10.3 实际问题与二元一次方程方程组课件 -2024-2025学年人教版（2024） 数学七年级下册

2025年春人教版 数学 七年级下册 第十章 二元一次方程组 10.3 实际问题与二元一次方程组 学习目标 1.学会运用二元一次方程组解决较复杂的实际问题.（难点） 2.进一步经历和体验方程组解决实际问题的过程. 3.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程 组解决简单的实际问题.（重点） 生活中，有很多需要进行配套的问题，如课桌和凳子、螺钉和螺母、电扇叶片和电机等，大家能举出生活中配套问题的例子吗？ 情境导入 知识点一 列方程组解决简单实际问题 养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料675kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料18到20 kg，每只小牛1天约需饲料7到8kg.你认为李大叔估计的准确吗？ 新知讲解 问题1 题中有哪些未知量，你如何设未知数？ 未知量:每头大牛1天需用的饲料; 每头小牛1天需用的饲料. 设未知数：设每头大牛和每头小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg. 问题2 题中有哪些等量关系？ (1)30只大牛和15只小牛一天需用饲料为675kg; (2)(30+12)只大牛和(15+5)只小牛一天需用饲料为940kg. 新知讲解 解:设每头大牛和小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg. 根据等量关系，列方程组： 答:每头大牛和每头小牛1天各需用饲料为20kg和5kg，饲养员李大叔估计每天大牛需用饲料18到20kg，每头小牛一天需用7到8kg与计算有一定的出入. + = 675, + = 940. 30x 15y 42x 20y 解方程组：x= , y= . 20 5 新知讲解 剧情发展：随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔需聘请饲养员协助管理现有的42头大牛和20头小牛，已知甲种饲养员每人可负责8头大牛和4头小牛，乙种饲养员每人可负责5头大牛和2头小牛，请问李大叔应聘请甲、乙两种饲养员各多少人？ 8x 5y 4x 2y 解得： 解：设李大叔应聘请甲种饲养员x人，乙种饲养员y人，则： + = 42, + = 20. x =4, y = 2. 答：李大叔应聘请甲种饲养员4人，乙种饲养员2人. 新知讲解 解题小结：用二元一次方程组解决实际问题的步骤： (1)审题：弄清题意和题目中的_________； (2)设元：用___________表示题目中的未知数； (3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组； (4)解方程组：利用__________法或_________法解出未知数的值； (5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答. 数量关系 字母 2 代入消元 加减消元 新知讲解 例1 某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场，没有输过一场，共得27分，试问该队胜几场，平几场？ 分析：题中的未知量有胜的场数和平的场数，等量关系有：胜的场数+平的场数=11；胜场得分+平场得分=27. 胜场 平场 合计 场数 得分 x 3x y y 11 27 新知讲解 解：设市第二中学足球队胜x场，平y场.依题意可得 8 y 3x y 3 答：该市第二中学足球队胜8场，平3场. x 新知讲解 例2 某城市规定：出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费. 甲说：“我乘这种出租车走了11km，付了17元.” 乙说：“我乘这种出租车走了23km，付了35元.” 请你算一算：出租车的起步价是多少元？超过3km后，每千米的车费是多少元？ 分析 本问题涉及的等量关系有： 总车费=0～3km的车费(起步价)+超过3km的车费. 新知讲解 解：设出租车的起步价是x元,超过3km后每千米收费y元. 根据等量关系,得 解这个方程组，得 答：这种出租车的起步价是5元，超过3km后每千米收费1.5元. 起步价 超过3km后的费用 合计费用 甲 乙 x x （11-3）y （23-3）y 17 35 新知讲解 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？ 请提取数学信息 知识点二 列方程组解决几何问题 转换成数学语言： A D C B 已知：长方形ABCD， AB=CD=200m，AD=BC=100m，长方形ABCD分割为两个小长方形，长方形1和长方形2分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是1:2. 目标：甲、乙两种作物的总产量的比是3:4 新知讲解 这里研究的实际上是什么问题. 把一个长方形分成两个小长方形有哪些分割方式？ 竖着画，把长分成两段，则宽不变 横着画，把宽分成两段，则长不变 长方形的面积分割 我们可以画出示意图来帮助分析 试着画一画 新知讲解 竖着画，把长分成两段，则宽不变 A D C F B E 1.大长方形的长=200m 2.甲、乙两种作物总产量比=3:4 等量关系式有几个？ 新知讲解 竖着画，把长分成两段，则宽不变 A D C F B E 1.大长方形的长=200m 2.甲、乙两种作物总产量比=3:4 先求出两种作物的面积 S长方形AEFD=100x S长方形EFCB=100y 再写出两种作物的总产量 甲：100x×1 乙：100y×2 则列方程为 100x:200y=3:4 总产量= x y 200m 100 设AE＝xm，BE＝ym. 则列方程为 x+y=200 单位面积产量×面积 新知讲解 竖着画，把长分成两段，则宽不变 A D C F B E x y 200m 100m y=80. 甲种作物 乙种作物 解： 根据题意列方程组为 过点E作EF⊥AB，交CD于点F. 设AE＝xm，BE＝ym. 100x:200y=3:4. x+y=200, 解得 x=120, 答：将这块土地分为长120m,宽100m和长100m,宽80m的两个小长方形分别种植甲、乙两种作物. 新知讲解 横着画，把宽分成两段，则长不变 A D C B E x y F 乙种作物 甲种作物 200y 200x 200m 100m x+y=100, 解：过点E作EF⊥AD，交BC于点F.设DE＝xm，AE＝ym. 200x:400y=3:4. x=60, y=40. 解得 根据题意列方程组为 答：将这块土地分为长200m,宽60m和长200m,宽40m的两个小长方形分别种植甲、乙两种作物. 新知讲解 例1 8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?（单位:cm） 60 x+y=60, x=3y. 解:设小长方形地砖的长为x, 宽为y,由题意,得 解此方程组得： x =45, y=15. 答:小长方形地砖的长为45cm, 宽为15cm. 新知讲解 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路. 假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？ 知识点三 列方程组解决行程问题 新知讲解 分析：小华到学校的路分成两段，一段为平路，一段为下坡路. 平路：60 m/min 下坡路：80 m/min 上坡路：40 m/min 走平路的时间+走下坡路的时间=________， 走上坡路的时间+走平路的时间= _______． 路程=平均速度×时间 10 15 新知讲解 （直接设元法） 平路时间 坡路时间 总时间 上学 放学 解：设小华家到学校平路长xm，下坡路长ym. 根据题意，可列方程组： 解方程组，得 . 所以，小明家到学校的距离为700m. 新知讲解 例1 甲、乙两人相距4km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人0.5h后相遇.试问两人的速度各是多少？ 分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系. （1） 同时出发，同向而行 甲出发点 乙出发点 4km 甲追上乙 乙2h行程 甲2h行程 甲2h行程=4km+乙2h行程 新知讲解 （2） 同时出发，相向而行 甲出发点 乙出发点 4km 相遇地 甲0.5h 行程 乙0.5h 行程 甲0.5h行程+乙0.5h行程=4km 解：设甲、乙的速度分别为xkm/h,ykm/h. 根据题意，得 解方程组，得 答：甲的速度为5km/h,乙的速度为3km/h. 新知讲解 实际问题 设未知数、找等量关系、列方程（组） 数学问题 [方程(组)] 解方程（组） 数学问题的解 双检验 实际问题的答案 知识点四 列方程组解决较复杂的实际问题 新知讲解 例1 如图,长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5 元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ · 长青化工厂 公路10千米 新知讲解 分析：销售款与产品数量有关，原料费与原材料有关.设制成x吨产品，购买y吨原料.根据题意填写下表： 1.5× 20x 1.2× 110x 8 000x 1.5× 10y 1.2× 120y 1 000y 15 000 97 200 价 值（元） 铁路运费（元） 公路运费（元） 合 计 原料y吨 产品x吨 新知讲解 解:根据图表，列出方程组 解方程组得 x=300， y=400. 8000x-1000y-15000-97200 =8000×300-1000×400-15000-97200 =1887800（元）. 答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元. 1.5 × 20x+ 1.5×10y=15 000， 1.2 × 110x+ 1.2×120y=97 200. 新知讲解 1.我国的长江由西至东奔腾不息，其中九江至南京约有450千米的路程，某船从九江出发9个小时就能到达南京；返回时则用多了1个小时.求此船在静水中的速度以及长江水的平均流速. 解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，长江水的平均流速为y千米/时 . 解的： 答：轮船在静水中的速度为47.5千米/时，长江水的平均流速为2.5千米/时. 随堂练习 2.某班有40名同学看演出，购买甲、乙两种票共用去370元，其中甲种票每张10元，乙种票每张8元.请问甲种和乙种票各多少张？ 解：设甲种票x张，乙种票y张。 则 解得 答：甲种票25张，乙种票15张. 随堂练习 3.一个工厂共42名工人,每个工人平均每小时生产圆形铁片120片或长方形铁片80片.已知两片圆形铁片与一片长方形铁片可以组成一个圆柱形密封的铁桶.你认为如何安排工人的生产,才能使每天生产的铁片正好配套? 解：设生产圆形铁片的工人x人，生产长方形铁片的工人y人， 根据题意列出方程组得 解得 答：生产圆形铁片的工人24人，生产长方形铁片的工人18人. 随堂练习 4.某工地挖掘机的台数和装卸机的台数之和为21，如果每台挖掘机每天平均挖土750m3，每台装卸机每天平均运土300m3，正好能使挖出的土及时运走，问挖掘机有多少台？装卸机有多少台？ 解：设挖掘机x台，装卸机y台，根据题意列出方程组得 解得 答：挖掘机有6台，装卸机有15台. 随堂练习 实际问题与二元一次方程组 列方程组解决简单实际问题 列方程组解决几何问题 在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，我们可以借助列方程组的方法来处理这些问题 列方程组解决行程问题 列方程组解决较复杂的实际问题 要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题灵活选用 课后小结 谢谢观看 $$