第01章 反比例函数 章节整合练习（10个知识点+40题练习）- 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第01章 反比例函数 章节整合练习（10个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念 形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 知识点2．反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 知识点3．反比例函数图象的对称性 反比例函数图象的对称性： 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点． 知识点4．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 知识点5．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 知识点6．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 知识点7．待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 知识点8．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 知识点9．根据实际问题列反比例函数关系式 根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式． 根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的． 注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围． 知识点10．反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 章节题型整合练习 题型一．反比例函数的定义 1．（2024秋•青秀区校级月考）若为关于的反比例函数，则的值是　　 A． B．0 C．1 D．2 2．（2024秋•巴州区校级月考）下列函数中：（1）；（2）；（3）；（4），反比例函数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024•石峰区一模）若函数是关于的反比例函数，则　　． 4．（2022秋•石阡县月考）已知函数． （1）若是关于的正比例函数，求的值； （2）若是关于的反比例函数，求出的值，并写出此时与的函数关系式． 题型二．反比例函数的图象 5．（2024春•海陵区期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 6．（2024春•锦江区校级月考）在、、、0、1、2，3这七个数中，随机选取一个数，记为，那么使得关于的反比例函数的图象位于第一、三象限，且使得关于的方程有整数解的概率为 　　． 7．（2022春•钦北区校级月考）两个不同的反比例函数的图象能否相交？为什么？ 8．（2024春•宁津县校级月考）（1）将函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为 　　． （2）①将函数的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为 　　，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为 　　． ②函数的图象可由的图象向 　　平移 　　个单位得到．函数的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？ 题型三．反比例函数图象的对称性 9．（2024•汝南县一模）如图，双曲线与直线相交于、两点，点坐标为，则点坐标为　　 A． B． C． D． 10．（2023秋•竞秀区期末）如图，点是反比例函数的图象与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则该反比例函数的表达式为　　 A． B． C． D． 11．（呼和浩特模拟）如果直线与双曲线的一个交点的坐标为，则它们的另一个交点的坐标为 　　． 12．（洪山区期中）（1）点关于轴对称的点的坐标是 　　． （2）反比例函数关于轴对称的函数的解析式为 　 　． （3）求反比例函数关于轴对称的函数的解析式． 题型四．反比例函数的性质 13．（2024•闽侯县校级模拟）函数的图象中，在每个象限内随增大而增大，则可能为　　 A． B． C．0 D．1 14．（2024•郫都区模拟）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是 　　． 15．（2024秋•昆都仑区校级月考）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 　　． 16．（2024•振安区三模）对于某一函数给出如下定义：若存在实数，当其自变量的值为时，其函数值等于，则称为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度为零．例如，如图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度等于1． （1）分别判断函数，，有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度； （2）函数． ①若其不变长度为零，求的值； ②若，求其不变长度的取值范围． 题型五．反比例函数系数k的几何意义 17．（2024•衡阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数为常数，，的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值　　 A． B． C． D． 18．（2024秋•济南期中）反比例函数的图象如图，在中，，边轴，边轴且与函数图象交于点，边与此函数图象交于、两点，且，，则的值为 　　． 19．（2022•靖江市二模）反比例函数，的图象如图所示，点为轴上不与原点重合的一动点，过点作轴，分别与、交于、两点． （1）当时，求； （2）延长到点，使得，求在点整个运动过程中，点所形成的函数图象的表达式．（用含有的代数式表示）． 20．（2022•德城区模拟）如图，、两点在反比例函数的图象上，其中，轴于点，轴于点，且 （1）若，则的长为 　　，的面积为 　　； （2）若点的横坐标为，且，当时，求的值． 题型六．反比例函数图象上点的坐标特征 21．（2024•五华区校级模拟）已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于　　 A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 22．（2024•鸠江区一模）如果点，，，在反比例函数的图象上，且满足当时，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 23．（2024•上海模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点是坐标原点，点在轴的正半轴上，点在函数的图象上，点在函数的图象上．若，则的值为 　　． 24．（2024•山东）列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： 1 1 　7　 　　 　　 7 （1）求、的值，并补全表格； （2）结合表格，当的图象在的图象上方时，直接写出的取值范围． 题型七．待定系数法求反比例函数解析式 25．（2024•三亚二模）已知反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的表达式为　　 A． B． C． D． 26．（2024秋•黄浦区校级月考）在描述一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向轴，轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为2024，”乙同学说：“当时，点随着的增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是 　　． 27．（2024•弥勒市二模）已知点在函数的图象上，则经过点的反比例函数的解析式为　　． 28．（2024秋•高新区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，等边三角形的顶点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）把△沿轴向右平移个单位长度，对应得到△．当这个函数的图象经过△一边的中点时，求的值． 题型八．反比例函数与一次函数的交点问题 29．（2024•澄城县一模）如图，反比例函数，且为常数）的图象与直线，且为常数）交于、两点，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 30．（2024•李沧区三模）一次函数与反比例函数的图象交于点，点．当时，的取值范围是 　　． 31．（2024•海门区校级模拟）反比例函数与一次函数的图象都过． （1）求点坐标； （2）求反比例函数解析式． 32．（2024秋•天宁区校级期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△的面积； （3）直接写出不等式的解集． 题型九．根据实际问题列反比例函数关系式 33．（2022秋•琅琊区校级期中）某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为1.2万元，前期付款4000元，后期每个月分期付一定的数额，则每个月的付款额（元与付款月数之间的函数关系式是　　 A．取正整数） B． C． D． 34．（2023春•绿园区校级期中）一个皮球从高处落下后，会从地面弹起．下表记录了小球从不同高度落下时的弹跳高度，其中表示落下高度，表示弹跳高度．则符合表中数据的函数解析式是　　 落下高度 80 100 160 200 弹跳高度 40 50 80 100 A． B． C． D． 35．（罗湖区期末）在“2011年北京郁金香文化节”中，北京国际鲜花港的株郁金香为京城增添了亮丽的色彩．若这些郁金香平均每平方米种植的数量为（单位：株平方米），总种植面积为（单位：平方米），则与的函数关系式为 　　．（不要求写出自变量的取值范围） 36．（2023•临汾模拟）阅读与思考 下面是小宇学习了“反比例函数的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：满足的反比例函数关系，它的图象如图所示． 问题一：请写出这个反比例函数的表达式：　　 问题二：如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？ 方法 分析问题 解答过程 解法一 因为中电流，可以得到关于的不等式并求解 解：　　，且， 　　， ， ※，（依据：★ ▲． 解法二 因为，可以求出当电流时相应的值，并通过反比例函数的增减性求的取值范围 任务： （1）问题一中反比例函数的表达式为 　　； （2）问题二中※表示：　　，★表示：　　，▲表示：　　； （3）完成问题二中解法二的解答过程． 题型一十．反比例函数的应用 37．（2024秋•长春月考）如图所示，学校九年级举行跳绳比赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成绩的优秀率（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数的情况，其中描述1班和3班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是　　 A．1班 B．2班 C．3班 D．4班 38．（2024秋•鼓楼区校级月考）某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流（A）与可（A）变电阻之间的函数关系如图所示，当某种使用这种蓄电池的用电器的安全电流最大为时，原电路中已经有一个的定值电阻，则至少应再串联一个 　　的电阻才可以保证电路安全（已知：串联电路的总电阻等于各电阻之和）． 39．（2024•南充模拟）有一组并联电路，如图所示，两个电阻的电阻值分别为、，总电阻值为，三者关系为：．若已知，，则 　　． 40．（2024•内乡县三模）心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）． （1）求注意力指标数与时间（分钟）之间的函数表达式； （2）开始学习后第4分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （3）某些数学内容的课堂学习大致可分为三个环节：即“教师引导，回顾旧知；自主探索，合作交流；总结归纳，巩固提高”，其中“教师引导，回顾旧知”环节10分钟；重点环节“自主探索，合作交流”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40，请问：这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01章 反比例函数 章节整合练习（10个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念 形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 知识点2．反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 知识点3．反比例函数图象的对称性 反比例函数图象的对称性： 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点． 知识点4．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 知识点5．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 知识点6．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 知识点7．待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 知识点8．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 知识点9．根据实际问题列反比例函数关系式 根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式． 根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的． 注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围． 知识点10．反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 章节题型整合练习 题型一．反比例函数的定义 1．（2024秋•青秀区校级月考）若为关于的反比例函数，则的值是　　 A． B．0 C．1 D．2 【分析】根据反比例函数的定义得出关于的方程，求出的值即可． 【解答】解：为关于的反比例函数， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查的是反比例函数的定义，熟知形如为常数，的函数称为反比例函数是解题的关键． 2．（2024秋•巴州区校级月考）下列函数中：（1）；（2）；（3）；（4），反比例函数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据反比例函数的定义求解作答即可． 【解答】解：由题意知，是反比例函数，其他三个关系式不是反比例函数， 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数解析式．熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 3．（2024•石峰区一模）若函数是关于的反比例函数，则　　． 【分析】根据反比例函数的定义作答即可． 【解答】解：根据反比例函数的定义，得，且， 解得或（舍去）， ． 故答案为：5． 【点评】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是本题的关键． 4．（2022秋•石阡县月考）已知函数． （1）若是关于的正比例函数，求的值； （2）若是关于的反比例函数，求出的值，并写出此时与的函数关系式． 【分析】（1）根据是不等于零的常数）是正比例函数，可得答案； （2）根据转化为的形式． 【解答】解：（1）由是正比例函数，得 且， 解得； （2）由是反比例函数，得 且， 解得． 故与的函数关系式． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式转化为的形式． 题型二．反比例函数的图象 5．（2024春•海陵区期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】分及两种情况考虑，根据一次函数图象与系数的关系、反比例函数的图象对照四个选项即可得出结论． 【解答】解：当时，一次函数的图象过一、三、四象限，反比例函数的图象在一、三象限， 当时，一次函数的图象过一、二、四象限，反比例函数的图象在二、四象限， 、、不符合题意，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，分及两种情况考虑是解题的关键． 6．（2024春•锦江区校级月考）在、、、0、1、2，3这七个数中，随机选取一个数，记为，那么使得关于的反比例函数的图象位于第一、三象限，且使得关于的方程有整数解的概率为 　　． 【分析】依据题意，首先确定使得关于的反比例函数的图象位于第一、三象限，且使得关于的方程有整数解的的值，然后利用概率公式求解即可． 【解答】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ． ． ，1，2，3． 将，1，2，3分别代入方程得，解为整数的的值为． （使得关于的反比例函数的图象位于第一、三象限，且使得关于的方程有整数解）． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解分式方程、反比例函数的图象、概率公式，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 7．（2022春•钦北区校级月考）两个不同的反比例函数的图象能否相交？为什么？ 【分析】根据函数与方程的关系列出方程组，解得，这与不符． 【解答】解：两个不同的反比例函数的图象不能相交， 这是因为若反比例函数和相交，则， 解得， 这与不符， 所以两个不同的反比例函数的图象不能相交． 【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 8．（2024春•宁津县校级月考）（1）将函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为 　　． （2）①将函数的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为 　　，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为 　　． ②函数的图象可由的图象向 　　平移 　　个单位得到．函数的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？ 【分析】（1）利用二次函数平移规律“左加右减，上加下减，注意左右平移时，是针对平移”即可求解； （2）①利用二次函数平移规律推广到反比例函数“左加右减，上加下减，注意左右平移时，是针对平移”即可求解；②利用二次函数平移推广到所有函数“左加右减，上加下减，注意左右平移时，是针对平移”即可求解． 【解答】解：（1）根据二次函数平移规律得： 将函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位， 所得图象的函数表达式为：， 故答案为：； （2）①将函数的图象向右平移1个单位，由平移的性质得， 平移后所得图象的函数表达式为：； 再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为：； 故答案为：；； ②， 函数的图象可由的图象向上平移1个单位得到； ， 函数的图象可由函数的图象沿轴向右平移2个单位，再沿轴向上平移4个单位得到， 故答案为：上；1． 【点评】本题考查的是二次函数、反比例函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 题型三．反比例函数图象的对称性 9．（2024•汝南县一模）如图，双曲线与直线相交于、两点，点坐标为，则点坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【解答】解：点与关于原点对称，且点坐标为， 点的坐标为． 故选：． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握． 10．（2023秋•竞秀区期末）如图，点是反比例函数的图象与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则该反比例函数的表达式为　　 A． B． C． D． 【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积，即可求得圆的半径，再根据在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得的值． 【解答】解：设圆的半径是，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：． 解得：． 点是反比例函数与的一个交点． 且． ． ， 则反比例函数的解析式是：． 故选：． 【点评】本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系． 11．（呼和浩特模拟）如果直线与双曲线的一个交点的坐标为，则它们的另一个交点的坐标为 　　． 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【解答】解：因为直线与双曲线的交点均关于原点对称， 所以另一个交点坐标为． 【点评】本题考查反比例函数图象的中心对称性，即两点关于原点对称． 12．（洪山区期中）（1）点关于轴对称的点的坐标是 　　． （2）反比例函数关于轴对称的函数的解析式为 　 　． （3）求反比例函数关于轴对称的函数的解析式． 【分析】（1）此题只需根据“两点关于轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数”即可得到对称点的坐标； （2）此题只需根据“两反比例函数关于轴对称，比例系数互为相反数”即可求得关于轴对称的函数的解析式； （3）此题只需根据“两反比例函数关于轴对称，比例系数互为相反数”即可求得关于轴对称的函数的解析式． 【解答】解：（1）由于两点关于轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数； 则点关于轴对称的点的坐标是； （2）由于两反比例函数关于轴对称，比例系数互为相反数； 则， 即反比例函数关于轴对称的函数的解析式为； （3）由于两反比例函数关于轴对称，比例系数互为相反数； 则反比例函数关于轴对称的函数的解析式为：． 故答案为：、． 【点评】本题考查了反比例函数的对称性，要求同学们熟练掌握． 四．反比例函数的性质（共4小题） 13．（2024•闽侯县校级模拟）函数的图象中，在每个象限内随增大而增大，则可能为　　 A． B． C．0 D．1 【分析】根据反比例函数的性质列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【解答】解：反比例函数的图象中，在每个象限内随增大而增大， ， 解得． 观察选项，只有选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键． 14．（2024•郫都区模拟）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是 　　． 【分析】由反比例函数图象经过第二、四象限，所以，求出范围即可． 【解答】解：反比例函数的图象经过第二、四象限， ， 得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟记“时，图象位于一、三象限；时，图象位于二、四象限”是解题关键． 15．（2024秋•昆都仑区校级月考）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 　　． 【分析】根据反比例函数性质分别求出、值，代入计算即可． 【解答】解：反比例函数，当时，函数的最大值是， 随增大而增大，当时，函数最大值， 反比例函数，当时，函数的最大值是， 随增大而增减小，当时，函数最大值， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数性质是关键． 16．（2024•振安区三模）对于某一函数给出如下定义：若存在实数，当其自变量的值为时，其函数值等于，则称为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度为零．例如，如图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度等于1． （1）分别判断函数，，有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度； （2）函数． ①若其不变长度为零，求的值； ②若，求其不变长度的取值范围． 【分析】（1）依据题意，根据所给信息逐个计算判断可以得解； （2）①依据题意，由函数的不变长度为零，故方程有两个相等的实数根，则，从而计算可以得解； ②依据题意，令，从而或，结合，可得，从而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，令，此时无解， 函数没有不变值；又令， ． 有和1两个不变值，其不变长度为2； 又令， 或． 函数有0和1两个不变值，其不变长度为1． （2）①由题意，函数的不变长度为零， 方程有两个相等的实数根． ． ． ②由题意，令， 或． ， ． 函数的不变长度的取值范围为． 【点评】本题主要考查了反比例函数的性质、一次函数的性质、二次函数的性质、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 题型五．反比例函数系数k的几何意义 17．（2024•衡阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数为常数，，的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值　　 A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数值几何意义运算即可． 【解答】解：的面积为， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查了的几何意义．用表示的面积是本题的解题关键． 18．（2024秋•济南期中）反比例函数的图象如图，在中，，边轴，边轴且与函数图象交于点，边与此函数图象交于、两点，且，，则的值为 　　． 【分析】设点的坐标为则，，，，，，根据列方程解出值即可． 【解答】解：设点的坐标为则，，，， ，， ， ， ， 解得． 【点评】本题考查了反比例函数值的几何意义，巧设点的坐标是解答本题的关键． 19．（2022•靖江市二模）反比例函数，的图象如图所示，点为轴上不与原点重合的一动点，过点作轴，分别与、交于、两点． （1）当时，求； （2）延长到点，使得，求在点整个运动过程中，点所形成的函数图象的表达式．（用含有的代数式表示）． 【分析】（1）当时，，，即可得； （2）设，则，，，分两种情况：①当时，，，设，，则，可得，②当时，可得． 【解答】解：（1）当时，， ， 在的图象上， ， ， 答：； （2）设，则，， ， ①当时，， ， ， 设，，则， ，即点所形成的函数图象的表达式为， ②当时，， 同理可得， 综上所述，点所形成的函数图象的表达式为． 【点评】本题考查反比例函数图象及性质，解题的关键是分类思想的应用． 20．（2022•德城区模拟）如图，、两点在反比例函数的图象上，其中，轴于点，轴于点，且 （1）若，则的长为 　　，的面积为 　　； （2）若点的横坐标为，且，当时，求的值． 【分析】（1）由和的值可得出点的坐标，利用勾股定理即可求出的长度，由点在反比例函数图象上，利用反比例函数系数的几何意义即可得出的面积； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征可找出点、的坐标，利用两点间的距离公式即可求出、的长度，由即可得出关于的方程，解之经检验后即可得出值． 【解答】解：（1），， 点， ，． 点在反比例函数的图象上， ． 故答案为：；1． （2），两点在函数的图象上， ，， ，． ， ， 解得：，， 经检验，，均为原方程的解，符合题意，不符合题意，舍去， ． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）根据反比例函数系数的几何意义找出的面积；（2）根据找出． 题型六．反比例函数图象上点的坐标特征 21．（2024•五华区校级模拟）已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于　　 A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 【分析】先把点代入函数解析式，求出值，再根据反比例函数的性质求解即可． 【解答】解：由题意得，， 函数的图象位于第二，四象限． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征和反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 22．（2024•鸠江区一模）如果点，，，在反比例函数的图象上，且满足当时，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数的性质，可以得到关于的不等式，从而可以求得的取值范围． 【解答】解：点，，，为反比例函数图象上两点，当时，， ， 解得， 故选：． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正确记忆相关知识点是解题关键． 23．（2024•上海模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点是坐标原点，点在轴的正半轴上，点在函数的图象上，点在函数的图象上．若，则的值为 　　． 【分析】作于，由等腰三角形三线合一的性质得出，利用平行四边形的性质可知，故设，则，代入即可求得的值． 【解答】解：作于， ， ， ， 设，则， 点在函数的图象上． ， 故答案为：6． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，表示出点的坐标是解题的关键． 24．（2024•山东）列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： 1 1 　7　 　　 　　 7 （1）求、的值，并补全表格； （2）结合表格，当的图象在的图象上方时，直接写出的取值范围． 【分析】（1）根据表格信息建立方程组求解，的值，再求解的值，再补全表格即可； （2）由表格信息可得两个函数的交点坐标，再结合函数图象可得答案． 【解答】解：（1）当时，，即， 当时，，即， ， 解得：， 一次函数为， 当时，， 当时，，即， 反比例函数为：， 当时，， 当时，， 当时，， 补全表格如下： 1 1 7 7 故答案为：7；；； （2）由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为，， 当的图象在的图象上方时，的取值范围为或； 【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用图象法写自变量的取值范围，解答本题的关键是熟练掌握一次函数与反比例函数的性质． 题型七．待定系数法求反比例函数解析式 25．（2024•三亚二模）已知反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的表达式为　　 A． B． C． D． 【分析】把代入反比例函数中求出的值，从而得到反比例函数解析式． 【解答】解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数解析式为． 故选：． 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 26．（2024秋•黄浦区校级月考）在描述一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向轴，轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为2024，”乙同学说：“当时，点随着的增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是 　　． 【分析】根据甲同学的说法确定，再根据乙同学的说法确定，继而得到反比例函数的解析式即可． 【解答】解：根据题意，满足甲乙两同学说法的反比例函数解析式为：， 故答案为：， 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，熟知以上知识是解题的关键． 27．（2024•弥勒市二模）已知点在函数的图象上，则经过点的反比例函数的解析式为　　． 【分析】把点代入，求得的值，再将点代入，求出，即可求解． 【解答】解：把点代入， ， ， ， 把点代入，得：， 解得：， 此函数的解析式为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了求反比例函数解析式． 28．（2024秋•高新区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，等边三角形的顶点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）把△沿轴向右平移个单位长度，对应得到△．当这个函数的图象经过△一边的中点时，求的值． 【分析】（1）根据题意，可以求得点的坐标，从而可以求得该反比例函数的解析式； （2）根据题意，可分两种情况，求出的值，本题得以解决． 【解答】解：（1）点，等边三角形的顶点在反比例函数的图象上， 点的坐标为，， 得， 即反比例函数的表达式是； （2）当反比例函数过边的中点时，，，， 边的中点是，， ， 得； 当反比例函数过边的中点时，，，， 边的中点是，， 得； 由上可得，的值是2或6． 【点评】本题考查反比例函数的图象、待定系数法求反比例函数解析式、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质和数形结合的思想解答． 题型八．反比例函数与一次函数的交点问题 29．（2024•澄城县一模）如图，反比例函数，且为常数）的图象与直线，且为常数）交于、两点，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数的对称性可知点和点关于原点对称，据此求解即可． 【解答】解：反比例函数，且为常数）的图象与直线，且为常数）交于、两点， 由反比例函数的对称性可知，点的坐标为， 故选：． 【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数，解题的关键是掌握反比例函数对称性质． 30．（2024•李沧区三模）一次函数与反比例函数的图象交于点，点．当时，的取值范围是 　　． 【分析】根据，两点，画出反比例函数和一次函数草图，直接结合图象，可以得到答案． 【解答】解：一次函数和反比例函数相交于，两点， 根据，两点坐标，可以知道反比例函数位于第一、三象限， 画出反比例函数和一次函数草图，如图1， 由图可得，当时，或， 故答案为：或． 【点评】本题考查了反比例函数和一次函数交点问题，根据图象，直接写出答案，考查了数形结合思想． 31．（2024•海门区校级模拟）反比例函数与一次函数的图象都过． （1）求点坐标； （2）求反比例函数解析式． 【分析】（1）将点代入求得即可； （2）将所求点的坐标代入反比例函数解析式求得即可． 【解答】解：（1）将点代入得： ， 解得：， 点的坐标为； （2）将点代入得：， 反比例函数解析式为． 【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数相交的问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 32．（2024秋•天宁区校级期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【分析】（1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）求出点坐标得到线段长，根据代入数据计算即可； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集． 【解答】解：（1）一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ， ，， 反比例函数解析式为：， ，在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数解析式为：． （2）在一次函数中，令，则， ， ； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． 题型九．根据实际问题列反比例函数关系式 33．（2022秋•琅琊区校级期中）某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为1.2万元，前期付款4000元，后期每个月分期付一定的数额，则每个月的付款额（元与付款月数之间的函数关系式是　　 A．取正整数） B． C． D． 【分析】根据购买的电脑价格为1.2万元，交了首付4000元之后每期付款元，个月结清余款，得出，即可求出解析式． 【解答】解：购买的电脑价格为1.2万元，交了首付4000元之后每期付款元，个月结清余款， ， 取正整数）． 故选：． 【点评】此题主要考查了根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，注意先根据等量关系得出方程，难度一般． 34．（2023春•绿园区校级期中）一个皮球从高处落下后，会从地面弹起．下表记录了小球从不同高度落下时的弹跳高度，其中表示落下高度，表示弹跳高度．则符合表中数据的函数解析式是　　 落下高度 80 100 160 200 弹跳高度 40 50 80 100 A． B． C． D． 【分析】由表格中数据间变化关系可得此题结果为， 【解答】解：由表格中数据可知，弹跳高度是落下高度的， 即， 故选：． 【点评】此题考查了确定实际问题中的函数解析式的能力，关键是能准确理解题目中的数量关系，并能列式表达． 35．（罗湖区期末）在“2011年北京郁金香文化节”中，北京国际鲜花港的株郁金香为京城增添了亮丽的色彩．若这些郁金香平均每平方米种植的数量为（单位：株平方米），总种植面积为（单位：平方米），则与的函数关系式为 　　．（不要求写出自变量的取值范围） 【分析】根据总种植面积平均每平方米种植的数量为郁金香的总数量，结合题意可得出与的关系． 【解答】解：由题意得：郁金香的总数量为株，平均每平方米种植的数量为，总种植面积为， 可得：． 故答案为：． 【点评】本题考查根据实际问题列反比例函数的关系式，属于应用题，难度一般，解答本题的关键是找到、与郁金香总数量之间的关系． 36．（2023•临汾模拟）阅读与思考 下面是小宇学习了“反比例函数的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：满足的反比例函数关系，它的图象如图所示． 问题一：请写出这个反比例函数的表达式：　　 问题二：如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？ 方法 分析问题 解答过程 解法一 因为中电流，可以得到关于的不等式并求解 解：　　，且， 　　， ， ※，（依据：★ ▲． 解法二 因为，可以求出当电流时相应的值，并通过反比例函数的增减性求的取值范围 任务： （1）问题一中反比例函数的表达式为 　　； （2）问题二中※表示：　　，★表示：　　，▲表示：　　； （3）完成问题二中解法二的解答过程． 【分析】（1）根据函数图象上点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出值，进而可得出反比例函数的表达式； （2）由，且，可得出，结合，即可求出的取值范围； （3）利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出当时的值，由且，利用反比例函数的性质，可得出随的增大而减小，再结合，即可求出的取值范围． 【解答】解：（1）反比例函数的图象过点， ， ， 反比例函数的表达式为． 故答案为：； （2），且， ， ， （不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变）， ． 故答案为：，，36，不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，； （3）解法二：当时，， 解得：， ，且， 随的增大而减小， 又， ． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、不等式的性质以及反比例函数的性质，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出值；（2）利用不等式的性质，求出的取值范围；（3）利用反比例函数的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，求出的取值范围． 题型一十．反比例函数的应用 37．（2024秋•长春月考）如图所示，学校九年级举行跳绳比赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成绩的优秀率（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数的情况，其中描述1班和3班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是　　 A．1班 B．2班 C．3班 D．4班 【分析】设，过4班点，2班点作轴的平行线交反比例函数于，，设1班点为，，2班点，，3班点为，，4班点，，点为，，点为，，由图象得到，，依题意得：，，，分别为1班、2班、3班、4班的优秀人数．于是得到结论． 【解答】解：设， 过4班点，2班点作轴的平行线交反比例函数于，， 设1班点为，，2班点，，3班点为，，4班点，，点为，，点为，， 由图象可知：，， 依题意得：，，，分别为1班、2班、3班、4班的优秀人数． 由题意可得： ， ，， ，， ， 即：4班优秀人数班优秀人数班优秀人数班优秀人数， 故选：． 【点评】本题主要考查反比例函数图象与性质的实际应用，读懂题意，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决问题的关键． 38．（2024秋•鼓楼区校级月考）某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流（A）与可（A）变电阻之间的函数关系如图所示，当某种使用这种蓄电池的用电器的安全电流最大为时，原电路中已经有一个的定值电阻，则至少应再串联一个 　2　的电阻才可以保证电路安全（已知：串联电路的总电阻等于各电阻之和）． 【分析】用待定系数法求出反比例函数解析式，根据函数解析式求值即可． 【解答】解：从图中可以看出：与呈反比例函数关系， 设， 代入，， 得， ， ， 令，则， 蓄电池的用电器的安全电流最大为，即， 与呈反比例函数关系， ， ， 则至少应再串联一个的电阻． 故答案为：2． 【点评】本题考查反比例函数的图象，能够读懂反比例函数的图象是解决问题的关键． 39．（2024•南充模拟）有一组并联电路，如图所示，两个电阻的电阻值分别为、，总电阻值为，三者关系为：．若已知，，则 　　． 【分析】由解分式方程的步骤进行即可求解． 【解答】解：由题意得：， 即， 解得：； 经检验是原分式方程的根， 故答案为：12． 【点评】本题考查了解分式方程，正确找到等量关系列出方程是解题关键． 40．（2024•内乡县三模）心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）． （1）求注意力指标数与时间（分钟）之间的函数表达式； （2）开始学习后第4分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （3）某些数学内容的课堂学习大致可分为三个环节：即“教师引导，回顾旧知；自主探索，合作交流；总结归纳，巩固提高”，其中“教师引导，回顾旧知”环节10分钟；重点环节“自主探索，合作交流”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40，请问：这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由． 【分析】（1）从图象上看，表示的函数为一次函数，是平行于轴的线段，为双曲线的一部分，设出解析式，代入数值可以解答； （2）把自变量的值代入相对应的函数解析式，求出对应的函数值比较得出； （3）求出相对应的自变量的值，代入相对应的函数解析式，求出注意力指标数与40相比较，得出答案． 【解答】解：（1）设，把，代入函数解析式解得： ， 由图象直接得到； 设，把代入函数解析式解得； （2）把代入，得， 把代入，得， 因为， 所以第35分钟时学生的注意力更集中； （3）不合理．理由如下： 因为分钟，把代入， 解得， 所以这样的课堂学习安排不合理． 【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是根据实际情况，结合图象，求出相对应的函数解析式，计算出数值，代入相应的函数解析式解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$