专题10 高一期末解答题专项训练（5题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（四川专用）

专题10 高一期末解答题专题训练 （1）集合与常用逻辑用语解答题 1．已知集合，集合. (1)求，，； (2)设集合， 且， 求实数的取值范围. 2．已知集合，. (1)若，求； (2)命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 3．已知全集，集合，集合． (1)求，； (2)若集合，且，求实数a的取值范围． 4．设函数的定义域为，集合 (1)求集合； (2)若，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 5．已知集合，函数的定义域为. (1)若集合，求集合； (2)在(1)条件下，若，求； (3)在(1)条件下，若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围. 6．设函数的定义域为集合A，集合． (1)求； (2)设函数的值域为集合C，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围. 7．已知集合， (1)命题命题，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)函数的定义域为，若,实数的取值范围. 8．已知为有穷实数数列.对于实数，若中存在，使得，则称为连续可表数，将所有连续可表数构成的集合记作. (1)设数列，写出，并写出一个与不同的数列使得； (2)求所有的整数，使得存在数列满足； (3)设数列与数列满足，，，.证明：. （2）一元二次函数、方程和不等式解答题 9．已知二次函数满足. (1)求函数的解析式； (2)若，求的最小值. 10．已知幂函数，对于任意给定的正实数，不等式恒成立， (1)求的值； (2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围； (3)若函数的值域为，求实数的取值范围. 11．已知函数，． (1)若，求使的x的取值范围； (2)当时，设，求在区间上的最小值． 12．设函数 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于的不等式：． 13．设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式． 14．已知函数 (1)解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，求的最小值. 15．平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置，基本不等式就是最简单的平均值不等式.一般地，假设为n个非负实数，它们的算术平均值记为（注：），几何平均值记为亦（注：），算术平均值与几何平均值之间有如下的关系：，即，当且仅当时等号成立，上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式. (1)已知，求的最小值； (2)已知正项数列，前n项和为. （i）当时，求证：； （ii）求证：. （3）幂函数、指数函数和对数函数解答题 16．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数． (1)求和的值； (2)若实数满足，求的最小值. 17．已知常数，函数的表达式为 (1)证明：函数是奇函数； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值． 18．已知是定义在R上的奇函数． (1)求的值； (2)若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的取值范围． 19．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的值； (2)判断的单调性，并用定义法证明你的结论； (3)求使成立的实数a的取值范围. 20．已知，分别为定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)求和的解析式； (2)利用函数单调性的定义证明在区间上是增函数； (3)已知，其中是大于1的实数，当时，，求实数的取值范围. 21．已知函数． (1)若存在，对任意的都成立；求m的取值范围； (2)设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围． 22．已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若，对，使得成立，求的取值范围. 23．函数，满足． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值． 24．定义在上的函数满足：对任意的，都有成立，且当时，． (1)求证：在上是单调递增函数 (2)解关于的不等式： (3)已知，若对所有的及恒成立，求实数的取值范围． 25．已知函数. (1)若函数是奇函数，求的值； (2)若，记函数在上的最小值为. （i）求； （ii）设函数满足：对任意，均存在，使得，求的取值范围. 26．已知函数对任意x满足：，二次函数满足：且. (1)求，的解析式； (2)若，解关于x的不等式. 27．已知定义在上的函数满足. (1)求； (2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 28．已知函数为奇函数． (1)求数k的值； (2)设，证明：函数在上是减函数； (3)设函数，判断在上的单调性，无需证明；若在上只有一个零点，求实数m的取值范围． 29．已知函数，，. (1)解不等式； (2)设不等式的解集为集合，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围. 30．已知函数的定义域为， (1)若，求函数的值域； (2)若，且，求实数的取值范围． 31．设函数在区间D上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间D上具有性质 (1)判断函数在R上是否具有性质，并说明理由; (2)若函数在区间上具有性质，求实数a的取值范围; (3)设，若存在唯一的实数m，使得函数在上具有性质，求t的值. 32．已知函数. (1)当时，求在上的最值； (2)设函数，若存在最小值-8，求实数的值. 33．已知函数，，满足且为增函数. (1)求函数，的解析式； (2)存在使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若，且关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围. 34．已知，函数是奇函数，. (1)求实数的值； (2)若，使得，求实数的取值范围. 35．已知函数，记集合为的定义域． (1)求集合； (2)判断函数的奇偶性； (3)当时，求函数的值域． 36．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数，的值； (2)判断的单调性并给出证明； (3)若存在，使成立，求实数的取值范围. 37．已知函数且. (1)求的解析式; (2)已知的定义域为. （ⅰ）求的定义域； （ⅱ）若方程有唯一实根，求实数的取值范围. 38．设函数和的定义域为，若是偶函数，是奇函数，且． (1)求和的解析式； (2)判断在上的单调性，并给出证明． 39．（1）； （2）． 40．已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 41．计算下列各式的值： (1)； (2)． 42．已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)当时，证明：的图像为轴对称图形； (3)若关于的方程在上有解，求的最小值. （4）三角函数图像与性质解答题 43．已知. (1)求函数的最小正周期和对称轴方程； (2)若，求的值域. 44．设函数 (1)求函数的最小正周期，并解不等式； (2)先将图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变；再向左平移 个单位；最后向下平移 个单位得到函数的图象．若对，不等式恒成立，求实数的取值范围 45．函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)先将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向左平移个单位长度，最后得到函数的图象，求在区间上的值域. 46．已知函数的图象经过点，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)若函数在上有3个零点，求实数的取值范围． 47．已知函数，. (1)当时，求函数的最小值； (2)若的最大值为1，求实数的值； (3)对于任意，不等式都成立，求实数的范围. 48．如图，矩形花园中，，，是的中点，在该花园中有一花圃，其形状是以为直角顶点的，其中、分别落在线段和线段上．分别记为（），的周长为，的面积为．    (1)试求的取值范围； (2)为何值时的值为最小，并求的最小值． 49．已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递减区间； (2)求函数在上的最值； (3)若，求的值. 50．已知函数，对，有. (1)求的值及的单调递增区间； (2)若，，求； (3)将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若，，求实数的取值范围. 51．已知为锐角，为钝角，且，. (1)求的值； (2)求的值. 52．已知，对任意都有， (1)求的值： (2)若当时方程有唯一实根，求的范围. (3)已知，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围. 53．已知函数（，，）的图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作. (1)求函数的单调减区间； (2)求函数的最小值； (3)若函数在内恰有6个零点，求的值. 54．已知函数． (1)求函数的最小正周期和对称轴； (2)求函数的对称中心和单调递增区间； (3)求函数在的最值及相应的的值． （5）实际应用解答题 55．我国某5A景区自从修建了国内最长、最宽，海拔最高的“玻璃栈道”后便吸引了各地游客纷纷前来打卡（观光或消费）．某校高一数学建模社团调查发现：该旅游景点开业后第一个国庆假期，第天的游客人均消费与近似的满足函数（元），其中为正整数． (1)经调查，第天来该地的游客人数（万人）与近似的满足下表： 第（天） 1 2 3 4 5 6 7 （万人） 1.4 1.6 1.8 2 1.8 1.6 1.4 现给出以下三种函数模型：①，②，③，且．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述第天的游客人数（万人）与的关系，并求出该函数的解析式； (2)请在问题（1）的基础上，求出该景区国庆期间日营业收入（，为正整数）的最大值（单位：万元）． （注：日营业收入日游客人数人均消费） 56．某企业2023年9~11月份生产的产品产量（单位：千件）与收益（单位：万元）的统计数据如下表： 月份 9月 10月 11月 产品产母千件 30 40 80 收益万元 4200 4800 3200 (1)根据上表数据，从下列三个函数模型①，②，③（且）中选取一个恰当的函数模型描述该企业2023年9~11月份生产的产品产量（单位：千件）与收益（单位：万元）之间的关系，并写出这个函数关系式； (2)问该企业12月份生产的产品产量应控制在什么范围内，才能使该企业12月份的收益在4950万元以上（含4950万元）？ 57．后疫情时代，全民健康观念发生很大改变．越来越多人注重通过摄入充足的水果，补充维生素，提高自身免疫力．郑州某地区适应社会需求，利用当地的地理优势，发展种植某种富含维生素的珍稀果树．经调研发现：该珍稀果树的单株产量W（单位：千克）与单株用肥量x（单位：千克）满足如下关系：已知肥料的成本为10元/千克，其他人工投人成本合计元．若这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该果树的单株利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式； (2)当单株施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大，并求出最大利润． 58．某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据： 年份 2015 2016 2017 2018 投资成本 3 5 9 17 … 年利润 1 2 3 4 … 给出以下3个函数模型：①；②（，且）；③（，且）. (1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式； (2)试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型. 59．2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为万元，每生产万件，需另投入成本为．当年产量不足万件时，（万元）；当年产量不小于万件时，（万元）．通过市场分析，若每件售价为元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润销售收入总成本） （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?并求出利润的最大值． 60．某小微企业去年某产品的年销售量为万只，每只销售价为元，成本为元，今年计划投入适当的广告费进行促销，预计年销售量(万只)与投入广告费(万元)之间的函数关系为，且当投入广告费为万元时，销售量万只.现每只产品的销售价为“原销售价”与“年平均每只产品所占广告费的”之和. （1）当投入广告费为万元时，要使得该产品年利润不少于万元，则的最大值是多少？ （2）若，则当投入多少万元广告费时，该产品可获最大年利润？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 高一期末解答题专题训练 （1）集合与常用逻辑用语解答题 1．已知集合，集合. (1)求，，； (2)设集合， 且， 求实数的取值范围. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据集合的运算法则计算可得； （2）依题意可得，再根据集合的包含关系得到不等式，解得答案. 【详解】（1）因为，， 所以，，， 则； （2）因为,所以， 所以，解得，即实数的取值范围为. 2．已知集合，. (1)若，求； (2)命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解指数不等式求出集合，再求； （2）由题意可得是的真子集，得到不等式组，求出答案. 【详解】（1）集合， 集合. 则； （2）若是的充分不必要条件，则是的真子集，且， 可得，解得， 所以实数的取值范围为. 3．已知全集，集合，集合． (1)求，； (2)若集合，且，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）根据并集，交集，补集的定义计算即可； （2）由题意得集合间的包含关系，然后分和两种情况分类讨论即可. 【详解】（1）由解得或，所以或， 所以或； ，所以； （2）由得， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，实数a的取值范围为. 4．设函数的定义域为，集合 (1)求集合； (2)若，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由定义域的定义即可求解; （2）由是的必要不充分条件可判断集合是集合的真子集,分类讨论的情况即可求解. 【详解】（1）要使得函数有意义，只需要 解得，所以集合 （2）因为是的必要不充分条件，所以， 当时，，解得： 当时，解得：， 综上可知，实数的取值范围是 5．已知集合，函数的定义域为. (1)若集合，求集合； (2)在(1)条件下，若，求； (3)在(1)条件下，若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由对数函数的性质，求得集合或，结合补集的运算，即可求解； （2）当时，求得或，结合集合交集的运算，即可求解； （3）根据题意，得到是的真子集，分类讨论，集合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的定义域为，可得， 即，解得或，所以集合或， 所以. （2）解：当时，集合，可得或， 因为，所以. （3）解：若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足且不能同时取等号，解得， 综上，实数的取值范围为. 6．设函数的定义域为集合A，集合． (1)求； (2)设函数的值域为集合C，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件，结合交集的定义，即可求解； （2）先求出集合，再结合充分条件、必要条件的定义，即可求解． 【详解】（1）根据题意，可得 或， 因为，则 . （2）函数 在上单调递减， 所以，且， 因为“”是“ ”的必要不充分条件，所以是的真子集， 则，解得，即的取值范围是． 7．已知集合， (1)命题命题，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)函数的定义域为，若,实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据必要不充分条件的意义得到是的真子集，比较端点列不等式，计算即可. （2），则在内有解.运用参变分离，转化为二次函数最值问题即可. 【详解】（1）解不等式，即，则； 解不等式，即，解得. 所以 ．由于p是q的必要非充分条件，则是的真子集， 所以等号不同时成立且，解得，因此，实数的取值范围是. （2）因为，在内有解.   ，令， 则，所以. 8．已知为有穷实数数列.对于实数，若中存在，使得，则称为连续可表数，将所有连续可表数构成的集合记作. (1)设数列，写出，并写出一个与不同的数列使得； (2)求所有的整数，使得存在数列满足； (3)设数列与数列满足，，，.证明：. 【答案】(1).（答案不唯一）； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意列举可求，举例数列满足即可； （2）法一，按集合中最大最小元素的符号进行讨论，分最小元素、最大元素、三类讨论满足题意条件的可能性，再对有可能的取值举例验证； 法二，先对可能的取值举例，再对其他情况用反证法证明其不符合要求； （3）利用等式与不等式的性质得，结合放缩法对比两相等集合确定，再转化为，进而分析出，故得证. 【详解】（1）数列，所有连续可表数构成的集合， 则；， 则. 令数列，所有连续可表数构成的集合， 设， 则，故， 数列是一个与不同的数列，且满足； （其他参考答案：； .答案不唯一） （2）若数列满足，不妨设. 假设数列只有两项，则中至多3个元素， 这与中有4项矛盾，故假设错误， 所以数列至少3项，即. ①当时，由， 得，且， 解得，所以，又，所以，即； ②当，即时，由， 得，且， 解得，所以，又，则； ③当时，由，. 综上所述，可能的取值有. 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 综上所述，满足题意所有的整数有； 法二：当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，令数列，满足； 当时，假设满足， 得， 则且中存在某项或连续若干项的和为， 所以必存在某项或连续某些项的和为，这与矛盾， 故不存在数列满足； 当时，假设满足， 则，且， 中存在若干连续的项和为， 所以必存在某项或连续某些项的和为，这与矛盾. 故不存在数列满足. 综上所述，满足题意所有的整数有； （3），， 由题意可知中最小和最大元素分别为和； 中最小和最大元素分别为和. 因为，所以， 故， 由，则， 因为，由，所以， 又，是连续项之和中最大的连续可表数. 故中比大，且比小的元素只可能是 连续项之和或， 由，， 又 ， 所以. 即， 则，由知，而， 所以，故. 故得证. 【点睛】关键点点睛：该题目属于数列与集合综合考查的新定义题型，解答关键有三点： 一是对新定义的透彻理解，理解连续可表数的定义，核心就是数列连续几项（可以是一项）之和；二是由集合中最大元素与最小元素与数列中最大（小）项及所有项之和之间关系的分类讨论；三是两集合相等条件的转化，最大与最小元素必对应相等，再由不等式，结合数列的正项有序性，利用放缩法与不等式的性质确定两元素的相等关系. （2）一元二次函数、方程和不等式解答题 9．已知二次函数满足. (1)求函数的解析式； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据条件建立方程组，即可求解； （2）由（1）可得，对分类讨论，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）设， 因为 ， 所以，解得， 所以. （2）， 当时，在上单调递增，， 当时，， 当时，在上单调递减，. 综上，. 10．已知幂函数，对于任意给定的正实数，不等式恒成立， (1)求的值； (2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围； (3)若函数的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）先由已知判断为增函数，再结合幂函数的单调性解不等式即可； （2）结合二次函数的性质即可得到结果； （3）由对数函数和二次函数的性质得出结果即可； 【详解】（1）因为对于任意给定的正实数，不等式恒成立， 不妨设， 则， 所以在上为增函数， 所以，即， 所以或， （2）由已知， 要使函数不单调，则，则， （3）若函数的值域为， 则恒成立， 即恒成立， 所以， 11．已知函数，． (1)若，求使的x的取值范围； (2)当时，设，求在区间上的最小值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）解一元二次不等式可得结果. （2）结合基本（均值）不等式求和的最小值. 【详解】（1）由题意可知：． 所以，满足条件的x的取值范围是． （2），， 当时，， （当且仅当即时取“”）， 所以． 12．设函数 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于的不等式：． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）对是否为零进行讨论，再结合二次函数的性质即可求解. （2）不等式化简为，根据一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解. 【详解】（1）对一切实数x恒成立，等价于恒成立. 当时，不等式可化为，不满足题意. 当，有，即，解得 所以的取值范围是． （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为. 当时，不等式化为，此时，所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 13．设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)4 (3)答案见解析 【分析】（1）分和讨论，当时，根据相应二次函数开口方向和判别式列不等式组即可求解； （2）变形为，利用基本不等式求解可得； （3）整理得，根据二次系数是否为0、相应二次函数开口分析、两根的大小关系分类讨论即可. 【详解】（1）由恒成立得：对一切实数x恒成立. 当时，不等式为，不合题意； 当时，，解得：； 综上所述：实数m的取值范围为． （2），， ， （当且仅当，即时取等号），的最小值为4． （3）由得：； ①当时，，解得：，即不等式解集为； ②当时，令，解得：，； 1）当，即时，不等式解集为； 2）当，即时，不等式解集为； 3）当，即时，不等式可化为， ，不等式解集为； 4）当，即时，不等式解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 14．已知函数 (1)解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，求的最小值. 【答案】(1)答案见解析； (2)6. 【分析】（1）解含参一元二次不等式，即可得答案； （2）根据方程有两个正实数根可得相应不等式组，进而表示出，采用换元法结合基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）不等式即为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上可知：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）方程有两个正实数根， 即有两个正实数根 故，解得， 所以 令，则，故 当且仅当即时取得等号， 故的最小值为6. 15．平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置，基本不等式就是最简单的平均值不等式.一般地，假设为n个非负实数，它们的算术平均值记为（注：），几何平均值记为亦（注：），算术平均值与几何平均值之间有如下的关系：，即，当且仅当时等号成立，上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式. (1)已知，求的最小值； (2)已知正项数列，前n项和为. （i）当时，求证：； （ii）求证：. 【答案】(1)6； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析． 【分析】（1）凑配成三个数的均值不等式； （2）（i）对,应用均值不等式后相乘可证；（ii）首先应用均值不等式，然后由二项式定理展开，再结合不等式可证． 【详解】（1）， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为6． （2）（i）证明：因为， 所以由均值不等式可得， ．取，再将之分别累积后得． （ii）证明：因为， 所以 ， 因为， 所以， 从而证明成立． 【点睛】关键点点睛：本题考查均值不等式的应用，解题关键是凑配出个正数的和或积，然后由均值不等式放缩后，再进行变形从而得出结论． （3）幂函数、指数函数和对数函数解答题 16．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数． (1)求和的值； (2)若实数满足，求的最小值. 【答案】(1)或1， (2)2 【分析】（1）根据幂函数的概念和性质求解； （2）由（1）得，变形可得，然后利用基本不等式中1的妙用求出最小值． 【详解】（1）幂函数，则，解得或1， 又幂函数在上是减函数，故，解得， 因为，故或， 当时，幂函数为，图象关于轴对称，符合题意； 当时，幂函数为，图象关于原点对称，不合题意， 综上所述：或1，； （2）∵实数满足， ∴，则， ∴ . 当且仅当且，即时等号成立. 所以的最小值是2. 17．已知常数，函数的表达式为 (1)证明：函数是奇函数； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求出定义域，利用奇函数的定义判断可得答案； （2）判断出函数在区间上的单调性，根据单调性求出最值可得答案. 【详解】（1）由得， 所以函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数是奇函数； （2）， 令， 则在上单调递增， 又为增函数， 所以在上单调递增， 其最大值为， 解得. 18．已知是定义在R上的奇函数． (1)求的值； (2)若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用奇函数的性质求出并验证即可. （2）探讨函数的单调性，结合函数在区间上的值域，构造方程有两个不相等的正实根，再利用一元二次方程实根分布求出范围. 【详解】（1）因为是定义在R上的奇函数，有，得， 则有，函数定义域为R， 有，即是奇函数， 所以； （2）由（1）得， 令， 因为在R上递增，所以在R上递减， 所以在R上递增， 因为函数在上的值域为， 所以， 所以， 因为，所以关于的方程有两个不相等的正实根， 所以， 解得，即的取值范围为 19．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的值； (2)判断的单调性，并用定义法证明你的结论； (3)求使成立的实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）由奇函数性质利用以及可得结果； （2）利用函数单调性定义按步骤即可证得在上单调递增； （3）由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围为. 【详解】（1）由题意可知，故， 又由可得，解得； 所以， 此时定义域关于原点对称，且， 故是定义在上的奇函数，满足题意， 所以. （2）在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则； 因为，且， 所以，， 所以， 所以，即， 因此在上单调递增. （3）由（1）（2）可知，是在上单调递增的奇函数， 所以由可得， 因此需满足，解得，即； 故实数a的取值范围为. 20．已知，分别为定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)求和的解析式； (2)利用函数单调性的定义证明在区间上是增函数； (3)已知，其中是大于1的实数，当时，，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由函数奇偶性，构造方程组即可求解； （2）利用增函数的定义，结合指数函数单调性推理即得； （3）换元并求出新元的范围，转化为二次函数在闭区间上的最小值求解即可. 【详解】（1），分别为定义在上的偶函数和奇函数 所以， ①， ②， 由①②可知，， （2）取， 因为，所以，，， 所以，即， 得证； （3）由已知 由(2)得在上单调递增， ， 设， 令 ，， 而函数，在上递减，在递增 ①当时，，，显然成立 即 ②当时，，， 即 综上所述，实数的取值范围是. 21．已知函数． (1)若存在，对任意的都成立；求m的取值范围； (2)设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）题目可转化为 ：对任意的都成立，再利用变换主元的方法，把看作自变量，看作参数，即可求解； （2）由函数解析式, 令，再分离参数k，即可求解. 【详解】（1），当时， 又∵存在，对任意的都成立， ∴对任意的都成立 即对任意的都成立，其中看作自变量，看作参数， 即，解得： （2） 令则 ,因为不等式在区间上有解 ，又 而 ,即实数的取值范围是 22．已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若，对，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2). 【分析】（1）利用分类讨论的思想求解含有参数的不等式的解集. （2）利用函数的思想构造函数分类讨论求函数的值域，然后根据根据条件即得. 【详解】（1）令，解得或， ①当时，，不等式的解集为， ②当时，，不等式的解集为， ③当时，，不等式的解集为. 综上所述：时，不等式的解集为时，不等式的解集为；时，不等式的解集为； （2）由， 代入整理得，令， ①当，即时，对任意. 所以此时不等式组无解. ②当，即时，对任意. 所以解得； ③当，即时，对任意. 所以，此时不等式组无解. ④当，即时，对任意. 所以此时不等式组无解. 综上，实数的取值范围是. 23．函数，满足． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）分和讨论，当时，根据相应二次函数开口方向和判别式列不等式组即可求解； （2）变形为，利用基本不等式求解可得． 【详解】（1）解：因为，所以， 因为，所以， 所以， 当，； 当，， 由恒成立得：对一切实数恒成立． 当时，不等式为，不合题意； 当时，， 解得：； 综上所述：实数的取值范围为． （2）解：， ， ， （当且仅当，即时取等号）， 所以的最小值为5． 24．定义在上的函数满足：对任意的，都有成立，且当时，． (1)求证：在上是单调递增函数 (2)解关于的不等式： (3)已知，若对所有的及恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据函数单调性的定义及所给函数的性质证明即可； （2）利用函数的单调性及定义域解不等式即可； （3）转化为恒成立，即恒成立，构造函数，建立不等式组求解即可. 【详解】（1）任取，且， 设，则， 则， 即， 所以在上是单调递增函数. （2）由（1）知，， 解得， 所以不等式的解集为. （3）因为， 所以由对所有的成立， 可得对恒成立，即恒成立， 令， 则不等式恒成立只需满足， 解得或， 即实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第一问证明抽象函数的单调性关键在于函数单调性的定义证明格式与抽象函数所给性质的结合，第三问恒成立问题关键在于转化，首先转化为恒成立，再利用构造关于的函数，由函数性质建立不等关系是关键所在. 25．已知函数. (1)若函数是奇函数，求的值； (2)若，记函数在上的最小值为. （i）求； （ii）设函数满足：对任意，均存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据奇函数的定义可直接求参数的值. （2）（i）分情况去掉绝对值符号，结合二次函数的单调性，求函数的最小值，可得的解析式；（ii）问题转化为的值域是值域的子集，根据集合之间的关系求参数的取值范围. 【详解】（1）因为为奇函数，所以， 所以. （2）（i）①若，则， 当时，对称轴，所以在上单调递增， 当时，若，即，则在上单调递减， 如图： 所以. 若，即，则， 若，即时， 如图： 则在上单调递增，在上单调递减， 所以， ②若，则，，对称轴， 如图： 所以在上单调递增， 所以， 综上，. （ii）若，则， 所以，所以， 若，则，所以， 所以， 综上，的取值范围为 【点睛】关键点点睛：该题的最后一问，要把问题转化成的值域是值域的子集，根据集合之间的关系求参数的取值范围. 26．已知函数对任意x满足：，二次函数满足：且. (1)求，的解析式； (2)若，解关于x的不等式. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】(1)用方程组法求 ，用待定系数法求 ； (2)先将不等式化为 ，根据 分类求解即可. 【详解】（1）①，用代替上式中的x， 得②， 联立①②，可得； 设（）， 所以， 即 所以，解得，， 又，得， 所以. （2）因为， 即，化简得，， ①当，即，即时，不等式的解为或； ②当，即，即，当时，不等式的解为或， ③当，即时，，解得且， 综上所述，当时，不等式的解为或； 当时，不等式的解为且； 当时，不等式的解为或. 27．已知定义在上的函数满足. (1)求； (2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）将已知中的替换为，得出方程组，求解即可得到答案； （2）由（1）可得，利用换元法令，结合一元二次函数的单调性讨论即可. 【详解】（1）由可得， 联立， 解得. （2）由（1）可得， 令，则当时，， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，，解得，与矛盾， 当，即时，，解得，与矛盾， 当，即时，，解得，由可得， 综上存在实数使得的最小值为. 28．已知函数为奇函数． (1)求数k的值； (2)设，证明：函数在上是减函数； (3)设函数，判断在上的单调性，无需证明；若在上只有一个零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)在上单调递增， 【分析】（1）根据函数奇偶性定义可求得； （2）根据函数单调性定义化简计算可得结论； （3）利用复合函数单调性可判断在上单调递增，再根据零点存在定理解不等式可得实数m的取值范围． 【详解】（1）由函数为奇函数可得， 即，所以， 可得，解得； 又当时，无意义，舍去； 经检验，时，为奇函数，满足题意； 可得 （2）由（1）可知， 取，且， 则， 显然，所以， 可得， 因此函数在上是减函数. （3）由（2）可得函数在上是减函数， 根据复合函数单调性可知在上单调递增， 又因为为单调递增， 所以函数在上的单调递增； 若在上只有一个零点，可得， 即，解得； 可得实数m的取值范围为． 29．已知函数，，. (1)解不等式； (2)设不等式的解集为集合，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用赋值法可得，再结合对数型函数的单调性，可解不等式； （2）由（1）可得集合，设在上的值域为，易知，进而列不等式，解不等式组可得解. 【详解】（1）由已知， 则， 解得， 所以， 且，即， 所以，即， 即，解得， 综上所述不等式的解集为； （2）由（1）得， 又， 设函数在的值域为， 又若对任意，存在，使得， 则， 设，，则， 又函数在上单调递增， 即， 此时函数即为，，对称轴为， 当，即时，在上单调递增，即，即， 又，所以，解得； 当，即时，在时取最小值为，在时取最大值为， 即，由， 可得，解得，不满足，所以不成立； 当，即时，在时取最小值为，在时取最大值为， 即，由， 可得，解得，不满足，所以不成立； 当，即时，在上单调递减， 即，由， 可得，不等式无解，所以不成立； 综上所述，即. 30．已知函数的定义域为， (1)若，求函数的值域； (2)若，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，先求内层函数的值域，进而再求函数的值域即可； （2）由对数函数定义域可知方程的两根分别为，利用韦达定理可得，，代入化简即可求解. 【详解】（1）当时，由解得， 令，当时取最大值， 所以，从而的值域为. （2）由于，且， 所以方程的两根分别为，且，， 又，即， 将，代入整理得 ， 从而， 所以 即实数的取值范围为. 31．设函数在区间D上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间D上具有性质 (1)判断函数在R上是否具有性质，并说明理由; (2)若函数在区间上具有性质，求实数a的取值范围; (3)设，若存在唯一的实数m，使得函数在上具有性质，求t的值. 【答案】(1)函数在R上不具有性质，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）求出指数函数的定义域，根据特例，判断函数在R上是否具有性质； （2）根据函数在区间上具有性质得到和的关系，求出的取值范围； （3）设，求出的表达式，求出的范围，分和两种情况求解. 【详解】（1）指数函数在R上不具有性质， 理由如下：指数函数的定义域为R， 对于，，因为，， 所以不存在，满足， 因此函数在R上不具有性质； （2）因为函数在区间上具有性质， 所以对于任意，都存在， 使得，即， 因为，所以， 得； （3）设， 若函数在上具有性质， 则对任意，都存在，使得， 即，因为， 所以，所以， ①当时，， 因为，所以且， 即，因为m唯一， 所以，得 ②当时， 因为，所以且， 即，因为m唯一，所以， 得，综上，t的值为或 【点睛】关键点点睛：本题（3）关键在于，求出的表达式，求出的范围. 32．已知函数. (1)当时，求在上的最值； (2)设函数，若存在最小值-8，求实数的值. 【答案】(1)最小值为，最大值为8 (2) 【分析】（1）根据题意，设，由换元法，结合二次函数的值域，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，令，结合二次函数的最值，分类讨论，即可得到结果. 【详解】（1）当时，， 设，则，开口向上，对称轴， 所以函数在上单调递减，上单调递增， 所以，， 所以在上的最小值为，最大值为8. （2） ， 设，当且仅当，即时取得等号， 所以，，对称轴. 当，即时，，在上单调递增， 则当时，，解得，不满足题意； 当，即时，在上单调递减，上单调递增， 所以时，，解得或（舍去）， 综上，实数的值为. 33．已知函数，，满足且为增函数. (1)求函数，的解析式； (2)存在使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若，且关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)，. (2) (3). 【分析】（1）根据指数函数的单调性可得，即可代入求解， （2）将问题转化为成立，即可分离参数，结合换元法，可得，利用基本不等式即可求解, （3）根据为偶函数，结合函数图象可得的取值范围，将问题转化为方程有两个不同的正实数根，利用二次方程根的分布，即可结合韦达定理以及判别式求解. 【详解】（1）因为为增函数，所以， 由，整理得， 解得或（舍去）， 所以，. （2）由是增函数，所以当时，， 存在不等式成立， 即成立， 成立， 令， 所以存在，不等式成立， 即成立， 设，则，， ， 当且仅当时，等号成立，所以， 所以实数的取值范围是. （3）， 则为偶函数，令， 当时，关于的方程只有一个实数解， 当时，关于的方程有两个不同的实数解， 当时，关于的方程没有实数解， 所以要使关于的方程有四个不同的实数解， 需关于的方程有两个不同的正实数根， 则，解得或， 所以的取值范围是. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 34．已知，函数是奇函数，. (1)求实数的值； (2)若，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，然后检验，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为，再由函数的单调性可得，由二次函数的值域可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为函数是奇函数，所以， 即，即，解得， 因为，所以. 当时，，此时的定义域为， 关于原点对称，满足题意. 综上，. （2）由题意得，， 由（1）知，， 易得在上单调递增，故. ， 当时，，所以， 所以， 解得，即实数的取值范围为. 35．已知函数，记集合为的定义域． (1)求集合； (2)判断函数的奇偶性； (3)当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2)奇函数 (3) 【分析】（1）由真数大于零求解其定义域即可； （2）由函数的奇偶性判断即可； （3）令，利用单调性求复合函数的值域即可. 【详解】（1）由真数大于0可知，，. （2） 可知定义域关于原点对称， ， 故为奇函数． （3）令，对称轴，在上，， 又在上递减， 故的值域是：． 36．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数，的值； (2)判断的单调性并给出证明； (3)若存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)函数在上是减函数，证明见解析； (3) 【分析】（1）首先由是奇函数可知，得出，后面再根据当时，有恒等式成立即可求出； （2）根据函数单调性定义即可证得函数单调递减； （3）结合函数奇偶性、单调性将不等式转换为，由题意可知问题等价于，由此即可得解. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，所以， 又因为，所以， 将代入，整理得， 当时，有，即恒成立， 又因为当时，有，所以，所以. 经检验符合题意，所以. （2）由（1）知：函数， 函数在上是减函数. 设任意，且， 则 由，可得，又， 则，则， 则函数在上是减函数. （3）因为存在，使成立， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以不等式可转化为， 又因为函数在上是减函数， 所以，所以， 令， 由题意可知：问题等价转化为， 易知当，，所以. 37．已知函数且. (1)求的解析式; (2)已知的定义域为. （ⅰ）求的定义域； （ⅱ）若方程有唯一实根，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ），或. 【分析】（1）利用换元法以及，即可求解的解析式； （2）（ⅰ）解不等式，即可得出的定义域； （ⅱ）结合函数的解析式将方程化为，利用换元法得出，讨论的值，结合二次函数的性质即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）令，则，所以， 因为，所以， 所以； （2）（ⅰ）因为的定义域为， 所以，解得， 所以的定义域为. （ⅱ）因为，所以， 化简得， 令，则在有唯一实数根， 令， 当时，令，则，所以，得符合题意，所以； 当时，，所以只需，解得，因为，所以此时无解； 当时，，即，或 ，，符合题意， ，，故不符合题意， ，解得，或，只需满足，解得，故不符合题意， 综上，，或. 【点睛】方法点睛：本题考查了利用换元法求函数解析式以及根据函数的零点确定参数的范围，已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 38．设函数和的定义域为，若是偶函数，是奇函数，且． (1)求和的解析式； (2)判断在上的单调性，并给出证明． 【答案】(1)， (2)在上单调递减；证明见解析 【分析】（1）由奇偶性求解函数解析式； （2）由定义法证明函数的单调性． 【详解】（1）由，可得， 又为偶函数，为奇函数，所以， 所以， ； （2）由（1）得，所以在上单调递减， 证明如下：若，则， 又，所以，所以， 所以， 所以，所以在上单调递减． 39．（1）； （2）． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】由指数幂运算及对数运算性质求解． 【详解】解：（1）； （2）． 40．已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解指数不等式，得到解集； （2）变形得到，结合，求出的值域； （3）转化为，求出，故，得到答案. 【详解】（1）由，得 整理得 解得， 的解集为 （2）， ， ， 即的值域为． （3）不等式对任意实数恒成立 ． ， 令，，， 设，， 当时，取得最小值，即， ，即， ，即，解得， 实数的取值范围为． 41．计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用指数幂的性质公式化简求解即可； （2）运用对数运算性质公式求解即可. 【详解】（1）原式 ； （2）原式 42．已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)当时，证明：的图像为轴对称图形； (3)若关于的方程在上有解，求的最小值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据复合函数的单调性可知二次函数在上单调递减，由真数大于零再结合二次函数的对称轴与区间的关系列出不等式即可求出参数；（2）根据函数轴对称的关系式可证为轴对称图形；（3）方程在上有解转化为在上有解，再利用基本不等式求函数的最小值即可. 【详解】（1）因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 则 解得， 故的取值范围为. （2）证明：当时，的定义域为， 因为， 所以的图像关于直线对称， 故的图像为轴对称图形. （3）由方程在上有解，得方程在上有解且， 即在上有解， ， 当且仅当时取得等号， 又当时，在上恒成立， 所以的最小值为. （4）三角函数图像与性质解答题 43．已知. (1)求函数的最小正周期和对称轴方程； (2)若，求的值域. 【答案】(1)对称轴方程为（），最小正周期 (2) 【分析】（1）利用正余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数解析式进行化简得到，由周期公式和对称轴公式可得答案； （2）先求出，再由正弦函数的性质即可得到值域. 【详解】（1） . 令（），得，， 则的对称轴方程为（），最小正周期. （2）当时，， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在取最大值1，在取最小值， 所以，所以. 44．设函数 (1)求函数的最小正周期，并解不等式； (2)先将图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变；再向左平移 个单位；最后向下平移 个单位得到函数的图象．若对，不等式恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简可得，即可利用正弦函数的性质，结合整体法即可求解， （3）利用函数图象的平移和伸缩变换可得，即可根据三角函数的单调性求解最值求解. 【详解】（1）由可得， 令，则， 故，解得， 故不等式的解为； （2）将图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变；可得， 再向左平移 个单位，可得；最后向下平移 个单位得到函数， 当，由于在单调递增，故， 所以， 由于，故，即. 45．函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)先将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向左平移个单位长度，最后得到函数的图象，求在区间上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图可得出的值，求出的最小正周期，可求得的值，由结合的取值范围可求得的值，可得出函数的解析式； （2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的性质即可得解. 【详解】（1）由图可知，， 函数的最小正周期为，， ，可得， ，则，，则， 所以. （2）将函数的图象的横坐标缩小为原来的，可得到函数的图象， 再将得到的函数图象向左平移个单位，最后得到函数的图象， 则， 当时，，则，所以， 因此在区间上的值域为. 46．已知函数的图象经过点，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)若函数在上有3个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； 【分析】(1)根据的最小值求解出； (2)首先根据方程与函数的零点问题求解得或，然后结合三角函数的图像和性质求解出实数的取值范围． 【详解】（1）由题意可得的最小正周期，则． 又，所以． 因为的图象经过点，所以． 所以，即 又，所以． 故. （2）令，即， 解得或． 因为，所以， 所以． 因为在上有3个零点，所以方程在上有2个不同的实根， 在上有1个实根或在上有1个实根， ，在上有2个不同的实根， 则 解得或． 故的取值范围为． 47．已知函数，. (1)当时，求函数的最小值； (2)若的最大值为1，求实数的值； (3)对于任意，不等式都成立，求实数的范围. 【答案】(1) (2)或5； (3) 【分析】（1）代入后配方，结合二次函数的性质和余弦函数的值域求解即可； （2）配方后再根据对称轴的情况分类讨论即可； （3）令，利用对勾函数的单调性求出最值即可； 【详解】（1）当时，， 因为， 所以当时，函数有最小值，最小值为， （2）因为， 当，即时， 则当时，函数的最大值为， 解得（舍去），或； 当即时，则当时，函数有最大值，即，解得； 当时，即时，则当时，函数有最大值， 即，解得（舍去）. 综上，或5. （3）因为， 令，由，得， 则， 因为都成立， 所以都成立， 所以在上恒成立， 姐在恒成立， 设， 由对勾函数的性质易知函数在上为减函数， 所以， 所以. 48．如图，矩形花园中，，，是的中点，在该花园中有一花圃，其形状是以为直角顶点的，其中、分别落在线段和线段上．分别记为（），的周长为，的面积为．    (1)试求的取值范围； (2)为何值时的值为最小，并求的最小值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）首先利用三角函数表示和，再结合三角函数恒等变换，以及角的范围，即可求面积的范围； （2）根据（1）分别表示的周长，利用换元，转化为关于的函数，再求最值. 【详解】（1）由图可知在中有在中有           由得， （2）由，在中有       令，则，其中，      故且           当即时的周长 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用正确利用三角函数表示面积和周长，第二问中，有和时，利用换元法，结合同角三角函数平方关系式，表示为函数求最值. 49．已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递减区间； (2)求函数在上的最值； (3)若，求的值. 【答案】(1)，单调减区间为. (2)， (3) 【分析】（1）化简函数为，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （2）由(1)得出函数的单调递增区间，结合，和的值，即可求解；（3）根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】（1）解：由函数 ， 所以的最小正周期为， 令，可得， 所以的单调减区间为. （2）解：由(1)知，函数的单调递增区间为， 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， 且，，，所以，. （3）解：由函数，可得， 因为， 所以. 50．已知函数，对，有. (1)求的值及的单调递增区间； (2)若，，求； (3)将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若，，求实数的取值范围. 【答案】(1)，单调递增区间为（） (2) (3)或 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，根据得到方程，求出，得到函数解析式，整体法得到函数单调性； （2）根据得到，凑角法，结合正弦和角公式得到答案； （3）根据伸缩和平移变换得到，令，故，令，从而得到，因为，所以当时，，所以，解出答案. 【详解】（1）， 因为对，有，可得当时，取得最值， 所以，， 可得，，又， 所以， 所以， 由，，可得，， 所以的单调递增区间为（）. （2）由，，， 可得，， 所以， 所以. （3）将函数图象上的所有点，向右平移个单位后得到 函数的图象，进而可得， 令， 只需， 令， 因为，所以， 所以， 因为，可得， 所以， 因为，所以当时，， 所以，即，解得或. 所以实数的取值范围为或. 51．已知为锐角，为钝角，且，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式，齐次式的方法即可求值； （2）分别求出，的值即可． 【详解】（1）； （2）因为为锐角，，可得，， 由，可得， 所以， 则， 又因为，所以，而， 可得，所以． 52．已知，对任意都有， (1)求的值： (2)若当时方程有唯一实根，求的范围. (3)已知，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）由已知条件可得的图象关于直线对称，则，再结合的范围可求得结果； （2）令，则，由的单调性，将问题转化为与的图象有一个交点，结合图象从而可求出的范围； （3）由，，则令，然后将问题转化为，不等式恒成立，对变形后利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出实数的取值范围. 【详解】（1）对任意都有，则函数的图象关于直线对称， 所以，而，则，所以. （2），当时，设， 在为增函数，在为减函数， 所以方程有唯一实根， 等价于与的图象有一个交点， 由图象可知或， 所以或， 所以的范围是.    （3）由（1）知，，则， ，， 当时，，，令， 显然， 不等式， 依题意，，不等式恒成立， 显然， ，当且仅当，即时取等号， 则，所以实数的取值范围是. 53．已知函数（，，）的图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作. (1)求函数的单调减区间； (2)求函数的最小值； (3)若函数在内恰有6个零点，求的值. 【答案】(1)，；； (2) (3)或. 【分析】（1）根据所给图象求出函数的解析式，再列出关于x的不等式即可得解； （2）由（1）结合给定图象变换求出的解析式，再求出并作变形即可得解； （3）求出并令，将转化为关于t的一元二次方程，按根所在区间讨论得解. 【详解】（1）观察图象得，最小正周期为T， ，则， 而，则，， 又，于是得， 所以， 由，，得，， 所以单调递减区间为，． （2）由题意得， ， 当，即时，取最小值， 所以的最小值为； （3）依题意，， 令，可得， 令，得， 由于，即方程必有两个不同的实数根，， 且，， 由知、异号，不妨设，， ①若，则，，无解， 而在内有四个零点，不符题意； ②若，则，在内有2个零点， 而在内有4个零点， 即在内有6个零点，符合题意， 此时，得； ③若，，在有4个零点， 则在内应恰有2个零点，必有， 此时，，解得， 综上所述有或． 54．已知函数． (1)求函数的最小正周期和对称轴； (2)求函数的对称中心和单调递增区间； (3)求函数在的最值及相应的的值． 【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为 (2)对称中心为，单调递增区间为 (3)有最大值2，此时；有最小值-1，此时. 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得到，求出最小正周期，整体法求出对称轴方程； （2）整体法得到对称中心和单调递增区间； （3）由得到，结合正弦函数的性质，求出最值及相应的的值. 【详解】（1）， ，由，，得， 故函数的最小正周期为， 函数的对称轴方程为； （2）由，得 由得，， 故函数的对称中心为， 单调递增区间为； （3）由（1）知， 设， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 因此，当，即时，有最大值2； 当，即时，有最小值． （5）实际应用解答题 55．我国某5A景区自从修建了国内最长、最宽，海拔最高的“玻璃栈道”后便吸引了各地游客纷纷前来打卡（观光或消费）．某校高一数学建模社团调查发现：该旅游景点开业后第一个国庆假期，第天的游客人均消费与近似的满足函数（元），其中为正整数． (1)经调查，第天来该地的游客人数（万人）与近似的满足下表： 第（天） 1 2 3 4 5 6 7 （万人） 1.4 1.6 1.8 2 1.8 1.6 1.4 现给出以下三种函数模型：①，②，③，且．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述第天的游客人数（万人）与的关系，并求出该函数的解析式； (2)请在问题（1）的基础上，求出该景区国庆期间日营业收入（，为正整数）的最大值（单位：万元）． （注：日营业收入日游客人数人均消费） 【答案】(1)答案见解析 (2)240 【分析】（1）结合各组数据发现对称性质选择模型，待定系数法求解可得； （2）依题意函数，分段求解范围并比较可得最值. 【详解】（1）选择模型②. 理由如下：由题意知，，且为正整数. 由表格数据可知，不恒为常数，在直线上， 其余三对数据点关于直线对称， 模型①，由已知数据可知，对称轴为轴， 当时，单调递增，不满足三对数据点关于直线对称； 模型③，当时，是增函数；当时，是减函数， 不论取何值，数据的对称性都不符合； 模型②，， 故的图象关于直线对称， 因此较模型①③，更适合题意，故选择此模型. ，代入两组数据对应点， 得，，解得. 则（，为正整数）， 验证知，其他组数据对应点也在此函数图象上. （2）由题意得， ， （i）当，且为正整数时，； 在单调递减，； （ii）当，且为正整数时， ， 在单调递增，； 又，所以当时，取最大值. 综上所述，第4天该景区国庆期间日营业收入最多，最大值为万元. 56．某企业2023年9~11月份生产的产品产量（单位：千件）与收益（单位：万元）的统计数据如下表： 月份 9月 10月 11月 产品产母千件 30 40 80 收益万元 4200 4800 3200 (1)根据上表数据，从下列三个函数模型①，②，③（且）中选取一个恰当的函数模型描述该企业2023年9~11月份生产的产品产量（单位：千件）与收益（单位：万元）之间的关系，并写出这个函数关系式； (2)问该企业12月份生产的产品产量应控制在什么范围内，才能使该企业12月份的收益在4950万元以上（含4950万元）？ 【答案】(1)②， (2) 【分析】（1）首先根据函数的性质判断符合的函数，再代入表格数据，即可求解函数的解析式； （2）根据（1）的结果，列不等式，即可求解. 【详解】（1）函数及（且）均为单调函数， 根据表中数据可得与（且）均不符合题意. 取②， 将，，代入函数解析式， 则， 解得，所以. （2）根据题意得，即， 即， 解得 故该企业12月份生产的产品产量（单位：千件）应控制在内，才能使该企业12月份的收益在4950万元以上（含4950万元）. 57．后疫情时代，全民健康观念发生很大改变．越来越多人注重通过摄入充足的水果，补充维生素，提高自身免疫力．郑州某地区适应社会需求，利用当地的地理优势，发展种植某种富含维生素的珍稀果树．经调研发现：该珍稀果树的单株产量W（单位：千克）与单株用肥量x（单位：千克）满足如下关系：已知肥料的成本为10元/千克，其他人工投人成本合计元．若这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该果树的单株利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式； (2)当单株施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1) (2)当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元 【分析】（1）用单株产量乘以水果的市场售价减去肥料的成本、人工投人成本得出该果树的单株利润； （2）利用配方法、基本不等式求出的最大值可得答案． 【详解】（1）由题可知 ， ； （2）由（1）得 ， 当时，； 当时，； （当且仅当时，即时等号成立） 因为，所以当时，， 所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元. 58．某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据： 年份 2015 2016 2017 2018 投资成本 3 5 9 17 … 年利润 1 2 3 4 … 给出以下3个函数模型：①；②（，且）；③（，且）. (1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式； (2)试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型. 【答案】(1)可用③来描述x，y之间的关系， (2)该企业要考虑转型. 【分析】（1）由年利润是随着投资成本的递增而递增，可知①不符合，把，分别代入②③，求出函数解析式，再把代入所求的解析式中，若，则选择此模型； （2）由题知，则x>65，再由 与比较，可作出判断. 【详解】（1）由表格中的数据可知，年利润是随着投资成本的递增而递增，而①是单调递减，所以不符合题意； 将，代入（，且）， 得，解得，∴. 当时，，不符合题意； 将，代入（，且）， 得，解得，∴. 当时，；当时，. 故可用③来描述x，y之间的关系. （2）由题知，解得. ∵年利润，∴该企业要考虑转型. 59．2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为万元，每生产万件，需另投入成本为．当年产量不足万件时，（万元）；当年产量不小于万件时，（万元）．通过市场分析，若每件售价为元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润销售收入总成本） （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?并求出利润的最大值． 【答案】（1）；（2）年产量为万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，利润的最大值为万元． 【分析】(1)由利润销售收入总成本写出分段函数的解析式即可； （2）利用配方法和基本不等式分别求出各段的最大值，再取两个中最大的即可. 【详解】（1）当，时， ． 当，时， ． ． （2）当，时，， 当时，取得最大值（万元） 当，时， 当且仅当，即时等号成立． 即时，取得最大值万元． 综上，所以即生产量为万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为万元． 60．某小微企业去年某产品的年销售量为万只，每只销售价为元，成本为元，今年计划投入适当的广告费进行促销，预计年销售量(万只)与投入广告费(万元)之间的函数关系为，且当投入广告费为万元时，销售量万只.现每只产品的销售价为“原销售价”与“年平均每只产品所占广告费的”之和. （1）当投入广告费为万元时，要使得该产品年利润不少于万元，则的最大值是多少？ （2）若，则当投入多少万元广告费时，该产品可获最大年利润？ 【答案】（1）最大值为；（2）万元. 【解析】代入，，得；（1）投入广告费为万元时，得销售价，利用年利润等于售价减去成本和广告费列不等式求解；（2）列出年利润与广告费之间的函数关系式，再配凑成基本不等式，利用基本不等式“一正二定三相等”的步骤求解最值. 【详解】因为时，，所以，解得，所以. （1）当投入广告费为万元时，，销售价为， 年利润，得， 所以的最大值为. （2）设投入万元广告费时，该产品可获最大年利润 年利润 ， 当且仅当，即时等号成立. 【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般步骤： （1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． （2）根据题意写出函数关系式，将实际问题抽象成函数问题的模型． （3）根据题意将最值问题转化为函数最值问题或者利用基本不等式求解最值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$