专题03 圆的有关计算（4大题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（湘教版）

专题03 圆的有关计算 题型1：扇形半径、圆心角、弧长与面积综合运算 题型2：求不规则图形的面积 题型3：求图形旋转后扫过的面积 题型4：距离的有关问题 ： 题型1：扇形半径、圆心角、弧长与面积综合运算 为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积，弧长公式等知识；设扇形的半径为r，扇形面积可求得半径r；再由弧长公式即可求得扇形圆心角的度数． 【详解】解：设扇形的半径为r，则， 解得：； 设扇形圆心角度数为n度，则， 解得：， 即扇形圆心角为； 故选：B． 一．解答题（共3小题） 1．已知扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的半径为 ． 2．一个扇形的面积是，圆心角是，则这个扇形的弧长是 ． 3．如图，与正八边形相切于点、，若的半径为7，则的长为 （结果保留）． 题型2：求不规则图形的面积 如图，在矩形中，，，以点A为圆心，长为半径，画弧交于点E，连接，，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积计算，矩形的性质．根据题意得出的长，求得，可以得出，根据阴影部分的面积计算即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由题意得，∴， ∴， ∴阴影部分的面积 故答案为：． 一．解答题（共3小题） 1．如图，的直径垂直于弦，垂足为为延长线上一点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 2．如图，在中，经过两点的与边交于点，圆心在上，过点作交于点，连接交于点，且． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 3．如图，在中，，以点C为圆心，长为半径的圆交于点D． (1)若，求的度数； (2)若D是的中点，，求阴影部分的面积； 题型3：求图形旋转后扫过的面积 如图，在平面直角坐标系中，点，， (1)以点C为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的； (2)在（1）的条件下， ①线段扫过的图形面积为______； ②点B经过的路径长为______． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了作图—旋转变换，勾股定理，扇形面积公式，弧长公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）先由勾股定理求出的长，再由扇形面积公式计算即可得解；②先求勾股定理求出的长，再由弧长公式计算即可得解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：①由勾股定理可得：， 由题意可得：， ∴线段扫过的图形面积为； ②由勾股定理可得：， 由题意可得：， 点B经过的路径长为． 一．解答题（共3小题） 1．如图，已知，，是直角坐标系平面上三点； (1)以原点为位似中心，在第四象限内画出将缩小为原来的一半后的，并直接写出的坐标__________，的坐标__________； (2)画出绕点顺时针旋转后的，并求出线段所扫过的图形面积． 2．如图是的正方形网格，已知格点（顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形），请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）． (1)将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出；（点与点是对应点） (2)设小正方形的边长为，在（1）的条件下，求点转过的路径的长度和扇形的面积；（结果保留） (3)在图2中，仅用无刻度直尺在线段上找一点，使． 3.如图，正方形网格的每个小正方形边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都在格点上．现将绕点按逆时针方向旋转得到． (1)在正方形网格中画出． (2)计算线段在变换到的过程中扫过区域的面积． 4.如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，在给出的平面直角坐标系中．    (1)画出绕点顺时针旋转后得到的，并直接写出、的坐标； (2)计算点旋转到点位置时，线段扫过的面积． 题型4：距离的有关问题 图1是修正带实物图，图2是其示意图，使用时上的白色修正物随透明条（载体）传送到点O处进行修正，留下来的透明条传到收集．即透明条的运动路径为：．假设O、P、A、B在同一直线上，，，，，P为中点． (1)求A、B两点到的距离分别是多少； (2)若的半径为，当留下的透明条从点O出发，第一次传送到上某点，且点B到该点距离最小时，最多可以擦除的长度为多少． 【答案】(1)点A到的距离是；点B到的距离为， (2) 【分析】（1）过点A作于F，得到，根据勾股定理求出；过点B作交的延长线于H，判断出，进而得出，最后根据勾股定理即可求出答案； （2）首先得到，再判断出，进而求出，再求出，，最后判断出则点E到点B的距离最小，即可求出答案． 【详解】（1）解：过点A作于F， 在中，，， ， 根据勾股定理得，， ， ， ∴点A到的距离是； 过点B作交的延长线于H， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 根据勾股定理得，， ， ， ， ∴点B到的距离为； （2）解：由题意得， 在中，，， ， ，，， ∴ ， ， ， ∵点P是的中点， ， 由题意得，切于N，连接， ， 在中，， 根据勾股定理得，，， ， 记线段与的交点为E，则点E到点B的距离最小， ， ， ∴当点B到该点距离最小时，最多可以擦除的长度为：． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，弧长公式，勾股定理，求出是解本题的关键． 1． 解答题（共6小题） 1．现有成角且足够长的墙角和可建总长为栅栏的建筑材料来修建花坛．（材料要用完） (1)如图1，修建成四边形的一个花坛，使．线段为新建栅栏，设米，当为多少米时，此时花坛的面积最大？ (2)爱动脑筋的小聪建议：把新建的栅栏建成如图2所示的以为圆心的圆弧，这样修建的花坛面积会更大．聪明的你认为小聪的建议合理吗？请说明理由． 2．如图，已知，以点为圆心，为半径作，与轴的另一个交点为，点是上的一个动点，连接，点是的中点，连接． (1)证明： (2)当点不与重合时，求的度数． (3)当点在优弧上运动时，求点的运动路径长． 3．如图，四边形是正方形，边长为6，以边为直径作，点在边上，连结交于点，连结并延长交于点． (1)求证：． (2)若，求中弦与它所对劣弧围成的封闭图形的面积．（结果保留） 4.【模型建立】 如图①、②，点分别在圆外，在圆内，直线分别交圆于点，则是点到圆上的点的最短距离，是点到圆上的点的最长距离． 【问题解决】 (1)请就图①中为何最长进行证明． (2)已知点到圆上的点的最短距离为4，最长距离为8，则圆的半径为_____________． (3)如图③，在中，．点在边上，且，动点在半径为2的圆上，则的最小值是____________． (4)如图④，点，动点在以为圆心，为半径的圆上，的中点为，求线段的最大值． 5.[模型建立] 如图①、②，点P分别在外、在内，直线分别交于点A、B，则是点P到上的点的最短距离，是点P到上的点的最长距离． [问题解决] 请就图①中为何最长进行证明． [初步应用] （1）已知点P到上的点的最短距离为3，最长距离为7．则的半径为______． （2）如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的上，则的最小值是______． [拓展延伸] 如图④，点，动点B在以为圆心，为半径的圆上，的中点为C，则线段的最大值为______． 6．已知：直线经过点. （1）求的值； （2）将该直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相离（点为坐标原点），试求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 圆的有关计算 题型1：扇形半径、圆心角、弧长与面积综合运算 题型2：求不规则图形的面积 题型3：求图形旋转后扫过的面积 题型4：距离的有关问题 ： 题型1：扇形半径、圆心角、弧长与面积综合运算 为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积，弧长公式等知识；设扇形的半径为r，扇形面积可求得半径r；再由弧长公式即可求得扇形圆心角的度数． 【详解】解：设扇形的半径为r，则， 解得：； 设扇形圆心角度数为n度，则， 解得：， 即扇形圆心角为； 故选：B． 一．解答题（共3小题） 1．已知扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的半径为 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了弧长公式，设这个扇形的半径为r，根据弧长公式列出方程求解即可：弧长公式为，其中n为扇形圆心角度数，r为扇形编辑． 【详解】解：设这个扇形的半径为r， 由题意得，， 解得， ∴这个扇形的半径为30， 故答案为：30． 2．一个扇形的面积是，圆心角是，则这个扇形的弧长是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是扇形面积和弧长的计算，熟记扇形的面积和弧长公式是解答此题的关键．设扇形的半径为r，由扇形的面积公式求出r的值，再由弧长公式即可得出结论． 【详解】解：设扇形的半径为r， ∵扇形的面积是，圆心角是， ∴， 解得， ∴扇形的弧长． 故答案为：． 3．如图，与正八边形相切于点、，若的半径为7，则的长为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查了正八边形的性质，弧长公式的运用，连接、，利用正八边形的性质计算出半径和圆心角即可． 【详解】解：连接、， ∵与正八边形相切于点A，E， ∴， ∵六边形的内角和为，正八边形内角， ∴， ∵， ∴的长为， 故答案为：． 题型2：求不规则图形的面积 如图，在矩形中，，，以点A为圆心，长为半径，画弧交于点E，连接，，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积计算，矩形的性质．根据题意得出的长，求得，可以得出，根据阴影部分的面积计算即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由题意得，∴， ∴， ∴阴影部分的面积 故答案为：． 一．解答题（共3小题） 1．如图，的直径垂直于弦，垂足为为延长线上一点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，如图所示，根据圆周角定理得到，然后由等腰三角形的判定与性质确定角度相等，再等量代换证得即可得证； （2）由垂径定理确定，再由切线性质及含的直角三角形性质及勾股定理求出相应线段长，利用三角形面积公式及扇形面积公式间接表示阴影部分面积即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 是直径， ， 又， ， 又， ， ， ，即， 是圆的切线； （2）解：是圆的直径，， ， ， ， 由（1）知为的切线， ， 在中，，，则， 在中，，，则， 在中，，则， ，则由勾股定理可知，即， 解得， ， ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、切线的判定与性质、垂径定理、含的直角三角形性质、勾股定理及扇形面积公式，熟练掌握相关几何知识是解决问题的关键． 2．如图，在中，经过两点的与边交于点，圆心在上，过点作交于点，连接交于点，且． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1)与的相切，理由见解析 (2)图中阴影部分的面积为 【分析】本题考查了切线的判定定理，扇形的面积计算公式，勾股定理，熟练掌握切线的判定方法和扇形面积计算公式是解题的关键． （1）由得，由得，根据可得，即可证明结论； （2）根据勾股定理求出，进而得出，，再分别计算，根据，可得答案． 【详解】（1）解：与的相切，理由如下， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 与的相切； （2）解：， ， 设， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 作于点， ， ， ， ． 3．如图，在中，，以点C为圆心，长为半径的圆交于点D． (1)若，求的度数； (2)若D是的中点，，求阴影部分的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查圆的基本性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质等，综合运用相关知识是解题的关键． （1）连接，根据三角形的内角和定理求出，由得到，从而利用三角形的内角和定理可得； （2）由点D是斜边上的中线可得，又由，得到为等边三角形，从而得到，根据扇形面积公式求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：连接，如图， ， ， ， ， ， （2）D是的中点，且， ， ， 为等边三角形， ， 阴影部分的面积为． 题型3：求图形旋转后扫过的面积 如图，在平面直角坐标系中，点，， (1)以点C为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的； (2)在（1）的条件下， ①线段扫过的图形面积为______； ②点B经过的路径长为______． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了作图—旋转变换，勾股定理，扇形面积公式，弧长公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）先由勾股定理求出的长，再由扇形面积公式计算即可得解；②先求勾股定理求出的长，再由弧长公式计算即可得解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：①由勾股定理可得：， 由题意可得：， ∴线段扫过的图形面积为； ②由勾股定理可得：， 由题意可得：， 点B经过的路径长为． 一．解答题（共3小题） 1．如图，已知，，是直角坐标系平面上三点； (1)以原点为位似中心，在第四象限内画出将缩小为原来的一半后的，并直接写出的坐标__________，的坐标__________； (2)画出绕点顺时针旋转后的，并求出线段所扫过的图形面积． 【答案】(1)见解析，， (2)见解析， 【分析】本题考查了作图—位似变换以及旋转的变换，坐标两点的距离公式，旋转的性质，扇形面积公式． （1）根据位似的性质，得到各点在第四象限内的对应点、、，依次连接即可得到，再写出、的坐标即可； （2）根据旋转的性质，得到各点的对应点、、，依次连接即可得到，根据坐标两点的距离公式，求得，由旋转的性质可知，，再利用扇形面积公式，即可求出线段所扫过的图形面积． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， 的坐标为，的坐标， 故答案为：，； （2）解：如图所示，即为所求， ∵，， ∴， 由旋转的性质可知，，， 则线段所扫过的图形是圆心角为，半径为的扇形， 所以，线段所扫过的面积为：， 即线段所扫过的面积为． 2．如图是的正方形网格，已知格点（顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形），请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）． (1)将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出；（点与点是对应点） (2)设小正方形的边长为，在（1）的条件下，求点转过的路径的长度和扇形的面积；（结果保留） (3)在图2中，仅用无刻度直尺在线段上找一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)点转过的路径的长度为；扇形的面积为 (3)见解析 【分析】本题主要考查了旋转作图，平行线分线段成比例，弧长公式和扇形面积． （1）根据旋转的性质，先作出点B、C的对应点、，然后再顺次连接即可； （2）利用勾股定理求得的长，再利用弧长公式和扇形面积公式求解即可； （3）取格点D，连接交于点P，即可得出答案． 【详解】（1）解：为所求作的三角形； ； （2）解：， 点转过的路径的长度； 点转过的扇形的面积； （3）解：点P即为所求作的点． ∵，，， ∴． 3.如图，正方形网格的每个小正方形边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都在格点上．现将绕点按逆时针方向旋转得到． (1)在正方形网格中画出． (2)计算线段在变换到的过程中扫过区域的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（）根据旋转的性质作图即可； （）利用勾股定理求出，再根据扇形的面积公式计算即可求解； 本题考查了旋转作图，勾股定理，扇形的面积，掌握旋转的性质和扇形的面积计算公式是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由勾股定理可得，， ∴线段在变换到的过程中扫过区域的面积为． 4.如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，在给出的平面直角坐标系中．    (1)画出绕点顺时针旋转后得到的，并直接写出、的坐标； (2)计算点旋转到点位置时，线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析，， (2) 【分析】此题主要考查了旋转的性质以及三角形、扇形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． （1）利用网格特点和旋转的旋转画出点B、C的对应点，从而得到； （2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案，再利用扇形面积求法得出答案． 【详解】（1）解：如图，为所作，，；    （2）解：∵，， ∴扇形面积， ∴扫过的面积为． 题型4：距离的有关问题 图1是修正带实物图，图2是其示意图，使用时上的白色修正物随透明条（载体）传送到点O处进行修正，留下来的透明条传到收集．即透明条的运动路径为：．假设O、P、A、B在同一直线上，，，，，P为中点． (1)求A、B两点到的距离分别是多少； (2)若的半径为，当留下的透明条从点O出发，第一次传送到上某点，且点B到该点距离最小时，最多可以擦除的长度为多少． 【答案】(1)点A到的距离是；点B到的距离为， (2) 【分析】（1）过点A作于F，得到，根据勾股定理求出；过点B作交的延长线于H，判断出，进而得出，最后根据勾股定理即可求出答案； （2）首先得到，再判断出，进而求出，再求出，，最后判断出则点E到点B的距离最小，即可求出答案． 【详解】（1）解：过点A作于F， 在中，，， ， 根据勾股定理得，， ， ， ∴点A到的距离是； 过点B作交的延长线于H， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 根据勾股定理得，， ， ， ， ∴点B到的距离为； （2）解：由题意得， 在中，，， ， ，，， ∴ ， ， ， ∵点P是的中点， ， 由题意得，切于N，连接， ， 在中，， 根据勾股定理得，，， ， 记线段与的交点为E，则点E到点B的距离最小， ， ， ∴当点B到该点距离最小时，最多可以擦除的长度为：． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，弧长公式，勾股定理，求出是解本题的关键． 1． 解答题（共6小题） 1．现有成角且足够长的墙角和可建总长为栅栏的建筑材料来修建花坛．（材料要用完） (1)如图1，修建成四边形的一个花坛，使．线段为新建栅栏，设米，当为多少米时，此时花坛的面积最大？ (2)爱动脑筋的小聪建议：把新建的栅栏建成如图2所示的以为圆心的圆弧，这样修建的花坛面积会更大．聪明的你认为小聪的建议合理吗？请说明理由． 【答案】(1)当长为时，才能使花坛的面积最大； (2)合理，理由见详解 【分析】（1）过点作于，则四边形为矩形，再证明是等腰直角三角形，得出，则，然后根据梯形的面积公式即可求出与之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解； （2）根据扇形弧长公式求出，再根据扇形的面积求解，然后比较即可． 此题考查二次函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数，进一步利用函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：∵． ∴ 如图所示：过点作于， ∵ 则四边形为矩形，， 则， 设， 在中， 又， ， ， ， 梯形面积， 当时，； 当长为时，才能使花坛的面积最大； （2）解：小聪建议合理．理由如下： 由题意得， ， ， ， 小聪的建议是合理的． 2．如图，已知，以点为圆心，为半径作，与轴的另一个交点为，点是上的一个动点，连接，点是的中点，连接． (1)证明： (2)当点不与重合时，求的度数． (3)当点在优弧上运动时，求点的运动路径长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了周角角定理，三角形的中位线定理，求弧长； （1）由三角形中位线定理可得，； （2）由圆周角定理得，由平行线的性质可得； （3）先确定点的运动轨迹，作的外接圆，并从中确定的运动轨迹是圆上的一条弧，根据弧长公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵点D是的中点，点O是的中点， ∴， （2）如图，连接，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， （3）如图3，作的外接圆，连接，    ∵ ∴， 又∵， ∴， ∵当点C在上运动时， ∴点D在上运动， ∴点D的运动路径长， 3．如图，四边形是正方形，边长为6，以边为直径作，点在边上，连结交于点，连结并延长交于点． (1)求证：． (2)若，求中弦与它所对劣弧围成的封闭图形的面积．（结果保留） 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）证即可； （2）连接，过点O作交于点，根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出，直角三角形的性质得出，垂径定理算出，再根据中弦与它所对劣弧围成的封闭图形的面积求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵是的直径， ∴， ， ， ， ． （2）解：连接，过点O作交于点，如图所示： ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴中弦与它所对劣弧围成的封闭图形的面积． 【点睛】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、正方形的性质、解直角三角形、扇形面积公式等知识点，熟记相关几何结论是解题关键． 4.【模型建立】 如图①、②，点分别在圆外，在圆内，直线分别交圆于点，则是点到圆上的点的最短距离，是点到圆上的点的最长距离． 【问题解决】 (1)请就图①中为何最长进行证明． (2)已知点到圆上的点的最短距离为4，最长距离为8，则圆的半径为_____________． (3)如图③，在中，．点在边上，且，动点在半径为2的圆上，则的最小值是____________． (4)如图④，点，动点在以为圆心，为半径的圆上，的中点为，求线段的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)2或6 (3) (4) 【分析】（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； （2）分两种情况讨论：①点P在外，②点P在内，根据线段的和差即可求解； （3）连接，交于点D，则的最小值是的长，根据勾股定理即可求出，进而得到的长，即可解答； （4）取点，连接，并延长交于点，可得是的中位线，因此当线段取得最大值时，线段也取得最大值．当点B位于点时，线段有最大值，根据点P，点D的坐标与的半径即可求出的长，进而即可解答． 【详解】（1）解：如图，点C为上任意一点，连接，， 当点C与点B不重合时， ∵在中，， 又， ∴，即， 当点C与点B重合时，， ∴综上可得，， ∵点C为上任意一点， ∴的长是点P到上的点的最长距离． （2）（1）若点P在外，如图①， 则，， ∴， ∴的半径为2； 若点P在内，如图②， 则，， ∴， ∴的半径为6； 综上所述，的半径为2或6． 故答案为：2或6． （3）连接，交于点D，由（1）可得的长是点A到上的点的最短距离， ∴的最小值是的长， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． （4）取点，连接，并延长交于点， ∵，， ∴点A是线段的中点， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴当线段取得最大值时，线段也取得最大值， ∴当点B位于点时，线段有最大值， ∵，， ∴， ∵的半径为，即， ∴， ∴线段有最大值为， ∴线段的最大值为． 【点睛】本题考查三角形三边关系的应用，勾股定理，三角形中位线的性质，直线外一点到圆的距离等，掌握题意中的模型是解题的关键． 5.[模型建立] 如图①、②，点P分别在外、在内，直线分别交于点A、B，则是点P到上的点的最短距离，是点P到上的点的最长距离． [问题解决] 请就图①中为何最长进行证明． [初步应用] （1）已知点P到上的点的最短距离为3，最长距离为7．则的半径为______． （2）如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的上，则的最小值是______． [拓展延伸] 如图④，点，动点B在以为圆心，为半径的圆上，的中点为C，则线段的最大值为______． 【答案】[问题解决]证明见解析；[初步应用]（1）2或5；（2）；[拓展延伸] 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，勾股定理，三角形中位线的性质等，掌握题意中的模型是解题的关键． [初步应用]（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； （2）分两种情况讨论：①点P在外，②点P在内，根据线段的和差即可求解； 连接，交于点D，则的最小值是的长，根据勾股定理即可求出，进而得到的长，即可解答； [拓展延伸]取点，连接，可得是的中位线，因此当线段取得最大值时，线段也取得最大值．连接，并延长交于点，当点B位于点时，线段有最大值，根据点P，点D的坐标与的半径即可求出的长，进而即可解答． 【详解】解：[问题解决] 如图，点C为上任意一点，连接，， 当点C与点B不重合时， ∵在中，， 又， ∴，即， 当点C与点B重合时，， ∴综上可得，， ∵点C为上任意一点， ∴的长是点P到上的点的最长距离． [初步应用] （1）若点P在外，如图①， 则，， ∴， ∴的半径为2； 若点P在内，如图②， 则，， ∴， ∴的半径为5； 综上所述，的半径为2或5． 故答案为：2或5 （2）连接，交于点D，由[模型建立]可得的长是点A到上的点的最短距离， ∴的最小值是的长 ∵在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． [拓展延伸] 取点，连接， ∵，， ∴点A是线段的中点， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴当线段取得最大值时，线段也取得最大值， 连接，并延长交于点， ∴当点B位于点时，线段有最大值， ∵，， ∴， ∵的半径为，即， ∴， ∴线段有最大值为， ∴线段的最大值为． 故答案为： 6．已知：直线经过点. （1）求的值； （2）将该直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相离（点为坐标原点），试求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用待定系数法解答； （2）得出平移后得到的直线，求出A、B点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答． 【详解】（1）因为直线经过点， 所以， 即， 故答案为 （2）由（1）及题意知，平移后得到的直线所对应的函数关系式为，设直线与轴、轴分别交于点、（如图所示）， 当时，；当时，. 所以，，即，. 在中，. 过点作于， 因为， 所以， 因为，解得. 依题意得：， 解得， 即的取值范围为. 【点睛】此题主要考查待定系数法、勾股定理、直线与圆的位置关系等知识． 学科网（北京）股份有限公司1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$