专题11平行线及其判定（巩固提升五大类型25题+能力培优8题+拓展突破8题）-【寒假分层作业】2025年七年级数学寒假培优练（人教版2024）

专题11平行线及其判定（巩固提升五大类型25题+能力培优8题+拓展突破8题） 知识清单 1.平行线 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 记作：a∥b； 读作：直线a平行于直线b． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 2.平行公理及推论 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 3.平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．  （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．  （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 平行及平行公理 1．（24-25七年级上·全国·期末）下列说法中正确的是（    ） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．相等的角是对顶角 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在平面中过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的定义及公理，对顶角相等以及和垂直的概念，解题的关键在于熟练掌握相关定义．利用平行线的定义及公理，对顶角的概念和垂直的概念逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：A 、在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，故选项说法错误，不符合题意； B、对顶角相等，但是相等的不一定是对顶角，故选项说法错误，不符合题意； C、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故选项说法错误，不符合题意； D、在平面中过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项说法正确，符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）在同一平面内有三条不同的直线，若，则a与b的位置关系为（   ） A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查垂直的定义，熟练掌握垂直的定义是解题关键．根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，即可得出结果． 【详解】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． ， 故选：C． 3．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）下列说法中：①若，，则；②若与相交，与相交，则与相交；③相等的角是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．不正确的有（   ）． A．①② B．②③ C．②③④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查平行公理，对顶角相等，两条直线的位置关系，熟练掌握两条直线位置关系的相关概念是解题的关键． 根据平行公理，对顶角，两条直线的位置关系，逐个进行判断即可． 【详解】解：①若，，则，故本项符合题意； ②若与相交，与相交，则与不一定相交，故本项不符合题意； ③相等的角不一定是对顶角，故本项不符合题意； ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本项不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查平行线的性质和判定、相交线．利用同一个平面内，两条直线的位置关系依次对各选项进行判断即可．掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 【详解】解：①在同一平面内，若直线，，则；故此说法正确； ②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交，故此说法正确； ③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线也有可能平行，故此说法错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此说法错误． ∴说法正确的是①②． 故答案为：①②． 平行线的作图问题 5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，F是直线上一点，按要求画图： (1)过点F作直线的垂线段，垂足为E； (2)过点W作直线的平行线，交线段于点M． (3)过点A作线段的垂线，垂足为N； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查过一点作已知线段的垂线段，和过一点作已知直线的平行线，掌握作图方法是解题的关键． （1）过直线外一点F作已知直线的垂线画出即可； （2）过直线外一点W作已知直线的平行线画出即可； （3）过直线外一点A作已知直线的垂线画出即可； 【详解】（1） （2） （3） 6．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）妡图所示的正方形网格，小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上，只用无刻度的直尺在给定的网络中按要求画图，不要求写作法． (1)画射线； (2)过点画的平行线（点在格点上）； (3)在射线上取一点，画线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了射线、直线、线段作图，作平行线，点到直线的距离． （1）根据线段的定义作图即可； （2）根据格点特点画平行线即可； （3）根据格点特点，过点B作的垂线即可． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：如图，线段即为所求． 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作平行线，掌握平行线的特征是解题的关键， （1）根据所有横线都是平行的作图即可； （2）根据网格特点得到中点，根据所有横线都是平行的作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：所求图形如图所示． 平行线的判定方法 8．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线、被直线所截，平分交于点．下列条件中，不能判定的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定及角平分线的定义，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．根据平行线的判定及角平分线的定义进行判断即可． 【详解】解：A．根据内错角相等，两直线平行，由可得，故本选项不符合题意； B．∵平分交于点． ， ∵， ， 根据内错角相等，两直线平行，由可得，故本选项不符合题意； C．∵，， ∴， 根据同位角相等，两直线平行，由可得，故本选项不符合题意； D．不能得出，故本选项符合题意． 故选：D． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，有以下四个条件：①；②；③；④．其中能判定的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，弄清截线与被截线．根据平行线的判定定理求解，即可求得答案． 【详解】解：①∵， ∴（同旁内角互补两直线平行）； ②∵， ∴（内错角相等两直线平行）； ③∵， ∴（内错角相等两直线平行）； ④∵， ∴（同位角相等两直线平行）； ∴能得到的条件是①③④． 故选：D． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点在线段的延长线上，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：由可以根据内错角相等，两直线平行得到，故A不符合题意； 由可以根据内错角相等，两直线平行得到，不能得到，故B符合题意； 由可以根据同位角相等，两直线平行得到，故C不符合题意； 由可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，故D不符合题意； 故选：B． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定方法，逐一进行判定即可． 【详解】解：A、 ， （内错角相等，两直线平行），不能判断，符合题意； B、 ， （内错角相等，两直线平行），能判断，不符合题意； C、 ， （同旁内角互补，两直线平行），能判断，不符合题意； D、 ， （内错角相等，两直线平行），能判断，不符合题意； 故选：A． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点在延长线上，下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，利用平行线的判定方法逐一判断即可，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法． 【详解】解：、∵， ∴，故此选项正确，不符合题意； 、∵， ∴，故此选项不符合题意； 、∵， ∴，故此选项正确，不符合题意； ∵， ∴，故此选项正确，不符合题意； 故选：． 13．（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，要证，只需满足 ，根据是 ． 【答案】 内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理结合图形，即可求解． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等两直线平行） 故答案为：；内错角相等两直线平行（答案不唯一）． 平行线的判定的过程填空问题 14．（23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，已知．将下列推理过程补充 完整． ∵（已知）， ∴ ________（________________） ∵（已知） ∴ ________（________________） ∵（已知）， ∴_________________（________________）． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，作答即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行） ∵（已知） ∴（内错角相等，两直线平行） ∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 15．（2024七年级下·安徽·专题练习）如图，，，，，将下列推理过程补充完整： (1)（已知） （ ） (2)（已知） （内错角相等，两直线平行） (3)（已知） ，（ ） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行得出结论； （2）根据内错角相等，两直线平行得出结论； （3）根据同旁内角互补，两直线平行得出结论． 【详解】（1）解：（已知） ∴（同位角相等，两直线平行）． （2）， ∴（内错角相等，两直线平行）． （3）（已知） ∴，（同旁内角互补，两直线平行）． 16．（23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知：如图，平分，，求证：．    证明平分（已知） ______________（__________________） （已知） _________（__________________） （__________________） 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定，角平分线的定义，根据角平分线的定义，等量代换，平行线的判定方法，进行作答即可． 【详解】证明平分（已知） ∴（角平分线的定义） （已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行）． 17．（22-23七年级下·辽宁抚顺·阶段练习）完成下面的证明． 如图，分别平分．求证．    证明：， （____________________）． 分别平分， ∴， ______（____________________）． 又， （____________________）． ∴（____________________）． 【答案】见解析 【分析】先根据垂直定义可得，再利用角平分线的定义可得，，然后利用等量代换可得，从而利用平行线的判定，即可解答． 【详解】证明：， （垂直的定义）． 分别平分， ∴， （角平分线的定义）． 又， （等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键． 证明两直线平行 18．（22-23七年级下·甘肃白银·期末）如图，这是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中，，，找出图中的平行线，并说明理由．    【答案】，，理由见解析． 【分析】根据同位角相等，两直线平行，可得出；根据同旁内角互补，两直线平行，可得出． 【详解】解：，． 理由：∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 19．（21-22七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，，，．问吗？为什么？    【答案】，理由见解析. 【分析】本题考查了平行线的判定，熟记判定定理内容：内错角相等两直线平行、同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行等，是解题关键． 【详解】解：．理由如下： ， ． ， ． ， ． ∴（内错角相等两直线平行） 20．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，问：与平行吗？与呢？为什么？ 【答案】．理由见解析 【分析】本题考查的是邻补角的性质，平行线的判定，证明，即可得到结论． 【详解】解：． 理由：， ． ， ， ∴． 21．（24-25八年级上·全国·期末）如图，直线过点C，若，，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】平行，见解析 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，根据，，可得，从而得到，由内错角相等，两直线平行即可得到答案． 【详解】解：， 理由：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，已知，，，与平行吗？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，得到是解题的关键．由，得到，继而，即可求证． 【详解】解：，理由如下， 证明，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，与互为余角，，垂足为与平行吗？为什么？ 【答案】，见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，垂线等知识点的应用，求出，根据平行线的判定定理即可推出答案． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 24．（22-23七年级下·全国·期末）如图，已知，，，试确定直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查垂直的定义、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．先通过垂直和已知条件得到，即可判定得出两直线平行． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 25．（18-19七年级下·宁夏石嘴山·期末）已知如图所示，，点、、在同一条直线上，，且平分，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定．根据题意可得，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出，即可得出，根据内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 26．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，则图中所有平行的直线是（   ）    A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定，根据内错角相等两直线平行直接证明结论即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ， ． 故选：D． 27．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 过点作，由平行公理的推论可得，由两直线平行内错角相等可得，由两直线平行同旁内角互补可得，结合已知条件，，进而可得，，然后根据即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ，， ，， ， 故选：． 28．（23-24七年级下·全国·期末）将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，过作，由平行公理推论得，则，，从而求解，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 29．（23-24七年级下·河南濮阳·期末）如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当，时，，；于是就可确定点N，P，M在同一条直线上的依据是 ． 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点N，P，M在同一条直线上， 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 30．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）将一副三角板按如图放置，则下列结论： ①； ②如果，则有； ③如果，则有； ④如果，必有． 其中正确的有 ．（请填写所有正确的序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了平行线的判定，余角性质，直角三角形两锐角互余，由余角性质可判断①；证明可判断②；证明可判断③；分别求出，可判断④；正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； 如果，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 如果，则， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵， 如果， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴其中正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 31．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）将一副三角板如图放置，边与边在同一条直线上，，，．三角板保持不动，将三角板绕点顺时针旋转度．当 度时，． 【答案】15 【分析】本题考查平行线的判定，角的和差． 当时，，则，即可解答． 【详解】解：如图， 当时，， 则， ∴三角板绕点顺时针旋转15度，即 32．（21-22七年级下·新疆喀什·期中）如图所示，已知，，．试判断与的关系，并说明你的理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查垂直的定义，等角的余角相等，平行线的判定． 由垂直的定义得到，根据等角的余角相等得到，再由“内错角相等，两直线平行”得到． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 33．（15-16七年级下·江苏南京·期末）如图，在四边形中，，平分，平分，求证：．． 【答案】见解析 【分析】此题考查平行线的判定、多边形的内角和、角平分线的定义，关键是根据角平分线的定义和四边形的内角和进行解答．根据角平分线的定义和多边形的内角和进行解答即可． 【详解】证明：在四边形中，， ， 平分，平分， ， ， ， ， ． 34．（23-24七年级下·云南昆明·阶段练习）如图，给出下列条件：①；②；③；④．其中，能推出的条件有（    ） A．①② B．②④ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的判定，利用平行线的判定方法判断即可得到正确的选项，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键． 【详解】解：、∵，∴，故符合题意； ∵，∴，故不符合题意； ∵，∴，故不符合题意； ∵，∴，故符合题意； ∴符合题意的选项是 ， 故选：D． 35．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图，，平分，，以下结论：①；②；③；④；其中正确结论是（    ） A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①② 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴，故②正确； ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； ∵ ， ∴ ， ∴，即，故④正确； 综上所述，正确的选项①②④， 故选：B． 36．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（    ） A．纸带①、②的边线都平行 B．纸带①、②的边线都不平行 C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 【答案】D 【分析】对于纸带①，根据对顶角相等可得，利用三角形内角和定理求得，再根据折叠的性质可得，由平行线的判定即可判断；对于纸带②，由折叠的性质得，，，由平角的定义从而可得，，再根据平行线的判定即可判断． 【详解】解：对于纸带①， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴与不平行， 对于纸带②，由折叠的性质得，，， 又∵点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的判定、对顶角相等、三角形内角和定理、折叠的性质，熟练掌握平行线的判定和折叠的性质是解题的关键． 37．（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图，已知平分，，则 时，． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角的性质，平行线的判定定理，平行线的性质；根据三角形的外角的性质得，根据当时，即可求解． 【详解】解：平分， ， 设， ∵， 当时， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 38．（23-24七年级下·山东淄博·期中）在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“垂直”） 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的性质，灵活运用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”，可知与的位置关系是平行． 【详解】解：∵， ，，… ∴，，…， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶平行． 39．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）上周末，小金研究的一道几何题如下： 如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． (1)小金的思路是：先根据“同角的补角相等”得到，再根据“角平分线的定义”，得到，然后根据“内错角相等，两直线平行”，得到．你认为小金的思路是 的（“正确”或“错误”）． (2)请你用整合教材学到的“框图”方式分析本题（不写说明过程）． 已知条件 要说明的 平分 平分 【答案】(1)错误 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，能正确判断内错角是解决本题的关键． （1）根据与不是内错角，故不能证明，即可得到答案； （2）先根据同角的补角相等得到，由角平分线定义得到．，则，即可证明结论． 【详解】（1）解：小金的思路不对，与不是内错角，故不能证明； 故答案为：错误； （2）∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 40．（21-22七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知点在上，平分，平分． (1)试说明：； (2)若，，则与平行吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定，平行公理推论，角平分线的定义，掌握平行线的性质和角平分线定义是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义得到，，根据平角的定义得到，根据垂直的定义求解即可； （2）根据平行线的判定及平行公理推论即可求解； 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）得，∠3＝∠4． ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 41．（23-24七年级下·河北承德·期末）将一副三角板拼成如图的图形，其中于点，，，且过点作平分交于点． (1)猜想与之间的位置关系，并说明理由； (2)画出的角平分线，与交于G，并求出度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定，与角平分线有关的三角形的内角和问题： （1）根据角平分线的定义以及平行线的判定方法即可得出结论； （2）根据角平分线的定义，画出角平分线，三角形的内角和定理，求出的度数，利用角平分线的性质和平角的定义求出度数即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）画图如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11平行线及其判定（巩固提升五大类型25题+能力培优8题+拓展突破8题） 知识清单 1.平行线 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 记作：a∥b； 读作：直线a平行于直线b． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 2.平行公理及推论 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 3.平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．  （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．  （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 平行及平行公理 1．（24-25七年级上·全国·期末）下列说法中正确的是（    ） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．相等的角是对顶角 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在平面中过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）在同一平面内有三条不同的直线，若，则a与b的位置关系为（   ） A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．无法确定 3．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）下列说法中：①若，，则；②若与相交，与相交，则与相交；③相等的角是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．不正确的有（   ）． A．①② B．②③ C．②③④ D．③④ 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 平行线的作图问题 5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，F是直线上一点，按要求画图： (1)过点F作直线的垂线段，垂足为E； (2)过点W作直线的平行线，交线段于点M． (3)过点A作线段的垂线，垂足为N； 6．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）妡图所示的正方形网格，小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上，只用无刻度的直尺在给定的网络中按要求画图，不要求写作法． (1)画射线； (2)过点画的平行线（点在格点上）； (3)在射线上取一点，画线段． 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点． 平行线的判定方法 8．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线、被直线所截，平分交于点．下列条件中，不能判定的是（） A． B． C． D． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，有以下四个条件：①；②；③；④．其中能判定的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 10．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点在线段的延长线上，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点在延长线上，下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，要证，只需满足 ，根据是 ． 平行线的判定的过程填空问题 14．（23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，已知．将下列推理过程补充 完整． ∵（已知）， ∴ ________（________________） ∵（已知） ∴ ________（________________） ∵（已知）， ∴_________________（________________）． 15．（2024七年级下·安徽·专题练习）如图，，，，，将下列推理过程补充完整： (1)（已知） （ ） (2)（已知） （内错角相等，两直线平行） (3)（已知） ，（ ） 16．（23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知：如图，平分，，求证：．    证明平分（已知） ______________（__________________） （已知） _________（__________________） （__________________） 17．（22-23七年级下·辽宁抚顺·阶段练习）完成下面的证明． 如图，分别平分．求证．    证明：， （____________________）． 分别平分， ∴， ______（____________________）． 又， （____________________）． ∴（____________________）． 证明两直线平行 18．（22-23七年级下·甘肃白银·期末）如图，这是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中，，，找出图中的平行线，并说明理由．    19．（21-22七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，，，．问吗？为什么？    20．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，问：与平行吗？与呢？为什么？ 21．（24-25八年级上·全国·期末）如图，直线过点C，若，，，试判断与的位置关系，并说明理由． 22．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，已知，，，与平行吗？ 23．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，与互为余角，，垂足为与平行吗？为什么？ 24．（22-23七年级下·全国·期末）如图，已知，，，试确定直线与的位置关系，并说明理由． 25．（18-19七年级下·宁夏石嘴山·期末）已知如图所示，，点、、在同一条直线上，，且平分，证明：． 26．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，则图中所有平行的直线是（   ）    A． B． C． D．， 27．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 28．（23-24七年级下·全国·期末）将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，与的关系是（   ） A． B． C． D． 29．（23-24七年级下·河南濮阳·期末）如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当，时，，；于是就可确定点N，P，M在同一条直线上的依据是 ． 30．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）将一副三角板按如图放置，则下列结论： ①； ②如果，则有； ③如果，则有； ④如果，必有． 其中正确的有 ．（请填写所有正确的序号） 31．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）将一副三角板如图放置，边与边在同一条直线上，，，．三角板保持不动，将三角板绕点顺时针旋转度．当 度时，． 32．（21-22七年级下·新疆喀什·期中）如图所示，已知，，．试判断与的关系，并说明你的理由． 33．（15-16七年级下·江苏南京·期末）如图，在四边形中，，平分，平分，求证：．． 34．（23-24七年级下·云南昆明·阶段练习）如图，给出下列条件：①；②；③；④．其中，能推出的条件有（    ） A．①② B．②④ C．②③ D．①④ 35．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图，，平分，，以下结论：①；②；③；④；其中正确结论是（    ） A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①② 36．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（    ） A．纸带①、②的边线都平行 B．纸带①、②的边线都不平行 C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 37．（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图，已知平分，，则 时，． 38．（23-24七年级下·山东淄博·期中）在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“垂直”） 39．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）上周末，小金研究的一道几何题如下： 如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． (1)小金的思路是：先根据“同角的补角相等”得到，再根据“角平分线的定义”，得到，然后根据“内错角相等，两直线平行”，得到．你认为小金的思路是 的（“正确”或“错误”）． (2)请你用整合教材学到的“框图”方式分析本题（不写说明过程）． 已知条件 要说明的 平分 平分 40．（21-22七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知点在上，平分，平分． (1)试说明：； (2)若，，则与平行吗？为什么？ 41．（23-24七年级下·河北承德·期末）将一副三角板拼成如图的图形，其中于点，，，且过点作平分交于点． (1)猜想与之间的位置关系，并说明理由； (2)画出的角平分线，与交于G，并求出度数． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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