2024—2025学年苏科版数学八年级上册 期末专题复习讲义专题一、全等形与轴对称

南通市北城中学永怡校区学案 八年级上数学 主备人：申海学 审核人：李珲 编号：001 专题一、全等形与轴对称 知识与梳理 1．全等三角形的证明过程： ①找已知条件，做标记；找已知三角形，做标记； ②找隐藏条件，如对顶角、公共边、公共角等； ③对照定理，看看还是否需要构造条件． 2．全等三角形的证明思路： 3．全等三角形的性质： ①全等三角形的对应边相等、对应角相等； ②全等三角形的周长相等，面积相等； ③全等三角形对应边上的中线、对应边上的高、对应角平分线相等． 4．角平分线的性质： （1）角平分线的画法； 李老师用直尺和圆规作角平分线． 作法：①如图1，在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE． ②分别以点D、E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． 画射线OC，则OC就是∠AOB的平分线． 李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是　SSS　； （2）角平分线的性质： ①角的平分线上的点到角的两边的距离相等． ②角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 5．轴对称的性质： 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全互相重合，这个图形就叫轴对称图形； 两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称； 轴对称的性质： （1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； （2）轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 6．线段的垂直平分线： （1）线段垂直平分线的定义： 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线叫做线段的垂直平分线． （2）线段垂直平分线的画法： （3）线段垂直平分线的性质： ①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． ②与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 7．等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等． （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 8．等腰三角形的判定： 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． （1）作用：是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据； （2）注意：该定理不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等。因为在没有判定出它是等腰三角形以前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”、“腰”． 9．等边三角形的性质与判定： （1）等边三角形三边相等； （2）等边三角形的三个内角相等，并且每个内角都等于60°； （3）三条边相等的三角形是等边三角形； （4）三个角都相等的三角形是等边三角形； （5）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； 说明：60°角可以是顶角，也可以是底角． （6）在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 说明：大前提是：“在直角三角形中”，在证题时，如果只知道一个三角形有一个角为30°，那么说这个角的对边等于邻边的一半就是错误的． 专题一、全等形与轴对称练习 典型例题： 例题1：如图，点B、F、C、E在同一直线上，并且BF=CE，∠B=∠E． （1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使得△ABC≌△DEF． 答：我添加的条件是：　 　． （2）添加了条件后，证明△ABC≌△DEF． 例题2：如图，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2． （1）求证：△ADE≌△BEC；（2）若AD＝6，AB＝14，求△CDE的面积． 例题3：如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠1＝∠2；④BD＝CE．以其中三个条件为题设，填入已知栏中，一个论断为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程． 已知：　 　． 求证：　 　． 证明： 例题4：小丽同学要画∠AOB的平分线，却没有量角器和圆规，于是她用三角尺按下面方法画角平分线： ①在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON；②分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P； ③画射线OP，则OP为∠AOB的平分线． （1）请问：小丽的画法正确吗？试证明你的结论； （2）如果你现在只有刻度尺，能否画一个角的角平分线？请你在备用图中试一试．（不需要写作法，但是要让读者看懂，你可以在图中标明数据） 例题5：（1）如图1，已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，∠ABC＝∠ADC＝90°，则能得到如下两个结论：①DC＝BC；②AD+AB＝AC． 请你证明结论②． （2）如图2，把（1）中的条件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改为∠ABC+∠ADC＝180°，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，如果D在AM的反向延长线上，把（1）中的条件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改为∠ABC＝∠ADC，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请直接回答；若不成立，你又能得出什么结论，直接写出你的结论． 思考题：某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点P，使得PA+PB的值最小 ． 解法： 作点A关于直线的对称点A，，连接A，B，则A，B与直线的交点即为P，且PA+PB的最小值为A，B． 请利用上述模型解决下列问题： （1）几何应用：如图 1 ，等腰直角三角形ABC的直角边长为 2 ，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点， 则PB+PE的最小值为　　； （2）几何拓展： 如图 2 ，△ABC中，AB=2，∠BAC＝30°，若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小， 求这个最小值； （3）代数应用： 求代数式的最小值 ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$