第19期 27.2.1-27.2.3（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（人教版）

书 上期２版 ２７．１图形的相似 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．槡２２；　４．６； ５．２ｙ＝３ｘ或３ｙ－２ｘ＝１０． ６．设运动ｔｓ能使矩形ＣＦＮＭ与矩形ＡＥＦＤ相似，由题意得 １６ ２ｔ＝ ８ ４或 １６ ４ ＝ ８ ２ｔ，解得ｔ＝４或ｔ＝１．所以当Ｍ，Ｎ运动４ｓ 或１ｓ能使矩形ＣＦＮＭ与矩形ＡＥＦＤ相似． ２７．２．１相似三角形的判定（第一课时） 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ；　３．６；　４．４∶２１． ５．ＧＨ的长为 ６５． 能力提高　６．（１）ＤＦ的长为１４． （２）因为点Ｇ是ＤＥ的中点，ＡＤ∥ＢＥ，ＱＧ＝３，所以ＤＧＤＥ＝ ＱＧ ＱＨ＝ １ ２，所以ＱＨ＝６，因为ＡＤ∥ＢＥ∥ＣＦ，所以 ＱＨ ＰＨ＝ ＡＢ ＢＣ，所 以 ６ ＰＨ＝ ２ ５，所以ＰＨ＝１５． ２７．２．１相似三角形的判定（第二课时） 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．１８；　４．①③． 能力提高　５．证明：由Ａ，Ｂ，Ｃ三点的坐标可以得到 ＯＡ＝ ３，ＯＢ＝４，ＡＤ＝１，ＣＤ＝２，所以ＡＢ＝５，ＡＣ＝槡５，ＢＣ＝ 槡２５， 在△ＡＢＣ和△ＡＣＤ中，因为ＡＣＡＤ＝ 槡５ １ ＝槡５， ＢＣ ＣＤ＝ 槡２５ ２ ＝槡５， ＡＢ ＡＣ ＝ ５ 槡５ ＝槡５，所以 ＡＣ ＡＤ＝ ＢＣ ＣＤ＝ ＡＢ ＡＣ，所以△ＡＢＣ∽△ＡＣＤ． ２７．２．１相似三角形的判定（第三课时） 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．２或８； ４．（１，４）或（３，４）． 能力提高　５．（１）证明：因为正方形ＡＢＣＤ，所以∠Ａ＝∠Ｄ ＝９０°，ＡＢ＝ＣＤ，因为ＣＦ＝３ＦＤ，所以ＦＤ＝ １４ＣＤ，因为Ｅ是 ＡＤ的中点，所以ＡＥ＝ＥＤ＝ １２ＡＤ，所以 ＡＥ ＡＢ＝ ＤＦ ＥＤ＝ １ ２，所以 △ＡＢＥ∽△ＤＥＦ． （２）△ＡＢＥ与△ＢＥＦ相似，理由：设ＡＢ＝ＡＤ＝ＣＤ＝４ａ，因 为Ｅ为边ＡＤ的中点，ＣＦ＝３ＦＤ，所以ＡＥ＝ＤＥ＝２ａ，ＤＦ＝ａ， 所以ＢＥ＝ 槡２５ａ，ＥＦ＝槡５ａ，ＢＦ＝５ａ，所以ＢＦ２＝ＥＦ２＋ＢＥ２， 即 ∠ＢＥＦ＝９０°，所以∠Ａ＝∠ＢＥＦ＝９０°，因为ＡＢＡＥ＝ ４ａ ２ａ＝２， ＢＥ ＥＦ＝ 槡２５ａ 槡５ａ ＝２，所以ＡＢＡＥ＝ ＢＥ ＥＦ，所以△ＡＢＥ∽△ＥＢＦ． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｂ Ｃ Ｃ Ｄ Ｂ Ｂ Ｂ 二、９．ＡＤＡＣ ＝ ＡＥ ＡＢ ＝ ＤＥ ＢＣ或 ∠ＤＡＢ＝∠ＣＡＥ或 ∠ＤＡＥ＝ ∠ＢＡＣ；　１０．８；　１１．１８；　１２．丁；　１３．９；　１４．槡２２． 三、１５．证明：因为菱形 ＡＥＦＧ∽ 菱 形ＡＢＣＤ，所以 ∠ＤＡＢ＝∠ＥＡＧ，所以 ∠ＤＡＢ＋∠ＧＡＢ＝∠ＥＡＧ＋∠ＧＡＢ，即 ∠ＥＡＢ＝∠ＧＡＤ，因为四边形 ＡＢＣＤ， ＡＥＦＧ都是菱形，所以 ＡＥ＝ＡＧ，ＡＢ＝ ＡＤ，所以 △ＥＡＢ≌ △ＧＡＤ，所以 ＧＤ＝ ＥＢ． （下转１，４版中缝） 书 相似三角形的知识在日常生活中有着十分广泛的 应用，尤其是在测量高度和距离方面．现从试题中选取 三例解析如下，供同学们学习时参考． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ （２０２３潍坊）在《数书 九章》（宋·秦九韶）中记载了一 个测量塔高的问题：如图１所示， ＡＢ表示塔的高度，ＣＤ表示竹竿顶 端到地面的高度，ＥＦ表示人眼到 地面的高度，ＡＢ，ＣＤ，ＥＦ在同一 平面内，点Ａ，Ｃ，Ｅ在一条水平直线上．已知ＡＣ＝２０米， ＣＥ＝１０米，ＣＤ＝７米，ＥＦ＝１．４米，人从点Ｆ远眺塔顶 Ｂ，视线恰好经过竹竿的顶端Ｄ，可求出塔的高度．根据 以上信息，塔的高度为 米． 解析：过Ｆ作ＦＱ⊥ＡＢ于Ｑ，交ＣＤ于Ｈ，则ＦＨ＝ ＣＥ＝１０米，ＱＨ＝ＡＣ＝２０米，ＦＱ＝ＡＥ＝ＡＣ＋ＣＥ＝ ３０米，ＥＦ＝ＣＨ＝ＡＱ＝１．４米，所以ＤＨ＝７－１．４＝ ５．６（米），因为ＤＣ∥ＢＡ，所以∠ＢＱＦ＝∠ＤＨＦ，∠ＱＢＦ ＝∠ＨＤＦ，所以△ＦＤＨ∽△ＦＢＱ，所以ＤＨＢＱ＝ ＦＨ ＦＱ，所以 １０ ３０＝ ５．６ ＱＢ，解得ＱＢ＝１６．８米，经检验符合题意，所以 ＡＢ＝ＡＱ＋ＱＢ＝１．４＋１６．８＝１８．２（米）．故填１８．２． 例２　（２０２４浙江一模）如 图２是凸透镜成像示意图，ＣＤ 是蜡烛ＡＢ通过凸透镜ＭＮ所成 的虚像，已知蜡烛的高 ＡＢ为 ４．８ｃｍ，蜡烛 ＡＢ离凸透镜 ＭＮ 的水平距离ＯＢ＝６ｃｍ，该凸透 镜的焦距 ＯＦ为 １０ｃｍ，ＡＥ∥ ＯＦ，则像 ＣＤ的高为 ｃｍ． 解析：因为ＡＥ∥ＯＦ，所以∠ＣＡＥ＝∠ＣＯＦ，∠ＣＥＡ ＝∠ＣＦＯ，所以△ＣＡＥ∽△ＣＯＦ，所以ＡＥＯＦ＝ ＣＡ ＣＯ＝ ６ １０ ＝ ３５，所以 ＯＡ ＯＣ＝ ２ ５，因为 ＡＢ∥ ＣＤ，所以 ∠ＯＡＢ＝ ∠ＯＣＤ，∠ＯＢＡ＝∠ＯＤＣ，所以△ＯＡＢ∽△ＯＣＤ，所以 ＯＡ ＯＣ＝ ＡＢ ＣＤ，所以 ２ ５ ＝ ４．８ ＣＤ，解得ＣＤ＝１２ｃｍ，所以像ＣＤ 的高为１２ｃｍ．故填１２． 例３　（２０２４河南模拟）漯河某 景区内建有供游客休息的凉亭．某 数学小组欲测量凉亭的高度，故抽 象出如图３所示的平面几何图形，已 知点 Ｄ，Ａ，Ｅ在地面的同一水平线 上，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝２．５米，ＢＣ＝３米，点Ｃ到地面的 距离是２．４米．求凉亭最高点Ｂ到地面的距离ＢＮ的长 （结果精确到０．１米）． 解析：过点Ｃ作ＣＧ⊥ＤＥ于Ｇ，ＣＨ⊥ＢＮ于Ｈ，则四 边形ＣＧＮＨ是矩形，所以∠ＧＣＨ＝∠ＣＨＢ＝９０°，ＮＨ＝ ＣＧ＝２．４米，在 Ｒｔ△ＡＧＣ中，由勾股定理，得 ＡＧ＝ ＡＣ２－ＣＧ槡 ２ ＝０．７米，因为∠ＡＣＢ＝９０°，所以∠ＡＣＧ ＝∠ＢＣＨ，又因为∠ＡＧＣ＝∠ＢＨＣ＝９０°，所以△ＡＧＣ ∽△ＢＨＣ，所以ＢＨＡＧ＝ ＢＣ ＡＣ，即 ＢＨ ０．７＝ ３ ２．５，所以 ＢＨ＝ ０．８４米，所以ＢＮ＝ＢＨ＋ＮＨ≈３．２（米）． 答：凉亭最高点Ｂ到地面的距离ＢＮ的长约为３．２米． 书 一、利用相似求运动时间 例１　（２０２４黔东南月考）如图 １ 所示，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝ ４ｃｍ，ＢＣ＝３ｃｍ．动点Ｍ从点Ｃ出发， 以１ｃｍ／ｓ的速度沿ＣＡ向终点Ａ移动， 同时动点Ｐ从点Ｂ出发，以２ｃｍ／ｓ的速 度沿ＢＡ向终点 Ａ移动，连接 ＰＭ，设移 动时间为ｔｓ（０＜ｔ＜２．５），求当ｔ为何值时，以Ａ，Ｐ，Ｍ 为顶点的三角形与△ＡＢＣ相似？ 解析：在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝４ｃｍ，ＢＣ＝ ３ｃｍ，根据勾股定理，得ＡＢ＝５ｃｍ，所以ＡＭ＝４－ｔ，ＡＰ ＝５－２ｔ，①当△ＡＭＰ∽△ＡＢＣ时，ＡＰＡＣ＝ ＡＭ ＡＢ，即 ５－２ｔ ４ ＝４－ｔ５ ，解得ｔ＝ ３ ２；②当△ＡＰＭ∽△ＡＢＣ时， ＡＭ ＡＣ＝ ＡＰ ＡＢ，即 ４－ｔ ４ ＝ ５－２ｔ ５ ，解得ｔ＝０（不合题意，舍去）． 综上所述，当ｔ＝３２时，以Ａ，Ｐ，Ｍ为顶点的三角形 与△ＡＢＣ相似． 二、利用相似求线段的长 例２　（２０２４衡阳期中）如图２， 在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝ ６，ＡＣ＝８，点Ｅ是ＡＣ上一个动点，点 Ｄ在ＢＣ上，且ＣＤ＝５，若以 Ｃ，Ｄ，Ｅ 为顶点的三角形与 △ＡＢＣ相似，则 ＣＥ的长度为 ． 　　　　　　　　　　　　　　　解析：因为∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝６，ＡＣ＝８，所以ＢＣ ＝１０，① 当 ∠ＥＤＣ＝９０°时，因为 ∠ＤＣＥ＝∠ＡＣＢ， ∠ＥＤＣ＝∠Ａ，所以△ＣＤＥ∽△ＣＡＢ，所以ＣＥＣＢ＝ ＣＤ ＣＡ，即 ＣＥ １０＝ ５ ８，解得 ＣＥ＝ ２５ ４；② 当 ∠ＤＥＣ＝９０°时，因为 ∠ＤＣＥ＝∠ＡＣＢ，∠ＤＥＣ＝∠Ａ，所以△ＣＥＤ∽△ＣＡＢ， 所以 ＣＥ ＣＡ＝ ＣＤ ＣＢ，即 ＣＥ ８ ＝ ５ １０，解得ＣＥ＝４． 综上所述，ＣＥ的长为４或２５４．故填４或 ２５ ４． 三、利用相似求函数表达式 例３　（２０２３上海一模）如 图３，梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，对 角线ＡＣ⊥ＢＣ，ＡＤ＝９，ＡＣ＝１２， ＢＣ＝１６，点Ｅ是边ＢＣ上一个动 点，∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＣ，ＡＦ交 ＣＤ 于点Ｆ、交ＢＣ延长线于点Ｇ，设ＢＥ＝ｘ． （１）用含ｘ的代数式表示ＦＣ； （２）设ＦＧＥＦ＝ｙ，求ｙ关于ｘ的函数关系式，并求ｘ的 取值范围． 解析：（１）因为ＡＣ⊥ＢＣ，所以∠ＡＣＢ＝９０°．因为 ＡＤ∥ＢＣ，所以∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＢ＝９０°．因为ＡＤ＝９，ＡＣ ＝１２，ＢＣ＝１６，所以ＡＢ＝２０，ＤＣ＝１５．因为ＢＣＡＣ＝ ＡＣ ＤＡ＝ ４ ３，∠ＡＣＢ＝∠ＤＡＣ，所以△ＡＢＣ∽△ＤＣＡ，所以∠Ｂ＝ ∠ＡＣＤ．因为∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＣ，所以∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＦ，所 以△ＡＢＥ∽△ＡＣＦ，所以ＡＢＡＣ＝ ＢＥ ＣＦ，所以 ２０ １２＝ ｘ ＣＦ，所以 ＣＦ＝ ３５ｘ． （２）因为 △ＡＢＥ∽ △ＡＣＦ，所以ＡＢＡＣ＝ ＡＥ ＡＦ，又因为 ∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＣ，所以△ＡＥＦ∽△ＡＢＣ，所以ＥＦＡＦ＝ ＢＣ ＡＣ＝ １６ １２＝ ４ ３，所以ＥＦ＝ ４ ３ＡＦ．因为 ＡＤ∥ ＣＧ，所以 ＦＧ ＦＡ＝ ＣＦ ＤＦ，所以ｙ＝ ＦＧ ＥＦ＝ ＦＧ ４ ３ＡＦ ＝３４· ＣＦ ＤＦ＝ ３ ４· ３ ５ｘ １５－３５ｘ ，整 理得ｙ＝ ３ｘ１００－４ｘ（０＜ｘ≤１６）． 书 !"#$%&' “ ()*+,!"* ； -./01 * 、 -.$2301* 、 -.41*5+,!"* ； 67 *+,!"*128 ” +9: ， ;<=>?@9: ， A BCDEFGHIJK!LMN ． !"# ： $%&'()*+,-.$%, 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 / １ （２０２３ !" ） OPQ!"#$%()1*R １∶４， STPQ#$%-.U1*V （　　） Ａ．１∶２ Ｂ．１∶４ Ｃ．１∶８ Ｄ．１∶１６ 01 ： WRPQ!"#$%()1*R １∶４， XB !"#$%-.U1*R １∶４． YZ Ｂ． !"2 ： $%&'(34+, -.$%,+56 / ２　（２０２４ #$%& ） [\ ， ]2^_U% ＡＢＣＤ / ，Ｅ V0` ＡＢ ?ab ， cd ＡＣ，ＤＥ e,b Ｆ． O ＡＥ ＥＢ＝ ２ ３，S Ｓ△ＡＥＦ Ｓ△ＣＤＦ ＝ ． 01 ： WR_U% ＡＢＣＤ V2^_U% ， XB ＡＢ＝ ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ，XB∠ＡＥＦ＝∠ＣＤＦ，∠ＥＡＦ＝∠ＤＣＦ， XB△ＥＡＦ∽△ＤＣＦ，WRＡＥＥＢ＝ ２ ３，XB ＡＥ ＡＢ＝ ＡＥ ＣＤ＝ ２ ５，XB Ｓ△ＡＥＦ Ｓ△ＣＤＦ ＝（ＡＥＣＤ） ２ ＝ ４２５．Yf ４ ２５． !"& ： $%&'(7!8+,-.$%, / ３　（２０２３ '()* ） gh △ＡＢＣ∽ △ＤＥＦ，i ＡＣ∶ＤＦ＝２∶３，ＢＣ j ＥＦ U?143klR ｈ１mｈ２，S ｈ１∶ｈ２+, ． 01 ： WR△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ，ＡＣ∶ＤＦ＝２∶３，XB ｈ１∶ｈ２ ＝ＡＣ∶ＤＦ＝２∶３．Yf２∶３． 书 １６． （１）△ＢＣＤ ∽ △ＢＡＣ．理由如下： 因为ＢＤ＝ ４３，ＡＢ＝ ３，ＢＣ＝２，所以ＢＤＢＣ＝ ４ ３ ２ ＝ ２３， ＢＣ ＢＡ＝ ２ ３，所以 ＢＤ ＢＣ ＝ ＢＣＢＡ．因 为 ∠ＤＢＣ ＝ ∠ＣＢＡ，所 以 △ＢＣＤ ∽ △ＢＡＣ． （２）ＡＣ＝ ５２． １７．（１）证明：因为ＥＣ 平分 ∠ＦＥＢ，所以 ∠ＦＥＣ ＝∠ＢＥＣ，因为ＥＦ∥ＢＣ， 所以 ∠ＢＣＥ＝∠ＦＥＣ，所 以 ∠ＢＣＥ＝∠ＢＥＣ，所以 ＢＥ＝ＢＣ． （２）ＡＥ＝ＢＣ．理由：因 为 ＡＤ∥ ＥＦ，所以ＤＦＣＦ ＝ ＡＥ ＢＥ，因为 ＤＦ＝ＦＣ，所以 ＡＥ＝ＢＥ，又因为 ＢＥ ＝ ＢＣ，所以ＡＥ＝ＢＣ． １８．（１）证明：因为ＡＢＡＤ ＝ＢＣＤＥ＝ ＡＣ ＡＥ，所以 △ＡＢＣ ∽ △ＡＤＥ，所以 ∠ＢＡＣ＝ ∠ＤＡＥ， 所 以 ∠ＢＡＣ － ∠ＤＡＦ＝∠ＤＡＥ－∠ＤＡＦ， 所以∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ． （２）∠ＥＢＣ的度数为 ２１°．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` '&!a>bFc=&>?PQR #dePfL"&""", #ZgRhFijL"&)'#)!%''!) 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ＡＥ＝１０， / Ｓ△ＡＤＥ ＋Ｓ△ＣＥＦ089 ． 书 类型１：已知条件涉及平行线 例１　（２０２４中卫月考）如图１， 在 △ＡＢＣ中，∠ＤＥＦ ＝∠Ｂ，ＤＥ∥ ＢＣ．求证：△ＡＤＥ∽△ＥＦＣ． 证明：因为 ＤＥ∥ ＢＣ，所以 ∠ＤＥＦ＝∠ＥＦＣ，△ＡＤＥ∽ △ＡＢＣ． 因为∠ＤＥＦ＝∠Ｂ，所以∠ＥＦＣ＝∠Ｂ，所以ＥＦ∥ＡＢ， 所以△ＥＦＣ∽△ＡＢＣ，所以△ＡＤＥ∽△ＥＦＣ． 温馨提示：当已知条件涉及平行线时，可直接利用 “平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的 三角形与原三角形相似”来证明两个三角形相似． 类型２：已知条件只涉及边 例２　如图２，在△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′中，点Ｄ，Ｄ′分 别是ＡＢ，Ａ′Ｂ′上的点，ＡＤＡＢ＝ Ａ′Ｄ′ Ａ′Ｂ′，当 ＣＤ Ｃ′Ｄ′＝ ＡＣ Ａ′Ｃ′＝ ＡＢ Ａ′Ｂ′ 时，求证：△ＡＤＣ∽△Ａ′Ｄ′Ｃ′． 证明：因为 ＡＤ ＡＢ＝ Ａ′Ｄ′ Ａ′Ｂ′，所以 ＡＤ Ａ′Ｄ′＝ ＡＢ Ａ′Ｂ′． 因为 ＣＤ Ｃ′Ｄ′＝ ＡＣ Ａ′Ｃ′＝ ＡＢ Ａ′Ｂ′，所以 ＣＤ Ｃ′Ｄ′＝ ＡＣ Ａ′Ｃ′＝ ＡＤ Ａ′Ｄ′， 所以△ＡＤＣ∽△Ａ′Ｄ′Ｃ′． 温馨提示：当已知条件只涉及边时，利用“三边成比 例的两个三角形相似”来证明两个三角形相似是常用 方法．判断三边是否成比例时，可先将三角形的边按大 小顺序排列． 类型３：已知条件既有角又有边 例３　（２０２４曲靖模拟）如图 ３，在 △ＡＢＣ中，ＣＤ＝ＣＥ，２ＡＤ＝ ３ＡＥ，２ＢＤ＝３ＣＤ，求证：△ＡＢＤ∽ △ＡＣＥ． 证明：因为 ＣＤ ＝ＣＥ，所以 ∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ，所以∠ＡＤＢ＝∠ＡＥＣ， 因为２ＡＤ＝３ＡＥ，２ＢＤ＝３ＣＤ， 所以 ＡＤ ＡＥ＝ ＢＤ ＣＤ＝ ＢＤ ＣＥ＝ ３ ２， 所以△ＡＢＤ∽△ＡＣＥ． 温馨提示：当已知两个三角形的两边对应成比例 时，要考虑其夹角是否相等，利用“两边成比例且夹角相 等的两个三角形相似”来证明三角形相似． 类型４：已知条件只涉及角 例４　（２０２４宿迁月考）如图４， 在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ，Ｅ分别在 ＢＣ，ＡＢ上，且 ∠ＢＤＥ ＝ ∠ＣＡＤ， △ＡＤＥ与△ＡＢＤ相似吗？为什么？ 解：△ＡＤＥ∽△ＡＢＤ，理由如下： 因为在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，所以∠Ｂ＝∠Ｃ， 因为∠ＡＤＢ＝∠Ｃ＋∠ＣＡＤ＝∠ＡＤＥ＋∠ＢＤＥ，而 ∠ＢＤＥ＝∠ＣＡＤ，所以∠ＡＤＥ＝∠Ｃ＝∠Ｂ， 因为∠ＤＡＥ＝∠ＤＡＥ，所以△ＡＤＥ∽△ＡＢＤ． 温馨提示：当已知条件只涉及角时，可用“两角分别 相等的两个三角形相似”来证明两个三角形相似．解决 这类题时，要注意图中公共角、对顶角等隐含条件． 书 １．（２０２４ !"#$ ） !△ＡＢＣ"#$，∠Ｃ＝９０°， ＢＣ＝５，ＡＣ＝７， %&"#'()*+ ， *,-./0 1234012567-8 （　　） ２．（２０２４ %&#$ ） %012 "# △ＡＢＣ9:;１-<=>?， @A Ｂ B!C ＡＣ D ， EFA Ｂ′， > GF ＥＦ． HI ＡＢ＝ＡＣ＝３，ＢＣ＝ ４， JKA Ｂ′，Ｆ，Ｃ FLA-012 3△ＡＢＣ67，MＢＦ＝ ． ３．（２０２３ '()# ） :; ２ NO ， !PQ△ＡＢＣ$， ＡＢ＝ＡＣ， A Ｅ，Ｆ !)R ＢＣ D ，ＣＥ＝ＢＦ， A Ｑ !)R ＡＢ D ， S ＡＥ２ ＝ＡＱ·ＡＢ． TU ： （１）∠ＣＡＥ＝∠ＢＡＦ； （２）△ＡＣＥ∽△ＡＦＱ． ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! # $ ! 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' % 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．（２０２４重庆一模）如果两个相似三角形的相似比 为１６∶９，那么这两个三角形对应边上的高之比为 （　　） Ａ．１６∶９ Ｂ．４∶３ Ｃ．９∶１６ Ｄ．２５６∶８１ ２．（２０２４昭通月考）如图１，Ｄ是△ＡＢＣ边ＡＢ上一 点，连接ＣＤ，则添加下列条件后，仍不能判定 △ＡＣＤ∽ △ＡＢＣ的是 （　　） Ａ．∠ＡＣＤ＝∠Ｂ Ｂ．∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＢ Ｃ．ＡＤＡＣ＝ ＣＤ ＢＣ Ｄ．ＡＣ ２ ＝ＡＤ·ＡＢ ３．（２０２３宿迁期末）如图２，在ＡＢＣＤ中，Ｅ是 ＡＢ 的中点，ＥＣ交ＢＤ于点Ｆ，那么ＥＦ与ＣＦ的比是（　　） Ａ．２∶１ Ｂ．１∶２ Ｃ．１∶３ Ｄ．３∶１ ４．（２０２４安庆一模）如图３，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＢＣ 边上，连接ＡＤ，点Ｇ在线段ＡＤ上，ＧＥ∥ＢＤ且交ＡＢ于点 Ｅ，ＧＦ∥ＡＣ且交ＣＤ于点Ｆ，若 Ｓ△ＡＥＧ Ｓ四边形ＥＢＤＧ ＝４５，ＡＣ＝９， 则ＧＦ的长为 （　　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．９２ Ｄ．６ ５．如图４是一个铁夹子的侧面示意图，点Ｃ是连接 夹面的轴上一点，ＣＤ⊥ＯＡ于点Ｄ．这个侧面图是轴对称 图形，直线 ＯＣ是它的对称轴．若 ＤＡ＝１５ｍｍ，ＤＯ＝ ２４ｍｍ，ＤＣ＝１０ｍｍ，则点Ａ与点Ｂ之间的距离为 （　　） Ａ．２０ｍｍ Ｂ．３０ｍｍ Ｃ．４０ｍｍ Ｄ．５０ｍｍ ６．（２０２４石家庄月考）有一 块锐角三角形余料 △ＡＢＣ，边 ＢＣ 为１５ｃｍ，ＢＣ边上的高为１２ｃｍ， 现要把它分割成若干个邻边长分 别为５ｃｍ和２ｃｍ的小长方形零 件，分割方式如图５所示（分割线 的耗料不计），使最底层的小长方形的长为５ｃｍ的边在 ＢＣ上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有 （　　） Ａ．３个 Ｂ．４个 Ｃ．５个 Ｄ．６个 ７．（２０２３晋中一模）如图 ６，在三边都不相等的 △ＡＢＣ的边ＡＢ上有一点Ｄ，过点Ｄ画一条直线，与三角 形的另一边相交所截得的三角形与△ＡＢＣ相似，这样的 直线最多可以画 （　　） Ａ．５条 Ｂ．４条 Ｃ．３条 Ｄ．２条 ８．如图７，在四边形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｃ＝９０°，ＤＦ∥ ＢＣ，∠ＡＢＣ的平分线ＢＥ交ＤＦ于点Ｇ，ＧＨ⊥ＤＦ，点Ｅ恰 好为ＤＨ的中点，若ＡＥ＝３，ＣＤ＝２，则ＧＨ的长为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．（２０２４昆明二模）如图８，在△ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ分 别在ＡＢ，ＡＣ边上，要使△ＡＢＣ∽△ＡＥＤ，则需要添加的 一个条件是 （写出一个即可）． １０．如图９，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡 （看作一个点），它发出的光线照射桌面后，在地面上形 成圆形阴影，经测量得，地面上圆形阴影的半径比桌面 半径大０．５米，桌面的直径为２米，桌面距离地面的高度 为１．５米，则灯泡到桌面的距离为 米． １１．如图１０，在平面直角坐标系中，ＯＡＢＣ的顶点 Ｏ在坐标原点，点Ｅ是对角线ＡＣ上一点，过点Ｅ作ＥＦ∥ ＢＣ，交ＡＢ于点Ｆ，ＯＣ＝２，∠ＡＯＣ＝４５°，点Ａ的坐标为 （４，０），点Ｆ的横坐标为５，则ＥＦ的长为 ． １２．如图 １１，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，∠Ｃ＝ ６０°，ＢＣ＝２４，点Ｐ是ＢＣ边上的动点（点Ｐ与点Ｂ，Ｃ不 重合），过动点Ｐ作ＰＤ∥ＢＡ交ＡＣ于点Ｄ．若△ＡＢＣ与 △ＤＡＰ相似，则∠ＡＰＤ＝ ． １３．四分仪是一种十分古老的测量仪器，其出现可 追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．如图１２是古代 测量员用四分仪测量一方井深度的示意图，将四分仪置 于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点 Ｆ，窥衡杆与 四分仪的一边ＢＣ交于点 Ｈ，四分仪为正方形 ＡＢＣＤ，方 井为矩形ＢＥＦＧ．若测量员从四分仪中读得 ＡＢ为１，ＢＨ 为０．５，实地测得ＢＥ为２，则井深ＢＧ为 ． １４．（２０２４运城一模）如图１３，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ ＝５，ＢＣ＝６，点Ｄ为ＡＣ边的中点，点Ｅ为ＢＣ边上一动 点，连接ＥＤ并延长，交ＢＡ的延长线于点Ｆ，当点Ａ恰好 为ＢＦ的中点时，ＤＥ的长为 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（２０２４铜仁月考，１０分）如图１４，在Ｒｔ△ＡＢＣ中， ∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｄ，Ｅ为ＢＣ上一点，连接 ＡＥ，作ＥＦ⊥ＡＥ交ＡＢ于Ｆ．求证：△ＡＧＣ∽△ＥＦＢ． １６．（２０２３成都期末，１０分）小言家窗外有一个路 灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小言一直 想知道这个路灯的准确高度，当学了相似三角形的知识 后，她意识到自己可以解决这个问题了！如图１５，路灯顶 部Ａ处发光，光线透过窗子ＢＣ照亮地面的长度为ＤＥ，小 言测得窗户距离地面高度 ＢＦ＝０．７ｍ，窗高 ＢＣ＝ １．４ｍ，某一时刻，ＦＤ＝０．７ｍ，ＤＥ＝２．１ｍ，请你根据小 言测得的数据，求出路灯的高度ＯＡ． １７．（２０２４洛阳期中，１０分）如图１６，△ＡＢＣ中，ＤＥ∥ ＢＣ，ＢＥ与ＣＤ交于点Ｏ，ＡＯ与ＤＥ，ＢＣ分别交于点Ｎ，Ｍ． （１）若点Ｍ是ＢＣ的中点，求证：ＤＮ＝ＥＮ； （２）若ＯＮ∶ＯＭ＝２∶５，四边形ＢＣＥＤ的面积为４２， 求△ＡＢＣ的面积． １８．（１０分）小明和几位同学做手的影子游戏时，发 现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有 关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源 到物体的位置．于是，他们做了以下尝试． （１）如图１７－①，垂直于地面放置的正方形框架 ＡＢＣＤ，边长ＡＢ为３０ｃｍ，在其上方点 Ｐ处有一灯泡，在 灯泡的照射下，正方形框架的横向影子Ａ′Ｂ，Ｄ′Ｃ的长度 和为６ｃｍ．那么灯泡离地面的高度ＰＭ为多少？ （２）不改变图１７－①中灯泡的高度，将两个边长为 ３０ｃｍ的正方形框架按图１７－②摆放，请计算此时横向 影子Ａ′Ｂ，Ｄ′Ｃ的长度和为多少？ １９．（２０２４三明期中，１２分）如图１８，在菱形 ＡＢＣＤ 中，Ｍ为ＡＤ的中点，ＢＭ与ＡＣ的交点为Ｅ，点Ｆ在边ＢＣ 上，ＡＦ交ＢＭ于点Ｇ，且∠ＢＧＦ＝∠ＡＢＣ． （１）求证：△ＢＡＧ∽△ＢＭＡ； （２）若∠ＡＢＣ＝６０°，连接ＣＧ，求证：ＣＧ⊥ＢＭ． ２０．（１２分）在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°，Ｐ 为ＢＣ上的动点，小慧拿含４５°角的透明三角板，使４５° 角的顶点落在点Ｐ处，三角板可绕Ｐ点旋转． （１）如图１９－①，当三角板的两边分别交ＡＢ，ＡＣ于 点Ｅ，Ｆ时，求证：△ＢＰＥ∽△ＣＦＰ； （２）将三角板绕点Ｐ旋转到图１９－②情形时，三角 板的直角顶点交ＢＡ的延长线于点Ｅ，斜边交ＡＣ于点Ｆ， 则△ＢＰＥ与△ＣＦＰ还相似吗（只需写出结论）？ （３）在（２）的条件下，连接 ＥＦ，则动点 Ｐ运动到什 么位置时，△ＢＰＥ与△ＰＦＥ相似？请说明理由                                                                                                                                                                 ． 书 ２７．２．１相似三角形的判定（第四课时） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．（２０２４邵阳期中）如图１，在矩形 ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ 分别是ＣＤ，ＢＣ上的点．若∠ＡＥＦ＝９０°，则一定有 （　　） Ａ．△ＡＥＦ∽△ＡＢＦ Ｂ．△ＡＢＦ∽△ＥＣＦ Ｃ．△ＡＤＥ∽△ＡＥＦ Ｄ．△ＡＤＥ∽△ＥＣＦ ２．如图２，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，Ｄ是ＡＢ边 的中点，ＡＦ⊥ＣＤ于点Ｅ，交ＢＣ边于点Ｆ，连接ＤＦ，则图 中与△ＡＣＥ相似的三角形共有 （　　） Ａ．２个 Ｂ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个 ３．如图３，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝４０°，点 Ｄ是边ＡＣ上的动点（点Ｄ不与点Ａ，Ｃ重合），当∠ＢＤＣ ＝ 度时，△ＡＢＣ∽△ＢＤＣ． ４．（２０２３北京密云区期末）如图４，矩形ＡＢＣＤ中， ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，Ｅ是ＢＣ上一点，ＢＥ＝１，ＡＥ与ＢＤ交于 点Ｆ，则ＤＦ的长为 ． ５．（２０２４咸阳期中）如图５，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝ ２∠Ｃ． （１）在图中作出△ＡＢＣ的内角平分线ＡＤ（要求：尺 规作图，保留作图痕迹，不写证明）； （２）求证：△ＡＢＤ∽△ＣＢＡ． 能力提高 ６．如图６，四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ平分∠ＤＡＢ，∠ＡＤＣ ＝∠ＡＣＢ＝９０°，Ｅ为ＡＢ的中点，连接ＣＥ．求证： （１）ＡＣ２ ＝ＡＢ·ＡＤ； （２）△ＡＦＤ∽△ＣＦＥ． ２７．２．２相似三角形的性质 １．（２０２４济南期末）若两个相似三角形的相似比为 ２∶３，其中较小的三角形的周长为８，则较大的三角形的 周长为 （　　） Ａ．６ Ｂ．８ Ｃ．１２ Ｄ．１６３ ２．（２０２４成都二模）如图１，在△ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ分 别在边ＡＢ和ＡＣ上，连接 ＤＥ，若ＤＥＢＣ＝ １ ２，则 Ｓ△ＡＤＥ∶ Ｓ四边形ＤＢＣＥ的值为 （　　） Ａ．１∶２ Ｂ．１∶３ Ｃ．１∶４ Ｄ．２∶３ ３．两个相似三角形的面积之比为１∶４，小三角形一 条边上的中线长为４，则另一个三角形对应边上的中线 长为 （　　） Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．５ ４．（２０２３莆田期末）如图２所示的是某家用晾衣架 的侧面示意图，已知ＡＢ∥ＰＱ，根据图中数据，Ｐ，Ｑ两点 间的距离是 （　　） Ａ．０．６ｍ Ｂ．０．８ｍ Ｃ．０．９ｍ Ｄ．１ｍ ５．（２０２３宿迁月考）如图３，Ｄ，Ｅ分别是 △ＡＢＣ的 边ＡＢ，ＢＣ上的点，ＤＥ∥ＡＣ，若Ｓ△ＢＤＥ∶Ｓ△ＣＤＥ ＝１∶３，则 Ｓ△ＤＯＥ∶Ｓ△ＡＯＣ的值为 ． ６．（２０２３合肥月考）如图４，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝ ９０°，棱长为１的立方体的表面展开图有两条边分别在 ＡＣ，ＢＣ上，有两个顶点在斜边 ＡＢ上，则 △ＡＢＣ的面积 为 ． ７．（２０２４桂林期中）如图５，有 一块三角形余料ＡＢＣ，它的边 ＢＣ＝ １８ｃｍ，高 ＡＤ＝１２ｃｍ，现在要把它 加工成长与宽的比为３∶２的矩形零 件ＥＦＣＨ，要求一条长边在ＢＣ上，其 余两个顶点分别在 ＡＢ，ＡＣ上，则矩形 ＥＦＧＨ的周长为 ｃｍ． ８．如图６，已知ＡＢ∥ＤＣ，∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＢ＝１８０°． （１）求证：△ＡＢＤ∽△ＢＤＣ； （２）若ＡＥ平分 ∠ＤＡＢ，ＢＦ平分 ∠ＤＢＣ，且 ＢＦ＝ ２ＡＥ，Ｓ△ＡＢＤ ＝３，求Ｓ△ＢＤＣ． ２７．２．３相似三角形应用举例 １．（２０２４徐州一模）如图１－①，“矩”在古代指两 条边成直角的曲尺，它的两边长分别为 ａ，ｂ．中国古老 的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了 “矩”的功能，如“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰 立放可测物体的高度，如图１－②，从“矩”ＡＦＥ的一端Ａ 望向树顶端的点Ｃ，使视线通过“矩”的另一端Ｅ，测得 ＡＢ＝１．５ｍ，ＢＤ＝６．２ｍ．若“矩”的边ＥＦ＝３０ｃｍ，边 ＡＦ＝６０ｃｍ，则树高ＣＤ为 （　　） Ａ．３．１ｍ Ｂ．４．６ｍ Ｃ．５．３ｍ Ｄ．４．２ｍ ２．（２０２３成都一模）如图２，数学兴趣小组下午测 得一根长为０．８ｍ的竹竿影长是１ｍ，同一时刻测量树 高时发现树的影子有一部分落在教学楼的墙壁上，测 得留在墙壁上的影高１．２ｍ，地面上的影长为３ｍ，请你 帮算一下，树高是 ｍ． ３．如图３，ＡＤ，ＢＣ为两路灯， 身高均为１．８ｍ的小明、小亮站 在两路灯之间，两人相距６．５ｍ， 小明站在Ｐ处，小亮站在Ｑ处，小 明在路灯Ｃ下的影长ＡＰ为２ｍ， 路灯ＢＣ高９ｍ，则路灯ＡＤ的高为 ｍ． ４．（２０２４榆林一模）龙是中国等东亚区域古代神话 传说中的神异动物，是中华民族最具代表性的传统文 化之一．恰逢龙年，政府部门在某广场上做了一个龙形 雕像．某数学兴趣小组想要利用所学知识测量该雕像 的高度．如图４，雕像的高度为ＡＢ，在地面ＢＣ上取Ｅ，Ｇ 两点，分别竖立两根高均为１．５ｍ的标杆ＥＦ和ＧＨ，两 标杆间隔ＥＧ为８ｍ，并且雕像ＡＢ，标杆ＥＦ和ＧＨ在同 一竖直平面内．从标杆 ＥＦ后退２ｍ到 Ｄ处（即 ＥＤ＝ ２ｍ），从Ｄ处观察Ａ点，Ａ，Ｆ，Ｄ三点在一条直线上；从标 杆 ＧＨ后退３ｍ到Ｃ处（即ＣＧ＝３ｍ），从Ｃ处观察Ａ点， Ａ，Ｈ，Ｃ三点也在一条直线上．已知 Ｂ，Ｅ，Ｄ，Ｇ，Ｃ在同一 直线上，ＡＢ⊥ＢＣ，ＥＦ⊥ＢＣ，ＧＨ⊥ＢＣ，请你根据以上测 量数据，帮助兴趣小组求出该龙形雕像的高度 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 （３）证明：由（１）知 ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ．因为ＡＢＡＤ ＝ＡＣＡＥ，所以 ＡＢ ＡＣ＝ ＡＤ ＡＥ，所以 △ＡＢＤ∽△ＡＣＥ． １９．（１）Ａ４纸较长边 与较短边的比为槡２． （２）相似．理由：由 （１）知：Ａ５纸长边为Ａ４纸 短边，长为（槡２＋１）ｘ，Ａ５ 纸短边长为（槡 ２＋２ ２ ）ｘ，所 以在Ａ５纸中，长边 ∶短边 ＝（槡２＋１）ｘ （槡 ２＋２ ２ ）ｘ ＝槡２，所以 Ａ４纸与Ａ５纸相似． ２０．（１）过点 Ｄ作 ＤＥ ∥ＰＭ交ＡＢ于点Ｅ，因为点 Ｄ为 ＢＣ中点，ＡＰ∶ＰＤ＝ ２∶１，所以点Ｅ是ＡＢ中点， 且 ＡＭ ＡＥ＝ ＡＰ ＡＤ＝ ２ ３，所以 ＡＭ ＡＢ ＝ＡＭ２ＡＥ＝ １ ３． （２）证明：延长 ＡＤ至 点 Ｑ，使 ＤＱ ＝ＡＤ，连接 ＢＱ，ＣＱ，则四边形ＡＢＱＣ是 平行四边形，所以 ＰＭ∥ ＢＱ，ＰＮ∥ ＣＱ，所以ＡＭＡＢ ＝ ＡＰ ＡＱ， ＡＮ ＡＣ＝ ＡＰ ＡＱ，所以 ＡＭ ＡＢ＝ ＡＮ ＡＣ． （３）证明：过点 Ｄ作 ＤＥ∥ＰＭ交ＡＢ于点Ｅ，所 以 ＡＭ ＡＥ＝ ＡＰ ＡＤ．又因为ＰＭ∥ ＡＣ，所以ＤＥ∥ＡＣ，所以ＡＥＡＢ ＝ＣＤＢＣ，所以 ＡＭ ＡＢ＝ ＡＭ ＡＥ× ＡＥ ＡＢ ＝ＡＰＡＤ× ＣＤ ＢＣ．同理可得 ＡＮ ＡＣ ＝ＡＰＡＤ× ＢＤ ＢＣ，所以 ＡＭ ＡＢ＋ ＡＮ ＡＣ ＝ＡＰＡＤ×（ ＣＤ ＢＣ＋ ＢＤ ＢＣ）＝ ＡＰ ＡＤ． 上期４版 重点集训营 １．４ｃｍ；　２．１６；　３． 槡５ ３；　４． ９ ２；　５．２６． !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ !" #$ %& %&'( ! 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