专题02 有理数（考点清单，17个考点梳理+16种题型解读）（期末复习知识清单）六年级数学上学期新教材鲁教版五四制

专题02 有理数 （17个考点梳理+16种题型解读） 【清单01】负数的概念 ◆具有相反意义的两个量，其中一种意义的量规定为正(+)，另一种与之相反的量规定为负(-). 【清单02】有理数的分类 【清单03】数轴 ◆1、规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴. ◆2、利用数轴比较大小：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。 正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 两个负数，绝对值大的反而小. 【清单04】绝对值 ◆1、在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离，就叫做这个 数的绝对值。 ◆2、一个正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0。 【清单05】相反数 ◆1、只有符号不同，绝对值相等的两个数互为相反数。 ◆2、多重符号的化简：奇负偶正。 【清单06】有理数的加法法则 1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 2、异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并较大 的绝对值减去较小的绝对值；绝对值相等时，和为0。 3、一个数和0相加，仍得这个数。 【清单07】有理数加法运算律 加法的交换律：a+b=b+a 加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 【清单08】有理数的减法法则 ◆1、减去一个数，等于加上这个数的相反数. 用字母表示为: a - b = a + (-b). ◆2、任何数减0等于这个数本身，0减任何数等于这个数的相反数。 【清单09】有理数的加减混合运算步骤 1.将减法转化为加法运算； 2.运用加法交换律和结合律,可以简便计算就简便计算； 3.按有理数加法法则计算． 【清单10】有理数乘法法则 ◆1、两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘. ◆2、几个不为0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定.     当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正.（奇负偶正） ◆3、几个数相乘,有一个因数为0,积为0. ◆4、任何数和1相乘，结果等于它本身；任何数和-1相乘，结果等于它的相反数. 【清单11】倒数 ◆如果两个有理数的乘积为1 ,我们称这两个有理数互为倒数. ①0没有倒数；②负数的倒数也是负数，-1的倒数是它本身. 【清单12】有理数的乘法运算律 ◆1、乘法交换律：ab＝ba. ◆2、乘法结合律：(ab)c＝a(bc). ◆3、分配律：a×(b+c)= a×b + a×c 【清单13】有理数除法法则 · 法则（一） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以任何一个不为0的数，仍得0，0不能做除数. · 法则（二） 除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数. 【清单14】有理数的乘方 求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在乘方运算an中，a叫做底数，n叫做a的幂的指数，简称指数. 【清单15】有理数的乘方的符号法则 正数的任何次乘方都取正号; 负数的奇次乘方取负号,负数的偶次乘方取正号． 【清单16】科学记数法 一个绝对值大于10的数可记成±a×10n的形式，其中1≤a<10，n等于原数的整数位数减1. 【清单17】近似数 取近似数的方法 ：四舍五入法 【考点题型一】负数的概念 【例1】（24-25七年级上·四川宜宾·期中）在，，，，中，负数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】（2024七年级上·全国·专题练习）鸡蛋的最佳孵化温度是在，如果低于最佳孵化温度记作，那么高于最佳孵化温度应该记作（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024七年级上·全国·专题练习）在下列选项中，具有相反意义的量是（   ） A．向南走50米和向西走50米 B．升高了7米与下降了9米 C．盈利了100元和支出了100元 D．零上5摄氏度和零上10摄氏度 【考点题型二】有理数的分类 【例2】（24-25七年级上·宁夏中卫·期中）把下列各数分别填在表示它所属的括号里： ，，，，，， (1)正有理数：{______} (2)整数：{______} (3)负分数：{______} 【变式2-1】（2024七年级上·全国·专题练习）把下列各数填在相应的集合内： ，，，，，，，，，，，，（每两个之间依次多一个）． 正有理数集合：{   }； 负数集合：{   }； 整数集合：{   }； 分数集合：{   }． 【变式2-2】（2024七年级上·云南·专题练习）把下列各数填在相应的集合内： ，，，0，，1000，，4，，，，，（每两个3之间依次多一个1）． 正有理数集合：{   …}； 负数集合： {   …}； 整数集合： {   …}； 分数集合： {   …}． 【考点题型三】用数轴上的点表示有理数 【例3】（2024七年级上·全国·专题练习）在数轴上表示数，，，，的点中，在原点右边的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3-1】（24-25七年级上·山东菏泽·期中）画出数轴，用数轴上的点表示下列各数，并把这些数用“”连接起来． ，，，， 【考点题型四】绝对值、相反数、倒数的概念 【例4】（24-25九年级上·山东东营·阶段练习）数的相反数为，则的值为（   ） A． B． C． D．5 【变式4-1】（2024七年级上·全国·专题练习）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，，求的值． 【变式4-2】 填空： （1）的相反数是 ，倒数是 ； （2）的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 ． 【变式4-3】（24-25七年级上·河南鹤壁·阶段练习）2024年，中华人民共和国迎来75周年华诞．请问2024的相反数是（    ） A．2024 B． C． D． 【考点题型五】多重符号的化简 【例5】（24-25七年级上·全国·课后作业）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）_______； （2）_______； （3）_______； （4）_______； （5）_______； （6）_______． 问：①当的前面有2024个负号时，化简后的结果是_______； ②当的前面有2025个负号时，化简后的结果是_______； 由①②你能总结出什么规律？ 【变式5-1】（2024七年级上·黑龙江·专题练习）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________； （5）________； 问： ①当的前面有2024个负号时，化简后的结果是________； ②当的前面有2025个负号时，化简后的结果是________； 由①②你能总结出什么规律？ 【变式5-2】化简下列各数： ① ； ② ； ③ ； ④ ． 【考点题型六】有理数比较大小 【例6】（2024七年级上·全国·专题练习）有理数，，，按从小到大的顺序为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25七年级上·广东茂名·期中）在数轴上表示下列各数，并把下列各数用“”号连接起来． ， ， ， ， 0． 【变式6-2】（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）下列比较大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型七】有理数加法运算律 【例7】（2024七年级上·全国·专题练习）计算的结果为（　　） A． B． C．49 D．50 【变式7-1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列算式中，没有运用加法交换律的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024七年级上·全国·专题练习）学科素养·阅读理解，阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 【考点题型八】有理数加减混合运算 【例8】（24-25七年级上·贵州·期中）下面是小强同学计算的过程，请阅读并完成相应任务． 解： ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 (1)第一步的依据是 （填运算律），第二步的依据是 （填运算律） (2)第 步开始出现错误． (3)写出正确的解答过程． 【变式8-1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 【考点题型九】有理数乘法运算律 【例9】（2024七年级上·云南·专题练习）利用分配律计算时，正确的方案可以是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2024七年级上·全国·专题练习），这是为了运算简便而使用（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和结合律 17．（2024七年级上·云南·专题练习）算式利用了（  ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．加法交换律 D．乘法分配律 【考点题型十】有理数乘除混合运算 【例10】（24-25七年级上·河北保定·期中）下列计算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2024六年级上·上海·专题练习）计算的结果为（   ） A．1 B． C．7 D．343 【变式10-2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 【考点题型十一】有理数的乘方运算 【例11】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）下列各对数中，相等的一对是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式11-1】（24-25七年级上·广西柳州·阶段练习）若，则 ． 【变式11-2】（2024七年级上·全国·专题练习）（衡水期末）已知，互为相反数，，互为倒数，，则的值为 ． 【考点题型十二】有理数混合运算 【例12】（24-25七年级上·广东江门·期中）计算： (1) (2) 【变式12-1】（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）计算： 【变式12-2】（24-25八年级上·四川遂宁·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【考点题型十三】有理数的实际应用 【例13】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）有20箱香蕉，以每箱15千克为标准，超过15千克的数记为正数，不足15千克的数记为负数，称重记录如下： 与标准质量的差（千克） 0 箱数（箱） 2 1 5 2 4 2 4 (1)求这20箱香蕉的总质量； (2)若甲商户购入这批香蕉的批发价是5元/千克，原定售价是8元/千克，实际出售时按原价的九折出售，则甲商户出售这20箱香蕉共盈利多少元？ 【变式13-1】（24-25七年级上·四川宜宾·期中）黄金梨是特色农产品之一．某农户“十一”当大采摘筐黄金梨，以每筐千克为标准，超过标准的质量记作正数，不足标准的质量记作负数，称量记录如表：（单位：千克），，，，， ． (1)这筐黄金梨中，最重的一筐比最轻的一筐重______千克； (2)这筐黄金梨总共重多少？ . 【变式13-2】（24-25七年级上·四川眉山·期中）电动车厂某周5天（周六、周日休息）计划生产辆电动车，平均每天生产电动车辆，由于各种原因，实际每天的生产量与计划每天的生产量相比有出入，下表是该周的实际生产情况（超产记为正、减产记为负，单位：辆）： 星期 一 二 三 四 五 减增 (1)该厂星期一生产电动车______辆； (2)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产电动车______辆； (3)该厂实行计件工资制，每生产一辆电动车可得元，那么该厂工人这周的工资总额是多少元？ 【考点题型十四】科学记数法 【例14】（24-25七年级上·广东江门·期中）5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上，这意味着下载一部高清电影只需要1秒．将1300000用科学记数法表示应为（   ）． A． B． C． D． 【变式14-1】（江苏省淮安市开明集团2024-2025学年上学期12月八校联考八年级数学试卷）祖国江山美丽如画，淮安风光多姿多彩．“五一”期间，全国各地众多游客前往河下古镇旅游，共接待游客约1665000人次．将1665000用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）2024年安徽夏粮总产量万吨，其中万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【考点题型十五】近似数 【例15】（24-25七年级上·辽宁大连·期中）由四舍五入得到的近似数为，是精确到（   ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．万分位 【变式15-1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列关于近似数的说法： ①近似数精确到十分位； ②近似数万精确到； ③近似数和近似数的精确度相同． 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【考点题型十六】数轴和绝对值的动点综合问题 【例16】（24-25七年级上·山东临沂·期中）如图，把一根木棒放在数轴上，数轴的个单位长度为，木棒的左端点与数轴上的点重合，右端点与数轴上的点重合．    【问题探究】 （1）若将木棒沿数轴水平向右移动，则当它的左端点移动到点处时，它的右端点在数轴上对应的数为；若将木棒沿数轴水平向左移动，则当它的右端点移动到点处时，它的左端点在数轴上对应的数为，由此可得到木棒的长为多少？ （2）图中点表示的数为____，点表示的数为___； 【问题解决】 （3）根据（1）（2），请你借助“数轴”这个工具帮助轩轩解决如下问题； 一天，轩轩问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在的年龄． 【变式16-1】（24-25七年级上·陕西榆林·期中）如图，已知点，，是数轴上三点，为原点．点表示的数为3，点与点之间的距离为2，点与点之间的距离为6． 【问题提出】 （1）点表示的数是________，点表示的数是________； 【问题探究】 （2）动点，分别同时从点，处出发，分别以每秒8个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点在点和点之间，且点到点的距离与点到点的距离相等，点在点和点之间，且点到点之间的距离是点到点之间距离的4倍，当运动时间为时，用含的代数式表示点，对应的数； 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，点到点之间的距离是否与的大小有关？若有关，用含的代数式表示点到点之间的距离；若无关，请求出点到点之间的距离． 【变式16-2】（2024七年级上·全国·专题练习）【阅读材料】数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如：表示与的差的绝对值，实际上也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似的，表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．一般地，，两点在数轴上表示有理数，，那么，两点之间的距离表示为． 【解决问题】如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，，数轴上另一个点表示的数为，试探索： （1）点，之间的距离______；折叠数轴，使得点与点重合，则表示的点与表示______的点重合； （2）若，则______； 【联系拓广】 （3）若点在，两点之间，则______；若，则点表示的数为______；由此可得：点到，两点的距离之和最小时，若点表示的数为整数，则这样的点有______个． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 有理数 （17个考点梳理+16种题型解读） 【清单01】负数的概念 ◆具有相反意义的两个量，其中一种意义的量规定为正(+)，另一种与之相反的量规定为负(-). 【清单02】有理数的分类 【清单03】数轴 ◆1、规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴. ◆2、利用数轴比较大小：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。 正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 两个负数，绝对值大的反而小. 【清单04】绝对值 ◆1、在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离，就叫做这个 数的绝对值。 ◆2、一个正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0。 【清单05】相反数 ◆1、只有符号不同，绝对值相等的两个数互为相反数。 ◆2、多重符号的化简：奇负偶正。 【清单06】有理数的加法法则 1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 2、异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并较大 的绝对值减去较小的绝对值；绝对值相等时，和为0。 3、一个数和0相加，仍得这个数。 【清单07】有理数加法运算律 加法的交换律：a+b=b+a 加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 【清单08】有理数的减法法则 ◆1、减去一个数，等于加上这个数的相反数. 用字母表示为: a - b = a + (-b). ◆2、任何数减0等于这个数本身，0减任何数等于这个数的相反数。 【清单09】有理数的加减混合运算步骤 1.将减法转化为加法运算； 2.运用加法交换律和结合律,可以简便计算就简便计算； 3.按有理数加法法则计算． 【清单10】有理数乘法法则 ◆1、两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘. ◆2、几个不为0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定.     当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正.（奇负偶正） ◆3、几个数相乘,有一个因数为0,积为0. ◆4、任何数和1相乘，结果等于它本身；任何数和-1相乘，结果等于它的相反数. 【清单11】倒数 ◆如果两个有理数的乘积为1 ,我们称这两个有理数互为倒数. ①0没有倒数；②负数的倒数也是负数，-1的倒数是它本身. 【清单12】有理数的乘法运算律 ◆1、乘法交换律：ab＝ba. ◆2、乘法结合律：(ab)c＝a(bc). ◆3、分配律：a×(b+c)= a×b + a×c 【清单13】有理数除法法则 · 法则（一） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以任何一个不为0的数，仍得0，0不能做除数. · 法则（二） 除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数. 幂 指数 底数 【清单14】有理数的乘方 求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在乘方运算an中，a叫做底数，n叫做a的幂的指数，简称指数. 【清单15】有理数的乘方的符号法则 正数的任何次乘方都取正号; 负数的奇次乘方取负号,负数的偶次乘方取正号． 【清单16】科学记数法 一个绝对值大于10的数可记成±a×10n的形式，其中1≤a<10，n等于原数的整数位数减1. 【清单17】近似数 取近似数的方法 ：四舍五入法 【考点题型一】负数的概念 【例1】（24-25七年级上·四川宜宾·期中）在，，，，中，负数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了负数的概念，熟练掌握负数的概念是解答本题的关键．先正确计算以后再进行判断． 【详解】解：，，， 所以负数有：，，，一共个， 故选：B． 【变式1-1】（2024七年级上·全国·专题练习）鸡蛋的最佳孵化温度是在，如果低于最佳孵化温度记作，那么高于最佳孵化温度应该记作（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的应用，掌握正负数是表示相反意义的量是解题的关键．根据正负数是表示相反意义的量，再结合题意表示即可． 【详解】解：根据题意，如果低于最佳孵化温度记作，那么高于最佳孵化温度记作． 故选：C． 【变式1-2】（2024七年级上·全国·专题练习）在下列选项中，具有相反意义的量是（   ） A．向南走50米和向西走50米 B．升高了7米与下降了9米 C．盈利了100元和支出了100元 D．零上5摄氏度和零上10摄氏度 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：A.向南与向北具有相反意义，向南走50米和向西走50米，不具有相反意义，故该选项不正确，不符合题意； B. 升高了7米与下降了9米，具有相反意义，故该选项正确，符合题意； C. 盈利与亏损具有相反意义，盈利了100元和支出了100元，不具有相反意义，故该选项不正确，不符合题意；     D. 零上与零下具有相反意义，零上5摄氏度和零上10摄氏度，不具有相反意义，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【考点题型二】有理数的分类 【例2】（24-25七年级上·宁夏中卫·期中）把下列各数分别填在表示它所属的括号里： ，，，，，， (1)正有理数：{______} (2)整数：{______} (3)负分数：{______} 【答案】(1)，，9 (2)0，，9 (3)， 【分析】本题主要考查整数，负分数，正有理数．根据有理数的分类进行作答即可． 【详解】（1）解：正有理数{，，9，…}； （2）解：整数{0，，9，…}； （3）解：负分数：{，，…}． 【变式2-1】（2024七年级上·全国·专题练习）把下列各数填在相应的集合内： ，，，，，，，，，，，，（每两个之间依次多一个）． 正有理数集合：{   }； 负数集合：{   }； 整数集合：{   }； 分数集合：{   }． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．有理数通常可分类如下： 根据有理数的分类把各数填在相应的集合内即可． 【详解】解：正有理数集合：{，，，，}； 负数集合：{，，，，}； 整数集合：{，，，，}； 分数集合：{，，，，，}． 【变式2-2】（2024七年级上·云南·专题练习）把下列各数填在相应的集合内： ，，，0，，1000，，4，，，，，（每两个3之间依次多一个1）． 正有理数集合：{   …}； 负数集合： {   …}； 整数集合： {   …}； 分数集合： {   …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类“整数和分数统称为有理数，分数包括正分数和负分数，整数包括正整数、负整数和0”，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据大于0的有理数是正有理数，小于0的数是负数，整数包括正整数、负整数和0，分数包括正分数和负分数求解即可得． 【详解】解：正有理数集合：； 负数集合：； 整数集合：； 分数集合：． 【考点题型三】用数轴上的点表示有理数 【例3】（2024七年级上·全国·专题练习）在数轴上表示数，，，，的点中，在原点右边的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，熟记数轴上数的特点是解题的关键，根据数轴上原点右边的数是正数解答 【详解】解∶在数轴上原点右边的数是正数，正数有，，所以有个． 故选：B． 【变式3-1】（24-25七年级上·山东菏泽·期中）画出数轴，用数轴上的点表示下列各数，并把这些数用“”连接起来． ，，，， 【答案】，数轴表示各数见解析 【分析】此题考查了利用数轴上的点表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，正确在数轴上表示各有理数是解题的关键．利用数轴上数的大小关系分别表示各数即可． 【详解】解：用数轴上的点表示各数如下： 用“”连接：． 【考点题型四】绝对值、相反数、倒数的概念 【例4】（24-25九年级上·山东东营·阶段练习）数的相反数为，则的值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了相反数，解题的关键是掌握只有符号不同的两个数是相反数．根据相反数的定义即可进行解答． 【详解】解：∵数的相反数为， ∴， 故选：D． 【变式4-1】（2024七年级上·全国·专题练习）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，，求的值． 【答案】21或31 【分析】本题考查了相反数、绝对值、有理数的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据相反数、倒数、绝对值的性质可得，，，再代入原式计算即可． 【详解】解：、b互为相反数， ， 、d互为倒数， ， ， ， 当时，原式； 当时，原式； 综上所述，的值为21或31． 【变式4-2】 填空： （1）的相反数是 ，倒数是 ； （2）的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值的定义等知识点，掌握相关定义成为解题的关键． （1）根据相反数、倒数的定义即可解答； （2）根据相反数、倒数、绝对值的定义即可解答． 【详解】解：（1）的相反数是，倒数是； 故答案为：，． （2）的相反数是，倒数是，绝对值是． 故答案为：、、． 【变式4-3】（24-25七年级上·河南鹤壁·阶段练习）2024年，中华人民共和国迎来75周年华诞．请问2024的相反数是（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：2024的相反数是； 故选B． 【考点题型五】多重符号的化简 【例5】（24-25七年级上·全国·课后作业）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）_______； （2）_______； （3）_______； （4）_______； （5）_______； （6）_______． 问：①当的前面有2024个负号时，化简后的结果是_______； ②当的前面有2025个负号时，化简后的结果是_______； 由①②你能总结出什么规律？ 【答案】（1）2；（2）；（3）；（4）3.5；（5）5；（6）； ①5；②5 总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数；一个数的前面有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 【分析】本题考查了化简多重符号，根据化简多重符号的运算法则计算即可得解，根据题意得出规律是解此题的关键． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； 问：①当的前面有2024个负号时，化简后的结果是5； ②当的前面有2025个负号时，化简后的结果是5； 总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数；一个数的前面有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 【变式5-1】（2024七年级上·黑龙江·专题练习）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________； （5）________； 问： ①当的前面有2024个负号时，化简后的结果是________； ②当的前面有2025个负号时，化简后的结果是________； 由①②你能总结出什么规律？ 【答案】（1）2；（2）；（3）；（4）3.5；（5）5；①5；②；总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数；一个数的前面有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 【分析】本题考查化简多重符号，熟练掌握相反数的定义，负号的个数奇负偶正，是解题的关键： （1）（2）（3）（4）（5）根据相反数的定义，化简多重符号即可； ①②根据负号的个数，求解即可，根据结果，总结出规律即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； ①当的前面有2024个负号时，化简后的结果是5； ②当的前面有2025个负号时，化简后的结果是； 总结：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数；一个数的前面有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 【变式5-2】化简下列各数： ① ； ② ； ③ ； ④ ． 【答案】①8；②；③；④3.8 【分析】利用化简多重符号的方法即可求解． 【详解】解：①； ②； ③； ④． 【点睛】本题考查了相反数的意义，熟练掌握化简多重符号的方法是解题的关键． 【考点题型六】有理数比较大小 【例6】（2024七年级上·全国·专题练习）有理数，，，按从小到大的顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，乘方运算，化简绝对值；先化简各数，然后比较大小，即可求解． 【详解】解：；；， 因为， 所以． 故选D． 【变式6-1】（24-25七年级上·广东茂名·期中）在数轴上表示下列各数，并把下列各数用“”号连接起来． ， ， ， ， 0． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了绝对值、数轴和比较有理数的大小等知识，熟练掌握有理数的基本知识是解题的关键．先化简，再在数轴上表示，然后即可比较大小． 【详解】解：， 如图： ． 大小关系如下：． 【变式6-2】（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）下列比较大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数大小比较，有理数的乘方．首先把各数进行化简，再利用有理数的比较大小的法则进行比较即可． 【详解】解：A、，，则，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，，则，本选项符合题意； 故选：D． 【考点题型七】有理数加法运算律 【例7】（2024七年级上·全国·专题练习）计算的结果为（　　） A． B． C．49 D．50 【答案】A 【分析】本题考查有理数加法运算，利用结合律恒等变形，逐个求解即可得到简便运算方法，熟练掌握有理数加法运算法则及运算律是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式7-1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列算式中，没有运用加法交换律的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查加法交换律，熟记加法交换律的定义逐项判断是解决问题的关键． 【详解】解：A、B、D三个选项中的运算运用了加法交换律，C选项中的运算没有运用加法交换律， 故选：C． 【变式7-2】（2024七年级上·全国·专题练习）学科素养·阅读理解，阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法交换律及结合律，熟练掌握有理数的加法交换律及结合律是解题的关键，把变形为，再利用有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【考点题型八】有理数加减混合运算 【例8】（24-25七年级上·贵州·期中）下面是小强同学计算的过程，请阅读并完成相应任务． 解： ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 (1)第一步的依据是 （填运算律），第二步的依据是 （填运算律） (2)第 步开始出现错误． (3)写出正确的解答过程． 【答案】(1)加法交换律，加法的结合律； (2)三； (3)详见解析 【分析】（）根据材料提示的计算方法，可得第一步运用是的加法交换律，第二步是加法的结合律； （）根据有理数的减法运算可得第三步出错了； （）根据有理数的加减运算即可求解； 本题主要考查了有理数的加减运算法则，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：根据材料提示的运算方法可得，第一步运用是的加法交换律，第二步是加法的结合律， 故答案为：加法交换律，加法的结合律； （2）解：第二步中，，第三步中为， ∴第三步开始出错， 故答案为：三； （3）解： ， ， ， ． 【变式8-1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】0 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算、有理数加法的运算律等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先化减为加，然后再运用有理数加法运算律进行简便运算即可． 【详解】解： ． 【考点题型九】有理数乘法运算律 【例9】（2024七年级上·云南·专题练习）利用分配律计算时，正确的方案可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据带分数的意义解答即可． 【详解】解：． 故选：A． 【变式9-1】（2024七年级上·全国·专题练习），这是为了运算简便而使用（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和结合律 【答案】D 【分析】本题考查的是乘法的交换律与乘法的结合律，熟练的使用乘法的运算律进行简便运算是解本题的关键．在变形过程中交换了因数的位置，所以使用了乘法的交换律，再把，与先乘，使用了乘法的结合律，从而可得答案． 【详解】在， 运算过程中，使用了乘法交换律和结合律． 故选：D． 17．（2024七年级上·云南·专题练习）算式利用了（  ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．加法交换律 D．乘法分配律 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘法分配律，熟知有理数乘法分配律的定义是解题的关键． 乘法分配律的概念为：两个数的和乘另一个数，等于把这个数分别同两个加数相乘，再把两个积相加，得数不变，用字母表示：，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，算式运用了乘法分配律， 故选：D． 【考点题型十】有理数乘除混合运算 【例10】（24-25七年级上·河北保定·期中）下列计算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较，有理数的混合运算，先根据相关运算法则进行逐项计算，再比较各个选项的大小，即可作答． 【详解】解：A、， B、 C、 D、， ∵， ∴， ∴计算结果最小的是C选项， 故选：C． 【变式10-1】（2024六年级上·上海·专题练习）计算的结果为（   ） A．1 B． C．7 D．343 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，根据有理数的运算法则和运算顺序进行计算即可求解． 【详解】解： ； 故选：D． 【变式10-2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 利用有理数的乘法运算律求解即可． 【详解】解：原式 ． 【考点题型十一】有理数的乘方运算 【例11】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）下列各对数中，相等的一对是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方运算，绝对值．分别进行乘方运算或计算绝对值，进行判断即可． 【详解】解：A、，，则与相等，本选项符合题意； B、，，则与不相等，本选项不符合题意； C、，，则与不相等，本选项不符合题意； D、，，则与不相等，本选项不符合题意； 故选：A． 【变式11-1】（24-25七年级上·广西柳州·阶段练习）若，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，有理数的乘方运算．根据非负性得到与的值后，代入运算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：9． 【变式11-2】（2024七年级上·全国·专题练习）（衡水期末）已知，互为相反数，，互为倒数，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相反数，绝对值，倒数，平方的概念及性质：根据互为相反的两个数和为0，，互为倒数的两个数的积为1直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵，互为相反数，，互为倒数，， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点题型十二】有理数混合运算 【例12】（24-25七年级上·广东江门·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（）根据有理数的运算法则计算即可求解； （）根据有理数的运算法则和运算律计算即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式12-1】（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则和运算顺序进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式12-2】（24-25八年级上·四川遂宁·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1)1 (2)3 (3)20 (4) (5) (6)0 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）先计算乘除，然后计算加减； （3）首先将除法转化成乘法，然后利用乘法运算律求解即可； （4）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （5）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （6）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【考点题型十三】有理数的实际应用 【例13】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）有20箱香蕉，以每箱15千克为标准，超过15千克的数记为正数，不足15千克的数记为负数，称重记录如下： 与标准质量的差（千克） 0 箱数（箱） 2 1 5 2 4 2 4 (1)求这20箱香蕉的总质量； (2)若甲商户购入这批香蕉的批发价是5元/千克，原定售价是8元/千克，实际出售时按原价的九折出售，则甲商户出售这20箱香蕉共盈利多少元？ 【答案】(1)这20箱香蕉的总质量为301千克 (2)甲商户出售这20箱香蕉共盈利662.2元 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，掌握正负数的意义，正确的列出算式，是解题的关键： （1）利用标准质量加上超出或不足的总质量进行求解即可； （2）用单件利润乘以总销量，进行计算即可． 【详解】（1）解：（千克）； 答：这20箱香蕉的总质量为301千克； （2）（元）； 答：甲商户出售这20箱香蕉共盈利662.2元． 【变式13-1】（24-25七年级上·四川宜宾·期中）黄金梨是特色农产品之一．某农户“十一”当大采摘筐黄金梨，以每筐千克为标准，超过标准的质量记作正数，不足标准的质量记作负数，称量记录如表：（单位：千克），，，，， ． (1)这筐黄金梨中，最重的一筐比最轻的一筐重______千克； (2)这筐黄金梨总共重多少？ 【答案】(1)7 (2)千克 【分析】本题主要考查了正负数在实际生活中的应用，有理数的混合运算的应用，有理数减法的应用，熟练掌握有理数的混合运算的法则和运算律是解题的关键． （1）利用最重的一筐的质量减去最轻的一箱的质量即可； （2）利用各框的记录质量的和加上即可． 【详解】（1）这筐黄金梨中， 最重的为（千克）， 最轻的为（千克）， （千克）， 最重的一筐比最轻的一筐重千克． （2） （千克）， 这筐黄金梨总共重千克． . 【变式13-2】（24-25七年级上·四川眉山·期中）电动车厂某周5天（周六、周日休息）计划生产辆电动车，平均每天生产电动车辆，由于各种原因，实际每天的生产量与计划每天的生产量相比有出入，下表是该周的实际生产情况（超产记为正、减产记为负，单位：辆）： 星期 一 二 三 四 五 减增 (1)该厂星期一生产电动车______辆； (2)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产电动车______辆； (3)该厂实行计件工资制，每生产一辆电动车可得元，那么该厂工人这周的工资总额是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)该厂工人这周的工资总额元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用等知识，理解正负数的意义并灵活运用加法运算律是解题的关键． （1）计划每天生产的电动车数与星期一增减数的和即可星期一实际生产的电动车数； （2）生产量最多的是星期四，生产量最少的是星期五，两者的差即是生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产电动车的辆数； （3）计算出实际生产的电动车辆数，由每生产一辆电动车可得元，则可计算该厂工人这周的工资总额． 【详解】（1）（辆）， ∴该厂星期一生产电动车辆． （2）由表格可知，生产量最多的是星期四，生产量最少的是星期五， 其中星期四生产了（辆）， 星期五生产了（辆）， ∵（辆）， ∴生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产电动车辆． （3）一周实际生产（辆）， ∵每生产一辆电动车可得元， ∴该厂工人这周的工资总额为（元）． 【考点题型十四】科学记数法 【例14】（24-25七年级上·广东江门·期中）5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上，这意味着下载一部高清电影只需要1秒．将1300000用科学记数法表示应为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此解答即可． 【详解】解：将1300000用科学记数法表示为． 故选：C． 【变式14-1】（江苏省淮安市开明集团2024-2025学年上学期12月八校联考八年级数学试卷）祖国江山美丽如画，淮安风光多姿多彩．“五一”期间，全国各地众多游客前往河下古镇旅游，共接待游客约1665000人次．将1665000用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意的形式，以及指数的确定方法．根据，即得解． 【详解】解： ， 将1665000用科学记数法表示应为． 故选：B． 【变式14-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）2024年安徽夏粮总产量万吨，其中万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：万用科学记数法表示为． 故选：B． 【考点题型十五】近似数 【例15】（24-25七年级上·辽宁大连·期中）由四舍五入得到的近似数为，是精确到（   ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．万分位 【答案】B 【分析】本题考查了近似数精确到哪一位，确定近似数精确到哪一位，就是看这个数的最后一位是什么位即可，熟练掌握近似数的法则是解题的关键． 【详解】解：由四舍五入得到的近似数，精确到了百分位， 故选：． 【变式15-1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列关于近似数的说法： ①近似数精确到十分位； ②近似数万精确到； ③近似数和近似数的精确度相同． 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了近似数，近似数精确到哪一位，看末位数字实际在哪一位即可，掌握近似数的有关知识是解题的关键． 【详解】解：近似数精确到百分位，故①错误； ∵万， ∴近似数万精确到百位，故②错误； 近似数精确到十分位，近似数精确到百分位，故③错误； 综上，正确的说法有个， 故选：． 【考点题型十六】数轴和绝对值的动点综合问题 【例16】（24-25七年级上·山东临沂·期中）如图，把一根木棒放在数轴上，数轴的个单位长度为，木棒的左端点与数轴上的点重合，右端点与数轴上的点重合．    【问题探究】 （1）若将木棒沿数轴水平向右移动，则当它的左端点移动到点处时，它的右端点在数轴上对应的数为；若将木棒沿数轴水平向左移动，则当它的右端点移动到点处时，它的左端点在数轴上对应的数为，由此可得到木棒的长为多少？ （2）图中点表示的数为____，点表示的数为___； 【问题解决】 （3）根据（1）（2），请你借助“数轴”这个工具帮助轩轩解决如下问题； 一天，轩轩问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在的年龄． 【答案】（1）；（2）；；（3）岁 【分析】本题考查数轴，用数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离， （1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是，则可得出此木棒的长； （2）根据两点间的距离公式即可求解； （3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒，类似爷爷和小红这么大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小红和爷爷这么大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，则可知爷爷比小红大，由此可求出爷爷的年龄； 利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：（1）由数轴观察知，三根木棒长是：， ∵ ∴木棒的长为； （2）图中点所表示的数为：，点所表示的数为：， 故答案为：；； （3）如图，把小红与爷爷的年龄差看作木棒，      爷爷和小红这么大时看作当点移动到点时， 此时点所对应的数为， 小红和爷爷这么大时看作当点移动到点时， 此时点所对应的数为， ∴爷爷比小红大：， ∴爷爷的年龄为（岁）， 答：爷爷现在的年龄是岁． 【变式16-1】（24-25七年级上·陕西榆林·期中）如图，已知点，，是数轴上三点，为原点．点表示的数为3，点与点之间的距离为2，点与点之间的距离为6． 【问题提出】 （1）点表示的数是________，点表示的数是________； 【问题探究】 （2）动点，分别同时从点，处出发，分别以每秒8个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点在点和点之间，且点到点的距离与点到点的距离相等，点在点和点之间，且点到点之间的距离是点到点之间距离的4倍，当运动时间为时，用含的代数式表示点，对应的数； 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，点到点之间的距离是否与的大小有关？若有关，用含的代数式表示点到点之间的距离；若无关，请求出点到点之间的距离． 【答案】（1），；（2）点对应的数为，点对应的数为；（3）点到点之间的距离与的大小无关，为定值8． 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，两点之间的距离，数轴上的点表示有理数等知识，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离公式． （1）由已知、结合数轴，根据数轴上两点之间的距离即可求解； （2）由题意可得、的长度，从而由点A、C对应的数即可求出点M、N对应的数； （3）根据题意可得点Q对应的数，进而得到的长度，根据结果即可作出判断； 【详解】解：（1）由题意可得： 点B对应的数为：， 又∵， ∴点A对应的数为：， 故答案为：，1； （2）由题意可得：， 又∵，， ∴， ∴点M对应的数为：，点N对应的数为：； （3）的长度与t无关，理由如下： ∵， ∴点Q对应的数为：， ∴， ∴点M到点Q之间的距离与t的大小无关，为定值8． 【变式16-2】（2024七年级上·全国·专题练习）【阅读材料】数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如：表示与的差的绝对值，实际上也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似的，表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．一般地，，两点在数轴上表示有理数，，那么，两点之间的距离表示为． 【解决问题】如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，，数轴上另一个点表示的数为，试探索： （1）点，之间的距离______；折叠数轴，使得点与点重合，则表示的点与表示______的点重合； （2）若，则______； 【联系拓广】 （3）若点在，两点之间，则______；若，则点表示的数为______；由此可得：点到，两点的距离之和最小时，若点表示的数为整数，则这样的点有______个． 【答案】（1），；（2）或；（3）；或； 【分析】此题考查了数轴上两点间的距离，关键是能分情况讨论，利用数轴列出算式或一元一次方程． （1）由两点间距离的定义可得，设表示的点与表示的点重合，且点到点和表示的点与点的距离相等，即可求得答案； （2）由，得到和两数在数轴上所对应的两点之间的距离为，即可得到答案； （3）根据点的位置化简绝对值求解即可求得及，分点在线段上和点位于点右侧两种情况列方程求解点的位置即可． 【详解】解：（1）由题意，得，点，之间的距离． 设表示的点与表示的点重合， 因为数轴上两点，表示的数分别为，， 所以，即点到点的距离和表示的点到点的距离相等， 所以或， 因为表示的点在点的左边， 所以点在点的右边， 即不合题意，舍去，所以， 即表示的点与表示的点重合． （2）因为， 所以和两数在数轴上所对应的两点之间的距离为， 所以或， 故答案为或． （3）因为点在，两点之间， 所以， 所以． 因为， 所以点到点和点的距离之和等于． 因为，两点表示的数分别为，， 所以， 当点在点左侧时，如答图①， 则， 所以， 所以，此时点表示的数为， 当点在点右侧时，如答图②， 则， 所以， 所以，此时点表示的数为． 综上，点表示的数为或． 当在，两点之间时，点到，两点的距离之和最小，为， 因为表示的数为整数， 所以表示的数有，，，，，，，，，，共个． 故答案为；或；． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$