，忽略地球自转。则（　  ） A．中轨道卫星的向心加速度约为 B．中轨道卫星的向心加速度约为 C．中轨道卫星的运行周期约为小时 D．中轨道卫星的运行周期约为小时 【答案】BD 【详解】AB．中轨道卫星，根据牛顿第二定律有 解得 故A错误，B正确； CD．根据开普勒第三定律有 解得 故C错误，D正确。 故选BD。 31．阅读教材，并回答： 假设地球是一个密度均匀的球体，如图所示，人站在地球的不同位置，比如赤道、两极或者其他位置。 （1）如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得，引力F可分解为F1、F2两个分力，其中F2为物体随地球自转做圆周运动的向心力，F1就是物体的重力mg，试说出重力与万有引力的关系。 （2）在两极时，万有引力、重力、向心力有什么区别和联系？ （3）在赤道上时，万有引力、重力、向心力有什么区别和联系？ （4）在离地球表面一定高度处，万有引力与重力有何关系？ （5）空壳内及地表下一定距离处的万有引力又是怎么计算呢？ 【答案】见解析 【详解】（1）由图可知，重力是地球对物体万有引力的一个分力； （2）在两极时，由于转动半径为零，则向心力为零，则万有引力等于重力，此时重力最大； （3）在赤道上时，万有引力与重力的合力充当向心力，此时，此时向心力最大，重力最小； （4）在离地球表面一定高度处，万有引力沿转动半径方向的分力充当向心力，另一个分力等于重力，此时万有引力大于重力； （5）计算空壳内及地表下一定距离处的万有引力时，可认为在球壳上的各个质点对物体的万有引力的合力为零，然后计算球壳以内的球体对物体的引力即可。 七、题型7 不计自转，万有引力与地球表面的重力加速度 32．嫦娥六号完成人类从月球背面采样的壮举，带回1935.3克样品。已知月球与地球质量之比为a，半径之比为b，则这1935.3克样品在月球表面与地球表面的重力之比约为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】月壤在月球表面有 在地球表面有 解得样品在月球表面与地球表面的重力之比约为 故选D。 三、万有引力和重力的关系 33．在地球上不同的纬度，万有引力和重力的关系不同： （1） 如图甲所示，在赤道上：重力和向心力在一条直线上， mg= 。 （2）如图乙所示，在两极上：F向 =0， mg= 。 （3）如图丙所示，在一般位置，重力是万有引力的一个分力， mg 。（选填“>”“<”或“=”） 34．越靠近南北两极g 值越 ，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即mg= 。 【答案】33． ＜ 34． 大 【解析】33．[1]如图甲所示，在赤道上：根据牛顿第二定律得 解得 [2]如图乙所示，在两极上 [3]如图丙所示，在一般位置，重力是万有引力的一个分力 34．[1][2]越靠近南北两极g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即 35．牛顿猜想月球绕地球运动是因为它们之间相互吸引，而且这种力与地球对树上苹果的吸引力也是同一种性质的力。在牛顿的时代，人们已经能够比较精确的测量月球与地球的距离，月球的公转周期，地球半径，根据这些数据可以估算出地球表面的重力加速度应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设地球上某物体的质量为，地球质量为，地球半径为，根据牛顿第二定律有 设月球的质量为，根据牛顿第二定律有 解得 故选A。 36．“称量”地球的质量的原理： 若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的 等于地球对物体的 ，即mg= ，则m地= ，由于g、R、G已经测出，因此可计算出地球的质量。 【答案】 重力 万有引力 【详解】[1][2]若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力等于地球对物体的万有引力； [3][4]根据上述有 解得 37．我国自主研发的北斗系统，是由GEO卫星、IGSO卫星和MEO卫星三种轨道卫星组成的混合导航系统。其中MEO卫星环绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，已知其轨道离地面高度为h，绕地球运行周期为T，地球半径为R，引力常量为G。求： （1）地球的密度； （2）地球两极的重力加速度大小。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由万有引力提供向心力 轨道半径 地球质量 由以上两式解得 （2）在地球两极 由万有引力提供向心力 解得 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$