5.4 平抛运动的规律-2024-2025学年高一物理同步讲义（人教版2019必修二）

5.4 平抛运动的规律（原卷版） 题型1 平抛运动的概念 1 题型2 平抛运动速度的计算 3 题型3 速度偏转角与位移偏转角 5 题型4 速度反向延长线的特点 10 题型5 斜面上的平抛运动 14 题型6 类平抛运动 19 题型7 斜抛运动 24 题型8 平抛运动位移的计算 28 题型9 平抛运动中追及相遇问题 32 题型10 飞机投弹问题 36 题型11 曲面结合的平抛运动 39 一、平抛运动 1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在 重力　作用下的运动。 2．性质：平抛运动是加速度为g的 匀变速　曲线运动，其运动轨迹是 抛物线　。 3．平抛运动的条件：(1)v0≠0，沿 水平方向　；(2)只受 重力　作用。 4．研究方法：平抛运动通常可以分解为水平方向的 匀速直线　运动和竖直方向的 自由落体　运动。 5．基本规律：以抛出点为坐标原点，水平初速度v0方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t，有： (1)位移：分位移x＝ v0t　；y＝ gt2　 合位移x合＝＝ 　，tan φ＝ 　，φ为合位移与x轴的夹角。 (2)速度：分速度vx＝ v0　；vy＝ gt　 合速度v＝＝，tan θ＝ 　，θ为合速度v与x轴的夹角。 二、一般的抛体运动 1.斜抛运动：将物体以速度v0沿斜向上方或斜向下方抛出，只在重力作用下的运动（轨迹关于最高点的竖直线对称）。  2.运动性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动。斜上抛的运动轨迹是抛物线，如图所示(以斜上抛为例说明，如图所示) (1)水平方向：做匀速直线运动，速度vx = v0 cos。 （为初速度与水平方向的夹角） (2)竖直方向：做竖直上抛运动，速度vy = v0 sin－gt。 (3)合速率：先减小后增大，在最高点速率最小。 (4)水平射程： ，=45°时水平射程最大。 (5)对称性：轨迹关于过最高点的竖直线对称；物体在同一高度速率相等；上升时间与下降时间具有对称性。 三、关于平抛运动必须掌握的四个物理量 物理量 相关分析 飞行时间(t) t＝，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关 水平射程(x) x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关 落地速度(v) v＝＝，用θ表示落地时速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关 速度的改变量(Δv) 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示 四、平抛运动的两个重要推论 (1)做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲所示。其推导过程为tan θ＝＝＝。 (2)做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。如图乙所示，其推导过程为tan θ＝＝＝＝2tan α。 五、有约束条件的平抛运动模型 平抛运动常见模型分析 运动情境 物理量分析 vy＝gt，tan θ＝＝→t＝→求x、y x＝v0t，y＝gt2→tan θ＝→t＝ tan θ＝＝→t＝ 落到斜面上时合速度与水平方向的夹角为φ，tan φ＝＝＝＝2tan θ(α＝φ－θ) tan θ＝＝→t＝ 在半圆内的平抛运动，h＝gt2，R±＝v0t→求t 如图所示，小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等 一、题型1 平抛运动的概念 1．关于平抛运动，下列说法正确的是（　　） A．只受重力的运动是平抛运动 B．平抛运动是物体不受任何外力作用的运动 C．做平抛运动的物体在竖直方向的初速度为0 D．做平抛运动的物体在水平方向做匀加速运动 2．做平抛运动的物体，下落的时间取决于（　　） A．水平初速度 B．下落的高度 C．下落的高度和初速度 D．物体的加速度 3．在空中沿水平向右做匀速直线运动的飞机，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映沙子在空中排列的几何图形是（　　） A．B．C． D． 4．一物体做平抛运动，规定竖直向下为正方向，物体竖直方向的分速度随运动的时间变化的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 二、题型2 平抛运动速度的计算 5．如图所示。摩托车后轮离开地面后可以视为平抛运动。摩托车以某一速度飞出，后轮落到壕沟对面水平路面。忽略运动中空气阻力，若摩托车冲出的速度增大，则（　　） A．在空中运动时间不变 B．在空中运动时间变短 C．落地速度与水平面夹角不变 D．落地速度与水平面夹角变大 6．如图所示，水平台面高度为2R，一小球（视为质点）以某一初速度从台边沿水平方向向右抛出，其运动轨迹上有一点A，水平地面上有一点O，OA的连线与水平方向的夹角为30°，O、A间的距离为R，且OA连线恰好与此时小球的速度方向垂直。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力。则小球抛出时的初速度大小为（　　） A． B． C． D． 7．将小球从如图所示的阶梯状平台上以一定的水平初速度水平抛出，所有台阶的高度和宽度均为1.0m，取，要使小球抛出后落到第三级台阶上，则可能为（    ） A． B． C． D． 8．一水平固定的水管，水从管口以不变的速度源源不断地喷出。水管距水平地面高，水落地的位置到管口的距离为。不计空气阻力及摩擦力，取重力加速度大小，则水从管口喷出的初速度大小为（　　） A． B． C． D． 三、题型3 速度偏转角与位移偏转角 9．同学们设计了一个“地面飞镖”的游戏，如图所示，投掷者需站在投掷线后的一条直线上将飞镖水平抛出，飞镖落在水平放置的盘面内即可获得奖励。如图所示，甲同学将飞镖从较高的点以水平速度抛出，乙同学从较低的点以水平速度抛出，两飞镖落于盘面的同一点，且两飞镖与盘面夹角相同，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．两飞镖落到点的速度相同 B．抛出点与落点三点必共线 C．要使飞镖均落到盘面内，则从点抛出的水平速度范围更大 D．从两点水平抛出的飞镖，只要落到盘面内则必落到同一点 10．学校游园会组织了投掷比赛。如图所示，小明将小球从较高的P点水平抛出，小芳将小球从较低的Q点水平抛出，两小球从同一O点落入筒中，且落入筒口时两小球的速度方向相同。两小球可看作质点，不计空气阻力。则（    ） A．两小球抛出时的速度相等 B．两小球落入筒口时的速度相等 C．两小球从抛出到落入筒口时的时间相等 D．抛出点P、Q与O共线 11．如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动（小球可视为质点），飞行过程中恰好与半圆轨道相切于点，为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为，与水平方向夹角为，重力加速度为。求： (1)小球抛出时的初速度大小与小球从A点正上方运动到点的时间； (2)小球抛出时距离A点的竖直高度。 12．如图，两小球M、N从同一高度同时分别以和的初速度水平抛出，经过时间t都落在了倾角的斜面上的A点，其中小球N垂直打到斜面上。，，求： (1)初速度、大小之比； (2)若、都变为原来的2倍，则两球在空中相遇，从抛出到相遇经过的时间。 四、题型4 速度反向延长线的特点 13．如图所示，某人从同一位置O以不同的水平速度投出三枚飞镖A、B、C，最后都插在竖直墙壁上，它们与墙面的夹角分别为60°、45°、30°，图中飞镖的方向可认为是击中墙面时的速度方向，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．三只飞镖做平抛运动的初速度一定满足 B．三只飞镖击中墙面的速度满足 C．三只飞镖击中墙面的速度满足 D．插在墙上的三只飞镖的反向延长线不会交于同一点 14．如图，某人从点对准正前方竖直靶上的点，分别将两支飞镖水平掷出，飞镖打在靶上、两点，且与竖直方向的夹角分别为与，忽略空气阻力，则（　　） A．两飞镖击中靶的速度大小相同 B．ab间距为ac间距的一半 C．两飞镖在空中运动时间相同 D．两飞镖离开手时速度大小相同 15．在运动的合成和分解的实验中，红蜡块在竖直放置的玻璃管中，在竖直方向能做匀速直线运动。现在某同学拿着玻璃管在水平方向上做匀加速直线运动，并每隔1s画出蜡块运动所到达的位置，描出轨迹，如图所示，若取轨迹上C点作该曲线的切线（图中虚线）交y轴于A点，则A的坐标为（　　） A． B． C． D． 16．如图所示光滑直管倾斜固定在水平地面上，直管与水平地面间的夹角为45°，管口到地面的竖直高度为；在距地面高为处有一固定弹射装置，可以沿水平方向弹出直径略小于直管内径的小球。某次弹射的小球恰好无碰撞地从管口处进入管内，设小球弹出点到管口的水平距离为，弹出的初速度大小为，重力加速度取。关于和的值，下列选项正确的是（  ） A．， B．， C．， D．， 五、题型5 斜面上的平抛运动 17．如图所示，若质点以初速v0水平抛出后，落在倾角为θ=30°的斜面上，要求质点从抛出点到达斜面的位移最小，则质点的飞行时间为（    ） A． B． C． D． 18．如图所示，将一可视为质点的小球从倾角为α的斜面顶端A点以不同速度水平抛出，第一次落在B点；第二次落在斜面底端C点，已知AB∶BC = 1∶3，则关于两次小球运动情况，下列说法正确的是（　　） A．两次小球在空中的时间之比为 B．两次小球水平抛出的初速度之比为 C．两次小球击中斜面时速度与斜面夹角之比为 D．两次小球击中斜面时速度与斜面夹角之比为 19．如图所示，将一斜面体固定在水平地面上，两个小球P、Q分别从图示位置以大小相同的速度水平抛出，两个小球落到斜面上时，其速度方向均与斜面垂直。下列说法正确的是（　　） A．P、Q两球在空中运动的时间之比为3∶4 B．P、Q两球在空中运动的时间之比为4∶3 C．P、Q两球在水平方向通过的距离之比为9∶16 D．P、Q两球在竖直方向下落的距离之比为9∶16 20．2023年12月2日，苏翊鸣参加了在首钢大跳台举行的2023至2024赛季国际雪联滑雪大跳台世界杯，并夺得男子单板大跳台冠军。如图为可视为质点的运动员在训练时的情景：运动员穿着专用滑雪板，在滑雪道上获得速度后从A点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后恰好在山坡底端B点着陆，如图所示。已知山坡可看成倾角为的斜面，不考虑空气阻力，重力加速度为g，求： (1)运动员落在B点时速度与水平方向夹角的正切值； (2)运动员从A点到与斜面距离最大时所用的时间及与斜面的最大距离。 六、题型6 类平抛运动 21．如图，环保人员在检查时发现一根圆形排污管正在向外满口排出大量污水。这根管道水平设置，测得管口离水面的高度为h，排污管内径为D，污水从管口落到水面的水平位移为x，该管道的排污流量为Q（流量为单位时间内流体通过某横截面的体积）。不计一切阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（    ） A．污水流速越快，水从出管口到抛入水面的时间越长 B．污水抛入水面时速度方向可能与水面垂直 C．留在空中的污水体积大于 D．管道的排污流量为 22．如图所示，一物体在某液体中运动时只受到重力G和恒定的浮力F的作用，且。如果物体从M点以水平初速度开始运动，最后落在N点，MN间的竖直高度为h，M与右壁水平间距为L，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．从M运动到N的时间为 B．M与N之间的水平距离 C．若增大初速度，物体将撞击右壁，且初速度越大，物体撞击壁速度越大 D．若h足够大，当初速度时，物体撞击壁时速度最小 23．如图所示的光滑固定斜面ABCD，其倾角可调节．当倾角为时，一物块（可视为质点）沿斜面左上方顶点A以初速度水平射入，恰好沿底端D点离开斜面；改变倾角为时，同样将该物块沿斜面左上方顶点A以初速度水平射入，发现物块沿CD边中点离开斜面，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（    ） A．物块离开斜面时，前后两次下落的时间之比为2：1 B．物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为4：1 C．物块前后两次运动的加速度的大小之比为1：1 D．物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量的大小之比为1：2 24．如图所示，一斜面放在水平地面上，A、B两个质点以相同的水平速度抛出，A在竖直平面内运动，落地点为，B沿光滑斜面运动，落地点为，不计阻力，在落地之前运动的全过程中，下列关系的判断正确的是（　　） A．A与B的加速度大小之比为 B．A与B的运动时间之比为 C．A与B的在x轴方向位移大小之比为 D．A与B的水平位移大小之比为 七、题型7 斜抛运动 25．某运动员在练习投掷铅球时，两次将铅球以相同速率从点抛出，如图所示，两次铅球均落在位置，第一次抛出时速度方向水平，第二次抛出时速度方向与水平方向的夹角为，已知抛出点与落地点的竖直高度差为，水平距离为，重力加速度为，不计空气阻力，下列关于的关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 26．如图，人民解放军在2024年5月的一次台海演习中，敌方的一架小型无人机在海面上高处以匀速巡航状态对我方实施侦察，我方海面上巡逻的无人艇发现该无人机后立即以与海面成角的某一初速度发射一枚炮弹，炮弹在飞行至轨迹的最高处时恰好击中无人机。假设炮弹的飞行轨迹与无人机的运动轨迹在同一竖直平面内，不计空气阻力，重力加速度取，则下列说法正确的是（    ） A．炮弹在空中运动时相同时间内速度的变化量不同 B．炮弹从发射到击中无人机的时间为4s C．炮弹发射的初速度大小为 D．炮弹发射时与无人机间的水平距离为 27．当地时间2024年8月9日晚，在法兰西体育场进行的巴黎奥运会女子铅球决赛中，中国队选手宋佳媛以19米32的成绩夺得铜牌。如图所示为宋佳媛在某次训练中以大小为、方向与水平方向成角斜向上的速度掷出铅球的运动轨迹，重力加速度大小为，抛出点距水平地面的距离为，不计空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．铅球做变加速曲线运动 B．铅球落地时的速度大小为 C．轨迹的最高点距水平地面的距离为 D．铅球从抛出到运动到与抛出点等高处所用的时间为 28．如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为25m/s，与水平方向的夹角为16°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为37°，重力加速度大小取10m/s2，忽略空气阻力。重物从P点到Q点运动过程中 (1)运动时间t是多少？ (2)PQ连线的距离是多少 八、题型8 平抛运动位移的计算 29．如图，水平飞行的轰炸机释放一枚炸弹，正好击中一艘静止的船舰，水平距离，炸弹在空中的运动时间。不计空气阻力，重力加速度。求： (1)飞机释放炸弹时在空中飞行的高度； (2)炸弹击中船舰时的速度大小和方向。 30．刀削面是西北人喜欢的面食之一，全凭刀削得名。如图所示，将一锅水烧开，拿一块面团放在锅旁边较高处，用刀片飞快地削下一片很薄的面片儿，面片便水平飞向锅里，已知面团到锅上沿的竖直距离为0.8m，面团离锅上沿最近的水平距离为0.4m，锅的直径为0.4m，重力加速度g取，不计空气阻力。若削出的面片落入锅中，则面片的水平初速度可能是（　　） A． B． C． D． 31．如图所示，茶碗碗口为圆形，直径，茶壶壶嘴沿水平方向，离碗口所在平面高。茶水出口速度因受水压等因素的影响，出口速度并不固定，大小介于至之间。不计空气阻力，为确保水能倒入碗口内，倒茶时茶壶出水口离碗口圆心处的距离，下列四个选项中可行的是（　　） A． B． C． D． 32．如图，某同学从A点水平抛出一弹性小球（可视为质点），小球在B点与竖直墙面发生碰撞后反弹，碰撞时间忽略不计，若弹性小球和墙面碰撞后，水平方向速度大小减小为原来的一半，竖直方向速度保持不变，经过一段时间，小球落在水平地面上。已知A点离地高为H、与墙距离为s，B点离地高为，不计空气阻力，则小球落地时距墙面的距离为（　　） A． B．s C． D．2s 九、题型9 平抛运动中追及相遇问题 33．小明在公园和家里养的小狗做游戏，在倾角为的足够长的斜坡上，从P点以速度水平扔出皮球，小狗同时从P点沿斜坡向下做匀速直线运动，在皮球落地瞬间恰好追上皮球。重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法错误的是（　　） A．皮球始终在小狗正上方 B．小狗的速度大小 C．小狗追上皮球的时间为 D．小狗追上皮球前离皮球的最远距离 34．如图所示，在竖直平面内位于等高的、两点的两个小球相向做平抛运动，二者恰好在点相遇。已知构成三角形，其边长关系为、，则（　　） A．两个小球不一定同时抛出 B．两个小球的初速度大小不相同 C．两个小球相遇时速度相同 D．两个小球相遇时速度方向是相互垂直的 35．同一水平线上相距为L的两位置沿相同方向水平抛出两小球甲和乙，两球在空中相遇，运动轨迹如图所示。不计空气阻力，则下列说法正确的是（   ） A．甲球要先抛出才能相遇 B．在任意相同时间内两球速度的变化量相同 C．两球相遇时乙球速度更大 D．两球相遇时甲球加速度更大 36．从空中同一点O，分别以初速度v1和v2抛出两个小球1、2，其中v1方向水平，v2方向斜向上，两球运动轨迹如图所示.两球轨迹在同一竖直平面内，且交于P点，小球均可视为质点，不计空气阻力。则下列关于两球在空中运动的说法正确的是（　　） A．若两球同时抛出，则一定在P点相撞 B．小球2在最高点时的速率一定小于 C．在P点时，小球2竖直方向的分速度大小与小球1竖直方向的分速度大小相等 D．v2一定大于v1 十、题型10 飞机投弹问题 37．一救援飞机在空中沿水平做匀减速直线运动通过灾区上空，每隔相同时间释放救灾物资，连续释放了a、b、c三个救灾物资。若不计空气的阻力，则下列四幅图中能反映三个救灾物资落地前排列的图形是（　　） A． B． C． D． 38．某型号战斗机沿水平向右匀加速直线飞行，某时刻开始以相等时间间隔自由释放无动力炸弹（图中用小球替代），不计空气阻力，炸弹落地前在空中形成的排列图景是（　　） A． B． C． D． 39．据报道，我国自主研发的新一代战略隐形轰炸机轰-20已试飞完成。某次试飞中，轰-20实施对点作业，即对山坡上的目标A进行轰炸。轰-20沿水平方向匀速飞行，飞行高度为H，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，炸弹恰好垂直击中A点，整个过程如图所示。已知A点距山坡底端的高度为h，不计空气阻力，重力加速度大小为g，求： (1)炸弹在空中运动的时间t； (2)轰-20飞行的速度大小。 40．为了清理堵塞河道的冰凌，实施投弹爆破，飞机在河道上空高处以水平速度匀速飞行，投放炸弹并击中目标，不计空气阻力，g取。求： (1)炸弹刚脱离飞机到击中目标所飞行的水平距离； (2)炸弹击中目标时的速度大小。 十一、题型11 曲面结合的平抛运动 41．在水平路面上骑摩托车的人，遇到一个壕沟，其尺寸如图所示。摩托车后轮离开地面后失去动力，之后的运动可视为平抛运动，摩托车后轮落到壕沟对面才算安全。不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．摩托车在空中相同时间内速度的变化量不相同 B．若摩托车能越过壕沟，则其所用时间为 C．摩托车能安全越过壕沟的最小初速度为 D．若摩托车越不过壕沟，则初速度越小其在空中的运动时间越短 42．如图所示，为竖直平面内的半圆环的水平直径，为环上最低点，环半径为，将一个小球从点以初速度沿方向抛出，设重力加速度为，不计空气阻力，则以下说法正确的是（　　） A．小球的初速度越大，碰到圆环时的竖直分位移越大 B．当小球的初速度时，碰到圆环时的竖直分速度最大 C．若取合适的值，小球能垂直撞击圆环 D．取值不同时，小球落在圆环上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同 43．如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M、N与圆心等高且在同一竖直平面内。现甲、乙两位同学分别站在M、N两点，同时将两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ=60°，忽略空气阻力。则下列说法中不正确的是（　　） A．能够求两球抛出的速率之比 B．小球从抛出到着地过程的时间随初速度变化而变化 C．只要两球能够到达坑中的同一位置，两球运动的时间始终相等 D．无论怎样改变抛出的速度大小，两球都不可能垂直坑壁落入坑中 44．半球形碗的竖直截面图如图所示，为圆心，为半球形碗的最低点，AOB为水平直径。两个小球甲和乙分别从A点、B点先后以不同的初速度、沿水平方向相向抛出，小球甲恰好落到碗上的点，。两小球均可视为质点，不考虑撞到碗后的反弹情况，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．甲可能垂直撞击到碗上 B．两小球不可能在空中相遇 C．乙落到碗上的位置在点右侧 D．甲刚要撞到碗时的竖直分速度比乙刚要撞到碗时的竖直分速度小 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.4 平抛运动的规律（解析版） 题型1 平抛运动的概念 1 题型2 平抛运动速度的计算 3 题型3 速度偏转角与位移偏转角 5 题型4 速度反向延长线的特点 10 题型5 斜面上的平抛运动 14 题型6 类平抛运动 19 题型7 斜抛运动 24 题型8 平抛运动位移的计算 28 题型9 平抛运动中追及相遇问题 32 题型10 飞机投弹问题 36 题型11 曲面结合的平抛运动 39 一、平抛运动 1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在 重力　作用下的运动。 2．性质：平抛运动是加速度为g的 匀变速　曲线运动，其运动轨迹是 抛物线　。 3．平抛运动的条件：(1)v0≠0，沿 水平方向　；(2)只受 重力　作用。 4．研究方法：平抛运动通常可以分解为水平方向的 匀速直线　运动和竖直方向的 自由落体　运动。 5．基本规律：以抛出点为坐标原点，水平初速度v0方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t，有： (1)位移：分位移x＝ v0t　；y＝ gt2　 合位移x合＝＝ 　，tan φ＝ 　，φ为合位移与x轴的夹角。 (2)速度：分速度vx＝ v0　；vy＝ gt　 合速度v＝＝，tan θ＝ 　，θ为合速度v与x轴的夹角。 二、一般的抛体运动 1.斜抛运动：将物体以速度v0沿斜向上方或斜向下方抛出，只在重力作用下的运动（轨迹关于最高点的竖直线对称）。  2.运动性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动。斜上抛的运动轨迹是抛物线，如图所示(以斜上抛为例说明，如图所示) (1)水平方向：做匀速直线运动，速度vx = v0 cos。 （为初速度与水平方向的夹角） (2)竖直方向：做竖直上抛运动，速度vy = v0 sin－gt。 (3)合速率：先减小后增大，在最高点速率最小。 (4)水平射程： ，=45°时水平射程最大。 (5)对称性：轨迹关于过最高点的竖直线对称；物体在同一高度速率相等；上升时间与下降时间具有对称性。 三、关于平抛运动必须掌握的四个物理量 物理量 相关分析 飞行时间(t) t＝，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关 水平射程(x) x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关 落地速度(v) v＝＝，用θ表示落地时速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关 速度的改变量(Δv) 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示 四、平抛运动的两个重要推论 (1)做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲所示。其推导过程为tan θ＝＝＝。 (2)做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。如图乙所示，其推导过程为tan θ＝＝＝＝2tan α。 五、有约束条件的平抛运动模型 平抛运动常见模型分析 运动情境 物理量分析 vy＝gt，tan θ＝＝→t＝→求x、y x＝v0t，y＝gt2→tan θ＝→t＝ tan θ＝＝→t＝ 落到斜面上时合速度与水平方向的夹角为φ，tan φ＝＝＝＝2tan θ(α＝φ－θ) tan θ＝＝→t＝ 在半圆内的平抛运动，h＝gt2，R±＝v0t→求t 如图所示，小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等 一、题型1 平抛运动的概念 1．关于平抛运动，下列说法正确的是（　　） A．只受重力的运动是平抛运动 B．平抛运动是物体不受任何外力作用的运动 C．做平抛运动的物体在竖直方向的初速度为0 D．做平抛运动的物体在水平方向做匀加速运动 【答案】C 【详解】AB．平抛运动是物体只在重力作用下的初速度为水平方向的运动，AB错误； CD．做平抛运动的物体在竖直方向初速度为0，水平初速度不为零且水平方向为匀速直线运动，C正确，D错误。 故选 C。 2．做平抛运动的物体，下落的时间取决于（　　） A．水平初速度 B．下落的高度 C．下落的高度和初速度 D．物体的加速度 【答案】B 【详解】根据平抛运动的规律 可得 即下落的时间t取决于下落的高度h。 故选B。 3．在空中沿水平向右做匀速直线运动的飞机，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映沙子在空中排列的几何图形是（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】飞机在空中沿水平向右做匀速直线运动，则沿途连续漏出沙子在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，形成一条竖直的直线，故A图能反映沙子在空中排列的几何图形。 故选A。 4．一物体做平抛运动，规定竖直向下为正方向，物体竖直方向的分速度随运动的时间变化的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动，速度为 故竖直分速度vy随时间t变化的图像为过原点的倾斜直线。 故选D。 二、题型2 平抛运动速度的计算 5．如图所示。摩托车后轮离开地面后可以视为平抛运动。摩托车以某一速度飞出，后轮落到壕沟对面水平路面。忽略运动中空气阻力，若摩托车冲出的速度增大，则（　　） A．在空中运动时间不变 B．在空中运动时间变短 C．落地速度与水平面夹角不变 D．落地速度与水平面夹角变大 【答案】A 【详解】AB．根据平抛运动规律 由此可知，若摩托车冲出的速度增大，但h不变，则运动时间不变，故A正确，B错误； CD．设落地速度与水平面夹角为θ，则 由于运动时间t不变，v0增大，tanθ减小，θ减小，故CD错误。 故选A。 6．如图所示，水平台面高度为2R，一小球（视为质点）以某一初速度从台边沿水平方向向右抛出，其运动轨迹上有一点A，水平地面上有一点O，OA的连线与水平方向的夹角为30°，O、A间的距离为R，且OA连线恰好与此时小球的速度方向垂直。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力。则小球抛出时的初速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，小球到达A点时，其速度方向与轨迹相切，由几何关系可知，此时速度方向与水平方向的夹角为60°，设小球运动的时间为t，则 由几何关系可知，从开始运动到小球运动到A点，球在竖直方向下落的高度为 联立解得小球抛出时的初速度大小为 故选D。 7．将小球从如图所示的阶梯状平台上以一定的水平初速度水平抛出，所有台阶的高度和宽度均为1.0m，取，要使小球抛出后落到第三级台阶上，则可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】小球抛出后越过第二台阶，根据平抛运动的特点水平方向做匀速运动，竖直方向做自由落体运动知 小球抛出后不会越过第三台阶，根据平抛运动的特点水平方向做匀速运动，竖直方向做自由落体运动知 解得 故选B。 8．一水平固定的水管，水从管口以不变的速度源源不断地喷出。水管距水平地面高，水落地的位置到管口的距离为。不计空气阻力及摩擦力，取重力加速度大小，则水从管口喷出的初速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】平抛运动知识可知 ， 其中 可得水从管口喷出的初速度大小为 故选D。 三、题型3 速度偏转角与位移偏转角 9．同学们设计了一个“地面飞镖”的游戏，如图所示，投掷者需站在投掷线后的一条直线上将飞镖水平抛出，飞镖落在水平放置的盘面内即可获得奖励。如图所示，甲同学将飞镖从较高的点以水平速度抛出，乙同学从较低的点以水平速度抛出，两飞镖落于盘面的同一点，且两飞镖与盘面夹角相同，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．两飞镖落到点的速度相同 B．抛出点与落点三点必共线 C．要使飞镖均落到盘面内，则从点抛出的水平速度范围更大 D．从两点水平抛出的飞镖，只要落到盘面内则必落到同一点 【答案】B 【详解】A．甲同学飞镖落在C点时竖直方向上的分速度 甲同学飞镖落到C点的速度 乙同学飞镖落在C点时竖直方向上的分速度 乙同学飞镖落到C点的速度 由于，故两飞镖落到点的速度不同，A错误； B．由于两飞镖在C点速度与水平方向夹角相同，根据平抛运动的推论速度与水平方向夹角的正切值为位移方向夹角正切值的2倍，二者位移方向的偏角相等，故、三点必共线，B正确 C．结合上述分析可知 可知，同时运动时间甲同学的飞镖运动时间更长，而水平变化位移相同，对应的甲的变化时间更小，故从点抛出的水平速度范围更小，C错误； D．由于运动时间与水平抛出的速度大小均不相同，二者可能会落在同一点，也可能不落在同一点，D错误。 故选B。 10．学校游园会组织了投掷比赛。如图所示，小明将小球从较高的P点水平抛出，小芳将小球从较低的Q点水平抛出，两小球从同一O点落入筒中，且落入筒口时两小球的速度方向相同。两小球可看作质点，不计空气阻力。则（    ） A．两小球抛出时的速度相等 B．两小球落入筒口时的速度相等 C．两小球从抛出到落入筒口时的时间相等 D．抛出点P、Q与O共线 【答案】D 【详解】ABC．设PO、QO两点间的竖直高度差分别为、，根据 可得 因为 所以 根据 可知落入管口中时的竖直速度 水平速度 （为速度方向与水平方向的夹角） 可知两小球抛出的速度 两小球到落入筒口时的速度 可知两小球到落入筒口时的速度不相等，选项ABC错误； D．因两球速度的偏向角相等，根据 可知位移的偏向角相等，则抛出点与共线，选项D正确。 故选D。 11．如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动（小球可视为质点），飞行过程中恰好与半圆轨道相切于点，为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为，与水平方向夹角为，重力加速度为。求： (1)小球抛出时的初速度大小与小球从A点正上方运动到点的时间； (2)小球抛出时距离A点的竖直高度。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）飞行过程中小球恰好与半圆轨道相切于B点，由图可知此时小球的速度与水平方向的夹角为30°，设小球的位移与水平方向的夹角为θ，则有 解得 根据几何关系有 又 解得 根据平抛运动规律，在竖直方向上有 解得 在水平方向上有 解得水平初速度大小为 （2）根据几何关系，可得小球抛出时距离A点的竖直高度 12．如图，两小球M、N从同一高度同时分别以和的初速度水平抛出，经过时间t都落在了倾角的斜面上的A点，其中小球N垂直打到斜面上。，，求： (1)初速度、大小之比； (2)若、都变为原来的2倍，则两球在空中相遇，从抛出到相遇经过的时间。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小球在竖直方向做自由落体运动，竖直位移为h，则它们运动得时间为 对球M 解得 球N垂直打在斜面上，则有 则 （2）当飞行时间为t时，MN两点的水平距离为 若、都变为原来的2倍，则两球在空中相遇，则有 解得从抛出到相遇经过的时间为 四、题型4 速度反向延长线的特点 13．如图所示，某人从同一位置O以不同的水平速度投出三枚飞镖A、B、C，最后都插在竖直墙壁上，它们与墙面的夹角分别为60°、45°、30°，图中飞镖的方向可认为是击中墙面时的速度方向，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．三只飞镖做平抛运动的初速度一定满足 B．三只飞镖击中墙面的速度满足 C．三只飞镖击中墙面的速度满足 D．插在墙上的三只飞镖的反向延长线不会交于同一点 【答案】C 【详解】A．飞镖做平抛运动，水平分运动是匀速直线运动，有 x=v0t 飞镖击中墙面的速度与竖直方向夹角的正切值为 联立，解得 α越大，v0越大，故有 vA0>vB0>vC0 故A错误； BC．根据平行四边形定则并结合几何关系，可得飞镖击中墙面的速度 故 vA=vC＞vB 故B错误；C正确； D．飞镖做平抛运动，速度的反向延长线通过水平分位移的中点，而三只飞镖水平分位移的中点相同，故插在墙上的三只飞镖的反向延长线一定交于同一点。故D错误。 故选C。 14．如图，某人从点对准正前方竖直靶上的点，分别将两支飞镖水平掷出，飞镖打在靶上、两点，且与竖直方向的夹角分别为与，忽略空气阻力，则（　　） A．两飞镖击中靶的速度大小相同 B．ab间距为ac间距的一半 C．两飞镖在空中运动时间相同 D．两飞镖离开手时速度大小相同 【答案】A 【详解】B．根据平抛运动推论，速度方向的反向延长线过水平位移的中点可得 联立得 故B错误； A．飞镖打在靶上b点时的竖直分速度为 飞镖打在靶上b点时速度 飞镖打在靶上c点时的竖直分速度为 飞镖打在靶上c点时速度 故A正确； C．平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动，则有 两飞镖在空中下落的高度不同，可知在空中运动时间不相同，故C错误； D．水平方向做匀速直线运动，根据 两飞镖在空中通过的水平位移相同，但运动时间不同，可知两飞镖离开手时，速度大小不相同，故D错误。 故选A。 15．在运动的合成和分解的实验中，红蜡块在竖直放置的玻璃管中，在竖直方向能做匀速直线运动。现在某同学拿着玻璃管在水平方向上做匀加速直线运动，并每隔1s画出蜡块运动所到达的位置，描出轨迹，如图所示，若取轨迹上C点作该曲线的切线（图中虚线）交y轴于A点，则A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】蜡块的运动轨迹为一抛物线，根据类平抛运动的推论知，C点切线与y轴的交点表示的位移大小等于C点在y轴方向上位移的一半，A点的横坐标为0，故A点y轴坐标为，则A的坐标为。 故选D。 16．如图所示光滑直管倾斜固定在水平地面上，直管与水平地面间的夹角为45°，管口到地面的竖直高度为；在距地面高为处有一固定弹射装置，可以沿水平方向弹出直径略小于直管内径的小球。某次弹射的小球恰好无碰撞地从管口处进入管内，设小球弹出点到管口的水平距离为，弹出的初速度大小为，重力加速度取。关于和的值，下列选项正确的是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由题意可知，弹出后小球做平抛运动，到管口时的速度方向沿直管方向，根据平抛运动特点，做平抛运动的物体任意时刻速度方向的反向延长线交此前水平位移于中点，如图所示 根据几何关系得 小球在竖直方向做自由落体运动，可得小球从到的运动时间为 水平方向匀速运动有 故选A。 五、题型5 斜面上的平抛运动 17．如图所示，若质点以初速v0水平抛出后，落在倾角为θ=30°的斜面上，要求质点从抛出点到达斜面的位移最小，则质点的飞行时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要求质点从抛出点到达斜面的位移最小，则质点的位移与斜面垂直，根据几何知识有 根据平抛运动规律有 ， 联立可得 故选D。 18．如图所示，将一可视为质点的小球从倾角为α的斜面顶端A点以不同速度水平抛出，第一次落在B点；第二次落在斜面底端C点，已知AB∶BC = 1∶3，则关于两次小球运动情况，下列说法正确的是（　　） A．两次小球在空中的时间之比为 B．两次小球水平抛出的初速度之比为 C．两次小球击中斜面时速度与斜面夹角之比为 D．两次小球击中斜面时速度与斜面夹角之比为 【答案】A 【详解】AB．已知 根据几何关系可知竖直位移之比 水平位移之比为 根据 可得小球做平抛运动的时间之比为 根据 可得初速度大小之比为 故A正确，B错误； CD．小球击中斜面时速度与水平方向的夹角 则 所以 根据几何关系可知此时速度与斜面的夹角 两次小球击中斜面时速度与斜面夹角之比为1∶1，故CD错误。 故选A。 19．如图所示，将一斜面体固定在水平地面上，两个小球P、Q分别从图示位置以大小相同的速度水平抛出，两个小球落到斜面上时，其速度方向均与斜面垂直。下列说法正确的是（　　） A．P、Q两球在空中运动的时间之比为3∶4 B．P、Q两球在空中运动的时间之比为4∶3 C．P、Q两球在水平方向通过的距离之比为9∶16 D．P、Q两球在竖直方向下落的距离之比为9∶16 【答案】C 【详解】AB．设两球水平初速度为v，末速度与水平方向的夹角为，则 即与成正比，故 故AB错误； C．水平方向通过的距离为 可知水平位移与时间成正比，故为 故C正确； D．竖直方向下落的距离为 竖直方向下落的距离与时间的平方成正比，故为 故D错误。 故选C。 20．2023年12月2日，苏翊鸣参加了在首钢大跳台举行的2023至2024赛季国际雪联滑雪大跳台世界杯，并夺得男子单板大跳台冠军。如图为可视为质点的运动员在训练时的情景：运动员穿着专用滑雪板，在滑雪道上获得速度后从A点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后恰好在山坡底端B点着陆，如图所示。已知山坡可看成倾角为的斜面，不考虑空气阻力，重力加速度为g，求： (1)运动员落在B点时速度与水平方向夹角的正切值； (2)运动员从A点到与斜面距离最大时所用的时间及与斜面的最大距离。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）根据题意，设运动员在空中飞行的时间为t，水平方向上有 竖直方向上有 又有 设运动员落地时速度与水平方向夹角为，则 （2）运动员速度方向与斜面平行时距离斜面最远 ， 解得 将运动员速度沿斜面方向与垂直斜面方向分解有 ， 距斜面的最大距离 六、题型6 类平抛运动 21．如图，环保人员在检查时发现一根圆形排污管正在向外满口排出大量污水。这根管道水平设置，测得管口离水面的高度为h，排污管内径为D，污水从管口落到水面的水平位移为x，该管道的排污流量为Q（流量为单位时间内流体通过某横截面的体积）。不计一切阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（    ） A．污水流速越快，水从出管口到抛入水面的时间越长 B．污水抛入水面时速度方向可能与水面垂直 C．留在空中的污水体积大于 D．管道的排污流量为 【答案】D 【详解】A．水流从水管出来后做平抛运动，根据平抛运动的规律 解得 可知，水从出管口到抛入水面的时间只与离水面的高度有关，与水的流速无关，A错误； B．水抛入水面时具有水平方向和竖直方向的速度，因此，入水面时的速度不可能与水面垂直，B错误； C．空中污水柱的体积为 C错误； D．管道的排污流量为 其中 结合上述分析，联立解得 D正确。 故选D。 22．如图所示，一物体在某液体中运动时只受到重力G和恒定的浮力F的作用，且。如果物体从M点以水平初速度开始运动，最后落在N点，MN间的竖直高度为h，M与右壁水平间距为L，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．从M运动到N的时间为 B．M与N之间的水平距离 C．若增大初速度，物体将撞击右壁，且初速度越大，物体撞击壁速度越大 D．若h足够大，当初速度时，物体撞击壁时速度最小 【答案】D 【详解】A．根据牛顿第二定律 解得 该物体做类平抛运动，则 解得从M运动到N的时间为 故A错误； B．M与N之间的水平距离 故B错误； CD．物体撞击右壁时，物体运动的时间为 物体竖直方向的速度为 物体撞击壁速度 根据几何关系可知，当 即当初速度时，物体撞击壁时速度最小，故若增大初速度，物体将撞击右壁，且初速度越大，物体撞击壁速度不一定越大，故C错误，D正确。 故选D。 23．如图所示的光滑固定斜面ABCD，其倾角可调节．当倾角为时，一物块（可视为质点）沿斜面左上方顶点A以初速度水平射入，恰好沿底端D点离开斜面；改变倾角为时，同样将该物块沿斜面左上方顶点A以初速度水平射入，发现物块沿CD边中点离开斜面，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（    ） A．物块离开斜面时，前后两次下落的时间之比为2：1 B．物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为4：1 C．物块前后两次运动的加速度的大小之比为1：1 D．物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量的大小之比为1：2 【答案】B 【详解】AB．物块在斜面上做类平抛运动，沿斜面的方向做匀加速运动 沿水平方向做匀速运动 根据牛顿第二定律有 联立解得 根据题意可知 物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为 故A错误，B正确； C．物块前后两次运动的加速度的大小之比为     故C错误； D．速度变化量的大小为 物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量的大小之比为 故D错误。 故选B。 24．如图所示，一斜面放在水平地面上，A、B两个质点以相同的水平速度抛出，A在竖直平面内运动，落地点为，B沿光滑斜面运动，落地点为，不计阻力，在落地之前运动的全过程中，下列关系的判断正确的是（　　） A．A与B的加速度大小之比为 B．A与B的运动时间之比为 C．A与B的在x轴方向位移大小之比为 D．A与B的水平位移大小之比为 【答案】AC 【详解】A. A做平抛运动，加速度为g。B的加速度为 A与B的加速度大小之比为 A正确； B. 设高度为h，则 ， 得 B错误； C. 由 A与B的在x轴方向位移大小之比为 C正确； D. B的水平位移为 A与B的水平位移大小之比不等于，D错误。 故选AC。 七、题型7 斜抛运动 25．某运动员在练习投掷铅球时，两次将铅球以相同速率从点抛出，如图所示，两次铅球均落在位置，第一次抛出时速度方向水平，第二次抛出时速度方向与水平方向的夹角为，已知抛出点与落地点的竖直高度差为，水平距离为，重力加速度为，不计空气阻力，下列关于的关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设铅球抛出时初速度大小为，第一次抛出时铅球做平抛运动，设平抛运动时间为，则水平方向有 竖直方向有 联立解得 设第二次抛出时运动时间为，水平方向有 竖直方向设向下为正方向，则有 代入，解得 故选B。 26．如图，人民解放军在2024年5月的一次台海演习中，敌方的一架小型无人机在海面上高处以匀速巡航状态对我方实施侦察，我方海面上巡逻的无人艇发现该无人机后立即以与海面成角的某一初速度发射一枚炮弹，炮弹在飞行至轨迹的最高处时恰好击中无人机。假设炮弹的飞行轨迹与无人机的运动轨迹在同一竖直平面内，不计空气阻力，重力加速度取，则下列说法正确的是（    ） A．炮弹在空中运动时相同时间内速度的变化量不同 B．炮弹从发射到击中无人机的时间为4s C．炮弹发射的初速度大小为 D．炮弹发射时与无人机间的水平距离为 【答案】B 【详解】A．炮弹在空中做斜抛运动，斜抛运动是一种匀变速曲线运动，相同时间内速度的变化量相同，A错误； B．斜抛运动从开始至轨迹最高点的过程逆向可看作平抛运动，运动时间 B正确； C．炮弹发射时的竖直分速度大小 根据运动的分解可得炮弹发射的初速度 C错误； D．炮弹发射时的水平分速度 设无人机的速度为，炮弹发射时与无人机间的水平距离 由于未知，故不能求出，D错误。 故选B。 【点睛】斜抛运动从开始到轨迹最高点的过程逆向可看作平抛运动，对斜抛运动逆向处理可使问题简化。 27．当地时间2024年8月9日晚，在法兰西体育场进行的巴黎奥运会女子铅球决赛中，中国队选手宋佳媛以19米32的成绩夺得铜牌。如图所示为宋佳媛在某次训练中以大小为、方向与水平方向成角斜向上的速度掷出铅球的运动轨迹，重力加速度大小为，抛出点距水平地面的距离为，不计空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．铅球做变加速曲线运动 B．铅球落地时的速度大小为 C．轨迹的最高点距水平地面的距离为 D．铅球从抛出到运动到与抛出点等高处所用的时间为 【答案】D 【详解】A．斜抛时铅球只受重力作用，做匀变速曲线运动，A错误； B．由机械能守恒定律有 解得 B错误； CD．斜抛时，当铅球在竖直方向的分速度减为0时，铅球运动到轨迹的最高点，则有 解得 则轨迹的最高点距水平地面的距离为 由 解得铅球从抛出到运动到轨迹最高点所用的时间 由运动的对称性可知，铅球从抛出到运动到与抛出点等高处所用的时间 C错误，D正确。 故选D。 28．如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为25m/s，与水平方向的夹角为16°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为37°，重力加速度大小取10m/s2，忽略空气阻力。重物从P点到Q点运动过程中 (1)运动时间t是多少？ (2)PQ连线的距离是多少 【答案】(1) (2)150m 【详解】（1）沿PQ方向和垂直于PQ方向分解速度和加速度，则 ， 运动时间 （2）同理，可得 ，PQ连线的距离 解得 x=150m 八、题型8 平抛运动位移的计算 29．如图，水平飞行的轰炸机释放一枚炸弹，正好击中一艘静止的船舰，水平距离，炸弹在空中的运动时间。不计空气阻力，重力加速度。求： (1)飞机释放炸弹时在空中飞行的高度； (2)炸弹击中船舰时的速度大小和方向。 【答案】(1)1125m (2)250m/s，与水平面夹角为37° 【详解】（1）炮弹做有初速度的平抛运动，竖直方向为自由落体运动，水平方向为匀速直线运动（炮弹脱离飞机后水平速度不再变化），则应为自由落体15s所走距离。炮弹在竖直方向自由落体运动，时间为15s，则 代入解得 （2）炮弹击中目标时速度朝右下方，将速度水平竖直分解。水平速度由炮弹水平方向做匀速直线运动解出，竖直方向速度由炮弹竖直方向做自由落体运动解出。炮弹水平方向匀速直线运动，时间为15s，距离为3km，则 竖直方向自由落体运动 根据合速度与分速度关系 设速度与水平面夹角为，则 解出 ， 30．刀削面是西北人喜欢的面食之一，全凭刀削得名。如图所示，将一锅水烧开，拿一块面团放在锅旁边较高处，用刀片飞快地削下一片很薄的面片儿，面片便水平飞向锅里，已知面团到锅上沿的竖直距离为0.8m，面团离锅上沿最近的水平距离为0.4m，锅的直径为0.4m，重力加速度g取，不计空气阻力。若削出的面片落入锅中，则面片的水平初速度可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，削出的面片在空中做平抛运动，根据平抛运动的规律，在水平方向有 在竖直方向有 解得 由题可知水平距离的范围为，联立解得面片水平初速度的范围为 故选B。 31．如图所示，茶碗碗口为圆形，直径，茶壶壶嘴沿水平方向，离碗口所在平面高。茶水出口速度因受水压等因素的影响，出口速度并不固定，大小介于至之间。不计空气阻力，为确保水能倒入碗口内，倒茶时茶壶出水口离碗口圆心处的距离，下列四个选项中可行的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】倒茶时，水在空中做平抛运动，竖直方向有 可得 水平方向有 由于水平分速度大小介于至之间，则有 为确保水能倒入碗口内，倒茶时茶壶出水口离碗口圆心处的距离应满足 故选B。 32．如图，某同学从A点水平抛出一弹性小球（可视为质点），小球在B点与竖直墙面发生碰撞后反弹，碰撞时间忽略不计，若弹性小球和墙面碰撞后，水平方向速度大小减小为原来的一半，竖直方向速度保持不变，经过一段时间，小球落在水平地面上。已知A点离地高为H、与墙距离为s，B点离地高为，不计空气阻力，则小球落地时距墙面的距离为（　　） A． B．s C． D．2s 【答案】A 【详解】设小球从抛出到碰墙的时间为，从碰墙到落地时间为，根据运动的独立性，小球竖直方向上有 ， 解得 水平方向上，碰墙前有 碰墙后有 故选A。 九、题型9 平抛运动中追及相遇问题 33．小明在公园和家里养的小狗做游戏，在倾角为的足够长的斜坡上，从P点以速度水平扔出皮球，小狗同时从P点沿斜坡向下做匀速直线运动，在皮球落地瞬间恰好追上皮球。重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法错误的是（　　） A．皮球始终在小狗正上方 B．小狗的速度大小 C．小狗追上皮球的时间为 D．小狗追上皮球前离皮球的最远距离 【答案】C 【详解】AB．依题意，皮球做平抛运动，分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，小狗的运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀速直线运动，二者水平方向具有相同的速度才能保证在皮球落地瞬间恰好追上皮球，可知皮球始终在小狗正上方。可得 解得 故AB正确，与题意不符； C．小狗追上皮球的时间等于皮球在空中飞行的时间，有 解得 故C错误，与题意相符； D．由AB选项分析可知，二者水平方向分运动相同，所以竖直方向共速时，距离最远，可得 小狗追上皮球前离皮球的最远距离 联立，解得 故D正确，与题意不符。 故选C。 34．如图所示，在竖直平面内位于等高的、两点的两个小球相向做平抛运动，二者恰好在点相遇。已知构成三角形，其边长关系为、，则（　　） A．两个小球不一定同时抛出 B．两个小球的初速度大小不相同 C．两个小球相遇时速度相同 D．两个小球相遇时速度方向是相互垂直的 【答案】D 【详解】A．两小球下落高度 在平抛运动中，下落高度，则 解得下落时间 因为两个小球下落高度相等，则下落时间相等，二者可以相遇，则一定是同时抛出的，故A错误； B．因为构成等腰三角形，两点处到点的水平距离相等，均为，时间相等，则初速度大小 也相等，故B错误； CD．两小球相遇时，竖直方向速度大小符合 解得 可知水平方向初速度 即速度与水平方向夹角为，处平抛的小球到相遇时速度为右下方与水平方向夹角，处平抛的小球到相遇时速度为左下方与水平方向夹角，则两个小球相遇时速度方向是相互垂直的，速度大小相等，但方向不同。故C错误，D正确。 故选D。 35．同一水平线上相距为L的两位置沿相同方向水平抛出两小球甲和乙，两球在空中相遇，运动轨迹如图所示。不计空气阻力，则下列说法正确的是（   ） A．甲球要先抛出才能相遇 B．在任意相同时间内两球速度的变化量相同 C．两球相遇时乙球速度更大 D．两球相遇时甲球加速度更大 【答案】B 【详解】A．将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，相遇时竖直下落的高度相同，因此两球同时抛出，A错误； BD．抛出后两球的加速度都是重力加速度相同，根据加速度的定义可知，在任意相同时间内两球速度的变化量相同，B正确，D错误； C．由于同时抛出，水平方向上，甲球追上乙球，可知抛出时甲球的初速度更大，相遇时竖直方向速度相同，因此两球相遇时甲球速度更大，D错误。 故选B。 36．从空中同一点O，分别以初速度v1和v2抛出两个小球1、2，其中v1方向水平，v2方向斜向上，两球运动轨迹如图所示.两球轨迹在同一竖直平面内，且交于P点，小球均可视为质点，不计空气阻力。则下列关于两球在空中运动的说法正确的是（　　） A．若两球同时抛出，则一定在P点相撞 B．小球2在最高点时的速率一定小于 C．在P点时，小球2竖直方向的分速度大小与小球1竖直方向的分速度大小相等 D．v2一定大于v1 【答案】B 【详解】A．小球1竖直方向做自由落体运动，小球2竖直方向做竖直上抛运动，小球2由最高点运动到P点过程中竖直方向下落的高度大于小球1从抛出运动到P点过程中下落的高度，故两球从抛出运动到P点所用时间，若两球同时抛出，小球1先运动到P点，故A错误； B．两球水平方向均做匀速直线运动，从抛出运动到P点过程中，水平方向通过的位移相等，小球1所用时间较短，所以小球2在最高点时的速率一定小于，故B正确； C．由于小球2由最高点运动到P点过程中竖直方向下落的高度比小球1从O点运动到P点竖直方向下落的高度高，所以在P点时小球2竖直方向的分速度大于小球1竖直方向的分速度，故C错误； D．设与水平方向的夹角为，由选项B的分析可知 即 因 故不一定大于，故D错误。 故选B。 十、题型10 飞机投弹问题 37．一救援飞机在空中沿水平做匀减速直线运动通过灾区上空，每隔相同时间释放救灾物资，连续释放了a、b、c三个救灾物资。若不计空气的阻力，则下列四幅图中能反映三个救灾物资落地前排列的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以某个救灾物资抛出点为坐标原点O，初速度方向为x轴，竖直向下为y轴，设该救灾物资抛出瞬间水平方向速度为，经时间t，位置坐标为。根据平抛运动公式有 ， 设此时飞机坐标为，飞机做匀减速直线运动，则 ， 如图所示 ， 则 可知不变，救灾物资相对飞机的运动方向不变。飞机向右做匀减速直线运动，则三个救灾物资在空中落地前排列的图形是一条倾斜的直线。 故选B。 38．某型号战斗机沿水平向右匀加速直线飞行，某时刻开始以相等时间间隔自由释放无动力炸弹（图中用小球替代），不计空气阻力，炸弹落地前在空中形成的排列图景是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】战斗机沿水平向右匀加速直线飞行，以飞机为参考系，则释放的炸弹水平方向做向左的匀加速直线运动，水平位移为 竖直方向做自由落体运动，有 设合位移与水平方向夹角为θ，则有 可知空中的所有炸弹均与飞机排成一列斜线，先释放的炸弹靠左，后释放的靠右。 故选B。 39．据报道，我国自主研发的新一代战略隐形轰炸机轰-20已试飞完成。某次试飞中，轰-20实施对点作业，即对山坡上的目标A进行轰炸。轰-20沿水平方向匀速飞行，飞行高度为H，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，炸弹恰好垂直击中A点，整个过程如图所示。已知A点距山坡底端的高度为h，不计空气阻力，重力加速度大小为g，求： (1)炸弹在空中运动的时间t； (2)轰-20飞行的速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）炸弹在竖直方向做自由落体运动，则有 解得 （2）设炸弹的水平位移为，则有 解得 40．为了清理堵塞河道的冰凌，实施投弹爆破，飞机在河道上空高处以水平速度匀速飞行，投放炸弹并击中目标，不计空气阻力，g取。求： (1)炸弹刚脱离飞机到击中目标所飞行的水平距离； (2)炸弹击中目标时的速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意可知，，炸弹脱离飞机到击中目标在空中做平抛运动，竖直方向 水平方向 代入数据得 （2）根据题意 代入数据得 十一、题型11 曲面结合的平抛运动 41．在水平路面上骑摩托车的人，遇到一个壕沟，其尺寸如图所示。摩托车后轮离开地面后失去动力，之后的运动可视为平抛运动，摩托车后轮落到壕沟对面才算安全。不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．摩托车在空中相同时间内速度的变化量不相同 B．若摩托车能越过壕沟，则其所用时间为 C．摩托车能安全越过壕沟的最小初速度为 D．若摩托车越不过壕沟，则初速度越小其在空中的运动时间越短 【答案】B 【详解】A．摩托车在空中做平抛运动，加速度不变，由 可知，相同时间内的速度变化量相同，故A错误； B．摩托车越过壕沟的过程，竖直方向有 可得 故B正确； C．摩托车能安全越过壕沟的最小初速度满足 求得 故C错误； D．摩托车在空中运动的时间由竖直方向下落的高度决定，若摩托车越不过壕沟，其落点如果在壕沟最深处的右侧，则初速度越小在空中运动的时间越长，落点如果在壕沟最深处的左侧，则初速度越小在空中运动的时间越短，故D错误。 故选B。 42．如图所示，为竖直平面内的半圆环的水平直径，为环上最低点，环半径为，将一个小球从点以初速度沿方向抛出，设重力加速度为，不计空气阻力，则以下说法正确的是（　　） A．小球的初速度越大，碰到圆环时的竖直分位移越大 B．当小球的初速度时，碰到圆环时的竖直分速度最大 C．若取合适的值，小球能垂直撞击圆环 D．取值不同时，小球落在圆环上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同 【答案】B 【详解】A．小球做平抛运动，则小球的初速度v0越大，其轨迹就越靠近ab直线，则碰到圆环时的水平分位移越大，竖直位移就越小，A错误； B．小球做平抛运动，当小球掉在c点时竖直分速度最大，设初速度为v0，则有 解得 B正确； C．小球撞击在圆弧ac段时，速度方向斜向右下方，不可能与圆环垂直；当小球撞击在圆弧cb段时，根据“中点”结论可知，由于O不在水平位移的中点，所以小球撞在圆环上的速度反向延长线不可能通过O点，也就不可能垂直撞击圆环，C错误； D．v0取值不同时，小球运动的轨迹不同，落到圆环上的位置不同，则位移的偏向角不同，因速度的偏向角的正切值等于位移偏向角的正切值的2倍，可知速度的偏向角不同，则小球落在圆环上的速度方向和水平方向之间的夹角不相同，D错误。 故选B。 43．如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M、N与圆心等高且在同一竖直平面内。现甲、乙两位同学分别站在M、N两点，同时将两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ=60°，忽略空气阻力。则下列说法中不正确的是（　　） A．能够求两球抛出的速率之比 B．小球从抛出到着地过程的时间随初速度变化而变化 C．只要两球能够到达坑中的同一位置，两球运动的时间始终相等 D．无论怎样改变抛出的速度大小，两球都不可能垂直坑壁落入坑中 【答案】B 【详解】A．由于两球抛出时的高度相同，且落到同一点，根据知，两球的运动时间相等，水平方向上有 ， 由几何关系可知 所以可得两球抛出的速率之比为1∶3，故A正确； B．根据平抛的基本规律可知，小球从抛出到着地过程的时间 显然只要两小球落在圆上等高的位置，虽然初速度不同，但是时间是相等的，故B错误； C．只要两小球落在坑中的同一点，两球下降的竖直高度就是一样的，则运动的时间始终就是相等的，故C正确； D．由平抛运动速度的反向延长线过水平位移的中点可知，若仅从M、N点水平抛出小球，无论怎样改变小球抛出的初速度，小球都不可能垂直坑壁落入坑中，故D正确。 由于本题选择错误的，故选B。 44．半球形碗的竖直截面图如图所示，为圆心，为半球形碗的最低点，AOB为水平直径。两个小球甲和乙分别从A点、B点先后以不同的初速度、沿水平方向相向抛出，小球甲恰好落到碗上的点，。两小球均可视为质点，不考虑撞到碗后的反弹情况，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．甲可能垂直撞击到碗上 B．两小球不可能在空中相遇 C．乙落到碗上的位置在点右侧 D．甲刚要撞到碗时的竖直分速度比乙刚要撞到碗时的竖直分速度小 【答案】BC 【详解】A．甲做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，小球落在C点的速度斜向右下方，不可能沿半径方向，即甲不可能垂直撞击到碗上，故A错误； BC．令甲落在C点经历时间为，则有 此时甲的水平分位移为 假设乙平抛运动时间也为，则乙水平分位移为 表明甲在圆弧上C点右侧落在圆弧上，即两小球不可能在空中相遇，乙落到碗上的位置在点右侧，故BC正确； D．竖直方向上有 结合上述可知，甲落在圆弧上的时间大于乙落在圆弧上的时间，即甲刚要撞到碗时的竖直分速度比乙刚要撞到碗时的竖直分速度大，故D错误。 故选BC。 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$