第01讲 随机抽样（6个知识点+11大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年高一数学寒假衔接讲义（人教A版2019必修第二册）

第01讲 随机抽样（6个知识点+11大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 简单随机抽样的特征及适用条件 题型二 抽签法 题型三 随机数表法 题型四 简单随机抽样的概率 题型五 单随机抽样估计总体 题型六 分层抽样的特征及适用条件 题型七 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 题型八 分层抽样的概率 题型九 普查与抽样的定义辨析 题型十 普查与抽样的合理选择 题型十一 总体与样本 知识点一 全面调查与抽样调查 统计的相关概念 (1)全面调查 对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查. (2)总体、个体 在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体.组成总体的每一个调查对象称为个体.为了强调调查目的，也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体，每一个调查对象的相应指标作为个体. (3)抽样调查 根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查. (4)样本、样本量 我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本量. 知识点二 简单随机抽样 放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本 如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样 简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样，简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本 知识点三 简单随机抽样的方法 (1)抽签法 先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌.最后从盒中不放回地抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体数. (2)随机数法 先把总体中的个体编号，用随机数工具产生总体范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除重复的编号，直到抽足样本所需要的个体数. 知识点四 用样本的平均数估计总体的平均数 总体均值和样本均值 (1)总体均值：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则＝＝Yi为总体均值，又称总体平均数. (2)总体均值加权平均数的形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝fiYi. (3)样本均值：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝＝yi为样本均值，又称样本平均数. 知识点五 分层随机抽样 分层随机抽样的相关概念 (1)分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. (2)比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 用分层随机抽样的平均数估计总体的平均数 如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为，，两层的总体平均数分别为，，总体平均数为，样本平均数为，则＝＋，＝＋_. 知识点六 获取数据的基本途径 获取数据的基本途径 适用类型 注意问题 通过调查获取数据 对于有限总体问题，一般通过抽样调查或普查的方法获取数据 要充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效避免抽样过程中的人为错误 通过试验获取数据 没有现存的数据可以查询 严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量 通过观察获取数据 自然现象 借助专业测量设备通过长久的持续观察获取数据 通过查询获得数据 众多专家研究过，其收集的数据有所存储 必须根据问题背景知识“清洗”数据，去伪存真 【核心考点一 简单随机抽样的特征及适用条件】 【例1】（22-23高二下·河北石家庄·期末）全班有42人，语文老师要抽取4人检查他们对某篇课文的理解情况，比较简便合理的方法是（    ） A．分层抽样 B．系统抽样 C．抽签法 D．先用分层抽样再用抽签法 【答案】C 【分析】根据随机抽样的适用情况，即可判断选项. 【详解】因为全班的人数不多，且没有明显的差异性，所以比较简便合理的方法是抽签法. 故选：C. 【例2】（23-24高二·上海·课堂例题）下列抽样方法中，属于简单随机抽样的是（    ） A．某社团为调查本校学生的环保知识水平，向在图书馆某楼层自习的所有学生发放问卷，隔5分钟后回收； B．某次科普讲座之前，主持人抽取座位尾号为1的听众进行提问； C．一车间主任从堆放的100件产品中抽取了摆放在最上面的10件产品进行检查； D．销售部经理将一个放有部门所有员工工号牌的箱子均匀摇晃后，从中抽取5个工号牌． 【答案】D 【分析】根据简单随机抽样的特点逐项判断即可． 【详解】对于A项，人数较多，且图书馆的学生不能代表本校全体学生，故A项错误； 对于B项，按照相同间隔抽取的方法，是系统抽样，不是简单抽样，故B项错误； 对于C项，抽取的产品不具有代表性，故C项错误； 对于D项，符合简单随机抽样的定义，故D项正确． 【例3】（24-25高一上·全国·课前预习）简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N个个体，从中 地抽取n（）个个体为样本，如果总体内的 都有相同的可能性被抽到，则把这样的抽样方法称为简单随机抽样.把简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本. 【答案】 无放回 每个个体 【分析】略 【详解】略 【例4】（24-25高一上·全国·课前预习）随机抽样：如果在抽样过程中，能使 中的每个个体都有 被选入样本，那么这样的抽样叫作随机抽样． 【答案】 总体 相同的可能性 【分析】略 【详解】略 【例5】（23-24高二·上海·课堂例题）下列抽取样本的方法是简单随机抽样吗？判断并简要说明理由． (1)某在线商城在网站首页发布问卷调查，调查登录该网站的客户对于该商城的满意度，访问该网站者可以自愿点击填写； (2)检验员抽检一箱零件，每次检验时抽取1个零件，检验后放回箱子里，再进行第二次检验，一共检验了10次． 【答案】(1)不是 (2)不是 【分析】根据简单随机抽样的定义即可判断. 【详解】（1）不是简单随机抽样，因为被抽取的样本个数的总体的个数是无限的， 而简单随机抽样被抽取的样本个数的总体的个数是有限的； （2）不是简单随机抽样，这是有放回抽样，简单随机抽样是不放回抽样. 【核心考点二 抽签法】 【例1】（2022高一下·全国·专题练习）某学校数学组要从11名数学老师中推选3名老师参加市里举办的教学能手比赛，制作了11个形状、大小相同的签，抽签中确保公平性的关键是（    ） A．制签 B．搅拌均匀 C．逐一抽取 D．抽取后不放回 【答案】B 【分析】确保公平性要保证每个签抽到是等概率的，分析即得解 【详解】确保公平性要保证每个签抽到是等概率的，因此抽签法要做到搅拌均匀，才具有公平性． 故选：B 【例2】（2022高三·全国·专题练习）甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动．抽签决定谁去．那你认为抽到的概率大的是（    ）． A．先抽的概率大些 B．三人的概率相等 C．无法确定谁的概率大 D．以上都不对 【答案】B 【解析】根据抽签法，每个个体被抽取的概率相等判断. 【详解】∵甲、乙、丙三位选手抽到的概率是， 故选：B． 【例3】（24-25高一上·全国·课前预习）抽签法的步骤： ①假设一个总体有N个个体，将它们 ； ②制作N个号签（号签可以用小球、纸片等制作），将编号写在号签上； ③将号签放在一个容器中，并 ； ④从容器中任意抽取n个号签，记录其编号，就得到一个容量为n的样本． 【答案】 逐一编号 充分搅拌均匀 【分析】略 【详解】略 【例4】（23-24高一下·全国·课后作业）上海某中学从40名学生中选1人作为上海男篮啦啦队的成员，采用下面两种选法，则抽签法的序号是 ． ①将这40名学生从1～40进行编号，相应地制作1～40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签编号一致的学生幸运入选； ②将39个白球与1个红球（球除颜色外，其他完全相同）混合放在一个暗箱中搅匀，让40名学生逐一从中摸取一球，摸到红球的学生成为啦啦队成员． 【答案】① 【分析】根据抽签法的定义，可得答案. 【详解】①满足抽签法的特征，是抽签法； ②不是抽签法，因为抽签法要求所有的号签编号互不相同，而②中39个白球无法相互区分． 故答案为：①. 【例5】（24-25高一上·全国·课前预习）某单位拟从40名员工中选5人赠送电影票，可采用下面两种选法： 选法一：将这40名员工按1至40进行编号，并相应地制作号码为1至40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取5个号签，与这个号签编号一致的员工是幸运人选； 选法二：将35个白球与5个红球（除颜色外，其他完全相同）混合放在一个暗箱中搅匀，让40名员工逐一从中不放回地摸取1个球，则摸到红球的员工是幸运人选，试问： (1)这两种选法是否都是抽签法，为什么？ (2)这两种选法中每名员工被选中的可能是否相等？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）选法一满足抽签法的特征，是抽签法，选法二不是抽签法，因为抽签法要求所有的号签编号互不相同，而选法二中的35个白球，5个红球均无法相互区分． （2）由于选法一中抽取每个号签和选法二中摸到每个球都是等可能的，因此这两种选法中每名员工被选中的可能性相等． 【核心考点三 随机数表法】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）从100个篮球中任取一个，检查其质量，用随机数表法抽取样本，则应编号为（    ） A．1，2，3，，100 B．001，002，003，，100 C．0，1，2，3，，100 D．0，1，2，，99 【答案】B 【分析】根据随机数表法的特征即可求解. 【详解】由于ACD的编号位数不相同，所以不能作为随机数表法的编号， B编号位数相同，可以作为随机数表法的编号. 故选：B. 【例2】（21-22高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）总体由编号01，02，…，29，30的30个个体组成，利用下面的随机数选取6个个体，选取方法是从如下随机数的第1行的第6列和第7列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（    ） 第1行  78  16  62  32  08  02  62  42  62  52  53  69  97  28  01  98 第2行  32  04  92  34  49  35  82  00  36  23  48  69  69  38  74  81 A．27 B．26 C．25 D．19 【答案】D 【分析】依次挑选符合条件的编号，即可求解. 【详解】从第1行的第6列和第7列数字开始由左向右依次选取两个数,符合条件的编号依次有23，20，26，24，25，19，03，…, 故第6个个体编号为19. 故选：D 【例3】（24-25高三上·上海·阶段练习）某校广播室为研究学生对广播节目的喜好情况，从该校名同学中用随机数法抽取人参加这一项调查．将这名同学编号为，在以下随机数表中从任意一个随机数开始读出三位数组，假设从第行第列的数字开始，则第个被抽到的同学的编号为 ． 16227794 39495443 54821737 93237887 35209643 84263491 64844217 55721754 55068331 04744767 21763350 25839212 06766301 63785916 95556719 98105071 75128673 58074439 【答案】 【分析】根据随机数表法记录前三个被抽到的同学的编号，即可得解. 【详解】由随机数表法可知，前三个被抽到的同学的编号为：、、. 故第个被抽到的同学的编号为. 故答案为：. 【例4】（24-25高三上·上海·阶段练习）要考查某种品牌的颗种子的发芽率，从中抽取颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将颗种子按、、、进行编号，如果从随机数表第行第列的数开始并向右读，则抽到的第颗种子的编号是 .（下面抽取了随机数表第行至第行） 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 【答案】 【分析】根据随机数表法可得结果. 【详解】由随机数表法可知，抽取的前颗种子的编号依次为：、、、， 故抽到的第颗种子的编号是. 故答案为：. 【例5】（24-25高一上·全国·课前预习）某家具厂主动与该市某中学联系，无偿为高一年级学生制作新课桌椅，用实际行动支援学校．他们要事先了解全体高一年级学生的平均身高，以便设定可调节课桌椅的标准高度．已知该中学高一有865名学生，如果通过简单随机抽样的方法调查学生的平均身高，需抽取16人，应怎样抽取？ 【答案】答案见解析 【详解】根据高一有865名学生，人数较多，如果采取抽签法，搅拌均匀难度较大，故选取随机数表法进行抽样； ①先给865名学生编号，如编号为001～865； ②准备10个大小、质地一样的小球，小球上分别写上数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，把它们放入一个不透明的袋中； ③从袋中有放回地摸取三次，每次摸取前充分搅拌，并把第一、二、三次摸到的数字分别作为百、十、个位数，这样就生成一个三位随机数； 如果这个三位数在001～865范围内，就代表对应编号的学生被抽中，如果编号有重复或不在范围内就剔除编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的人数； ④将符合条件的编号对应的学生抽取出，测量他们的身高，即组成一个样本． 【核心考点四 简单随机抽样的概率】 【例1】（23-24高二上·西藏日喀则·期末）采用简单随机抽样的方法，从含有20个个体的总体中抽取1个容量为4的样本，则某个个体被抽到的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，再结合容量为4，可以看成是抽4次，从而可求得概率． 【详解】由于每个个体被抽到的概率相等， 所以每个个体被抽到的概率是． 故选B． 【例2】（23-24高一下·河北张家口·期末）已知一个总体中有个个体，用抽签法从中抽取一个容量为的样本，若每个个体被抽到的可能性是，则（    ） A．10 B．20 C．40 D．不确定 【答案】C 【分析】抽签法可知每个个体被抽到的可能性均为，即可得到方程，解得即可. 【详解】根据抽签法可知每个个体被抽到的可能性均为， 依题意可得，解得. 故选：C 【例3】（24-25高一上·全国·随堂练习）用简单随机抽样的方法从含n个个体的总体中，逐个抽取一个样本量为3的样本，若其中个体a在第一次就被抽取的可能性为，那么n＝ . 【答案】8 【分析】根据简单随机抽样的定义求解. 【详解】因为用简单随机抽样的方法从含n个个体的总体中逐个抽取，个体a在第一次就被抽取的可能性为， 因此，所以. 故答案为：8 【例4】（24-25高二·上海·课堂例题）某中学从800名应届毕业生中，抽取60名学生进行身体素质测试，应采用 抽样，每个个体被抽到的可能性是 ． 【答案】 随机数法 / 【分析】运用简单随机抽样知识可解 【详解】数据较少，编号简单，数据具有代表性，可用随机数法.等可能事件，则概率为. 故答案为：随机数法，. 【例5】（21-22高一·全国·课后作业）从总体容量为500的一批商品中抽取出一个容量为A的样本，若每个商品个体被抽到的可能性为12%，求A的值． 【答案】60 【分析】根据抽样比例计算可得答案. 【详解】由题意，得，所以． 【核心考点五 单随机抽样估计总体】 【例1】（22-23高一下·安徽阜阳·期末）中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为（    ） A．321石 B．166石 C．434石 D．623石 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用样本的数字特征估计总体的相应特征作答. 【详解】设粮仓内的秕谷有石，依题意，，解得， 所以粮仓内的秕谷约为434石. 故选：C 【例2】（22-23高一上·辽宁·期末）我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．133石 B．159石 C．336石 D．168石 【答案】D 【分析】根据254粒内夹谷28粒可得比例，即可解决. 【详解】由题意得，这批米内夹谷约为石， 故选：D 【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）从一批产品中用简单随机抽样的方法抽取了一部分作为样品，检测产品的合格率，其中甲检验员从中抽取了50件产品，其合格率为，乙检验员从中抽取了100件产品，其合格率为，则估计该产品合格率更接近于 检验员检测的结果． 【答案】乙 【分析】抽取的样本量越大，样本越具代表性，据此可以得出答案． 【详解】因为乙检验员抽取的样本量更大，所以检测结果更准确. 故答案为：乙. 【例4】（24-25高一下·全国·课后作业）某学校有1200名学生，随机抽出300名进行调查研究，调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全相同的10个红球、10个绿球和10个白球的袋子．调查中有两个问题： 问题1：你的阳历生日月份是不是奇数？ 问题2：你是否抽烟？ 每个被调查者随机从袋中摸出1个球（摸出后再放回袋中）．若摸到红球就如实回答第一个问题；若摸到绿球，则不回答任何问题：若摸到白球，则如实回答第二个问题．所有回答“是”的调查者只需往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的被调查者什么也不用做．最后收集回来53个小石子，估计该学校吸烟的人数为 ． 【答案】36 【分析】根据题意估计出该校吸烟人数的比例，再用总人数乘以该比例即可得到答案. 【详解】由题意可知，每个学生从袋中摸出1个红球或1个绿球或1个白球的概率都是， 即大约有（人）回答了第一个问题，（人）不回答任何问题，（人）回答了第二个问题． 因为阳历生日月份是奇数的概率是， 所以回答第一个问题的100人中，大约有50人回答了“是”． 所以我们能推出，在回答第二个问题的100人中，大约有3人回答了“是”， 即估计该学校大约有3%的学生抽烟，也就是全校大约有36人抽烟． 故答案为：36. 【例5】（24-25高二上·上海·课后作业）为了解某商场今年4月份的营业额，抽查了该商场在今年4月份中5天的营业额，结果如下（单位：万元）：2.5，2.8，2.7，2.4、2.6． (1)在这次调查中，总体和样本分别是什么？ (2)小王根据抽查的5天的数据推断：该商场4月份每天的营业额都低于3万元．你同意小王的推断吗？ 【答案】(1)总体：该商场在今年4月份的营业额，样本：抽取的该商场在今年4月份中5天的营业额． (2)不同意 【分析】根据样本与总体的概念，分析即可得答案； 【详解】（1）总体：该商场在今年4月份的营业额，样本：抽取的该商场在今年4月份中5天的营业额； （2）不同意．因为抽取的样本不够全面，而抽取的5天营业额只反映被抽到的5天的情况，不能反映这个月中每天的情况． 【核心考点六 分层抽样的特征及适用条件】 【例1】（24-25高二上·浙江·期中）某学校有男生700名、女学生400名.为了解男女学生在学习立体几何的空间想象能力方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（   ） A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 【答案】D 【分析】根据分层抽样的特征即可求解. 【详解】由于男女生两个不同的群体在空间想象能力方面有差异，最适合采用的是分层抽样法， 故选：D 【例2】（23-24高一下·江苏常州·期末）某高中三个年级共有学生2000人，其中高一800人，高二600人，高三600人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（   ） A．24 B．26 C．30 D．32 【答案】D 【分析】按照分层抽样计数规则计算可得. 【详解】依题意高一年级应抽取的人数为人. 故选：D. 【例3】（2025高三·全国·专题练习）分层随机抽样 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为 ，每一个子总体称为 ． 【答案】 分层随机抽样 层 【分析】略 【详解】略 【例4】（23-24高一下·全国·课前预习）抽样方法 （1）简单随机抽样 从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机的抽取个体的方法称为 .当总体中的 和 时，常用这种方法. （2）分层抽样 一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成 、 几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为 . 【答案】 简单随机抽样 个体差异程度较小 总体中个体数目较少 有明显差别的 互不重叠的 分层抽样 【分析】略 【详解】略 【例5】（23-24高二·上海·课堂例题）某果园种植了三个品种的苹果树共计1200棵，其中A品种600棵、B品种400棵、C品种200棵．现在要用随机抽样的方法估计苹果产量．试分析下面的抽样方法属于简单随机抽样还是分层随机抽样： (1)将每棵树按1~1200进行编号，并从这1200个号码中随机抽取100个号码，得到这100个号码对应的100棵苹果树； (2)从三个品种的苹果树中分别随机抽取30棵、20棵、10棵． 【答案】(1)简单随机抽样 (2)分层随机抽样 【分析】（1）借助简单随机抽样定义判断即可得； （2）借助分层随机抽样定义判断即可得. 【详解】（1）简单随机抽样， 在抽样的过程中通过逐个抽取的方法抽取样本， 且总体的每一个个体都有同样的可能性被选入样本， 故其符合简单随机抽样定义. （2）分层随机抽样， 由， 故抽取的三个品种的苹果树的比例与种植的苹果树的比例相等， 故其符合分层随机抽样定义. 【核心考点七 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）非物质文化遗产是文化多样性中最富活力的重要组成部分，是人类文明的结晶和最宝贵的共同财富．某校为了解学生对当地非遗文化“川剧”的了解程度，现从高中部抽取部分学生进行调查，已知该校高一、高二、高三年级学生人数之比为，若利用分层随机抽样的方法抽取人进行调查，则抽取到的高一年级学生人数比高三多（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】C 【分析】根据比例进行分层随机抽样，计算出抽取的高一年级学生人数和高三年级学生人数，做差即可. 【详解】由题意，采用分层抽样的方法，应从高一年级抽取人， 从高三年级抽取人，则抽取到的高一年级学生人数比高三多人． 故选：C 【例2】（2024高二上·云南·学业考试）某学校共有学生2700人，其中男生1200人，女生1500人.现按男生、女生进行分层，用分层随机抽样的方法，从该校全体学生中抽取人进行调查研究.若抽到男生20人，则（    ） A．60 B．45 C．35 D．25 【答案】B 【分析】由分层抽样中各层样本数的确定方法求解即可； 【详解】由题意男生有1200人，调查研究中男生被抽到20人， 所以分层抽样的比例为， 所以， 故选：B. 【例3】（2024高二下·安徽·学业考试）某高中高一年级有学生1440人，高二年级有学生1600人，高三年级有学生1760人.现用分层抽样的方法，从这三个年级学生中抽取n人了解他们的学习情况，其中在高二年级抽取了100人，则 . 【答案】300 【分析】根据题意求得每个学生抽到的概率，结合分层抽样列出方程，即可求解. 【详解】利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了n人进行问卷调查，其中高二年级抽取了100人，高二年级共有1600人， 则每个学生被抽到的概率为， 可得，解得（人）， 故答案为：. 【例4】（2024·四川德阳·一模）某中学田径队有男运动员28人，女运动员21人，按性别进行分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为14的样本，如果样本按比例分配，则男运动员应该抽取的人数为 【答案】8 【分析】先计算得到抽取比例为，再计算得到答案. 【详解】解：田径队运动员的总人数是，要得到14人的样本，占总体的比例为， 于是应该在男运动员中随机抽取(名)， 故答案为：8 【例5】（24-25高一上·全国·课堂例题）将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2．若用同比例分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从A中抽取多少个个体？ 【答案】50 【分析】根据分层抽样的方法计算即可. 【详解】因为A，B，C三层个体数之比为5∶3∶2， 总体中每个个体被抽到的概率相等， 所以分层抽样应从A中抽取（个）个体． 【核心考点八 分层抽样的概率】 【例1】（21-22高一下·广西柳州·期末）某校有700名高一学生，400名高二学生，400名高三学生，高一数学兴趣小组欲采用按比例分配的分层抽样的方法在全校抽取15名学生进行某项调查，则下列说法正确的是（   ） A．高一学生被抽到的概率最大 B．高三学生被抽到的概率最大 C．高三学生被抽到的概率最小 D．每位学生被抽到的概率相等 【答案】D 【分析】根据分层抽样的定义和性质判断即可． 【详解】无论采取简单随机抽样，还是分层抽样，每个个体被抽取的概率都相同． 故选：D． 【例2】（2024·湖北·模拟预测）从一个容量为的总体中抽取一个容量为3的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由简单随机和随机抽样，每个个体被抽中的概率相等的特点可得答案． 【详解】 随机抽样每个个体被抽到的概率相等， 选取分层抽样抽取样本时总体中每个个体被抽中的概率仍为， 故选：A 【例3】（24-25高二上·上海·课前预习）分层随机抽样 （1）定义：一般地，当总体由 的几个部分组成时，先把总体分成若干个部分，然后从不同的部分中独立、随机地抽取样本，这种抽样的方法称为 ． （2）常用的分层抽样的方法如下：先将容量为N的总体按照要求分成k层，每层的个体数分别记为、，…，，在每层中分别随机抽取、、…、个个体组成容量为n的样本，使得 ． 【答案】 差异明显 分层随机抽样 ，， 【分析】略 【详解】略 【例4】（21-22高一·全国·课后作业）在120个零件中有一级品24个、二级品36个、三级品60个，从中抽取一个容量为20的样本，若用简单随机抽样法抽取样本，则总体中每个个体被抽到的可能性为 ；若按比例分配的分层随机抽样法抽取样本，则总体中每个个体被抽到的可能性为 ． 【答案】 【分析】由简单随机抽样的概念计算可能性即可，由分层抽样的概念确定每层被抽到的个体，从而计算每个个体被抽到的可能性即可. 【详解】因为总体中的个体数，样本容量，若用简单随机抽样法抽取样本， 则每个个体被抽到的可能性均为； 因为一、二、三级品的数量之比为， ，，， 故从一、二、三级品中分别抽取4个、6个、10个产品， 若按比例分配的分层随机抽样法抽取样本， 则每个个体被抽到的可能性分别为，，，都为． 故答案为：； 【例5】（22-23高一上·山东日照·期末）已知某中学高一、高二、高三三个年级的青年学生志愿者人数分别为180,120,60，现采用分层抽样的方法从中抽取6名同学去森林公园风景区参加“保护鸟禽，爱我森林”宣传活动. （1）应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （2）设抽取的6名同学分别用A，B，C，D，E，F表示，现从中随机抽取2名学生承担分发宣传材料的工作设事件M=“抽取的2名学生来自高一年级”，求事件M发生的概率. 【答案】（1）从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，1人,（2） 【解析】(1)根据分层抽样的方法求解即可. (2)利用古典概型的方法枚举所有基本事件求解即可. 【详解】（1）由已知，高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：1， 由于采用分层抽样的方法从中抽取6名学生，抽样比为， 故从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，1人. （2）从抽取的6名学生中随机抽取2名同学的所有可能结果为，，共15种. 不妨设抽取的6名学生中，来自高一的是A，B，C，则从抽取的6名学生中随机抽取2名同学来自高一年级的所有可能结果为共3种， 所以事件M发生的概率为. 【点睛】本题主要考查了分层抽样以及古典概型的方法,属于基础题型. 【核心考点九 普查与抽样的定义辨析】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜(Five－hundred－meter Aperture Spherical radio Telescope，简称FAST)，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜.建造“中国天眼”的目的是（   ） A．通过调查获取数据 B．通过试验获取数据 C．通过观察获取数据 D．通过查询获得数据 【答案】C 【分析】根据获取数据的途径判断即可. 【详解】“中国天眼”主要是通过观察获取数据. 故选：C. 【例2】（23-24高二上·重庆北碚·阶段练习）在以下调查中，适合用全面调查的个数是（    ） ①调查一个班级学生的吃早餐情况 ②调查某种饮料质量合格情况 ③调查某批飞行员的身体健康指标 ④调查某个水库中草鱼的所占比例 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合全面调查和抽样调查的特点进行判断. 【详解】①因为一个班级学生的人数不太多，吃早餐情况的全面调查也容易操作，所以适合全面调查； ②某种饮料数量太多，质量合格情况适合抽样调查； ③飞行员职业特点决定了身体健康指标必须全面调查； ④某个水库中鱼的种类和数量一般都较多，不适合全面调查. 故选：B 【例3】（25-26高一上·全国·课前预习）抽样：从总体中 称为抽样． 【答案】抽取样本的工作 【分析】略 【详解】略 【例4】（25-26高一上·全国·课前预习）下列属于间接获取数据的方法的是 ．（填序号） ①访问调查；②查阅文献；③电话调查；④座谈会；⑤个别深度访问；⑥网上调查． 【答案】②⑥ 【分析】从获取数据的渠道是直接还是间接即可判断. 【详解】对于①，③，④，⑤ 这几种渠道都是面对面完成数据采集的应属于直接获取数据，而②，⑥显然是通过间接渠道获取数据的. 故答案为：②⑥. 【例5】（23-24高二·上海·课堂例题）回答以下问题需要获得的数据是观测数据还是实验数据？ (1)本班级每名学生对数学中某个知识点的掌握程度如何？ (2)消费者对于某品牌饮料的喜爱程度如何？ (3)户外运动时间是否会影响青少年的视力？ 【答案】(1)观测数据 (2)观测数据 (3)实验数据 【分析】（1）利用观测数据和实验数据的意义作答即可； （2）利用观测数据和实验数据的意义作答即可； （3）利用观测数据和实验数据的意义作答即可. 【详解】（1）本班级每名学生对数学中某个知识点的掌握程度是通过直接调查而收集到的数据，是观测数据. （2）消费者对于某品牌饮料的喜爱程度是通过对该品牌饮料消费者直接调查而收集到的数据，是观测数据. （3）户外运动时间对青少年视力的影响是对不同对象在不同时间段、不同时长等可控条件下进行实验而收集到的数据，是实验数据. 【核心考点十 普查与抽样的合理选择】 【例1】（24-25高一上·陕西汉中·阶段练习）在以下调查中，适合用全面调查的是（   ） A．了解一个班级学生的身高情况 B．了解一批水稻种子的发芽率 C．调查某城市居民的食品消费结构 D．调查某批次汽车的抗撞击能力 【答案】A 【分析】根据调查的概念判断即可； 【详解】选项A：一个班级学生的身高情况，人数较少，适合用全面调查； 选项BCD数量较多，全面调查耗时耗力，适宜用抽样调查. 故选：A. 【例2】（24-25高二上·安徽·阶段练习）某中等职业学校为了了解高二年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200名学生的视力，并进行统计分析.下列叙述正确的是（   ） A．上述调查属于全面调查 B．每名学生是总体的一个个体 C．200名学生的视力是总体的一个样本 D．1200名学生是总体 【答案】C 【分析】利用总体、样本、调查方法的相关概念分析选项即可. 【详解】上述调查属于抽样调查，故A项错误; 每名学生的视力是总体的一个个体，故B项错误； 200名学生的视力是总体的一个样本，故C项正确； 1200名学生的视力是总体，故D项错误. 故选：C 【例3】（24-25高二·上海·课堂例题）要了解一种新型灯管的寿命，可以通过 获取数据．（填“观测”或“实验”） 【答案】实验 【分析】根据研究对象灯管寿命的特性，判断获取数据的方式即可. 【详解】由于灯管寿命没有显性特征，通过观察不能得到寿命数据，只能应用实验的方式收集其寿命数据. 故答案为：实验 【例4】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列调查中， ①调查我市中小学生每天的课外阅读时间； ②调查黄河某段水域的水质情况； ③调查某品牌汽车A柱（档风玻璃和左、右前车门之间的柱）的安全性； ④调查某快餐店中8位店员的收入情况． 适合普查的是 ，适合抽样调查的是 ．（填序号） 【答案】 ④ ①②③ 【分析】依据普查与抽样调查各自的特点进行逐一判断选取. 【详解】④中共8名店员，数量较少，可采用普查方式； ①②因数量大，③由于具有破坏性，普查都是难以做到的，采用抽样调查的方式． 故答案为：④；①②③ 【例5】（25-26高一上·全国·课前预习）一天，爸爸叫儿子去买一包糖．临出门前，爸爸嘱咐儿子要买甜的．儿子拿着钱出门了，过了好一会儿，儿子才回到家．“糖都甜吗？”爸爸问．“都甜．”“你这么肯定？”儿子把糖递过来，兴奋地说：“我每颗都尝过啦．”在这则笑话中，儿子采用的是什么调查方式？这种调查方式好不好？适宜采用什么方法调查？ 【答案】普查；不好；抽样调查 【分析】略 【详解】在这则笑话中，儿子采用的是普查； 这种调查方式不好；因为儿子把糖递过来，兴奋地说：“我每颗都尝过啦．”，说明这些糖都被尝过，所以这些糖就不能再吃； 他应该采用抽样调查的方法，即从糖果中选择几颗尝一尝是否甜即可. 【核心考点十一 总体与样本】 【例1】（24-25高三上·上海·阶段练习）某校为了解高三年级学生体重情况，从该年级1000名学生中抽取125名学生测量他们的体重进行分析．在这项调查中，抽取的125名学生的体重是（   ） A．总体 B．样本 C．总体容量 D．样本容量 【答案】B 【分析】根据样本的定义即可求解. 【详解】抽取的125名学生的体重是样本， 故选：B 【例2】（2024高三·全国·专题练习）为了了解某地参加计算机水平测试的5 000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行调查分析，在这个问题中，被抽取的200名学生的成绩是（   ） A．总体 B．个体 C．样本 D．样本量 【答案】C 【分析】根据统计中抽样调查的概念即可得解. 【详解】从5000名学生的成绩中抽取了200名学生的成绩进行调查分析， 总体: 5000名学生的成绩； 个体:每个学生的成绩； 样本: 200名学生的成绩； 样本容量:200， 所以抽取的200名学生的成绩是样本 故选：C. 【例3】（22-23高二下·河北石家庄·期末）从全年级20个班中任取一个班，再从该班中任意抽取20名学生，考察他们本学期的期中考试的数学成绩，在这次抽样中样本容量为 . 【答案】20 【分析】先找出样本，即可求得样本容量. 【详解】从该班中任意抽取20名学生，考察他们本学期的期中考试的数学成绩， 样本为20名学生的数学成绩， 故在这次抽样中样本容量为20. 故答案为：20. 【例4】（24-25高一上·全国·课前预习）统计学中的两个统计概念 （1）参数：是用来描述 的指标，常见的总体参数有总体平均数、众数和中位数以及总体方差等． （2）统计量：是用来描述 的指标，常见的统计量有样本平均数、样本方差等． 【答案】 总体特征 样本特征 【分析】略 【详解】略 【例5】（23-24高二·上海·课堂例题）小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了10天的数据，它们分别是：68、34、70、45、74、126、108、66、36、72．在这个问题中，总体和样本分别是什么？ 【答案】答案见解析 【详解】总体是小明每天花在体育锻炼上的时间，样本是小明连续10天花在体育锻炼上的时间. 【变式训练1 简单随机抽样的特征及适用条件】 1．（2024高三·全国·专题练习）下列抽样的方式属于简单随机抽样的个数为（　　） ①从500个个体中一次性抽取50个作为样本； ②将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本； ③某班有55个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛； ④福利彩票用摇奖机摇奖. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由简单随机抽样的定义对各个抽取方式进行判断即可得到结论. 【详解】①不是逐个抽取，③不是等可能抽取，故不是简单随机抽样，②④是简单随机抽样. 故选：B. 2．（2024高一下·全国·专题练习）关于简单随机抽样，下列说法正确的是（    ） ①它要求被抽取样本的总体的个体数有限；②它是从总体中逐个地进行抽取；③不做特殊说明时，它是一种不放回抽样；④它是一种等可能抽样． A．①②③④ B．③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据简单随机抽样的定义和性质即可得到答案. 【详解】根据简单随机抽样的定义和性质知： ①它要求被抽取样本的总体的个数有限，正确； ②它是从总体中逐个地进行抽取，正确； ③不作特殊说明时它是一种不放回抽样，正确； ④它是一种等可能性抽样，正确； 故选：A. 3．（25-26高二上·上海·单元测试）下面的抽样方法中是简单随机抽样的有 ． ①从无数个个体中抽取50个个体作为样本； ②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查； ③某连队从200名士兵中，挑选出50名党员士兵赶赴灾区开展救灾工作； ④一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签盒子中逐个无放回地抽出6个号签． 【答案】④ 【分析】一般地，设一个总体含有个个体，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取各个个体被抽到的概率相同，则这样的抽样叫简单随机抽样，根据此定义逐个分析判断. 【详解】对于①，因为总体个数是无限的，所以不是简单随机抽样， 对于②，因为不是逐个抽取，所以不是简单随机抽样， 对于③，因为50名党员士兵是挑选的，不是逐个抽取，所以不是简单随机抽样， 对于④，符合简单随机抽样的定义，所以是简单随机抽样. 故答案为：④ 4．（2024高一下·全国·专题练习）通过简单随机抽样从某批零件中抽取50个，然后再从抽取的50个中抽出40个进行合格检查，发现合格品有36个，则可以推测该批产品的合格率为 . 【答案】 【分析】根据40个零件中合格品的个数来进行计算. 【详解】. 故答案为：. 5．（24-25高二·上海·课堂例题）下列抽取样本的方法是简单随机抽样吗？判断并简要说明理由． (1)从无限多个个体中抽取100个个体作为样本； (2)箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质检，抽样时，从中任意拿出一个零件进行质检后再放回箱子里； (3)箱子里共有100个零件，从中一次性抽取5个零件作为样本； (4)某班有40名学生，指定体重最重的5名学生参加某项公益活动. 【答案】(1)不是．总体个数是无限的，简单随机抽样总体的个数是有限的； (2)不是．这是有放回抽样，简单随机抽样是不放回抽样； (3)不是．这是一次性抽取，简单随机抽样是逐个抽取； (4)不是．每个个体被抽取的机会不是等可能的，简单随机抽样总体中每个个体被选入样本的可能性相同 【分析】根据简单随机抽样的定义即可判断. 【详解】（1）不是．总体个数是无限的，简单随机抽样总体的个数是有限的； （2）不是．这是有放回抽样，简单随机抽样是不放回抽样； （3）不是．这是一次性抽取，简单随机抽样是逐个抽取； （4）不是．每个个体被抽取的机会不是等可能的，简单随机抽样总体中每个个体被选入样本的可能性相同 【变式训练2 抽签法】 1．（2024高三·全国·专题练习）在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中随机抽取10个人，那么下列说法正确的是（   ） A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 【答案】B 【分析】根据随机抽样的特征，即可判断出结果. 【详解】由于第一次剔除时采用抽签法，对每个人来说可能性相等， 然后随机抽取10人对每个人的机会也是均等的， 所以总的来说每个人的机会都是均等的，被抽到的可能性都是相等的. 故选：B. 2．（22-23高一·全国·课后作业）下列抽样试验中，适合用抽签法的是（    ） A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验 B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验 C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验 D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验 【答案】B 【分析】根据抽签法的适用条件，结合选项依次判断即可. 【详解】选项A，总体中的个体数较大，样本容量也较大，不适合用抽签法，故A不符合题意； 选项B，总体中的个体数较小，样本容量也较小， 且同厂生产的两箱产品可视为搅拌均匀了，可用抽签法，故B符合题意； 选项C，甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大， 不能满足搅拌均匀的条件，不能用抽签法，故C不符合题意； 选项D，总体中的个体数较大，不适合用抽签法，故D不符合题意. 故选：B 3．（21-22高一·全国·课后作业）抽签法：先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片（也可以使用卡片、小球等）上作为号签，并将这些小纸片放在一个 的盒里，充分 ．最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体数． 【答案】 不透明 搅拌 【解析】略 4．（21-22高二·全国·课后作业）用抽签法进行简单随机抽样时，抽取的号签 箱中．（填“放回”或“不放回”） 【答案】不放回 【分析】利用抽签法的特征求解. 【详解】解：由抽签法的特征知：抽取的号签不放回箱中． 故答案为：不放回 5．（24-25高一上·全国·课后作业）“绿水青山就是金山银山”，为响应党中央的号召，为基层办实事，省环保局从各县市报送的28件环保案例中抽取7件作为样本研究，以制定切实可行的方案．试确定抽取方法并写出操作步骤． 【答案】答案见解析 【分析】由抽签法的适用特征以及抽签法的使用步骤即可求解. 【详解】由于总体容量小，样本量也小，可用抽签法，步骤如下： （1）将28件环保案例用随机方式编号，号码是1，2，3，…，28； （2）将以上28个号码分别写在28张相同的小纸条上，制成形状、大小均相同的号签； （3）把号签放入一个不透明的容器中，充分搅拌均匀； （4）从容器中无放回地逐个抽取7个号签，并记录上面的号码； （5）找出和所得号码对应的7件案例，组成样本． 【变式训练3 随机数表法】 1．（24-25高二上·新疆喀什·期中）从某班57名同学中选出4人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将57名同学按01、02、…、57进行编号，然后从随机数表第一行的第7列和第8列数字开始往右依次选取两个数字，则选出的第4个同学的编号为（    ） 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297 7424 6292 4281 1457 2042 5332 3732 1676 （注：表中的数据为随机数表第一行和第二行） A．24 B．36 C．42 D．52 【答案】A 【分析】利用随机数表法可得结果. 【详解】从随机数表第一行第列和第列数字开始往右依次选：、、、， 选出的第4个同学的编号为24. 故选：A． 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）把60名同学看成一个总体，且给60名同学进行编号，分为00，01，，59，现从中抽取一容量为6的样本，请从随机数表的倒数第5行（下表为随机数表的最后5行）第11列开始向右读取，直到取足样本，则抽取样本的第6个号码为（    ） 95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 32 90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 46 40 62 98 80 54 97 20 56 95 15 74 80 08 32 20 31 89 03 43 38 46 82 68 72 32 14 82 99 70 71 59 73 05 50 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49 A．32 B．38 C．39 D．24 【答案】D 【分析】根据随机数表读出抽取样本的六个号码，即可判断. 【详解】根据随机数表抽取样本的六个号码分别为18，00，38，58，32，24， 所以抽取样本的第6个号码为24． 故选：D． 3．（22-23高二上·陕西咸阳·开学考试）省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌800粒种子中抽取60粒进行检测，现将这800粒种子编号如下001，002，…，800，若从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，则所抽取的第4粒种子的编号是 .（如下是随机数表第8行至第9行） 63  01  63  78  59  16  95  55  67  19  98  10  50  71  75  12  86  73  58  07  44  39  52  38  79  33  21  12  34  29  78  64  56  07  82  52  42  07  44  38  15  51  0  13  42  99  66  02  79  54 【答案】507 【分析】根据随机数表法读取数据即可. 【详解】由题意，依次读取的种子的编号为： 785，916（舍去），955（舍去），567，199，810（舍去），507. 故所抽取的第4粒种子的编号为507. 故答案为：507 4．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）总体由编号为1，2，⋯，99，100的100个个体组成，现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若干个1~100范围内的整数随机数的开始部分数据，如下表，则选出来的第5个个体的编号为 8  44  2  17  8  31  57  4  55  6 88  8  31  47  7  21  76  33  50  63 【答案】31 【分析】根据题意，结合随机数表选取的规则，结合题意，即可求解. 【详解】根据随机数表的选取的规则是选出的样本编号为1~100范围内的整数， 且与前面重复的数据不再出现，所以前5个个体编号为：8  44  2  17  31， 所以选出来的第5个个体的编号为31. 故答案为：31. 5．（23-24高二·上海·课堂例题）某外语兴趣班的教学进度很快，同学们决定向老师建议调整教学进度，大家一致同意从班上随机抽取3名同学作为代表去见老师．班上所有同学的姓名如下，用随机数法抽取一个由3名同学构成的样本． 张海超    孙潮文    洪振国    赵智宇    胡萍萍 李伊一    冯  杰    王小蕾    汪  晓    李  伟 陆昊然    江  晨    张  燕    吴运杰    周  越 陈景瑶    赵萱萱    李  珍 【答案】答案见解析 【分析】根据随机数法的步骤求解即可. 【详解】（1）将这18个个体编号为； （2）利用计算机产生3个中的随机数； （3）将产生的3个随机数为编号的个体取出，则这3个个体即为所要抽取的样本. 【变式训练4 简单随机抽样的概率】 1．（23-24高一下·天津南开·期末）利用简单随机抽样的方法，从n个个体（）中抽取13个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合简单随机抽样的定义，即可求解． 【详解】解：第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为， 则， 解得， 故在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为． 故选：B． 2．（23-24高一下·江苏常州·期末）从某班学号为1到10的十名学生（其中含学生甲）中抽取3名学生参加某项调查，现用抽签法抽取样本（不放回抽取），每次抽取一个号码，共抽3次，设甲第一次被抽到的可能性为，第二次被抽到的可能性为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由题意结合简单随机抽样的特征即可确定实数，的值. 【详解】由简单随机抽样的定义知，每个个体在每次抽取中都有相同的可能性被抽到， 因为每次抽取一个号码，所以甲第一次被抽到的可能性为， 第二次被抽到的可能性为. 即甲同学在每次抽样中被抽到的可能性都是，所以，. 故选：D. 3．（23-24高一下·全国·课后作业）用简单随机抽样的方法从含有6个个体的总体中，抽取一个样本量为2的样本，某一个个体a“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是 、 、 . 【答案】 【分析】根据简单随机抽样等可能抽取的特点计算即可. 【详解】从6个个体中抽1个个体，每个个体被抽到的概率均为，与抽取的次数无关，第二次被抽到的概率仍为.但由于在整个抽样过程中是从6个个体中抽2个样本，故个体a被抽到的概率为. 故答案为：；；. 4．（23-24高二上·四川绵阳·期末）利用简单随机抽样的方法，从个个体（）中抽取15个个体，若第二次抽取时，每个个体被抽到的概率为.则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为 . 【答案】 【分析】根据第二次抽取时余下的每个个体被抽取到的概率为求得，可得答案. 【详解】第二次抽取时，余下的每个个体被抽取到的概率为， 则，解得， 所以在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为. 故答案为：. 5．（2022·新疆乌鲁木齐·一模）在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题.例如学生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等，更要精心设计问卷.设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况.为了调查中学生中的早恋现象，随机抽出200名学生，调查中使用了两个问题.①你的血型是A型或B型(资料：我国人口型血比例41%，型血比例28%，型血比例24%.型血比例7% ).②你是否有早恋现象，让被调查者掷两枚骰子，点数之和为奇数的学生如实回答第一个问题.点数之和为偶数的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不放，后来在盒子中收到了57个小石子. （1）试计算掷两枚骰子点数之和为偶数的机率； （2）你能否估算出中学生早恋人数的百分比？ 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）先计算抛掷两枚骰子的所有可能，再找出满足题意的可能，用古典概型的概率计算公式即可求得； （2）根据（1）中所求，结合参考数据，先求得关于血型问题回答是的同学数量，再求出回答是早恋同学的数量，进而算出早恋比例. 【详解】（1）抛掷两枚骰子，总共有36种可能； 其中满足点数之和为偶数有以下18中可能： 故满足题意的概率. 故掷两枚骰子点数之和为偶数的机率为. （2）由（1）可知，点数之和为偶函数和奇数的概率相等， 则可估算有100名同学回答第一个问题，100名同学回答第二个问题. 根据参考数据，回答第一个问题，选择是的有人； 故回答第二个问题，选择是的有人. 故早恋人数的占比为. 【点睛】本题考查简单随机抽样的概率计算，属基础题. 【变式训练5 单随机抽样估计总体】 1．（21-22高二上·陕西榆林·阶段练习）用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》中就有记载，其中有道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1600石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷25粒，估计这批米内所夹的谷有（    ） A．320石 B．160石 C．80石 D．60石 【答案】B 【分析】利用米与米内夹谷的比例大致相同得到关于的方程，解之即可估算. 【详解】依题意，设这批米内所夹的谷有石， 则，解得， 所以估计这批米内所夹的谷有石. 故选：B. 2．（21-22高一上·贵州遵义·期末）管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是（    ） A．2800 B．1800 C．1400 D．1200 【答案】C 【分析】由从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条，可得所有池塘中有标记的鱼的概率，结合池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼，按照比例即得解. 【详解】设估计该池塘内鱼的总条数为， 由题意，得从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条， 所有池塘中有标记的鱼的概率为：， 又因为池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼， 所以，解得， 即估计该池塘内共有条鱼. 故选：C. 3．（23-24高一下·江苏常州·期末）为估计某草场内兔子的数量，使用以下方法：先随机从草场中捕捉兔子100只，在每只兔子的尾巴上作上记号后放回草场.再随机从草场中捕捉60只，若尾巴上有记号的兔子共有10只，估计此草场内约有兔子 只. 【答案】 【分析】利用简单随机抽样，结合样本估计总体可解. 【详解】假设草场约有n只兔子，则，则. 故答案为：600. 4．（2024高一下·全国·专题练习）中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为 石（结果四舍五入取整数）. 【答案】435 【分析】根据给定条件，利用样本的数字特征估计总体的相应特征作答. 【详解】设粮仓内的秕谷有x石，依题意，，解得， 所以粮仓内的秕谷约为435石. 故答案为：435. 5．（22-23高一·全国·课后作业）为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的 情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题： （1）你的学号是奇数吗？（2）在过路口时你是否闯过红灯？ 要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答．结果被调查的800人（学号从1至800）中有240人回答了“是”.由此估计这800人中闯过红灯的人数？ 【答案】80 【分析】在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，第一个问题可能被询问400次，在被询问的400人中有200人学号是奇数，比200人多出来的人数就是400人中闯过红灯的人数，从而估计出800人中有过闯过红灯的人数． 【详解】解：要调查800名学生，在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同， ∴第一个问题可能被询问400次， ∵在被询问的400人中有200人学号是奇数，而有240人回答了“是”， ∴估计有个人闯过红灯，即在400人中有40个人闯过红灯， ∴根据概率的知识来估计这800人中有过闯过红灯的人数为80． 【变式训练6 分层抽样的特征及适用条件】 1．（24-25高一上·全国·课前预习）某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适（    ） A．抽签法 B．随机数法 C．分层抽样法 D．以上都不合适 【答案】C 【分析】根据抽样方法的特点进行选择. 【详解】总体有差异明显的三部分构成，因此应选择分层抽样法. 故选：C. 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）下列问题中，最适合用分层随机抽样方法抽样的是（    ） A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1~40．有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈 B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查 C．某乡农田有山地5平方千米，丘陵8平方千米，平地16平方千米，洼地2.5平方千米，现抽取农田1平方千米估计全乡农田平均每平方千米的产量 D．从50个零件中抽取5个做质量检验 【答案】C 【分析】根据分层抽样的定义逐个分析判断. 【详解】对于A，总体容量较多，差异不明显，所以可以利用系统抽样，所以A错误， 对于B，总体容量较少，所以使用简单随机抽样，所以B错误， 对于C，总体容量较多，样本差异比较明显，所以使用分层抽样，所以C正确， 对于D，总体容量较少，并且差异不明显，所以使用简单随机抽样，所以D错误， 故选：C 3．（2024高一下·江苏·专题练习）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样和分层抽样，则最合适的抽样方法是 . 【答案】分层抽样 【分析】由于客户个体因年龄存在较大差异，故选择分层抽样. 【详解】因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异，所以需按年龄进行分层抽样， 才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价. 故答案为：分层抽样 4．（21-22高一上·全国·课后作业）为制订某市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高做调查，现有三种调查方案: （1）测量少年体校中180名男子篮球、排球队员的身高; （2）查阅有关外地180名男生身高的统计资料; （3）用抽样调查的方法从初中三个年级抽取180名男生调查其身高. 为了达到估计某市初中这三个年级男生身高分布的目的，则上述调查方案不合理的是 ，合理的是 . 【答案】 （1）（2） （3） 【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解． 【详解】（1）少年体校的男子篮球、排球队员运动员的身高一般高于平均水平， 因此不能用测量的结果去估计总体的结果，故方案（1）不合理， （2）用外地学生的身高也不能准确地反映本地学生身高的实际情况，故方案（2）不合理， （3）由于初中三个年级的男生身高是不同的， 所以应该用分层随机抽样的方法从初中三个年级抽取180名男生调查其身高．故方案（3）合理． 故答案为：（1）（2）；（3）． 5．（22-23高一·全国·随堂练习）现在需要解决本校食堂每天应该准备多少米饭比较合适的问题．如果采用从本校学生中抽样调查每个人的饭量来得到相关信息，那么是否存在某变量作为分层的主要考虑因素？ 【答案】答案见解析 【分析】根据题设，结合分层抽样的定义，即可求解. 【详解】在学校中，不同年级的学生以及男女不同的性别，饭量大小存在较大的差异，所以可将其作为分层的主要考虑的因素. 【变式训练7 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算】 1．（24-25高二上·湖北孝感·期中）一支田径队有男运动员28人，女运动员20人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该田径队中抽取了男运动员7人，则女运动员被抽取的人数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据分层抽样的抽取原则，按比例计算即可. 【详解】由题意得，女运动员被抽取的人数为. 故选：B. 2．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）某学校高二年级选择“物化生”，“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240，90和120.现采用分层抽样的方法选出30位同学进行某项调查研究，则“史地政”组合中选出的同学人数为（    ） A．8 B．12 C．16 D．6 【答案】A 【分析】根据分层抽样的定义列出式子，进行求解. 【详解】由题意得，史地政”组合中选出的同学人数为. 故选：A 3．（23-24高二下·云南·期末）某地区的高中学校分为A、B两类，A类高中学校共有学生6000人，B类高中学校共有学生2000人．现按A、B两类进行分层，用分层随机抽样的方法，从该地区的高中学校抽取学生40人进行调查研究．设抽到该地区A类高中学校学生x人，则 ． 【答案】30 【分析】由分层抽样中各层样本数的确定方法求解即可. 【详解】由题意，. 故答案为：30. 4．（2024高二下·福建·学业考试）已知男女生共有100人，其中男生45人，现从100人中抽20人，则抽出的20人中男生有 人. 【答案】 【分析】根据分层比可求男生人数. 【详解】男生的分层比为，故人中男生的人数为， 故答案为：. 5．（23-24高二·上海·课堂例题）某校学生志愿者协会共有250名成员，其中高一年级学生88名，高二年级学生112名，高三年级学生50名．为了解志愿者的服务意愿，需要随机抽取50名学生进行问卷调查．应当如何抽取？三个年级各要抽取多少名学生？ 【答案】分层抽样，各抽取、与人 【分析】借助分层抽样法的性质与定义计算即可得. 【详解】应采用分层抽样法进行抽样， ，，， 故三个年级各要抽取、与人. 【变式训练8 分层抽样的概率】 1．（22-23高一下·天津滨海新·期末）从一个容量为100的总体中抽取容量为10的样本，选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽取样本.在简单随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为，某个体被抽中的概率为；在分层随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为，则（    ） A． B． C． D．之间没有关系 【答案】B 【分析】根据简单随机抽样、分层抽样的定义即可得到结论． 【详解】根据抽样调查的原理可得简单随机抽样，分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即. 故选：B 【点睛】本题考查简单随机抽样、分层抽样的原理的理解，两种抽样都是等可能抽取，是一道容易题. 2．（21-22高一下·广东广州·期末）某田径队有男运动员56人，女运动员42人，若采用比例分配的分层随机抽样方法在这支田径队中抽取28人进行体质测试，则抽取男运动员的人数为（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A 【分析】根据分层抽样的相关知识直接计算. 【详解】男运动员56人，女运动员42人，则男生占总体比例为， 抽取28人进行体质测试，则抽取男运动员的人数为. 故选：A 3．（22-23高二下·上海普陀·阶段练习）已知某校高一（1）班有男生28人，女生21人，用分层抽样的方法从该班级中抽取若干人．已知某男生被抽中的概率为，则抽取的女生人数为 ． 【答案】3 【分析】由某男生被抽中的概率可得女生被抽中的概率，根据分层抽样的定义可求抽取的女生人数. 【详解】因为某男生被抽中的概率为，所以女生被抽中的概率为， 所以抽取的女生人数为. 故答案为:3. 4．（22-23高二上·上海黄浦·期末）一个总体分为两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为的样本．已知层中每个个体被抽到的概率都是 ，则总体中的个体数为 ． 【答案】 【分析】根据分层抽样每个个体抽到的概率相等，即可求出结论 【详解】因为用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为的样本． 由层中每个个体被抽到的概率都为 ，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是， 所以总体中的个体数为． 故答案为：. 5．（22-23高二上·黑龙江大庆·期中）某学校共有教职工900人，分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如下表所示．已知在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0．16． 第一批次 第二批次 第三批次 女教职工 196 x y 男教职工 204 156 z (1)求x的值； (2)现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查，问应在第三批次中抽取教职工多少名？ 【答案】（1）144 ； （2）12 . 【详解】(1)由＝0．16，解得x＝144． (2)第三批次的人数为y＋z＝900－(196＋204＋144＋156)＝200， 设应在第三批次中抽取m名，则＝，解得m＝12． ∴应在第三批次中抽取12名教职工． 【变式训练9 普查与抽样的定义辨析】 1．（22-23高一·全国·课后作业）下列数据一般需要通过实验获取的是（    ） A．某子弹的射程 B．某学校的男女生比例 C．华为手机的市场占有率 D．期中考试的班级数学成绩 【答案】A 【分析】利用数据的获取途径去选择相对应的方法即可解决. 【详解】选项A：某子弹的射程没有现存数据可以查询，因而需要通过实验获取； 选项B：某学校的男女生比例可以通过查询获取，不需要通过实验获取； 选项C：华为手机的市场占有率可以通过调查获取，不需要通过实验获取； 选项D：期中考试的班级数学成绩可以通过查询获取，不需要通过实验获取； 故选：A 2．（21-22高一·全国·课后作业）①您所购买的是名牌产品，您认为该产品的知名度（    ） A．很高    B．一般    C．很低 ②你们家有几个孩子？____________． ③你们班有几个聪明的同学？___________． ④你认为数学学习（    ） A．较困难    B．较容易    C．没感觉 以上问题符合调查问卷要求的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据调查问卷的特点即可判断. 【详解】解：①不符合，因为问题有引导受调查者答题的倾向； ②不符合，因为“孩子”一词意义含混； ③不符合，因为“聪明”一词意义含混； ④符合调查问卷要求． 故选:D． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）数据的直接来源与间接来源 （1）直接来源：通过 或 等途径获取数据．直接获取的数据称为直接数据或一手数据； （2）间接来源：借助各种 ，包括 、 和年鉴、广播、电视或互联网等获取数据．间接获取的数据称为间接数据或二手数据． 【答案】 调查 实验 媒介 报纸杂志 统计报表 【分析】略 【详解】略 4．（24-25高一上·全国·课后作业）一名交警在公路上随机观测了6辆车的行驶速度，结果如下表： 车序号 1 2 3 4 5 6 速度 66 65 71 54 69 58 （1）该交警采取的是 （填“抽样调查”或“普查”）； （2）这次调查的样本是 ． 【答案】 抽样调查 6辆车的行驶速度 【分析】根据调查方式及样本的定义判断即可. 【详解】依题意一名交警在公路上随机观测了6辆车的行驶速度， 所以该交警采取的是抽样调查，这次调查的样本是6辆车的行驶速度. 故答案为：抽样调查；6辆车的行驶速度 5．（23-24高二·上海·课堂例题）完成下列任务所获得的数据是观测数据还是实验数据？ (1)某高校为了解大学一年级新生的计算机水平，举行了新生计算机水平测试，获得了每一位大学一年级新生的计算机成绩； (2)某旅游公司为开发新的旅游产品，调查了500名客户对于旅游目的地的偏好； (3)某科研团队研发出一种新型生态除草剂，检测了该除草剂防控稻田杂草的效果． 【答案】(1)观测数据 (2)观测数据 (3)实验数据 【分析】（1）根据观测数据与实验数据的意义作答即可； （2）根据观测数据与实验数据的意义作答即可； （3）根据观测数据与实验数据的意义作答即可. 【详解】（1）通过举行新生计算机水平测试，获得了每一位大学一年级新生的计算机成绩，是通过调查观测得到的数据，是观测数据. （2）调查500名客户对于旅游目的地的偏好，是通过调查观测得到的数据，是观测数据. （3）检测该除草剂防控稻田杂草的效果，是通过控制实验对象来看对何种杂草的试验效果，是实验数据. 【变式训练10 普查与抽样的合理选择】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）研究下列问题，一般通过试验获取数据的是（    ） A．某城市元旦前后的气温 B．某种新型电路元件使用寿命的测定 C．电视台想知道某一个节目的收视率 D．高中生日平均上网时间 【答案】B 【分析】根据数据获取途径的特征判断即可. 【详解】对于A：某城市元旦前后的气温，一般通过观察获取数据，故A错误； 对于B：某种新型电路元件使用寿命的测定，一般通过试验获取数据，故B正确； 对于C：电视台想知道某一个节目的收视率，一般通过调查获取数据，故C错误； 对于D：高中生日平均上网时间，一般通过调查获取数据，故D错误. 故选：B 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列获取的数据属于直接数据的是（    ） A．看报纸获得的数据 B．通过问卷调查获得的数据 C．通过网络获得的数据 D．听广播获得的数据 【答案】B 【分析】根据数据获取的途径判断即可. 【详解】通过看报纸获得的数据，网络获得的数据以及听广播获得的数据叫做二手数据，故A、C、D均错误； 通过问卷调查获得的数据属于直接数据，故B正确. 故选：B 3．（24-25高二·上海·课堂例题）“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜（Five-hundred-meterApertureSpherical radioTelescope），简称FAST，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜．建造“中国天眼”的目的是通过 获取数据．（填“观测”或“实验”） 【答案】观测 【分析】略 【详解】略 4．（24-25高二·上海·课堂例题）一般地，对总体的每个个体分别进行调查的方法称为 ；通过抽样进行考察调查研究的方法叫做 ． 【答案】 普查 抽样调查 【分析】略 【详解】略 5．（23-24高二·上海·课堂例题）小王和小张计划调查上海市新生儿的性别情况．小王调查了最近一个月在A医院出生的320名新生儿，其中有156名女孩，小王由此推断：上海市新生儿男女比例基本均衡．小张的姐姐在B医院待产，她告诉小张最近一周在B医院出生的18名新生儿中有13名女孩，小张由此推断：上海市新生儿男女比例严重失调，考虑下面的问题： (1)在上面的统计活动中，总体和样本分别是什么？ (2)你同意小王和小张的推断吗？请说一说你的理由． (3)你认为是否可以用上面的样本来推断上海市新生儿的男女比例？请说一说你的理由． 【答案】(1)答案见解析； (2)同意，理由见解析； (3)不能，理由见解析； 【分析】（1）根据总体和样本定义分别求解； （2）根据抽样情况判断不全面不能得出推论； （3）说明不能用上面的样本来推断上海市新生儿的男女比例的理由. 【详解】（1）总体是上海市新生儿的性别情况，样本是在A医院出生的320名新生儿的性别情况； （2）不同意，根据抽样情况只能说明抽样的情况，判断不全面，不能得出推论； （3）不能，抽样的不全面不能得出科学的推断. 【变式训练11 总体与样本】 1．（24-25高二·上海·课堂例题）某校为了了解高一年级学生的视力情况，特别是近视率的问题，抽测了其中300名同学的视力情况．在这个过程中，300名同学的视力情况是（    ） A．总体 B．个体 C．总体的一个样本 D．样本容量 【答案】C 【分析】根据总体，个体，样本和样本容量的定义进行求解. 【详解】100名同学的视力情况是从总体中抽取的一部分个体所组成的集合， 所以是总体的一个样本. 故选：C. 2．（23-24高一下·广西河池·期末）某市市场监管局为了了解饮料的质量，从该市区某超市在售的种饮料中抽取了种饮料，对其质量进行了检查．在这个问题中，是（    ） A．总体 B．个体 C．样本 D．样本量 【答案】D 【分析】根据随机抽样概念求解即可. 【详解】总体：我们把与所研究问题有关的全体对象称为总体； 个体：把组成总体的每个对象称为个体； 样本：从总体中，抽取的一部分个体组成了一个样本； 样本量：样本中个体的个数叫样本量，其不带单位； 在售的50种饮料中抽取了30种饮料，对其质量进行了检查， 在这个问题中，50种饮料是总体，每一种饮料是个体，30种饮料是样本，30是样本量． 故选：D． 3．（25-26高二上·上海·单元测试）某出租公司在“五一”长假期间平均每天的营业额为5万元，由此可推断出5月份的总营业额约为（万元），根据所学知识，你认为这样的推断是 （选填“合理”或“不合理”）. 【答案】不合理 【分析】根据样本的选择需要具有代表性和普遍性来分析判断. 【详解】在“五一”长假期间，‌由于假期的影响，‌出租车公司的营业额通常会比平时高。 ‌因此，‌仅凭“五一”长假期间的营业额来推断整个5月份的营业额是不准确的。 ‌这是因为“五一”长假的营业额受到节假日的特殊影响，‌而5月份的其他时间（‌非节假日）‌的营业额可能与长假期间的营业额有较大差异。‌ 此外，‌样本的选择需要具有代表性和普遍性，‌而“五一”长假期间的营业额并不能代表整个月份的营业额情况。‌ 因此，‌基于“五一”长假期间的营业额来推断整个5月份的营业额是不合理的. 故答案为：不合理 4．（24-25高二·上海·课堂例题）为了了解高一年级500名学生某次数学考试的成绩，从中随机抽取了50名学生的成绩，在这个问题中，个体是 ． 【答案】高一年级500名学生某次数学考试每名学生的成绩 【分析】根据个体的定义即可得结果. 【详解】个体是指总体中的每个个体或数据，所以高一年级500名学生某次数学考试每名学生的成绩. 故答案为：高一年级500名学生某次数学考试每名学生的成绩. 5．（23-24高二·上海·课堂例题）某农业研究人员为考察三个品种的小麦发芽率，从中选取麦种若干，经检测得到数据如下表所示．在这个问题中，总体和样本分别是什么？样本量是多少？ 品种 麦种数 发芽数 A 100 92 B 200 189 C 200 182 【答案】答案见详解 【分析】根据总体和样本的概念，结合题意，即可求解. 【详解】总体是指研究的所有对象，样本是调查过程中抽取的部分研究对称，样量为抽取部分研究对象的数量. 对于本题：总体为：A、B、C三个品种的小麦； 样本为：A品种抽取的100粒播种的小麦、B品种抽取的200粒播种的小麦、C品种抽取的200粒播种的小麦； 样本量为：100、200、200. 1．（2022高一下·全国·专题练习）已知下列抽取样本的方式： ①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本； ②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出1个零件进行质量检验后再把它放回盒子里； ③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验； ④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛． 其中，不是简单随机抽样的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据简单随机抽样的特征：有限性，逐一性，不放回性，等可能性判断即可. 【详解】①不是简单随机抽样，原因是简单随机抽样中总体的个数是有限的，而题中是无限的；②不是简单随机抽样，原因是简单随机抽样是不放回地抽取，而题中是放回地；③不是简单随机抽样，原因是简单随机抽样是逐个抽取，而题中是一次性抽取；④不是简单随机抽样，原因是个子最高的5名同学是56名同学中特定的，不存在随机性，不是等可能抽样． 故选择D． 【点睛】简单随机抽样的特征 要判断所给的抽样方法是否是简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的四个特点：有限性、逐一性、不放回性、等可能性． ①有限性：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析． ②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作． ③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算． ④等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样方法的公平性． 2．（22-23高一下·江西景德镇·期中）现要用随机数表法从总体容量为240(编号为001到240)的研究对象中挑选出50个样本，则在下列数表中按从左至右的方式抽取到的第四个对象的编号为（    ） 32451 74491 14562 16510 02456 89640 56816 55464 41630 85621 05214 84513 12541 02145 A．5 B．44 C．165 D．210 【答案】D 【分析】由随机数表抽样方法可知答案. 【详解】由随机数表抽样方法可知，以3个数字为单位抽取数字，且数字不能大于240，且要去掉重复数字，据此第一个数字为114，第二个为165，第三个为100，第4个为210. 故选：D 3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在哈尔滨市2024年第一次市模考试中，三所学校高三年级的参考人数分别为、.现按比例分层抽样的方法从三个学校高三年级中抽取样本，经计算得三所学校高三年级数学成绩的样本平均数分别为，则三所学校学生数学成绩的总平均数约为（    ） A．101 B．100 C．99 D．98 【答案】B 【分析】利用分层抽样的均值公式求解即可. 【详解】由题意得可供参考的总人数为人， 故三所学校学生数学成绩的总平均数约为， 故选：B 4．（2024·河南·三模）国内某优秀新能源电池制造企业在锂电池单位能量密度技术上取得了重大突破，该制造企业内的某车间有两条生产线，分别生产高能量密度锂电池和低能量密度锂电池，总产量为400个锂电池．质检人员采用分层随机抽样的方法随机抽取了一个容量为80的样本进行质量检测，已知样本中高能量密度锂电池有35个，则估计低能量密度锂电池的总产量为（    ）． A．325个 B．300个 C．225个 D．175个 【答案】C 【分析】根据分层抽样计算规则计算可得. 【详解】根据分层随机抽样可知低能量密度锂电池的产量为（个）． 故选：C 5．（2022·广东梅州·模拟预测）2021年起，我省将实行“3+1+2”高考模式，某中学为了解本校学生的选考情况，随机调查了100位学生，其中选考化学或生物的学生共有70位，选考化学的学生共有40位，选考化学且选考生物的学生共有20位．若该校共有1500位学生，则该校选考生物的学生人数的估计值为（    ） A．300 B．450 C．600 D．750 【答案】D 【分析】先求出100位样本中选考生物没有选考化学的学生共有位，根据已知选考化学且选考生物的学生共有20位，得到选考生物的学生有位，计算比值估计选考生物的总体人数. 【详解】因为选考化学或生物的学生共有70位，选考化学的学生共有40位， 所以选考生物没有选考化学的学生共有位， 又选考化学且选考生物的学生共有20位， 所以选考生物的学生有位 所以在100位学生中选考生物的占比为 ， 该校共有1500位学生，则该校选考生物的学生人数的估计值为人 故选：D 【点睛】本题考查用样本估计总体，属于基础题. 利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据 (1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． (2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征． 6．（21-22高一·全国·课后作业）炎炎夏日，冰淇淋成为许多人的热宠，现用简单随机抽样的方法检测某品牌冰淇淋是否符合食品安全标准，若从21个冰淇淋中逐个抽取一个容量为3的样本，则其中某一个体A“第一次被抽到”的可能性是 ，“第二次被抽到”的可能性是 ． 【答案】 【分析】根据在抽样过程中，个体A每一次被抽到的可能性是相等的可得答案. 【详解】在抽样过程中，个体A每一次被抽到的可能性是相等的，因为总体容量为21，所以个体A“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为． 故答案为：①②. 7．（2024·云南楚雄·模拟预测）以“塑造软件新生态，赋能发展新变革”为主题的第二十五届中国国际软件博览会于2023年8月31日在天津开幕.本次参会人员分不同区域落座，其中某个区域的男性参会人员有25人，女性参会人员有15人，现按性别比例进行分层抽样，若从该区域随机抽取16位参会人员，则女性参会人员应抽取的人数为 . 【答案】6 【分析】利用分层抽样的分层比直接计算即可. 【详解】由题意得分层比为，则女性参会人员应抽取的人数为. 故答案为：6 8．（22-23高一下·新疆喀什·期末）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200、400、300、100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法，从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从甲种型号的产品抽取 件. 【答案】12 【分析】利用分层抽样的定义直接求解即可. 【详解】由题意知分层比为，且总抽量为件 故甲产品应抽件 故答案为：12 9．（2022·辽宁抚顺·一模）“水能载舟，亦能覆舟”是古代思想家荀子的一句名言，意指事物用之得当则有利，反之必有弊害.对于高中生上学是否应该带手机，有调查者进行了如下的随机调查：调查者向被调查者提出两个问题：（1）你的编号是奇数吗？（2）你上学时是否带手机？学生在被调查时，先背对着调查人员抛掷一枚硬币（保证调查人员看不到硬币的抛掷结果），如果正面向上，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题.被调查的学生不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，由于只有被调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答. 某次调查活动共有800名高中生（编号从1至800）参与了调查，则回答为“不是”的人数的最大值是 .如果其中共有260人回答为“是”，则由此可以估计这800名学生中，上学带手机的人数约为 . 【答案】 800 120 【分析】第一空因为样本容量为800，则回答“不是”的人数不超过样本容量即可；结合掷一枚硬币正面向上和反面向上的概率均为0.5，则回答第一个问题和第二个问题的人数大约为400，而学号为奇数和偶数的概率均为0.5，则回答第一个问题的人中回答“是”的占200人，由此可得出第二空答案． 【详解】解：∵某次调查活动共有800名高中生参与了调查， ∴回答为“不是”的人数的最大值是800， ∵掷一枚硬币正面向上和反面向上的概率均为0.5， ∴回答第一个问题和第二个问题的人数大约为400， 而学号为奇数和偶数的概率均为0.5， 则回答第一个问题的人中回答“是”的占200人， ∵其中共有260人回答为“是”， ∴在回答问题（2）的400人中，回答“是”人数为260-200=60， ∴这800名学生中，上学带手机的人数约为120， 故答案为：800；120． 【点睛】本题主要考查随机抽样的概念及特征，考查涉及敏感性信息的问卷调查，属于中档题． 10．（23-24高一下·全国·课前预习）总体与个体 所考察问题涉及的 是总体.总体中 都是个体. 【答案】 对象全体 每个对象 【分析】略 【详解】略 11．（2024高一下·全国·专题练习）某电视台举行颁奖典礼，邀请20名艺人演出，其中从甲地30名艺人中随机挑选10人，从乙地18名艺人中随机挑选6人，从丙地10名艺人中随机挑选4人．试分别用抽签法和随机数法确定选中的艺人． 【答案】答案见解析 【分析】根据题意，分别按抽签法和随机数法的基本步骤依次分析，可得答案. 【详解】抽签法： （1）将甲地30名艺人从01到30编号，然后用大小、质地完全相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些编号，揉成团，然后放入一个不透明小筒中摇匀，从中逐个不放回地抽出10个号签，则相应编号的艺人参加演出． （2）运用相同的办法分别从乙地18名艺人中抽取6人，从丙地10名艺人中抽取4人． 随机数法： （1）将甲地30名艺人从01到30编号，准备10个大小、质地完全一样的小球．小球上分别写上数字0，1，2，…， 把它们放入一个不透明的袋中，从袋中有放回地摸取2次，每次摸取前充分搅匀，并把第一次、第二次摸到的数字分别作为十位、个位数字，这样就生成了一个随机数，如果这个随机数在1～30范围内，就代表了对应编号的艺人被抽中，否则舍弃编号，重复抽取随机数，直到抽中10名艺人为止． （2）运用相同的办法分别从乙地18名艺人中抽取6人，从丙地10名艺人中抽取4人． 12．（22-23高一·全国·课后作业）（阅读题）1943年，美国战时经济部门着手分析缴获的德国装备序列号，比如炸弹､火箭和坦克.他们根据缴获的德国武器的序列号进行统计分析，从而较为准确地估计出了德国武器生产的速度和拥有量.下表是战后统计的第二次世界大战期间德国坦克月产量（单位：辆）的预估值和实际值的数据. 时间 统计估值 情报估值 实际值 1940年6月 169 1000 122 1941年6月 244 1550 271 1942年8月 327 1550 342 为什么统计估值比情报估值更准确呢？ 【答案】答案见解析 【分析】缴获的德国武器的序列号组成一个样本，根据样本估计总体得到统计估值. 【详解】缴获的德国武器的序列号相当于随机抽样的样本，根据样本估计总体得到统计估计值. 统计估计值更准确是因为结果是根据数学的严密逻辑计算得到，跟情报估值相比受到的人为干扰较少. 13．（22-23高一下·全国·课后作业）要调查全市普通高中高一年级学生中患色盲的比例，小明根据性别对总体进行分层，用分层随机抽样的方法进行调查.请你查阅有关资料，说说这样的分层是否合理.你觉得在选择分层变量时应注意什么？ 【答案】合理，见解析 【分析】根据色盲是由上的隐性基因决定的，男女差异明显得到答案. 【详解】色盲是由上的隐性基因决定的，男女差异明显，故需要使用分层抽样 选择分层变量时应注意：尽可能使层内差异小而层间差异大. 【点睛】本题考查了分层抽样，意在考查学生对于分层抽样的理解. 14．（23-24高一下·河北邢台·阶段练习）已知某高速服务区餐厅的窗口有四类：①自选快餐，平均每份取餐时长为1分钟；②商务套餐，平均每份取餐时长为0.5分钟；③现炒现做，平均每份取餐时长为5分钟；④自动售货机，平均每份取餐时长为1分钟．已知该高速服务区餐厅的取餐窗口（每台自动售货机按1个取餐窗口计算）一共有18个，就餐高峰期时有400名消费者在等待就餐．为了提高消费者的用餐满意度，该高速服务区工作人员选取了100名用餐的消费者进行问卷调查，其中有50人选择了自选快餐，30人选择了商务套餐，15人选择了现炒现做，5人选择了自动售货机．（注：为了方便计算，若某消费者选择两类或多类就餐类别，则按该消费者的主要就餐类别归类，每名消费者只统计为其中一类）． (1)根据以上的调查统计，用样本估计总体，如果设置10个自选快餐窗口，就餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类取餐的窗口前队伍长度各自相等），试问选择自选快餐的消费者最长等待时长是多少分钟？ (2)根据以上的调查数据统计，用样本估计总体，从等待时长和公平的角度上考虑，要求每个队伍的最长等待时长大致相等，应如何设置各类取餐窗口数（结果采用四舍五入法保留整数）？并说明理由． 【答案】(1)20分钟 (2)取餐窗口分别为6个，2个，9个，自动售货机1台；理由见解析 【分析】（1）计算就餐高峰期时选择自选快餐的总人数，再根据平均分布求解即可； （2）设自选快餐窗口个，商务套餐窗口个，现炒现做窗口个，自售货机台，再分别计算自选快餐、商务套餐、现炒现做、自售货机的最长等待时间，再依题意，从等待时长和公平的角度上考虑，要求每个队伍的最长等待时长大致相等列式求解即可. 【详解】（1）由题意得，就餐高峰期时选择自选快餐的总人数为， 这200人平均分布在10个自选快餐窗口，平均每个窗口等待取餐的人数为，所以选择自选快餐的消费者的最长等待时长为分钟． （2）设自选快餐窗口个，商务套餐窗口个，现炒现做窗口个，自售货机台． 自选快餐高峰期就餐总人数为，每个窗口等待人数为，最长等待时长为分钟； 商务套餐高峰期就餐总人数为，每个窗口等待人数为，最长等待时长为分钟； 现炒现做高峰期就餐总人数为，每个窗口等待人数为，最长等待时长为分钟； 自动售货机高峰期就餐总人数为，每台售货机等待人数为，最长等待时长为分钟． 依题意，从等待时长和公平的角度上考虑，要求每个队伍的最长等待时长大致相等， 则可得，即有． 因为．所以，，，． 故应设置自选快餐、商务套餐、现炒现做的取餐窗口分别为6个，2个，9个，自动售货机1台． 15．（23-24高二·上海·课堂例题）在下面两个问题中，总体和样本分别是什么，样本量是多少？ (1)为了解大学四年级学生毕业后的就业意愿，一项调查联络了972名大学四年级学生，并询问他们：“你计划毕业后继续深造还是就业？” (2)为了解各种品牌饼干的价格行情，一名学生在某超市挑选了10种品牌的饼干，并记录了它们的价格． 【答案】(1)总体是就业意愿情况，样本是972位大学四年级学生的就业意愿情况，样本量972； (2)总体是各品牌饼干的价格，样本是挑选的10种品牌饼干的价格，样本量10. 【分析】根据给定条件，利用总体、样本的定义直接求解作答. 【详解】（1）联络972位大学四年级学生，对就业意愿情况调查， 总体是就业意愿情况，样本是972位大学四年级学生的就业意愿情况，样本量为972. （2）了解各种品牌饼干的价格行情，在某超市挑选了10种品牌的饼干，并记录了它们的价格， 总体是各品牌饼干的价格，样本是挑选的10种品牌饼干的价格，样本量为10. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 随机抽样（6个知识点+11大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 简单随机抽样的特征及适用条件 题型二 抽签法 题型三 随机数表法 题型四 简单随机抽样的概率 题型五 单随机抽样估计总体 题型六 分层抽样的特征及适用条件 题型七 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 题型八 分层抽样的概率 题型九 普查与抽样的定义辨析 题型十 普查与抽样的合理选择 题型十一 总体与样本 知识点一 全面调查与抽样调查 统计的相关概念 (1)全面调查 对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查. (2)总体、个体 在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体.组成总体的每一个调查对象称为个体.为了强调调查目的，也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体，每一个调查对象的相应指标作为个体. (3)抽样调查 根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查. (4)样本、样本量 我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本量. 知识点二 简单随机抽样 放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本 如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样 简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样，简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本 知识点三 简单随机抽样的方法 (1)抽签法 先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌.最后从盒中不放回地抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体数. (2)随机数法 先把总体中的个体编号，用随机数工具产生总体范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除重复的编号，直到抽足样本所需要的个体数. 知识点四 用样本的平均数估计总体的平均数 总体均值和样本均值 (1)总体均值：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则＝＝Yi为总体均值，又称总体平均数. (2)总体均值加权平均数的形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝fiYi. (3)样本均值：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝＝yi为样本均值，又称样本平均数. 知识点五 分层随机抽样 分层随机抽样的相关概念 (1)分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. (2)比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 用分层随机抽样的平均数估计总体的平均数 如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为，，两层的总体平均数分别为，，总体平均数为，样本平均数为，则＝＋，＝＋_. 知识点六 获取数据的基本途径 获取数据的基本途径 适用类型 注意问题 通过调查获取数据 对于有限总体问题，一般通过抽样调查或普查的方法获取数据 要充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效避免抽样过程中的人为错误 通过试验获取数据 没有现存的数据可以查询 严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量 通过观察获取数据 自然现象 借助专业测量设备通过长久的持续观察获取数据 通过查询获得数据 众多专家研究过，其收集的数据有所存储 必须根据问题背景知识“清洗”数据，去伪存真 【核心考点一 简单随机抽样的特征及适用条件】 【例1】（22-23高二下·河北石家庄·期末）全班有42人，语文老师要抽取4人检查他们对某篇课文的理解情况，比较简便合理的方法是（    ） A．分层抽样 B．系统抽样 C．抽签法 D．先用分层抽样再用抽签法 【例2】（23-24高二·上海·课堂例题）下列抽样方法中，属于简单随机抽样的是（    ） A．某社团为调查本校学生的环保知识水平，向在图书馆某楼层自习的所有学生发放问卷，隔5分钟后回收； B．某次科普讲座之前，主持人抽取座位尾号为1的听众进行提问； C．一车间主任从堆放的100件产品中抽取了摆放在最上面的10件产品进行检查； D．销售部经理将一个放有部门所有员工工号牌的箱子均匀摇晃后，从中抽取5个工号牌． 【例3】（24-25高一上·全国·课前预习）简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N个个体，从中 地抽取n（）个个体为样本，如果总体内的 都有相同的可能性被抽到，则把这样的抽样方法称为简单随机抽样.把简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本. 【例4】（24-25高一上·全国·课前预习）随机抽样：如果在抽样过程中，能使 中的每个个体都有 被选入样本，那么这样的抽样叫作随机抽样． 【例5】（23-24高二·上海·课堂例题）下列抽取样本的方法是简单随机抽样吗？判断并简要说明理由． (1)某在线商城在网站首页发布问卷调查，调查登录该网站的客户对于该商城的满意度，访问该网站者可以自愿点击填写； (2)检验员抽检一箱零件，每次检验时抽取1个零件，检验后放回箱子里，再进行第二次检验，一共检验了10次． 【核心考点二 抽签法】 【例1】（2022高一下·全国·专题练习）某学校数学组要从11名数学老师中推选3名老师参加市里举办的教学能手比赛，制作了11个形状、大小相同的签，抽签中确保公平性的关键是（    ） A．制签 B．搅拌均匀 C．逐一抽取 D．抽取后不放回 【例2】（2022高三·全国·专题练习）甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动．抽签决定谁去．那你认为抽到的概率大的是（    ）． A．先抽的概率大些 B．三人的概率相等 C．无法确定谁的概率大 D．以上都不对 【例3】（24-25高一上·全国·课前预习）抽签法的步骤： ①假设一个总体有N个个体，将它们 ； ②制作N个号签（号签可以用小球、纸片等制作），将编号写在号签上； ③将号签放在一个容器中，并 ； ④从容器中任意抽取n个号签，记录其编号，就得到一个容量为n的样本． 【例4】（23-24高一下·全国·课后作业）上海某中学从40名学生中选1人作为上海男篮啦啦队的成员，采用下面两种选法，则抽签法的序号是 ． ①将这40名学生从1～40进行编号，相应地制作1～40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签编号一致的学生幸运入选； ②将39个白球与1个红球（球除颜色外，其他完全相同）混合放在一个暗箱中搅匀，让40名学生逐一从中摸取一球，摸到红球的学生成为啦啦队成员． 【例5】（24-25高一上·全国·课前预习）某单位拟从40名员工中选5人赠送电影票，可采用下面两种选法： 选法一：将这40名员工按1至40进行编号，并相应地制作号码为1至40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取5个号签，与这个号签编号一致的员工是幸运人选； 选法二：将35个白球与5个红球（除颜色外，其他完全相同）混合放在一个暗箱中搅匀，让40名员工逐一从中不放回地摸取1个球，则摸到红球的员工是幸运人选，试问： (1)这两种选法是否都是抽签法，为什么？ (2)这两种选法中每名员工被选中的可能是否相等？ 【核心考点三 随机数表法】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）从100个篮球中任取一个，检查其质量，用随机数表法抽取样本，则应编号为（    ） A．1，2，3，，100 B．001，002，003，，100 C．0，1，2，3，，100 D．0，1，2，，99 【例2】（21-22高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）总体由编号01，02，…，29，30的30个个体组成，利用下面的随机数选取6个个体，选取方法是从如下随机数的第1行的第6列和第7列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（    ） 第1行  78  16  62  32  08  02  62  42  62  52  53  69  97  28  01  98 第2行  32  04  92  34  49  35  82  00  36  23  48  69  69  38  74  81 A．27 B．26 C．25 D．19 【例3】（24-25高三上·上海·阶段练习）某校广播室为研究学生对广播节目的喜好情况，从该校名同学中用随机数法抽取人参加这一项调查．将这名同学编号为，在以下随机数表中从任意一个随机数开始读出三位数组，假设从第行第列的数字开始，则第个被抽到的同学的编号为 ． 16227794 39495443 54821737 93237887 35209643 84263491 64844217 55721754 55068331 04744767 21763350 25839212 06766301 63785916 95556719 98105071 75128673 58074439 【例4】（24-25高三上·上海·阶段练习）要考查某种品牌的颗种子的发芽率，从中抽取颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将颗种子按、、、进行编号，如果从随机数表第行第列的数开始并向右读，则抽到的第颗种子的编号是 .（下面抽取了随机数表第行至第行） 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 【例5】（24-25高一上·全国·课前预习）某家具厂主动与该市某中学联系，无偿为高一年级学生制作新课桌椅，用实际行动支援学校．他们要事先了解全体高一年级学生的平均身高，以便设定可调节课桌椅的标准高度．已知该中学高一有865名学生，如果通过简单随机抽样的方法调查学生的平均身高，需抽取16人，应怎样抽取？ 【核心考点四 简单随机抽样的概率】 【例1】（23-24高二上·西藏日喀则·期末）采用简单随机抽样的方法，从含有20个个体的总体中抽取1个容量为4的样本，则某个个体被抽到的概率为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一下·河北张家口·期末）已知一个总体中有个个体，用抽签法从中抽取一个容量为的样本，若每个个体被抽到的可能性是，则（    ） A．10 B．20 C．40 D．不确定 【例3】（24-25高一上·全国·随堂练习）用简单随机抽样的方法从含n个个体的总体中，逐个抽取一个样本量为3的样本，若其中个体a在第一次就被抽取的可能性为，那么n＝ . 【例4】（24-25高二·上海·课堂例题）某中学从800名应届毕业生中，抽取60名学生进行身体素质测试，应采用 抽样，每个个体被抽到的可能性是 ． 【例5】（21-22高一·全国·课后作业）从总体容量为500的一批商品中抽取出一个容量为A的样本，若每个商品个体被抽到的可能性为12%，求A的值． 【核心考点五 单随机抽样估计总体】 【例1】（22-23高一下·安徽阜阳·期末）中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为（    ） A．321石 B．166石 C．434石 D．623石 【例2】（22-23高一上·辽宁·期末）我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．133石 B．159石 C．336石 D．168石 【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）从一批产品中用简单随机抽样的方法抽取了一部分作为样品，检测产品的合格率，其中甲检验员从中抽取了50件产品，其合格率为，乙检验员从中抽取了100件产品，其合格率为，则估计该产品合格率更接近于 检验员检测的结果． 【例4】（24-25高一下·全国·课后作业）某学校有1200名学生，随机抽出300名进行调查研究，调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全相同的10个红球、10个绿球和10个白球的袋子．调查中有两个问题： 问题1：你的阳历生日月份是不是奇数？ 问题2：你是否抽烟？ 每个被调查者随机从袋中摸出1个球（摸出后再放回袋中）．若摸到红球就如实回答第一个问题；若摸到绿球，则不回答任何问题：若摸到白球，则如实回答第二个问题．所有回答“是”的调查者只需往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的被调查者什么也不用做．最后收集回来53个小石子，估计该学校吸烟的人数为 ． 【例5】（24-25高二上·上海·课后作业）为了解某商场今年4月份的营业额，抽查了该商场在今年4月份中5天的营业额，结果如下（单位：万元）：2.5，2.8，2.7，2.4、2.6． (1)在这次调查中，总体和样本分别是什么？ (2)小王根据抽查的5天的数据推断：该商场4月份每天的营业额都低于3万元．你同意小王的推断吗？ 【核心考点六 分层抽样的特征及适用条件】 【例1】（24-25高二上·浙江·期中）某学校有男生700名、女学生400名.为了解男女学生在学习立体几何的空间想象能力方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（   ） A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 【例2】（23-24高一下·江苏常州·期末）某高中三个年级共有学生2000人，其中高一800人，高二600人，高三600人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（   ） A．24 B．26 C．30 D．32 【例3】（2025高三·全国·专题练习）分层随机抽样 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为 ，每一个子总体称为 ． 【例4】（23-24高一下·全国·课前预习）抽样方法 （1）简单随机抽样 从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机的抽取个体的方法称为 .当总体中的 和 时，常用这种方法. （2）分层抽样 一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成 、 几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为 . 【例5】（23-24高二·上海·课堂例题）某果园种植了三个品种的苹果树共计1200棵，其中A品种600棵、B品种400棵、C品种200棵．现在要用随机抽样的方法估计苹果产量．试分析下面的抽样方法属于简单随机抽样还是分层随机抽样： (1)将每棵树按1~1200进行编号，并从这1200个号码中随机抽取100个号码，得到这100个号码对应的100棵苹果树； (2)从三个品种的苹果树中分别随机抽取30棵、20棵、10棵． 【核心考点七 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）非物质文化遗产是文化多样性中最富活力的重要组成部分，是人类文明的结晶和最宝贵的共同财富．某校为了解学生对当地非遗文化“川剧”的了解程度，现从高中部抽取部分学生进行调查，已知该校高一、高二、高三年级学生人数之比为，若利用分层随机抽样的方法抽取人进行调查，则抽取到的高一年级学生人数比高三多（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【例2】（2024高二上·云南·学业考试）某学校共有学生2700人，其中男生1200人，女生1500人.现按男生、女生进行分层，用分层随机抽样的方法，从该校全体学生中抽取人进行调查研究.若抽到男生20人，则（    ） A．60 B．45 C．35 D．25 【例3】（2024高二下·安徽·学业考试）某高中高一年级有学生1440人，高二年级有学生1600人，高三年级有学生1760人.现用分层抽样的方法，从这三个年级学生中抽取n人了解他们的学习情况，其中在高二年级抽取了100人，则 . 【例4】（2024·四川德阳·一模）某中学田径队有男运动员28人，女运动员21人，按性别进行分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为14的样本，如果样本按比例分配，则男运动员应该抽取的人数为 【例5】（24-25高一上·全国·课堂例题）将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2．若用同比例分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从A中抽取多少个个体？ 【核心考点八 分层抽样的概率】 【例1】（21-22高一下·广西柳州·期末）某校有700名高一学生，400名高二学生，400名高三学生，高一数学兴趣小组欲采用按比例分配的分层抽样的方法在全校抽取15名学生进行某项调查，则下列说法正确的是（   ） A．高一学生被抽到的概率最大 B．高三学生被抽到的概率最大 C．高三学生被抽到的概率最小 D．每位学生被抽到的概率相等 【例2】（2024·湖北·模拟预测）从一个容量为的总体中抽取一个容量为3的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是（ ） A． B． C． D． 【例3】（24-25高二上·上海·课前预习）分层随机抽样 （1）定义：一般地，当总体由 的几个部分组成时，先把总体分成若干个部分，然后从不同的部分中独立、随机地抽取样本，这种抽样的方法称为 ． （2）常用的分层抽样的方法如下：先将容量为N的总体按照要求分成k层，每层的个体数分别记为、，…，，在每层中分别随机抽取、、…、个个体组成容量为n的样本，使得 ． 【例4】（21-22高一·全国·课后作业）在120个零件中有一级品24个、二级品36个、三级品60个，从中抽取一个容量为20的样本，若用简单随机抽样法抽取样本，则总体中每个个体被抽到的可能性为 ；若按比例分配的分层随机抽样法抽取样本，则总体中每个个体被抽到的可能性为 ． 【例5】（22-23高一上·山东日照·期末）已知某中学高一、高二、高三三个年级的青年学生志愿者人数分别为180,120,60，现采用分层抽样的方法从中抽取6名同学去森林公园风景区参加“保护鸟禽，爱我森林”宣传活动. （1）应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （2）设抽取的6名同学分别用A，B，C，D，E，F表示，现从中随机抽取2名学生承担分发宣传材料的工作设事件M=“抽取的2名学生来自高一年级”，求事件M发生的概率. 【核心考点九 普查与抽样的定义辨析】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜(Five－hundred－meter Aperture Spherical radio Telescope，简称FAST)，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜.建造“中国天眼”的目的是（   ） A．通过调查获取数据 B．通过试验获取数据 C．通过观察获取数据 D．通过查询获得数据 【例2】（23-24高二上·重庆北碚·阶段练习）在以下调查中，适合用全面调查的个数是（    ） ①调查一个班级学生的吃早餐情况 ②调查某种饮料质量合格情况 ③调查某批飞行员的身体健康指标 ④调查某个水库中草鱼的所占比例 A．1 B．2 C．3 D．4 【例3】（25-26高一上·全国·课前预习）抽样：从总体中 称为抽样． 【例4】（25-26高一上·全国·课前预习）下列属于间接获取数据的方法的是 ．（填序号） ①访问调查；②查阅文献；③电话调查；④座谈会；⑤个别深度访问；⑥网上调查． 【例5】（23-24高二·上海·课堂例题）回答以下问题需要获得的数据是观测数据还是实验数据？ (1)本班级每名学生对数学中某个知识点的掌握程度如何？ (2)消费者对于某品牌饮料的喜爱程度如何？ (3)户外运动时间是否会影响青少年的视力？ 【核心考点十 普查与抽样的合理选择】 【例1】（24-25高一上·陕西汉中·阶段练习）在以下调查中，适合用全面调查的是（   ） A．了解一个班级学生的身高情况 B．了解一批水稻种子的发芽率 C．调查某城市居民的食品消费结构 D．调查某批次汽车的抗撞击能力 【例2】（24-25高二上·安徽·阶段练习）某中等职业学校为了了解高二年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200名学生的视力，并进行统计分析.下列叙述正确的是（   ） A．上述调查属于全面调查 B．每名学生是总体的一个个体 C．200名学生的视力是总体的一个样本 D．1200名学生是总体 【例3】（24-25高二·上海·课堂例题）要了解一种新型灯管的寿命，可以通过 获取数据．（填“观测”或“实验”） 【例4】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列调查中， ①调查我市中小学生每天的课外阅读时间； ②调查黄河某段水域的水质情况； ③调查某品牌汽车A柱（档风玻璃和左、右前车门之间的柱）的安全性； ④调查某快餐店中8位店员的收入情况． 适合普查的是 ，适合抽样调查的是 ．（填序号） 【例5】（25-26高一上·全国·课前预习）一天，爸爸叫儿子去买一包糖．临出门前，爸爸嘱咐儿子要买甜的．儿子拿着钱出门了，过了好一会儿，儿子才回到家．“糖都甜吗？”爸爸问．“都甜．”“你这么肯定？”儿子把糖递过来，兴奋地说：“我每颗都尝过啦．”在这则笑话中，儿子采用的是什么调查方式？这种调查方式好不好？适宜采用什么方法调查？ 【核心考点十一 总体与样本】 【例1】（24-25高三上·上海·阶段练习）某校为了解高三年级学生体重情况，从该年级1000名学生中抽取125名学生测量他们的体重进行分析．在这项调查中，抽取的125名学生的体重是（   ） A．总体 B．样本 C．总体容量 D．样本容量 【例2】（2024高三·全国·专题练习）为了了解某地参加计算机水平测试的5 000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行调查分析，在这个问题中，被抽取的200名学生的成绩是（   ） A．总体 B．个体 C．样本 D．样本量 【例3】（22-23高二下·河北石家庄·期末）从全年级20个班中任取一个班，再从该班中任意抽取20名学生，考察他们本学期的期中考试的数学成绩，在这次抽样中样本容量为 . 【例4】（24-25高一上·全国·课前预习）统计学中的两个统计概念 （1）参数：是用来描述 的指标，常见的总体参数有总体平均数、众数和中位数以及总体方差等． （2）统计量：是用来描述 的指标，常见的统计量有样本平均数、样本方差等． 【例5】（23-24高二·上海·课堂例题）小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了10天的数据，它们分别是：68、34、70、45、74、126、108、66、36、72．在这个问题中，总体和样本分别是什么？ 【变式训练1 简单随机抽样的特征及适用条件】 1．（2024高三·全国·专题练习）下列抽样的方式属于简单随机抽样的个数为（　　） ①从500个个体中一次性抽取50个作为样本； ②将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本； ③某班有55个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛； ④福利彩票用摇奖机摇奖. A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024高一下·全国·专题练习）关于简单随机抽样，下列说法正确的是（    ） ①它要求被抽取样本的总体的个体数有限；②它是从总体中逐个地进行抽取；③不做特殊说明时，它是一种不放回抽样；④它是一种等可能抽样． A．①②③④ B．③④ C．①②③ D．①③④ 3．（25-26高二上·上海·单元测试）下面的抽样方法中是简单随机抽样的有 ． ①从无数个个体中抽取50个个体作为样本； ②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查； ③某连队从200名士兵中，挑选出50名党员士兵赶赴灾区开展救灾工作； ④一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签盒子中逐个无放回地抽出6个号签． 4．（2024高一下·全国·专题练习）通过简单随机抽样从某批零件中抽取50个，然后再从抽取的50个中抽出40个进行合格检查，发现合格品有36个，则可以推测该批产品的合格率为 . 5．（24-25高二·上海·课堂例题）下列抽取样本的方法是简单随机抽样吗？判断并简要说明理由． (1)从无限多个个体中抽取100个个体作为样本； (2)箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质检，抽样时，从中任意拿出一个零件进行质检后再放回箱子里； (3)箱子里共有100个零件，从中一次性抽取5个零件作为样本； (4)某班有40名学生，指定体重最重的5名学生参加某项公益活动. 【变式训练2 抽签法】 1．（2024高三·全国·专题练习）在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中随机抽取10个人，那么下列说法正确的是（   ） A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 2．（22-23高一·全国·课后作业）下列抽样试验中，适合用抽签法的是（    ） A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验 B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验 C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验 D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验 3．（21-22高一·全国·课后作业）抽签法：先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片（也可以使用卡片、小球等）上作为号签，并将这些小纸片放在一个 的盒里，充分 ．最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体数． 4．（21-22高二·全国·课后作业）用抽签法进行简单随机抽样时，抽取的号签 箱中．（填“放回”或“不放回”） 5．（24-25高一上·全国·课后作业）“绿水青山就是金山银山”，为响应党中央的号召，为基层办实事，省环保局从各县市报送的28件环保案例中抽取7件作为样本研究，以制定切实可行的方案．试确定抽取方法并写出操作步骤． 【变式训练3 随机数表法】 1．（24-25高二上·新疆喀什·期中）从某班57名同学中选出4人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将57名同学按01、02、…、57进行编号，然后从随机数表第一行的第7列和第8列数字开始往右依次选取两个数字，则选出的第4个同学的编号为（    ） 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297 7424 6292 4281 1457 2042 5332 3732 1676 （注：表中的数据为随机数表第一行和第二行） A．24 B．36 C．42 D．52 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）把60名同学看成一个总体，且给60名同学进行编号，分为00，01，，59，现从中抽取一容量为6的样本，请从随机数表的倒数第5行（下表为随机数表的最后5行）第11列开始向右读取，直到取足样本，则抽取样本的第6个号码为（    ） 95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 32 90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 46 40 62 98 80 54 97 20 56 95 15 74 80 08 32 20 31 89 03 43 38 46 82 68 72 32 14 82 99 70 71 59 73 05 50 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49 A．32 B．38 C．39 D．24 3．（22-23高二上·陕西咸阳·开学考试）省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌800粒种子中抽取60粒进行检测，现将这800粒种子编号如下001，002，…，800，若从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，则所抽取的第4粒种子的编号是 .（如下是随机数表第8行至第9行） 63  01  63  78  59  16  95  55  67  19  98  10  50  71  75  12  86  73  58  07  44  39  52  38  79  33  21  12  34  29  78  64  56  07  82  52  42  07  44  38  15  51  0  13  42  99  66  02  79  54 4．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）总体由编号为1，2，⋯，99，100的100个个体组成，现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若干个1~100范围内的整数随机数的开始部分数据，如下表，则选出来的第5个个体的编号为 8  44  2  17  8  31  57  4  55  6 88  8  31  47  7  21  76  33  50  63 5．（23-24高二·上海·课堂例题）某外语兴趣班的教学进度很快，同学们决定向老师建议调整教学进度，大家一致同意从班上随机抽取3名同学作为代表去见老师．班上所有同学的姓名如下，用随机数法抽取一个由3名同学构成的样本． 张海超    孙潮文    洪振国    赵智宇    胡萍萍 李伊一    冯  杰    王小蕾    汪  晓    李  伟 陆昊然    江  晨    张  燕    吴运杰    周  越 陈景瑶    赵萱萱    李  珍 【变式训练4 简单随机抽样的概率】 1．（23-24高一下·天津南开·期末）利用简单随机抽样的方法，从n个个体（）中抽取13个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏常州·期末）从某班学号为1到10的十名学生（其中含学生甲）中抽取3名学生参加某项调查，现用抽签法抽取样本（不放回抽取），每次抽取一个号码，共抽3次，设甲第一次被抽到的可能性为，第二次被抽到的可能性为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24高一下·全国·课后作业）用简单随机抽样的方法从含有6个个体的总体中，抽取一个样本量为2的样本，某一个个体a“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是 、 、 . 4．（23-24高二上·四川绵阳·期末）利用简单随机抽样的方法，从个个体（）中抽取15个个体，若第二次抽取时，每个个体被抽到的概率为.则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为 . 5．（2022·新疆乌鲁木齐·一模）在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题.例如学生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等，更要精心设计问卷.设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况.为了调查中学生中的早恋现象，随机抽出200名学生，调查中使用了两个问题.①你的血型是A型或B型(资料：我国人口型血比例41%，型血比例28%，型血比例24%.型血比例7% ).②你是否有早恋现象，让被调查者掷两枚骰子，点数之和为奇数的学生如实回答第一个问题.点数之和为偶数的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不放，后来在盒子中收到了57个小石子. （1）试计算掷两枚骰子点数之和为偶数的机率； （2）你能否估算出中学生早恋人数的百分比？ 【变式训练5 单随机抽样估计总体】 1．（21-22高二上·陕西榆林·阶段练习）用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》中就有记载，其中有道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1600石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷25粒，估计这批米内所夹的谷有（    ） A．320石 B．160石 C．80石 D．60石 2．（21-22高一上·贵州遵义·期末）管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是（    ） A．2800 B．1800 C．1400 D．1200 3．（23-24高一下·江苏常州·期末）为估计某草场内兔子的数量，使用以下方法：先随机从草场中捕捉兔子100只，在每只兔子的尾巴上作上记号后放回草场.再随机从草场中捕捉60只，若尾巴上有记号的兔子共有10只，估计此草场内约有兔子 只. 4．（2024高一下·全国·专题练习）中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为 石（结果四舍五入取整数）. 5．（22-23高一·全国·课后作业）为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的 情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题： （1）你的学号是奇数吗？（2）在过路口时你是否闯过红灯？ 要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答．结果被调查的800人（学号从1至800）中有240人回答了“是”.由此估计这800人中闯过红灯的人数？ 【变式训练6 分层抽样的特征及适用条件】 1．（24-25高一上·全国·课前预习）某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适（    ） A．抽签法 B．随机数法 C．分层抽样法 D．以上都不合适 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）下列问题中，最适合用分层随机抽样方法抽样的是（    ） A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1~40．有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈 B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查 C．某乡农田有山地5平方千米，丘陵8平方千米，平地16平方千米，洼地2.5平方千米，现抽取农田1平方千米估计全乡农田平均每平方千米的产量 D．从50个零件中抽取5个做质量检验 3．（2024高一下·江苏·专题练习）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样和分层抽样，则最合适的抽样方法是 . 4．（21-22高一上·全国·课后作业）为制订某市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高做调查，现有三种调查方案: （1）测量少年体校中180名男子篮球、排球队员的身高; （2）查阅有关外地180名男生身高的统计资料; （3）用抽样调查的方法从初中三个年级抽取180名男生调查其身高. 为了达到估计某市初中这三个年级男生身高分布的目的，则上述调查方案不合理的是 ，合理的是 . 5．（22-23高一·全国·随堂练习）现在需要解决本校食堂每天应该准备多少米饭比较合适的问题．如果采用从本校学生中抽样调查每个人的饭量来得到相关信息，那么是否存在某变量作为分层的主要考虑因素？ 【变式训练7 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算】 1．（24-25高二上·湖北孝感·期中）一支田径队有男运动员28人，女运动员20人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该田径队中抽取了男运动员7人，则女运动员被抽取的人数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）某学校高二年级选择“物化生”，“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240，90和120.现采用分层抽样的方法选出30位同学进行某项调查研究，则“史地政”组合中选出的同学人数为（    ） A．8 B．12 C．16 D．6 3．（23-24高二下·云南·期末）某地区的高中学校分为A、B两类，A类高中学校共有学生6000人，B类高中学校共有学生2000人．现按A、B两类进行分层，用分层随机抽样的方法，从该地区的高中学校抽取学生40人进行调查研究．设抽到该地区A类高中学校学生x人，则 ． 4．（2024高二下·福建·学业考试）已知男女生共有100人，其中男生45人，现从100人中抽20人，则抽出的20人中男生有 人. 5．（23-24高二·上海·课堂例题）某校学生志愿者协会共有250名成员，其中高一年级学生88名，高二年级学生112名，高三年级学生50名．为了解志愿者的服务意愿，需要随机抽取50名学生进行问卷调查．应当如何抽取？三个年级各要抽取多少名学生？ 【变式训练8 分层抽样的概率】 1．（22-23高一下·天津滨海新·期末）从一个容量为100的总体中抽取容量为10的样本，选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽取样本.在简单随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为，某个体被抽中的概率为；在分层随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为，则（    ） A． B． C． D．之间没有关系 2．（21-22高一下·广东广州·期末）某田径队有男运动员56人，女运动员42人，若采用比例分配的分层随机抽样方法在这支田径队中抽取28人进行体质测试，则抽取男运动员的人数为（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 3．（22-23高二下·上海普陀·阶段练习）已知某校高一（1）班有男生28人，女生21人，用分层抽样的方法从该班级中抽取若干人．已知某男生被抽中的概率为，则抽取的女生人数为 ． 4．（22-23高二上·上海黄浦·期末）一个总体分为两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为的样本．已知层中每个个体被抽到的概率都是 ，则总体中的个体数为 ． 5．（22-23高二上·黑龙江大庆·期中）某学校共有教职工900人，分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如下表所示．已知在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0．16． 第一批次 第二批次 第三批次 女教职工 196 x y 男教职工 204 156 z (1)求x的值； (2)现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查，问应在第三批次中抽取教职工多少名？ 【变式训练9 普查与抽样的定义辨析】 1．（22-23高一·全国·课后作业）下列数据一般需要通过实验获取的是（    ） A．某子弹的射程 B．某学校的男女生比例 C．华为手机的市场占有率 D．期中考试的班级数学成绩 2．（21-22高一·全国·课后作业）①您所购买的是名牌产品，您认为该产品的知名度（    ） A．很高    B．一般    C．很低 ②你们家有几个孩子？____________． ③你们班有几个聪明的同学？___________． ④你认为数学学习（    ） A．较困难    B．较容易    C．没感觉 以上问题符合调查问卷要求的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 3．（25-26高一上·全国·课前预习）数据的直接来源与间接来源 （1）直接来源：通过 或 等途径获取数据．直接获取的数据称为直接数据或一手数据； （2）间接来源：借助各种 ，包括 、 和年鉴、广播、电视或互联网等获取数据．间接获取的数据称为间接数据或二手数据． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）一名交警在公路上随机观测了6辆车的行驶速度，结果如下表： 车序号 1 2 3 4 5 6 速度 66 65 71 54 69 58 （1）该交警采取的是 （填“抽样调查”或“普查”）； （2）这次调查的样本是 ． 5．（23-24高二·上海·课堂例题）完成下列任务所获得的数据是观测数据还是实验数据？ (1)某高校为了解大学一年级新生的计算机水平，举行了新生计算机水平测试，获得了每一位大学一年级新生的计算机成绩； (2)某旅游公司为开发新的旅游产品，调查了500名客户对于旅游目的地的偏好； (3)某科研团队研发出一种新型生态除草剂，检测了该除草剂防控稻田杂草的效果． 【变式训练10 普查与抽样的合理选择】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）研究下列问题，一般通过试验获取数据的是（    ） A．某城市元旦前后的气温 B．某种新型电路元件使用寿命的测定 C．电视台想知道某一个节目的收视率 D．高中生日平均上网时间 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列获取的数据属于直接数据的是（    ） A．看报纸获得的数据 B．通过问卷调查获得的数据 C．通过网络获得的数据 D．听广播获得的数据 3．（24-25高二·上海·课堂例题）“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜（Five-hundred-meterApertureSpherical radioTelescope），简称FAST，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜．建造“中国天眼”的目的是通过 获取数据．（填“观测”或“实验”） 4．（24-25高二·上海·课堂例题）一般地，对总体的每个个体分别进行调查的方法称为 ；通过抽样进行考察调查研究的方法叫做 ． 5．（23-24高二·上海·课堂例题）小王和小张计划调查上海市新生儿的性别情况．小王调查了最近一个月在A医院出生的320名新生儿，其中有156名女孩，小王由此推断：上海市新生儿男女比例基本均衡．小张的姐姐在B医院待产，她告诉小张最近一周在B医院出生的18名新生儿中有13名女孩，小张由此推断：上海市新生儿男女比例严重失调，考虑下面的问题： (1)在上面的统计活动中，总体和样本分别是什么？ (2)你同意小王和小张的推断吗？请说一说你的理由． (3)你认为是否可以用上面的样本来推断上海市新生儿的男女比例？请说一说你的理由． 【变式训练11 总体与样本】 1．（24-25高二·上海·课堂例题）某校为了了解高一年级学生的视力情况，特别是近视率的问题，抽测了其中300名同学的视力情况．在这个过程中，300名同学的视力情况是（    ） A．总体 B．个体 C．总体的一个样本 D．样本容量 2．（23-24高一下·广西河池·期末）某市市场监管局为了了解饮料的质量，从该市区某超市在售的种饮料中抽取了种饮料，对其质量进行了检查．在这个问题中，是（    ） A．总体 B．个体 C．样本 D．样本量 3．（25-26高二上·上海·单元测试）某出租公司在“五一”长假期间平均每天的营业额为5万元，由此可推断出5月份的总营业额约为（万元），根据所学知识，你认为这样的推断是 （选填“合理”或“不合理”）. 4．（24-25高二·上海·课堂例题）为了了解高一年级500名学生某次数学考试的成绩，从中随机抽取了50名学生的成绩，在这个问题中，个体是 ． 5．（23-24高二·上海·课堂例题）某农业研究人员为考察三个品种的小麦发芽率，从中选取麦种若干，经检测得到数据如下表所示．在这个问题中，总体和样本分别是什么？样本量是多少？ 品种 麦种数 发芽数 A 100 92 B 200 189 C 200 182 1．（2022高一下·全国·专题练习）已知下列抽取样本的方式： ①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本； ②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出1个零件进行质量检验后再把它放回盒子里； ③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验； ④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛． 其中，不是简单随机抽样的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（22-23高一下·江西景德镇·期中）现要用随机数表法从总体容量为240(编号为001到240)的研究对象中挑选出50个样本，则在下列数表中按从左至右的方式抽取到的第四个对象的编号为（    ） 32451 74491 14562 16510 02456 89640 56816 55464 41630 85621 05214 84513 12541 02145 A．5 B．44 C．165 D．210 3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在哈尔滨市2024年第一次市模考试中，三所学校高三年级的参考人数分别为、.现按比例分层抽样的方法从三个学校高三年级中抽取样本，经计算得三所学校高三年级数学成绩的样本平均数分别为，则三所学校学生数学成绩的总平均数约为（    ） A．101 B．100 C．99 D．98 4．（2024·河南·三模）国内某优秀新能源电池制造企业在锂电池单位能量密度技术上取得了重大突破，该制造企业内的某车间有两条生产线，分别生产高能量密度锂电池和低能量密度锂电池，总产量为400个锂电池．质检人员采用分层随机抽样的方法随机抽取了一个容量为80的样本进行质量检测，已知样本中高能量密度锂电池有35个，则估计低能量密度锂电池的总产量为（    ）． A．325个 B．300个 C．225个 D．175个 5．（2022·广东梅州·模拟预测）2021年起，我省将实行“3+1+2”高考模式，某中学为了解本校学生的选考情况，随机调查了100位学生，其中选考化学或生物的学生共有70位，选考化学的学生共有40位，选考化学且选考生物的学生共有20位．若该校共有1500位学生，则该校选考生物的学生人数的估计值为（    ） A．300 B．450 C．600 D．750 6．（21-22高一·全国·课后作业）炎炎夏日，冰淇淋成为许多人的热宠，现用简单随机抽样的方法检测某品牌冰淇淋是否符合食品安全标准，若从21个冰淇淋中逐个抽取一个容量为3的样本，则其中某一个体A“第一次被抽到”的可能性是 ，“第二次被抽到”的可能性是 ． 7．（2024·云南楚雄·模拟预测）以“塑造软件新生态，赋能发展新变革”为主题的第二十五届中国国际软件博览会于2023年8月31日在天津开幕.本次参会人员分不同区域落座，其中某个区域的男性参会人员有25人，女性参会人员有15人，现按性别比例进行分层抽样，若从该区域随机抽取16位参会人员，则女性参会人员应抽取的人数为 . 8．（22-23高一下·新疆喀什·期末）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200、400、300、100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法，从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从甲种型号的产品抽取 件. 9．（2022·辽宁抚顺·一模）“水能载舟，亦能覆舟”是古代思想家荀子的一句名言，意指事物用之得当则有利，反之必有弊害.对于高中生上学是否应该带手机，有调查者进行了如下的随机调查：调查者向被调查者提出两个问题：（1）你的编号是奇数吗？（2）你上学时是否带手机？学生在被调查时，先背对着调查人员抛掷一枚硬币（保证调查人员看不到硬币的抛掷结果），如果正面向上，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题.被调查的学生不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，由于只有被调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答. 某次调查活动共有800名高中生（编号从1至800）参与了调查，则回答为“不是”的人数的最大值是 .如果其中共有260人回答为“是”，则由此可以估计这800名学生中，上学带手机的人数约为 . 10．（23-24高一下·全国·课前预习）总体与个体 所考察问题涉及的 是总体.总体中 都是个体. 11．（2024高一下·全国·专题练习）某电视台举行颁奖典礼，邀请20名艺人演出，其中从甲地30名艺人中随机挑选10人，从乙地18名艺人中随机挑选6人，从丙地10名艺人中随机挑选4人．试分别用抽签法和随机数法确定选中的艺人． 12．（22-23高一·全国·课后作业）（阅读题）1943年，美国战时经济部门着手分析缴获的德国装备序列号，比如炸弹､火箭和坦克.他们根据缴获的德国武器的序列号进行统计分析，从而较为准确地估计出了德国武器生产的速度和拥有量.下表是战后统计的第二次世界大战期间德国坦克月产量（单位：辆）的预估值和实际值的数据. 时间 统计估值 情报估值 实际值 1940年6月 169 1000 122 1941年6月 244 1550 271 1942年8月 327 1550 342 为什么统计估值比情报估值更准确呢？ 13．（22-23高一下·全国·课后作业）要调查全市普通高中高一年级学生中患色盲的比例，小明根据性别对总体进行分层，用分层随机抽样的方法进行调查.请你查阅有关资料，说说这样的分层是否合理.你觉得在选择分层变量时应注意什么？ 14．（23-24高一下·河北邢台·阶段练习）已知某高速服务区餐厅的窗口有四类：①自选快餐，平均每份取餐时长为1分钟；②商务套餐，平均每份取餐时长为0.5分钟；③现炒现做，平均每份取餐时长为5分钟；④自动售货机，平均每份取餐时长为1分钟．已知该高速服务区餐厅的取餐窗口（每台自动售货机按1个取餐窗口计算）一共有18个，就餐高峰期时有400名消费者在等待就餐．为了提高消费者的用餐满意度，该高速服务区工作人员选取了100名用餐的消费者进行问卷调查，其中有50人选择了自选快餐，30人选择了商务套餐，15人选择了现炒现做，5人选择了自动售货机．（注：为了方便计算，若某消费者选择两类或多类就餐类别，则按该消费者的主要就餐类别归类，每名消费者只统计为其中一类）． (1)根据以上的调查统计，用样本估计总体，如果设置10个自选快餐窗口，就餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类取餐的窗口前队伍长度各自相等），试问选择自选快餐的消费者最长等待时长是多少分钟？ (2)根据以上的调查数据统计，用样本估计总体，从等待时长和公平的角度上考虑，要求每个队伍的最长等待时长大致相等，应如何设置各类取餐窗口数（结果采用四舍五入法保留整数）？并说明理由． 15．（23-24高二·上海·课堂例题）在下面两个问题中，总体和样本分别是什么，样本量是多少？ (1)为了解大学四年级学生毕业后的就业意愿，一项调查联络了972名大学四年级学生，并询问他们：“你计划毕业后继续深造还是就业？” (2)为了解各种品牌饼干的价格行情，一名学生在某超市挑选了10种品牌的饼干，并记录了它们的价格． 学科网（北京）股份有限公司 $$