专题09 高一期末多选题专项训练（11题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（四川专用）

专题09 高一期末多选题专题训练 （1）集合和常用逻辑用语 1．已知全集，集合，，则（    ） A．. B． C．. D． 2．已知集合，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法错误的是（    ） A．已知集合，则或 B．命题的否定为 C．的一个必要条件是 D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 4．下列说法不正确的是（    ） A．若函数满足，则为奇函数 B．关于的方程至少有一个实根，则 C．集合，若，则或 D．命题“”的否定为“” 5．下列说法中错误的有（   ） A．命题：，，则命题的否定是， B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题“，”是真命题 D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 6．已知集合均为的子集，若，则（ ） A． B． C． D． （2）不等式性质及一元二次函数，方程与不等式 7．下列四个条件中，能成为的充分条件的是（   ） A． B． C． D． 8．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A．3 B． C． D． 9．下列说法正确的是(   ) A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 10．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（   ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 11．已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 12．对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 13．已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 14．已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 15．下列命题正确的是（    ） A．若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是. B．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是或. C．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是. D．若，则的最小值为. 16．已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 17．对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（   ） A． B． C． D．R （3）基本不等式 18．已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．最小值为 C．的最大值是 D．的最小值是 19．已知，且，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值4 B．有最小值 C．有最小值 D．的最小值为 20．已知正数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为9 D．的最小值为 21．下列说法正确的是（   ） A．，则的最小值是2 B．，则的最小值是 C．，则的最小值是1 D．的最小值为9 22．下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 23．若正数，满足，则（    ） A． B． C． D． （4）幂函数及应用 24．幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是偶函数 C． D．函数的值域为 25．已知函数的图象经过点则（   ） A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在上单调递减 D．在内的值域为 26．（多选）幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（   ） A． B．函数在上单调递增 C．函数是偶函数 D．函数的图象关于原点对称 27．已知幂函数的图象经过点，则（    ）． A．函数为增函数 B．当时， C．函数为偶函数 D． 28．已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（    ） A． B．若时， C．若时，关于轴对称 D．恒过定点 （5）函数的概念及基本性质 29．下列说法错误的是（    ） A．函数的最小值为6 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．幂函数在上为减函数，则的值为2 D．函数是定义在上的奇函数且有最大值4 30．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．当时，在上单调递减 D．当时，为奇函数 31．下列说法正确的是（    ） A．若幂函数的图象经过点，则函数的解析式为 B．若函数，则在区间上单调递减 C．若正实数m，n满足，则 D．若函数，则对任意，，且，有 32．下列说法正确的是（    ） A．已知幂函数在上单调递减，则 B．函数在定义域内为增函数，则实数的取值范围是 C．已知，，，则恒成立 D．已知函数为奇函数，则的图象关于点中心对称 33．函数，被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．函数的值域为 34．下列各组函数中，表示同一函数的为（    ） A．， B．， C．， D．， 35．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数，被称为狄利克雷函数.则下列说法正确的是（    ） A． B．对任意，恒有成立 C．任取一个不为0的实数，对任意实数均成立 D．存在三个点，，，使得为等边三角形 36．下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是（    ） A． B． C． D． （6）抽象函数基本性质 37．已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是偶函数 38．已知函数的定义域为.且满足，当时，，，则下列结论正确的有（     ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C． D．不等式的解集为 39．已知连续函数对任意实数恒有，当时，，则以下说法中正确的是（   ） A． B．是R上的奇函数 C．在上的最大值是8 D．不等式的解集为 40．已知函数的定义域为R，满足．则（    ） A． B．函数为偶函数 C． D．的一个周期为2 41．是定义在R上的偶函数，当时，，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递增区间为 B． C．的最大值为4 D．的解集为 42．已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（   ） A． B．为奇函数 C．在R上单调递减 D．当时， 43．已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 44．在下列函数中，最小值是2的是（    ） A． B． C． D． 45．已知函数，则（    ） A． B．为奇函数 C．在区间上单调递增 D．集合的元素个数为4 46．函数是物理中常见的锯齿波函数，其中表示不大于x的最大整数，标准锯齿波波形先呈直线上升，随后陡落，再上升，再陡落，如此反复．下列说法正确的有（   ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数的值域为 D．函数为周期函数 （7）指数函数及应用 47．已知函数，则下列结论 ①函数在R上为增函数；②函数过定点； ③函数为偶函数；④当时，函数的最小值是0． 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 48．下列结论中正确的是 （        ） A．若幂函数的图象经过点，则 B．函数且的图象必过定点 C．函数的单调增区间是 D．若幂函数，则对任意、，都有 49．若函数的图象过第一，三，四象限，则（    ） A． B． C． D． 50．对于函数，则（    ） A．与具有相同的最小值 B．与在上具有相同的单调性 C．与都是轴对称图形 D．与在上具有相反的单调性 51．已知函数，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的取值范围为 52．设函数则下列结论正确的是（    ） A．在区间上为增函数 B．为偶函数 C．的值域为 D．不等式 的解集为 53．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 54．已知函数，则（   ） A．不等式的解集是 B．，都有 C．是R上的递减函数 D．的值域为 55．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．在上单调递增 56．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，则（   ) A． B．函数在其定义域上是增函数 C．若实数满足不等式，则的取值范围是 D．函数的值域为 57．若函数 是定义在 上的偶函数，当 时，，则（    ） A． B．当时， C． D．的解集为 （8）对数函数及应用 58．下列结论正确的有（   ） A． B． C． D．若，则. 59．下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 60．已知函数且，则（    ） A． B． C．的最小值为 D． 61．已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 62．设函数，，下列关于和的性质，正确的是（    ） A．对任意的，， B．对任意的，且， C．函数是定义域为的奇函数 D．函数在定义域上是增函数 63．关于函数，下列结论正确的是（    ） A．若函数，则与是相等函数 B．是奇函数 C．的图象关于对称 D．在单调递增 64．已知实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 65．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数是定义域上的奇函数 D．函数是定义域上的偶函数 66．下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 67．若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 68．已知函数则下列说法正确的有（    ） A．当时，函数的定义域为 B．函数有最小值 C．当时，函数的值域为R D．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 69．已知函数.则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．对定义域内的任意两个不相等的实数，恒成立. D．若实数满足，则 70．若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是0 D．的最大值是 71．地震释放的能量E与地震震级M之间的关系式为，2022年9月18日我国台湾地区发生的6.9级地震释放的能量为，2023年1月28日伊朗西北发生的5.9级地震释放的能量为，2023年2月6日土耳其卡赫拉曼马拉什省发生的7.7级地震释放的能量为，下列说法正确的是（    ） A．约为的10倍 B．超过的100倍 C．超过的10倍 D．低于的10倍 （9）函数应用 72．已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．若方程有5个不同的实根，则 D．若方程有5个不同的实根，则 73．设，函数，则（    ） A．当时，的最小值为 B．对任意的至少存在一个零点 C．存在，使得有三个不同零点 D．对任意的在上是增函数 74．已知函数关于的方程有从小到大排列的四个不同的实数根，若，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最大值为 75．已知函数，则关于的方程根的个数可能是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 76．已知函数其中，且，则（    ） A． B．函数有2个零点 C． D． 77．吸光度是指物体在一定波长范围内透过光子的能量占收到光能量的比例.透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例.在实际应用中，通常用吸光度和透光率来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为，如表为不同玻璃材料的透光率： 玻璃材料 材料1 材料2 材料3 0.6 0.7 0.8 设材料1､材料2､材料3的吸光度分别为，则（    ） A． B． C． D． 78．已知函数，则（       ） A．函数有3个零点 B．若函数有2个零点，则 C．若关于的方程有4个不等实根，，，，则 D．关于的方程有5个不等实数根 79．已知函数，若函数有5不同的零点，则实数的值可能是（ ） A． B． C． D． 80．已知函数，，，，是函数的4个零点，且，则（   ） A．的取值范围是 B． C．的取值范围为 D．的最大值是 81．已知函数，则（    ） A．的值域为 B．若有个零点，则或 C．若有个零点，则或 D．若的个零点分别为：，，，则的取值范围为 82．设函数若关于的方程有四个不同的解，，，，且，则（    ） A． B． C． D． 83．设函数，若关于的函数恰好有个零点，则下列说法正确的是（     ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 （10）三角函数图像与性质的应用 84．已知函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（   ） A．的最小正周期为 B．是的最小值 C．在区间上的值域为 D．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 85．已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A． B．在区间有两个零点 C．直线是曲线的对称轴 D．在区间单调递增 86．已知函数，下列选项正确的有（     ） A．的最小正周期为 B．函数的单调递增区间为 C．在区间上只有一个零点 D．函数在区间的值域为 87．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的最小正周期为 C．是函数图象的一条对称轴 D．函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 88．已知是函数的一个零点.则（    ） A． B．函数的值域为 C．函数的单调递减区间为 D．不等式的解集为 89．已知函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的图象关于点中心对称 C．是偶函数 D．在上恰有4个零点 90．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，其提供阻力的运动过程可近似为单摆运动．若某阻尼器离开平衡位置的位移（单位：）和时间（单位：）满足函数关系：（，，），某同学通过“五点法”计算了一个周期内的部分数据如下（其中，，，为未知数），则下列有关函数的描述正确的是（    ） 0 0 0 0 A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到 C．函数的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4 D．函数的图象与函数的图象重合 91．已知函数，则（    ）. A．函数的最小正周期为 B．直线是函数的图象的一条对称轴 C．若时，恒成立，则实数的取值范围为 D．将函数的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若时，函数有且仅有5个零点，则实数的取值范围为 92．已知函数，其中，下列命题中正确的是（    ） A．若，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 B．若，曲线与曲线在区间上的交点个数为6 C．若在上有且仅有5个零点，则的取值范围是 D．若在上有且仅有5个零点，则在单调递增 （11）三角恒等变式 93．已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 94．已知，，则（   ） A． B． C． D． 95．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 96．下列四个式子中，计算正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 97．已知，则（    ） A． B． C． D． 98．下列选项中正确的有（    ） A．若 是第二象限角，则 B． C． D． 99．已知，其中为锐角，则（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 高一期末多选题专题训练 （1）集合和常用逻辑用语 1．已知全集，集合，，则（    ） A．. B． C．. D． 【答案】AB 【分析】根据条件，先解不等式求出集合及其补集，再利用集合的运算，对各个选项分析判断，即可求解. 【详解】因为全集，集合，， 所以或，， ，， 所以，，， ，故选项AB正确，CD错误. 故选：AB 2．已知集合，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】求出函数的定义域、值域化简集合，再结合集合的运算判断ABC；利用元素特征判断D. 【详解】函数中，，则， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，集合的元素是数，集合的元素是有序实数对，因此，D正确. 故选：BCD 3．下列说法错误的是（    ） A．已知集合，则或 B．命题的否定为 C．的一个必要条件是 D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ABC 【分析】利用补集运算判断A，根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断B，根据必要条件定义判断C，根据抽象函数定义域法则求解判断D. 【详解】由补集的概念知，当时，或，故A错误； 命题的否定为，故B错误； 因为是的真子集，所以的一个充分不必要条件是，故C错误； 由，得，所以的定义域为，故D正确． 故选：ABC 4．下列说法不正确的是（    ） A．若函数满足，则为奇函数 B．关于的方程至少有一个实根，则 C．集合，若，则或 D．命题“”的否定为“” 【答案】AC 【分析】对选项A，设出函数，，即可判断A错误，对选项B，分类讨论和时，即可判断B正确，对选项C，根据条件得到，再求解即可判断C错误，对选项D，根据全称量词命题的否定是存在命题即可判断D正确. 【详解】对选项A，设，，满足，此时不是奇函数， 故A错误. 对选项B，当时，，，满足题意， 当时，，解得且. 综上，故B正确. 对选项C，，， 当时，，满足. 当时，，所以或，解得或. 综上：或或，故C错误. 对选项D，命题“”的否定为“，故D正确. 故选：AC 5．下列说法中错误的有（   ） A．命题：，，则命题的否定是， B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题“，”是真命题 D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】ABC 【分析】需要根据命题的否定、充分必要条件的判断以及方程根的情况，逐个分析每个选项，根据相关的数学概念和定理来判断其正误. 【详解】对于A选项，对于命题，其否定应该是.所以A选项错误.   对于B选项，当时，，，满足，但是. 反之，当时，例如，此时，，. 所以是“”的既不充分也不必要条件，B选项错误.   对于C选项，当时，，但是，不满足. 所以命题是假命题，C选项错误.   对于D选项，对于方程，若方程有一正一负根，则根据,即.且满足韦达定理，两根之积，即. 取交集得到. 反之，当时，方程的判别式，方程有两个不同的根，且两根之积，所以方程有一正一负根. 所以是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，D选项正确.   故选：ABC. 6．已知集合均为的子集，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意，画出韦恩图，结合韦恩图和选项，逐一判断，即可得到答案. 【详解】因为集合 均为的子集，且， 画出韦恩图，如图所示： 结合图像：由，所以A正确；由 ，所以B错误； 由 ，所以C错误；由，所以D正确. 故选：AD. （2）不等式性质及一元二次函数，方程与不等式 7．下列四个条件中，能成为的充分条件的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用充分条件的定义，结合已知及指数函数、对数函数单调性逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则，是的充分条件，A正确； 对于B，若，则，是的必要不充分条件，B错误； 对于C，当时，则，是充要条件，C正确； 对于D，，则，即是的充分条件，D正确. 故选：ACD 8．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】令或，，依题意可得真包含于，即可求出参数的取值范围. 【详解】令或，， 因为“或”是“”的必要不充分条件， 所以真包含于，所以或， 解得或，结合选项可知符合题意的有B、C、D. 故选：BCD 9．下列说法正确的是(   ) A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】利用不等式的性质和举反例的方法即可判断对错. 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B，当时，有，，但此时， 故选项B错误； 对于选项C，当时，有，，但此时， 故选项C错误； 对于选项D，，，再由不等式的同项可加性，和可得，故选项D正确. 故选：AD 10．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（   ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【答案】AD 【分析】根据的解集为或，得到然后逐项判断. 【详解】对A，∵的解集为或， ∴解得故选项A成立； 对B，可化为，即， 故的解集为，故选项B不成立； 对C，，故选项C不成立； 对D，可化为，即， 其解集为，故选项D成立. 故选：AD. 11．已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【答案】AB 【分析】已知关于x的不等式的解集为，则，用a表示出b、c，然后结合一元二次不等式的解法判断B选项，判断C，将化简为即可利用基本不等式进行求解判断D. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以，4是方程的两根，且，故A正确； 所以，解得， 所以，即，则，解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 而，故C错误； 因为，，，所以， 则， 当且仅当，即或时，等号成立， 与矛盾，所以取不到最小值，故D错误. 故选：AB 12．对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】通过与0和-1的大小关系分别计算即可. 【详解】对于一元二次不等式， 当时，函数的图象开口向上，与轴的交点为，，故不等式的解集为. 当时，函数的图象开口向下， 若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为. 故选：ABCD. 13．已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】依题意可得和为关于的方程的两根且，利用韦达定理得到，即可得到，从而判断A；再利用基本不等式判断B、C、D. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以和为关于的方程的两根且， 所以，所以，所以，故A正确； 又，所以，解得，当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为，故B正确； ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故C正确； 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为，故D错误. 故选：ABC 14．已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】根据一元二次不等式的解特征即可求解A，根据一元二次解恒成立，即可分类讨论求解B，根据恒成立，利用一次函数的性质即可求解C，根据二次函数的图象特征即可求解D. 【详解】当时，由，解得，故A错误； 若不等式对恒成立，则当时，恒成立， 当时，，且，解得， 综上，， 则整数的取值集合为，故B正确； 若不等式对恒成立，则， 即解得，故C正确； 若恰有一个整数使得不等式成立，则，又因为，且对称轴为，所以该整数解为， 结合二次函数的图象，可得即解得，故D正确. 故选：BCD 15．下列命题正确的是（    ） A．若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是. B．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是或. C．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是. D．若，则的最小值为. 【答案】ABD 【分析】对于A，原问题等价于，解一元二次不等式即可验证；对于B，首先得，然后解分式不等式即可验证；对于C，原问题等价于在上恒成立，由此即可验证；对于D，首先由基本不等式得，然后由即可验证，注意取等条件是否成立. 【详解】对于A，二次函数，开口向上， 若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小， 则，解得，故A正确； 对于B，若关于x的不等式的解集是，则， 所以关于x的不等式或，故B正确； 对于C，若关于x的不等式在上恒成立， 则只需，即在上恒成立即可， 则实数k的取值范围是，故C错误；‘ 对于D，若，则，解得，等号成立当且仅当， 所以，等号成立当且仅当，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：A选项的关键是得，B选项的关键是得，C选项的关键是得在上恒成立，D选项的关键是利用基本不等式得，然后适当变形即可求解. 16．已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】根据一元二次不等式解集与方程的根的对应关系可得，即A正确，B错误，再代入解不等式可判断C正确，D错误. 【详解】依题意可得方程的两根分别为或，且； 由韦达定理可得，即； 对于A，由可得，即A正确； 对于B，易知，即B错误； 对于C，不等式即为，同时除以即可得， 所以不等式的解集为，即C正确； 对于D，不等式即为，也即； 所以，解得或， 即不等式的解集为或，可得D错误. 故选：AC 17．对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（   ） A． B． C． D．R 【答案】AB 【分析】讨论参数，得到一元二次不等式的解集，进而判断选项的正误． 【详解】由，分类讨论a如下： 当时，； 当时，； 当时，或； 当时，； 当时，或． 故选：AB． （3）基本不等式 18．已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．最小值为 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】BC 【分析】利用基本不等式即可得到A；二元换一元，代入 ，利用二次函数求出最值，得出B选项；利用即可得到C选项；利用“1”的妙用得出D. 【详解】对于A，∵，且，∴，即时，等号成立， 即的最大值是，故A不正确； 对于B，∵，∴，， 所以，故B正确； 对于C，∵，且，∴，即 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，∵， 即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误． 故选：BC． 19．已知，且，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值4 B．有最小值 C．有最小值 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式可判断各选项. 【详解】A选项：由，得，当且仅当，即，时取等号，故A选项正确； B选项：，当且仅当，即，时取等号，故B选项正确； C选项：由，得， 所以， 当且仅当，即，时取等号，故C选项错误； D选项：由A的分析知且，时取等号， 所以，当且仅当，即，时取等号，故D选项正确； 故选：ABD． 20．已知正数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为9 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据均值不等式分别建立不等式解不等式可判断AB，先变形为关于的二次函数求最值判断C，利用条件变形可得，转化为关于的式子由均值不等式判断D. 【详解】由正数满足，可得，解得，即， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 由正数满足，可得， 解得或（舍去），当且仅当，即时等号成立，故B正确； ，由A知， 由二次函数的单调性知，即时，的最小值为8，故C错误； 由可得，即，所以， 所以，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 21．下列说法正确的是（   ） A．，则的最小值是2 B．，则的最小值是 C．，则的最小值是1 D．的最小值为9 【答案】BD 【分析】根据选项式子的特点，利用函数单调性或者基本不等式可得答案. 【详解】对于A，当时，，A不正确； 对于B，，令，则， 由对勾函数的单调性可知，当时，为增函数，所以的最小值是，B正确； 对于C，令，由得，， 由对勾函数的单调性可知，当时，为增函数，所以的最小值是，C不正确； 对于D，由可得，， 当且仅当，即时，取到等号，D正确. 故选：BD. 22．下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：令，则，，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C：，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D：由题意得，故， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：CD. 23．若正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用基本（均值不等式）可判断ABD的真假；设函数（），分析其单调性，可判断C的真假. 【详解】因为，且，所以（当且仅当时取“”）. 所以，故A正确； ，故B正确； 设（），则在上恒成立，所以函数在上单调递增，所以， 所以成立，故C正确； 又，又，所以，即，故D错误. 故选：ABC （4）幂函数及应用 24．幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是偶函数 C． D．函数的值域为 【答案】ABD 【分析】根据幂函数定义和性质，函数值求解，偶函数的判定即可逐个选项判断. 【详解】因为是幂函数，且， 所以，可得，则，A正确； 又定义域为，，B正确； 又，，C错误； 由，可知D正确. 故选：ABD 25．已知函数的图象经过点则（   ） A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在上单调递减 D．在内的值域为 【答案】CD 【分析】由已知求得函数解析式，再根据幂函数的性质判断． 【详解】由题意，则，∴， ∴是奇函数，图象关于原点对称，在上是减函数，值域为， ， 故选：CD 26．（多选）幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（   ） A． B．函数在上单调递增 C．函数是偶函数 D．函数的图象关于原点对称 【答案】ABD 【分析】根据幂函数的定义和单调性可得，即可根据奇偶函数的定义判定为奇函数，结合选项即可逐一求解. 【详解】因为幂函数在上是增函数， 所以解得，所以， 所以，故为奇函数，函数图象关于原点对称， 所以在上单调递增,ABD正确，C错误 故选：ABD． 27．已知幂函数的图象经过点，则（    ）． A．函数为增函数 B．当时， C．函数为偶函数 D． 【答案】CD 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再结合幂函数的性质逐项判断即得. 【详解】设幂函数，则，解得，， 对于A，函数在上单调递减，在上单调递增，A错误； 对于B，当时，，B错误； 对于C，函数的定义域为，，函数为偶函数，C正确； 对于D，，，D正确. 故选：CD 28．已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（    ） A． B．若时， C．若时，关于轴对称 D．恒过定点 【答案】BC 【分析】根据幂函数的定义及性质，即可得到各选项的判断. 【详解】对于A，因为是幂函数，所以，故A是错误的； 对于B，当时，，根据幂函数性质可知，此时是增函数，即，故B是正确的； 对于C，当时，，满足，所以是偶函数，故C是正确的； 对于D，根据幂函数性质可知恒过定点，故D是错误的； 故选：BC. （5）函数的概念及基本性质 29．下列说法错误的是（    ） A．函数的最小值为6 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．幂函数在上为减函数，则的值为2 D．函数是定义在上的奇函数且有最大值4 【答案】ACD 【分析】对于A，令，则 ，利用对勾函数的性质进行判断；对于B，由抽象函数的定义域的求法进行判断；对于C，则幂函数的性质进行判断；对于D，根据奇函数的定义及性质进行判断. 【详解】解：对于A，令，则 ， 是对勾函数，且在内单调递增， 所以当时，，所以的最小值为 ，故A错误； 对于B，，，则函数的定义域为，故B正确； 对于C，由题意可得 ，且，解得m=1 ，故C错误； 对于D，当时，，； 当时，，； 所以是定义在上的奇函数， 当时，，当时，取等号； 所以当时，函数有最大值4； 又因为函数是R上的奇函数， 所以当时，函数有最小值-4； 综上函数是定义在上的奇函数且有最大值4，故D正确. 故选：ABC. 30．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．当时，在上单调递减 D．当时，为奇函数 【答案】ACD 【分析】对于A，直接求解函数的定义域判断，对于B，分析函数的值域判断，对于C，由函数图象平移规律分析判断，对于D，根据函数奇偶性的定义分析判断. 【详解】对于A，由，得，所以的定义域为，所以A正确， 对于B，， 当时，，所以的值域为， 当时，，所以的值域为， 所以B错误， 对于C，因为， 所以的图象可以由向左平移2个单位，向上或向下平移个单位得到， 当时，，因为在上递减， 所以在上单调递减，所以C正确， 对于D，当时，，设，定义域为， 因为，所以为奇函数，所以D正确. 故选：ACD 31．下列说法正确的是（    ） A．若幂函数的图象经过点，则函数的解析式为 B．若函数，则在区间上单调递减 C．若正实数m，n满足，则 D．若函数，则对任意，，且，有 【答案】ACD 【分析】根据待定系数法求解即可判断A；结合幂函数的单调性性质判断B；根据幂函数的单调性判断C；根据作差法比较大小即可判断D. 【详解】解：对于选项A，设幂函数为，代入点，即，解得，所以幂函数的解析式为，故A正确； 对于选项B，函数是偶函数且在区间上单调递减，所以函数在区间上单调递增，故B错误； 对于选项C，因为函数在上单调递增，，满足， 所以， 因为函数在上单调递减，则，故C正确； 对于选项D，由于，,\ 则，，， 所以 ， 所以，故D正确. 故选：ACD． 32．下列说法正确的是（    ） A．已知幂函数在上单调递减，则 B．函数在定义域内为增函数，则实数的取值范围是 C．已知，，，则恒成立 D．已知函数为奇函数，则的图象关于点中心对称 【答案】AC 【分析】利用幂函数定义及性质求出判断A；利用分段函数单调性求出的范围判断B；作差与0比较判断C；求出函数对称中心坐标判断D. 【详解】对于A，依题意，，解得，A正确； 对于B，依题意，，解得，B错误； 对于C，依题意， ，C正确； 对于D，依题意，，， 即，令，则，， 所以的图象关于点中心对称，D错误. 故选：AC 33．函数，被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．函数的值域为 【答案】BD 【分析】根据函数解析式判断A、D，利用特殊值判断B、C. 【详解】因为， 对于A：，则，所以，则，故A错误； 对于B：当，则，则，故B正确； 对于C：若，，则，满足，但是，故C错误； 对于D：因为，所以函数的值域为，故D正确. 故选：BD 34．下列各组函数中，表示同一函数的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相同即可逐一判断. 【详解】对A，两个函数的定义域都为，且， 对应关系相同，是同一函数，A正确； 对B，定义域为，的定义域为， 故两个函数的定义域不相同，不是同一函数，B错误， 对于C, 两个函数的定义域均为，， 故两个函数的对应关系相同，是同一函数，C正确； 对于D，两个函数的定义域都为，且， 对应关系相同，是同一函数，D正确； 故选：ACD． 35．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数，被称为狄利克雷函数.则下列说法正确的是（    ） A． B．对任意，恒有成立 C．任取一个不为0的实数，对任意实数均成立 D．存在三个点，，，使得为等边三角形 【答案】BD 【分析】分别讨论为有理数与为无理数时的情况逐一分析判断ABC；取，得，判断D作答. 【详解】依题意，当为有理数时，，当为无理数时，，因此恒成立，A错误； 当是有理数时，，当是无理数时， 所以对任意，恒有成立，B正确； 若是无理数，当是有理数时，则是无理数，有，而，此时，C错误； 取，得，， 此时，即为等边三角形，D正确. 故选：BD 36．下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】分别解出相应的定义域和值域. 【详解】对A，要使函数有意义，则，解得，该函数定义域为， 当时，，则，即该函数值域为，A正确； 对B，要使函数有意义，则真数，函数定义域为，又，即该函数值域为，B不正确； 对C，要使函数有意义，则，解得，该函数定义域为， 因为，所以函数为增函数， 当时，，此时；当时，，此时. 即该函数值域为，C不正确； 对D，要使函数有意义，则解得，该函数定义域为， 因为，显然，即，即该函数值域为，D正确. 故选：AD. （6）抽象函数基本性质 37．已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是偶函数 【答案】BD 【分析】利用奇偶性的定义来进行判断即可. 【详解】因为两个函数的定义域都是，所以下列函数的定义域都关于原点对称， 对于A选项，因为且， 所以既不是奇函数也不是偶函数，故A错误； 对于B选项，因为，所以是奇函数，故B正确； 对于C选项，因为，所以是奇函数，不是偶函数，故C错误； 对于D选项，因为，所以是偶函数，故D正确. 故选：BD. 38．已知函数的定义域为.且满足，当时，，，则下列结论正确的有（     ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】令，求得的值，再令得到；由函数单调性的定义法判断函数的单调性；令，得到，由此递推出；由题中等量关系化简不等式得，由函数单调性列出不等式，解的解集. 【详解】选项A，令，则，则；令，则， 所以，所以不是奇函数，A选项错误； 选项B，，，且，因为，所以； 又因为当时，，所以，所以， 故在上的单调递增，B选项正确； 选项C，令，则有，所以，，，…，， 将以上式子相加可得：，C选项正确； 选项D，因为，所以原不等式可化为； 由选项C可知，所以原不等式可化为； 因为在上单调递增，所以，解得，D选项正确. 故选：BCD. 39．已知连续函数对任意实数恒有，当时，，则以下说法中正确的是（   ） A． B．是R上的奇函数 C．在上的最大值是8 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】根据函数对任意实数恒有，令，可得，判断奇偶性和单调性，即可判断选项. 【详解】对于A，函数对任意实数恒有， 令，可得，A正确； 对于B，令，可得，所以， 所以是奇函数；B正确； 对于C，令，则， 因为当时，， 所以，即， 所以在均递减， 因为，所以在上递减； ，可得； 令， 可得 ， ； ， 在上的最大值是6，C错误； 对于D，由不等式的可得， 即， ， ， 则， ， 解得：或；D对； 故选：ABD． 40．已知函数的定义域为R，满足．则（    ） A． B．函数为偶函数 C． D．的一个周期为2 【答案】BC 【分析】令，计算可判断A；令，可得判断B；令，结合B可求得判断C；令，可得，进而可得的一个周期为12，令，计算可判断D. 【详解】令，则，所以，A选项错误； 令，则，即，故是偶函数，B选项正确； 由B可得，令，则． 令，则，所以， 所以．因为，所以，C选项正确； 令，则， 所以，故， 所以，所以的一个周期为12， 令，则，可得或），D选项错误. 故选：BC． 41．是定义在R上的偶函数，当时，，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递增区间为 B． C．的最大值为4 D．的解集为 【答案】ABD 【分析】A.由两个单调区间不能合并判断；B.由是定义在R上的偶函数和二次函数的性质判断；C.由时，结合是偶函数判断；D.利用函数图象判断. 【详解】A.两个单调区间中间要用和分开，故A错误； B. 因为是定义在R上的偶函数，所以， 又在上单调递减，则，故B错误； C.当时，，最大值为4， 又因为是偶函数，所以的最大值为4，故C正确； D. 如图所示：的解集为，故D错误． 故选：ABD． 42．已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（   ） A． B．为奇函数 C．在R上单调递减 D．当时， 【答案】ABD 【分析】A选项，赋值法得到，，；B选项，先赋值得到，令得，故B正确；C选项，令，且，当时，，故，从而在R上单调递增；D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确. 【详解】A选项，中， 令中，令得， 令得，即，A正确； B选项，中，令得，解得， 中，令得， 故为奇函数，B正确； C选项，中，令，且， 故，即， 当时，，故， 即，故在R上单调递增，C错误； D选项， 由A知，， 又，故，又在R上单调递增，所以，D正确. 故选：ABD 43．已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用函数奇偶性的定义判断可得结论. 【详解】因为的定义域为，又因为，所以是偶函数；故A是偶函数； 令，则，所以是偶函数，故B是偶函数； 令，则，所以是偶函数，故C是偶函数； 令，则，所以是奇函数，故D是奇函数． 故选：ABC. 44．在下列函数中，最小值是2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式、单调性和二次函数的性质即可求解. 【详解】对于选项A，的定义域为，当时，， 当且仅当，即时，等号成立，此时的最小值为， 但当时，，当且仅当，即时，等号成立， 此时的最大值为，故A错误； 对于选项B，的定义域为，由， 得，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，故B正确； 对于选项C，由在上单调递增，得在上单调递减， 当时，取得最小值为，故C正确； 对于选项D，，由二次函数的性质知，的对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值为，故D正确. 故选：BCD. 45．已知函数，则（    ） A． B．为奇函数 C．在区间上单调递增 D．集合的元素个数为4 【答案】ABD 【分析】对于A直接计算即可，对于B验证，对于C先证明上的单调性，再根据奇偶性得到 上的单调性，对于D把问题转化方程解的个数的判断. 【详解】对A，，故A正确； 对B，的定义域为，关于原点对称，，所以为奇函数，故B正确； 对C，当时，，，根据单调递增，所以在单调递减， 又因为是奇函数，所以在单调递减，且，所以在上单调递减，故C错误；   对D，得：， 当时，方程可化为， 因为，此时，方程的两根满足，可以说明， 所以当时，有两个不相等正根， 当时，方程可化为， 因为，此时，方程的两根满足，可以说明， 所以当时，有两个不相等的负根， 综上所述，方程有四个不相等的实数解，即集合有个元素，故D正确. 故选：ABD 46．函数是物理中常见的锯齿波函数，其中表示不大于x的最大整数，标准锯齿波波形先呈直线上升，随后陡落，再上升，再陡落，如此反复．下列说法正确的有（   ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数的值域为 D．函数为周期函数 【答案】AB 【分析】令，代入求解即可判断A；求出的周期即可判断B；求出值域即可判断C；根据图象判断D 【详解】令，则， ，而，故A对； ，即， 所以是周期函数，1是一个周期， 设是函数一个周期， 即，所以， 故函数的周期为整数，而1是最小的正整数，故的最小正周期为1， 根据图象的伸缩变换，的图象是由图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，所以函数的最小正周期为，故B对； 由，所以的值域为， 而，又， 即函数的值域为，故C错； 当时，，所以， 当时，，，所以， ， 随增大而增大 故不是周期函数，故D错 故选：AB （7）指数函数及应用 47．已知函数，则下列结论 ①函数在R上为增函数；②函数过定点； ③函数为偶函数；④当时，函数的最小值是0． 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】判断函数的单调性可判断①；利用指数函数所过的定点代入即可判断②；利用奇偶性的定义即可判断③；判断函数的单调性即可判断④. 【详解】对于A，当时，函数单调递增，函数单调递减，所以在R上为增函数， 当时，函数单调递减，函数单调递增，所以在R上为减函数， 错误； 对于②，当时，，即函数过定点，正确； 对于③，由函数可得：，解得：， 故函数的定义域是，关于原点对称， 因为， ， 所以 ，即原函数为偶函数，正确； 对于④，当时， 故在上为减函数，在上为增函数， 所以当时，取得最小值0，正确. 故选：D. 【点睛】易错点点睛：在判断函数奇偶性的时候要注意先判断函数定义域是否关于原点对称. 48．下列结论中正确的是 （        ） A．若幂函数的图象经过点，则 B．函数且的图象必过定点 C．函数的单调增区间是 D．若幂函数，则对任意、，都有 【答案】BCD 【分析】利用幂函数的定义可判断A选项；利用可判断B选项；利用复合函数法可判断C选项；利用作差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，设幂函数的解析式为， 由题意可得，解得，则，A错； 对于B选项，因为， 所以，函数且的图象必过定点，B对； 对于C选项，因为内层函数的增区间为，减区间为， 外层函数为减函数，故函数的增区间为，C对； 对于D选项，幂函数，对任意的，则， 则对任意、， ， ， 所以， ， 所以，，可得， 所以，，D对. 故选：BCD. 49．若函数的图象过第一，三，四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】作出函数大致图象，结合指数函数性质可构造不等式求得结果. 【详解】由题意可知：函数大致图象如下图所示， 若，则的图象必过第二象限，不符合题意，所以． 当时，要使的图象过第一、三、四象限，，解得． 故选：BC． 50．对于函数，则（    ） A．与具有相同的最小值 B．与在上具有相同的单调性 C．与都是轴对称图形 D．与在上具有相反的单调性 【答案】AC 【分析】在同一坐标系中，作出函数，的图像，进而对四个选项一一作出判断. 【详解】A选项，在同一坐标系中，作出函数，的图像如图所示， 由图可知与的最小值都为1，A项正确； B选项，在上单调递增，在上不单调，B项错误； C选项，的图像关于直线对称，的图像关于直线对称，C项正确； D选项，与在上均单调递减，D项错误. 故选：AC 51．已知函数，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】CD 【分析】作出函数图像判断A，举反例判断B，转化为一元函数，利用二次函数的性质判断C，指数函数的性质判断D即可. 【详解】结合函数的图象可知，，    由，得不出，故A错误， 令，此时，但是，故B错误. 因为，所以，所以，则， 又，所以， 由二次函数性质得在上单调递增，故，所以C正确. 因为，所以，故， 令，由指数函数性质得在上单调递增， 所以的取值范围为，故D正确. 故选：CD 【点睛】关键点点睛：本题考查求多变元表达式的范围，解题关键是合理利用函数图像找到变量关系，构造一元函数，然后利用指数函数的性质得到所要求的取值范围即可． 52．设函数则下列结论正确的是（    ） A．在区间上为增函数 B．为偶函数 C．的值域为 D．不等式 的解集为 【答案】BCD 【分析】由定义判断B；由单调性以及偶函数的性质逐一判断ACD. 【详解】函数的定义域为，，所以为偶函数，故B正确； 当时，易知，函数在上单调递减， 由对称轴可知，函数在上单调递增，，且， 则的值域为，故A错误，C正确； 不等式 等价为，则，解得， 即不等式 的解集为，故D正确； 故选：BCD 53．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】A选项，不满足单调性；BC选项，判断出函数为偶函数，且在上单调递增；D选项，不满足奇偶性. 【详解】A选项，，故在上单调递减，A错误； B选项，的定义域为R，且， 故为偶函数， 当时，，在上单调递增，B正确； C选项，定义域为， ，故为偶函数， 又在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递增，C正确； D选项，定义域为R，， 故为奇函数，D错误. 故选：BC 54．已知函数，则（   ） A．不等式的解集是 B．，都有 C．是R上的递减函数 D．的值域为 【答案】AD 【分析】由题意可得，利用绝对值不等式、指数不等式的解法计算即可判断A；利用奇偶函数的定义计算即可判断B；举例说明即可判断C；根据指数型函数的值域的求法计算即可判断D. 【详解】A：，由，得，即， 得，解得，即原不等式的解集为，故A正确； B：，故B错误； C：，所以在R上单调递减不成立，故C错误； D：由知，即函数的值域为，故D正确. 故选：AD 55．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】由已知结合指数函数的性质及函数图象的平移可求，进而可求函数解析式，根据解析式分析相关的性质. 【详解】函数的图象过原点，则，即， 函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交，故是图象的一条渐近线， 则， ，A选项正确，B选项错误； 函数，定义域为R， ，是偶函数，C选项正确； 时，，所以在上单调递减，D选项错误； 故选：AC 56．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，则（   ) A． B．函数在其定义域上是增函数 C．若实数满足不等式，则的取值范围是 D．函数的值域为 【答案】BC 【分析】求出函数的解析式，再结合指数函数性质，逐项分析判断即可. 【详解】依题意，， 对于A，，A错误； 对于B，函数的定义域为R，显然函数在R上单调递增， 函数在R上单调递减，因此函数在R上单调递增，B正确； 对于C，显然，则不等式， 由选项B知，，解得，因此的取值范围是，C正确； 对于D，，则，即有，因此函数的值域为，D错误. 故选：BC 57．若函数 是定义在 上的偶函数，当 时，，则（    ） A． B．当时， C． D．的解集为 【答案】BCD 【分析】由时，可得，则A可判断；当时，，，再结合奇偶性可得的解析式，则B可判断；结合B选项的解析即可求，则C可判断；当时，由，得，再由奇偶性可得的解集，则D可判断. 【详解】是上的偶函数， 当 时，，所以，故A错误； 当时，，，故正确； ，故正确； 当时，由，得， 又函数的图象关于轴对称，所以的解集为，故D正确； 故选：. （8）对数函数及应用 58．下列结论正确的有（   ） A． B． C． D．若，则. 【答案】AC 【分析】根据对数的运算法则及换底公式一一计算可得. 【详解】对于A：， ， 所以，故A正确； 对于B：， ， 所以，故B错误； 对于C： ，故C正确； 对于D：因为， 所以，， 所以，故D错误. 故选：AC 59．下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对A，根据指数函数以及即可判断；对B，根据指数函数性质即可判断；对C，根据对数函数、指数函数即可判断；对D，根据对数函数换底公式即可判断. 【详解】对A，根据指数函数以及，可得，故A错误； 对B，根据指数函数性质即可判断；底数大于1时是增函数，底数越大增的越快即越大，故B正确； 对C，因为，，故C错误； 对D， ，故D正确. 故选：BD 60．已知函数且，则（    ） A． B． C．的最小值为 D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，可得，利用对数运算性质计算判断AB；变形给定的式子，借助对勾函数的单调性判断CD. 【详解】函数，由，得， 对于AB，，则，解得，A正确，B错误； 对于C，在上单调递增，则，C错误； 对于D，， 而在上单调递增，，因此，D正确. 故选：AD 61．已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式，结合指数、对数函数单调性逐项判断即可. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C错误； 对于D， ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 62．设函数，，下列关于和的性质，正确的是（    ） A．对任意的，， B．对任意的，且， C．函数是定义域为的奇函数 D．函数在定义域上是增函数 【答案】AC 【分析】根据对数的运算性质分析A，由基本不等式分析B，由函数奇偶性的判断方法分析C，由复合函数单调性的判断方法分析D． 【详解】对于A：对任意的，，，故A正确； 对于B：对任意的，且，，， 由基本不等式，由于，且，， 即，故B错误； 对于C，，必有，解可得，即函数的定义域为， 又由，即函数是定义域为的奇函数，故C正确； 对于D，，设，易得在区间上为减函数， 而在其定义域上为增函数，故函数在定义域上是减函数，故D错误． 故选：AC． 63．关于函数，下列结论正确的是（    ） A．若函数，则与是相等函数 B．是奇函数 C．的图象关于对称 D．在单调递增 【答案】CD 【分析】对于A，说明定义域不相同即可判断；对于B，说明的定义域不关于原点对称即可判断；对于C，由对称性的定义验算即可；对于D，由复合函数单调性即可判断. 【详解】对于AB，的定义域为， 的定义域为，的定义域不关于原点对称，故A错误 B错误； 对于C，的定义域关于对称，且，故C正确； 对于D，，因为关于在定义域内单调递增，关于在上单调递增， 由复合函数单调性可知，在单调递增，故D正确. 故选：CD. 64．已知实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】依题意可得，根据指数函数的性质判断A，利用特殊值判断B，C，根据对数函数的性质判断D. 【详解】因为，所以， 又在上单调递增，所以； 对于A，因为在定义域上单调递减，所以，故A正确； 对于B，当（或）时（）无意义，故B错误； 对于C，当时，且与均为增函数， 所以，此时，故C错误； 对于D：因为，所以，则，所以，故D正确. 故选：AD 65．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数是定义域上的奇函数 D．函数是定义域上的偶函数 【答案】AC 【分析】利用对数函数真数大于0建立方程判断A，利用复合函数单调性的性质得到的单调性，再求值域判断B，利用函数奇偶性的定义判断C，D即可. 【详解】对于函数， 令，解得， 函数的定义域为，故A正确； 因为在上单调递减，在定义域上单调递增， 所以在上单调递减， 所以在上单调递增， 同理可得在上单调递增， 所以为上的增函数， 又， 其中， 因为，所以，所以，所以， 则，所以，即，又的值域为， 函数的值域为，故B错误； 又， 函数是定义域上的奇函数，C正确，D错误． 故选：AC． 66．下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，利用函数的奇偶性的定义和判定方法，结合指数函数与对数函数，以及复合函数的单调性的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以为偶函数， 又由函数在单调递增，结合函数在定义域单调递减， 所以在单调递减，所以A正确； 对于B中，函数的定义域为，且，所以为偶函数， 当时，可得为单调递减函数，所以B正确； 对于C中，由的定义域为，且，所以为偶函数， 当时，函数在上单调递减，且函数为增函数， 所以在上单调递减，所以C正确； 对于D中，函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数是奇函数，所以D错误． 故选：ABC． 67．若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由已知可得，由幂函数性质可判断A; 由对数函数性质可判断B; 由幂函数性质可判断C;  由不等式的性质可判断D. 【详解】对于A：∵，幂函数在上单调递增， 且，∴，故选项A错误； 对于B：∵，∴函数在上单调递减， 又∵，∴， ∴，即，故B正确； 对于选项C：∵，则，幂函数在上单调递减， 且，∴，∴，故选项C正确； 对于选项D：由选项B可知：，∴， ∵， ∴，∴，故D错误. 故选：BC. 68．已知函数则下列说法正确的有（    ） A．当时，函数的定义域为 B．函数有最小值 C．当时，函数的值域为R D．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 【答案】AC 【分析】A项代入参数，根据对数型函数定义域求法进行求解；B项为最值问题，举出反例即可；C项代入参数值即可求出函数的值域；D项为已知单调性求参数范围，根据二次函数单调性结合对数函数定义域求解即可. 【详解】对于A，当时，，令，解得或， 则的定义域为，故A正确； 对于B、C，当时，的值域为R，无最小值，故B错误，C正确； 对于D，若在区间上单调递增，则在上单调递增， 且当时，，则，解得， 所以实数a的取值范围是，故D错误. 故选：AC 69．已知函数.则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．对定义域内的任意两个不相等的实数，恒成立. D．若实数满足，则 【答案】ABD 【分析】 选项A、B，先利用函数解析式得出结论：，由于，只需验证是否成立即可；选项B，需验证点和点关于点对称即可；选项C，利用复合函数单调性的“同增异减”的原则判断即可；选项D，将不等式转化为的形式，借助函数单调性判断即可. 【详解】 对于A、B选项，对任意的，， 所以函数的定义域为， 又因为 ， 由于，故A正确； 由于函数满足， 所以任意点和点关于点对称， 故函数的图象关于点对称，故B正确； 对于C选项，对于函数，， 得该函数的定义域为， ， 即，所以函数为奇函数， 当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数， 所以函数在上为增函数，故函数在上也为增函数， 因为函数在上连续，故函数在上为增函数， 又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数，故C不正确； 对于D选项，由，得， 因为实数a，b满足，所以， 同时函数在上为增函数， 可得，即，故D正确. 故选：ABD. 70．若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是0 D．的最大值是 【答案】BCD 【分析】结合对数的运算，利用不等式的性质与基本不等式即可解决. 【详解】若，则，，，即. 对于A，，当且仅当， 即，时，等号成立，可得，故A错误； 对于B，由，可得， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，故B正确； 对于C，由，可得， 所以， 当且仅当，时，等号成立，故C正确； 对于D，由，可得，可知， 故， 令，可知，， 故， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最大值是，故D正确. 故选：BCD. 71．地震释放的能量E与地震震级M之间的关系式为，2022年9月18日我国台湾地区发生的6.9级地震释放的能量为，2023年1月28日伊朗西北发生的5.9级地震释放的能量为，2023年2月6日土耳其卡赫拉曼马拉什省发生的7.7级地震释放的能量为，下列说法正确的是（    ） A．约为的10倍 B．超过的100倍 C．超过的10倍 D．低于的10倍 【答案】BC 【分析】根据题意，结合对数运算公式，即可判断. 【详解】A.，所以，故A错误； B.，，故B正确； C.，，故C项正确，D项错误. 故选：BC （9）函数应用 72．已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．若方程有5个不同的实根，则 D．若方程有5个不同的实根，则 【答案】BCD 【分析】根据解析式画出函数大致图象，令得，数形结合可得且，结合函数零点知识依次判断各项正误. 【详解】根据解析式可得函数大致图象如下，令，则，    所以且，故，A错； 由，而从过程中对应从， 注意端点值取不到，所以，B对； 由，可得或， 由图知，对应有2个不同解，故对应必有3个不同解，所以，C对； 由图，当时原方程无解； 当时，，此时原方程只有1个解，不符； 当时，且，此时原方程有1或2或3个解，不符； 令，得或或， 当时，或或， 若，原方程无解； 若，原方程有2个解； 若，原方程有1个解， 故原方程共有3个不同解，不符； 当时，或或，原方程共有4个解，不符； 当时，或或， 若，原方程有2个解； 若，原方程有2个解； 若，原方程有1个解， 故原方程共5个不同解，符合； 当时，有1个解或有2个解，原方程共3个解，不符； 当时，，原方程只有1个解，不符； 综上，满足题设，D对. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：D项，注意从负到正依次讨论的范围，结合图象确定对应范围，进而判断解的个数. 73．设，函数，则（    ） A．当时，的最小值为 B．对任意的至少存在一个零点 C．存在，使得有三个不同零点 D．对任意的在上是增函数 【答案】BC 【分析】由函数在上的取值范围判断A；按探讨在上的零点情况、探讨在上的零点情况判断B；求出时的零点判断C；由函数在上是增函数求出的范围判断D. 【详解】函数，当时，函数在上单调递增， 又函数的对称轴为， 对于A，当时，，当时，， 则，即，A错误； 对于B，当时，由，得，因此存在，使得， 则是的零点，即至少存在一个零点， 当时，由，解得或，此时都大于1， 因此是的零点，所以对任意的至少存在一个零点，B正确； 对于C，取，，由，得或， 解得或或，此时有三个不同零点，C正确； 对于D，若在上是单调递增函数，则，解得， 因此当时，在上是单调递增函数，D错误. 故选：BC 【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 74．已知函数关于的方程有从小到大排列的四个不同的实数根，若，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】AC 【分析】对于A和B，根据题意画出分段函数的图像，将方程的根的问题转化为与的交点即可，通过观察图象直接判断；对于C和D，可以借助二次函数的对称性，得到运用将未知数减少，转化为函数后用基本不等式可求出的范围即可解决. 【详解】 在平面直角坐标系内作出函数的图象，如图. 关于的方程有从小到大排列的四个不同的实数根, 等价于与有四个不同交点,则，显然正确. 令，则或，所以或， 所以，当时最小，数形结合有，故B不正确. 运用二次函数对称性，可知 ， 当且仅当时取等号，故C正确. 根据图象，则无最大值，故D不正确. 故选：AC. 75．已知函数，则关于的方程根的个数可能是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】ABD 【分析】将原问题转化为直线与函数的图象交点的个数，作出的图象，分、、三种情况，结合图象求解即可． 【详解】作出函数的图象，如图所示： 将原问题转化为直线（过定点）与函数的图象交点的个数， 由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点； 当时，直线与函数的图象没有交点； 当时，直线与函数的图象有三个交点； 所以直线与函数的图象不可能有两个交点． 故选：ABD． 76．已知函数其中，且，则（    ） A． B．函数有2个零点 C． D． 【答案】ACD 【分析】先作出函数图象，结合图象逐一判定即可. 【详解】解：，故A正确； 作出函数的图象如图所示， 观察可知，，而， 故，有3个交点， 即函数有3个零点，故B错误； 由对称性，，而， 故，故C正确； b，c是方程的根，故， 令，则， 故，而，均为正数且在上单调递增， 故，故D正确， 故选：ACD. 77．吸光度是指物体在一定波长范围内透过光子的能量占收到光能量的比例.透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例.在实际应用中，通常用吸光度和透光率来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为，如表为不同玻璃材料的透光率： 玻璃材料 材料1 材料2 材料3 0.6 0.7 0.8 设材料1､材料2､材料3的吸光度分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由对数式与指数式的互化，得，由的值，结合对数式的运算规则和对数函数的单调性，判断选项中的不等式是否成立. 【详解】由，得，则，，， ，，，即，A选项错误； ，B选项正确； ，C选项正确； ，， ， ， ， 所以，则有， 又，则，D选项正确； 故选：BCD 78．已知函数，则（       ） A．函数有3个零点 B．若函数有2个零点，则 C．若关于的方程有4个不等实根，，，，则 D．关于的方程有5个不等实数根 【答案】BCD 【分析】根据题意，由函数的解析式作出函数的图象，结合函数的零点与方程根的关系，依次分析选项是否正确，综合可得答案． 【详解】根据题意，函数， 由此作出函数的草图： 依次分析选项： 对于A：由图象易知曲线与y轴有两个交点，故函数有2个零点，故A错误； 对于B：令，可得， 则函数的零点个数即为与的图象的交点个数， 若函数有两个零点，由图象可知，B正确； 对于C：若关于的方程有四个不等实根，则与的图象有四个交点. 不妨设， 由图象可得：，且，， 所以，故C正确； 对于D：因为，解得或， 结合图象可知：有一个根，有四个根， 所以关于的方程有5个不等实数根，D正确． 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数图像及应用，关键是利用图像并结合对称性解决CD. 79．已知函数，若函数有5不同的零点，则实数的值可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】首先由方程，求得或，再画出函数的图象，再利用数形结合求实数的取值范围，即可求解. 【详解】令， ，解得：或， 如图，画出函数的图象， 时，与的图象有4个交点， 所以与的图象只能有1个交点，则，得， 由选项判断或成立. 故选：CD 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 80．已知函数，，，，是函数的4个零点，且，则（   ） A．的取值范围是 B． C．的取值范围为 D．的最大值是 【答案】BD 【分析】作出函数的图象，结合图象判断A，对方程化简，利用基本不等式求出范围判断B，由对数的运算性质得出，利用函数单调性和基本不等式可判断C，D. 【详解】作出函数的图象，如图所示： 对选项A，由条件，函数有4个零点，即有4个不等实数根， 即与的图象有四个交点，由图象知，故选项A错误； 对选项B，因为，，，是函数的4个零点， 且，所以，，所以， 所以，， 由，所以， 即，所以， 因为，当且仅当时等号成立， 又因为，所以， 即，所以， 所以，即，故选项B正确； 对选项C，因为，，，所以由图可知，， 由，，得， 因为，所以， 所以，所以，  即 ， 所以  ， 因为 ，且在 单调递减， 所以，即的取值范围不为，故选项C错误； 对选项D，由选项B可得，，所以， 由选项C可知，， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以 ， 所以 的最大值是，故选项D正确. 故选：BD. 81．已知函数，则（    ） A．的值域为 B．若有个零点，则或 C．若有个零点，则或 D．若的个零点分别为：，，，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】作出分段函数的图象，通过观察并验证易得函数值域；对于的零点问题，可以转化成与的图象公共点问题，易于判断B,C两项，对于D项，则需要就这条等高线确定函数零点，，对应的函数值得到，结合即得的取值范围. 【详解】 对于A选项，先作出的图象如图，可得时，；时，. 则的值域为，故A项正确； 对于B选项，由，即，由图知当或时，与只有一个交点， 即有一个零点，故B项错误； 对于C选项，同理由图知，当或时，与有两个交点，即有两个零点，故C项正确； 对于D选项，如图，当时，与有三个交点，即有三个零点，，， 则,且,则，于是， 因，可得，故.故D项正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：解决的关键在于要作出函数的图象，并会利用函数的零点与方程的根及对应的两函数图象的交点进行转化的观点来处理，有时还需要利用等高线选设未知数列出方程来求解. 82．设函数若关于的方程有四个不同的解，，，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】如图作出函数的图象，则，，，，结合基本不等式和二次函数的性质计算即可求解. 【详解】如图，作出函数的图象， 由题意，直线与的图象有4个交点， 由图象可知，故B正确； 且，，， 所以，即，则，故C正确； ，故A错误； 当时，，， 又，所以，故D错误. 故选：BC. 83．设函数，若关于的函数恰好有个零点，则下列说法正确的是（     ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 【答案】CD 【分析】令，则零点的个数，就是方程的根的个数，最后转化为的零点的个数问题，画出的图象，由图象逐项分析即可. 【详解】令，则，作的图象如图所示： 所对应的方程为， ， 当时，则，故方程为，解为，此时关于的函数有个零点，故A错误； 当时，方程有两个不相等的实根为：或， 若关于的函数恰好有个零点， 则只有一个零点，由图可知实数的取值范围为，故B错误； 若关于的函数恰好有个零点， 则有个零点，由图可知实数的取值范围为，故C正确； 若关于的函数恰好有个零点， 则有个零点，由图可知实数的取值范围为，故D正确； 故选：CD. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. （10）三角函数图像与性质的应用 84．已知函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（   ） A．的最小正周期为 B．是的最小值 C．在区间上的值域为 D．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 【答案】ABD 【分析】根据给定的图象求出函数的解析式可判断A；将代入解析式可判断B；利用正弦型函数的值域可判断C；利用图像的平移可判断D. 【详解】函数的周期，则，， 当时，， 由， 得，即， 所以函数解析式为； 当时，， 由， 得，即， 所以函数解析式为， 因为， 所以， 对于A，函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，是的最小值，故B正确； 对于C，当时，， 利用正弦函数的性质知，， 得，故C错误； 对于D，函数的图象上所有点向右平移个单位长度， 得到函数的图象，故D正确. 故选：ABD. 85．已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A． B．在区间有两个零点 C．直线是曲线的对称轴 D．在区间单调递增 【答案】ABD 【分析】由已知求得函数解析式，然后根据正弦函数性质进行判断． 【详解】由已知，， 又，所以，A正确； 所以， ，，区间是函数的一个周期，而，因此在区间有两个零点，B正确； ，因此C错； 时，，在此区间上单调递增，D正确， 故选：ABD． 86．已知函数，下列选项正确的有（     ） A．的最小正周期为 B．函数的单调递增区间为 C．在区间上只有一个零点 D．函数在区间的值域为 【答案】AC 【分析】利用余弦型函数的周期公式可判断A选项；利用余弦型函数的单调性可判断B选项；当时，解方程，可判断C选项；利用与余弦型函数的值域可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，由得， 所以，函数的单调递增区间为，B错； 对于C选项，当时，， 由可得，所以，函数在区间上只有一个零点，C对； 对于D选项，当时，，则， 则函数在区间的值域为，D错. 故选：AC. 87．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的最小正周期为 C．是函数图象的一条对称轴 D．函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 【答案】ACD 【分析】A由降幂公式，辅助角公式可得答案； B由周期计算公式可得答案； C将代入由A选项所得化简式中可得答案； D由函数图象平移知识可得答案． 【详解】Ａ选项，，故A正确； B选项，由A选项结合周期计算公式可知最小正周期为，故B错误； C选项，将代入，在此时得最大值，故是函数图象的一条对称轴，故C正确； D选项，的图象向右平移个单位得，故D正确． 故选：ACD 88．已知是函数的一个零点.则（    ） A． B．函数的值域为 C．函数的单调递减区间为 D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】对于A：代入运算求解即可；对于B：整理可得，结合正弦函数的有界性分析求解；对于C：以为整体，结合正弦函数的单调性分析求解；对于D：结合选项B中的值域分析判断. 【详解】由题意可得：， 因为，解得，故A正确； 则， 因为，则， 所以函数的值域为，故B错误； 令，解得， 所以函数的单调递减区间为，故C正确； 由选项B可知：当，即时，， 所以不等式的解集不为空集，故D错误； 故选：AC. 89．已知函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的图象关于点中心对称 C．是偶函数 D．在上恰有4个零点 【答案】ABD 【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得，然后由正弦型函数的性质，对选项逐个分析判断即可. 【详解】， 对于A，的最小正周期是，所以A正确， 对于B，因为， 所以的图像关于点中心对称，所以B正确， 对于C，， 令， 则， 所以不是偶函数，故C错误， 对于D，由，得， 所以，或， 得或， 因为，所以，，，， 所以在上恰有4个零点，所以D正确， 故选：ABD 90．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，其提供阻力的运动过程可近似为单摆运动．若某阻尼器离开平衡位置的位移（单位：）和时间（单位：）满足函数关系：（，，），某同学通过“五点法”计算了一个周期内的部分数据如下（其中，，，为未知数），则下列有关函数的描述正确的是（    ） 0 0 0 0 A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到 C．函数的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4 D．函数的图象与函数的图象重合 【答案】BC 【分析】根据五点法求出的解析式，然后结合正弦函数的性质，诱导公式判断各选项． 【详解】由五点法知，从而，，由正弦函数性质知， ，，，， 所以， 选项A，，A错； 选项B，，其图象可由的图象向右平移个单位得到，B正确； 选项C，函数的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为，C正确； 选项D，，D错． 故选：BC． 91．已知函数，则（    ）. A．函数的最小正周期为 B．直线是函数的图象的一条对称轴 C．若时，恒成立，则实数的取值范围为 D．将函数的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若时，函数有且仅有5个零点，则实数的取值范围为 【答案】AD 【分析】利用辅助角公式化简原函数，再求解最小正周期判断A，代入检验法判断B，利用三角函数的性质判断C，D即可. 【详解】因为； 所以的最小正周期为，故正确； 又由，故错误； 当时，可得， 当，即时，取得最小值， 因为时，恒成立，所以， 即实数的取值范围为，故C错误； 由题意得函数，因为， 所以，又因为函数有且仅有5个零点， 则满足，解得， 所以实数的取值范围是，故D正确. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数，解题关键是对三角函数合理换元，然后求出新的自变量范围，再结合给定条件，得到所要求的参数范围即可． 92．已知函数，其中，下列命题中正确的是（    ） A．若，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 B．若，曲线与曲线在区间上的交点个数为6 C．若在上有且仅有5个零点，则的取值范围是 D．若在上有且仅有5个零点，则在单调递增 【答案】ABD 【分析】对于A，由三角函数图象变换规律分析判断，对于B，作出两函数在上的图象，观察图象判断，对于C，由求出，再结合函数有5个零点，列不等式组可求出的取值范围进行判断，对于D，由求出的范围，再结合选项C中的取值范围分析判断即可. 【详解】对于A，当时，， 将的图象向左平移个单位长度，得， 即得到的图象，所以A正确， 对于B，当时，，周期，在上是3个周期， 先作出在上的图象，然后向右平移两次，每次平移一个周期可得在上的图象， 再在同一坐标系中作出在的图象， 由图可知曲线与曲线在区间上的交点个数为6，所以B正确， 对于C，当时，， 若在上有且仅有5个零点，则， 解得，所以C错误， 对于D，当时，， 由选项C可知，则， 所以， 所以， 所以在单调递增，所以D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：此题考查正弦函数的图象与性质，考查三角函数图象变换规律，考查函数的零点，解题的关键是正确运用正弦函数的图象与性质，考查数形结合的思想，属于较难题. （11）三角恒等变式 93．已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据同角三角函数的平方式与题目中的等式联立，可得正弦与余弦的乘积，利用一元二次方程的韦达定理与求解，可得答案. 【详解】由①，以及， 对等式①两边取平方得，②， ∵，∴，由②，， 由①②，可以看作是一元二次方程的两个根， 解得，， 故A正确，B正确，C错误，D正确. 故选：ABD． 94．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据两角和差公式判断AC；根据倍角公式判断BD. 【详解】因为，， 对于选项A：因为， 解得，故A正确； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为，故C错误； 对于选项D：因为，故D错误； 故选：AB. 95．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】由已知结合诱导公式，二倍角公式及和差角公式检验各选项即可判断． 【详解】对于，故错误； 对于，故正确； 对于，，故正确； 对于，解得，故正确． 故选：BCD. 96．下列四个式子中，计算正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ACD 【分析】由两角和的正切公式计算求解即可判断A；应用两角差的正弦公式计算即可判断B；由二倍角的正弦公式计算即可判断C；应用辅助角公式化简计算即可判断D. 【详解】，故A正确； ，故B错误； 若，则，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD. 97．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用两角和与差的正弦公式将已知等式展开，两式分别作和与差可得与，则可判断AB，再将所得两式相乘除即可判断CD. 【详解】由题意得，①， ②， ①②得，，即③； ①②得，，即④； ③④得，，即； ③÷④得，，故AD错误，BC正确. 故选：BC. 98．下列选项中正确的有（    ） A．若 是第二象限角，则 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A，可利用同角三角函数基本关系化简；对于B，可利用及同角三角函数基本关系化简；对于C，可先利用两角差的余弦公式及诱导公式统一角之后再进行化简；对于D，可利用两角和的正切公式化简. 【详解】对于A，因为是第二象限角，所以， 从而，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABC. 99．已知，其中为锐角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由三角函数平方关系可求得、即可判断A项，由及差角公式即可判断B项，由和角、差角公式展开、，两式相加可判断C项，两式相减可得，进而可得即可判断D项. 【详解】因为为锐角，所以，， 所以，， 又因为，所以， 所以， 对于A项，因为，所以，则，故A项正确； 对于B项，，故B项正确； 对于C项，因为，， 两式相加并化简得，故C项错误； 对于D项，由C项知，两式相减并化简得， 所以，故D项正确. 故选：ABD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$