专题02 求数列前n项和常用解题策略（12大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册)

专题02：求数列前n项和常用解题策略 题型一：等差、等比数列前n项和公式 1．两个等差数列和，其前项和分别为，且，则等于（    ） A． B． C． D． 2．已知在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值． 3．已知等比数列的前项和为，则（    ） A．18 B．54 C．128 D．192 4．已知数列是递增的等比数列,且,,则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 题型二：列项求和 1．等比数列的各项均为正数，且.设，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 2．（多选）设数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列为等比数列 C． D．若，则数列的前10项和为 3．已知数列的前项和，设，为数列的前项和．若存在使得成立，则的取值范围为 ． 4．已知数列前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前100项和. 题型三：错位相减 1．已知数列的首项为4，且满足，则（    ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．的前项和 D．的前项和 故选：BCD． 2．已知数列的通项公式为，则此数列的前项和 . 3．记为数列的前项和，已知是公差为的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 4．已知数列的首项为，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)设，记数列的前项和为，求，并证明：. 题型四：倒序相加 1．已知数列中，，则（    ） A．96 B．97 C．98 D．99 2．，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（    ） A． B． C． D． 3．已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 题型五：分组求和 1．已知数列满足，且，则该数列前2024项的和为（    ） A．2015 B．2016 C．1518 D．1519 2．数列满足，，则（   ） A．2022 B．2020 C． D． 3．已知数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 4．已知等差数列的公差为正数，，其前项和为，数列为等比数列，，且，. (1)求数列与的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 题型六：分段求和 1．已知数列的通项公式为，若满足的整数恰有2个，则可取到的值有（    ） A．有3个 B．有2个 C．有1个 D．不存在 2．已知数列的通项公式为，前n项和为，则（    ） A．数列为等差数列，公差为 B．数列为等差数列，公差为8 C．当时，数列的前n项和为 D．当时，数列的前n项和为 3.在数列中，，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求． 4.已知数列的前项和. （1）求证：是等差数列； （2）求数列的前项和. 题型七：奇偶分析求和 1．已知等差数列共有项，其偶数项之和为，奇数项之和为，则该数列的公差为（    ）． A． B． C． D． 2．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ） A． B． C． D． 3.已知数列满足，，，数列的前n项和为，则（       ） A．351 B．353 C．531 D．533 4.设数列的前n项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前15项的和. 题型八：求前n项积 1．设数列的前项之积为，满足，则（    ） A． B．4049 C． D． 2．在等差数列中，，．记，则数列（    ）． A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 3．数列中，，，若是数列的前项积，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．已知等比数列均为正数，，且，（为的前项和） (1)求数列的通项公式； (2)若是数列的前项积，请求出，及当取最大值时对应的的值. 题型九：斐波那契数列 1．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这一列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列说法正确的是（    ） A． B．是偶数 C． D． 2．(多选)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（    ） A．a8＝21 B．S7＝32 C．＝a2n D．＝a2 022 3．斐波那契数列又称“兔子数列”“黄金分割数列”，在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，（，）.则（    ） A． B． C． D． …， 4．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列数：，该数列的特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，则是斐波那契数列中的第 项. 题型十：数列新概念 1．对于一切实数x，令为不大于x的最大整数，则函数称为高斯函数或取整函数.若，，为数列的前n项和，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，我们把使乘积…为整数的数叫做“优数”，则在区间内的所有优数的和为 A．1024 B．2003 C．2026 D．2048 3．已知数列的通项公式，在其相邻两项之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 4．设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比. 若，且为“和等比数列”. (1)求的值，并求出的和公比； (2)若，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 题型十一：其它求和 1．设数列有，则 . 2．数列的通项公式为，前项和为，则＝ . 3．已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)表示不超过x的最大整数，如，．若，是数列的前n项和，求． 4．已知数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)设，，求数列的前n项和． 题型12 ：前n项和的实际问题 1．某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（    ）（参考数据：） A．3937万元 B．3837万元 C．3737万元 D．3637万元 2．(多选)某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（    ） （参考：：计算结果精确到分） A．等额本息方案，每月还款金额为10196.07元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2340元 D．等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案 3．甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多万元． (1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式； (2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？ 4．某地地方政府为了促进农业生态发展，鼓励农民建设生态采摘园.2022年该地生态采摘园的沃柑产量为6500公斤，计划不超过24天内完成销售.采摘园种植的农产品一般有批发销售和游客采摘零售两大销售渠道.根据往年数据统计，游客从开园第1天到闭园，游客采摘量（公斤）和开园的第天满足以下关系：.批发销售每天的销售量为200公斤，每公斤5元，采摘零售的价格是批发销售价格的4倍. (1)取何值时，采摘零售当天的收入不低于批发销售当天的收入？ (2)采摘零售的总采摘量是多少？农户能否24天内完成销售计划？ 1．若数列{}的通项公式为，则数列{}的前n项和为（    ） A． B． C． D． 2．设，且，则数列的前项和是（   ） A． B． C． D． 3．已知数列中，，则（    ） A．96 B．97 C．98 D．99 4．已知数列的前n项的和为，．当时，，则（    ） A． B．1006 C．1007 D．1008 5．已知数列满足（），记数列前n项为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知数列的前项和为，且，，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．定义：对于数列若存在，使得对一切正整数n，恒有成立，则称数列为有界数列．设数列的前n项和为，则下列选项中，满足数列为有界数列的是（   ） A． B． C． D． 8．将正整数分解为两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为20的最优分解，当、是的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）数列满足，对任意，都有，数列前n项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B．与等差中项为6 C． D． 10．（多选）已知数列满足，，则下列结论正确的是（    ） A．为等差数列 B．为递减数列 C．的通项公式为 D．的前项和 11．已知数列的前项和为，若，，则 . 12．意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2024项和 13．已知数列和满足：，若的前n项和为，则 . 14．已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式 ； . 15．若数列的前项和为，且，等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16．已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)记集合，若中有个元素，求的取值范围； (3)是否存在等差数列，使得对一切都成立？若存在，写出通项并证明上式成立；若不存在，说明理由. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02：求数列前n项和常用解题策略 题型一：等差、等比数列前n项和公式 1．两个等差数列和，其前项和分别为，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质和前n项求和公式可得，结合题意计算即可求解. 【详解】. 故选：D. 2．已知在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值． 【答案】(1)； (2)时取得最大值为. 【分析】（1）根据已知及等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式； （2）写出等差数列前n项和，应用其二次函数性质求最大值和对应n. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 故， 所以. （2）由，且， 所以， 故时取得最大，最大值为. 3．已知等比数列的前项和为，则（    ） A．18 B．54 C．128 D．192 【答案】D 【分析】根据等比数列的定义结合求和定义，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，则，解得． ． 故选：D. 4．已知数列是递增的等比数列,且,,则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得,进而可得,然后利用求和公式即得. 【详解】设数列的公比为, 由题意可得：, 又数列是递增的等比数列, 所以, 所以, 所以数列的前项和为. 故选:A. 题型二：列项求和 1．等比数列的各项均为正数，且.设，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为，则，根据已知条件求出、的值，可得出的通项公式，再利用裂项相消法可求得. 【详解】设等比数列的公比为，则，则， 所以，所以，因为，可得， 所以， 所以， 所以，， 即数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以， 因此. 故选：B. 2．（多选）设数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列为等比数列 C． D．若，则数列的前10项和为 【答案】BD 【分析】根据题意，可得，所以数列为以为首项，以为公比的等比数列，依次可判断A、B、C，再由裂项相消法判断D. 【详解】当时，由，得，解得， 当时，， 即， 即数列为以为首项，以为公比的等比数列， 则，，，所以A、C错误，B正确； 又， 数列的前10项和为： ，D正确. 故选：BD. 3．已知数列的前项和，设，为数列的前项和．若存在使得成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用，的关系求出数列的通项公式，再用裂项相消法求得，再根据不等式的恒成立问题，求出实数的取值范围. 【详解】由题意，当时，， 当时，， 上式对也成立，所以， 所以， ， 若存在使得，则即. 故答案为： 4．已知数列前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前100项和. 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由已知写出时，，与已知式相减得递推式，再求得后可得通项公式； （2）用裂项相消法求和． 【详解】（1）∵，∴时，， 两式相减得，即， ， 又，即， 所以，∴，也适用． ∴； （2）由（1）， ∴ ． 题型三：错位相减 1．已知数列的首项为4，且满足，则（    ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．的前项和 D．的前项和 【答案】BCD 【分析】由得，所以可知数列是以首项为4，公比为2的等比数列，从而可求出，可得数列为递增数列，利用错位相减法可求得的前项和，由于，从而利用等差数列的求和公式可求出数列的前项和． 【详解】由，得， 所以是以为首项，2为公比的等比数列，故A错误； 因为， 所以，显然递增，故B正确； 因为， ， 所以， 故，故C正确； 因为， 所以的前项和，故D正确． 故选：BCD． 2．已知数列的通项公式为，则此数列的前项和 . 【答案】 【分析】结合等比数列前n项和公式，根据错位相减法求和即可. 【详解】由题知，① 所以，② ①-②得， 所以. 故答案为： 3．记为数列的前项和，已知是公差为的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题干条件表示出的关系，然后根据该递推关系证明为常数数列，即可求解； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）由题意， 所以，当时，， 两式作差得， 所以，则数列为常数数列， 且，所以； （2）， 所以，① ② ①-②得 所以 4．已知数列的首项为，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)设，记数列的前项和为，求，并证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据等比数列的定义证明； （2）由错位相减法求得和，再由分离出，证明恒成立即得证． 【详解】（1）由得 又， 数列是以为首项，以为公比的等比数列. （2）由（1）的结论有 ① ② ①②得： 因为，所以恒成立 . 题型四：倒序相加 1．已知数列中，，则（    ） A．96 B．97 C．98 D．99 【答案】C 【分析】利用倒叙相加法求和即可. 【详解】①， ②， ①+②得 ， 所以. 故选：C. 2．，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用求解即可. 【详解】，故， 故……， 故. 故选：D 3．已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，可得，再根据等比中项的性质可得，又，再利用倒序相加可得解. 【详解】由数列是公比为的正项等比数列，故， 又，可得， 所以， 由，则，所以， 所以， 则， 故， 故选：B. 4．已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）由题意得，再利用可求出， （2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果. 【详解】（1）因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，，即， 当时， ， 因为满足上式， 所以； （2）因为， 所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得， 所以. 题型五：分组求和 1．已知数列满足，且，则该数列前2024项的和为（    ） A．2015 B．2016 C．1518 D．1519 【答案】C 【分析】计算数列的前几项求出周期，再结合周期性分组求和. 【详解】依题意，， 因此数列是以2为周期的周期数列， 所以该数列前2024项的和为. 故选：C 2．数列满足，，则（   ） A．2022 B．2020 C． D． 【答案】C 【分析】根据求出，，，，得到的周期为4，从而利用数列周期求出答案. 【详解】由题意，，， ，， ， 故的一个周期为4． 又， 故． 故选：C 3．已知数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据取倒数，结合等差数列的定义可得为等差，即可根据等差数列的通项求解， （2）利用分组求和，结合等差等比求和公式即可求解. 【详解】（1）因为，假设，则结合已知得， 所以，． 因为，所以， 所以数列是首项为3，公差为2的等差数列， 即， 所以． （2）由（1）得，所以， 所以 ． 所以． 4．已知等差数列的公差为正数，，其前项和为，数列为等比数列，，且，. (1)求数列与的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1). (2) 【分析】（1）设出公差和公比，利用等差数列和等比数列的性质得到方程组，求出公差和公比，得到公差和公比，得到通项公式； （2）由等差数列求和公式，变形得到，分组求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为. 由，，，， 可得，， 所以，.则，. （2）由（1）可得， 故. 则数列的前项和 . 故数列的前2n项和为. 题型六：分段求和 1．已知数列的通项公式为，若满足的整数恰有2个，则可取到的值有（    ） A．有3个 B．有2个 C．有1个 D．不存在 【答案】A 【分析】本题首先可讨论当时，根据得出，然后讨论当时，通过等差数列求和公式得出，通过计算即可得出结果. 【详解】当时， ， 解得，此时保证等式成立的每个值，只有一个值，不符合题意； 当时， ， 即， 若整数恰有2个，则首先，解得， 设该方程有两实数根，则，若，显然不合题意，则，则， 若，此时，解得，满足，符合题意； 若，此时，解得，满足，符合题意； 若，此时，解得，满足，符合题意， 故可取到的值有或或. 故选：A. 2．已知数列的通项公式为，前n项和为，则（    ） A．数列为等差数列，公差为 B．数列为等差数列，公差为8 C．当时，数列的前n项和为 D．当时，数列的前n项和为 【答案】D 【分析】首先判断数列是等差数列，从而求得，即可判断AB；写出数列的前n项和，并去绝对值，即可判断CD. 【详解】对于A，由，得，， 可知数列是首项为8，公差为的等差数列， 则，则， 所以，所以数列为等差数列，公差为，故A错误； 对于B，， 而，所以数列为等差数列，公差为9，故B错误； 对于CD，当时，；当时，；当时，； 所以 ，故C错误，D正确. 故选：D 3.在数列中，，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求． 答案（1）；（2）. 【分析】 （1）根据递推关系式判断数列是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求解. （2）讨论或，利用等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】 （1）， ， ∴数列是等差数列，设其公差为， ， ， ． （2）设数列的前项和为，则由（1）可得， ，． 由（1）知，令，得． ∴当时，， 则 ； 当时，， 则． 【点睛】 方法点睛：求数列的前项和，关键在于分清哪些项为非负的，哪些项为负的，最终应化为去掉绝对值符号后的数列进行求和． 如果数列为等差数列，为其前项和，，那么有： （1）若，则存在，使得，从而有 （2）若，则存在，使得，从而有 4.已知数列的前项和. （1）求证：是等差数列； （2）求数列的前项和. 答案（1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）现根据已知条件求解出的通项公式，然后根据等差数列的定义证明为等差数列； （2）先将的通项公式分段书写，然后对分类讨论，由此求解出的最终结果. 【详解】 （1）由题意得 ①若，则， ②若，则，经检验满足上式. 故， 由可知，数列是首项为23，公差为的等差数列. （2）易得： ①若，， ②若，， 综上. 【点睛】 思路点睛：已知为等差数列，求解的前项和的思路： （1）先根据项的正负将的通项公式分段书写； （2）根据分段的通项公式，分别考虑在对应的范围下的计算方法，由此求解出结果 题型七：奇偶分析求和 1．已知等差数列共有项，其偶数项之和为，奇数项之和为，则该数列的公差为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分别写出奇偶项的和，做差可解出. 【详解】，，，. 故选：D． 2．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出等比数列的公比，结合等比中项的性质求出，即可求得的值. 【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故 设等比数列的公比为，设该等比数列共有项， 则，所以，， 因为，可得，因此，. 故选：C. 3.已知数列满足，，，数列的前n项和为，则（       ） A．351 B．353 C．531 D．533 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意讨论的奇偶，当为奇数时，可得，按等差数列理解处理，当为偶数时，可得，按并项求和理解出来，则按奇偶分组求和分别理解处理． 【详解】 依题意，， 显然，当n为奇数时有， 即有，，…，， 令，故， 所以数列是首项为1，公差为3的等差数列， 故； 当n为偶数时有， 即，，…，， 于是， ， 故选：B． 4.设数列的前n项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前15项的和. 【答案】(1)； (2). 【解析】 【分析】 （1）利用关系及等比数列的定义求的通项公式. （2）由（1）有n为奇数时，n为偶数时，再应用分组求和、等比数列前n项和公式求前15项的和. (1) 由得， 当n=1时，，解得. 当n≥2时，，从而，即， 因此数列是等比数列，其首项和公比都等于2，所以. (2) 当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 所以数列的前15项和为 . 题型八：求前n项积 1．设数列的前项之积为，满足，则（    ） A． B．4049 C． D． 【答案】C 【分析】根据条件先证明出为等差数列，然后求解出的通项公式，由此可求结果. 【详解】因为，所以， 所以，所以，所以是公差为的等差数列， 因为，所以， 所以，所以， 故选：C. 2．在等差数列中，，．记，则数列（    ）． A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】B 【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项. 【详解】由题意可知，等差数列的公差， 则其通项公式为：， 注意到， 且由可知， 由可知数列不存在最小项， 由于， 故数列中的正项只有有限项：，. 故数列中存在最大项，且最大项为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题. 3．数列中，，，若是数列的前项积，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得，然后求得的表达式，再根据二次函数的性质求得正确答案. 【详解】依题意，，， 所以，所以， 所以 ， 函数的开口向下，对称轴为， 所以当或时，取得最大值为. 故选：D 4．已知等比数列均为正数，，且，（为的前项和） (1)求数列的通项公式； (2)若是数列的前项积，请求出，及当取最大值时对应的的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据等比数列定义及其基本量的计算即可求得数列的通项公式为； （2）易知数列的前项积，再由二次函数性质即可求得当或时，取最大值. 【详解】（1）设数列的公比为，则， 当时，，不合题意； 当时，由条件可得， 化简得，则； 故，又，解得， 从而 所以数列的通项公式为 （2）若是数列的前项积，则 取最大值时，当且仅当取最大值 因为， 又，所以当或时，取最大值 故当取最大值时或. 题型九：斐波那契数列 1．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这一列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列说法正确的是（    ） A． B．是偶数 C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，结合该递推关系对选项逐项计算判断即可得. 【详解】由已知得数列满足递推关系，， 对选项A： ，故A错误； 对选项B：观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环， ，不能被3整除，且为奇数， 所以也为奇数，故B错误； 对选项C：若选项C正确，又，则， 同理，依次类推， 可得，显然错误，故C错误； 对选项D：， 所以，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：斐波那契数列问题的解决关键是熟练掌握其递推公式，，从而得解. 2．(多选)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（    ） A．a8＝21 B．S7＝32 C．＝a2n D．＝a2 022 【答案】ACD 【详解】 A选项显然正确；B选项S7＝33，所以B选项不正确；因为a4－a2＝a3，a6－a4＝a5，…，a2n－a2n－2＝a2n－1，累加得C选项正确；因为n≥2时，a＝a2·a1，a＝a2·(a3－a1)，a＝a3·(a4－a2)，…，a＝an·(an＋1－an－1)，累加得D选项正确．故选ACD. 3．斐波那契数列又称“兔子数列”“黄金分割数列”，在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，（，）.则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，直接由递推关系式运算即可判断；对于B，可以举出反例判断；对于C，通过累加法进行判断；对于D，先变形然后再通过累加法即可判断. 【详解】对于A，由题意可得，， 所以，故A正确. 对于B，，，，，，，故B错误. 对于C，，，…，，以上各式相加得，， 化简得，故C正确. 对于D，由题意可得， ， ， …， ， 累加得，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题AB选项的判断比较常规，判断CD选项的关键是要通过适当的变形然后利用到累加法变形. 4．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列数：，该数列的特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，则是斐波那契数列中的第 项. 【答案】2017 【分析】根据“斐波那契数列”的递推关系可得结果. 【详解】依题意有： ， 所以：， 故答案为：2017. 题型十：数列新概念 1．对于一切实数x，令为不大于x的最大整数，则函数称为高斯函数或取整函数.若，，为数列的前n项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据高斯函数的性质以及数列求和公式进行计算. 【详解】解：由题意，当，，时，均有， 故可知： . 故选：A 2．已知，我们把使乘积…为整数的数叫做“优数”，则在区间内的所有优数的和为 A．1024 B．2003 C．2026 D．2048 【答案】C 【分析】先根据对数函数的计算法则求出在区间内优数的个数，可以设，可推出的通项公式，然后再利用等比数列求和计算结果. 【详解】解：由题意得： ∵ ，即 又∵为整数，此时 为整数，此时 以此类推：在区间内的所有优数为 ∴通项公式为 ∴ 选项：C 3．已知数列的通项公式，在其相邻两项之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【分析】根据题意分析得的项的情况，求出当时和当时的，找出的最小值. 【详解】由题意得数列的前项依次为： ，个，，个，，个，，个，，， 当时， ， 当时， ， 所以使成立的的最小值为. 故选：B. 4．设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比. 若，且为“和等比数列”. (1)求的值，并求出的和公比； (2)若，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）判断出数列为等差数列，求出，根据可得出关于、的方程组，即可解出这两个量的值； （2）由（1）可得，然后利用错位相减法可求得； （3）由已知不等式变形可得对任意的恒成立，结合数列的单调性可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，则， 所以，数列为等差数列，则， 所以，， 根据题意可得，其中为非零常数， 即，所以，，解得. （2）由（1）可得，所以，， 则， ， 上式下式可得 ， 因此，. （3）由可得， 整理可得对任意的恒成立， 因为，则数列为单调递增数列， 所以，， 因此，实数的取值范围是. 题型十一：其它求和 1．设数列有，则 . 【答案】 【分析】根据对数性质化简计算即可. 【详解】 所以 故答案为： 【点睛】本题考查利用对数性质进行化简，考查基本分析化简能力，属基础题. 2．数列的通项公式为，前项和为，则＝ . 【答案】 【分析】根据题设中的通项公式，列举出数列的前几项，找出规律，然后根据规律求和. 【详解】解： ，，，， 又的周期为， 故答案为： 3．已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)表示不超过x的最大整数，如，．若，是数列的前n项和，求． 【答案】(1) (2)23 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解， （2）根据所给定义可用列举法求解，即可求和. 【详解】（1）设数列的公差为， 则，，解得, 故； （2）由可得前11项分别为 故的前11项分别为 所以 . 4．已知数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)设，，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系直接求通项公式即可； （2）根据（1）中的通项公式得到，分奇偶讨论并整合即可得到答案. 【详解】（1）由题意，当时，， 当时，， 当时，上式也符合， 所以的通项公式为. （2）由（1）得，，所以，． （ⅰ）当n为偶数时，； （ⅱ）当n为奇数时，； 综上所述，. 题型12 ：前n项和的实际问题 1．某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（    ）（参考数据：） A．3937万元 B．3837万元 C．3737万元 D．3637万元 【答案】A 【分析】设该公司在2024年，2025年，...，2033年的销售额（单位：万元）分别为，进而可得，根据配凑法、分组求和法求得正确答案. 【详解】设该公司在2024年，2025年，...，2033年的销售额（单位：万元）分别为. 依题意可得，则， 所以数列是首项为90，公比为1.3的等比数列， 则，即， 则， 故从2024年到2033年该产品的销售总额约为3937万元. 故选：A. 【点睛】方法点睛：对于递推公式为，常常通过构造等比数列的方法求得通项公式. 2．(多选)某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（    ） （参考：：计算结果精确到分） A．等额本息方案，每月还款金额为10196.07元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2340元 D．等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案 【答案】ABC 【分析】对于BC，根据等额本金的还款方案分析结合等差数列求和公式计算即可，对于A，等额本息的还款方案分析结合等比数列的判定及求和公式计算判断，对于D，通过比较两种还款方案的优劣进行判断. 【详解】对于A，设第个月贷款利息为，偿还本金为， 则，， 则， ， 则， 同理得，，……，， 所以数列是以为公比的递增等比数列， 则有，得， 所以每月还款的本息和为， 所以A正确; 对于B，倒数第二个月还款后，剩余本金10000，一个月利息为30元， 本息和应为10030元，故B正确； 对于C，利息和为（元）， 故C正确； 对于D， 由A知等额本息还款利息和为 ， 两种贷款方案各有优劣，比等额本金高，但等额本金方案起初还款金额高，还款压力大，还款金额逐年递减；等额本息每月还款金额相同，低于等额本金方案前半段时间还款额，高于后半段时间还款额；还有通货膨胀等诸多经济因素影响两种方案的收益，故不能简单认为某种贷款方案优于另一种方案，故D错误. 故选：ABC. 3．甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多万元． (1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式； (2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？ 【答案】(1)， (2)乙超市在第7年将被收购 【分析】（1）根据求甲超市第年销售额的表达式，利用累加法求乙超市第年销售额的表达式； （2）利用（1）中得表达式，代入求解，计算可得第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购. 【详解】（1）设甲超市前年总销售额为，第年销售额为， 则， 因为时，， 则时，， 故； 设乙超市第年销售额为，则， 时，， ， 显然时也符合， 所以. （2）当时，，，有； 当时，，，有； 当时，，，故乙超市有可能被收购， 当，令，则， 整理得， 又当时，，故当且时，必有， 即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购. 4．某地地方政府为了促进农业生态发展，鼓励农民建设生态采摘园.2022年该地生态采摘园的沃柑产量为6500公斤，计划不超过24天内完成销售.采摘园种植的农产品一般有批发销售和游客采摘零售两大销售渠道.根据往年数据统计，游客从开园第1天到闭园，游客采摘量（公斤）和开园的第天满足以下关系：.批发销售每天的销售量为200公斤，每公斤5元，采摘零售的价格是批发销售价格的4倍. (1)取何值时，采摘零售当天的收入不低于批发销售当天的收入？ (2)采摘零售的总采摘量是多少？农户能否24天内完成销售计划？ 【答案】(1) (2)1327公斤，不能完成销售计划 【分析】（1）分段讨论计算采摘零售当天的收入:，批发销售当天的收入，列不等式求解即可； （2）当时，采摘零售量为数列的和，当时，采摘零售量为数列的和， 两者之和为采摘零售的总采摘量，再加上批发销售的销售总量后判断是否超过6500公斤. 【详解】（1）由条件，当时，，解得 当时，，解得， 所以，采摘零售当天的收入不低于批发销售的收入. （2）不能.当时，为等差数列，记这些项的和为，. 当时，记数列这些项的和为， ，即采摘零售的总采摘量是1327公斤. 批发销售的销售总量为公斤，24天一共销售公斤，故不能完成销售计划. 1．若数列{}的通项公式为，则数列{}的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分组求和法计算即可求解. 【详解】因为， 所以 . 故选：B. 2．设，且，则数列的前项和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用裂项相消法求和. 【详解】， 故. 故选：A 3．已知数列中，，则（    ） A．96 B．97 C．98 D．99 【答案】C 【分析】利用倒叙相加法求和即可. 【详解】①， ②， ①+②得 ， 所以. 故选：C. 4．已知数列的前n项的和为，．当时，，则（    ） A． B．1006 C．1007 D．1008 【答案】D 【分析】利用的关系式可得，分组求和可得结果. 【详解】易知当时，，． 两式相减得，即． 又，， 即满足上式， 可得． 故选：D． 5．已知数列满足（），记数列前n项为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将数列通项与前项和的关系，求得数列递推公式，进而可得通项，将题设中的数列的通项展开裂项，运用裂项相消法求和，求得和式的范围即得. 【详解】依题意，当时，，解得， 当时，，可得，即. 故是以1为首项，2为公比的等比数列，故. 所以， 所以， 因不等式恒成立，故的取值范围是. 故选：A 6．已知数列的前项和为，且，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分情况求数列的通项公式，进而求和. 【详解】当为奇数时，，则，即， 所以当为奇数时，， 又， 当为偶数时，，则，即， 所以当为偶数时，， 综上所述， 所以 ， 故选：A. 7．定义：对于数列若存在，使得对一切正整数n，恒有成立，则称数列为有界数列．设数列的前n项和为，则下列选项中，满足数列为有界数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A：根据题意结合等差数列求和公式分析判断；对于B：根据题意结合裂项相消法判断；对于C：根据题意结合并项求和法分析判断；对于D：根据题意结合等比数列求和公式分析判断. 【详解】对A选项：因为，所以，无最大值，故数列无界，故A选项不正确； 对B选项：因为数列， 所以，无最大值，故数列无界，故B选项不正确； 对C选项：因为， 当为偶数时，，无最大值，故数列无界，故C选项不正确； 对D选项：因为，所以，所以恒成立，故D选项正确. 故选：D 8．将正整数分解为两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为20的最优分解，当、是的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用最优分解的思想，结合分类讨论，就可得到数列通项，从而求和即可. 【详解】当，时，，所以； 当，时，，所以； 所以数列的前2024项和为： ， 故选：B. 9．（多选）数列满足，对任意，都有，数列前n项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B．与等差中项为6 C． D． 【答案】AD 【分析】由题意是等差数列，可求出通项与前n项和判断选项AD；求两项的等差中项判断选项B；由裂项的结果判断选项C. 【详解】，，所以数列是首项为1公差为1的等差数列，得， ，A选项正确； 等差数列中，与等差中项是，，B选项错误； ，C选项错误； ，D选项正确. 故选：AD 10．（多选）已知数列满足，，则下列结论正确的是（    ） A．为等差数列 B．为递减数列 C．的通项公式为 D．的前项和 【答案】BD 【分析】由递推公式求通项公式，进而可逐项求解判断. 【详解】因为，所以，所以，且，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，即，可得，故选A，C错误； 因为单调递增，所以，即为递减数列，故选项B正确； 的前项和，故选项D正确. 故选：BD. 11．已知数列的前项和为，若，，则 . 【答案】 【分析】利用并项求和法及等差数列求和公式计算可得. 【详解】因为，， 所以 . 故答案为： 12．意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2024项和 【答案】4048 【分析】根据函数图象平移的性质可得的图象关于对称，即，即可求解. 【详解】由于为奇函数，图象关于原点对称，故的图象关于对称，即， 因此，, 因此, 故答案为： 13．已知数列和满足：，若的前n项和为，则 . 【答案】2600 【分析】将题中两个等式相减可得数列是以为首项，为公比的等比数列，则可得，从而代入可得，从而用累加法可得数列的通项公式，从而用分组求和法求. 【详解】由两式相减可得， ， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以 所以由可得， 所以， 所以当为奇数时， ， 即，所以； 当为偶数时， ， 即，所以； 所以 ， 故答案为: . 14．已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式 ； . 【答案】 574 【分析】整理可得，可知数列是以首项为，公比为的等比数列，即可得的通项公式，再利用分组求和结合等差、等比数列求和公式求解. 【详解】因为，， 则，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，即， 可得 ， 所以. 故答案为：；. 15．若数列的前项和为，且，等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由条件根据关系可得，证明数列是等比数列，由此可求，由条件求数列的公差，再求数列的通项公式； （2）利用错位相减法求数列的前项和. 【详解】（1）因为①， 所以②，， ①②得，又 所以，故数列是以为公比，首项为的等比数列， ， ， 等差数列的公差为. （2）由（1）可得， ， 两式相减得， 16．已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)记集合，若中有个元素，求的取值范围； (3)是否存在等差数列，使得对一切都成立？若存在，写出通项并证明上式成立；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在且，证明见解析 【分析】（1）运用数列的递推公式，结合等比数列的定义和通项公式即可得解； （2）由题意可得，设，计算、、、、结合函数图象性质即可得解； （3）先假设存在等差数列，然后令、探求出等差数列的通项，最后代入检验即可. 【详解】（1）因为数列的前项和为，， 所以当时，； 当时，， 整理得， 所以由等比数列定义可知数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）由（1）得即， 设，则，，，，， 且， 当时，， 所以，数列从第三项开始单调递减， 由函数图象性质可知，当时，， 又由题意可知有且只有3个值满足不等式， 故，解得，所以的取值范围为. （3）设存在等差数列使得对一切都成立， 证明：当时，，所以； 当时，，所以， 所以等差数列的公差为，所以， 设， 则， 所以， 所以， 所以存在等差数列使得对一切都成立，且. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$