第02讲 用样本估计总体（4个知识点+12大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年高一数学寒假衔接讲义（人教A版2019必修第二册）

第02讲 用样本估计总体（4个知识点+12大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 根据条形统计图解决实际问题 题型二 根据折线统计图解决实际问题 题型三 根据扇形统计图解决实际问题 题型四 根据频率分布表解决实际问题 题型五 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 题型六 总体百分位数的估计 题型七 众数 题型八 中位数 题型九 平均数 题型十 计算几个数据的极差、方差、标准差 题型十一 根据方差、标准差求参数 题型十二 估计总体的方差、标准差 知识点一 频率分布直方图 (1)频率分布表的画法： 第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表. (2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图) 知识点二 频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图. (2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线. 知识点三 总体百分位数的估计 （1）概念：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有（100-p）%的数据大于或等于这个值. （2）求解步骤 可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数: 第1步,按从小到大排列原始数据 第2步,计算i=n*p%. 第3步,若i不是整数,而大于j的比邻整数为j则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第（i+1）项与第项数据的平均数 （3）知识剖析：几个重要的百分位数 1)我们在初中学过的中位数,相当于是第50 百分位数. 2)在实际应用中,除了中位数外,常用的分位数还有第25百分位数.第75百分位数.以上三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等. 知识点四 样本的数字特征 (1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数. (2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数. (3)平均数：把(a1＋a2＋…＋an)/n称为a1，a2，…，an这n个数的平均数. (4)极差：一组数据中最大值与最小值的差值 (5)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，则这组数据的标准差和方差分别是 [常用结论与微点提醒] 1.频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数. (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的. (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 2.平均数、方差的公式推广 (1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为x，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是mxn＋a. (2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2. ①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2； ②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2. 【核心考点一 根据条形统计图解决实际问题】 【例1】（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）黑龙江省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一．某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（   ） A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数 B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数 C．样本中男生人数少于女生人数 D．样本中选择物理学科的人数较多 【答案】D 【分析】根据等高条形图的概念结合条件逐项分析即得． 【详解】根据等高条形图图2可知样本中男生人数多于女生人数，故C错误； 根据等高条形图图1可知样本中选择物理学科的人数较多，故D正确； 样本中选择物理学科的人数多于选择历史意愿的人数，而选择物理意愿的男生比例高，选择历史意愿的女生比例低， 所以样本中选择物理意愿的男生人数多于选择历史意愿的女生人数，故A错误； 样本中女生选择历史意愿的人数不一定多于男生选择历史意愿的人数，故B错误． 故选：D． 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）如图是某超市一年中各月份的收入与支出（单位：万元）情况的条形统计图．已知利润为收入与支出的差，即利润＝收入－支出，则下列说法正确的是（    ） A．利润最高的月份是2月份，且2月份的利润为40万元 B．利润最低的月份是5月份，且5月份的利润为10万元 C．收入最少的月份的利润也最少 D．收入最少的月份的支出也最少 【答案】D 【分析】根据条形统计图中的数据逐个分析判断即可. 【详解】对于AB，由统计图知1至12月份的利润分别为10，10，15，10，10，10，10，5，10，15，10，10万元， 所以利润最高的月份是3月份和10月份，利润最低的月份是8月份，所以AB错误， 对于C，由统计图可知收入最少的月份为5月份，而利润最低的月份是8月份，所以C错误， 对于D，由统计图可知收入最少的月份为5月份，支出最少的月份也为5月份，所以D正确. 故选：D 【例3】（23-24高一下·全国·课前预习）柱状图 柱状图（也称为条形统计图）可以形象地比较各种数据之间的 . 【答案】数量关系 【分析】略 【详解】略 【点睛】 【例4】24-25高一上·全国·课前预习）条形统计图：直观描述不同类别或分组数据的 ． 【答案】频数 【分析】略 【详解】略 【例5】（24-25高一上·全国·课堂例题）为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容：为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查（每人只选一项内容），整理调查结果，绘制统计图如图所示． 请根据统计图提供的信息回答以下问题： (1)求抽取的学生数； (2)若该校有3000名学生，估计喜欢收听易中天《品三国》的学生人数． 【答案】(1)300（人） (2)1060（人） 【分析】（1）根据题中统计图即可得结果； （2）根据估计喜欢收听易中天《品三国》的频率，进而可得人数. 【详解】（1）从统计图上可以看出，抽取的学生数（人）． （2）喜欢收听易中天《品三国》的男生有64人，女生有42人，共有106人，占所抽取总人数的比例为， 由于该校有3000名学生， 因此可以估计喜欢收听易中天《品三国》的学生有（人）． 【核心考点二 根据折线统计图解决实际问题】 【例1】（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（   ） A．最高气温的极差范围 B．10月的最高气温不低于5月的最高气温 C．最低气温低于0℃的月份有4个 D．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月 【答案】C 【分析】根据折线图对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，最高气温最低的月为月，最高气温最高的月为月， 观察图象可知，最高气温的极差范围，A选项正确. B选项，通过观察折线图可知，10月的最高气温不低于5月的最高气温，B选项正确. C选项，最低气温低于0℃的月份有个，C选项错误. D选项，通过观察折线图可知，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，D选项正确. 故选：C 【例2】（24-25高二上·四川成都·期中）某年1月25日至2月12日某旅游景区及其里面的特色景点累计参观人次的折线图如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．月日景区累计参观人次中特色景点占比超过了． B．月日至月日特色景点累计参观人次增加了人次． C．月日至月日特色景点的累计参观人次的增长率和月日至月日特色景点累计参观人次的增长率相等． D．月日至月日景区累计参观人次的增长率小于月日至月日的增长率． 【答案】D 【分析】根据折线图逐个计算各选项中的数据，从而得到正确的选项. 【详解】1月29日景区累计参观人次中特色景点的占比为，故A错误； 2月4日至2月10日特色景点累计参观人次增加了人次，故B错误； 2月4日至2月6日特色景点累计参观人次的增长率为， 2月6日至2月8日特色景点累计参观人次的增长率为， 因为，所以C错误； 2月8日至2月10日景区累计参观人次的增长率为， 2月6日至2月8日景区累计参观人次的增长率为， 因为，所以D正确. 故选：D 【例3】（23-24高一下·全国·课前预习）折线图 折线图能够形象的表示出数据的 . 【答案】变化情况 【分析】略 【详解】略 【例4】（24-25高三·上海·课堂例题）恩格尔系数（Engel’s Coefficient）是食品支出总额占个人消费支出总额的比重.居民可支配收入是居民可用于最终消费支出和储蓄的总和，即居民可用于自由支配的收入.下图为某市2013年至2019年该市恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图. 给出三个结论： ①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系； ②一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕； ③一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小. 其中正确的是 （填序号）. 【答案】①② 【分析】根据折线图的信息逐个分析判断 【详解】对于①，由折线图可知，恩格尔系数在逐年下降，居民人均支配收入在逐年增加，所以两者之间存在负相关关系，所以①正确； 对于②，恩格尔系数越小，居民人均支配收入越多，经济越富裕，所以②正确； 对于③，一个家庭收入越少，人们为解决温饱问题，收入的大部分用来购买食品， 即家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越大，所以③错误. 故答案为：①② 【例5】（2024高一下·全国·专题练习）为了了解我国电视机的销售情况，小张在某网站上下载了此图：    (1)小张获取数据的途径是什么？ (2)由图可知，电视机的销售总量在2011年达到最大值，你认为电视机销售总量出现下滑的主要原因是什么？ 【答案】(1)通过查询获得数据 (2)市场的饱和及新兴替代品的出现 【分析】（1）根据小张在某网站上下载的图求解； （2）根据数据和市场的供求求解. 【详解】（1）小张获取数据的途径是通过查询获得数据． （2）结合我国的经济发展水平可知，从2012年开始，电视机销售总量出现下滑的主要原因是市场的饱和及新兴替代品的出现． 【核心考点三 根据扇形统计图解决实际问题】 【例1】（2024·四川德阳·三模）2023年7月28日至8月8日，第31届世界夏季大学生运动会在成都市举行，某校在“大运会”举行前夕，在全校学生中进行“我和‘大运会’”的征文活动，对收到的稿件进行分类统计，得到如图所示的扇形统计图.已知全校高二年级共交稿360份，则全校高三年级的交稿数为（    ） A．320份 B．330份 C．340份 D．350份 【答案】C 【分析】计算高三所占的扇形圆心角度数，再根据比例关系求得高三年级的交稿数. 【详解】根据扇形统计图知，高三所占的扇形圆心角为， 在总交稿数中占比， 且高二年级共交稿360份，在总交稿数中占比， 所以总交稿数为份， 则高三年级的交稿数为份. 故选：. 【例2】（23-24高一下·贵州黔东南·期末）小波一星期的总开支（单位：元）分布如图1所示，一星期的食品开支（单位：元）分布如图2所示，则小波一星期的肉类开支占总开支的百分比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据频数分布直方图可知食品开支为300元，其中肉类开支为元，运用百分比公式计算出肉类占食品开支的百分比； 然后根据扇形统计图得出食品在所有开支中所占的百分比，两者相乘，即可求得一星期的肉类开支占总开支的百分比. 【详解】由图2知，小波一星期的食品开支为300元，其中肉类开支为元，占食品开支的， 而食品开支占总开支的，所以小波一星期的肉类开支占总开支的百分比为， 故选：C. 【例3】（23-24高一下·全国·课前预习）扇形图 扇形图（也称为饼图、饼形图），可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的 . 【答案】比例情况 【分析】略 【详解】略 【例4】（24-25高一上·全国·课前预习）扇形统计图：用圆形及圆内扇形的角度来表示一个样本（或总体）中各组成部分的数据占 ． 【答案】整体数据的比例 【分析】由扇形统计图的特征即可得出答案. 【详解】根据扇形统计图的特征可知，扇形的角度可以用来表示各组成部分的数据占整体数据的比例. 故答案为：整体数据的比例 【例5】（24-25高一上·全国·课后作业）某厂生产一种产品，图①是该厂第一季度三个月产量的统计图，图②是这三个月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图，统计员在制作图①，图②时漏填了部分数据．根据上述信息，回答下列问题： (1)该厂第一季度几月份的产量最高？ (2)该厂一月份的产量占第一季度总产量的百分比是多少？ (3)该厂质检科从第一季度的产品中随机抽样，抽检结果发现样品的合格率为．请你估计该厂第一季度大约生产了多少件合格的产品？（写出解答过程） 【答案】(1)三月 (2) (3)4900（件） 【分析】（1）根据条形统计图判断； （2）根据扇形统计图求解； （3）由两统计图结合求出第一季度总产量，再乘以可得答案. 【详解】（1）由条形统计图可知，三月的产量最高． （2）该厂一月份的产量占第一季度总产量的百分比为. （3）该厂共生产（件）产品．因为合格率为， 所以该厂第一季度大约生产了（件）合格的产品． 【核心考点四 根据频率分布表解决实际问题】 【例1】（2024·四川成都·模拟预测）在年巴黎奥运会上，我国网球选手郑钦文历经场比赛，勇夺巴黎奥运会女子网球单打冠军，书写了中国网球新的历史．某学校有名学生，一机构在该校随机抽取了名学生对郑钦文奥运会期间场单打比赛的收看情况进行了调查，将数据分组整理后，列表如下： 观看场次 观看人数占调查 人数的百分比 从表中数据可以得出的正确结论为（   ）． A．表中的数值为 B．观看场次不超过场的学生的比例为 C．估计该校观看场次不超过场的学生约为人 D．估计该校观看场次不低于场的学生约为人 【答案】D 【分析】对于A，根据数据百分比的和为可以计算出的值；对于B，计算出观看场次为、、、场的百分比和即可得出所求比例；对于C、D，分别计算出符合问题的百分比和，再乘以总人数，即可求得结果. 【详解】由表可知，， 解得，选项A错误； 观看场次不超过场的学生的比例为，选项B错误； 观看场次不超过场的学生的比例为， 则观看场次不超过场的学生约为人，选项C错误； 观看场次不低于场的学生的比例为， 则观看场次不低于场的学生约为人，选项D正确． 故选：D 【例2】（23-24高二下·上海浦东新·期中）下表是“膜法世家”形象代言人选举得票情况统计，其中周柯宇的票数被污损了无法看清，那么应该当选的人是（    ） 姓    名 张元英 林正英 米    卡 周柯宇 林    墨 合    计 票    数 250 200 380 320 1550 A．米卡 B．周柯宇 C．无法确定 D．合计 【答案】B 【分析】由表格数据求出周柯宇的票数，由此确定当选的人. 【详解】由已知周柯宇的票数为， 所以应该当选的人是周柯宇. 故选：B. 【例3】（25-26高二上·上海·单元测试）将一个容量为m的样本分成3组，已知第一组的频数为10，第二、三组的频率分别为0.32和0.48，则 ． 【答案】50 【分析】先求出第一组的频率，再根据第一组的频率可求出m的值. 【详解】因为第二、三组的频率分别为0.32和0.48， 所以第一组的频率为， 因为第一组的频数为10， 所以. 故答案为：50 【例4】（23-24高三上·北京·期中）下表是某生活超市2021年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表： 生鲜区 熟食区 乳制品区 日用品区 其它区 营业收入占比 净利润占比 该生活超市本季度的总营业利润率为（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），给出下列四个结论： ①本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区： ②本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区； ③本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区； ④本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】②③④ 【分析】根据表中数据以及营业利润率的概念逐项进行分析并判断． 【详解】由题中数据知，其它类营业收入占比，为最低的，故①错； 生鲜区的净利润占比，故②正确； 生鲜区的营业利润率为，故④正确； 熟食区的营业利润率为； 乳制品区的营业利润率为； 其他区的营业利润率为； 日用品区为，最高，故③正确． 故答案为：②③④． 【例5】（23-24高二·上海·课堂例题）某展览馆随机抽取了2018年中5周的客流量（单位：人次），如下表所示．试估计该展览馆2018年(365天)有多少天的客流量超过了200． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 第1周 170 148 85 132 180 395 342 第2周 140 138 193 108 163 360 441 第3周 127 179 215 184 116 454 405 第4周 174 252 240 155 293 493 386 第5周 241 132 156 203 189 357 430 【答案】167天 【分析】先求出样本中客流量超过200的比例，再利用样本估计总体即可. 【详解】由表中数据可知，这5周共计35天中有16天的客流量超过了200， 用样本估计总体，所以2018年客流量超过200的有：（天） 即估计该展览馆2018年有167天的客流量超过了200. 【核心考点五 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量】 【例1】（24-25高三上·天津·阶段练习）从某小学随机抽取部分同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.已知身高在内的人数为10人，则身高在内的学生人数为（    ） A．40 B．60 C．80 D．2000 【答案】B 【分析】根据频率分布直方图求得正确答案. 【详解】依题意，身高在内的学生人数为人. 故选：B 【例2】（24-25高二上·黑龙江伊春·期中）2020年第1期深圳车牌摇号竞价指标共6668个，某机构从参加这期车牌竞拍且报价在1~8万元的人员中，随机抽取了若干人的报价，得到的部分数据整理结果如下： 报价区间 （单位：万元） 频数 10 36 40 则在这些竞拍人员中，报价不低于5万元的人数为（   ） A．30 B．42 C．54 D．80 【答案】C 【分析】先设竞拍人员总数，再根据频率等于频数除以总数得出总数，根据低于5万元的人数计算求出不低于5万元得人数. 【详解】设竞拍人员总数为，由解得； 第三组的频数为 报价低于5万元的人数为， 报价不低于5万元得人数为人. 故选：C. 【例3】（24-25高一上·陕西汉中·阶段练习）一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如表： 组别 频数 12 13 24 15 16 13 7 则样本数据落在内的频率为 ． 【答案】/ 【分析】由题意可得频数与总数，相除可得答案. 【详解】样本数据落在内的频数为， 样本数据落在内的频率为. 故答案为： 【例4】（2024·山西·模拟预测）某商场为了了解顾客的停车时长（单位：分钟），现随机抽取了100辆该商场到访顾客的车辆进行停车时长调查，将数据整理得到如下频率分布直方图：        则样本中停车时长在区间上的车辆数为 辆. 【答案】 【分析】利用频率直方图中频率之和为1求得的频率，进而求得的频数，从而得解. 【详解】依题意，设的频率为， 则，解得， 所以样本中停车时长在区间上的车辆数为. 故答案为：. 【例5】（24-25高一上·四川成都·开学考试）八年级（1）班同学为了解某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据整理成如下两幅不完整的统计图表： 月均用水量x（t） 频数（户） 频率 6 0.12 m 0.24 16 0.32 10 0.20 4 n 2 0.04 请根据以上信息，解答以下问题： (1)直接写出频数分布表中的m、n的值并把频数直方图补充完整； (2)求出该班调查的家庭总户数是多少？ (3)求该小区用水量不超过15的家庭的频率． 【答案】(1)，答案见解析 (2)50； (3)0.68. 【分析】（1）根据任意一组频数和频率即可得出总频数，即总频数为，即可得出，进而求得,补充完整的频数直方图见详解； （2）根据任意一组频数和频率即可得出总频数； （3）根据统计图表，即可求得该小区用水量不超过15的家庭的频率. 【详解】（1）∵频数为6，频率为, ∴总频数为, ∴, ∴, 数据求出后，即可将频数直方图补充完整，如下图所示： （2）根据（1）中即可得知，总频数为, 答：该班调查的家庭总户数是50户； （3）根据统计图表，该小区用水量不超过15的家庭的频率即为 【核心考点六 总体百分位数的估计】 【例1】（2024·贵州黔南·一模）样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（    ） A．16 B．19 C．20 D．22 【答案】C 【分析】利用百分位数的定义进行求解. 【详解】共有10个数，，故从小到大排列，选择第7个数和第8个数的平均数作为第70百分位数，即20为第70百分位数. 故选：C. 【例2】（2024·北京朝阳·模拟预测）设数据1，2，3，4，5的第m百分位为，，则集合M中元素的个数为（   ） A．5 B．6 C．9 D．100 【答案】C 【分析】根据百分位数的定义，利用的不同取值范围分类讨论求解. 【详解】设％，其中，所以％， 当时，，则的比邻整数为1，所以； 当时，，所以； 当时，，则的比邻整数为2，所以； 当时，，所以； 当时，，则的比邻整数为3，所以； 当时，，所以； 当时，，则的比邻整数为4，所以； 当时，，所以； 当时，，则的比邻整数为5，所以； 当时， ； 综上，， 故选:C. 【例3】（上海市宝山区2024-2025学年高三上学期教学质量监测数学试卷）某运动员在某次男子米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）为：，，，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为 . 【答案】/ 【分析】将数据从小到大排序，再根据百分位数的概念求解即可. 【详解】分数据从小到大为：，，，，，，，，，，，， 共个数，则， 所以这组数据的第百分位数为. 故答案为：. 【例4】（24-25高三上·上海奉贤·期中）某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的分位数为 【答案】120 【分析】先将6个数据从小到大进行排列，再根据百分位数的定义和求解步骤即可求解. 【详解】6位老年人的收缩压数据从小到大排列为：96，112，120，136，146，153， 因为，所以这组数据的分位数为120. 故答案为：120. 【例5】（23-24高一下·广东广州·阶段练习）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从地区随机抽取了名用户，从地区随机抽取了名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分，该公司将收集到的数据按照、、、分组，绘制成评分频率分布直方图如图． (1)从地区满意程度评分的第百分位数； (2)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该区间的中点值代替，估计地区抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，地区抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及两地区抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小． 【答案】(1)75 (2) 【分析】（1）根据百分位数的定义结合频率分布直方图求解即可； （2）由每组区间的中点值乘对应的频率再求和得到，再由求出，比较大小即可. 【详解】（1）因为前2组的频率和为， 前3组的频率和为， 所以第百分位数在第3组，设第百分位数为， 则，解得， 所以地区满意程度评分的第百分位数为75； （2）由频率分布直方图可得 ， ， 所以， 因为地区和地区所抽取的用户人数之比为， 所以地区抽取用户人数占总数的，地区抽取用户人数占总数的， 所以两地区抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值， 所以. 【核心考点七 众数】 【例1】（22-23高二上·广西百色·阶段练习）一组数据3.6，3.7，3.5，3.6，3.9，3.8，x，3.5中，众数只有3.5，则x的取值为（    ） A．3.5 B．3.4 C．3.2 D．3.1 【答案】A 【分析】根据众数定义，3.5的个数最多，由此可确定的值． 【详解】当时，众数就应该是3.5． 故选：A． 【例2】（22-23高二下·安徽芜湖·期中）2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的众数是（    ） A．45 B．47 C．48 D．63 【答案】A 【分析】根据众数的概念即得. 【详解】根据茎叶图可知该样本的众数是45. 故选：A. 【例3】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）若一组数据为1，1，2，3，2，3，5，4，3，6，则这组数据的众数为 . 【答案】3 【分析】根据众数的概念可得结果. 【详解】这组数据中，3出现的频数最大， 所以这组数据的众数为3. 故答案为： 【例4】（2022高二下·辽宁·学业考试）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某班级准备利用暑假进行“请党放心，强国有我”为主题的研学旅行．为了便于识别，该班级准备定做一批容量一致的双肩包．为此，班级负责人征求班内同学的意向，得到如下数据：为了照顾到绝大多数人的需求，则应该定做双肩包的容量为 ． 容量 23 25 27 29 31 33 频数 3 4 5 26 3 2 【答案】29 【分析】根据表中数据直接求解即可. 【详解】解：由题知，容量为29的双肩包的频数为26，大于其他容量的频数， 所以，为了照顾到绝大多数人的需求，则应该定做双肩包的容量为29. 故答案为：29 【例5】（24-25高一上·全国·课前预习）若某校高二年级7个班参加合唱比赛的得分分别为89，91，90，92，87，92，96，你能把数据从小到大排列吗？出现次数最多的数据是多少？ 【答案】可以，87，89，90，91，92，92，96；92． 【分析】利用众数的定义回答即可. 【详解】可以，从小到大依次是87，89，90，91，92，92，96；出现最多的是92． 【核心考点八 中位数】 【例1】（24-25高三上·云南·阶段练习）在某次数学月考中，有三个多选小题，每个小题的正确答案要么是两个选项，要么是三个选项，且每个小题都是6分，在每个小题给出的四个选项中，全部选对得6分，部分选对得部分分（正确答案是三个选项的，则每个选项2分；正确答案是两个选项的，则每个选项为3分，有错选的得0分）．已知这次考试中，第一个小题的正确答案是两个选项；小明同学在这三个多选小题中，第一个小题仅能确定一个选项是正确的，由于是多选题他随机又选了一个选项；而第二个小题他随机地选了两个选项，第三个小题他随机地选了一个选项，则小明同学这三个多选小题所有可能的总得分（相同总分只记录一次）的中位数为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 【答案】C 【分析】列出小明得分的所有情况后可求得分的中位数. 【详解】小明第一小题得分可为：0，6；第二小题得分可为：0，4，6； 第三小题得分可为：0，2，3； 故其总分可为：0，2，3，4，6，7，8，9，10，12，13，14，15， 故总得分的中位数为：8. 故选：C. 【例2】（2022高二上·新疆·学业考试）在一次数学考试后，数学老师随机抽取了10名同学的考试成绩，其茎叶图如下所示，则该样本数据的中位数为（    ） A．76.5 B．77 C．77.5 D．78 【答案】C 【分析】根据中位数的定义即可得解. 【详解】由茎叶图可知， 10名同学的成绩按从小到大的顺序为：， 所以其中位数为. 故选：C. 【例3】（24-25高二上·新疆喀什·期中）第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，全红禅以425的高分拿下冠军．下面统计某社团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，则这组数据的中位数为 ． 【答案】 【分析】将数据从小到大排列后，按中位数的定义求解即可. 【详解】解：将数据从小到大排列为：63，66，66，68，70，74，76，78，80，84. 所以中位数为：. 故答案为： 【例4】（2024·陕西铜川·三模）某校高一年级甲，乙两名同学8次历史测试（100分制）成绩如茎叶图所示，则甲，乙两名同学成绩的中位数之和为 . 【答案】 【分析】根据中位数的概念求解两组数据的中位数，即可得解. 【详解】由茎叶图知：甲数据为， 乙数据为， 所以甲，乙两组数据的中位数分别为， 故中位数之和为. 故答案为： 【例5】（23-24高一下·青海·期末）为了解某批零件的质量，质检员从这批产品中随机抽取100件产品，测量它们的直径（单位：mm），根据测量所得数据，将其按分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)估计这批零件的直径的中位数； (2)已知这批零件共有10000件，若零件的直径在内为优等品，估计这批零件中优等品的件数． 【答案】(1) (2)5000 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用中位数的含义，列式计算，可得答案； （2）由频率分布直方图求得直径在内的频率,计算即可得出结果. 【详解】（1）因为 所以这批零件的直径的中位数在内． 设这批零件的直径的中位数为，则， 解得， 即这批零件的直径的中位数为． （2）由频率分布直方图可知这批零件的直径在内的频率为， 则可估计这批零件中优等品的件数为． 【核心考点九 平均数】 【例1】（2024·河北邯郸·模拟预测）样本数据为2，3，4，4，5，a，5，6，7，9，若删除a后的新数据与原数据平均数相同，则a为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据平均数的定义代入计算可得结果. 【详解】删除a后的新数据的平均数为， 则原数据的平均数也为5，因此数据总和为50，所以可得， 解得. 故选：C 【例2】（23-24高二下·江苏宿迁·期末）已知样本数据，，…，的平均数为5，则，，…，的平均数为（    ） A．6 B．7 C．15 D．16 【答案】B 【分析】根据平均数的性质即可得的平均数为，则可得到新的一组数据的平均数. 【详解】由题意，样本数据，，…，的平均数为5， 设的平均数为， 即，解得， 根据平均数的性质知，，…，的平均数为. 故选：B. 【例3】（24-25高一上·四川成都·开学考试）廖老师为了了解学生周末利用网络进行学习的时间，在所任教班级随机调查了10名学生，其统计数据如下表： 时间（单位：小时） 4 3 2 l 0 人数 3 4 1 1 1 则这10名学生周末利用网络进行学习的平均时间是 小时. 【答案】2.7 【分析】依据加权平均数的概念求解可得. 【详解】这10名学生周末利用网络进行学习的平均时间是： . 故答案为：2.7 【例4】（2024高一下·全国·专题练习）有一组正数共5个，其平均值为，这5个正数再添加一个数28，其平均值为，则 . 【答案】 【分析】根据原5个正数的和加上等于六个正数的和来列方程求解. 【详解】设这个正数分别为，所以， 若增加一个数，则平均数为， 因此，即， 化简得：， 解得：或（舍）. 故答案为：. 【例5】（2024高三·全国·专题练习）某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用.三位候选人的各项测试成绩如下表所示： 测试项目 测试成绩 甲 乙 丙 教学能力 85 73 73 科研能力 70 71 65 组织能力 64 72 84 (1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由； (2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5∶3∶2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由. 【答案】(1)丙候选人将被录用，理由见解析 (2)甲侯选人将被录用，理由见解析 【分析】（1）由题意，分别计算三人的平均数即可求解； （2）根据加权平均数的概念计算，即可求解. 【详解】（1）甲的平均成绩为， 乙的平均成绩为， 丙的平均成绩为（. 所以丙候选人将被录用. （2）甲的测试成绩为. 乙的测试成绩为. 丙的测试成绩为. 所以甲侯选人将被录用. 【核心考点十 计算几个数据的极差、方差、标准差】 【例1】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（   ） A．据的平均数为13 B．数据的方差为12 C． D． 【答案】B 【分析】由平均数以及方差计算公式可得，由平均数性质可得A正确，由方差性质计算可得B错误，计算易知C正确，结合平均数与方差公式计算可得D正确. 【详解】依题意可得； 对于A，易知，即A正确； 对于B，依题意， 所以数据的方差为，即B错误； 对于C，由可得，即C正确； 对于D，由可得，‘ 即， 可得，即D正确. 故选：B 【例2】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现又加入一个数据6，此时这5个数据的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均数以及方差定义直接代入化简计算可得结果. 【详解】设这四个数为， 根据题意可得，即； 且，即； 加入数据6以后5个数据的平均数为， 所以方差为. 故选：D 【例3】（24-25高二上·云南·阶段练习）小洪从某公司购进6袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量（单位：g）为495，500，500，495，510，500，则这6袋白糖的平均质量为 g，这6袋白糖质量的标准差为 g. 【答案】 500 5 【分析】根据平均数和标准差公式求解. 【详解】根据题意可得这6袋白糖的平均质量为， 这6袋白糖质量的标准差为 . 故答案为：500；5. 【例4】（24-25高二上·湖北黄石·阶段练习）有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为 ，方差为 . 【答案】 7.5 6.8 【分析】由极差和平均数求出，即可求出中位数和方差. 【详解】由题意可知：极差为，平均数为， 则，解得， 所以中位线为； 方差为. 故答案为：7.5；6.8. 【例5】（2023高二上·宁夏·学业考试）有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶8次，每次命中的环数如下： 甲 10 9 8 7 9 6 7 乙 7 9 10 5 7 6 8 8 (1)求乙运动员成绩的平均数； (2)如果甲运动员成绩的平均数是8，求甲运动员成绩的方差． 【答案】(1)7.5 (2)1.5 【分析】（1）根据平均数的计算公式，即可求得答案； （2）利用甲的平均数求出x的值，再根据方差的计算公式，即可求得答案. 【详解】（1）乙运动员成绩分别为7、9、10、5、7、6、8、8， 则平均数． （2）因为甲运动员成绩平均数为8，甲成绩中未知的数为， 则， 即， 解得． 甲运动员成绩为10、9、8、8、7、9、6、7． 则方差 . 【核心考点十一 根据方差、标准差求参数】 【例1】（2024·河北·模拟预测）某同学掷一枚正方体骰子5次，记录每次骰子出现的点数，统计出结果的平均数为2，方差为0.4，可判断这组数据的众数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设五个点数为，由平均数，方差计算公式可分析出，5个点数不可能全为2，然后通过列举可得答案. 【详解】不妨设五个点数为，由题意平均数为2，方差为0.4， 知. 可知五次的点数中最大点数不可能为4，5，6. 五个点也不可能都是2，则五个点数情况可能是3，3，2，1，1，其方差为 ，不合题意. 若五个点数情况为3，2，2，2，1，其方差为 ，符合题意，其众数为2. 故选：B. 【例2】（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）一数学学习小组有5名同学，他们的历次数学考试成绩都比较稳定，且每次测试5人成绩的方差均为6左右.某次数学测试他们中的甲同学因故没能参加考试，其余四位同学的数学成绩分别为111分，114分，117分，118分.如果甲同学参加这次考试，利用以往的经验（方差为6）估计其成绩为（   ） A．112分 B．113分 C．115分 D．119分 【答案】C 【分析】根据题意，设甲的分数为，求得五位同学本次考试成绩的平均数，然后再由方差的公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设甲的分数为， 则这五位同学本次考试成绩的平均数为：， 所以这五位同学本次考试成绩的方差为： ，解得， 所以甲的分数为. 故选：C 【例3】（24-25高二上·湖北·期中）一组数据的平均数等于21，方差，则这组数据中 ． 【答案】 【分析】根据方差的计算公式分析出结果. 【详解】因为， 所以， 由平方运算的特点可知，所以. 故答案为：. 【例4】（24-25高二上·安徽·阶段练习）同学甲用公式计算一组样本数据的方差，那么 . 【答案】500 【分析】根据题意结合方差公式可知样本均值为5，即可得结果. 【详解】因为， 则样本均值为5，共100个数据，所以. 故答案为：500. 【例5】（22-23高一下·山东济南·期末）某社区工作人员采用分层抽样的方法分别在甲乙两个小区各抽取了8户家庭，统计了每户家庭近7天用于垃圾分类的总时间（单位：分钟），其中甲小区的统计表如下， 住户序号 1 2 3 4 5 6 7 8 所需时间 200 220 200 180 200 220 设分别为甲，乙小区抽取的第户家庭近7天用于垃圾分类的总时间，分别为甲，乙小区所抽取样本的方差，已知，其中． (1)若，求和的值； (2)甲小区物业为提高垃圾分类效率，优先试行新措施，每天由部分物业员工协助垃圾分类工作，经统计，甲小区住户每户每天用于垃圾分类的时间减少了5分钟．利用样本估计总体，计算甲小区试行新措施之后，甲乙两个小区的所有住户近7天用于垃圾分类的总时间的平均值和方差． 参考公式：若总体划为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：；，总的样本平均数为，样本方差为，则． 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）根据平均值和方差公式可得到关于和的两个等式，联立可得和. （2）根据题中给的公式，代入求值即可. 【详解】（1）由题意可知： ， 得：， ， 得， 解，得或， 因为，故 （2）设甲小区试行新措施之后，甲小区抽取的第户家庭近7天用于垃圾分类的总时间为， 则， 则， ， 【核心考点十二 估计总体的方差、标准差】 【例1】（24-25高二上·四川达州·期中）已知甲、乙两组数据的统计结果如下表.若将这两组数据混合后得到丙组数据，则丙组数据的方差为（    ） 样本容量 平均数 方差 甲组 20 10 1 乙组 30 15 6 A．10 B． C．9 D．3 【答案】A 【分析】对于本题，我们需要先求出丙组数据的平均数，再根据方差的计算公式求出丙组数据的方差。 【详解】根据题意，得到，，，. 那么丙组数据的平均数， 根据方差公式得到. . 则丙组数据的方差为10. 故选：A. 【例2】（2024·吉林长春·一模）为了解小学生每天的户外运动时间，某校对小学生进行平均每天户外运动时间（单位：小时）的调查，采用样本量按比例分配的分层随机抽样.如果不知道样本数据，只知道抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为2.5和1.65，抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为1.5和3.5，则估计该校学生平均每天户外运动时间的总体方差为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据平均数和方差的公式计算. 【详解】抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为，， 抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为，， 设抽取的总体样本的平均数为和方差为， 则， . 故选：C. 【例3】（24-25高二上·湖北恩施·期中）已知有名男生和名女生，其中名男生的平均身高为．方差为，名女生的平均身高为，方差为，则这名学生身高的方差为 ． 【答案】 【分析】根据分层抽样的方差公式计算即可. 【详解】由题意可知五人的平均身高为， 所以五人身高的方差为. 故答案为： 【例4】（24-25高二上·四川成都·期中）5月11日是世界防治肥胖日.我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，岁的儿童青少年肥胖率接近，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题.目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康.我国成人的BMI数值标准为为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖.某校为了解学生的健康状况，研究人员从学生的体测数据中，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，样本中有20名女生，女生的BMI值的平均数为20，方差为8；有30名男生，男生的BMI值的平均数为25，方差为18.则样本中所有学生的BMI值的方差为 . 【答案】20 【分析】根据分层随机抽样的总体方差公式即可求解. 【详解】设所有学生的BMI值的平均数为，方差为， 则， . 故答案为：20 【例5】（24-25高二上·湖北·阶段练习）在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56． (1)求抽取的总样本的平均数； (2)试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差． 【答案】(1)14 (2)16 【分析】（1）先确定样本中男生、女生的人数，再求总样本的平均数. （2）根据方差的概念，计算总样本的方差. 【详解】（1）样本中男生的人数为：；女生的人数为：. 所以总样本的平均数为：. （2）记总样本的方差为， 则. 所以，估计高二年级全体学生的百米成绩的方差为16. 【变式训练1 根据条形统计图解决实际问题】 1．（2024高二下·全国·专题练习）为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出等高堆积条形图（如图），根据图中的信息，下列结论中不正确的是（    ）． A．样本中的男生数量多于女生数量 B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量 C．样本中多数男生喜欢现金支付 D．样本中多数女生喜欢手机支付 【答案】C 【分析】根据题意，结合等高堆积条形图中的信息，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由题中左图可知，样本中的男生数量多于女生数量，所以A正确； 对于B中，由题中右图可知，样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量，所以B正确； 对于C中，由题中右图可知，样本中多数男生喜欢手机支付，所以C不正确； 对于D中，由题中右图可知，样本中多数女生喜欢手机支付，所以D正确． 故选：C． 2．（23-24高二上·上海黄浦·期末）以下是“我国2018-2022年货物进出口总额统计图”，下列说法错误的是（    ） A．从2019年开始，2020年的进口额年增长率最小 B．从2019年开始，2021年的出口额年增长率最大 C．从2019年开始，进出口总额逐年增大 D．从2019年开始，进出口总额年增长率逐年增大 【答案】D 【分析】根据条形图即可结合选项逐一求解. 【详解】由图中数据可知：2020年以及2019年的进口额分别为142936亿元和143254亿元，所以2020年的进口额年增长率为负数，而其他年份的增长率均为正数，故A正确， 由图中数据可知2021年与2020年比较，出口额差距最大,且为正增长，所以增长率最大，B正确， 由图中条形图的高度逐年上升可知从2019年开始，进出口总额逐年增大，C正确， 2020年的进出口总额为亿元，故2021年的增长率为，2022年的增长率为，故D错误， 故选：D 3．（24-25高一上·全国·课前预习）某班计划开展一些课外活动，全班有40名学生报名参加，他们就乒乓球、足球、跳绳、羽毛球等4项活动的参加人数做了统计，绘制了条形统计图如图所示，那么参加羽毛球活动的人数的频率是 . 【答案】0.1/ 【分析】根据频数分布直方图求出参加羽毛球活动的人数，从而可求出其频率. 【详解】由频数分布直方图可知参加羽毛球活动的人数为4人， 所以参加羽毛球活动的人数的频率是. 故答案为： 4．（21-22高二上·海南儋州·期末）一个射击运动员某次射击成绩如下图，若此次射击10次，则中七环的次数为 . 【答案】4 【分析】利用条形图求出击中七环的频率即可计算得解. 【详解】由条形图知，射击运动员击中七环的频率为0.4， 所以该射击运动员射击10次，中七环的次数约为. 故答案为：4 5．（24-25高一上·全国·课后作业）某校分别于2020年、2022年随机调查相同数量的学生，对数学课开展小组合作学习的情况进行调查（开展情况分为极少、有时、常常、总是共四种），绘制成部分统计图如下．请根据图中信息，解答下列问题： (1)________，________，“总是”对应扇形统计图中的圆心角度数为________； (2)请你补全条形统计图； (3)若该校2022年共有1200名学生，请你统计其中认为数学课“总是”开展小组合作学习的学生有多少名？ (4)相比2020年，2022年数学课开展小组合作学习的情况有何变化？ 【答案】(1)，，． (2)答案见解析 (3)480人 (4)有所好转 【分析】（1）利用开展情况为总是的人数得出总人数，进而由人数或比例求解即可； （2）利用比例计算“有时”、“常常”的人数，再填表； （3）利用比例计算数学课“总是”的人数； （4）观察条形统计图，得出结论. 【详解】（1）（人）， ， ， 圆心角度数为． （2）“有时”的人数为（人），“常常”的人数为（人）， 如图所示． （3）（人），故认为数学课“总是”开展小组合作学习的学生有480人． （4）相比2020年，2022年数学课开展小组合作学习的情况有所好转． 【变式训练2 根据折线统计图解决实际问题】 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下面的折线统计图描述了某地某日的气温变化情况．根据图中信息，下列说法错误的是（    ） A．4:00气温最低 B．6:00气温为24℃ C．14:00气温最高 D．气温是30℃的时刻为16:00 【答案】D 【分析】根据折线统计图对选项逐一进行判断即可得出结论. 【详解】由横坐标看出4:00气温最低，故A正确； 由纵坐标看出6:00气温为24℃，故B正确； 由横坐标看出14:00气温最高，故C正确； 由横坐标看出气温是30℃的时刻是12:00，16:00，故D错误． 故选：D 2．（2021·广西柳州·一模）空气质量的指标是反映空气质量状况的指数，指数的值越小，表明空气质量越好，指数不超过50，空气质量为优，指数大于50且不超过100，空气质量为良，指数大于100，空气质量为污染，如图是某市2020年空气质量指标的月折线图.下列关于该市2020年空气质量的叙述中不一定正确的是（    ） A．全年的平均指数对应的空气质量等级为优或良. B．每月都至少有一天空气质量为优. C．空气质量为污染的天数最多的月份是2月份. D．2月，8月，9月和12月均出现污染天气. 【答案】C 【分析】根据折线图的信息即可判断出答案. 【详解】对于A，由折线图知平均AQI指数值不超过100 所以A正确; 对于B，通过折线图知平均AQI指数均在50以下，说明至少有一天空气质量为优，所以B正确; 对于C，根据折线图2月份出现最大值，并不表示空气质量为“污染”的天数最多的月份是2月份，所以C错误； 对于D，2月，8月，9月和12月的最大值AQI指数有大于100，空气质量为“污染”，所以D正 确; 故选: C. 3．（2024·辽宁·三模）某同学将全班某次数学考试的成绩整理成频率分布直方图后，将每个小矩形上方线段的中点连接起来，并将小矩形擦去，得到频率分布折线图（如图所示）．已知该同学绘制频率分布直方图时确定的极差为60，组距为10，据此估计此次考试成绩的平均数是 ．    【答案】 【分析】利用频率分布折线图中的数据，结合求平均数的公式求解即可. 【详解】因为该同学绘制频率分布直方图时确定的极差为60，组距为10， 结合频率分布折线图可得各组的中点数据分别为， 所以此次考试成绩的平均数大约为 故答案为：. 4．（21-22高一·全国·课后作业）如图是某市5月1日至5月7日每天最高、最低气温的折线统计图，在这7天中，日温差最大的一天是 ． 【答案】5月5日 【分析】观察题目所给折线图即可得到结果. 【详解】由图知5月1日至5月7日的温差分别为，，，，，，， 故5月5日温差最大． 故答案为: 5月5日. 5．（22-23高一·全国·随堂练习）下面是2003年4月21日至5月15日上午10时，北京市非典型性肺炎疫情新增数据走势图．    (1)哪一天新增确诊的人数最多？哪一天新增疑似的人数最多？ (2)哪一天新增治愈的人数最多？哪一天新增死亡的人数最少？ (3)从图中，你能预测这次北京市非典型性肺炎疫情的发展趋势吗？ 【答案】(1)2003年4月29日新增确诊的人数最多，2003年4月27日新增疑似的人数最多． (2)2003年5月13日一天新增治愈的人数最多，2003年5月12日新增死亡的人数最少． (3)发展趋势见解析 【分析】利用折线图提供的数据和变化趋势直接求解 【详解】（1）由折线图得：2003年4月29日新增确诊的人数最多，2003年4月27日新增疑似的人数最多．    （2）由折线图得： 2003年5月13日一天新增治愈的人数最多， 2003年5月12日新增死亡的人数最少． （3）从图中，预测这次北京市非典型性肺炎疫情的发展趋势为： 北京市非典型性肺炎疫情初期确诊病例和疑似病例数量快速上升， 然后确诊病例和疑似病例数量逐渐下降． 【变式训练3 根据扇形统计图解决实际问题】 1．（23-24高一下·四川内江·期末）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图､90后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（    ） A．互联网行业从事技术岗位的人数中，90后比80后多 B．90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过整个从事互联网行业者总人数的 C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D．互联网行业从业人员中90后占一半以上 【答案】A 【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图即可判断各选项的真假． 【详解】选项A；设整个互联网行业总人数为a， 互联网行业中从事技术岗位的90后人数为，小于80后的人数， 但80后中从事技术岗位的人数比例未知，故A错误． 选项B：设整个互联网行业总人数为a，90后从事技术岗位人数为56％×39.6％a， 而90后总人数的20％为，故B正确； 选项C：设整个互联网行业总人数为a， 互联网行业中从事运营岗位的90后人数为， 超过80前的人数6％a，且80前中从事运营岗位的人数比例未知，故C正确； 选项D： 由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占，故D正确. 故选：A． 2．（23-24高一下·重庆·期末）某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1000名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1000名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图： 则选取的学生中，参加绘画社团的学生数为（    ） A．20 B．30 C．40 D．45 【答案】A 【分析】根据演讲人数及所占比求出选取的总人数，再求出绘画及合唱人数和即可得解. 【详解】由条形图得演讲人数为30，由饼状图得演讲人数占比，因此选取的总人数为， 由饼状图得绘画及合唱人数和占比为，人数和为， 由条形图得合唱人数为70，所以绘画人数为20. 故选：A 3．（2024高一下·全国·专题练习）把过期的药品随意丢弃，会造成对土壤和水体的污染，危害人们的健康．如何处理过期药品，有关机构随机对若干家庭进行调查，调查结果如图，其中对过期药品处理不正确的家庭达到 . 【答案】82% 【分析】首先要清楚过期药品应封存在家等待处理，然后根据扇形统计图分析得答案. 【详解】由图可知：对过期药品处理不正确的家庭达到， 故答案为：. 4．（2024高一下·全国·专题练习）某公司2023年在各项目中的总投资为万元，如图是几类项目的投资额占比情况，已知在万元以上的项目中，少于万元的项目投资额占，那么不少于万元的项目共投资 万元．    【答案】65 【分析】利用扇形图得1万元以上的项目的投资额占总投资的比例为，再根据条件，即可求出结果. 【详解】由题意，得在1万元以上的项目中，不少于3万元的项目投资额占， 而1万元以上的项目的投资额占总投资的比例为， 所以不少于3万元的项目共投资(万元)， 故答案为： 5．（23-24高一上·云南保山·开学考试）近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查.调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图.    请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)本次一共调查了多少名购买者？ (2)请补全条形统计图； 在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为______度. (3)若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？ 【答案】(1)200名 (2)答案见解析，108 (3)928名. 【分析】（1）根据频率即可求解， （2）根据频率之和即可求解， （3）根据所占频率即可求解. 【详解】（1），即本次一共调查了200名购买者； （2）D方式支付的有：（人）， A方式支付的有：（人）， 补全的条形统计图如图所示，    在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为： （3）（名）， 使用A和B两种支付方式的购买者共有928名. 【变式训练4 根据频率分布表解决实际问题】 1．（23-24高一下·广西·阶段练习）一个样本容量为600的频数分布表不小心被损坏了一部分．若样本中数据在内的频率为0.75，则样本中的数据在内的个数为（    ）    A．225 B．295 C．235 D．305 【答案】C 【分析】根据题设条件求出数据在内的频数，去掉内的频数即得. 【详解】因为数据在内的频率为0.75，所以数据在内的频数为， 故样本中数据在内的个数为． 故选：C. 2．（2023高二·重庆·学业考试）王老师对本班名学生报名参与课外兴趣小组（每位学生限报一个项目）的情况进行了统计，列出如下的统计表，则本班报名参加科技小组的人数是（　　） 组别 数学小组 写作小组 体育小组 音乐小组 科技小组 频率 A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】A 【分析】将本班人数乘以参加科技小组的频率，即可得解. 【详解】参加科技小组的频率为，则本班报名参加科技小组的人数是人. 故选：A. 3．（2023·上海普陀·模拟预测）投票评选活动中，经常采用简单多数原则或积分原则.简单多数原则指个评委对个候选人进行一次表决，各自选出认为最佳的人选，按每个候选人所得票数不同决定不同名次；积分原则指每个评委先对个候选人排定顺序，第一名得分，第二名得分，依此类推，最后一名得1分，每个候选人最后的积分多少决定各自名次.下表是33个评委对A､B､C､D四名候选人作出的选择，则按不同原则评选，名次不相同的候选人是 .            选票数 名次 6 7 5 3 9 3 1st C A C A B D 2nd A C D D A A 3rd B B B B D C 4th D D A C C B 【答案】和. 【分析】根据题意，分别按用简单多数原则或积分原则，求得的排名，再按不同的原则评选，即可求得名次不相同的候选人. 【详解】由题意，按简单多数原则排名，的得票数为，的得票数为， 的得票数为，的得票数为， 所以第一名为，第二名为，第三名为，第四名为， 按积分原则排名，的得分为， 的得分为， 的得分为， 的得分为， 所以第一名为，第二名为，第三名为，第四名为， 按不同的原则评选，名次不相同的候选人是，. 故答案为：和. 4．（21-22高一·全国·课后作业）某医院的急诊中心的记录表明以往到这个中心就诊的病人需等待的时间的分布如下： 等待时间/ 频率 0.20 0.40 0.25 0.10 0.05 则到这个中心就诊的病人平均需要等待的时间估计为 ． 【答案】 【分析】以每组等待时间的中点值代表该组等待时间，再求解平均值即可. 【详解】由题意，这个中心就诊的病人平均需要等待的时间估计为： . 故答案为： 5．（22-23高一·全国·课堂例题）下面是某城市公共图书馆在一年中通过随机抽样调查得到的60天读者借书量（单位：册），并排序如下： 213    230    239    289    291    301    308    310    311    312 318    318    337    343    344    348    349    351    360    362 368    372    374    379    383    385    390    393    396    398 399    400    404    406    425    429    430    436    438    440 441    444    446    453    456    458    471    473    475    483 484    495    498    498    521    524    549    556    568    584 为估计图书馆每天借书量的分布情况，以便合理安排工作人员，试根据以上数据制作一个频率分布表以帮助分析． 【答案】答案见解析 【分析】按照如下步骤完成：（1）计算极差，（2）确定组距和组数，（3）将数据分组，（4）列频率分布表．然后根据频数分布表得出样本数据的分布规律. 【详解】（1）计算极差（即一组数据中最大值与最小值的差） 样本数据中最小值是213，最大值是584．它们的极差是371． （2）确定组距和组数 这60个数据散布在闭区间中． 为了分组的方便，我们取一个略大的区间，然后将该区间分成若干组． 若取组距为50，那么组数，因此可以将数据分为8组． （3）将数据分组 将八等分，所分八组为：，，，，，，，． （4）列频率分布表 当样本量是的观测数据中有个落入第组时，我们称是第组的频率． 计算出数据落入各组中的频率为，，…，， 列出频率分布表，如下表所示． 分组 发生天数（频数） 频率 3 2 12 14 12 11 3 3 总计 60 上表体现了样本数据落在各个小组的比例大小，从中可以看到，借书量在内的天数最多，在和内的天数次之，大部分借书量集中在之间． 【变式训练5 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量】 1．（24-25高三上·天津静海·阶段练习）从某高中高三年级1000名随机选取100名学生一次数学统测测试成绩，分为6组：，，，，，，绘制了频率分布直方图如图所示，按此图估计，则高三年级全体学生中，成绩在区间内的学生有（    ） A．600名 B．650名 C．60名 D．65名 【答案】B 【分析】根据频率分布直方图求成绩在区间内的频率，即可得人数. 【详解】由题意可知每组的频率依次为：， 可知成绩在区间内的频率为，人数为. 故选：B. 2．（24-25高二上·黑龙江·开学考试）某校为了了解学生的体能情况，于6月中旬在全校进行体能测试，统计得到所有学生的体能测试成绩均在内.现将所有学生的体能测试成绩按分成三组，绘制成如图所示的频率分布直方图.若根据体能测试成绩采用按比例分层随机抽样的方法抽取20名学生作为某项活动的志愿者，则体能测试成绩在内的被抽取的学生人数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据题意，结合给定的频率分布直方图中的数据，即可求解. 【详解】根据题意得，体能测试成绩在内的被抽取的学生人数为. 故选：A. 3．（2024高二下·云南·学业考试）某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为 人. 【答案】68 【分析】计算出参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率，进而得到出参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数. 【详解】今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率为 ， 故参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为. 故答案为：68 4．（23-24高一下·广东潮州·期末）某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示.这100名学生中参加实践活动时间在4~10小时内的人数为 . 【答案】82 【分析】由频率分布直方图求出时间在4~10小时内的频率，再求人数. 【详解】依题意，100名学生中参加实践活动的时间在4~10小时内的人数为： ， 即这100名学生中参加实践活动时间在4~10小时内的人数为82. 故答案为：82. 5．（23-24高一下·福建福州·期末）已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）. 尺寸大于M的零件用于大型机器制造，尺寸小于或等于M的零件用于小型机器制造. (1)若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数； (2)若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器、小型机器各1000台的制造，每台机器仅使用一个该种型号的零件.现将一区生产车间生产的零件都用于大型机器制造，其中尺寸小于或等于M的零件若用于大型机器制造，每台会使得工厂损失200元；将二区生产车间生产的零件都用于小型机器制造，其中尺寸大于M的零件若用于小型机器制造，每台会使得工厂损失100元.求工厂损失费用的估计值H（M）（单位：元）的取值范围. 【答案】(1)一区有420个，二区有200个 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图分别求出一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率，再乘以500，可求出500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数； （2）根据频率分面上直方图求出一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M的频率，二区生产车间生产的零件尺寸大于M的频率，从而可表示出，再根据可求出其范围. 【详解】（1）由频率分面上直方图可知，一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为 ， 所以一区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数为 个， 二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为 ， 所以二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数为 个； （2）频率分面上直方图求出一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M的频率为 ， 二区生产车间生产的零件尺寸大于M的频率为 ， 所以 ， 因为，所以， 即. 【变式训练6 总体百分位数的估计】 1．（2024·吉林长春·一模）一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据百分位数的概念计算即可求解. 【详解】由题意知，该组数据共有8个，则 所以第25百分位数为. 故选：B 2．（24-25高三上·湖南·阶段练习）将某班一次数学考试的成绩（都是正整数，满分150分）统计整理后得到如下的表格： 成绩范围 0~89分 90~99分 100~109分 110~119分 120~129分 130~150分 人数 7 10 10 2 6 7 则该班这次数学考试成绩的分位数可能是（  ） A．93 B．108 C．117 D．128 【答案】D 【分析】根据百分位数的求法确定分位数所在的分数区间，即可得答案. 【详解】由题设，总人数有人，则， 结合表格数据知，这次数学考试成绩的分位数在120~129分内. 故选：D 3．（24-25高二上·湖北孝感·期中）将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：11，15，17，21，23，26，27，34，37，38，则该组数据的分位数为 ． 【答案】22 【分析】根据百分位的计算求解即可. 【详解】由， 所以该组数据的分位数是第4、5个数据的平均数， 则该组数据的分位数为. 故答案为：22. 4．（24-25高三上·上海·期中）今年国际国内金价屡创新高，金价波动也被金融媒体竞相报道 . 现抽取 2024 年前 11 个月的每月日的实物黄金价格数据如下表所示，则这组黄金价格数据的第 75 百分位数是 月份 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9月 10 月 11 月 黄金价格(元/克) 624 616 630 691 708 716 714 737 743 768 815 【答案】743 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】个数据按从小到大的顺序排列为： ， 因为， 所以这组黄金价格数据的第 75 百分位数是第九个数据，为. 故答案为：. 5．（24-25高二上·浙江杭州·期中）某公司招聘销售员，提供了两种日工资结算方案：方案（1）每日底薪100元，每销售一单提成2元；方案（2）每日底薪200元，销售的前50单没有提成，从第51单开始，每完成一单提成4元．该公司记录了销售员的每日人均业务量，现随机抽取一个季度的数据，将样本数据分为七组，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求直方图中的值； (2)若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘销售员做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）； (3)假设该销售员选择了你在（2）中所选的方案，已知公司现有销售员400人，他希望自己的收入在公司中处于前40名，求他每日的平均业务量至少应达多少单？ 【答案】(1)0.002 (2)选择方案（2） (3)每日的平均业务量至少应达82单 【分析】（1）由频率分布直方图的矩形面积和为1求出的值； （2）由每日人均业务量的平均值分别求出方案（1）和（2）的人均日收入；比较大小后再做选择； （3）用40除以400得到，该员工收入需要进入公司群体人员收入的前10%，即超过90%，分析90%是否在前5组频率和以及前6组频率和之间，设对应销为，由频率分布直方图的百分位数的公式得到对应的值. 【详解】（1）∵， ∴ （2）每日人均业务量的平均值为：， 方案（1）人均日收入为：元， 方案（2）人均日收入为： 元， ∵248元>224元， 所以选择方案（2） （3）∵，即设该销售员收入超过了90%的公司销售人员. 由频率分布直方表可知： 前5组的频率和为 前6组的频率和为 ∵，设该销售的每日的平均业务量为， 则， ∴，又∵ ∴最小取82， 故他每日的平均业务量至少应达82单. 【变式训练7 众数】 1．（2022高二下·广西·学业考试）下图是某城市5月24日到6月7日共15天的空气质量指数的茎叶图，则该城市15天的空气质量指数的众数为（     ） A．12 B．15 C．30 D．32 【答案】C 【分析】根据茎叶图和众数的知识确定正确答案. 【详解】根据茎叶图可知，众数为. 故选：C 2．（23-24高一下·河南信阳·阶段练习）一组样本数据：的众数为（    ） A．5 B．6 C．5，6 D．5.5 【答案】C 【分析】利用众数的概念可求答案. 【详解】因为样本数据中，5和6均出现3次，所以众数为5和6. 故选：C 3．（24-25高一上·全国·课前预习）众数：观测数据中出现 的数是众数，用表示． 【答案】次数最多 【分析】略 【详解】略 4．（23-24高二下·湖南娄底·阶段练习）一组数据为12，13，15，12，24，则众数为 ． 【答案】12 【分析】根据众数的定义判断即可. 【详解】由数据可知出现两次，其余数字只出现一次， 所以众数为. 故答案为： 5．（23-24高一·全国·课堂例题）一组数据的众数一定存在，且是唯一的吗？ 【答案】答案见解析 【详解】一般来说，一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数． 例如：1，2，3，3，4的众数是3．如果有两个或两个以上的数出现次数都是最多的， 那么这几个数都是这组数据的众数．例如：1，2，2，3，3，4的众数是2和3．如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据没有众数． 例如：1，2，3，4，5没有众数．故一组数据的众数可能不存在，若存在，则众数不一定唯一． 【变式训练8 中位数】 1．（24-25高三上·云南·期中）国家射击运动员在某次训练中的8次射击成绩（单位：环）分别为10，7，8，10，，10，8，6，其中为整数，若这8次射击成绩的中位数为9，则（    ） A．6 B．7 C．9 D．10 【答案】D 【分析】按中位数的定义结合选项逐一验证，即可求解. 【详解】将成绩（除了）从小到大排列为：6，7，8，8，10，10，10， 结合选项，只有时，这8次射击成绩的中位数. 故选：D. 2．（2024·河南新乡·一模）为了增强学生的体质，某中学每年都要举行一次全校一分钟跳绳测试．已知某次跳绳测试中，某班学生的一分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，则该班学生一分钟跳绳次数的中位数的估计值为（结果精确到整数）（   ） A．127 B．136 C．133 D．138 【答案】D 【分析】根据中位数的定义结合频数分布直方图求解即可. 【详解】该班共有人， 因为， 所以中位数在区间内，设为， 则，解得. 故选：D. 3．（24-25高一上·四川成都·开学考试）已知一组数据、、、、、的中位数是，则的值是 ． 【答案】 【分析】先确定从小到大排列后的位置，再根据中位数的定义解答即可． 【详解】根据题意，的位置按照从小到大的排列只能是：、、、、、， 根据中位数是，得：，解得：． 故答案为：． 4．（2024·陕西西安·一模）某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）．其中，成绩分组区间为，．用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计值为 ． 【答案】 【分析】利用频率分布直方图计算、估计数学成绩的中位数. 【详解】观察频率分布直方图，得数学成绩在区间的频率为， 数学成绩在区间的频率为， 因此数学成绩的中位数，且，解得， 所以这次考试数学成绩的中位数的估计值为. 故答案为： 5．（24-25高一上·全国·单元测试）亚健康是时下社会热门话题，进行体育锻炼是远离亚健康的一种重要方式，为了解某市初中学生每天进行体育锻炼的时间情况，随机抽样调查了100名初中学生，根据调查结果得到如图所示的统计图表． 类别 时间t（小时） 人数 A 5 B 20 C a D 30 E 10 请根据图表信息解答下列问题： (1)a＝________； (2)补全条形统计图； (3)小王说：“我每天的锻炼时间是调查所得数据的中位数”，问小王每天进行体育锻炼的时间在什么范围内？ (4)据了解该市大约有30万名初中学生，请估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数． 【答案】(1)35 (2)条形统计图见解析 (3)小时 (4)22.5万人 【分析】（1）用样本总量100减去类别的人数，即可求出； （2）由（1）所求的值即为类别的人数，即可补全条形统计图； （3）根据中位数的定义，将这组数据按从小到大的顺序排列，求出第50个与第51个数的平均数即为中位数； （4）用样本估计总体的计算方法进行求解即可. 【详解】（1）由题表可得，； （2）补全条形统计图如图所示． （3）根据中位数的定义可知，这组数据的中位数落在类别，所以小王每天进行体育锻炼的时间范围是：； （4）由于（万人）； 所以估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数是22.5万． 【变式训练9 平均数】 1．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知总体划分为3层，按比例用分层随机抽样法抽样，各层的样本量及样本平均数如下表： 分层 样本量 样本平均数 第一层 10 55 第二层 30 75 第三层 10 90 估计总体平均数为（    ） A．73 B．74 C．76 D．80 【答案】B 【分析】利用分层抽样的平均数公式，列式计算即得. 【详解】依题意，估计总体平均数为. 故选：B 2．（23-24高一下·甘肃定西·阶段练习）为了配合调配水资源，某市欲了解全市居民的月用水量.若通过简单随机抽样从中抽取了1000户进行调查，得到其月用水量的平均数为9吨，则可推测全市居民用户月用水量的平均数（    ） A．一定为9吨 B．高于9吨 C．约为9吨 D．低于9吨 【答案】C 【分析】由样本估计总体的相关知识即可求解. 【详解】推测全市居民用户月用水量的平均数是估计值，约为9吨. 故选：C. 3．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）若样本数据，，…，的平均数为10，则数据，，…，的平均数为 . 【答案】 【分析】根据样本平均数公式计算结果. 【详解】由条件可知， 那么 . 故答案为： 4．（23-24高一下·山东聊城·阶段练习）已知数据的平均数为，则数据的平均数为 ． 【答案】 【分析】由平均数的计算公式及性质求解即可. 【详解】由于的平均数为＝5， 所以的平均数为． 故答案为： 5．（21-22高一下·陕西延安·阶段练习）日行一万步，健康你一生”的养生观念已经深入人心，由于研究性学习的需要，某大学生收集了手机“微信运动”团队中特定甲、乙两个班级名成员一天行走的步数，然后采用分层抽样的方法按照[20，30)， [30，40）， [40，50)， [50，60)分层抽取了20名成员的步数，并绘制了如下尚不完整的茎叶图（单位：千步）： 已知甲、乙两班行走步数的平均值都是44千步． (1)求、y的值； (2)若n=100，求甲、乙两个班级100名成员中行走步数在[20，30)， [30，40）， [40，50)， [50，60)各层的人数． 【答案】(1)  ； (2)10，15，40，35 【分析】（1）根据平均值的定义求解； （2）由分层抽样的定义按比例计算． 【详解】（1）因为甲班的平均值为44， 所以，解得． 同理，因为乙班平均值为44， 所以，解得． （2）因为抽样比为，且抽取的20名成员中行走步数在， ， ， 各层的人数依次为2，3，8，7， 所以甲、乙两个班级100名成员中行走步数在， ， ， 各层的人数依次为即10，15，40，35． 【变式训练10 计算几个数据的极差、方差、标准差】 1．（2024高三·全国·专题练习）已知一组统计数据满足：，，则这组数据的标准差等于（    ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】根据已知条件，可求得平均数，即可求出方差、标准差. 【详解】设这组数据的平均数为， 则 ， 所以方差，所以标准差． 故选：B． 2．（24-25高二上·北京顺义·期中）已知甲、乙两名同学在高二的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（    ） A．甲的中位数低于乙的中位数 B．若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则 C．甲成绩的极差小于乙成绩的极差 D．甲成绩比乙成绩稳定 【答案】A 【分析】由折线图甲乙同学成绩的分布情况结合统计相关知识即可作出判断. 【详解】对于A：由折线图可知，甲的中位数大于90，乙同学的中位数小于90， 所以甲的中位数大于乙的中位数，故A错误； 对于B，由折线图可知，甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩，B正确； 对于C，由折线图可知，甲成绩的极差小于乙成绩的极差，C正确； 对于D，由折线图可知，甲成绩波动性小于乙成绩的波动性， 所以甲成绩比乙成绩稳定，D正确. 故选：A. 3．（24-25高二上·浙江·期中）已知某组数据为x，y，8，10，11．它的平均数为8，方差为6，则的值为 ． 【答案】65 【分析】由平均数和方差的定义求解即可. 【详解】因为x，y，8，10，11．它的平均数为8，所以， 由，得， 则， 可得：. 故答案为：65. 4．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个.女生成绩数据60个.男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，则总样本的平均数为 ；方差为 . 【答案】 72.5 148 【分析】先分别求出男生及女生的平均数,再应用分层抽样的方差公式计算方差即可. 【详解】设男生成绩样本平均数为，方差为， 女生成绩样本平均数，方差为，总样本的平均数为，方差为， 则有， . 所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148. 故答案为：72.5；148 5．（2024高三·北京·专题练习）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）： “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为，其中，．当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值，并说明实际意义． （注：，其中为数据的平均数） 【答案】，，，；方差最大有实际意义，此时垃圾分类意识最强． 【分析】由方差定义列出关系式，利用放缩法求解最值可得，通过最值时垃圾投放情况说明实际意义. 【详解】由题意可知，的平均数为，且. 方差 ， 当且仅当时等号成立. 设， 即， 图象开口向上，且， 可知，即， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，方差最大，最大为． 方差最大时，即厨余垃圾全部投入“厨余垃圾”箱时， 故方差最大具有实际意义，此时垃圾分类意识最强． 【变式训练11 根据方差、标准差求参数】 1．（23-24高一下·青海·期末）某篮球运动员进行投篮训练，共进行了10组，每组投篮55次，每组投篮命中的个数分别为m，n，48，47，48，50，45，47，49，50.已知这组数据的平均数为48，方差为7，则（    ） A．10 B． C． D．5 【答案】A 【分析】根据平均数与方差的公式列方程可得解. 【详解】因为这组数据的平均数为48，方差为7， 所以 整理得 设，则， 因为50，所以，即， 则． 故选：A 2．（22-23高二上·陕西西安·阶段练习）有个互不相等的正整数，它们的平均数为，方差为，则这组数据中最大的数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设个互不相等的正整数减去9的差依次为，结合方程组有整数解推理计算即得. 【详解】设个互不相等的正整数减去9的差依次为，且， 依题意，，显然，又， 不妨令，则，解得， ，当且仅当时取等号， 此时，即， 当时，不存在互不相等的整数，使得成立， 所以，符合条件的5个正整数从小到大依次为，即这组数据中最大的数为12. 故选：C 3．（23-24高一上·全国·课后作业）某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假中每天的读书时间（单位：h）做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为，方差为，其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为，，又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为，，，则高三学生每天读书时间的平均数 ． 【答案】3.3 【分析】根据给定条件，利用分层抽样的方差公式求解作答. 【详解】依题意，， 因此， 整理得，解得(舍去)或， 所以高三学生每天读书时间的平均数为3.3. 故答案为：3.3 4．（22-23高一下·福建福州·期末）若10个数据的平均数是2，标准差是2，则这10个数据的平方和是 ． 【答案】80 【分析】确定数据的方差，根据方差的计算公式化简，即可得答案. 【详解】由题意可设这10个数据为，其方差为， 则 ， 故， 故答案为：. 5．（22-23高二上·四川南充·期末）有位工人在某天生产同一种零件，所生产零件个数的茎叶图.如图所示，已知他们生产零件的平均数为，标准差为，求的值. 【答案】 【分析】根据茎叶图结合平均数和标准差的定义建立方程关系进行求解即可． 【详解】解：生产零件的平均数为10，标准差为， ， 即，则 ， 即， 则，，解得，或（舍， 则， 则， 【变式训练12 估计总体的方差、标准差】 1．（23-24高三下·浙江·阶段练习）设，，…，是总体数据中抽取的样本，k为正整数，则称为样本k阶中心矩，其中为样本均值.统计学中，当我们遇到数据分布形状不对称时，常用样本中心矩的函数——样本偏度来刻画偏离方向与程度.若将样本数据，，…，绘制柱形图如图所示，则（    ） A． B． C． D．与0的大小关系不能确定 【答案】C 【分析】由图可知，右拖尾时，而样本方差，从而判断的符号． 【详解】， 样本偏度反应数据偏离方向与程度，由图表可得， 有比较多的小于样本均值的数据， 当右侧有长尾时，受极端值影响，， 而样本方差，则. 故选：C. 2．（23-24高二下·湖南·期中）为了解某高中甲､乙两个清北班一周内的请假同学人数情况，采用样本量比例分配分层随机抽样方法进行了调查.已知甲班调查了40名同学，其一周内请假人数的平均数和方差分别为5和1.65，乙班调查了60名同学，其一周内请假人数的平均数和方差分别为4和3.5，据此估计该校两个清北班一周内请假人数的总体方差为（    ） A．2.6 B．3 C．3.4 D．4.1 【答案】B 【分析】根据题意，由分层抽样方法可得甲班和乙班所占的比重，进而由总体平均数，方差的计算公式计算可得结果. 【详解】因为甲班调查了40人，则甲班所占比重为， 乙班调查了60人，则乙班所占比重为， 甲班平均数和方差分别为和乙班平均数和方差分别为和 设调查的总样本的平均数为和方差为则， 故选：B. 3．（2024·广东珠海·一模）甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为72分，方差为90分；乙班的平均成绩为90分，方差为60分．那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是 分，方差是 分． 【答案】 80 【分析】利用平均数的定义求出90名学生的平均成绩，根据局部方差和整体方差的公式进行求解. 【详解】甲、乙两班全部90名学生的平均成绩为分， 方差为 故答案为：80， 4．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）某小学对四年级的某个班进行数学测试，男生的平均分和方差分别为91和11，女生的平均分和方差分别为86和8，已知该班男生有30人，女生有20人，则该班本次数学测试的总体方差为 ．参考公式 【答案】 【分析】先求出总体平均值，再用计算方差. 【详解】假设总体平均值为，则， 则. 故答案为：. 5．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）某校高一年级有男生200人，女生100人.为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本为30的样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39.下表是抽取的女生样本的数据； 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 155 158 156 157 160 161 159 162 169 163 记抽取的第个女生的身高为，样本平均数，方差. 参考数据：，，. (1)若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在范围内的人数； (2)用总样本平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数和标准差，求，的值. 【答案】(1)40 (2) 【分析】（1）根据样本数据在范围内的占比易求得女生总体在此范围内的人数； （2）先利用加权平均数公式求出总样本的平均数，再利用混合样本的方差公式计算,最后对，进行估计即可. 【详解】（1）因女生样本中，身高在范围内的占比为， 故该校高一女生身高在范围内的人数估计为. （2）记总样本的平均数为，标准差为， 由题意，设男生样本（20人）的身高平均数为，方差为， 女生样本（10人）的身高平均数为，方差， 则， ， 故. 1．（21-22高一上·全国·课后作业）新中国成立以来，我国共进行了七次人口普查，这七次人口普查的城乡人口数据如下: 根据该图数据，下列说法中不正确的是（　　） A．城镇人口总数逐次增加 B．乡村人口数达到最高峰是第四次 C．和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第七次 D．城镇人口数均少于乡村人口数 【答案】D 【分析】利用条形图和折线统计图逐一分析即可. 【详解】对于A：城镇人口总数逐次增加，故A正确； 对于B：由表中数据易知，乡村人口数达到最高峰是第四次，故B正确； 对于C：由表中数据易知，第七次与前一次相比，城镇人口比重增量为，其余城镇人口比重增量都小于它，故C正确； 对于D：2020年城镇人口比重为，而乡村人口比重为，此时城镇人口数均多于乡村人口数，故D错误； 故选：D 2．（23-24高一下·山东青岛·期末）如果一组数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则下列说法一定错误的是（    ） A．数据中可能存在极端大的值 B．这组数据是不对称的 C．数据中众数一定不等于中位数 D．数据的平均数大于中位数 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图的性质结合样本的数字特征即可判断. 【详解】数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则其图单峰不对称，故B正确；其大致图如下： 由图可知数据中可能存在极端大的值，故A正确； 由于“右拖尾”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，可能与众数相等，故C错误； 平均数靠近中点处，平均数容易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边，故D正确； 故选：C 3．（24-25高三上·云南昆明·期中）如图是某市随机抽取的100户居民的月均用水量频率分布直方图，如果要让60%的居民用水不超出标准（单位：t），根据直方图估计，下列最接近的数为（   ） A．8.5 B．9 C．9.5 D．10 【答案】A 【分析】首先判断位于之间，再根据百分位数计算规则计算可得结论. 【详解】因为，， 所以应在， 所以，解得. 故最接近的数为. 故选：A. 4．（2024高三·全国·专题练习）有一组数据24，29，，25，22，，20，24，28，25．若该组数据的中位数与众数相等，则平均数为（    ） A．24.4 B．25.8 C．24.4或25.8 D．24.4或24.8 【答案】D 【分析】先将数据从小到大排列，再结合中位数，众数定义得出数据，进而相等得出，则平均数应用定义即可计算. 【详解】将已知数据从小到大排列为20，22，24，24，25，25，28，29． 因为该组数据的中位数与众数相等，所以众数只能是24和25中的一个． 因为每组数据的中位数是唯一的，所以该组数据的众数也是唯一确定的． 又该组数据中除24，25外其他数据均只出现一次，且与不可能相等，故众数只能是24和25中的一个． 若中位数与众数均为24，则，，此时平均数为； 若中位数与众数均为25，则， 此时平均数为，故该组数据的平均数为24.4或24.8． 故选：D. 5．（24-25高二上·北京顺义·期中）某赛季甲、乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况记录如下，甲：18，20，35，33，47，41； 乙：17，26，19，27，19，29.则下列四个结论中，正确的是（    ） A．甲运动员得分的极差小于乙运动员得分的极差 B．甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数 C．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 D．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值 【答案】D 【分析】求出极差判断A；求出中位数判断B；求出平均数判断D；求出方差判断C． 【详解】将数据按升序排列可得：甲：18，20，33，35，41，47； 乙：17，19，19，26，27，29. 对于A，甲运动员得分的极差为，乙运动员得分的极差为， 且，所以甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，故A错误； 对于B，甲运动员得分的中位数是，乙运动员得分的中位数是， 且，所以甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数，故B错误； 对于CD，甲运动员的得分平均值为， 乙运动员的得分平均值为， 且，所以甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值，故D正确； 甲运动员得分的方差为 ， 乙运动员得分的方差为 ， 显然乙的方差小于甲的方差，乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定，故C错误. 故选：D. 6．（25-26高一上·全国·课后作业）神舟十三号载人飞行任务的圆满成功，标志着空间站关键技术验证阶段任务圆满完成，中国空间站即将进入建造阶段．某机构研究室通过随机抽样的方式，对18岁及以上人群进行了“你是否曾有过航天梦想”的调查研究，得到如下的统计结果．    根据调查结果，以下说法正确的是 （填序号）． ①在“曾有过航天梦想”的人群中，54岁及以上的人数最少； ②在“曾有过航天梦想”的人群中，年龄越大，在航天相关方面的人均消费越少； ③在“曾有过航天梦想”的人群中，18—29岁在航天相关方面的总消费最多． 【答案】①③ 【分析】根据扇形图及折线图得出数据判断各个选项即可. 【详解】对于①，从“曾有过航天梦想”的人年龄分布图可知，在“曾有过航天梦想”的人群中， 54岁及以上的人数最少，所以①正确； 对于②，在“曾有过航天梦想”的人群中，随着年龄增大，在航天相关方面的人均消费先变大后再变小，所以②错误； 对于③，设总人数为岁在航天相关方面的总消费约为， 30-40岁在航天相关方面的总消费约为， 41-53岁在航天相关方面的总消费约为， 54岁及以上在航天相关方面的总消费约为． 所以在“曾有过航天梦想”的人群中，18-29岁在航天相关方面的总消费最多，所以③正确． 故答案为：①③． 7．（24-25高二上·安徽·阶段练习）某中职学校为了解全校学生国庆小长假期间阅读古典名著的时间的情况，抽查了1000名学生，将他们的阅读时间进行分组：.抽样结果绘成的频率分布直方图如图所示.则实数 .这1000名学生阅读古典名著的时间不少于8小时的人数为 . 【答案】 / 【分析】①由直方图中所有矩形的高度之和乘以组距为可求解，②再由频率分布直方图求出时间在小时以上的频率，再求人数. 【详解】根据频率分布直方图的几何意义，坐标系内的所有矩形的高度之和乘以组距为定值1， 所以，得， 阅读时间不少于小时的人数为. 故答案为：①，②. 8．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）2024年新高考数学Ⅰ卷多选题的计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，共18分；②每小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对的得6分，有选错或不选的得0分；③部分选对的得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．考生甲在此卷多选题的作答中，第一小题选了三个选项，第二小题选了两个选项，第三小题选了一个选项，则他多选题的所有可能总得分（相同总分只记录一次）的第80百分位数为 ． 【答案】13 【分析】根据多选题的计分标准，结合甲在此卷多选题的作答情况、百分位数的定义进行求解即可. 【详解】甲在此卷多选题的作答中， 第一小题选了三个选项，因此甲此题的得分可以是分，或分； 第二小题选了两个选项，因此甲此题的得分可以是分，或分，或分； 第三小题选了一个选项，因此甲此题的得分可以是分，或，或， 因此甲多选题的所有可能总得分为分，分，分，分，分，分，分，分，分，分，分，分，共种情况， 因为，所以甲多选题的所有可能总得分（相同总分只记录一次）的第80百分位数为分， 故答案为： 9．（22-23高一上·广东深圳·期末）一组数据，…，的平均数是30，则数据，，…，的平均数是 ． 【答案】61 【分析】根据平均数的性质求解即可 【详解】∵样本数据的平均数是30，∴， ∴数据的平均数 故答案为：61 10．（24-25高二上·山西·开学考试）已知用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个.男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，则总样本的方差是 . 【答案】148 【分析】先分别求出男生及女生的平均数,再应用分层抽样的方差公式计算方差即可. 【详解】设男生成绩样本平均数为，方差为， 女生成绩样本平均数，方差为，总样本的平均数为，方差为， . . 所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148. 故答案为：148. 11．（22-23高三上·四川乐山·阶段练习）甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪80元，每销售一件产品提成1元；乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，超过45件的部分每件提成8元． （Ⅰ）请将两家公司各一名推销员的日工资（单位：元）分别表示为日销售件数的函数关系式； （Ⅱ）从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去100天的销售情况进行统计，得到如下条形图．根据每日销售量，我们可以计算出日工资，请分别估计两家公司推销员的这100天的日平均工资． 【答案】（Ⅰ）甲公司一名推销员的日工资元，，乙公司一名推销员的日工资为（Ⅱ）甲公司这100天的日平均工资为元，乙公司这100天的日平均工资为元. 【分析】（Ⅰ）根据题意可求得结果； （Ⅱ）利用条形图中的数据，根据（Ⅰ）中的函数关系式计算可得结果. 【详解】（Ⅰ）甲公司一名推销员的日工资元，， 乙公司一名推销员的日工资即. （Ⅱ）由条形图可得甲公司这100天的日平均工资为元， 乙公司这100天的日平均工资为元， 12．（21-22高二上·江苏苏州·开学考试）2019年某饮料公司计划从，两款新配方饮料中选择一款进行新品推介，现对这两款饮料进行市场调查，让接受调查的受访者同时饮用这两种饮料，并分别对两款饮料进行评分，现对接受调查的100万名受访者的评分进行整理得到如下统计图． 从对以往调查数据分析可以得出如下结论：评分在的受访者中有20%会购买，评分在的受访者中有60%会购买，评分在的受访者中有90%会购买． （1）在受访的100万人中，估计至少对一款饮料评分在60分以下的受访者人数的最大值与最小值（单位：万人）； （2）如果你是决策者，新品推介你会主推哪一款饮料，并说明你的理由． 【答案】（1）最大值为30万人，最小值为20万人；（2）新品推介应该主推款饮料，理由见解析. 【分析】（1）观察款饮料的评分饼状图和款饮料的评分折线图，分别求得评分在60分以下的人数即可得解. （2）根据评价分数的增加，买的可能性也在增加，所以求得该两种饮料的购买可能性的期望，进行比较即可得解. 【详解】（1）由对款饮料的评分饼状图， 得对款饮料评分在60分以下的频率为， 所以对款饮料评分在60分以下的人数为万人， 同理对款饮料评分在60分以下的人数为万人， 所以至少对-款饮料评分在60分以下的受访者人数的最大值为30万人， 最小值为20万人． （2）从受访者对，两款饮料购买期望角度看： 款饮料购买期望的分布列为 0.2 0.6 0.9 0.2 0.3 0.5 方案“选择倾向指数”的分布列为 0.2 0.6 0.9 0.1 0.35 0.55 ∴， ． 根据上述期望可知，故新品推介应该主推款饮料． 13．（22-23高二下·安徽滁州·开学考试）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图.    (1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率； (2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数； (3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例. 【答案】(1)0.4 (2)20 (3) 【分析】（1）先计算出样本中分数不小于70的频率，然后算出样本中分数小于70的频率，由频率估计概率即可； （2）先由已知求出样本100人中分数在区间内的人数，然后估计总体中分数在区间内的人数即可； （3）先求出样本中男生女生的人数，由分层抽样的原理可知，样本中男生和女生人数的比例就是总体中男生和女生人数的比例. 【详解】（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为， 所以样本中分数小于70的频率为，所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4. （2）根据题意，样本中分数不小于50的频率为， 分数在区间内的人数为， 所以总体中分数在区间内的人数估计为. （3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为， 所以样本中分数不小于70的男生人数为， 所以样本中的男生人数为，女生人数为， 所以样本中男生和女生人数的比例为，所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为. 14．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知甲组数据，，…，的茎叶图如图所示，其中数据的整数部分为茎，数据的小数部分（仅一位小数）为叶，例如第一数据为5.3. (1)为甲组数据的平均值、方差、中位数M； (2)乙组数据为，，…，，且甲、乙两组数据合并后的30个数据的平均值，方差，求乙组数据的平均值和方差，写出必要的计算过程和步骤. 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）根据茎叶图求平均值，再由方差与均值的关系求，将茎叶图中的数据从小到大排列确定中位数M. （2）由甲乙平均数及（1）的结果列方程求乙组数据的平均值，再由方差与均值的关系列方程组求出，进而求方差. 【详解】（1）甲组数据为，，， 则甲组数据的中位数， 甲组数据的平均值. 甲组数据的方差. （2）由，可得 由，解得 则. 15．（24-25高二上·湖北·期中）某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图. (1)成绩位列前的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分； (2)已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差.（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 【答案】(1)88分 (2)平均成绩为76，方差为12 【分析】（1）根据百分位数的计算公式，即可求即可， （2）计算频率，即可得比例，即可根据总体方差的计算公式求解. 【详解】（1）前4组的频率之和为， 前5组的频率之和为， 第分位数落在第5组，设为，则，解得. “防溺水达人”的成绩至少为88分. （2）的频率为0.15，的频率为0.30，所以 的频率与的频率之比为 的频率与的频率之比为 设内的平均成绩和方差分别为， 依题意有，解得， ，解得 所以内的平均成绩为76，方差为12. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 用样本估计总体（4个知识点+12大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 根据条形统计图解决实际问题 题型二 根据折线统计图解决实际问题 题型三 根据扇形统计图解决实际问题 题型四 根据频率分布表解决实际问题 题型五 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 题型六 总体百分位数的估计 题型七 众数 题型八 中位数 题型九 平均数 题型十 计算几个数据的极差、方差、标准差 题型十一 根据方差、标准差求参数 题型十二 估计总体的方差、标准差 知识点一 频率分布直方图 (1)频率分布表的画法： 第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表. (2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图) 知识点二 频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图. (2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线. 知识点三 总体百分位数的估计 （1）概念：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有（100-p）%的数据大于或等于这个值. （2）求解步骤 可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数: 第1步,按从小到大排列原始数据 第2步,计算i=n*p%. 第3步,若i不是整数,而大于j的比邻整数为j则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第（i+1）项与第项数据的平均数 （3）知识剖析：几个重要的百分位数 1)我们在初中学过的中位数,相当于是第50 百分位数. 2)在实际应用中,除了中位数外,常用的分位数还有第25百分位数.第75百分位数.以上三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等. 知识点四 样本的数字特征 (1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数. (2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数. (3)平均数：把(a1＋a2＋…＋an)/n称为a1，a2，…，an这n个数的平均数. (4)极差：一组数据中最大值与最小值的差值 (5)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，则这组数据的标准差和方差分别是 [常用结论与微点提醒] 1.频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数. (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的. (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 2.平均数、方差的公式推广 (1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为x，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是mxn＋a. (2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2. ①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2； ②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2. 【核心考点一 根据条形统计图解决实际问题】 【例1】（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）黑龙江省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一．某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（   ） A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数 B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数 C．样本中男生人数少于女生人数 D．样本中选择物理学科的人数较多 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）如图是某超市一年中各月份的收入与支出（单位：万元）情况的条形统计图．已知利润为收入与支出的差，即利润＝收入－支出，则下列说法正确的是（    ） A．利润最高的月份是2月份，且2月份的利润为40万元 B．利润最低的月份是5月份，且5月份的利润为10万元 C．收入最少的月份的利润也最少 D．收入最少的月份的支出也最少 【例3】（23-24高一下·全国·课前预习）柱状图 柱状图（也称为条形统计图）可以形象地比较各种数据之间的 . 【例4】24-25高一上·全国·课前预习）条形统计图：直观描述不同类别或分组数据的 ． 【例5】（24-25高一上·全国·课堂例题）为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容：为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查（每人只选一项内容），整理调查结果，绘制统计图如图所示． 请根据统计图提供的信息回答以下问题： (1)求抽取的学生数； (2)若该校有3000名学生，估计喜欢收听易中天《品三国》的学生人数． 【核心考点二 根据折线统计图解决实际问题】 【例1】（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（   ） A．最高气温的极差范围 B．10月的最高气温不低于5月的最高气温 C．最低气温低于0℃的月份有4个 D．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月 【例2】（24-25高二上·四川成都·期中）某年1月25日至2月12日某旅游景区及其里面的特色景点累计参观人次的折线图如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．月日景区累计参观人次中特色景点占比超过了． B．月日至月日特色景点累计参观人次增加了人次． C．月日至月日特色景点的累计参观人次的增长率和月日至月日特色景点累计参观人次的增长率相等． D．月日至月日景区累计参观人次的增长率小于月日至月日的增长率． 【例3】（23-24高一下·全国·课前预习）折线图 折线图能够形象的表示出数据的 . 【例4】（24-25高三·上海·课堂例题）恩格尔系数（Engel’s Coefficient）是食品支出总额占个人消费支出总额的比重.居民可支配收入是居民可用于最终消费支出和储蓄的总和，即居民可用于自由支配的收入.下图为某市2013年至2019年该市恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图. 给出三个结论： ①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系； ②一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕； ③一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小. 其中正确的是 （填序号）. 【例5】（2024高一下·全国·专题练习）为了了解我国电视机的销售情况，小张在某网站上下载了此图：    (1)小张获取数据的途径是什么？ (2)由图可知，电视机的销售总量在2011年达到最大值，你认为电视机销售总量出现下滑的主要原因是什么？ 【核心考点三 根据扇形统计图解决实际问题】 【例1】（2024·四川德阳·三模）2023年7月28日至8月8日，第31届世界夏季大学生运动会在成都市举行，某校在“大运会”举行前夕，在全校学生中进行“我和‘大运会’”的征文活动，对收到的稿件进行分类统计，得到如图所示的扇形统计图.已知全校高二年级共交稿360份，则全校高三年级的交稿数为（    ） A．320份 B．330份 C．340份 D．350份 【例2】（23-24高一下·贵州黔东南·期末）小波一星期的总开支（单位：元）分布如图1所示，一星期的食品开支（单位：元）分布如图2所示，则小波一星期的肉类开支占总开支的百分比为（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24高一下·全国·课前预习）扇形图 扇形图（也称为饼图、饼形图），可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的 . 【例4】（24-25高一上·全国·课前预习）扇形统计图：用圆形及圆内扇形的角度来表示一个样本（或总体）中各组成部分的数据占 ． 【例5】（24-25高一上·全国·课后作业）某厂生产一种产品，图①是该厂第一季度三个月产量的统计图，图②是这三个月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图，统计员在制作图①，图②时漏填了部分数据．根据上述信息，回答下列问题： (1)该厂第一季度几月份的产量最高？ (2)该厂一月份的产量占第一季度总产量的百分比是多少？ (3)该厂质检科从第一季度的产品中随机抽样，抽检结果发现样品的合格率为．请你估计该厂第一季度大约生产了多少件合格的产品？（写出解答过程） 【核心考点四 根据频率分布表解决实际问题】 【例1】（2024·四川成都·模拟预测）在年巴黎奥运会上，我国网球选手郑钦文历经场比赛，勇夺巴黎奥运会女子网球单打冠军，书写了中国网球新的历史．某学校有名学生，一机构在该校随机抽取了名学生对郑钦文奥运会期间场单打比赛的收看情况进行了调查，将数据分组整理后，列表如下： 观看场次 观看人数占调查 人数的百分比 从表中数据可以得出的正确结论为（   ）． A．表中的数值为 B．观看场次不超过场的学生的比例为 C．估计该校观看场次不超过场的学生约为人 D．估计该校观看场次不低于场的学生约为人 【例2】（23-24高二下·上海浦东新·期中）下表是“膜法世家”形象代言人选举得票情况统计，其中周柯宇的票数被污损了无法看清，那么应该当选的人是（    ） 姓    名 张元英 林正英 米    卡 周柯宇 林    墨 合    计 票    数 250 200 380 320 1550 A．米卡 B．周柯宇 C．无法确定 D．合计 【例3】（25-26高二上·上海·单元测试）将一个容量为m的样本分成3组，已知第一组的频数为10，第二、三组的频率分别为0.32和0.48，则 ． 【例4】（23-24高三上·北京·期中）下表是某生活超市2021年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表： 生鲜区 熟食区 乳制品区 日用品区 其它区 营业收入占比 净利润占比 该生活超市本季度的总营业利润率为（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），给出下列四个结论： ①本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区： ②本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区； ③本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区； ④本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过. 其中所有正确结论的序号是 . 【例5】（23-24高二·上海·课堂例题）某展览馆随机抽取了2018年中5周的客流量（单位：人次），如下表所示．试估计该展览馆2018年(365天)有多少天的客流量超过了200． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 第1周 170 148 85 132 180 395 342 第2周 140 138 193 108 163 360 441 第3周 127 179 215 184 116 454 405 第4周 174 252 240 155 293 493 386 第5周 241 132 156 203 189 357 430 【核心考点五 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量】 【例1】（24-25高三上·天津·阶段练习）从某小学随机抽取部分同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.已知身高在内的人数为10人，则身高在内的学生人数为（    ） A．40 B．60 C．80 D．2000 【例2】（24-25高二上·黑龙江伊春·期中）2020年第1期深圳车牌摇号竞价指标共6668个，某机构从参加这期车牌竞拍且报价在1~8万元的人员中，随机抽取了若干人的报价，得到的部分数据整理结果如下： 报价区间 （单位：万元） 频数 10 36 40 则在这些竞拍人员中，报价不低于5万元的人数为（   ） A．30 B．42 C．54 D．80 【例3】（24-25高一上·陕西汉中·阶段练习）一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如表： 组别 频数 12 13 24 15 16 13 7 则样本数据落在内的频率为 ． 【例4】（2024·山西·模拟预测）某商场为了了解顾客的停车时长（单位：分钟），现随机抽取了100辆该商场到访顾客的车辆进行停车时长调查，将数据整理得到如下频率分布直方图：        则样本中停车时长在区间上的车辆数为 辆. 【例5】（24-25高一上·四川成都·开学考试）八年级（1）班同学为了解某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据整理成如下两幅不完整的统计图表： 月均用水量x（t） 频数（户） 频率 6 0.12 m 0.24 16 0.32 10 0.20 4 n 2 0.04 请根据以上信息，解答以下问题： (1)直接写出频数分布表中的m、n的值并把频数直方图补充完整； (2)求出该班调查的家庭总户数是多少？ (3)求该小区用水量不超过15的家庭的频率． 【核心考点六 总体百分位数的估计】 【例1】（2024·贵州黔南·一模）样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（    ） A．16 B．19 C．20 D．22 【例2】（2024·北京朝阳·模拟预测）设数据1，2，3，4，5的第m百分位为，，则集合M中元素的个数为（   ） A．5 B．6 C．9 D．100 【例3】（上海市宝山区2024-2025学年高三上学期教学质量监测数学试卷）某运动员在某次男子米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）为：，，，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为 . 【例4】（24-25高三上·上海奉贤·期中）某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的分位数为 【例5】（23-24高一下·广东广州·阶段练习）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从地区随机抽取了名用户，从地区随机抽取了名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分，该公司将收集到的数据按照、、、分组，绘制成评分频率分布直方图如图． (1)从地区满意程度评分的第百分位数； (2)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该区间的中点值代替，估计地区抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，地区抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及两地区抽取的名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小． 【核心考点七 众数】 【例1】（22-23高二上·广西百色·阶段练习）一组数据3.6，3.7，3.5，3.6，3.9，3.8，x，3.5中，众数只有3.5，则x的取值为（    ） A．3.5 B．3.4 C．3.2 D．3.1 【例2】（22-23高二下·安徽芜湖·期中）2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的众数是（    ） A．45 B．47 C．48 D．63 【例3】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）若一组数据为1，1，2，3，2，3，5，4，3，6，则这组数据的众数为 . 【例4】（2022高二下·辽宁·学业考试）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某班级准备利用暑假进行“请党放心，强国有我”为主题的研学旅行．为了便于识别，该班级准备定做一批容量一致的双肩包．为此，班级负责人征求班内同学的意向，得到如下数据：为了照顾到绝大多数人的需求，则应该定做双肩包的容量为 ． 容量 23 25 27 29 31 33 频数 3 4 5 26 3 2 【例5】（24-25高一上·全国·课前预习）若某校高二年级7个班参加合唱比赛的得分分别为89，91，90，92，87，92，96，你能把数据从小到大排列吗？出现次数最多的数据是多少？ 【核心考点八 中位数】 【例1】（24-25高三上·云南·阶段练习）在某次数学月考中，有三个多选小题，每个小题的正确答案要么是两个选项，要么是三个选项，且每个小题都是6分，在每个小题给出的四个选项中，全部选对得6分，部分选对得部分分（正确答案是三个选项的，则每个选项2分；正确答案是两个选项的，则每个选项为3分，有错选的得0分）．已知这次考试中，第一个小题的正确答案是两个选项；小明同学在这三个多选小题中，第一个小题仅能确定一个选项是正确的，由于是多选题他随机又选了一个选项；而第二个小题他随机地选了两个选项，第三个小题他随机地选了一个选项，则小明同学这三个多选小题所有可能的总得分（相同总分只记录一次）的中位数为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 【例2】（2022高二上·新疆·学业考试）在一次数学考试后，数学老师随机抽取了10名同学的考试成绩，其茎叶图如下所示，则该样本数据的中位数为（    ） A．76.5 B．77 C．77.5 D．78 【例3】（24-25高二上·新疆喀什·期中）第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，全红禅以425的高分拿下冠军．下面统计某社团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，则这组数据的中位数为 ． 【例4】（2024·陕西铜川·三模）某校高一年级甲，乙两名同学8次历史测试（100分制）成绩如茎叶图所示，则甲，乙两名同学成绩的中位数之和为 . 【例5】（23-24高一下·青海·期末）为了解某批零件的质量，质检员从这批产品中随机抽取100件产品，测量它们的直径（单位：mm），根据测量所得数据，将其按分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)估计这批零件的直径的中位数； (2)已知这批零件共有10000件，若零件的直径在内为优等品，估计这批零件中优等品的件数． 【核心考点九 平均数】 【例1】（2024·河北邯郸·模拟预测）样本数据为2，3，4，4，5，a，5，6，7，9，若删除a后的新数据与原数据平均数相同，则a为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（23-24高二下·江苏宿迁·期末）已知样本数据，，…，的平均数为5，则，，…，的平均数为（    ） A．6 B．7 C．15 D．16 【例3】（24-25高一上·四川成都·开学考试）廖老师为了了解学生周末利用网络进行学习的时间，在所任教班级随机调查了10名学生，其统计数据如下表： 时间（单位：小时） 4 3 2 l 0 人数 3 4 1 1 1 则这10名学生周末利用网络进行学习的平均时间是 小时. 【例4】（2024高一下·全国·专题练习）有一组正数共5个，其平均值为，这5个正数再添加一个数28，其平均值为，则 . 【例5】（2024高三·全国·专题练习）某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用.三位候选人的各项测试成绩如下表所示： 测试项目 测试成绩 甲 乙 丙 教学能力 85 73 73 科研能力 70 71 65 组织能力 64 72 84 (1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由； (2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5∶3∶2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由. 【核心考点十 计算几个数据的极差、方差、标准差】 【例1】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（   ） A．据的平均数为13 B．数据的方差为12 C． D． 【例2】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现又加入一个数据6，此时这5个数据的方差为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25高二上·云南·阶段练习）小洪从某公司购进6袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量（单位：g）为495，500，500，495，510，500，则这6袋白糖的平均质量为 g，这6袋白糖质量的标准差为 g. 【例4】（24-25高二上·湖北黄石·阶段练习）有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为 ，方差为 . 【例5】（2023高二上·宁夏·学业考试）有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶8次，每次命中的环数如下： 甲 10 9 8 7 9 6 7 乙 7 9 10 5 7 6 8 8 (1)求乙运动员成绩的平均数； (2)如果甲运动员成绩的平均数是8，求甲运动员成绩的方差． 【核心考点十一 根据方差、标准差求参数】 【例1】（2024·河北·模拟预测）某同学掷一枚正方体骰子5次，记录每次骰子出现的点数，统计出结果的平均数为2，方差为0.4，可判断这组数据的众数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）一数学学习小组有5名同学，他们的历次数学考试成绩都比较稳定，且每次测试5人成绩的方差均为6左右.某次数学测试他们中的甲同学因故没能参加考试，其余四位同学的数学成绩分别为111分，114分，117分，118分.如果甲同学参加这次考试，利用以往的经验（方差为6）估计其成绩为（   ） A．112分 B．113分 C．115分 D．119分 【例3】（24-25高二上·湖北·期中）一组数据的平均数等于21，方差，则这组数据中 ． 【例4】（24-25高二上·安徽·阶段练习）同学甲用公式计算一组样本数据的方差，那么 . 【例5】（22-23高一下·山东济南·期末）某社区工作人员采用分层抽样的方法分别在甲乙两个小区各抽取了8户家庭，统计了每户家庭近7天用于垃圾分类的总时间（单位：分钟），其中甲小区的统计表如下， 住户序号 1 2 3 4 5 6 7 8 所需时间 200 220 200 180 200 220 设分别为甲，乙小区抽取的第户家庭近7天用于垃圾分类的总时间，分别为甲，乙小区所抽取样本的方差，已知，其中． (1)若，求和的值； (2)甲小区物业为提高垃圾分类效率，优先试行新措施，每天由部分物业员工协助垃圾分类工作，经统计，甲小区住户每户每天用于垃圾分类的时间减少了5分钟．利用样本估计总体，计算甲小区试行新措施之后，甲乙两个小区的所有住户近7天用于垃圾分类的总时间的平均值和方差． 参考公式：若总体划为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：；，总的样本平均数为，样本方差为，则． 【核心考点十二 估计总体的方差、标准差】 【例1】（24-25高二上·四川达州·期中）已知甲、乙两组数据的统计结果如下表.若将这两组数据混合后得到丙组数据，则丙组数据的方差为（    ） 样本容量 平均数 方差 甲组 20 10 1 乙组 30 15 6 A．10 B． C．9 D．3 【例2】（2024·吉林长春·一模）为了解小学生每天的户外运动时间，某校对小学生进行平均每天户外运动时间（单位：小时）的调查，采用样本量按比例分配的分层随机抽样.如果不知道样本数据，只知道抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为2.5和1.65，抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为1.5和3.5，则估计该校学生平均每天户外运动时间的总体方差为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【例3】（24-25高二上·湖北恩施·期中）已知有名男生和名女生，其中名男生的平均身高为．方差为，名女生的平均身高为，方差为，则这名学生身高的方差为 ． 【例4】（24-25高二上·四川成都·期中）5月11日是世界防治肥胖日.我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，岁的儿童青少年肥胖率接近，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题.目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康.我国成人的BMI数值标准为为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖.某校为了解学生的健康状况，研究人员从学生的体测数据中，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，样本中有20名女生，女生的BMI值的平均数为20，方差为8；有30名男生，男生的BMI值的平均数为25，方差为18.则样本中所有学生的BMI值的方差为 . 【例5】（24-25高二上·湖北·阶段练习）在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56． (1)求抽取的总样本的平均数； (2)试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差． 【变式训练1 根据条形统计图解决实际问题】 1．（2024高二下·全国·专题练习）为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出等高堆积条形图（如图），根据图中的信息，下列结论中不正确的是（    ）． A．样本中的男生数量多于女生数量 B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量 C．样本中多数男生喜欢现金支付 D．样本中多数女生喜欢手机支付 2．（23-24高二上·上海黄浦·期末）以下是“我国2018-2022年货物进出口总额统计图”，下列说法错误的是（    ） A．从2019年开始，2020年的进口额年增长率最小 B．从2019年开始，2021年的出口额年增长率最大 C．从2019年开始，进出口总额逐年增大 D．从2019年开始，进出口总额年增长率逐年增大 3．（24-25高一上·全国·课前预习）某班计划开展一些课外活动，全班有40名学生报名参加，他们就乒乓球、足球、跳绳、羽毛球等4项活动的参加人数做了统计，绘制了条形统计图如图所示，那么参加羽毛球活动的人数的频率是 . 4．（21-22高二上·海南儋州·期末）一个射击运动员某次射击成绩如下图，若此次射击10次，则中七环的次数为 . 5．（24-25高一上·全国·课后作业）某校分别于2020年、2022年随机调查相同数量的学生，对数学课开展小组合作学习的情况进行调查（开展情况分为极少、有时、常常、总是共四种），绘制成部分统计图如下．请根据图中信息，解答下列问题： (1)________，________，“总是”对应扇形统计图中的圆心角度数为________； (2)请你补全条形统计图； (3)若该校2022年共有1200名学生，请你统计其中认为数学课“总是”开展小组合作学习的学生有多少名？ (4)相比2020年，2022年数学课开展小组合作学习的情况有何变化？ 【变式训练2 根据折线统计图解决实际问题】 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下面的折线统计图描述了某地某日的气温变化情况．根据图中信息，下列说法错误的是（    ） A．4:00气温最低 B．6:00气温为24℃ C．14:00气温最高 D．气温是30℃的时刻为16:00 2．（2021·广西柳州·一模）空气质量的指标是反映空气质量状况的指数，指数的值越小，表明空气质量越好，指数不超过50，空气质量为优，指数大于50且不超过100，空气质量为良，指数大于100，空气质量为污染，如图是某市2020年空气质量指标的月折线图.下列关于该市2020年空气质量的叙述中不一定正确的是（    ） A．全年的平均指数对应的空气质量等级为优或良. B．每月都至少有一天空气质量为优. C．空气质量为污染的天数最多的月份是2月份. D．2月，8月，9月和12月均出现污染天气. 3．（2024·辽宁·三模）某同学将全班某次数学考试的成绩整理成频率分布直方图后，将每个小矩形上方线段的中点连接起来，并将小矩形擦去，得到频率分布折线图（如图所示）．已知该同学绘制频率分布直方图时确定的极差为60，组距为10，据此估计此次考试成绩的平均数是 ．    4．（21-22高一·全国·课后作业）如图是某市5月1日至5月7日每天最高、最低气温的折线统计图，在这7天中，日温差最大的一天是 ． 5．（22-23高一·全国·随堂练习）下面是2003年4月21日至5月15日上午10时，北京市非典型性肺炎疫情新增数据走势图．    (1)哪一天新增确诊的人数最多？哪一天新增疑似的人数最多？ (2)哪一天新增治愈的人数最多？哪一天新增死亡的人数最少？ (3)从图中，你能预测这次北京市非典型性肺炎疫情的发展趋势吗？ 【变式训练3 根据扇形统计图解决实际问题】 1．（23-24高一下·四川内江·期末）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图､90后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（    ） A．互联网行业从事技术岗位的人数中，90后比80后多 B．90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过整个从事互联网行业者总人数的 C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D．互联网行业从业人员中90后占一半以上 2．（23-24高一下·重庆·期末）某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1000名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1000名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图： 则选取的学生中，参加绘画社团的学生数为（    ） A．20 B．30 C．40 D．45 3．（2024高一下·全国·专题练习）把过期的药品随意丢弃，会造成对土壤和水体的污染，危害人们的健康．如何处理过期药品，有关机构随机对若干家庭进行调查，调查结果如图，其中对过期药品处理不正确的家庭达到 . 4．（2024高一下·全国·专题练习）某公司2023年在各项目中的总投资为万元，如图是几类项目的投资额占比情况，已知在万元以上的项目中，少于万元的项目投资额占，那么不少于万元的项目共投资 万元．    5．（23-24高一上·云南保山·开学考试）近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查.调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图.    请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)本次一共调查了多少名购买者？ (2)请补全条形统计图； 在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为______度. (3)若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？ 【变式训练4 根据频率分布表解决实际问题】 1．（23-24高一下·广西·阶段练习）一个样本容量为600的频数分布表不小心被损坏了一部分．若样本中数据在内的频率为0.75，则样本中的数据在内的个数为（    ）    A．225 B．295 C．235 D．305 2．（2023高二·重庆·学业考试）王老师对本班名学生报名参与课外兴趣小组（每位学生限报一个项目）的情况进行了统计，列出如下的统计表，则本班报名参加科技小组的人数是（　　） 组别 数学小组 写作小组 体育小组 音乐小组 科技小组 频率 A．人 B．人 C．人 D．人 3．（2023·上海普陀·模拟预测）投票评选活动中，经常采用简单多数原则或积分原则.简单多数原则指个评委对个候选人进行一次表决，各自选出认为最佳的人选，按每个候选人所得票数不同决定不同名次；积分原则指每个评委先对个候选人排定顺序，第一名得分，第二名得分，依此类推，最后一名得1分，每个候选人最后的积分多少决定各自名次.下表是33个评委对A､B､C､D四名候选人作出的选择，则按不同原则评选，名次不相同的候选人是 .            选票数 名次 6 7 5 3 9 3 1st C A C A B D 2nd A C D D A A 3rd B B B B D C 4th D D A C C B 4．（21-22高一·全国·课后作业）某医院的急诊中心的记录表明以往到这个中心就诊的病人需等待的时间的分布如下： 等待时间/ 频率 0.20 0.40 0.25 0.10 0.05 则到这个中心就诊的病人平均需要等待的时间估计为 ． 5．（22-23高一·全国·课堂例题）下面是某城市公共图书馆在一年中通过随机抽样调查得到的60天读者借书量（单位：册），并排序如下： 213    230    239    289    291    301    308    310    311    312 318    318    337    343    344    348    349    351    360    362 368    372    374    379    383    385    390    393    396    398 399    400    404    406    425    429    430    436    438    440 441    444    446    453    456    458    471    473    475    483 484    495    498    498    521    524    549    556    568    584 为估计图书馆每天借书量的分布情况，以便合理安排工作人员，试根据以上数据制作一个频率分布表以帮助分析． 【变式训练5 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量】 1．（24-25高三上·天津静海·阶段练习）从某高中高三年级1000名随机选取100名学生一次数学统测测试成绩，分为6组：，，，，，，绘制了频率分布直方图如图所示，按此图估计，则高三年级全体学生中，成绩在区间内的学生有（    ） A．600名 B．650名 C．60名 D．65名 2．（24-25高二上·黑龙江·开学考试）某校为了了解学生的体能情况，于6月中旬在全校进行体能测试，统计得到所有学生的体能测试成绩均在内.现将所有学生的体能测试成绩按分成三组，绘制成如图所示的频率分布直方图.若根据体能测试成绩采用按比例分层随机抽样的方法抽取20名学生作为某项活动的志愿者，则体能测试成绩在内的被抽取的学生人数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（2024高二下·云南·学业考试）某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为 人. 4．（23-24高一下·广东潮州·期末）某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示.这100名学生中参加实践活动时间在4~10小时内的人数为 . 5．（23-24高一下·福建福州·期末）已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）. 尺寸大于M的零件用于大型机器制造，尺寸小于或等于M的零件用于小型机器制造. (1)若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数； (2)若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器、小型机器各1000台的制造，每台机器仅使用一个该种型号的零件.现将一区生产车间生产的零件都用于大型机器制造，其中尺寸小于或等于M的零件若用于大型机器制造，每台会使得工厂损失200元；将二区生产车间生产的零件都用于小型机器制造，其中尺寸大于M的零件若用于小型机器制造，每台会使得工厂损失100元.求工厂损失费用的估计值H（M）（单位：元）的取值范围. 【变式训练6 总体百分位数的估计】 1．（2024·吉林长春·一模）一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 2．（24-25高三上·湖南·阶段练习）将某班一次数学考试的成绩（都是正整数，满分150分）统计整理后得到如下的表格： 成绩范围 0~89分 90~99分 100~109分 110~119分 120~129分 130~150分 人数 7 10 10 2 6 7 则该班这次数学考试成绩的分位数可能是（  ） A．93 B．108 C．117 D．128 3．（24-25高二上·湖北孝感·期中）将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：11，15，17，21，23，26，27，34，37，38，则该组数据的分位数为 ． 4．（24-25高三上·上海·期中）今年国际国内金价屡创新高，金价波动也被金融媒体竞相报道 . 现抽取 2024 年前 11 个月的每月日的实物黄金价格数据如下表所示，则这组黄金价格数据的第 75 百分位数是 月份 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9月 10 月 11 月 黄金价格(元/克) 624 616 630 691 708 716 714 737 743 768 815 5．（24-25高二上·浙江杭州·期中）某公司招聘销售员，提供了两种日工资结算方案：方案（1）每日底薪100元，每销售一单提成2元；方案（2）每日底薪200元，销售的前50单没有提成，从第51单开始，每完成一单提成4元．该公司记录了销售员的每日人均业务量，现随机抽取一个季度的数据，将样本数据分为七组，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求直方图中的值； (2)若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘销售员做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）； (3)假设该销售员选择了你在（2）中所选的方案，已知公司现有销售员400人，他希望自己的收入在公司中处于前40名，求他每日的平均业务量至少应达多少单？ 【变式训练7 众数】 1．（2022高二下·广西·学业考试）下图是某城市5月24日到6月7日共15天的空气质量指数的茎叶图，则该城市15天的空气质量指数的众数为（     ） A．12 B．15 C．30 D．32 2．（23-24高一下·河南信阳·阶段练习）一组样本数据：的众数为（    ） A．5 B．6 C．5，6 D．5.5 3．（24-25高一上·全国·课前预习）众数：观测数据中出现 的数是众数，用表示． 4．（23-24高二下·湖南娄底·阶段练习）一组数据为12，13，15，12，24，则众数为 ． 5．（23-24高一·全国·课堂例题）一组数据的众数一定存在，且是唯一的吗？ 【变式训练8 中位数】 1．（24-25高三上·云南·期中）国家射击运动员在某次训练中的8次射击成绩（单位：环）分别为10，7，8，10，，10，8，6，其中为整数，若这8次射击成绩的中位数为9，则（    ） A．6 B．7 C．9 D．10 2．（2024·河南新乡·一模）为了增强学生的体质，某中学每年都要举行一次全校一分钟跳绳测试．已知某次跳绳测试中，某班学生的一分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，则该班学生一分钟跳绳次数的中位数的估计值为（结果精确到整数）（   ） A．127 B．136 C．133 D．138 3．（24-25高一上·四川成都·开学考试）已知一组数据、、、、、的中位数是，则的值是 ． 4．（2024·陕西西安·一模）某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）．其中，成绩分组区间为，．用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计值为 ． 5．（24-25高一上·全国·单元测试）亚健康是时下社会热门话题，进行体育锻炼是远离亚健康的一种重要方式，为了解某市初中学生每天进行体育锻炼的时间情况，随机抽样调查了100名初中学生，根据调查结果得到如图所示的统计图表． 类别 时间t（小时） 人数 A 5 B 20 C a D 30 E 10 请根据图表信息解答下列问题： (1)a＝________； (2)补全条形统计图； (3)小王说：“我每天的锻炼时间是调查所得数据的中位数”，问小王每天进行体育锻炼的时间在什么范围内？ (4)据了解该市大约有30万名初中学生，请估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数． 【变式训练9 平均数】 1．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知总体划分为3层，按比例用分层随机抽样法抽样，各层的样本量及样本平均数如下表： 分层 样本量 样本平均数 第一层 10 55 第二层 30 75 第三层 10 90 估计总体平均数为（    ） A．73 B．74 C．76 D．80 2．（23-24高一下·甘肃定西·阶段练习）为了配合调配水资源，某市欲了解全市居民的月用水量.若通过简单随机抽样从中抽取了1000户进行调查，得到其月用水量的平均数为9吨，则可推测全市居民用户月用水量的平均数（    ） A．一定为9吨 B．高于9吨 C．约为9吨 D．低于9吨 3．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）若样本数据，，…，的平均数为10，则数据，，…，的平均数为 . 4．（23-24高一下·山东聊城·阶段练习）已知数据的平均数为，则数据的平均数为 ． 5．（21-22高一下·陕西延安·阶段练习）日行一万步，健康你一生”的养生观念已经深入人心，由于研究性学习的需要，某大学生收集了手机“微信运动”团队中特定甲、乙两个班级名成员一天行走的步数，然后采用分层抽样的方法按照[20，30)， [30，40）， [40，50)， [50，60)分层抽取了20名成员的步数，并绘制了如下尚不完整的茎叶图（单位：千步）： 已知甲、乙两班行走步数的平均值都是44千步． (1)求、y的值； (2)若n=100，求甲、乙两个班级100名成员中行走步数在[20，30)， [30，40）， [40，50)， [50，60)各层的人数． 【变式训练10 计算几个数据的极差、方差、标准差】 1．（2024高三·全国·专题练习）已知一组统计数据满足：，，则这组数据的标准差等于（    ） A． B．3 C．6 D．9 2．（24-25高二上·北京顺义·期中）已知甲、乙两名同学在高二的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（    ） A．甲的中位数低于乙的中位数 B．若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则 C．甲成绩的极差小于乙成绩的极差 D．甲成绩比乙成绩稳定 3．（24-25高二上·浙江·期中）已知某组数据为x，y，8，10，11．它的平均数为8，方差为6，则的值为 ． 4．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个.女生成绩数据60个.男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，则总样本的平均数为 ；方差为 . 5．（2024高三·北京·专题练习）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）： “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为，其中，．当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值，并说明实际意义． （注：，其中为数据的平均数） 【变式训练11 根据方差、标准差求参数】 1．（23-24高一下·青海·期末）某篮球运动员进行投篮训练，共进行了10组，每组投篮55次，每组投篮命中的个数分别为m，n，48，47，48，50，45，47，49，50.已知这组数据的平均数为48，方差为7，则（    ） A．10 B． C． D．5 2．（22-23高二上·陕西西安·阶段练习）有个互不相等的正整数，它们的平均数为，方差为，则这组数据中最大的数等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·全国·课后作业）某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假中每天的读书时间（单位：h）做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为，方差为，其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为，，又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为，，，则高三学生每天读书时间的平均数 ． 4．（22-23高一下·福建福州·期末）若10个数据的平均数是2，标准差是2，则这10个数据的平方和是 ． 5．（22-23高二上·四川南充·期末）有位工人在某天生产同一种零件，所生产零件个数的茎叶图.如图所示，已知他们生产零件的平均数为，标准差为，求的值. 【变式训练12 估计总体的方差、标准差】 1．（23-24高三下·浙江·阶段练习）设，，…，是总体数据中抽取的样本，k为正整数，则称为样本k阶中心矩，其中为样本均值.统计学中，当我们遇到数据分布形状不对称时，常用样本中心矩的函数——样本偏度来刻画偏离方向与程度.若将样本数据，，…，绘制柱形图如图所示，则（    ） A． B． C． D．与0的大小关系不能确定 2．（23-24高二下·湖南·期中）为了解某高中甲､乙两个清北班一周内的请假同学人数情况，采用样本量比例分配分层随机抽样方法进行了调查.已知甲班调查了40名同学，其一周内请假人数的平均数和方差分别为5和1.65，乙班调查了60名同学，其一周内请假人数的平均数和方差分别为4和3.5，据此估计该校两个清北班一周内请假人数的总体方差为（    ） A．2.6 B．3 C．3.4 D．4.1 3．（2024·广东珠海·一模）甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为72分，方差为90分；乙班的平均成绩为90分，方差为60分．那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是 分，方差是 分． 4．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）某小学对四年级的某个班进行数学测试，男生的平均分和方差分别为91和11，女生的平均分和方差分别为86和8，已知该班男生有30人，女生有20人，则该班本次数学测试的总体方差为 ．参考公式 5．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）某校高一年级有男生200人，女生100人.为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本为30的样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39.下表是抽取的女生样本的数据； 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 155 158 156 157 160 161 159 162 169 163 记抽取的第个女生的身高为，样本平均数，方差. 参考数据：，，. (1)若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在范围内的人数； (2)用总样本平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数和标准差，求，的值. 1．（21-22高一上·全国·课后作业）新中国成立以来，我国共进行了七次人口普查，这七次人口普查的城乡人口数据如下: 根据该图数据，下列说法中不正确的是（　　） A．城镇人口总数逐次增加 B．乡村人口数达到最高峰是第四次 C．和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第七次 D．城镇人口数均少于乡村人口数 2．（23-24高一下·山东青岛·期末）如果一组数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则下列说法一定错误的是（    ） A．数据中可能存在极端大的值 B．这组数据是不对称的 C．数据中众数一定不等于中位数 D．数据的平均数大于中位数 3．（24-25高三上·云南昆明·期中）如图是某市随机抽取的100户居民的月均用水量频率分布直方图，如果要让60%的居民用水不超出标准（单位：t），根据直方图估计，下列最接近的数为（   ） A．8.5 B．9 C．9.5 D．10 4．（2024高三·全国·专题练习）有一组数据24，29，，25，22，，20，24，28，25．若该组数据的中位数与众数相等，则平均数为（    ） A．24.4 B．25.8 C．24.4或25.8 D．24.4或24.8 5．（24-25高二上·北京顺义·期中）某赛季甲、乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况记录如下，甲：18，20，35，33，47，41； 乙：17，26，19，27，19，29.则下列四个结论中，正确的是（    ） A．甲运动员得分的极差小于乙运动员得分的极差 B．甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数 C．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 D．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值 6．（25-26高一上·全国·课后作业）神舟十三号载人飞行任务的圆满成功，标志着空间站关键技术验证阶段任务圆满完成，中国空间站即将进入建造阶段．某机构研究室通过随机抽样的方式，对18岁及以上人群进行了“你是否曾有过航天梦想”的调查研究，得到如下的统计结果．    根据调查结果，以下说法正确的是 （填序号）． ①在“曾有过航天梦想”的人群中，54岁及以上的人数最少； ②在“曾有过航天梦想”的人群中，年龄越大，在航天相关方面的人均消费越少； ③在“曾有过航天梦想”的人群中，18—29岁在航天相关方面的总消费最多． 7．（24-25高二上·安徽·阶段练习）某中职学校为了解全校学生国庆小长假期间阅读古典名著的时间的情况，抽查了1000名学生，将他们的阅读时间进行分组：.抽样结果绘成的频率分布直方图如图所示.则实数 .这1000名学生阅读古典名著的时间不少于8小时的人数为 . 8．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）2024年新高考数学Ⅰ卷多选题的计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，共18分；②每小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对的得6分，有选错或不选的得0分；③部分选对的得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．考生甲在此卷多选题的作答中，第一小题选了三个选项，第二小题选了两个选项，第三小题选了一个选项，则他多选题的所有可能总得分（相同总分只记录一次）的第80百分位数为 ． 9．（22-23高一上·广东深圳·期末）一组数据，…，的平均数是30，则数据，，…，的平均数是 ． 10．（24-25高二上·山西·开学考试）已知用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个.男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，则总样本的方差是 . 11．（22-23高三上·四川乐山·阶段练习）甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪80元，每销售一件产品提成1元；乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，超过45件的部分每件提成8元． （Ⅰ）请将两家公司各一名推销员的日工资（单位：元）分别表示为日销售件数的函数关系式； （Ⅱ）从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去100天的销售情况进行统计，得到如下条形图．根据每日销售量，我们可以计算出日工资，请分别估计两家公司推销员的这100天的日平均工资． 12．（21-22高二上·江苏苏州·开学考试）2019年某饮料公司计划从，两款新配方饮料中选择一款进行新品推介，现对这两款饮料进行市场调查，让接受调查的受访者同时饮用这两种饮料，并分别对两款饮料进行评分，现对接受调查的100万名受访者的评分进行整理得到如下统计图． 从对以往调查数据分析可以得出如下结论：评分在的受访者中有20%会购买，评分在的受访者中有60%会购买，评分在的受访者中有90%会购买． （1）在受访的100万人中，估计至少对一款饮料评分在60分以下的受访者人数的最大值与最小值（单位：万人）； （2）如果你是决策者，新品推介你会主推哪一款饮料，并说明你的理由． 13．（22-23高二下·安徽滁州·开学考试）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图.    (1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率； (2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数； (3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例. 14．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知甲组数据，，…，的茎叶图如图所示，其中数据的整数部分为茎，数据的小数部分（仅一位小数）为叶，例如第一数据为5.3. (1)为甲组数据的平均值、方差、中位数M； (2)乙组数据为，，…，，且甲、乙两组数据合并后的30个数据的平均值，方差，求乙组数据的平均值和方差，写出必要的计算过程和步骤. 15．（24-25高二上·湖北·期中）某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图. (1)成绩位列前的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分； (2)已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差.（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 学科网（北京）股份有限公司 $$