专题09角及角平分线的有关计算（巩固提升练20题+能力培优练8题 拓展突破练8题+中考真题练8题）-【寒假分层作业】2025年七年级数学寒假培优练（人教版2024）

专题09角及角平分线的有关计算 （巩固提升练20题+能力培优练8题+拓展突破练8题+中考真题练8题） 知识清单 1.角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边．或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的． 2.平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角．终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角． 3.角的表示： ①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等． ②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等． ③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等． ④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等． 注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧． 4.用一副三角板，可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，180°的角. 5.角的度量 角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”． 把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“”． 把的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“”． 即1°=， =. 6.角的性质 ①角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关. ②角的大小可以度量，可以比较. ③角可以参与运算. 7.角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 8.余角和补角 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·期末）有下列关于角的说法： ①两条射线组成的图形叫作角； ②角的边越长，角越大； ③在角一边的延长线上取一点D； ④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． 其中正确的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的定义，根据角的概念对各选项分析判断后利用排除法求解，熟练掌握有公共端点的两条射线组成的图形叫做角是解决此题的关键． 【详解】有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，故①错误，不符合题意； 角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，故②错误，不符合题意； 角的边是射线，不能延长，故③错误，不符合题意； 角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，④正确，符合题意， ∴只有④一个选项正确， 故选：A． 2．（24-25七年级上·河北邢台·期中）如图所示，还可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的表示方法，根据一个角可以用三个大写字母表示，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，还可以表示为； 故选B． 3．（24-25七年级上·全国·期末）若，则的补角的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了补角的定义，两角相加为，则两角互补．根据补角的定义进行解答即可． 【详解】解：的补角的度数为． 故选：C． 4．（18-19七年级·吉林长春·期末）如图，是北偏东方向的一条射线，将射线绕点逆时针旋转得到射线，则的方位角是（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．东偏北 D．东偏北 【答案】B 【分析】本题考查了方位角的计算，理解图示，掌握方位角的计算是解题的关键． 根据题意，，可得在北偏西方向即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵是北偏东方向的一条射线， ∴， ∵将射线绕点逆时针旋转得到射线， ∴， ∴， ∴的方位角是北偏西， 故选：B ． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查角的大小比较，需要熟练掌握度数与度分秒形式之间的转化．将三个角的度数都转化成度分秒的形式后，即可得到三个角的大小关系． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 6．（19-20七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角度的计算，如图可知，的度数正好是两直角相加减去的度数，进而即可解出答案． 【详解】解：，， ， 故选：A． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角度的计算，根据，利用正方形的角都是直角，即可求得和的度数从而求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴． 故选D． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是的平分线，是的平分线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，灵活运用角的和差计算角的度数是解题的关键．由角平分线的定义可求解，，进而可求解． 【详解】因为是的平分线， 所以， 因为是的平分线， 所以， 所以． 故选：B． 9．（22-23七年级上·河南新乡·期末）如图，已知，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、角的计算、方程，根据已知条件列方程即可． 【详解】设，则，． 因为，所以，解得． 所以 故选：C． 10．（2024七年级上·云南·专题练习）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的计算，可以设，，根据折叠可得∠，，进而可求解． 【详解】解：设，， 根据折叠性质可知，． ∵， ∴，． ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 11．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）比较大小： ．（填、或） 【答案】 【分析】本题主要考查了度、分、秒的转化运算，注意以60为进制，比较简单．先进行度、分、秒的转化运算，再对比即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）社会热点情境·野生动物保护  天气转暖，每年的二、三月，一大批国家二级保护动物白天鹅从三门峡天鹅湖国家城市湿地公园北迁，天鹅迁徙时常排成人字形，这个人字形的一边与其飞行方向夹角是，从空气动力学角度看，这个角度对于白天鹅队伍飞行最佳，所受阻力最小，则的补角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了补角的定义和度、分、秒的互化，根据补角的定义列式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知点是直线上一点，，平分，，请写出下列正确结论的序号 ． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查角平分线的定义，根据角平分线的定义、邻补角和直角的概念求解可得． 【详解】解：， ，故①正确； 平分， ，故②项正确； ，故③正确； ，， ，故④错误； 故答案为：①②③． 14．（2019·广西贵港·三模）小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，，则等于 ． 【答案】/210度 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形内角和定理得到，，根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：如图． ∵，，， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题 15．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了度分秒的加减计算，熟练掌握换算方法是解题的关键． （1）两个度数相加，需要将度与度，分与分，秒与秒对应相加，分或秒的结果满分别化为度和分求解； （2）两个度数相减，借化为，借化为，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知轮船在灯塔的北偏西的方向上，轮船在灯塔的南偏东的方向上． (1)求从灯塔看两轮船的视角（即）的度数； (2)轮船在的平分线上，则轮船在灯塔的什么方向上？ 【答案】(1) (2)轮船在灯塔的北偏东方向上 【分析】（1）根据即可求出； （2）根据平分求出，然后根据即可解答． 本题主要考查方向角的知识点，解答本题的关键是搞懂方向角的概念和利用好角平分线的知识点． 【详解】（1）解：如图所示，因为轮船在灯塔的北偏西的方向上， 轮船在灯塔的南偏东的方向上， 所以 ． （2）解：因为平分， 所以， 所以 ， 所以轮船在灯塔的北偏东方向上． 17．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，、、三点在一条直线上，，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平角的定义以及角度的和差计算问题的，解答本题的关键是方程思想的运用． 首先根据角平分线的概念得到，然后利用平角的概念求解即可． 【详解】解：因为平分，， 所以． 所以． 因为，， 所以， 所以． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）线段与角的计算． (1)如图①，已知线段，点C为线段上的一点，，点D，E分别是和的中点，求的长； (2)如图②，已知被分成，平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段的中点、线段的和差、角平分线的定义，熟练掌握以知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由线段的中点得出，，再由计算即可得解； （2）设，，，则，由角平分线的定义得出，，求出，结合，得出，求解即可． 【详解】（1）解：因为D，E分别是和的中点， 所以，． 因为， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以． （2）解：设，，，则． 因为平分，平分， 所以，， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 19．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点O在直线上，与互余，射线平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)请你猜想和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算、互余，熟练掌握互余的定义是解题关键． （1）先根据互余的定义可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得； （2）先根据互余的定义可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得； （3）先根据互余的定义可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义即可得． 【详解】（1）解：与互余， ． ， ． 射线平分， ， ． （2）解：与互余， ． ， ． 射线平分， ， ． （3）解：．理由如下： 与互余， ， ． 射线平分， ， ． 即． 20．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）【实践活动】 如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）若，则　　；　　（填、、）； （2）①若，则　　；若，则　　； ②与之间的数量关系是　　． 【折展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），；（2）①，；②；，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算，角的大小比较，掌握角的计算，角的大小比较方法是解题的关键． （1）根据图形中角的关系即可得出的度数．由题意，得，，进而得出，，然后根据角度运算可得出答案； （2）①根据角的运算可得出的度数，再根据计算即可得出的度数；先根据计算得出的度数，再根据角的运算即可得出的度数； ②由，，可得出，，则得出，进而得出，进而得出答案； （3）根据题意，由得出：，进而得出，由此可得与之间的数量关系． 【详解】解：（1）由题意，得，，， ∴ ， ， ∴． 故答案为：，； （2）①∵，，， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ． 故答案为：，； ②∵，， ∴，， ∴． 又∵， ∴ ， ∴与之间的数量关系是． 故答案为：； （3）与之间的数量关系是，理由如下： ∵，，， ∴， 即， ∴ ． 21．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，从顶点O引一条射线，若，则是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了角的计算，分为两种情况：①当在内部时，②当在外部时，根据角之间的关系求出即可． 【详解】解：分为两种情况： ①如图①，当在内部时，； ②如图②，当在外部时，． 故选D． 22．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，若，OC是的平分线，则①；②；③；④．正确的是（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】本题主要考查角的比较与运算这一知识点，熟练掌握角平分线定义是解题关键．设，由是的平分线，可得，，故能判断出选项中各角大小关系． 【详解】解：设， 是的平分线， ∴ ． 故③④正确，①②错误， 故选B． 23．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，明确题意，理清图中各角度之间的数量关系是解答本题的关键．由是的平分线得，进而求得，结合得，再分两种情况：当在下方时，，当在上方时，分别讨论即可求解． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， 而， ∴， 如图，当在下方时， 此时，； 如图，当在上方时， 此时，； 即：或， 故选：C． 24．（24-25七年级上·全国·期末）已知一个角的余角比这个角的补角的小，则这个角的余角的度数是 ，补角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，余角和补角的知识，设这个角的度数是，则它的余角为，补角为，根据一个角的余角比这个角的补角的多，即可列方程求解，熟练掌握余角的和等于，互补的两角之和为是解决此题的关键． 【详解】设这个角的度数是，则它的余角为，补角为， 根据题意，得， 解得． ∴，， 即这个角的余角的度数为，补角的度数为， 故答案为：，． 25．（2024七年级上·云南·专题练习）如图，已知点是直线上一点，，平分，，请写出下列正确结论的序号 ．    ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查角平分线、垂直、邻补角的定义以及角的和差，熟知邻补角的定义及角平分线的定义是解题的关键．根据图形的特点及角平分线的概念依次求出各角度即可解答． 【详解】解： ， ，故①正确； 平分， ，故②正确； ，故③正确； ，， ，故④错误． 综上，正确的是①②③， 故答案为：①②③． 26．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点O在直线上，平分，平分．给出下面四个结论：①与互余：②与互补；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查角平分线的性质、余角、补角和角度的和差关系，根据角平分线得和，利用平角即可判定①，结合余角和补角得定义即可判断②，利用角平分线的性质和平角即可判断③，利用角度和差关系即可判断④． 【详解】解：∵平分，平分 ∴，， ∵A，O，B三点在同一直线上， ， ∴， 即与互余，故①正确； ∵A，O，B三点在同一直线上， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即与互补，故②正确； ∵， ∴， 则， 不能得到即， 故③错误； ∵，， ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 27．（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，把直角三角形的直角顶点O放在直线上，射线平分． (1)若，求的度数； (2)若，则的度数为______；（用含m的代数式表示） (3)由（1）和（2）可得，和之间的数量关系是______； (4)若将直角三角形绕点O旋转到如图②所示的位置，其他条件不变，请问：和之间的数量关系是否发生变化？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)不发生变化，见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据图形直观得出各个角之间的关系是解决问题的关键，等量代换起到非常重要的作用． （1）根据角平分线和互为余角的意义，可求出，再根据互为补角求出即可； （2）由（1）的计算过程，将进行计算即可得出答案； （3）根据（1）（2）的解题过程得出； （4）根据角平分线和互为余角的意义可得，再根据互为补角的意义得到． 【详解】（1）解：如图1， ∵， ， 又∵平分， ， ． （2）解：如图1， ∵， ， 又∵平分， ， ． （3）解：由（1）和（2）可得：； 理由：∵平分， ， ， ． （4）解：和之间的数量关系不发生变化， 如图2， ∵平分， ， ， ， ， 即， ∴和之间的数量关系不发生变化， 28．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）探究与实践 将一副三角板按如图方式拼接在一起，已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧： 【问题发现】 （1）保持三角板不动，将三角板绕点O旋转至如图2所示的位置，则 ①__________； ②__________． 【问题探究】 （2）若三角板按每分钟的速度绕点O逆时针方向旋转，三角板按每分钟的速度也绕点O逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转t分钟，计算（用含t的代数式表示）． 【问题解决】 （3）保持三角板不动，将三角板绕点O逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，求的大小． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）或 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，角的动态定义的理解； （1）①将转化为即可得；②依据、，将原式转化为计算可得； （2）设运动时间为t秒，，只需表示出即可得出答案，而在与相遇时，，再画出图形求解即可； （3）设绕点O逆时针旋转，再分①①时，如图；②时，如图，分别画出图形求解即可． 【详解】解：（1）① ， ② ； （2）设旋转时间为t秒，则，， 当与相遇时，， 解得：， 如图， ， ∴； （3）设绕点O逆时针旋转， ①时，如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴ ∴， ∴； ②时，如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∴． 综上，或． 29．（23-24七年级上·重庆·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，为的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角板中的角度计算和角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．设，则，得到，则，解得，则，即可求出的度数． 【详解】解：设，则， 由题意可知，， ， ∴ 解得，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴ 故选：D． 30．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）如图，射线都在的内部，和都是直角，下列说法：①；②；③ 若，则；④ 若平分，平分，则．其中结论正确的有（      ）      A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算，找准角度之间的和差关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵和都是直角， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 若，则：， ∴，故③正确； 若平分，平分，    则：，， ∴；故④正确； 故选：D． 31．（22-23七年级下·安徽淮南·开学考试）一副三角板、，如图1放置，、，将三角板 绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，则下列结论中正确的是（　　） ①的角度恒为；②的角度不恒为；③在旋转过程中，若平分，平分，则． A．① B．②③ C．③ D．①③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算． ①②计算旋转角度大于时，的大小与比较便可得结论；③分类讨论，利用角的和差与角的平分线得，便可求出其值； 【详解】解：①设旋转角度为，当时，，于是此小题结论错误，②正确； ③当时，设， 平分， ， ，， ，， 当时，设， 平分， ， ， ，， ， ，故③正确， 故选：B． 32．（24-25七年级上·全国·期末）已知，射线平分，则的度数为 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，正确求得的度数是关键，因考虑不周，容易漏掉一种情况的解．分两种情况在内或外），分别首先求得的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数． 【详解】解：当在内时，如图1， 则， 射线平分， ； 当在外时，如图2， 则， 射线平分， ． 综上，或． 故答案为：或． 33．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，是其内部一条射线，以为一边作直角，点与点在边同侧，给出下列四个结论：①只与互余；②与互补；③平分，则平分；④的平分线与的平分线的夹角是直角．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查几何图形中角的数量关系，根据互余的概念即可判断①；根据互补的概念即可判断②；说明，即可判断③；说明即可判断④．解题的关键是掌握互余、互补、角平分线的定义． 【详解】解：①∵，， ∴，， ∴分别与、互余，故结论①错误； ②∵，， ∴， ∴ ， ∴与互补，故结论②正确； ③∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故结论③正确； ④如图，为的平分线，为的平分线， ∴，， ∴ ， ∴的平分线与的平分线的夹角是直角，故结论④正确； ∴正确的是②③④． 故答案为：②③④． 34．（2024七年级上·甘肃兰州·专题练习）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，由是的平分线得，进而求得，结合得，再分两种情况：当在下方时，当在上方时，分别讨论即可求解 【详解】解：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， 而， ∴， 如图，当在下方时， 此时，； 如图，当在上方时， 此时，； 即或． 故答案为：或． 35．（24-25七年级上·全国·期末）【阅读理解】 射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． (1)【知识运用】如图2，，射线是射线的伴随线，则________，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是________用含的代数式表示 (2)如图3若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，当射线与射线重合时，运动停止． 是否存在某个时刻（秒）使得的度数是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 当的值为多少时，射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？ 【答案】(1) (2)①当秒或25秒时，的度数是．②当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 【分析】本题主要考查了角平分线的顶用、角的计算、一元一次方程的应用等知识点，灵活利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）根据伴随线定义求解即可； （2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后两种情况分别列式计算即可；②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后，分别画出四个图形进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，∵射线 是射线 的伴随线， ， ， ∴同理，若的度数是，射线是射线的伴随线， ， ∵射线是的平分线， ， ． 故答案为：． （2）解：射线与重合时， （秒） ①当的度数是时，有两种可能： 若在相遇之前，则，解得：； 若在相遇之后，则，解得：． 综上所述，当秒或25秒时，的度数是． ②相遇之前： a．如图1， 当是的伴随线时，则，即，解得：； b．如图2， 当是的伴随线时，则，即，解得：； 相遇之后： c．如图3， 当是的伴随线时，则，即，解得：； d．如图4， 当是的伴随线时，则，即，解得：． 综上所述，当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 36．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为、两点，两脚脚跟位置分别为、两点，定义、、、平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转． (1)如图2，、、三点共线，点、重合，，则 ； (2)如图3，、、三点共线，且，平分，求的大小； (3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然、、三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为 ； (4)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线） ① 运动停止时， ； ② 请帮助乐乐写出运动过程中与的数量关系为 ． 【答案】(1) (2) (3) (4)；当时，；当时， 【分析】本题考查了角的和差运算，一元一次方程的应用； （1）由，，三点共线，可得出，再由，即可求出； （2）由，设，根据、O、三点共线，则，得出，再根据，即可求解； （3）由，设，则，分别求出，，再代入即可求解； （4）①算出运动停止时间，求出运动的角度，进而求出度数； ②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点，，三点共线前和点，，三点共线后，分别求解即可； 【详解】（1）∵，，三点共线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， 设， ∵平分， ∴， ∵、O、三点共线，则， ∴， 解得：， ∴ （3）这个定值是，理由， ∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴小田的发现是正确的，这个定值是； （4）∵， ∴，， 设运动时间为，则，则， ①运动停止时，即时，旋转的角度为， ∴， 故答案为：； ②当点，，三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，，， ∴， 综上，当时，；当时，． 37．（2024·甘肃·中考真题）若，则的补角为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和为的两个角互为补角，计算即可． 本题考查了补角，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】。 则的补角为． 故选：D． 38．（2024·广西·中考真题）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了钟面角，用乘以两针相距的份数是解题关键．根据钟面的特点，钟面平均分成12份，每份是，根据时针与分针相距的份数，可得答案． 【详解】解：2时整，钟表的时针和分针所成的锐角是， 故选：C． 39．（2024·河南·中考真题）如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则∠1的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方向角，平行线的性质，利用平行线的性质直接可得答案． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ∴， 故选：B． 40．（2023·北京·中考真题）如图，，，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，，可求出的度数，再根据角与角之间的关系求解． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是角的计算，注意此题的解题技巧：两个直角相加和相比，多加了． 41．（2023·河北·中考真题）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（    ）    A．南偏西方向 B．南偏东方向 C．北偏西方向 D．北偏东方向 【答案】D 【分析】根据方向角的定义可得答案． 【详解】解：如图：∵西柏坡位于淇淇家南偏西的方向， ∴淇淇家位于西柏坡的北偏东方向．    故选D． 【点睛】本题主要考查方向角，理解方向角的定义是正确解答的关键． 42．（2023·四川乐山·中考真题）如图，点O在直线上，是的平分线，若，则的度数为 ．    【答案】/20度 【分析】根据邻补角得出，再由角平分线求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目注意考查邻补角及角平分线的计算，找准各角之间的关系是解题关键． 43．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34，公路PB的走向是南偏东56，则这两条公路的夹角∠APB＝ °． 【答案】90 【分析】根据题意可得∠APC＝34，∠BPC＝56，然后进行计算即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得： ∠APC＝34，∠BPC＝56， ∴∠APB＝∠APC＋∠BPC＝90， 故答案为：90． 【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键． 44．（2022·广西·中考真题）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为 【答案】135°/135度 【分析】根据三角板及其摆放位置可得，求解即可． 【详解】， ， 故答案为：135°． 【点睛】本题考查了求一个角的补角，即两个角的和为180度时，这两个角互为补角，熟练掌握知识点是解题的关键． ( 36 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09角及角平分线的有关计算 （巩固提升练20题+能力培优练8题+拓展突破练8题+中考真题练8题） 知识清单 1.角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边．或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的． 2.平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角．终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角． 3.角的表示： ①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等． ②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等． ③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等． ④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等． 注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧． 4.用一副三角板，可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，180°的角. 5.角的度量 角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”． 把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“”． 把的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“”． 即1°=， =. 6.角的性质 ①角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关. ②角的大小可以度量，可以比较. ③角可以参与运算. 7.角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 8.余角和补角 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·期末）有下列关于角的说法： ①两条射线组成的图形叫作角； ②角的边越长，角越大； ③在角一边的延长线上取一点D； ④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． 其中正确的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·河北邢台·期中）如图所示，还可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·全国·期末）若，则的补角的度数为（    ）． A． B． C． D． 4．（18-19七年级·吉林长春·期末）如图，是北偏东方向的一条射线，将射线绕点逆时针旋转得到射线，则的方位角是（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．东偏北 D．东偏北 5．（2024七年级上·全国·专题练习）若，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（19-20七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是的平分线，是的平分线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（22-23七年级上·河南新乡·期末）如图，已知，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（2024七年级上·云南·专题练习）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）比较大小： ．（填、或） 12．（2024七年级上·全国·专题练习）社会热点情境·野生动物保护  天气转暖，每年的二、三月，一大批国家二级保护动物白天鹅从三门峡天鹅湖国家城市湿地公园北迁，天鹅迁徙时常排成人字形，这个人字形的一边与其飞行方向夹角是，从空气动力学角度看，这个角度对于白天鹅队伍飞行最佳，所受阻力最小，则的补角是 ． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知点是直线上一点，，平分，，请写出下列正确结论的序号 ． ①；②；③；④． 14．（2019·广西贵港·三模）小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，，则等于 ． 三、解答题 15．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2). 16．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知轮船在灯塔的北偏西的方向上，轮船在灯塔的南偏东的方向上． (1)求从灯塔看两轮船的视角（即）的度数； (2)轮船在的平分线上，则轮船在灯塔的什么方向上？ 17．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，、、三点在一条直线上，，平分，，求的度数． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）线段与角的计算． (1)如图①，已知线段，点C为线段上的一点，，点D，E分别是和的中点，求的长； (2)如图②，已知被分成，平分，平分，且，求的度数． 19．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点O在直线上，与互余，射线平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)请你猜想和之间的数量关系，并说明理由． 20．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）【实践活动】 如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）若，则　　；　　（填、、）； （2）①若，则　　；若，则　　； ②与之间的数量关系是　　． 【折展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 21．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，从顶点O引一条射线，若，则是（   ） A． B． C． D．或 22．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，若，OC是的平分线，则①；②；③；④．正确的是（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 23．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．无法计算 24．（24-25七年级上·全国·期末）已知一个角的余角比这个角的补角的小，则这个角的余角的度数是 ，补角的度数是 ． 25．（2024七年级上·云南·专题练习）如图，已知点是直线上一点，，平分，，请写出下列正确结论的序号 ．    ①；②；③；④． 26．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点O在直线上，平分，平分．给出下面四个结论：①与互余：②与互补；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ． 27．（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，把直角三角形的直角顶点O放在直线上，射线平分． (1)若，求的度数； (2)若，则的度数为______；（用含m的代数式表示） (3)由（1）和（2）可得，和之间的数量关系是______； (4)若将直角三角形绕点O旋转到如图②所示的位置，其他条件不变，请问：和之间的数量关系是否发生变化？请说明理由． 28．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）探究与实践 将一副三角板按如图方式拼接在一起，已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧： 【问题发现】 （1）保持三角板不动，将三角板绕点O旋转至如图2所示的位置，则 ①__________； ②__________． 【问题探究】 （2）若三角板按每分钟的速度绕点O逆时针方向旋转，三角板按每分钟的速度也绕点O逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转t分钟，计算（用含t的代数式表示）． 【问题解决】 （3）保持三角板不动，将三角板绕点O逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，求的大小． 29．（23-24七年级上·重庆·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，为的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 30．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）如图，射线都在的内部，和都是直角，下列说法：①；②；③ 若，则；④ 若平分，平分，则．其中结论正确的有（      ）      A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 31．（22-23七年级下·安徽淮南·开学考试）一副三角板、，如图1放置，、，将三角板 绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，则下列结论中正确的是（　　） ①的角度恒为；②的角度不恒为；③在旋转过程中，若平分，平分，则． A．① B．②③ C．③ D．①③ 32．（24-25七年级上·全国·期末）已知，射线平分，则的度数为 33．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，是其内部一条射线，以为一边作直角，点与点在边同侧，给出下列四个结论：①只与互余；②与互补；③平分，则平分；④的平分线与的平分线的夹角是直角．其中正确的是 （填序号）． 34．（2024七年级上·甘肃兰州·专题练习）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为 ． 35．（24-25七年级上·全国·期末）【阅读理解】 射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． (1)【知识运用】如图2，，射线是射线的伴随线，则________，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是________用含的代数式表示 (2)如图3若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，当射线与射线重合时，运动停止． 是否存在某个时刻（秒）使得的度数是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 当的值为多少时，射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？ 36．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为、两点，两脚脚跟位置分别为、两点，定义、、、平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转． (1)如图2，、、三点共线，点、重合，，则 ； (2)如图3，、、三点共线，且，平分，求的大小； (3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然、、三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为 ； (4)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线） ① 运动停止时， ； ② 请帮助乐乐写出运动过程中与的数量关系为 ． 37．（2024·甘肃·中考真题）若，则的补角为（　　） A． B． C． D． 38．（2024·广西·中考真题）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（    ） A． B． C． D． 39．（2024·河南·中考真题）如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则∠1的度数为（    ） A． B． C． D． 40．（2023·北京·中考真题）如图，，，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 41．（2023·河北·中考真题）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（    ）    A．南偏西方向 B．南偏东方向 C．北偏西方向 D．北偏东方向 42．（2023·四川乐山·中考真题）如图，点O在直线上，是的平分线，若，则的度数为 ．    43．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34，公路PB的走向是南偏东56，则这两条公路的夹角∠APB＝ °． 44．（2022·广西·中考真题）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为 ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$