第20期 27.3位似 第二十七章整章复习（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（人教版）

书 探究发现：（２０２４上海崇明区期 中）如图 １，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ ＝９０°，ＣＤ平分∠ＢＣＡ，作ＡＥ⊥ＣＤ 交 ＢＣ于点 Ｅ，垂足为 Ｆ，作 ＢＧ⊥ ＡＥ，垂足为Ｇ．求证：ＡＣ２＝ＣＦ·ＣＤ． 思路分析：根据比例的基本性 质，欲证ＡＣ２＝ＣＦ·ＣＤ，只需证明ＡＣＣＦ＝ ＣＤ ＡＣ，而相似三角 形的对应边成比例，所以只需证明由这四条线段所确定 的两个三角形相似即可．由线段ＡＣ，ＣＦ确定的三角形是 △ＡＣＦ，由线段ＣＤ，ＡＣ确定的三角形是 △ＡＣＤ，根据题 意和图形可知这两个三角形已有两组对应角相等，于是 问题得证（同学们自己完成证明过程）． 方法归纳：上述证明等积式的方法我们称之为“三 点定形法”，一般步骤是：（１）把等积式转化为比例式； （２）观察成比例的四条线段确定可能相似的两个三角 形；（３）找出使这两个三角形相似的条件． 若在步骤（２）中，发现四条线段不在两个三角形 中，我们可以用相等的量替换其中一个或两个量，包括 等比替换，等积替换等． 变式探究 一、等比替换 例１　如图２，Ｅ为平行四边形ＡＢＣＤ的边ＣＤ延长 线上的一点，连接 ＢＥ，交 ＡＣ于 Ｏ， 交ＡＤ于Ｆ．求证：ＢＯ２ ＝ＯＥ·ＯＦ． 证明：因为 ＡＢ∥ ＤＣ，所以 ∠ＢＡＯ＝∠ＯＣＥ， 又因为∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＥ， 所以△ＡＯＢ∽△ＣＯＥ，所以ＯＥＯＢ＝ ＯＣ ＯＡ， 因为ＡＤ∥ＢＣ，所以∠ＡＦＯ＝∠ＣＢＯ， 因为∠ＡＯＦ＝∠ＣＯＢ，所以△ＡＯＦ∽△ＣＯＢ， 所以 ＯＢ ＯＦ＝ ＯＣ ＯＡ，所以 ＯＥ ＯＢ＝ ＯＢ ＯＦ， 所以ＢＯ２ ＝ＯＥ·ＯＦ． 二、等积替换 例２　如图３，已知ＣＥ是Ｒｔ△ＡＢＣ 的斜边ＡＢ上的高，点 Ｐ是 ＣＥ的延长 线上任意一点，ＢＧ⊥ＡＰ．求证：ＣＥ２ ＝ ＥＤ·ＥＰ． 证明：因为ＣＥ是Ｒｔ△ＡＢＣ的斜边 ＡＢ上的高，ＢＧ⊥ ＡＰ，所以 ∠Ｐ＋ ∠ＰＡＥ＝９０°，∠ＤＢＥ＋∠ＰＡＥ ＝９０°，所以 ∠Ｐ ＝ ∠ＤＢＥ． 又因为∠ＡＥＰ＝∠ＤＥＢ＝９０°， 所以△ＡＥＰ∽△ＤＥＢ， 所以 ＡＥ ＤＥ＝ ＥＰ ＥＢ，即ＡＥ·ＥＢ＝ＤＥ·ＥＰ． 因为ＣＥ是Ｒｔ△ＡＢＣ斜边ＡＢ上的高， 所以∠ＡＥＣ＝∠ＣＥＢ＝９０°． 因为∠ＡＣＥ＋∠ＥＣＢ＝９０°，∠ＣＡＥ＋∠ＡＣＥ＝９０°， 所以∠ＥＣＢ＝∠ＣＡＥ，所以△ＡＣＥ∽△ＣＢＥ， 所以 ＣＥ ＢＥ＝ ＡＥ ＣＥ，即ＣＥ ２ ＝ＡＥ·ＢＥ． 又因为ＡＥ·ＥＢ＝ＤＥ·ＥＰ， 所以ＣＥ２ ＝ＤＥ·ＥＰ． 三、等线段替换 例３　如图４，在等腰三角形 ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ ＢＣ于点 Ｄ，ＣＧ∥ＡＢ，连接ＢＧ分别交ＡＤ， ＡＣ于点 Ｅ，Ｆ．求证：ＢＥ２ ＝ＥＦ· ＥＧ． 证明：如图４，连接ＣＥ． 因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＢＣ， 所以∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ，ＡＤ垂直平分ＢＣ， 所以ＢＥ＝ＣＥ， 所以∠ＥＢＣ＝∠ＥＣＢ， 所以∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＥ． 因为ＣＧ∥ＡＢ， 所以∠ＡＢＥ＝∠Ｇ， 所以∠ＡＣＥ＝∠Ｇ． 又因为∠ＦＥＣ＝∠ＣＥＧ， 所以△ＣＥＦ∽△ＧＥＣ， 所以 ＣＥ ＧＥ＝ ＥＦ ＥＣ， 即ＣＥ２ ＝ＥＦ·ＥＧ， 所以ＢＥ２ ＝ＥＦ·ＥＧ． 书 （上接２版参考答案） 又因为 ∠ＡＢＧ ＝ ∠ＭＢＡ，所以 △ＢＡＧ∽ △ＢＭＡ． （２）连接ＣＭ．因为 四边形ＡＢＣＤ为菱形，所 以ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ．因为 ∠ＡＢＣ ＝ ６０°， 所 以 △ＡＢＣ为等边三角形． 所以ＡＣ＝ＣＢ＝ＣＤ． 又因为Ｍ为ＡＤ的 中点，所以ＣＭ⊥ＡＤ．又 因为ＡＤ∥ＢＣ，所以ＣＭ ⊥ＢＣ．由（１）得ＡＢＢＭ ＝ ＢＧ ＡＢ，所以 ＢＧ·ＢＭ ＝ ＡＢ２．所以 ＢＧ·ＢＭ ＝ ＢＣ２．所以ＢＧＢＣ＝ ＢＣ ＢＭ． 又因为 ∠ＣＢＧ ＝ ∠ＭＢＣ，所以 △ＢＧＣ∽ △ＢＣＭ．所以 ∠ＢＧＣ＝ ∠ＢＣＭ ＝９０°．所以 ＣＧ ⊥ＢＭ． ２０．（１）证明：因为 在 △ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝ ９０°，ＡＢ＝ＡＣ，所以∠Ｂ ＝∠Ｃ＝４５°． 因为∠Ｂ＋∠ＢＰＥ ＋∠ＢＥＰ＝１８０°，所以 ∠ＢＰＥ ＋ ∠ＢＥＰ ＝ １３５°． 因 为 ∠ＥＰＦ ＝ ４５°，∠ＢＰＥ＋∠ＥＰＦ＋ ∠ＣＰＦ ＝１８０°，所以 ∠ＢＰＥ ＋ ∠ＣＰＦ ＝ １３５°，所以 ∠ＢＥＰ ＝ 书 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位 似中心，变换后的图形与变换前图形的相似比为ｋ，那么 原图上点（ｘ，ｙ）的对应点的坐标为（ｋｘ，ｋｙ）或（－ｋｘ， －ｋｙ）；对于位似中心非原点的位似变换，解题时要充分 发挥位似图形的定义和相似三角形的性质的作用． 一、位似中心是原点，求图形上点的坐标 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ （２０２３盘锦）如图１，△ＡＢＯ 的顶点坐标是 Ａ（２，６），Ｂ（３，１），Ｏ（０， ０），以点Ｏ为位似中心，将 △ＡＢＯ缩小 为原来的 １ ３，得到 △Ａ′Ｂ′Ｏ，则点 Ａ′的 坐标为 ． 分析：根据位似变换的性质，按 △Ａ′Ｂ′Ｏ在第一象 限和第三象限两种情况分别计算即可． 解：因为以点Ｏ为位似中心，将△ＡＢＯ缩小为原来 的 １ ３，得到△Ａ′Ｂ′Ｏ，Ａ（２，６）， 所以当△Ａ′Ｂ′Ｏ在第一象限时，点Ａ′的坐标为（１３ ×２，１３×６），即（ ２ ３，２）； 当△Ａ′Ｂ′Ｏ在第三象限时，点Ａ′的坐标为（－１３× ２，－１３×６），即（－ ２ ３，－２）． 故填（ ２ ３，２）或（－ ２ ３，－２）． 二、位似中心非原点，求图形上点的坐标 例２　（２０２３绥化）如图２，在平面直角坐标系中， △ＡＢＣ与 △ＡＢ′Ｃ′的相似 比为１∶２，点 Ａ是位似中 心，已知点 Ａ（２，０），点 Ｃ（ａ，ｂ），∠Ｃ＝９０°，则点 Ｃ′的坐标为 （结果用含ａ，ｂ的式子表示）． 分析：过点Ｃ，Ｃ′分别作 ｘ轴的垂线 ＣＤ，Ｃ′Ｄ′，根据 题意，得出ＡＤ′＝２ＡＤ，则ＡＤ＝ａ－２，ＣＤ＝ｂ，得到点Ｄ′ 的坐标，进而求得点Ｃ′的坐标． 解：过点Ｃ，Ｃ′分别作ｘ轴的垂线 ＣＤ，Ｃ′Ｄ′，垂足分 别为Ｄ，Ｄ′， 因为△ＡＢＣ与△ＡＢ′Ｃ′的相似比为１∶２，点Ａ是位 似中心，Ａ（２，０）， 所以ＡＤ′＝２ＡＤ，因为Ｃ（ａ，ｂ）， 所以ＡＤ＝ａ－２，ＣＤ＝ｂ， 所以ＡＤ′＝２ａ－４，Ｃ′Ｄ′＝２ｂ， 所以Ｄ′（２－２ａ＋４，０）， 所以Ｃ′（６－２ａ，－２ｂ）． 故填（６－２ａ，－２ｂ）． 三、求位似中心的坐标 例３　（２０２３西安模拟）如图３，已知矩形 ＡＢＣＯ与 矩形ＯＤＥＦ是位似图形，Ｍ是位似中心，若点Ｂ的坐标为 （４，３），点 Ｅ的坐标为（－２， ３ ２），则图中点 Ｍ的坐标为 ． 分析：根据位似变换的性 质得 ＭＯ ＭＡ＝ ＯＤ ＡＢ，计算出 ＭＯ， ＯＡ的长，即可得到点Ｍ的坐标． 解：因为点Ｂ的坐标为（４，３），点 Ｅ的坐标为（－２， ３ ２）， 所以ＡＢ＝３，ＯＡ＝４，ＯＤ＝ ３２， 因为矩形ＡＢＣＯ与矩形ＯＤＥＦ是位似图形，Ｍ是位 似中心， 所以 ＭＯ ＭＡ＝ ＯＤ ＡＢ＝ ３ ２ ３ ＝ １ ２， 所以ＭＯ＝ＯＡ＝４， 所以Ｍ点坐标为（－４，０）． 故填（－４，０）． ! " #! !!!" " $"% !" !"!#&$$'$#( !"#$ !"#$%& !"#$%&'" ()*+,-'. !"#$%&'( !")%*+,-./01 !")%23456789': ;<=>?@AB >CDEFG HIJKLMABNOD%&'#()*)*+P,Q RSTOD!'('-* ) *+ EFG , ) *+ UVW , # - .+ XYG , ) *+ Z [ , ) *+ \ ] -./01+ X ^ 23/01+ X_` -4506+ a b -4578+ cde Vfg h i jkl m n opq Urs mt_ u d vwl xyF hz{ |z} UF~ ]€ ‚i ƒ q „…† V‡ˆ 91-.+ hz{ 91:;+ xyF <=-.+ ‰zŠ >?-.+ ‹Œ @ABC+ Ž !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! " # $ % & ' ! . " ‘" h ’ # ( ! % ) ' " ! $ # ( ! % ) * " ! ! ! $ + ( * , - ! . # ( ! % ) . " * , - ! ! * , - (! + ( ! !! " !" U “ ! % ( ' ) " + ! # 书书书 １８．（８ 分 ） 如 图 １７ ，在 １０ × １０ 的 正 方 形 网 格 中 ，每 个 小 正 方 形 的 边 长 均 为 １ ，点 Ｏ 是 格 点 ，△ ＡＢＣ 是 格 点 三 角 形 （ 顶 点 在 网 格 线 交 点 上 ） ，且 点 Ａ １ 是 点 Ａ 以 点 Ｏ 为 位 似 中 心 得 到 的 ． （１ ） 画 出 △ ＡＢＣ 以 点 Ｏ 为 位 似 中 心 的 位 似 图 形 △ Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ ； （２ ）△ Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ 与 △ ＡＢＣ 的 相 似 比 为 ； （３ ）△ Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ 的 周 长 为 ． １９． （ ８ 分 ） 如 图 １８ ，梯 形 ＡＢＣＤ 中 ，ＡＤ ∥ ＢＣ ，ＡＢ ＝ Ｄ Ｃ ，Ｅ 是 对 角 线 ＢＤ 上 一 点 ，∠ ＢＣＥ ＝ ∠ ＡＢＤ ．求 证 ： （１ ）△ ＡＢＤ ∽ △ ＥＣＢ ； （２ ）Ｄ Ｃ ２ ＝ Ｄ Ｅ · Ｄ Ｂ． ２０．（２０ ２４ 许 昌 期 末 ，８ 分 ） 某 中 学 数 学 实 践 小 组 决 定 利 用 所 学 知 识 去 测 量 河 的 宽 度 ． 如 图 １９ ， 这 条 河 的 两 岸 是 平 行 的 ， 小 丽 站 在 离 南 岸 ２０ 米 （ 即 ＰＥ ＝ ２０ 米 ） 的 点 Ｐ 处 看 北 岸 ，小 军 、小 强 站 在 南 岸 边 ， 调 整 小 军 、小 强 两 人 的 位 置 ，当 小 军 、小 强 两 人 分 别 站 在 Ｃ ，Ｄ 两 点 处 时 ， 小 丽 发 现 河 北 岸 边 的 两 根 电 线 杆 恰 好 被 小 军 、 小 强 遮 挡 （ 即 Ａ ，Ｃ ，Ｐ 三 点 共 线 ， Ｂ ，Ｄ ，Ｐ 三 点 共 线 ）．已 知 电 线 杆 Ａ ，Ｂ 之 间 的 距 离 为 ７５ 米 ，小 军 、小 强 两 人 之 间 的 距 离 ＣＤ 为 ３０ 米 ，求 这 条 河 的 宽 度 ． ２１． （１ ０ 分 ） 如 图 ２０ ，在 △ ＡＢＣ 中 ，ＡＢ ＝ ＡＣ ，ＡＤ ⊥ ＢＣ 于 Ｄ ，作 Ｄ Ｅ ⊥ ＡＣ 于 Ｅ ，Ｆ 是 ＡＢ 中 点 ，连 接 ＥＦ 交 ＡＤ 于 点 Ｇ ，连 接 Ｄ Ｆ． （１ ） 求 证 ：ＡＤ ２ ＝ ＡＢ · ＡＥ ； （２ ） 若 ＣＤ ＝ ２ ，ＣＥ ＝ １ ，求 ＡＧＤＧ 的 值 ． ２２ ．（２０２４ 成 都 期 末 ，１０ 分 ） 如 图 ２１ ，在 某 学 校 的 明 德 楼 和 启 智 楼 之 间 有 一 条 文 化 长 廊 ＡＢ ，文 化 长 廊 上 伫 立 着 三 座 名 人 塑 像 ＣＤ ，ＥＦ ，ＧＨ ， 点 Ａ ，Ｄ ，Ｆ ，Ｈ ，Ｂ 在 同 一 直 线 上 ，且 ＡＤ ＝ Ｄ Ｆ ＝ ＦＨ ＝ Ｈ Ｂ． 在 明 德 楼 的 楼 顶 有 一 照 明 灯 Ｐ ，塑 像 ＣＤ 的 影 子 为 Ｄ Ｍ ，塑 像 ＥＦ 的 影 子 为 ＦＮ ．该 校 “ 探 数 学 ” 兴 趣 小 组 的 同 学 测 得 文 化 长 廊 ＡＢ ＝ ２４ 米 ， 塑 像 高 ＣＤ ＝ ＥＦ ＝ ＧＨ ＝ ３ 米 ， 塑 像 ＣＤ 的 影 长 Ｄ Ｍ ＝ ２ 米 ． （１ ） 求 明 德 楼 的 高 ＰＡ ； （２ ） 求 塑 像 ＥＦ 的 影 长 ＦＮ ． ２３． （２０２４ 郑 州 期 中 ，１０ 分 ） 如 图 ２２ ，Ｒ ｔ△ ＡＢＣ 的 两 条 直 角 边 ＡＢ ＝ ４ ｃｍ ，ＡＣ ＝ ３ ｃｍ ，点 Ｄ 沿 ＡＢ 从 Ａ 向 Ｂ 运 动 ，速 度 是 １ ｃｍ ／ 秒 ，同 时 ，点 Ｅ 沿 ＢＣ 从 Ｂ 向 Ｃ 运 动 ，速 度 为 ２ ｃｍ ／ 秒 ．动 点 Ｅ 到 达 点 Ｃ 时 运 动 终 止 ，连 接 Ｄ Ｅ ，ＣＤ ，ＡＥ． （１ ） 当 动 点 运 动 时 间 ｔ ＝ 秒 时 ，△ ＢＤ Ｅ 与 △ ＡＢＣ 相 似 ； （２ ） 在 运 动 过 程 中 ，当 ＣＤ ⊥ Ｄ Ｅ 时 ，ｔ 为 何 值 ？请 说 明 理 由 ． ２４． （２０２４ 武 汉 月 考 ，１２ 分 ） 在 Ｒ ｔ△ Ａ ＢＣ 中 ，∠ ＣＡＢ ＝ ９０°，∠ Ｂ ＝ ３０°，且 △ ＡＢＣ ∽ △ ＡＤ Ｅ． 问 题 背 景 ：（１ ） 如 图 ２３ － ① ， 若 Ｆ ，Ｇ 分 别 是 ＢＣ ，Ｄ Ｅ 的 中 点 ， 求 证 ： △ ＡＧＤ ∽ △ ＡＦＢ ； 迁 移 应 用 ：（２ ） 如 图 ２３ － ② ，若 ４ＣＦ ＝ ＢＣ ，４ＥＧ ＝ ＥＤ ，连 接 ＦＧ ，ＢＤ ， 求 ＦＧＢＤ 的 值 ； 问 题 拓 展 ：（３ ） 如 图 ２３ － ③ ，若 ＡＣ ＝ ４ ，ＡＥ ＝ ２ ，Ｆ ，Ｇ 分 别 是 ＢＣ 和 Ｄ Ｅ 上 的 动 点 ，且 始 终 满 足 ＣＦＣＢ ＝ ＥＧＥＤ ， 若 将 △ ＡＤ Ｅ 绕 Ａ 点 顺 时 针 旋 转 一 周 ，求 ＦＧ 的 最 小 值 ． !"# $ %&!' $ ()&*+,-./ !"# $ %&!' $ ()&*+,-./ + ( ! % " ) ' / . 0 & ! ! $ !"# $%# + ( ! % " ! $ / ! $ 0 + ( ! % " & & ' ( ' + ( ! % " ) ' ! ! ) + ( ! % " ! ! ! ! $ * ! + ( * + $ + ( ! % " ) ' + ( ! % " ) ' + ! % ' " ) ( ! " # ! ! . P”• !–"B€—Q 书 ∠ＣＰＦ， 又 因 为 ∠Ｂ ＝ ∠Ｃ，所以 △ＢＰＥ∽ △ＣＦＰ． （２）△ＢＰＥ ∽ △ＣＦＰ．理由如下： 因为在 △ＡＢＣ中， ∠ＢＡＣ ＝ ９０°，ＡＢ ＝ ＡＣ，所以 ∠Ｂ＝∠Ｃ＝ ４５°．因为 ∠Ｂ＋∠ＢＰＥ ＋∠ＢＥＰ＝１８０°，所以 ∠ＢＰＥ ＋ ∠ＢＥＰ ＝ １３５°． 因 为 ∠ＥＰＦ ＝ ４５°，∠ＢＰＥ＋∠ＥＰＦ＋ ∠ＣＰＦ ＝１８０°，所以 ∠ＢＰＥ ＋ ∠ＣＰＦ ＝ １３５°，所以 ∠ＢＥＰ ＝ ∠ＣＰＦ， 又 因 为 ∠Ｂ ＝ ∠Ｃ，所以 △ＢＰＥ∽ △ＣＦＰ． （３）动点Ｐ运动到 ＢＣ中点位置时，△ＢＰＥ 与△ＰＦＥ相似，理由如 下： 同 （２）， 可 证 得 △ＢＰＥ∽ △ＣＦＰ，所以 ＣＰ∶ＢＥ＝ＰＦ∶ＰＥ， 又因为 ＣＰ＝ＢＰ， 因此 ＰＢ∶ＢＥ＝ＰＦ∶ ＰＥ． 又因为 ∠ＥＢＰ ＝ ∠ＥＰＦ，所以 △ＢＰＥ∽ △ＰＦＥ． 上期４版 重点集训营 １．Ｄ；　２．２或１２７． ３．证明：（１）因为 ＡＢ＝ＡＣ，所以 ∠Ｂ＝ ∠Ｃ，因为ＣＥ＝ＢＦ，所以 △ＡＣＥ≌ △ＡＢＦ，所以 ∠ＣＡＥ＝∠ＢＡＦ． （２）因为△ＡＣＥ≌ △ＡＢＦ，所以 ＡＥ＝ＡＦ， ∠ＣＡＥ＝∠ＢＡＦ，因为 ＡＥ２ ＝ＡＱ·ＡＢ，ＡＣ＝ ＡＢ，所以ＡＥＡＱ ＝ ＡＢ ＡＥ，即 ＡＥ ＡＱ＝ ＡＣ ＡＦ，所以 △ＡＣＥ ∽△ＡＦＱ． 书 ２７．３位似 １．（２０２４沧州一模）如图１，在正方形网格中，以点 Ｏ为位似中心，△ＡＢＣ的位似图形可以是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．△ＤＥＦ Ｂ．△ＤＦＨ Ｃ．△ＧＥＨ Ｄ．△ＧＤＪ ２．（２０２４保定期中）如图２，在正方形网格中，两个 阴影部分的格点三角形位似，则位似中心为 （　　） Ａ．点Ｍ Ｂ．点Ｎ Ｃ．点Ｐ Ｄ．点Ｑ ３．（２０２４乌鲁木齐一模）如图３，△ＡＢＣ与 △ＤＥＦ 是位似图形，点Ｏ为位似中心，且 ＯＡ∶ＯＤ＝１∶２，若 △ＡＢＣ的周长为８，则△ＤＥＦ的周长为 （　　） 槡Ａ．４ Ｂ．２２ Ｃ．１６ Ｄ．３２ ４．（２０２４晋城一模）在平面直角坐标系中，△ＡＢＣ 与△Ａ１Ｂ１Ｃ１关于原点Ｏ位似，点Ａ及其对应点Ａ１的坐 标分别为（－１，２），（３，－６），则△ＡＢＣ与△Ａ１Ｂ１Ｃ１的 相似比为 ． ５．（２０２３重庆渝北区一模）如图４，四边形ＡＢＣＤ与 四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′是以点Ｏ为位似中心的位似图形，已 知 ＯＡ ＯＡ′＝ ２ ５，若四边形 ＡＢＣＤ的面积是 ２，则四边形 Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的面积为 ． ６．（２０２３河源期末）已知△ＡＢＣ在平面直角坐标系 中的位置如图５所示． （１）在图中画出△ＡＢＣ沿ｘ轴翻折后的△Ａ１Ｂ１Ｃ１； （２）以点 Ｍ（１，２）为位似中心，作出 △Ａ１Ｂ１Ｃ１按 １∶２放大后的位似图形△Ａ２Ｂ２Ｃ２； （３）求点Ａ２的坐标以及△ＡＢＣ与△Ａ２Ｂ２Ｃ２的周长 比． １．（２０２４西安一模）如图１，在 △ＡＢＣ中，ＢＥ平分 ∠ＡＢＣ，交ＡＣ于点Ｅ，作ＥＤ∥ＡＢ，交ＢＣ于点Ｄ，若ＢＤ ＝６，ＡＢ＝１０，则ＤＣ的长为 （　　） Ａ．２４５ Ｂ．９ Ｃ． １８ ５ Ｄ．８ ２．（２０２４太原三模）如图２所示，ＢＥ是△ＡＢＣ的中 线，点Ｄ是ＡＢ边靠近顶点Ｂ的一个三等分点，连接ＣＤ， 交ＢＥ于点Ｆ，则ＤＦＣＦ等于 （　　） Ａ．１２ Ｂ． １ ３ Ｃ． １ ４ Ｄ． １ ５ ３．（２０２３丹东）如图３，在正方形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ １２，点Ｅ，Ｆ分别在边ＢＣ，ＣＤ上，ＡＥ与ＢＦ相交于点Ｇ，若 ＢＥ＝ＣＦ＝５，则ＢＧ的长为 ． ４．（２０２４乌鲁木齐二模）如图４，在四边形 ＡＢＣＤ 中，∠ＡＤＣ＝９０°，对角线ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｅ，ＡＢ＝ＢＣ ＝ＡＣ＝６，若ＢＥ＝２ＤＥ，则ＢＤ＝ ． ５．（２０２４宜宾）如图５，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ ＝２，ＡＤ＝４，Ｅ，Ｆ分别是边ＣＤ，ＡＤ上的动点，且ＣＥ＝ ＤＦ．当ＡＥ＋ＣＦ的值最小时，则ＣＥ＝ ． ６．如图６，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＣＡ＝ＣＢ，∠ＡＣＢ＝９０°， Ｄ为ＡＢ的中点，Ｅ是射线ＣＤ上的一点，连接ＥＢ，ＥＡ，Ｆ 是ＢＣ上一点，且满足ＥＦ＝ＥＢ，ＥＦ⊥ＦＧ． （１）求∠ＡＥＦ的度数； （２）求证：ＡＥ２ ＝ＡＤ· 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ＥＧ． 书 上期２版 ２７．２．１相似三角形的判定（第四课时） 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ；　３．７０；　４．４． ５．（１）作图略． （２）证明：因为 ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ，所以 ∠ＢＡＤ＝ １ ２∠ＢＡＣ，因为∠ＢＡＣ＝２∠Ｃ，所以∠Ｃ＝ １ ２∠ＢＡＣ， 所以 ∠ＢＡＤ ＝∠Ｃ，又因为 ∠ＡＢＤ ＝∠ＣＢＡ，所以 △ＡＢＤ∽△ＣＢＡ． 能力提高　６．证明：（１）因为ＡＣ平分∠ＤＡＢ，所以 ∠ＤＡＣ＝∠ＣＡＢ．因为∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＢ＝９０°，所以△ＡＤＣ ∽△ＡＣＢ，所以ＡＤ∶ＡＣ＝ＡＣ∶ＡＢ，所以ＡＣ２＝ＡＢ·ＡＤ． （２）因为Ｅ为ＡＢ的中点，所以ＣＥ＝ＢＥ＝ＡＥ，所 以∠ＥＡＣ＝∠ＥＣＡ．因为∠ＤＡＣ＝∠ＣＡＢ，所以∠ＤＡＣ ＝∠ＥＣＡ．又因为 ∠ＡＦＤ ＝∠ＣＦＥ，所以 △ＡＦＤ∽ △ＣＦＥ． ２７．２．２相似三角形的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ；　３．Ａ；　４．Ａ； ５．１１６；　６．１６；　７．３０． 能力提高 　８．（１）证明：因为 ＡＢ∥ ＤＣ，所以 ∠ＡＢＤ＝∠ＢＤＣ，∠ＡＢＣ＋∠Ｃ＝１８０°．因为∠ＡＢＣ＋ ∠ＡＤＢ＝１８０°，所以 ∠Ｃ＝∠ＡＤＢ，所以 △ＡＢＤ∽ △ＢＤＣ． （２）Ｓ△ＢＤＣ ＝１２． ２７．２．３相似三角形的应用举例 基础训练　１．Ｂ；　２．３．６；　３．１２． 能力提高　４．该龙形雕像的高度为１３．５ｍ． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｃ Ｂ Ｂ Ｂ Ｄ Ｂ Ｂ 二、９．∠ＡＥＤ＝∠Ｂ（答案不惟一）；　１０．３； １１．槡２２；　１２．３０°或６０°；　１３．３；　１４．槡 １７ ２ ． 三、１５．证明：因为ＣＤ⊥ＡＢ，ＥＦ⊥ＡＥ，所以∠ＦＤＧ ＝∠ＦＥＧ＝９０°，所以 ∠ＤＧＥ＋∠ＤＦＥ＝１８０°．因为 ∠ＢＦＥ＋∠ＤＦＥ＝１８０°，所以∠ＢＦＥ＝∠ＤＧＥ，又因为 ∠ＤＧＥ＝∠ＡＧＣ，所以∠ＡＧＣ＝∠ＢＦＥ，又因为∠ＡＣＢ ＝∠ＦＥＧ＝９０°，所以 ∠ＡＥＣ＋∠ＢＥＦ＝∠ＡＥＣ＋ ∠ＥＡＣ＝９０°，所以 ∠ＥＡＣ＝∠ＢＥＦ，所以 △ＡＧＣ∽ △ＥＦＢ． １６．ＯＡ的高度是６．３ｍ． １７．（１）证明：因为 ＤＥ∥ ＢＣ，所以 △ＡＤＮ∽ △ＡＢＭ，△ＡＮＥ∽△ＡＭＣ，所以ＤＮＢＭ＝ ＡＮ ＡＭ， ＥＮ ＣＭ＝ ＡＮ ＡＭ，所 以 ＤＮ ＢＭ ＝ ＥＮ ＣＭ，又因为点 Ｍ是 ＢＣ的中点，所以 ＢＭ ＝ ＣＭ，所以ＤＮ＝ＥＮ． （２）Ｓ△ＡＢＣ ＝５０． １８．（１）灯泡离地面的高度ＰＭ为１８０ｃｍ． （２）横向影子Ａ′Ｂ，Ｄ′Ｃ的长度和为１２ｃｍ． １９．证明：（１）因为ＡＤ∥ＢＣ， 所以∠ＭＡＢ＝１８０°－∠ＡＢＣ， 因为 ∠ＢＧＦ＝∠ＡＢＣ，所以 ∠ＭＡＢ＝１８０°－∠ＢＧＦ， 因为∠ＡＧＢ＝１８０°－∠ＢＧＦ， 所以∠ＡＧＢ＝∠ＭＡＢ． （下转１，４版中缝） !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ !"#$%&'"() !" * +,#-./01 23(4567*8 !9.:;:< , !=B:C< !DEFGHI-"#.+#&'.&#( !9.JKLMNOPQRSTUVWX ."&YZ[.\]"Z$DEF !^_D`I-"---( !RaFbcdeI-"#.!#&'..&# -"#.!#&'.&"'fghi !jkIlm9.RaFKnopqrs^tfuv !^_bkdeL...)# !wxyzb{|b}~b !9cpqrOfR8€‚ƒ„c !…†‡ˆ‰wŠYL./----/---..- !…†FGHL-"#.!#&'.&## !-c‹ŒŽ‘’“”•–—f˜™Rš›UœžŸ ¡¢£ .. Y¤¥’¦§”’¨©ª«0¦lm9.RaFKn¬­ ®,$9./01 23(¯°67*± ! " # $ % . & ' . ! # ! " ! " # ( ) $ * ! / ! " # ( $ !! "! #! (! ! . ! " # ( ) * + $ , - ! & . / 0 % # * ! ( " # * ! ( ) " ! . ! & # ) ( + * " ! ! " # ( * ! " ! / # * ( ) ! " ! # ! ( * , + # ) " ! ( 2¶· "¦#¸"¹± 书书书 《 相 似 》 章 节 测 试 卷 ◆ 数 理 报 社 试 题 研 究 中 心 　 （ 说 明 ： 本 试 卷 为 闭 卷 笔 答 ， 答 题 时 间 １２ ０ 分 钟 ， 满 分 １２ ０ 分 ） 　 题 　 号 一 二 三 总 　 分 得 　 分 第 Ⅰ 卷 选 择 题 （ 共 ３０ 分 ） 题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答 案 一 、 精 心 选 一 选 （ 本 大 题 １０ 个 小 题 ， 每 小 题 ３ 分 ， 共 ３０ 分 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 １． （ ２０ ２４ 连 云 港 ） 如 图 １， 网 格 中 各 个 小 正 方 形 的 边 长 均 为 １， 阴 影 部 分 图 形 分 别 记 作 甲 、乙 、丙 、丁 ，其 中 是 相 似 形 的 为 （ 　 　 ） Ａ ．甲 和 乙 Ｂ． 乙 和 丁 Ｃ． 甲 和 丙 Ｄ ．甲 和 丁 ２． （ ２０ ２４ 深 圳 模 拟 ） 如 图 ２， 直 线 ａ ∥ ｂ ∥ ｃ， 分 别 交 直 线 ｍ ，ｎ 于 点 Ａ， Ｂ， Ｃ， Ｄ ，Ｅ ，Ｆ ．若 ＡＣ ∶ ＢＣ ＝ ５ ∶ ２， ＥＦ ＝ ４， 则 Ｄ Ｅ 的 长 为 （ 　 　 ） Ａ ．４ Ｂ． ５ Ｃ． ６ Ｄ ．１ ０ ３ ． （ ２０ ２４ 西 安 三 模 ） 如 图 ３， 在 △ ＡＢ Ｃ 中 ，点 Ｄ ，Ｅ 分 别 是 ＡＢ ， ＡＣ 上 的 点 ，连 接 Ｄ Ｅ， ＡＢ ＝ ２Ａ Ｅ， Ａ Ｃ ＝ ２Ａ Ｄ ，若 ＢＣ ＝ ８， 则 Ｄ Ｅ 的 长 为 （ 　 　 ） Ａ ．４ Ｂ． ５ Ｃ． ６ Ｄ ．２ ４ ． （ ２０ ２４ 渭 南 二 模 ） 如 图 ４， 在  ＡＢ ＣＤ 中 ，点 Ｅ 在 ＢＣ 上 ，连 接 ＢＤ ，Ａ Ｅ， ＡＥ 与 ＢＤ 交 于 点 Ｆ， 若 Ｓ △ ＡＦ Ｄ ＝ １８ ，Ｓ △ ＢＥ Ｆ ＝ ８， 且 ＡＤ ＝ １２ ，则 ＣＥ 的 长 为 （ 　 　 ） Ａ ．３ Ｂ． ４ Ｃ． ５ Ｄ ．６ ５． （ ２０ ２４ 合 肥 期 末 ） 如 图 ５， 在 △ ＡＢ Ｃ 中 ，Ｄ ，Ｅ 分 别 为 ＡＢ ，Ａ Ｃ 边 上 的 点 ， Ｄ Ｅ ∥ ＢＣ ，Ｂ Ｅ 与 ＣＤ 相 交 于 点 Ｆ， 则 下 列 结 论 一 定 正 确 的 是 （ 　 　 ） Ａ ．Ｄ Ｆ ＦＣ ＝ ＡＥ ＡＣ Ｂ． ＡＤ ＡＢ ＝ ＥＣ ＡＣ Ｃ． ＡＤ Ｄ Ｂ ＝ Ｄ Ｅ ＢＣ Ｄ ．Ｄ Ｆ ＢＦ ＝ ＥＦ ＦＣ ６． （ ２０ ２４ 丹 东 月 考 ） 如 图 ６， 平 行 四 边 形 ＡＢ ＣＤ 中 ，Ｅ 是 ＢＡ 延 长 线 上 一 点 ，Ｃ Ｅ 与 ＡＤ ， Ｂ Ｄ 交 于 点 Ｆ， Ｇ， 则 图 中 相 似 三 角 形 （ 相 似 比 不 是 １） 共 有 （ 　 　 ） Ａ ．３ 对 Ｂ． ４ 对 Ｃ． ５ 对 Ｄ ．６ 对 ７． （ ２０ ２４ 温 州 一 模 ） 如 图 ７， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 等 边 △ ＯＡ Ｂ 的 顶 点 Ｏ（ ０， ０） ，Ｂ （ １， ０） ，已 知 △ ＯＡ ′Ｂ ′与 △ ＯＡ Ｂ 位 似 ，位 似 中 心 是 原 点 Ｏ， 且 △ ＯＡ ′Ｂ ′的 面 积 是 △ ＯＡ Ｂ 面 积 的 １６ 倍 ，则 点 Ａ 对 应 点 Ａ′ 的 坐 标 为 （ 　 　 ） Ａ ． （ １ ２ ，槡 ３ ２ ） Ｂ． （ 槡２ ３， ２） 或 （ 槡 － ２ ３， － ２） Ｃ． （ ４， 槡４ ３） Ｄ ．（ ２， 槡２ ３） 或 （ － ２， － 槡２ ３ ） ８． （ ２０ ２４ 福 州 一 模 ） 如 图 ８， 学 校 为 举 办 文 艺 汇 演 搭 建 了 舞 台 及 登 台 的 台 阶 ， 台 阶 总 高 度 ＡＢ ＝ ６０ ｃｍ ， 台 阶 部 分 铺 红 地 毯 ， 地 毯 长 度 为 １４ ０ ｃｍ ， 支 撑 钢 梁 Ｄ Ｅ ⊥ ＡＣ ，且 Ｄ 为 ＢＣ 的 中 点 ，则 钢 梁 Ｄ Ｅ 的 长 为 （ 　 　 ） Ａ ．２ ０ ｃｍ Ｂ ． ２４ ｃｍ Ｃ． ３２ ｃｍ Ｄ ．４ ０ ｃｍ ９． （ ２０ ２４ 安 徽 二 模 ） 如 图 ９， 在 矩 形 ＡＢ ＣＤ 中 ，Ａ Ｂ ＝ ２Ｂ Ｃ， 点 Ｍ 为 ＢＣ 的 中 点 ，以 点 Ｃ 为 圆 心 ，Ｃ Ｂ 长 为 半 径 作 弧 交 ＡＣ 于 点 Ｅ， 再 以 点 Ａ 为 圆 心 ， ＡＥ 长 为 半 径 作 弧 交 ＡＢ 于 点 Ｆ， 连 接 ＣＦ ，Ｄ Ｍ 与 ＣＦ 相 交 于 点 Ｇ， 则 ＣＧ ∶Ｇ Ｆ 的 值 为 （ 　 　 ） Ａ ．５ ＋ 槡 ５ １０ Ｂ． ２ ３ Ｃ． ２ ５ Ｄ ．槡 ５ － １ ２ １０ ．（ ２０ ２４ 芜 湖 月 考 ） 如 图 １０ ， △ ＡＢ Ｃ 是 等 边 三 角 形 ，Ｄ 是 边 ＡＣ 上 一 点 ，连 接 ＢＤ ，点 Ｅ 在 ＢＣ 的 延 长 线 上 ，且 ＢＤ ＝ ＤＥ ，延 长 ＥＤ 交 ＡＢ 于 点 Ｆ， 若 ＡＤ ∶Ｃ Ｄ ＝ ３ ∶ ２， 则 ＢＤ ∶ ＦＤ 的 值 为 （ 　 　 ） Ａ ． ５ ２ Ｂ． ５ ３ Ｃ． ２ Ｄ ． ３ ２ 第 Ⅱ 卷 非 选 择 题 （ 共 ９０ 分 ） 二 、 细 心 填 一 填 （ 本 大 题 共 ６ 个 小 题 ， 每 小 题 ３ 分 ， 共 １８ 分 ） １１ ．如 图 １１ ， 点 Ｏ 是 两 个 位 似 图 形 的 位 似 中 心 ， 若 Ｏ Ａ′ ＝ Ａ′ Ａ， 则 △ ＡＢ Ｃ 与 △ Ａ′ Ｂ′ Ｃ′ 的 周 长 之 比 等 于 ． １２ ．（ ２０ ２４ 扬 州 ） 物 理 课 上 学 过 小 孔 成 像 的 原 理 ，它 是 一 种 利 用 光 的 直 线 传 播 特 性 实 现 图 像 投 影 的 方 法 ．如 图 １２ ，燃 烧 的 蜡 烛 （ 竖 直 放 置 ） ＡＢ 经 小 孔 Ｏ 在 屏 幕 （ 竖 直 放 置 ） 上 成 像 Ａ′ Ｂ′ ．设 ＡＢ ＝ ３６ ｃｍ ，Ａ ′Ｂ ′ ＝ ２４ ｃｍ ． 小 孔 Ｏ 到 ＡＢ 的 距 离 为 ３０ ｃｍ ，则 小 孔 Ｏ 到 Ａ ′ Ｂ′ 的 距 离 为 ｃｍ ． １３ ．（ ２ ０ ２４ 南 京 月 考 ） 如 图 １３ ，Ｂ Ｄ 是 △ ＡＢ Ｃ 的 中 线 ，点 Ｅ 是 ＢＣ 边 上 一 点 ， Ａ Ｅ 交 ＢＤ 于 点 Ｆ， 若 ＢＦ ＝ ＦＤ ，则 ＢＥ ＣＥ ＝ ． １４ ．如 图 １４ ，等 边 △ ＡＢ Ｃ 被 矩 形 ＤＥ ＦＧ 所 截 ，Ｅ Ｆ ∥ ＢＣ ，线 段 ＡＢ 被 截 成 三 等 份 ．若 △ ＡＢ Ｃ 的 面 积 为 １２ ｃ ｍ ２ ， 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 ｃｍ ２ ． １５ ．（ ２０ ２４ 金 华 月 考 ） 一 个 长 方 体 容 器 放 置 在 水 平 桌 面 上 ，里 面 盛 有 水 ，绕 底 面 一 棱 进 行 旋 转 倾 斜 后 ， 水 面 恰 好 触 到 容 器 口 边 缘 ．如 图 １５ 是 此 时 的 示 意 图 ， 若 ＢＣ ＝ ６ ｃｍ ，Ａ Ｂ ＝ １６ ｃｍ ， 水 面 ＢＦ 离 桌 面 的 高 度 为 ９． ６ ｃｍ ， 则 此 时 点 Ｃ 离 桌 面 的 高 度 为 ｃｍ ． １６ ．（ ２０ ２３ 呼 和 浩 特 ） 如 图 １６ ， 正 方 形 ＡＢ ＣＤ 的 边 长 为 槡２ ５ ， 点 Ｅ 是 ＣＤ 的 中 点 ， Ｂ Ｅ 与 ＡＣ 交 于 点 Ｍ ，Ｆ 是 ＡＤ 上 一 点 ，连 接 ＢＦ 分 别 交 ＡＣ ，Ａ Ｅ 于 点 Ｇ， Ｈ ，且 ＢＦ ⊥ ＡＥ ，连 接 Ｍ Ｈ ，则 ＡＨ ＝ ，Ｍ Ｈ ＝ ． 三 、 耐 心 解 一 解 （ 本 大 题 共 ８ 个 小 题 ， 共 ７２ 分 ） １７ ．（ ２０ ２４ 扬 州 月 考 ，６ 分 ） 在 比 例 尺 为 １ ∶５ ０ ００ ０ 的 地 图 上 ，量 得 甲 、 乙 两 地 的 距 离 为 ２５ ｃｍ ，求 甲 、乙 两 地 的 实 际 距 离 ． ! " # $ % & ! ' $ ( ) & * + , - . / !"#$%&!' $ Ÿ º » ¼ ? ½ ¾ ! " # $ % & ! ' $ ( ) & * + , - . / ! " # ( ) * ! # ! " $ & ' ! ' ! " # ( ) * ! / ! " # + ) * ( ! ( ( ) ) * ! " # ( * ! ) ! " # ( ) * ! . - ! " # ( ) * + % ! 5 ! " # ( ) + , - . / , ! . # ! " # ( ) * + % , ! . ( " # $ # ! ! ! ! " ! ! . . ! ! " ! $ " ! " - 6 7 8 6 7 ! $ & 0 1 2 3 ! $ ! & ) * ( 1 2 ! " # 34 5 # * ! ( " ! " ! " # ( ) * ! $ " ! " # ( ) * + 0 % , 6 ! $ /