第20期 2.6弧长与扇形面积 2.7正多边形与圆（参考答案见22期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（湘教版）

书 二、９．４０°；　１０．９； １１．４１８；　１２．１．５； １３．６＋槡６１． 三、１４．（１）图略． （２）⊙Ｏ 的 半 径 为 槡４１． １５．（１）证明：因为ＡＢ 为⊙Ｏ的直径，所以∠ＡＤＢ ＝９０°，所 以 ∠ＤＢＡ ＋ ∠ＤＡＢ＝９０°，因为∠Ｅ＝ ∠ＤＡＢ，∠ＡＣＢ＝∠ＢＥＤ， 所以 ∠ＤＢＡ＋∠ＡＣＢ ＝ ９０°，所以∠ＣＡＢ＝９０°，所 以 ＣＡ⊥ ＡＢ，所以 ＡＣ是 ⊙Ｏ的切线． （２）ＢＥ的长为１． １６．（１）证明：连接 ＯＤ，因为 ＯＤ＝ＯＥ，所以 ∠ＯＥＤ＝∠ＯＤＥ，因为ＤＥ ∥ ＯＡ，所 以 ∠ＯＤＥ ＝ ∠ＡＯＤ，∠ＤＥＯ＝∠ＡＯＣ， 所以 ∠ＡＯＤ＝∠ＡＯＣ，又 因为ＯＡ＝ＯＡ，ＯＣ＝ＯＤ， 所以 △ＡＯＤ≌ △ＡＯＣ，因 为ＡＣ是切线，所以 ∠ＡＣＢ ＝９０°，所以 ∠ＡＤＯ ＝ ∠ＡＣＢ＝９０°．因为 ＯＤ是 半径，所以ＡＢ是 ⊙Ｏ的切 线． （２）因为ＡＢ是⊙Ｏ的 切线，所以 ∠ＢＤＯ＝９０°， 所以ＢＤ２＋ＯＤ２＝ＯＢ２，即 ４２＋３２＝（３＋ＢＥ）２，解得 ＢＥ＝２，所以 ＢＣ＝ＢＥ＋ ＥＣ＝８．因为 ＡＤ，ＡＣ是 ⊙Ｏ的切线，所以 ＡＤ ＝ ＡＣ，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ２ ＝ ＡＣ２＋ＢＣ２，所以（４＋ＡＣ）２ ＝ＡＣ２＋８２，解得ＡＣ＝６． １７．证明：（１）连接 ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，ＡＩ，因为ＡＢ＝ ＡＣ，ＯＢ＝ＯＣ，ＯＡ＝ＯＡ，所 以△ＡＯＢ≌ △ＡＯＣ，所以 ∠ＢＡＯ＝∠ＣＡＯ，所以 ＡＯ 平分 ∠ＢＡＣ，因为点 Ｉ是 △ＡＢＣ的内心，所以 ＡＩ平 分∠ＢＡＣ，所以ＡＯ与ＡＩ在 同一条直线上，所以 ＯＡ所 在的直线经过点Ｉ． （２）连接ＯＤ，则ＯＤ＝ ＯＡ， 所 以 ∠ＯＡＤ ＝ ∠ＯＤＡ，所以 ２∠ＯＡＤ ＋ ∠ＡＯＤ ＝ １８０°， 所 以 ∠ＯＡＤ＋１２∠ＡＯＤ＝９０°， 因为∠ＡＢＤ＝ １２∠ＡＯＤ， 所以 ∠ＯＡＤ＋∠ＡＢＤ ＝ ９０°，因为∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ ＝ ∠ＣＡＤ，∠ＥＡＤ ＝ ∠ＣＡＤ，所 以 ∠ＡＢＤ ＝ ∠ＥＡＤ， 所 以 ∠ＩＡＥ ＝ 书 上期２版 ２．４过不共线三点作圆 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．Ａ；　 ４．１３２； ５．（４，３）；　６．５；　７．槡２３． 能力提高　８．（１）（１，－２）． （２）点Ｄ在⊙Ｍ外部，理由如下： 因为Ｍ（１，－２），Ｄ（－３，－２），Ｂ（０，１），所以ＭＤ＝ １－（－３）＝４，ＭＢ＝ １２＋（－２－１）槡 ２ ＝槡１０，所以 ＭＤ＞ＭＢ，所以点Ｄ在⊙Ｍ的外部． ２．５．１直线与圆的位置关系；２．５．２圆的切线 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．Ｄ；　４．６０； ５．１＜ｄ＜５． ６．证明：连接 ＯＣ，因为 ＯＡ＝ＯＣ，所以 ∠ＯＡＣ＝ ∠ＯＣＡ．因为ＡＣ平分∠ＥＡＢ，所以∠ＯＡＣ＝∠ＣＡＥ，所以 ∠ＣＡＥ＝∠ＯＣＡ，所以ＯＣ∥ＡＥ．因为ＡＥ⊥ＣＥ，所以ＯＣ ⊥ＣＥ，因为ＯＣ是半径，所以ＣＥ是⊙Ｏ的切线． 能力提高　７．证明：（１）连接ＯＤ，ＯＢ，ＡＣ，因为⊙Ｏ 经过菱形ＡＢＣＤ的顶点Ｂ，Ｄ，所以ＡＣ过点Ｏ，ＡＤ＝ＤＣ ＝ＢＣ＝ＡＢ，∠ＤＡＯ＝∠ＢＡＯ，∠ＤＣＯ＝∠ＢＣＯ．又因为 ＯＤ＝ＯＢ，所以△ＡＯＤ≌△ＡＯＢ，所以∠ＡＤＯ＝∠ＡＢＯ． 因为ＡＢ与⊙Ｏ相切，所以∠ＡＤＯ＝∠ＡＢＯ＝９０°，因为 ＯＤ是半径，所以ＡＤ与⊙Ｏ相切． （２）连接ＯＦ，ＯＥ，在△ＤＯＣ和△ＢＯＣ中，因为ＤＣ ＝ＢＣ，∠ＤＣＯ ＝∠ＢＣＯ，ＯＤ ＝ＯＢ，所以 △ＤＯＣ≌ △ＢＯＣ，所以∠ＯＤＦ＝∠ＯＢＥ． 因为ＯＤ＝ＯＦ＝ＯＢ＝ＯＥ，所以∠ＯＤＦ＝∠ＯＦＤ ＝∠ＯＢＥ＝∠ＯＥＢ，所以∠ＤＯＦ＝∠ＢＯＥ，所以ＤＦ＝ ＢＥ． ２．５．３切线长定理；２．５．４三角形的内切圆 基础训练　１．Ｄ；　２．Ａ；　３．１０；　４．３５°；　５．１２． ６．（１）ＰＡ的长为６． （２）连接 ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，则 ∠ＤＯＣ＝∠ＤＯＡ，∠ＣＯＥ ＝∠ＢＯＥ．所以∠ＡＯＢ＝∠ＤＯＣ＋∠ＣＯＥ＋∠ＤＯＡ＋ ∠ＢＯＥ＝２（∠ＤＯＣ＋∠ＣＯＥ）＝２∠ＤＯＥ＝１４４°．在四 边形ＰＡＯＢ中，因为 ∠ＰＡＯ＝∠ＰＢＯ＝９０°，∠ＡＯＢ＝ １４４°，所以∠ＡＰＢ＝３６°． 能力提高　７．（１）证明：因为Ｉ是△ＡＢＣ的内心，所 以 ＡＥ平分 ∠ＣＡＢ，ＢＩ平分 ∠ＡＢＣ，所以 ∠ＢＡＥ ＝ ∠ＣＡＥ，∠ＡＢＩ＝∠ＣＢＩ．因为∠ＢＩＥ＝∠ＢＡＥ＋∠ＡＢＩ， ∠ＩＢＥ＝∠ＩＢＤ＋∠ＥＢＤ，因为 ∠ＣＢＥ＝∠ＣＡＥ，所以 ∠ＢＩＥ＝∠ＥＢＩ，所以ＥＢ＝ＥＩ． （２）连接ＥＣ，过点Ｅ作ＥＭ⊥ＡＢ，ＥＮ⊥ＡＣ交ＡＣ的 延长线于点Ｎ，则ＥＭ＝ＥＮ．因为∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＥ，所以 ) ) ＢＥ＝ＣＥ，所以ＢＥ＝ＥＣ＝４．因为ＡＥ＝ＡＥ，ＥＭ＝ＥＮ， 所以△ＡＥＭ≌△ＡＥＮ，所以ＡＭ ＝ＡＮ．因为ＢＥ＝ＥＣ， ＥＭ＝ＥＮ，所以△ＢＭＥ≌△ＣＮＥ，所以ＢＭ＝ＣＮ．设ＢＭ ＝ｘ，则８－ｘ＝６＋ｘ，解得ｘ＝１，即ＢＭ＝１，所以ＡＭ＝ ７．又因为 ＢＥ＝４，由勾股定理得，ＥＭ ＝ ４２－１槡 ２ ＝ 槡１５，所以ＡＥ＝ （槡１５） ２＋７槡 ２ ＝８，因为ＥＩ＝ＢＥ＝ ４，所以ＡＩ＝ＡＥ－ＥＩ＝４． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ａ Ｂ Ａ Ａ Ｄ Ｄ Ｄ 书 １．（２０２４重庆二模）如图１，Ｃ，Ｄ是以ＡＢ为直径的 半圆周的三等分点，ＣＤ＝８，Ｐ是直径上的任意一点． 则阴影部分的面积等于 （结果保留π）． ２．（２０２４大同二模）如图２是同学们设计的“心” 形图案，正方形ＡＢＣＤ的边长为ａ，以Ａ为圆心，ＡＢ长为 半径作扇形，又分别以ＢＣ和ＣＤ的长为直径作半圆，则 图中阴影部分的面积为 ． ３．（２０２４周口一模）如图 ３，矩形 ＡＢＣＤ内接于 ⊙Ｏ，分别以ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＡＤ为直径向外作半圆，若 ＡＢ ＝３，ＢＣ＝４，则阴影部分的面积为 ． ４．（２０２４泰安期中）如图４，已知⊙Ｏ的半径为１， ＡＢ是直径，分别以点Ａ，Ｂ为圆心，以ＡＢ的长为半径画 弧，两弧相交于 Ｃ，Ｄ两点，则图中阴影部分的面积是 ． １．如图１，在扇形 ＡＢＤ中，∠ＢＡＤ＝６０°，ＡＣ平分 ∠ＢＡＤ交弧ＢＤ于点Ｃ，点Ｐ为半径ＡＢ上一动点，若ＡＢ ＝４，则阴影部分周长的最小值为 ． ２．如图 ２，四边形 ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝∠Ｄ ＝９０°， ∠ＤＡＢ＝１３５°，且ＡＢ＝２，ＡＤ＝ 槡４２．以Ｂ为圆心，ＢＣ 为半径作弧，交ＢＡ的延长线于点Ｅ，若点Ｑ为弧ＥＣ上 的动点，过点Ｑ作ＱＨ⊥ＢＣ于点Ｈ，设点Ｉ为△ＢＱＨ的 内心，连接ＢＩ，ＱＩ，当点Ｑ从点Ｃ运动到点Ｅ时，则内心 Ｉ所经过的路径长为 ． 书 【提示】 １．作点Ｄ关于直线ＡＢ的对称点Ｄ′，连接ＤＤ′交 ＡＢ于点Ｅ，连接Ｄ′Ｃ交ＡＢ于点Ｐ，连接ＰＤ，ＡＤ′，则当 Ｄ′，Ｐ，Ｃ三点共线时，阴影部分的周长最小，即ＤＰ＋ ＰＣ＝Ｄ′Ｐ＋ＰＣ＝Ｄ′Ｃ，根据角平分线性质得到 ∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＣ＝１ ２∠ＢＡＤ，推出∠ＣＡＤ′＝９０°，根 据弧长公式算出) ＤＣ，利用勾股定理算出Ｄ′Ｃ即可． ２．连接ＩＣ，则∠ＱＢＩ＝∠ＣＢＩ，证明△ＩＢＱ≌ △ＩＢＣ，得到∠ＢＩＣ＝∠ＢＩＱ，计算∠ＱＢＩ＋∠ＩＱＢ的 度数，得到∠ＢＩＣ＝∠ＢＩＱ＝１３５°，过Ｂ，Ｉ，Ｃ三点作 ⊙Ｏ，内心Ｉ经过的路径长为) ＢＣ的长，求得 ∠ＢＯＣ的 度数，求出ＢＣ＝１０，在等腰直角三角形ＢＣＯ中，利用 勾股定理得ＢＯ的长，最后根据弧长公式解题即可． 书 求与圆有关的阴影部分的面积这类题目在各地考 试题中时常出现，所给阴影部分的图形一般是不规则 的，需要将不规则图形转化成规则图形求解．现介绍几 种转化方法，供大家学习时参考． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、和差转化法 例 １　（２０２４重庆三 模）如图 １，平行四边形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ，ＢＤ交 于点Ｏ，且 ＡＣ⊥ ＡＢ，以 Ｏ 为圆心，分别以 ＯＡ，ＯＣ的 长为半径画弧交对角线ＢＤ于点Ｅ，Ｆ，若ＡＣ＝４，∠ＡＢＯ ＝３０°，则图中阴影部分的面积为 ． 解析：因为ＡＣ⊥ＡＢ，所以∠ＢＡＣ＝９０°，因为∠ＡＢＯ ＝３０°，所以∠ＡＯＢ＝６０°，因为ＡＣ＝４，所以ＯＡ＝ＯＣ＝ １ ２ＡＣ＝２，所以ＡＢ＝ 槡２３，所以Ｓ△ＡＯＢ ＝ １ ２ＡＢ·ＯＡ＝ 槡２３，Ｓ扇形ＡＯＥ ＝ ６０π·２２ ３６０ ＝ ２ ３π，所以Ｓ阴影 ＝２（Ｓ△ＡＯＢ － Ｓ扇形ＡＯＥ）＝２（槡２３－ ２ ３π）＝ 槡４３－ ４ ３π． 故填 槡４３－ ４ ３π． 二、等积转化法 例２　（２０２４安阳三模）如图 ２，以等边三角形的一边 ＢＣ为直 径作半圆 Ｏ交另两边于 Ｄ，Ｅ两 点，等边三角形的边长为６，则图 中阴影部分的面积为 ． 解析：连接 ＯＤ，ＯＥ，ＤＥ．因为 △ＡＢＣ是等边三角形，所以∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝６０°，因 为ＯＢ＝ＯＤ＝ＯＣ＝ＯＥ＝ １２ＢＣ＝３，所以 △ＢＯＤ， △ＣＯＥ都是等边三角形，所以 ∠ＢＯＤ＝∠ＥＯＣ＝６０°， ＢＤ＝ＣＥ＝３，所以 ∠ＤＯＥ＝６０°，ＡＤ＝ＡＥ＝３，所以 △ＤＯＥ是等边三角形，△ＡＤＥ是等边三角形，所以 △ＡＤＥ≌ △ＢＯＤ≌ △ＣＯＥ≌ △ＤＯＥ，所以 Ｓ△ＡＤＥ ＝ Ｓ△ＢＯＤ ＝Ｓ△ＣＯＥ ＝Ｓ△ＤＯＥ，所以弓形ＢＤ，弓形ＤＥ与弓形ＣＥ 的面积相等，所以Ｓ阴影 ＝Ｓ扇形ＢＯＤ ＝ ６０π×３２ ３６０ ＝ ３ ２π． 故填 ３ ２π． 三、容斥原理法 例３　（２０２４周口二模） 如图３，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°，分别以点 Ｂ，Ｃ为圆心，以ＢＡ长为半径 画弧，两弧分别交线段 ＢＣ 于点Ｅ，Ｄ，若ＤＥ＝４－槡２２， 则图中的阴影部分面积为 ． 解析：因为在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°，所 以∠Ｂ＝∠Ｃ＝４５°．设ＡＢ＝ＡＣ＝ａ，则ＢＣ＝槡２ａ，所 以ＤＥ＝ＢＥ＋ＣＤ－ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ－ＢＣ＝２ａ－槡２ａ，所 以４－ 槡２２＝２ａ－槡２ａ，解得ａ＝２，所以Ｓ阴影 ＝Ｓ扇形ＡＣＤ ＋Ｓ扇形ＡＢＥ－Ｓ△ＡＢＣ ＝ ４５π×２２ ３６０ ＋ ４５π×２２ ３６０ － １ ２×２×２＝ π－２． 故填π－２． 【对应练习见《重点集训营》】 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " !" #$% ! " # $ % & ' ! ! ! $ ( & % " ! " ( $ ) % " ! ! ! ( % " ! ! " ( ! ) " % ! ! ! * + , " ( - & ! " !& " ( % ! # % " $ ( ! ! $ ! ! " ( % ! # 书 利用弧长公式可以直接计算弧长，也可以由公式变 形求圆心角和半径．下面就弧长公式的应用举例说明如 下，供同学们学习参考． 一、求弧长 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ 如图１，ＡＢ是⊙Ｏ的 直径，ＡＣ是弦，ＡＢ ＝４，∠Ａ＝ ３０°，则 ) ＢＣ的长度为 ． 解析：连接 ＯＣ，因为 ∠Ａ＝ ３０°，所以∠ＣＯＢ＝６０°，因为ＡＢ ＝４，所以ＯＢ＝２，所以 ) ＢＣ的长 度为 ６０π·２ １８０ ＝ ２π ３．故填 ２π ３． 二、求圆心角 例２　如图２，传送带的一 个转动轮的半径为１８ｃｍ，转动 轮转ｎ°，传送带上的物品 Ａ被 传送１２πｃｍ，则ｎ＝ ． 解析：由题意，得 ｎπ×１８ １８０ ＝１２π，解得 ｎ＝１２０．故填 １２０． 三、求半径 例３　（２０２４乌鲁木齐期中）已知圆上一段弧长为 ５πｃｍ，它所对的圆心角为１００°，则该圆的半径为 （　　） Ａ．６ｃｍ Ｂ．９ｃｍ Ｃ．１２ｃｍ Ｄ．１８ｃｍ 解析：设该圆的半径为 ｒｃｍ，根据题意，得１００πｒ１８０ ＝ ５π，解得ｒ＝９，即该圆的半径为９ｃｍ．故选Ｂ． 四、求复杂路径 例４　（２０２４湖州期中）如图３，将含有３０°角的直角 三角板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上 点Ａ的位置变化为Ａ→Ａ１→Ａ２，其中ＡＢ＝６，第二次翻 滚被桌面上一小木块挡住，使三角板与桌面成２０°角，则 点Ａ翻滚到Ａ２位置时共走过的路径长为 ． 解析：因为ＡＢ＝６，∠ＡＣＢ＝３０°，∠Ａ２Ｃ１Ｄ＝２０°， 所以∠ＡＣＢ＝∠Ａ１Ｃ１Ｂ＝∠Ａ２Ｃ１Ｂ２＝３０°，∠ＡＢＣ＝ ∠Ａ１ＢＣ１ ＝６０°，ＢＣ＝２ＡＢ＝１２，所以 ＡＣ＝Ａ１Ｃ１ ＝ １２２－６槡 ２ ＝ 槡６３， 所以∠ＡＢＡ１ ＝１２０°，∠Ａ１Ｃ１Ａ２ ＝１３０°， 所以点 Ａ翻滚到 Ａ２位置时共走过的路径长为 １２０π×６ １８０ ＋ １３０π× 槡６３ １８０ ＝４π＋ 槡１３３ ３ π． 故填４π＋ 槡１３３３ π． 书 以几何图形的滚动或旋转为载体，探求在运动过 程中某个点所经过的路线长度（即弧长）的试题是考 试的常见类型题，也是同学们学习的难点，现对这类问 题的解题思路进行分析，供大家参考． 一、旋转三角形 例 １　（２０２３柳州 模拟）一块等边三角形 的木板，边长为１，现将 木板沿水平线翻滚（如 图１），那么Ｂ点从开始 至结束所走过的路径长度为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３π２ Ｂ． ２π ３ Ｃ． ４π ３ Ｄ．π 分析：根据题目的条件和图形特点可以判断点 Ｂ， Ｂ１分别绕两个定点以边长１为半径旋转１２０°，并且所 走过的两路径相等，求出一个然后乘以２即可求解． 解：由题意可知Ｂ点从开始至Ｂ２结束所走过的路 径为两个圆心角为１２０°，半径为１的扇形弧长，所以 Ｂ 点从开始至Ｂ２结束所走过的路径长度为：２× １２０ １８０×１× π＝４π３．故选Ｃ． 二、滚动正方形 例２　（２０２３开封一模） 如图２，在矩形 ＡＢＣＤ中，已 知ＡＢ＝４，ＢＣ＝３，矩形在 直线ｌ上绕其右下角的顶点 Ｂ向右旋转９０°至①位置，再绕右下角的顶点继续向 右旋转９０°至 ② 位置，…，以此类推，这样连续旋转 ２０２４次后，顶点Ａ在整个旋转过程中所经过的路程之 和是 （　　） Ａ．２０２４π Ｂ．２０２３π Ｃ．３０３６π Ｄ．４０４８π 分析：首先求得每一次转动的路线的长，发现每 ４次为一循环，找到规律然后计算即可． 解：转动第一次Ａ的路线长是９０π×４１８０ ＝２π，转动 第二次的路线长是 ９０π×５ １８０ ＝ ５π ２，转动第三次的路线 长是 ９０π×３ １８０ ＝ ３π ２，转动第四次的路线长是０，转动第 五次的路线长是 ９０π×４ １８０ ＝２π，以此类推，每四次为一 循环，故顶点Ａ转动四次经过的路线长为３π２＋ ５π ２＋２π ＝６π，因为２０２４÷４＝５０６，所以顶点Ａ转动２０２４次 经过的路线长为６π×５０６＝３０３６π．故选Ｃ． 温馨提示：由以上几例可以看出，解决几何图形 “滚动”过程中某点经过的路线长问题，应首先弄清该 点经过的各段路线，然后逐次求出各段路线的长度，再 求出总的路线长． ! ! % ( ! ! ! ( ! % ! ( " % ( ! " ! " ! . ! " " &' ()* 书 一、求边长 例１　（２０２４抚顺期末） 如图１，ＡＢ，ＡＣ分别是某圆内 接正六边形、正方形的一边， 若 ＡＢ ＝２，则 ＡＣ的长为 ． 解析：设圆的圆心是Ｏ，连接ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，因为ＡＢ是 圆内接正六边形的一边，所以∠ＡＯＢ＝６０°，所以△ＡＯＢ 是等边三角形，所以ＯＡ＝ＡＢ＝２．因为ＡＣ是圆内接正 方形的一边，所以∠ＡＯＣ＝９０°，所以△ＡＯＣ是等腰直角 三角形，所以ＯＡ＝ＯＣ＝２，所以ＡＣ＝ 槡２２．故填 槡２２． 二、求角度 例２　（２０２４银川二模）如图 ２，正五边形ＡＢＣＤＥ内接于⊙Ｏ，Ｐ 为劣弧ＡＢ上的动点，则∠ＡＰＢ的 大小为 ． 解析：连接 ＯＡ，ＯＢ，ＡＤ，ＢＤ， 因为五边形 ＡＢＣＤＥ是正五边形， 所以∠ＡＯＢ＝３６０°５ ＝７２°，所以 ∠ＡＤＢ＝１２∠ＡＯＢ＝３６°，因为正五边形ＡＢＣＤＥ的外接 圆为⊙Ｏ，所以四边形ＡＰＢＤ是⊙Ｏ的内接四边形，所以 ∠ＡＰＢ＋∠ＡＤＢ＝１８０°，所以∠ＡＰＢ＝１４４°．故填１４４°． 三、求面积 例３　（２０２３杭州）如图３，六 边形ＡＢＣＤＥＦ是⊙Ｏ的内接正六边 形，设正六边形 ＡＢＣＤＥＦ的面积为 Ｓ１，△ＡＣＥ的面积为 Ｓ２，则 Ｓ１ Ｓ２ ＝ ． 解析：连接ＯＡ，ＯＣ，ＯＥ，因为六 边形ＡＢＣＤＥＦ是⊙Ｏ的内接正六边形，所以ＡＣ＝ＡＥ＝ ＣＥ，所以 △ＡＣＥ是 ⊙Ｏ的内接正三角形．因为 ∠Ｂ＝ １２０°，ＡＢ＝ＢＣ，所以∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ＝３０°，因为∠ＣＡＥ ＝６０°，所以 ∠ＯＡＣ＝∠ＯＡＥ＝３０°，所以 ∠ＢＡＣ＝ ∠ＯＡＣ＝３０°，同理可得，∠ＢＣＡ＝∠ＯＣＡ＝３０°．又因为 ＡＣ＝ＡＣ，所以△ＢＡＣ≌△ＯＡＣ，所以Ｓ△ＢＡＣ ＝Ｓ△ＯＡＣ，由 圆和正六边形的性质可得，Ｓ△ＢＡＣ ＝Ｓ△ＡＦＥ ＝Ｓ△ＣＤＥ，由圆 和正三角形的性质可得，Ｓ△ＯＡＣ ＝Ｓ△ＯＡＥ ＝Ｓ△ＯＣＥ．因为Ｓ１ ＝Ｓ△ＢＡＣ ＋Ｓ△ＡＦＥ ＋Ｓ△ＣＤＥ ＋Ｓ△ＯＡＣ ＋Ｓ△ＯＡＥ ＋Ｓ△ＯＣＥ ＝ ２（Ｓ△ＯＡＣ ＋Ｓ△ＯＡＥ ＋Ｓ△ＯＣＥ）＝２Ｓ２，所以 Ｓ１ Ｓ２ ＝２．故填２． ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " +, -./ $ " ! & - ( ! " ) & # " $ - ! ( ! # ( - ! ! ! " !" 012 $ ( ! - ! ! - ! " - " - ! ( - ! ! # ! ! " ( " ! ! " #! !!!"" $"% !" "%"$&!!'!$( !"#$ !"#$%& 345 !6"789: ;8<=>?@8AB "# C % ! '()* !"#$%&'" ()*+,-'. DE$FGHIJ KLAMNO ""C: +PQRS=TU +PQS@VWXYZ[\ +PQS]^_`abcdTe <fGghij7 gklmno pqrstuj7vwl&'!$(%)%)*3+x ) *+ mno , ) *+ yz{ , # - .+ |}o , ) *+ ~  , ) *+ €  -./01+ | ‚ 23/01+ |ƒ„ -4506+ … † -4578+ ‡ˆ‰ zŠ‹ Œ  #Ž  ‘ ’“” y•– —ƒ ˜ ˆ ™š ›œn Œž Ÿ  yn¡ ¢8 £¤ ¥ ” ¦§¨ z©ª 91-.+ Ÿ«¬ 91:;+ -š­ <=-.+ ®¯ >?-.+ ° ± @ABC+ ²³´ µ45 !¶$ 789: µ·¸ !¶$ 789: #¹Gº»º7 #¼Ÿºj7 #ÀiÁÂÃl%#-!(-")!"-. #¹GÄÅl+PÆÇÈɎÊËÌÍÎ !#" w<fGg;8<=hiÁ #ÏÐhÑl%#%%%. #ÉÒÁÓGÔÕl%#-!#-")!!"- %#-!#-")!"#)µYÖ: #Ó×lØÙFGÉÒÁÅÚÛÜpÝÞÏß3àx #ÏÐÓ×ÔÕl!!!/- #áâãäÓåæÓçèÓ #FGéÜpÝƵÉ:ê@ëìíG #îï_`ðáñwl!$%%%%$%%%!!% #îïòÂÃl%#-!#-")!"-- #FGó&",ôYZõöabcdµ÷øÉùúËûüýþÿWX! !! wx"õ¶#aõ$%&'I¶ØÙFGÉÒòÅÚ() !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 书 ２．６弧长与扇形面积（第一课时） １．（２０２４温州一模）点Ａ，Ｂ，Ｃ在⊙Ｏ上的位置如图 １所示，∠Ａ＝７０°，⊙Ｏ的半径为３，则 ) ＢＣ的长是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．７６π Ｂ． ７ ３π Ｃ． ７ ２π Ｄ．７π ２．把长度为２π的一根铁丝弯成圆心角是１２０°的 一条弧，那么这条弧所在圆的半径是 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ３．（２０２４福州模拟）如图２，四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ， ⊙Ｏ的半径为３，∠Ｄ＝１１５°，则 ) ＡＣ的长是 ． ４．（２０２４惠州二模）在社会实践活动中，小明同学 用一个半径为１２ｃｍ的定滑轮带动重物上升．如图３，滑 轮上一点Ａ绕点Ｏ逆时针旋转１２０°，假设绳索（粗细不 计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 ｃｍ． ５．（２０２４清远三模）如图４，在扇形 ＡＯＢ中，半径 ＯＡ＝９，将扇形ＡＯＢ沿过点Ｂ的直线折叠，点Ｏ恰好落 在 ) ＡＢ上的点Ｄ处，折痕交ＯＡ于点Ｃ，则图中阴影部分 的周长是 ． ６．如图５，元旦快到了，小亮 在图纸上先画了一个边长为６ｃｍ 的正方形，再以该正方形的四个 顶点为圆心、６ｃｍ长为半径作 弧，则图中实线所示的图形轮廓 的长为 ｃｍ． ７．（２０２４保定一模）如图６，ＡＢ是半圆Ｏ的直径，点 Ｐ为半圆上一点（不与点Ｂ重合），点Ｃ是 ) ＰＢ的中点，过 点Ｃ作⊙Ｏ的切线，交ＡＰ的延长线于点Ｄ，交ＡＢ的延 长线于点Ｅ． （１）判断ＡＤ与ＣＤ的位置关系，并说明理由； （２）若ＡＢ＝４，∠ＰＡＢ＝４５°，求 ) ＰＢ与线段ＯＥ的长 度，并比较二者的大小． ２．６弧长与扇形面积（第二课时） １．（２０２４大连一模）已知某扇形弧长为３π，圆心角 为６０°，则该扇形面积为 （　　） Ａ．５２π Ｂ． ７ ２π Ｃ．１７２π Ｄ． ２７ ２π ２．如果两个扇形的半径之比为１∶２，圆心角之比也 为１∶２，那么它们的面积之比为 （　　） Ａ．１∶２ Ｂ．１∶４ Ｃ．１∶１ Ｄ．１∶８ ３．（２０２４昆明二模）如图１，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＣ 为对角线，Ｏ为ＡＣ中点．分别以点Ａ，Ｃ为圆心，以ＡＯ的 长为半径画弧，与正方形的边相交．当ＡＢ＝２时，阴影 部分的面积为 （结果保留π）． ４．（２０２４肇庆一模）如图２，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ ＝９０°，ＡＢ＝ＢＣ，以ＡＢ为直径的⊙Ｏ与ＡＣ相交于点Ｄ． 若ＡＢ＝８，则图中阴影部分的面积是 ． ５．（２０２４邵阳一模）如图３，在圆心角为１３５°的扇 形ＡＯＢ中，半径ＯＡ＝２ｃｍ，Ｃ，Ｄ为弧ＡＢ的三等分点，连 接 ＯＣ，ＯＤ，ＡＣ，ＣＤ，ＢＤ，则图中阴影部分的面积为 ｃｍ２． ６．如图４，四边形ＡＢＣＤ内接于半径为６的⊙Ｏ，ＣＤ 是直径，若 ∠ＡＢＣ ＝１１０°，则扇形 ＡＯＤ的面积为 ． ７．（２０２４临沂一模）如图５，ＣＤ是 ⊙Ｏ的直径，ＡＥ 与⊙Ｏ相切于点Ｂ，连接ＢＣ，ＢＤ，过圆心Ｏ作ＯＥ∥ＢＣ， 连接ＥＢ并延长，交ＤＣ延长线于点Ａ． （１）求证：∠Ｄ＝∠Ｅ； （２）若Ｆ是ＯＥ的中点，⊙Ｏ的半径为２，求阴影部 分的面积． ２．７正多边形与圆 １．（２０２４昭通一模）如图１，正八边形内接于⊙Ｏ， 连接ＯＡ，ＯＢ，则∠ＡＯＢ的度数为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．５５° Ｂ．５０° Ｃ．４５° Ｄ．４０° ２．（２０２４成都三模）半径为２的圆的一个内接正多 边形的内角为１２０°，则这个内接正多边形的边长为 （　　） 槡 槡Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．２３ ３．如图２，已知⊙Ｏ的周长等于６π，则它的内接正 六边形ＡＢＣＤＥＦ的面积是 （　　） Ａ． 槡２７３２ Ｂ． 槡２７３ ４ Ｃ． 槡９３ ４ 槡Ｄ．２７３ ４．（２０２３河北期末）如图３，五边形ＡＢＣＤＥ是⊙Ｏ 的内接正五边形，则∠ＡＥＢ的度数为 ． ５．（２０２４赣州模拟）如图４摆放的两个正六边形的 顶点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在圆上．若 ＡＢ＝１，则该圆的半径为 ． ６．（２０２４苏州模拟）已知ＡＢ是⊙Ｏ的内接正十边 形的一条边，ＢＣ是⊙Ｏ的内接正十五边形的一条边，则 以 ＡＣ为一边的 ⊙Ｏ的内接正多边形的边数是 ． ７．如图５，ＡＢ是⊙Ｏ的弦，ＯＣ⊥ ＡＢ，交⊙Ｏ于点Ｃ．连接ＯＡ，ＯＢ，ＢＣ． 若ＡＢ是 ⊙Ｏ的内接正六边形的一 边，则∠ＡＢＣ的度数为 ． ８．如图６，六边形ＡＢＣＤＥＦ是⊙Ｏ的内接正六边形． （１）求证：在六边形ＡＢＣＤＥＦ中，过顶点 Ａ的三条 对角线四等分∠ＢＡＦ； （２）设⊙Ｏ的面积为Ｓ１，六边形ＡＢＣＤＥＦ的面积为 Ｓ２，求 Ｓ１ Ｓ２ 的值（结果保留π） 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． ! "# ! "# ! " # $ % ! $ 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．（２０２４安徽）扇形 ＡＯＢ的半径为 ６，∠ＡＯＢ＝ １２０°，则 ) ＡＢ的长为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２π Ｂ．３π Ｃ．４π Ｄ．６π ２．（２０２４宿州二模）如图１，四边形ＡＢＣＤ内接于圆 Ｏ，且ＡＢ，ＢＣ都是圆的内接正五边形 ＡＢＣＥＦ的边，则 ∠Ｄ的度数为 （　　） Ａ．４５° Ｂ．５０° Ｃ．６０° Ｄ．７２° ３．（２０２４深圳模拟）每年８月８日为“全民健身日”， 为了认真发展体育运动，增强人民体质，贯彻执行《中华 人民共和国体育法》，网上各种健身项目层出不穷．侧抬 腿运动可以保证全身得到锻炼！如图２是侧抬腿运动的 示意图，已知小敏大腿根部距脚尖 ９０ｃｍ，即 ＯＡ＝ ９０ｃｍ，当其完成图中一次动作时，脚尖划过的轨迹长度 为 （　　） Ａ．４５２πｃｍ Ｂ． ４５ ４πｃｍ Ｃ．４５πｃｍ Ｄ． ４５ ２ｃｍ ４．（２０２４遵义月考）贵州毕节风车草原成为近年来 网红打卡地，云海风车更是吸引着全国各地的游客前来 参观．风车扇叶示意图如图 ３所示，扇叶 ＯＡ的长为 ２０米，当扇叶ＯＡ旋转至ＯＢ位置时，扇叶ＯＡ扫过的面 积为 （　　） Ａ．４０π３ 平方米 Ｂ． ８０π ３ 平方米 Ｃ．４００π３ 平方米 Ｄ． ８００π ３ 平方米 ５．（２０２４昆明三模）如图４，螺母的一个面的外沿可 以看作是正六边形，如果这个正六边形ＡＢＣＤＥＦ的周长 是 槡１８３ｃｍ，则这个正六边形的外接圆半径是 （　　） 槡 槡 槡Ａ．３ｃｍ Ｂ．２３ｃｍ Ｃ．３３ｃｍ Ｄ．６ｃｍ ６．（２０２４凉山模拟）“莱洛三角形”是工业生产中加 工零件时广泛使用的一种图形．如图５，以等边三角形 ＡＢＣ的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧 围成的图形就是“莱洛三角形”．若等边三角形ＡＢＣ的边 长为２，则该“莱洛三角形”的面积等于 （　　） Ａ．２π Ｂ．２π－槡３ Ｃ．２π－ 槡２３ Ｄ．２π＋槡３ ７．（２０２４合肥二模）某仿古墙上原有一个矩形的门 洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外 接于矩形门，如图６．已知矩形的宽为２ｍ，对角线为４ｍ， 则改建后门洞的圆弧长是 （　　） Ａ．（５３π＋２）ｍ Ｂ． １０ ３πｍ Ｃ．８３πｍ Ｄ． ５ ３πｍ ８．（２０２４晋城三模）如图 ７，在 ⊙Ｏ中，Ａ，Ｂ为 ⊙Ｏ上两 点，且 ∠ＡＯＢ＝１２０°，分别以 点Ａ，Ｂ为圆心，ＯＡ长为半径画 圆，将两圆相交的公共部分依 次绕点Ｏ顺时针旋转７２°得到 如图所示的“五叶花瓣”（阴影图案）．若ＯＡ＝１，则图中 “五叶花瓣”的面积为 （　　） Ａ．５π３－ 槡５３ ２ Ｂ． π ６－ 槡３ ４ Ｃ．π－槡３４ Ｄ． 槡５３ ２ － π ６ 二、细心填一填（每小题４分，共２０分） ９．（２０２４哈尔滨三模）一个扇形的面积是２４πｃｍ２， 圆心角是６０°，则此扇形的半径是 ｃｍ． １０．（２０２４泸州一模）如图８，正五边形ＡＢＣＤＥ的边 长为２，以Ｂ为圆心，以ＢＡ为半径作弧ＡＣ，则阴影部分的 面积为 ． １１．传统服饰日益受到关注，明清时期女子主要裙 式之一的马面裙可以近似地看作扇环，如图９所示为其 示意图，其中 ∠ＡＯＤ＝６０°， ) ＡＤ长为 π３米， ) ＢＣ长为 ３π ５米，则裙长ＡＢ为 米． １２．如图１０，已知点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ为一个正多边形的顶 点，Ｏ为正多边形的中心，若 ∠ＡＤＢ＝１５°，则这个正多 边形的边数为 ． １３．如图 １１，正方形 ＡＢＣＤ的边长为 ２，将正方形 ＡＢＣＤ按如图所示方式在直线ｌ进行两次旋转，则点Ｃ在 两次旋转过程中经过的路径的长是 ． 三、耐心解一解（共４８分） １４．（８分）如图１２，已知⊙Ｏ内接正六边形ＡＢＣＤＥＦ 的边长为６ｃｍ，求这个正六边形的边心距ｒ６、面积Ｓ６． １５．（２０２４亳州二模，８分）如图１３，在△ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ＡＣ＝６，∠ＢＡＣ＝４５°，以ＡＢ为直径作半圆，交ＢＣ于 点Ｄ，交ＡＣ于点Ｅ． （１）求线段ＣＥ的长； （２）求弧ＤＥ的长． １６．（２０２４信阳二模，１０分）某数学小组使用量角器 探究圆的相关性质，如图１４所示，将两块量角器完全重 合在一起（量角器的直径为ＡＢ，圆心为Ｏ），保持下面一 块不动，上面的一块沿ＡＢ所在的直线向左平移，当圆心 与点Ａ重合时，量角器停止平移，此时半圆Ｏ与半圆Ａ交 于点Ｐ，连接ＢＰ． （１）ＢＰ与半圆Ａ有怎样的位置关系？请说明理由． （２）若量角器的直径ＡＢ＝４，求图中阴影部分的面 积． １７．（２０２４武汉，１０分）如图１５，ＡＢ是⊙Ｏ的直径， ＡＴ是⊙Ｏ的切线，ＢＴ交⊙Ｏ于另一点Ｄ，且ＴＤ＝ＢＤ． （１）求证：∠ＡＢＴ＝４５°； （２）若Ｅ为 ) ＡＤ的中点，ＡＢ＝２，连接ＢＥ，求 ) ＤＥ的长 及阴影部分的面积． １８．（１２分）如图１６－①，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＡＢ＝８， 点Ｃ在⊙Ｏ上且位于直线ＡＢ上方，将半径ＯＣ绕点Ｏ顺 时针旋转４０°，点Ｃ的对应点为点Ｄ，连接ＣＤ，ＢＤ． （１）以 ＣＤ为边的 ⊙Ｏ内接正多边形的边数为 ； （２）当直径ＡＢ平分∠ＣＯＤ时，求 ) ＡＣ的长； （３）如图１６－②，连接ＡＣ并延长，交ＢＤ的延长线 于点Ｅ，当△ＡＢＥ是等腰三角形时，直接写出扇形 ＡＯＤ 的面积                                                                                                                                                                 ． 书 ∠ＯＡＤ＋∠ＥＡＤ＝９０°．因 为 ∠ＤＩＡ ＝ ∠ＡＢＤ ＋ ∠ＢＡＯ＝∠ＣＡＤ＋∠ＣＡＯ ＝∠ＤＡＩ，所以ＩＤ＝ＡＤ，因 为 ∠ＤＩＡ＋∠Ｅ ＝９０°， ∠ＤＡＩ＋∠ＤＡＥ＝９０°，所 以∠Ｅ＝∠ＤＡＥ，所以 ＥＤ ＝ＡＤ，所以ＩＤ＝ＥＤ，所以 点Ｄ是ＩＥ的中点． １８．（１）证明：因为ＡＤ 平分 ∠ＢＡＣ，所以 ∠ＢＡＤ ＝∠ＣＡＤ，因为 ∠ＣＢＤ＝ ∠ＣＡＤ，所 以 ∠ＢＡＤ ＝ ∠ＤＢＣ． （２）证明：连接ＣＤ，因 为∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ，所以 ) ) ＢＤ＝ＣＤ，所以ＢＤ＝ＤＣ， 因为ＢＥ平分∠ＡＢＣ，所以 ∠ＡＢＥ ＝ ∠ＥＢＣ．因 为 ∠ＥＢＤ ＝ ∠ＤＢＣ ＋ ∠ＥＢＣ，∠ＢＥＤ＝∠ＤＡＢ＋ ∠ＡＢＥ，由（１）知∠ＢＡＤ＝ ∠ＤＢＣ，所以 ∠ＥＢＤ ＝ ∠ＢＥＤ，所以 ＤＢ＝ＤＥ，所 以ＤＢ＝ＤＥ＝ＤＣ，所以点 Ｂ，Ｅ，Ｃ在以点Ｄ为圆心的 同一个圆上． （３）连接ＯＢ，设ＡＤ与 ＢＣ相交于点Ｈ，因为ＡＢ＝ ＡＣ，ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ，所以 ＡＤ⊥ ＢＣ，所以 ＢＨ ＝ １ ２ＢＣ ＝４，所以 ＡＨ ＝ ＡＢ２－ＢＨ槡 ２ ＝３．设 ＯＢ ＝ｘ，则ＯＡ＝ＯＤ＝ＯＢ＝ ｘ，ＯＨ＝ＯＡ－ＡＨ＝ｘ－３， 在 Ｒｔ△ＢＨＯ 中，ＯＢ２ ＝ ＢＨ２＋ＯＨ２，即ｘ２＝４２＋（ｘ －３）２，解得ｘ＝２５６，即ＯＡ ＝ＯＤ＝ＯＢ＝２５６．因为 ＡＤ为⊙Ｏ的直径，所以ＡＤ ＝２ＯＡ＝２５３，在Ｒｔ△ＡＢＤ 中，因为 ∠ＡＢＤ＝９０°，所 以 ＢＤ＝ ＡＤ２－ＡＢ槡 ２ ＝ ２０ ３，所以ＤＥ＝ＢＤ＝ ２０ ３， 所以ＯＥ＝ＤＥ－ＯＤ＝５２． 因为∠ＢＡＣ与∠ＡＢＣ的角 平分线相交于点Ｅ，所以点 Ｅ为 △ＡＢＣ的内心，所以 ＯＥ的长即为 △ＡＢＣ内心 与外心之间的距离，所以 △ＡＢＣ内心与外心之间的 距离为 ５ ２． 上期４版 重点集训营 １．（１）连接ＯＰ，作ＯＰ 的垂线交ＯＰ于点Ｏ′，以Ｏ′ 为圆心，Ｏ′Ｐ为半径画圆， 连接ＰＥ，ＰＦ即可．图略． （２）证明：连接 ＯＥ， ＯＦ，因为 ＯＰ为直径，所以 ∠ＰＥＯ＝∠ＰＦＯ＝９０°，即 ＯＥ⊥ＰＥ，ＯＦ⊥ ＰＦ．因为 ＯＥ，ＯＦ是 ⊙Ｏ的半径，所 以ＰＥ，ＰＦ是⊙Ｏ的切线． ２．（１）证明：连接ＯＤ， 因为ＡＢ为⊙Ｏ的直径，所 以∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ＝９０°． 因为 ∠ＡＣＢ的平分线交 ⊙Ｏ于点Ｄ，所以∠ＡＣＤ＝ ∠ＢＣＤ＝４５°，所以∠ＤＡＢ ＝∠ＡＢＤ ＝４５°，所以 △ＤＡＢ是等腰直角三角 形．因为ＯＡ＝ＯＢ，所以ＯＤ ⊥ ＡＢ，所 以 ∠ＯＤＢ ＝ ∠ＤＣＢ＝４５°，因为∠ＢＤＥ ＝∠ＤＣＥ，所以 ∠ＢＤＥ＝ ４５°，所以∠ＯＤＥ＝９０°，因 为ＯＤ是⊙Ｏ的半径，所以 ＤＥ是⊙Ｏ的切线． （２）ＢＤ的长为 槡５２２．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