专题01 全等三角形重难点模型（6种重点模型归纳+真题过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（苏科版）

专题01 全等三角形重难点模型 （6种重点模型归纳+真题过关检测） 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【模型一：一线三等角模型】 【模型二：手拉手模型-旋转型全等】 【题型三：倍长中线模型】 【模型四：平行线+线段中点构造全等模型】 【模型五：角平分线+垂直构造全等模型】 【模型六：半角模型】 模型一：一线三等角模型 过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。 过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS） 常见的两种图形： 图一 如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 图二 如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA 模型二：手拉手模型-旋转型全等 【基本模型】 一、等边三角形手拉手-出全等 二、等腰直角三角形手拉手-出全等 两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：[来源:Z#xx#k.Com] 1 △BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE； 三、奔驰模型 旋转是中考必考题型，奔驰模型是非常经典的一类题型，且近几年中考中经常出现。我们不仅要掌握这类题型，提升利用旋转解决问题的能力，更重要的是要明白一点 :旋转的本质是把分散的条件集中化，从而解决问题 四、费马点模型 费马点就是到三角形的三个顶点距离之和最小的点. 最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而来，所以掌握费马点等此类最值经典题是必不可少的. 题型三：倍长中线模型 三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 主要思路：倍长中线（线段）造全等 在△ABC中 AD是BC边中线 延长AD到E， 使DE=AD，连接BE 作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE 延长MD到N， 使DN=MD，连接CD 模型四：平行线+线段中点构造全等模型 在中考考试中，平行线中点是一类特点非常鲜明的几何题，做这类题的关键就在于添加延长线，中考出题人非常喜欢出这类题，原因就是能够让懂模型的人快速找到答案. 模型五：“雨伞”模型 在中考考试中，雨伞模型是一类特点非常鲜明的几何题，做这类题的关键就在于添加延长线，它与平行线中点模型并称为中学阶段两大必延长的模型，只要看到这类模型，方法就很统一了. 模型六：半角模型 在中考考试中，半角模型在选择题、填空题、解答题中经常出现，我们在处理这类问题时，关键在于找到半角和全角，运用口诀进行旋转，进行边角转化，就能很快地解决此类问题. 题型归纳 【模型一：一线三等角模型】 【典例1-1】（2024秋•灌南县月考）如图甲，已知在中，，，直线经过点，且于，于． （1）说明． （2）说明． （3）已知条件不变，将直线绕点旋转到图乙的位置时，若、，则　　． 【分析】（1）由已知推出，因为，，推出，根据即可得到答案； （2）由（1）得到，，即可求出答案； （3）与（1）证法类似可证出，能推出，得到，，代入已知即可得到答案． 【解答】（1）证明：，， ， ， ，， ， ，， ． （2）证明：由（1）知：， ，， ， ． （3）证明：，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ，， 、， ． 故答案为：2.5． 【点评】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． 【典例1-2】（2022秋•东台市月考）【一线三等角模型】如图1：点、、在一条直线上，，当时，有．理由： ，，，请将全等证明过程补充完整． 【模型运用】如图，，，求的面积； 【能力提升】如图3：在等边中，，分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点从点向点运动（不与点重合）时，的度数变化吗？如不变请求出它的度数，如变化，请说明它是怎样变化的？ 【分析】【一线三等角模型】如图1：根据证明三角形全等即可； 【模型运用】如图2：过点作交的延长线于点．构造全等三角形解决问题即可； 【能力提升】不变．如图3中，在上取一点，使得．证明，推出，，可得结论． 【解答】【一线三等角模型】证明：如图， ，， ， 在和中， ， ； 【模型运用】解：如图2：过点作交的延长线于点． 同法可证， ， ； 【能力提升】解：不变． 理由：如图3中，在上取一点，使得． ，都是等边三角形， ，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造一线三等角模型，利用全等三角形解决问题． 【针对训练1】（2023秋•靖江市校级月考）如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，，则的度数是 　 　．（用含的代数式表示） 【分析】根据已知条件可推出，从而可知，则． 【解答】解：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质及三角形内角和定理；此题能够发现全等三角形，再根据平角的定义和三角形的内角和定理发现．再根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质进行推导． 【针对训练2】（2022秋•灌云县月考）在直线上依次取互不重合的三个点，，，在直线上方有，且满足． （1）如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是 　 　； （2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展与应用：如图3，当时，点为平分线上的一点，且，分别连接，，，，试判断的形状，并说明理由． 【分析】（1）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （3）先由和平分得到，然后结合得到和是等边三角形，然后得到、，然后结合得到、，从而得到，故可证，从而得到、，最后得到，即可得证是等边三角形． 【解答】解：（1），理由如下， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． （2）仍然成立，理由如下， ， ， ， ， ， ，， ； （3）是等边三角形，理由如下， ，平分， ， ， 和是等边三角形， ，， 同（2）可得，， ，， ， ， ，， ， 是等边三角形． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练应用一线三等角模型证明三角形全等． 【针对训练3】（2023秋•宿城区校级月考）在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点，点，点在第四象限． （1）如图1，求点的坐标； （2）如图2，若交轴于点，交轴于点，是上一点，且，连接，求证； （3）如图3，若点不动，点在轴的负半轴上运动时，分别以，为直角边在第二、第三象限作等腰直角与等腰直角，其中，连接交轴于点，问当点在轴的负半轴上移动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度． 【分析】（1）过作轴于，先证，得，，则，即可得出答案； （2）过作交轴于，先证，得，，再证，得，进而得出结论； （3）过作轴于，先证，得，，再证，得即可． 【解答】（1）解：如图1，过作轴于， 则， 点，点， ，， 为等腰直角三角形，， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， 点的坐标为； （2）证明：如图2，过作交轴于， 则， 由（1）得：，， ， ，， ， ， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ； （3）解：的长度不变化，，理由如下： 如图3，过作轴于， 则， ， 是等腰直角三角形，， ，， ， ， ，， 是等腰直角三角形，， ，， ，， 又， ， ． 【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 【模型二：手拉手模型-旋转型全等】 【典例2-1】（2024秋•姜堰区校级月考）如图，和都是等腰直角三角形，与相交于点，交于点． 证明：（1）；（2）． 【分析】（1）要证明，只要证明即可，两三角形中，已知的条件有，，那么只要再得出两对应边的夹角相等即可得出三角形全等的结论．我们发现和都是加上一个 ，因此．由此构成了两三角形全等中的因此两三角形全等． （2）要证，只要证明是个直角就行了．由（1）得出的全等三角形我们可知： ，三角形中，，根据上面的相等角，我们可得出，即，因此就是直角了． 【解答】证明：（1） 即 在和中 （2） 即． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定等知识点，利用全等三角形得出线段相等和角相等是解题的关键． 【典例2-2】（2024秋•昆山市校级月考）如图1，，，． （1）、相交于点． ①求证：； ②用含的式子表示的度数； （2）如图2，点、分别是、的中点，连接、，判断的形状，并加以证明； （3）如图3，在中，，，，以为直角边，为直角顶点作等腰，则　　（直接写出结果）． 【分析】（1）①由“”可证，可得； ②由三角形内角和定理可求解； （2）由“”可证，可得，可得结论； （3）将绕着点逆时针旋转得到，连接，，根据旋转的性质得到，，，可得出是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）①证明：如图1，， ， 在和中， ， ， ； ②解：如图1，， ， ， ， ； （2）为等腰三角形，理由如下： 如图2，由（1）可得，， ，的中点分别为点、， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为等腰三角形． （3）将绕着点逆时针旋转得到，连接，， 则，，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ． 故答案为：5． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理等，运用旋转的性质构造全等三角形是解题的关键． 【针对训练1】（八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于），与交于点，与交于点，与交于点，连接． 试说明： ①； ②填空 °； ③． 【答案】①见详解；②120；③见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键． ①由“”可证； ②由全等三角形的性质可得，由外角的性质可求解； ③由“”可证，可得结论． 【详解】证明：①、为正三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， 故答案为：120； ③在和中， ， ， ． 【针对训练2】（22-23八年级上·江苏徐州·期中）在中，，．将一个含45°角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示． (1)【证明推断】求证：；小明给出的思路：若要证明，只需证明即可．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)【延伸发现】连接，，如图所示，求证：； (3)【迁移应用】延长交于点P，交于点Q．在图中完成如上作图过程，猜想并证明和的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）在中，根据点D是的中点，得出，由，是直角三角尺，得出，从而得到，在和中，立即证明全等，由性质即可解答； （2）根据，得出，，，从而得到，由于是含45°直角三角尺，推出，利用即可证明和全等，从而求解； （3）猜想：，理由：根据和，得出，又根据，等量代换得到从而证明． 【详解】（1）证明：在中，∵，， ∴， 又∵点D是的中点， ∴，且， ∴， 又∵是直角三角尺， ∴，即， ∴ 在和中 ∴， ∴； （2）证明：∵ ∴，， ∴，且由于是含45°直角三角尺， ∴， ∴ 即 在和中 ∴， ∴； （3）解：作图正确（如图所示） 猜想：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角尺的特征、全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质． 【题型三：倍长中线模型】 【典例3】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：和，D、分别为、中点，且，． (1)当时，求证：． (2)当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等三角形综合问题 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，第2问关键是延长至点E，使得，连接，延长至点，使得，连接． （1）由三角形全等的判定，可以解决问题； （2）延长至点E，使得，连接，延长至点，使得，连接，利用全等三角形的判定与性质即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴①， ∵D、分别为、中点， ∴②，③， ∵， ∴，， ∴④， 故答案为：①；②；③；④． （2）证明：延长至点E，使得，连接，延长至点，使得，连接，    ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【针对训练1】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（    ） A．3 B．2 C．1.5 D． 【答案】A 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，延长，交于点G，构造，利用三角形中线的性质得出，进而求出，再由求出答案． 【详解】解：延长，交于点G， ∵在长方形中，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【针对训练2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理和倍长中线的数学模型是解题的关键，延长到，使，连接，易证得，在中，利用三角形三边关系即可求得的取值范围． 【详解】解：延长到，使，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：． 【针对训练3】（2024秋•玄武区校级月考）如图所示，为中线，为中点，，，连接，．若的面积为3，则的面积为 　 　． 【分析】延长到点，使，连接，利用线段中点的定义可得的面积的面积，，再利用倍长中线模型证明，从而可得的面积的面积，，再结合已知易得，，然后利用证明，从而可得的面积的面积，最后进行计算即可解答． 【解答】解：延长到点，使，连接， 为中点， 的面积的面积，， ， ， 的面积的面积，， ， ， ，， ， ， ， 的面积的面积， 的面积的面积的面积的面积， 故答案为：1.5． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【针对训练4】（2024秋•京口区校级月考）（1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接． ①证明； ②若，，设，可得的取值范围是 　 　； （2）如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． 【分析】（1）①根据三角形的中线得出，再由对顶角相等得出，即可得出结论； ②先由，得出，再由，得出，最后用三角形的三边关系，即可求出答案； （2）先根据判断出，得出，再根据判断出，得出，即可求出答案． 【解答】（1）①证明：是的中线， ， 在和中， ， ； ②解：由①知，， ， ， ， ，， ， 在中，， 根据三角形的三边关系得，， ， 故答案为：； （2）证明：如图2，延长，截取，连接，， ，， 即，， ， ， 是中线， ， ，， ， ， ， ． 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，用倍长中线法构造全等三角形是解本题的关键． 【模型四：平行线+线段中点构造全等模型】 【典例4】（椒江区校级开学）如图，已知，，垂足为点，，垂足为点，，，点是的中点，求的长． 【分析】延长交于点，由“”可证△△，可得，，由勾股定理可求的长，即可求的长． 【解答】解：如图，延长交于点， 点是的中点 ， ， 且， △△ ， 在△中， 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 【针对训练1】（如皋市期末）如图，，，，，，取的中点，连结，则　 　． 【分析】根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质及勾股定理解答即可． 【解答】解：延长交于点， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，关键是根据全等三角形的判定和性质解答． 【针对训练2】（无锡期末）如图，已知，于，于，，．点是的中点，求的长． 【分析】如图，延长交于，构造全等三角形，则对应边，．在中，利用勾股定理即可求得线段的长度． 【解答】解：如图，延长交于． ，， ，， 又点是的中点， ． 在与中， ， ， ，． ，． 在中，， ． 【点评】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质．注意，本题辅助线的作法． 【模型五：“雨伞”模型】 【典例5-1】（2023秋•东海县月考）如图，在中，已知是的中点，过点作的垂线交的平分线于点，于点，于点． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【分析】（1）连接、，根据是的平分线，得出，再根据垂直平分，得出，从而证出； （2）根据全等三角形的性质得到，求得，即得到结论． 【解答】（1）连接、． 是的平分线， 于点，于点， ， 又垂直平分， ， ， ； （2）在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，在解题时要注意判定和性质的灵活应用以及与角平分线的性质的联系是本题的关键． 【典例5-2】（23-24八年级·江苏南京·期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD． 【答案】见解析 【分析】分别延长BE、CA交于点F，首先结合题意推出△CFE≌△CBE，从而得到BE＝EF＝BF，然后证明△BFA≌△CDA，得到BF＝CD，即可得出结论． 【详解】证明：分别延长BE、CA交于点F， ∵BE⊥CD， ∴∠BEC＝∠FEC＝90°． ∵CD平分∠ACB， ∴∠FCE＝∠BCE． 在△CFE与△CBE中， ∵∠BEC＝∠FEC，∠FCE＝∠BCE，CE＝CE， ∴△CFE≌△CBE， ∴BE＝EF＝BF． 在△CFE与△CAD中， ∵∠F＋∠FCE＝∠ADC＋∠ACD＝ 90°， ∴∠F＝∠ADC． 在△BFA与△CDA中， ∵∠F＝∠ADC，∠BAC＝∠FAB，AB＝AC， ∴△BFA≌△CDA， ∴BF＝CD． ∴BE＝CD． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，理解角平分线的基本定义，熟练运用角平分线的性质构造辅助线，并且准确判定全等三角形是解题关键． 【针对训练】（滨湖区校级月考）如图，已知在中，，，平分，交的延长线于点． 求证：． 【分析】延长、交于点，利用已知条件证明，得到，再通过证明得到，从而证明． 【解答】证明：如图，延长，交于点． ，， ． 又， ． 在与中， ． ． 平分， ． 在与中， ． ，即． ． 【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，解答本题的关键是通过辅助线证明． 【模型六：半角模型】 【典例6-1】在等边的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点，且，，．探究：当、分别在直线、上移动时，、、之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系． （1）如图1，是周长为9的等边三角形，则的周长　　； （2）如图2，当点、边、上，且时，、、之间的数量关系是　 　；此时　 　； （3）点、在边、上，且当时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明． 【分析】（1）构建全等三角形来实现线段的转换．延长至，使，连接．根据题意得到，那么三角形和中，有了一组直角，，，因此两三角形全等，那么，，．三角形和中，有，，有一条公共边，因此两三角形全等，，至此我们把转换成了，把转换成了，因为，因此．可根据的值确定与的值； （2）如果，，因为，那么，也就有，直角三角形、中，因为，，根据定理，两三角形全等．那么，，三角形中，，，在三角形中，，，因此三角形是个等边三角形，因此，三角形的周长，三角形的周长，因此． （3）如果，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换．延长至，使，连接．（1）中我们已经得出，，那么三角形和中，有了一组直角，，，因此两三角形全等，那么，，．三角形和中，有，，有一条公共边，因此两三角形全等，，至此我们把转换成了，把转换成了，因为，因此．与的关系的求法同（1），得出的结果是一样的． 【解答】（1）解：如图2，延长至，使，连接， ，且， ， 又是等边三角形， ， 在与中， ， ． ，． ． 在与中， ， ， ， 的周长， 等边的周长，即， 则； （2）解：如图，、、之间的数量关系． 此时； （3）猜想：（2）中的结论仍然成立， 证明：如图，延长至，使，连接， ，且， ， 又是等边三角形， ， 在与中， ， ． ，． ． 在与中， ， ， ， 的周长， 等边的周长， ． 故答案为：（1）6；（2）； 【点评】此题考查了三角形全等的判定及性质，题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的，当题中没有明显的全等三角形时，我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所求条件相关的全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 【典例6-2】（2024秋•东台市月考）如图，在正方形中，点，分别是，上的点，且满足，连，则，与三者之间有什么数量关系？ 【分析】延长到，使，连接，先证△△，再证△△，最后利用线段的和差即可解决． 【解答】解：，理由如下：， 如图，延长到点，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， 在△和△中， ， △△， ，， ，， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ，， ． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会利用旋转思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 【典例6-3】．（2023秋•镇江月考）（1）如图1，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长到，使，连接．目的就是要证明三角形和三角形全等将转换成，那么这样了，于是证明两组三角形全等就是解题的关键．三角形和中，只有一条公共边，我们就要通过其他的全等三角形来实现，在三角形和中，已知了一组直角，，，因此两三角形全等，那么，，那么．由此就构成了三角形和全等的所有条件，那么就能得出了． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明三角形和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【解答】证明：（1）延长到，使，连接． ，， ． ，． ． ． 又， ． ． ． （2）（1）中的结论仍然成立． （3）结论不成立，应当是． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． ， ． ，． ． ． ， ． ． 【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形． 【典例6-4】．（邗江区校级月考）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 　 　； 探索延伸：如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以90海里小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【分析】问题背景：延长到点，使，连接，证明，得到，证明，得到答案； 探索延伸：连接，延长，相交于点，利用全等三角形的性质证明． 实际应用：如图3，连接，延长，相交于点，首先证明，，利用结论求解即可． 【解答】解：问题背景：由题意：，， ，， ． 故答案为：． 探索延伸：仍然成立． 理由：如图2，延长到点，使，连接 ，， ， 又， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ． 在和中， ， ， ， 又， ． 实际应用：如图3，连接，延长，相交于点， 在四边形中， ，， 又，，符合探索延伸中的条件， 结论成立． 即，（海里） 答：此时两舰艇之间的距离为320海里． 【点评】本题考查的是四边形知识的综合运用，掌握三角形全等的判定和性质、理解方位角的概念是解题的关键，注意规律的总结和运用 【针对训练1】（2022秋•江都区月考）如图1，在正方形中，、分别是，上的点，且度．则有结论成立； （1）如图2，在四边形中，，，、分别是，上的点，且是的一半，那么结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由． （2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得仍然是的一半，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明． 【分析】（1）结论仍然成立．延长到，使，根据已知条件容易证明△△，由此可以推出，，而，所以得到，进一步得到，现在可以证明△△，然后根据全等三角形的性质就可以证明结论成立； （2）结论不成立，应为，如图在上截取，由于，，可以得到，再利用已知条件可以证明△△，由此可以推出，，而，所以得到，现在可以证明△△，再根据全等三角形的性质就可以证明． 【解答】解：（1）延长到，使，连接， ，， △△， ，， ， ， ， △△， ． （2）结论不成立，应为， 证明：在上截取，使，连接． ，， ． ， △△． ，． ． ． ， △△． ． 【点评】此题是开放性试题，首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高． 【针对训练2】（2023秋•海门市校级月考）探究： （1）如图1，在正方形中，、分别是、上的点，且，试判断、与三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：　 　； （2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形中，，，、分别是边、上的点，且”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； （3）在（2）问中，若将绕点逆时针旋转，当点分别、运动到、延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明． 【分析】（1）将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，根据旋转变换的性质可得和全等，根据全等三角形对应角相等可得，对应边相等可得，，对应角相等可得，再根据证明，并证明、、三点共线，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （3）将绕点顺时针旋转，使与重合，点落在上点处，得到，根据旋转变换的性质可得和全等，根据全等三角形对应角相等可得，对应边相等可得，，再根据证明，然后利用“边角边”证明△和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而求出． 【解答】解：（1）如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ； （2）结论仍然成立． 理由如下：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到， 则， ，，，， 又， ， ， 又， ， 、、三点共线， 在与中， ， ， ， 又， ； （3）发生变化．、、之间的关系是． 理由如下：如图3，将绕点顺时针旋转，使与重合，点落在上点处，得到， ， ，，， 又，且， ， 即， 在△与中，， △， ， 又， ， 即 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转变换的性质，利用旋转变换构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 【针对训练3】（2024秋•启东市校级月考）（1）如图1，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．试探究图中线段、、之间的数量关系． （1）小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明△△，再证明△△，可得出结论，他的结论应是　 　． （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）如图3，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）由△△，△△可知，，； （2）延长到，使，连接，根据同角的补角相等求出，然后利用“边角边”证明△和△全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后利用“边角边”证明△和△全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求解即可； （3）结论不成立，应当是．证明方法类似； 【解答】解：（1）由△△，△△可知，，， 故答案为 （2）（1）中的结论仍然成立． 理由：延长到点，使，连接． ，， ， ，， △△， ，， ， ， ， ，， △△， ， ， ． （3）结论不成立，应当是． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． ， △△． ，． ． ． ， △△． ． 【点评】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定与性质，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点． 真题感知 1.（2023秋•张家港市期末）如图，两条互相垂直的直线、交于点，一块等腰直角三角尺的直角顶点在直线上，锐角顶点在直线上，是斜边的中点．已知，，则　　． 【分析】利用等腰三角形的三线合一想到连接，根据已知可得，，因为，想到构造手拉手旋转性全等，所以过点作，交直线于点，证明，可得，，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】解：连接，过点作，交直线于点， ， 是等腰直角三角形，， ， 是斜边的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 的面积， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 2.（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG． （1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由； （2）判断BEG的形状，并说明理由． 【答案】（1）BE＝AD，见解析；（2）BEG是等腰直角三角形，见解析 【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，则BE＝AD； （2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明△BEG是等腰直角三角形． 【详解】证：（1）BE＝AD，理由如下： 如图，延长BE、AC交于点H， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB＝∠AEH＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠HAE， 在△BAE和△HAE中， ， ∴△BAE≌△HAE（ASA）， ∴BE＝HE＝BH， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD， ∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD， 在△BCH和△ACD中， ， ∴△BCH≌△ACD（ASA）， ∴BH＝AD， ∴BE＝AD． （2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下： ∵AC＝BC，AF＝BF， ∴CF⊥AB， ∴AG＝BG， ∴∠GAB＝∠GBA， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°， ∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°， ∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°， ∵∠BEG＝90°， ∴∠EBG＝∠EGB＝45°， ∴EG＝EB， ∴△BEG是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键． 3．（23-24八年级上·江苏·期末）如图，在中．是边上的中线，交于点． (1)如下图，延长到点，使，连接． 求证：． (2)如下图，若，试探究与有何数量关系，并说明理由． (3)如下图，若是边上的中线，且交于点． 请你猜想线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)，理由见解析． 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（）利用可得； （）延长到点，使，连接，先根据证得，，进而得到，；再证得利用全等三角形全等的性质即可； （）延长到点，使，连接．延长到点，使，连接，，，证得可得，进而得到， 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中， ∴； （2）解：，理由如下： 延长到点，使，连接，如图 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中 ∴ ∴， ∴； （3），理由如下： 延长到点，使，连接．延长到点，使，连接，，，如图， 由（）得，， ∴，，， ∴，， ∴ ， 在和中， ， ∴ ∴， ∴． 4.（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是 ． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，D，E在边上，且．求证：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系． （1）由作图可得，根据“”证得，得到，在中，根据三角形的三边关系有，代入即可求解； （2）延长到M，使得，连接，则，由（1）同理可证，得到，，从而，又，因此，进而得证，故； （3）取的中点为M，连接并延长至N，使，连接、，证得得到，证得得到． 延长交于F，由三角形的三边关系得到，即． 【详解】（1）∵， ∴ ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，， 即， ∴． 故答案为： （2）， 理由：如图，延长到M，使得，连接， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）取的中点为M，连接并延长至N，使，连接、， ∵点M是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， 延长交于F， 则，且， ∴， ∴， 即． 5．（2024秋•姜堰区期中）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，是△的中线，且，延长至点，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得△△，其中判定全等的依据为：　 　； ②若，，则的取值范围是 　　； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是△的中线，点在的延长线上，，求证：平分； 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点是边的中点，点在上，，，若，求的长． 【分析】（1）①由中线性质可得，证明△△即可得知依据； ②由△△可得，又，在△中，由三边关系可得答案； （2）延长至，使，证明△△，则，，又，从而．由等腰三角形性质和外角定理可得，再证明△△，即可得到，从而得证结论； （3）倍长，使延长至点，使得，证明△△．，，．得，再根据△为等边三角形，可得，证明△△， ，，再证明，可得△为等边三角形，从而，即可求解． 【解答】（1）①解：是△的中线， ， 在△和△中， ， △△， 故答案为：； ②由△△可得， 又， 在△中，由三边关系可得： ，即， 又， 故． 故答案为：． （2）证明：如图2所示，延长至，使． 在△和△中， ， △△． ，， 又， ，， ， 由外角定理有， ． 在△和△中， ， △△． ． 故平分． （3）解：如图3所示， 延长至点，使得， 在△和△中， ， △△． ，， ． ， ． 又， ， 又， △为等边三角形，， 从而，， 在△和△中， ， △△． ，， 又， ， 故△为等边三角形， ． 即． 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定和性质，倍长中线的运用．综合性很强，难度较大．根据倍长中线作出正确的辅助线是解题关键． 6．（2024春•宿豫区月考）在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，，，求线段的长． 【分析】（1）①由已知推出，因为，，推出，根据即可得到答案； ②由①得到，，即可求出答案； （2）与（1）证法类似可证出，能推出，得到，，代入已知即可得到答案． 【解答】（1）①证明：，， ， ， ，， ， 在和中， ， ； ②证明：由（1）知：， ，， ， ； （2）证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 【点评】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． 7．（2023秋•江岸区期末）以线段、为底按顺时针方向在平面内构造等腰△与等腰△，，，，，且． （1）如图1，当点、、三点共线时，求证：； （2）如图2，当点、、三点不共线时，连接，点为中点，连接、，求证：； （3）如图3，当点在线段上运动时（点与、不重合），请直接写出与的数量关系 　 　（直接填写答案） 【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出结论； （2）延长至，使，连，证明△△，由全等三角形的性质得出，，证明△△，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）分两种情况，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出答案． 【解答】（1）证明：在△中，， ， ，， ， 同理可得：， ，， ， ； （2）证明：延长至，使，连， 在△和△中， ， △△， ，， 又， ， 由（1）知，， 设，，，， ， ，， 由（1）知， ， 在△和△中， ， △△， ， 又， ； （3）解：取的中点，连接，由（2）知， ， ， ， 设，，， ①当点在上方，如图， ， ， ， 即； ②如图，当点在下方， ， ． 综上所述，或． 故答案为：或． 【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 8．（2023秋•海门市期中）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　 　； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　 ． 【分析】（1）如图1，延长到，使，连接，即可证明△△，可得，再证明△△，可得，即可解题； （2）如图2，同理可得：； （3）如图3，作辅助线，构建△，同理证明△△和△△．可得新的结论：． 【解答】解：（1）如图1，延长到，使，连接． 在△与△中， ， △△． ，， ． ． 又， 易证△△． ． ． 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在△与△中， ， △△． ，， ． ． 又， △△． ． ． （3）①． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在△与△中， ， △△． ，． ． ． ， 易证△△． ． ②． 证明：在上截取， 同第一种情况方法，证△△， 证△△， ； ③由（1）、（2）可知，； ④如图，点在延长线上，点在延长线，此时线段，，之间并无直接数量关系． 综上，或或； 故答案为：或或； 【点评】本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，本题的4个问题运用了类比的方法依次解决问题． 9．（2023秋•武昌区期末）如图，在△中，，，点在第一象限，点在轴的负半轴上，交轴于，交轴于，，点在轴上，且在点的上方． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，连接，求证：； （3）直接写出点的坐标 　 　（用含的式子表示）． 【分析】（1）根据三角形外角的性质和平角的定义可得出即可； （2）作于，轴于，作轴于，交于点，根据角平分线性质得，根据平行线的性质得，由（1）得，得出，根据证明△△得，进一步可得出结论； （3）作轴于，轴于，过作于，证明△△，得，再根据，求出，即可表示出点的坐标． 【解答】（1）证明：设，则． 在△中，， ， 平分； （2）作于，轴于，作轴于，交于点， ， ， 平分， ， 轴， ， 又， ， ， △△， ， ， ， 垂直平分， ； （3）作轴于，轴于，过作于， ， ， ， ， ． ， ，，， ， △△， ． ， ． ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了坐标与图形，三角形外角性质，角平分线性质定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质图形的面积等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 10．（2024秋•平山县校级期中）【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是 　 　． 【探索延伸】 在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【分析】探索延伸：延长到，使，连接，证明和，得到答案； 结论运用：连接，延长、交于点，得到，根据距离、速度和时间的关系计算即可． 【解答】解：初步探索：， 故答案为：， 探索延伸：结论仍然成立， 证明：如图2，延长到，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 结论运用：解：如图3，连接，延长、交于点， ， ， ， ， ， 符合探索延伸中的条件 结论成立， 即海里， 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意要正确作出辅助线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 全等三角形重难点模型 （6种重点模型归纳+真题过关检测） 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【模型一：一线三等角模型】 【模型二：手拉手模型-旋转型全等】 【题型三：倍长中线模型】 【模型四：平行线+线段中点构造全等模型】 【模型五：角平分线+垂直构造全等模型】 【模型六：半角模型】 模型一：一线三等角模型 过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。 过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS） 常见的两种图形： 图一 如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 图二 如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA 模型二：手拉手模型-旋转型全等 【基本模型】 一、等边三角形手拉手-出全等 二、等腰直角三角形手拉手-出全等 两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：[来源:Z#xx#k.Com] 1 △BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE； 三、奔驰模型 旋转是中考必考题型，奔驰模型是非常经典的一类题型，且近几年中考中经常出现。我们不仅要掌握这类题型，提升利用旋转解决问题的能力，更重要的是要明白一点 :旋转的本质是把分散的条件集中化，从而解决问题 四、费马点模型 费马点就是到三角形的三个顶点距离之和最小的点. 最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而来，所以掌握费马点等此类最值经典题是必不可少的. 题型三：倍长中线模型 三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 主要思路：倍长中线（线段）造全等 在△ABC中 AD是BC边中线 延长AD到E， 使DE=AD，连接BE 作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE 延长MD到N， 使DN=MD，连接CD 模型四：平行线+线段中点构造全等模型 在中考考试中，平行线中点是一类特点非常鲜明的几何题，做这类题的关键就在于添加延长线，中考出题人非常喜欢出这类题，原因就是能够让懂模型的人快速找到答案. 模型五：“雨伞”模型 在中考考试中，雨伞模型是一类特点非常鲜明的几何题，做这类题的关键就在于添加延长线，它与平行线中点模型并称为中学阶段两大必延长的模型，只要看到这类模型，方法就很统一了. 模型六：半角模型 在中考考试中，半角模型在选择题、填空题、解答题中经常出现，我们在处理这类问题时，关键在于找到半角和全角，运用口诀进行旋转，进行边角转化，就能很快地解决此类问题. 题型归纳 【模型一：一线三等角模型】 【典例1-1】（2024秋•灌南县月考）如图甲，已知在中，，，直线经过点，且于，于． （1）说明． （2）说明． （3）已知条件不变，将直线绕点旋转到图乙的位置时，若、，则　　． 【典例1-2】（2022秋•东台市月考）【一线三等角模型】如图1：点、、在一条直线上，，当时，有．理由： ，，，请将全等证明过程补充完整． 【模型运用】如图，，，求的面积； 【能力提升】如图3：在等边中，，分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点从点向点运动（不与点重合）时，的度数变化吗？如不变请求出它的度数，如变化，请说明它是怎样变化的？ 【针对训练1】（2023秋•靖江市校级月考）如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，，则的度数是 　 　．（用含的代数式表示） 【针对训练2】（2022秋•灌云县月考）在直线上依次取互不重合的三个点，，，在直线上方有，且满足． （1）如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是 　 　； （2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展与应用：如图3，当时，点为平分线上的一点，且，分别连接，，，，试判断的形状，并说明理由． 【针对训练3】（2023秋•宿城区校级月考）在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点，点，点在第四象限． （1）如图1，求点的坐标； （2）如图2，若交轴于点，交轴于点，是上一点，且，连接，求证； （3）如图3，若点不动，点在轴的负半轴上运动时，分别以，为直角边在第二、第三象限作等腰直角与等腰直角，其中，连接交轴于点，问当点在轴的负半轴上移动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度． 【模型二：手拉手模型-旋转型全等】 【典例2-1】（2024秋•姜堰区校级月考）如图，和都是等腰直角三角形，与相交于点，交于点． 证明：（1）；（2）． 【典例2-2】（2024秋•昆山市校级月考）如图1，，，． （1）、相交于点． ①求证：； ②用含的式子表示的度数； （2）如图2，点、分别是、的中点，连接、，判断的形状，并加以证明； （3）如图3，在中，，，，以为直角边，为直角顶点作等腰，则　　（直接写出结果）． 【针对训练1】（八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于），与交于点，与交于点，与交于点，连接． 试说明： ①； ②填空 °； ③． 【针对训练2】（22-23八年级上·江苏徐州·期中）在中，，．将一个含45°角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示． (1)【证明推断】求证：；小明给出的思路：若要证明，只需证明即可．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)【延伸发现】连接，，如图所示，求证：； (3)【迁移应用】延长交于点P，交于点Q．在图中完成如上作图过程，猜想并证明和的位置关系． 【题型三：倍长中线模型】 【典例3】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：和，D、分别为、中点，且，． (1)当时，求证：． (2)当时，求证：． 【针对训练1】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（    ） A．3 B．2 C．1.5 D． 【针对训练2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是 ． 【针对训练3】（2024秋•玄武区校级月考）如图所示，为中线，为中点，，，连接，．若的面积为3，则的面积为 　 　． 【针对训练4】（2024秋•京口区校级月考）（1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接． ①证明； ②若，，设，可得的取值范围是 　 　； （2）如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． 【模型四：平行线+线段中点构造全等模型】 【典例4】（椒江区校级开学）如图，已知，，垂足为点，，垂足为点，，，点是的中点，求的长． 【针对训练1】（如皋市期末）如图，，，，，，取的中点，连结，则　 　． 【针对训练2】（无锡期末）如图，已知，于，于，，．点是的中点，求的长． 【模型五：“雨伞”模型】 【典例5-1】（2023秋•东海县月考）如图，在中，已知是的中点，过点作的垂线交的平分线于点，于点，于点． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【典例5-2】（23-24八年级·江苏南京·期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD． 【针对训练】（滨湖区校级月考）如图，已知在中，，，平分，交的延长线于点． 求证：． 【模型六：半角模型】 【典例6-1】在等边的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点，且，，．探究：当、分别在直线、上移动时，、、之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系． （1）如图1，是周长为9的等边三角形，则的周长　　； （2）如图2，当点、边、上，且时，、、之间的数量关系是　 　；此时　 　； （3）点、在边、上，且当时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明． 【典例6-2】（2024秋•东台市月考）如图，在正方形中，点，分别是，上的点，且满足，连，则，与三者之间有什么数量关系？ 【典例6-3】．（2023秋•镇江月考）（1）如图1，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【典例6-4】．（邗江区校级月考）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 　 　； 探索延伸：如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以90海里小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【针对训练1】（2022秋•江都区月考）如图1，在正方形中，、分别是，上的点，且度．则有结论成立； （1）如图2，在四边形中，，，、分别是，上的点，且是的一半，那么结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由． （2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得仍然是的一半，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明． 【针对训练2】（2023秋•海门市校级月考）探究： （1）如图1，在正方形中，、分别是、上的点，且，试判断、与三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：　 　； （2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形中，，，、分别是边、上的点，且”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； （3）在（2）问中，若将绕点逆时针旋转，当点分别、运动到、延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明． 【针对训练3】（2024秋•启东市校级月考）（1）如图1，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．试探究图中线段、、之间的数量关系． （1）小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明△△，再证明△△，可得出结论，他的结论应是　 　． （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）如图3，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 真题感知 1.（2023秋•张家港市期末）如图，两条互相垂直的直线、交于点，一块等腰直角三角尺的直角顶点在直线上，锐角顶点在直线上，是斜边的中点．已知，，则　　． 2.（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG． （1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由； （2）判断BEG的形状，并说明理由． 3．（23-24八年级上·江苏·期末）如图，在中．是边上的中线，交于点． (1)如下图，延长到点，使，连接． 求证：． (2)如下图，若，试探究与有何数量关系，并说明理由． (3)如下图，若是边上的中线，且交于点． 请你猜想线段与之间的数量关系，并说明理由． 4.（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是 ． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，D，E在边上，且．求证：． 5．（2024秋•姜堰区期中）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，是△的中线，且，延长至点，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得△△，其中判定全等的依据为：　 　； ②若，，则的取值范围是 　　； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是△的中线，点在的延长线上，，求证：平分； 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点是边的中点，点在上，，，若，求的长． 6．（2024春•宿豫区月考）在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，，，求线段的长． 7．（2023秋•江岸区期末）以线段、为底按顺时针方向在平面内构造等腰△与等腰△，，，，，且． （1）如图1，当点、、三点共线时，求证：； （2）如图2，当点、、三点不共线时，连接，点为中点，连接、，求证：； （3）如图3，当点在线段上运动时（点与、不重合），请直接写出与的数量关系 　 　（直接填写答案） 8．（2023秋•海门市期中）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　 　； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　 ． 9．（2023秋•武昌区期末）如图，在△中，，，点在第一象限，点在轴的负半轴上，交轴于，交轴于，，点在轴上，且在点的上方． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，连接，求证：； （3）直接写出点的坐标 　 　（用含的式子表示）． 10．（2024秋•平山县校级期中）【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是 　 　． 【探索延伸】 在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$