复习专号 第11章 数的开方+复习自测题+复习检测题-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（华东师大版）

书 考点呈现我来悟 考点１：平方根与立方根 例１　４的平方根是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２　 Ｂ．－２ Ｃ．±２ Ｄ．１６ 解析：根据平方根的定义即可得解． 因为（±２）２ ＝４，所以４的平方根是 ±２．故选Ｃ． 例２　 －１２７的立方根是 （　　） Ａ．－１３ Ｂ． １ ３ Ｃ．± １ ３ Ｄ．± 槡３ ３ 解析：直接利用立方根的定义即可求解． 因为（－ １３） ３ ＝－ １２７，所以 － １ ２７的立方根是 －１３．故选Ａ． ●专项练习 １．实数１４４的平方根是 ，算术平方根是 ；－３４３的立方根是 ． ２．如果一个数的平方根是２ｘ＋１和ｘ－７，那么这 个数是 ． 考点２：实数 例３　在实数槡２，槡３，槡４，槡５中，有理数是 （　　） 槡 槡 槡 槡Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ 解析：掌握实数的分类是解题的关键． 实数槡２，槡３，槡５都是无理数，槡４＝２，２是有理数． 故选Ｃ． ●专项练习 ３．下列实数：０．３，－ π２，－ ２２ ７， 槡１００，槡５， ２．２０２００２０００２…（相邻两个２之间０的个数逐次加 １），－０．２ · ０３ · ，－ ３－槡 ４中，无理数有 个． ４．将下列各数填在相应的集合里： ３ 槡５１２，π，３．１４１５９２６，－０．４５６，０， ５ １１，－ ３ 槡９， ０．槡 １， ３．１３１１３１１１３…（相邻两个３之间１的个数逐次加１）， （－７）槡 ２． 有理数集合：｛　　　　　　　　　　…｝； 无理数集合：｛　　　　　　　　　　…｝； 正实数集合：｛　　　　　　　　　　…｝； 整数集合：｛　　　　　　　　　　　…｝． 考点３：实数的性质 例４　 －槡２的相反数是 ． 解析：根据相反数的意义，相反数是只有符号不同 的两个数，改变 －槡２前面的符号即可得解． －槡２的相反数是槡２．故填槡２． ●专项练习 ５．若将 －槡２，槡７，槡１３，槡１７分别表示在数轴上， 其中能被如图１所示的墨迹覆盖的是 （　　） Ａ．－槡 槡 槡 槡２ Ｂ．７ Ｃ． １３ Ｄ． １７ ６．在数轴上表示 －槡３的点离原点的距离是 ，槡５－２的相反数是 ，绝对值是 ． ７．已知Ａ，Ｂ，Ｃ是数轴上的三点，点Ｂ是线段ＡＣ的 中点，点Ａ，Ｂ对应的实数分别为 －１和槡３，则点Ｃ对应 的实数是 （　　） 槡 槡Ａ．３＋１ Ｂ．３＋２ 槡 槡Ｃ．２３－１ Ｄ．２３＋１ 考点４：无理数的估算 例５　正整数ａ，ｂ分别满足 ３槡５３＜ａ＜ ３ 槡９８，槡２ ＜ｂ＜槡７，则ｂ ａ ＝ （　　） Ａ．４ Ｂ．８ Ｃ．９ Ｄ．１６ 解析：根据无理数的估算可确定 ａ，ｂ，再进行计算 即可得解． 因为３＜ ３槡５３＜４，４＜ ３ 槡９８＜５，１＜槡２＜２，２ ＜槡７＜３，且ａ，ｂ都是正整数，所以ａ＝４，ｂ＝２．所以 ｂａ ＝２４ ＝１６．故选Ｄ． ●专项练习 ８．估计槡５４－４的值在 （　　） Ａ．６到７之间 Ｂ．５到６之间 Ｃ．４到５之间 Ｄ．３到４之间 ９．已知２ａ－１的算术平方根是３，３ａ＋ｂ－９的立方 根是２，ｃ是槡１７的整数部分，求ａ＋２ｂ＋ｃ的值． 考点５：实数的大小比较 例６　在１，－２，０，槡３这四个数中，最大的数是 （　　） Ａ．１ Ｂ．－ 槡２ Ｃ．０ Ｄ．３ 解析：本题主要考查实数的大小比较，要明确：任 意两个实数都可以比较大小，正实数都大于０，负实数 都小于０，正实数大于一切负实数；两个负实数比较大 小，绝对值大的反而小，据此判断即可． 根据实数比较大小的方法，得槡３＞１＞０＞－２． 故选Ｄ． ●专项练习 １０．比较大小：（１）－４ －槡１０； （２）槡３－１２ １ ３（填“＞”“＜”或“＝”）． １１．请将图２中数轴上标有字母的各点与下列实 数对应起来，再把下列各数用“＞”连起来． 槡３，－１．５，－槡５，－π，０．４，槡１５． 考点６：实数的运算 例７　计算：｜槡３－３｜－ ３－槡 ２７＝ ． 解析：本题主要考查了实数的运算，关键是要掌握 运算顺序，注意结果符号的判断． 原式 ＝３－槡３－（－３）＝６－槡３． 故填６－槡３． ●专项练习 １２．计算槡２５－ ３－槡 ８的结果是 （　　） Ａ．３ Ｂ．－７ Ｃ．－３ Ｄ．７ １３．（１）计算：槡３６－ （－３）槡 ２ ＋槡 １ ４ － ３ 槡８； （２）已知（２ｘ－１）２－９＝０，求ｘ的值． （专项练习答案参见第１５版                                                                               ） 书 要点梳理———我在行填 １．平方根 （１）一般地，如果一个正数ｘ的平方等于 ａ，即 ｘ２ ＝ａ，那么这个正数ｘ叫做ａ的 ．非负数ａ（ａ ≥０）的算术平方根记作“槡ａ”，读作 ，ａ叫做 槡．ａ≥０． （２）一般地，如果一个数的平方等于 ａ，那么这个 数叫做ａ的 ．即如果ｘ２ ＝ａ，那么ｘ叫做ａ的 平方根．正数 ａ的平方根可以表示为 ，读作 ． 温馨提示：算术平方根与平方根的区别与联系： 对于平方根，要注意：①一个正数有两个平方根， 它们互为相反数，如４的平方根是±２；②０的平方根是 ０；③负数没有平方根． 对于算术平方根，要注意：① 一个正数只有一个 正的算术平方根，如４的算术平方根是２；②０的算术 平方根是０；③负数没有算术平方根． 可见，算术平方根是特殊的平方根． （３）求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方． ２．立方根 如果ｘ３ ＝ａ，那么ｘ叫做ａ的立方根或三次方根． 数ａ的立方根记作“３槡ａ”，读作 ．正数的立方 根是一个 数；负数的立方根是一个 数；０的立方根是 ． ３．实数 （１）无理数： 称为无理数． 温馨提示：无理数与有理数的区别： ①定义不同．任何有限小数和无限循环小数都是 有理数；而只有无限不循环小数才是无理数． ②循环与不循环．有理数有时是无限循环小数． 而无理数则永远为无限不循环小数．无理数的三种形 式：开方开不尽的方根、无限不循环小数、含有π的数． （２）实数： 数和 数统称为 实数．每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，反 之，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数 轴上的点是 的关系． ①对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实 数总比左边的点表示的实数 ． ②实数ａ的相反数是 ． ③一个正实数的绝对值是 ；一个负实数 的绝对值是它的 ；０的绝对值是 ． ４．实数的分类 　 实 数 （　　） （　　　） （　　） （　　） （　　 { ） （　　　） （　　） （　　{           ） 有限小数或 无限循环小数 （　　） （　　　） （　　　{ }） { 无限不循环小数 ! !"#$ !"#$%"&'()*+,- ./01"23'4567 ! 89:;,< " =>? /@"ABCD'1EFGHI< # =8JK!" '0BCDEL;, MNNOP01"QR1" ST'UV, @"Q"WXYST'/MBZ[ 23, \]"^_`abFcdefab 'MK ! ! !" # $ $# $" % " # & ' ( ! " $( $' $& $# $" % " # & ' ( ! " # $ % & ! # 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．５的算术平方根等于 （　　） 　　　　　 　　　　　 　　　　　槡 槡Ａ．－ ５ Ｂ．５ 槡Ｃ．± ５ Ｄ．２５ ２．下列各数中，没有平方根的是 （　　） Ａ．－２２ Ｂ．（－２）２ Ｃ．－（－２） Ｄ．｜－２｜ ３．如果槡３是ａ＋１的相反数，那么ａ的值是 （　　） 槡 槡Ａ．１－ ３ Ｂ．１＋ ３ 槡 槡Ｃ．－１－ ３ Ｄ．３－１ ４．若ｘ＝槡１８－２，则估计ｘ的值所在的范围是 （　　） Ａ．１＜ｘ＜２ Ｂ．２＜ｘ＜３ Ｃ．３＜ｘ＜４ Ｄ．４＜ｘ＜５ ５．在一个长、宽、高分别为８ｃｍ，４ｃｍ，２ｃｍ的长方 体容器中装满水，将容器中的水全部倒入一个正方体 容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），则此正方 体容器的棱长是 （　　） Ａ．１０ｃｍ Ｂ．８ｃｍ Ｃ．６ｃｍ Ｄ．４ｃｍ ６．按如图１所示的程序计算，若输入的 ｘ的值为 ６４，则输出的ｙ的值是 （　　） 槡Ａ．４ Ｂ．２ Ｃ．２ Ｄ．３槡２ ７．已知ｘ为实数，且 ３ｘ－槡 ３－ ３２ｘ＋槡 １＝０，则ｘ ２＋ ｘ－３的算术平方根为 （　　） Ａ．３ Ｂ．２ Ｃ．３和 －３ Ｄ．２和 －２ ８．已知 ３１．槡 ５１≈１．１４７， ３１５．槡 １≈２．４７２， ３０．槡 １５１ ≈０．５３２５，则 ３槡１５１０的值约是 （　　） Ａ．２４．７２　 Ｂ．５３．２５ Ｃ．１１．４７　 Ｄ．１１４．７ 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．槡８１的平方根是 ，１－槡２的绝对值为 ． １０．现有四个实数，分别是｜－９｜，槡２２，－２ ３，槡２２，请 你计算其中无理数的积，其结果是 ． １１．比较大小：（１） ３ －２７槡８ －槡１２；（２）槡７ －３ ０（填“＞”“＜”或“＝”）． １２．实数ａ，ｂ，ｃ在数轴上对应点的位置如图２所示， 则化简 ａ槡 ２ ＋｜ｂ－ａ｜－ ３ （ａ＋ｂ）槡 ３－｜ｂ－ｃ｜的结果是 ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（８分）把下列各数分别填入相应的集合中： ３．１４，０．１２１１２１１１２…（相邻两个２之间１的个数逐 次加１），（－１１３） ２，｜－槡６｜，－２３，－２ ２， π ３，２０％． 无理数集合：｛ …｝； 负整数集合：｛ …｝； 分数集合：｛ …｝； 正数集合：｛ …｝． １４．（１２分）计算： （１）－１２９＋ ３－槡 ２７－２×槡９； （２）３×槡２＋槡 ５ ３－π＋５× ０．槡 ０４（精确到０．０１）； （３） ３－槡 ８－ １－ １６ 槡 ２５＋｜２－槡５｜＋ （－４）槡 ２． １５．（８分）求下列各式中ｘ的值： （１）４ｘ２－１２１＝０； （２）（ｘ－３）３＋８＝０． １６．（１２分）（１）已知３既是ａ－１的算术平方根，又 是ａ＋２ｂ＋１的立方根，求ａ２－ｂ２的平方根； （２）一个正数ａ的两个平方根是２ｂ－１和ｂ＋４，求 ａ＋ｂ的立方根． １７．（１２分）阅读材料： 因为２＜槡６＜３，所以槡６的整数部分为２，小数部 分为槡６－２． 解决问题： （１）填空：槡７３的小数部分是 ； （２）已知ａ是槡１９－４的整数部分，ｂ是槡１９－４的 小数部分，求整式（ａ＋１）３＋（ｂ＋４）２的值； （３）已知ｍ是２＋槡３的整数部分，ｎ是２＋槡３的小 数部分，求ｍ－ｎ的相反数                                                                                                                                                               ． ! !"#$ !" ! #$%"& '()*+, "#$"% -. ! " !"#$ !%#$ !"#$ &'( )*+ ,- ! &.*+ !%/$ ,0 " # $ & % ! ' 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．已知下列实数：π４，０， ３ 槡２７，槡４，槡 １６ ２ ，０．１， －０．３１３３１３３３１…（每两个１之间依次增加一个３），其 中无理数有 （　　） 　　　　　 　　　　　 　　　　　Ａ．２个 Ｂ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个 ２．下列各数最小的是 （　　） Ａ．－槡１０ Ｂ．－π 槡Ｃ．０ Ｄ．２ ３．若实数 ａ，ｂ互为相反数，ｃ，ｄ互为倒数，则式子 槡－ ａ＋ｂ＋ ３ 槡ｃｄ的值是 （　　） Ａ．－２ Ｂ．－１ Ｃ．０ Ｄ．１ ４．下列说法中，正确的是 （　　） ①１的平方根是 １；② ５是 ２５的算术平方根； ③（－４）２的平方根是 －４；④（－４）３的立方根是 －４； ⑤０．０１是０．１的一个平方根． Ａ．①④ Ｂ．②④ Ｃ．②③ Ｄ．②⑤ ５．下列各组数中互为相反数的是 （　　） Ａ．５和 ５槡 ３ 槡Ｂ．－｜－２｜和－（ 槡－２） Ｃ．－３槡８和 ３ 槡－８ Ｄ．－５和 １ ５ ６．已知ｘ是整数，当｜ｘ－槡３０｜取最小值时，ｘ的值 是 （　　） Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．７ Ｄ．８ ７．已知４ｍ＋１５的算术平方根是３，２－６ｎ的立方根 是 －２，则 ６ｎ－４槡 ｍ ＝ （　　） Ａ．２ Ｂ．±２ Ｃ．４ Ｄ．±４ ８．已知３ｍ－１和 －２ｍ－２都是某正数ａ的平方根， 则ａ的值是 （　　） Ａ．３ Ｂ．６４ Ｃ．３或 －１５ Ｄ．６４或 ６４ ２５ 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．计算：（－１）３＋｜槡３－２｜＝ ． １０．已知 ｘ＋槡 ４＝３，则ｘ＝ ；１０的立方根 是 ． １１．已知｜ｘ｜＝槡５，ｙ是４的算术平方根，且｜ｙ－ｘ｜＝ ｘ－ｙ，则ｘ＋ｙ的值为 ． １２．新定义一种运算：Ａ（ａ，ｂ），Ｂ（ｍ，ｎ），则ＡＢ＝ （ 槡－ｍ ａ， ３ 槡ｂｎ）．若Ａ（９，－１），且ＡＢ＝（－６，３），则 Ｂ是 ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（８分）（１）用计算器计算：３－槡 ２１６＋槡５（槡５－ １ 槡５ ）； （２）已知（３ｘ＋２）３－１＝６１６４，求ｘ的值． １４．（８分）已知Ｍ＝３ｍ＋２ｎ＋１１４ｎ－槡 ３是１４ｎ－３的算 术平方根，Ｎ＝２ｍ＋５ｍ＋槡 ６５是ｍ＋６５的立方根，求（Ｎ－ Ｍ）７３的值． １５．（１０分）如图１，有一块正方形铁皮，从四个顶 点处分别剪掉一个面积为２５ｃｍ２的正方形后，所剩部 分正好围成一个无盖的长方体容器，量得该容器的体 积是１８０ｃｍ３，求原正方形铁皮的边长． １６．（１２分）如图２，已知数轴的正半轴上有Ａ，Ｂ，Ｃ 三点，点Ａ，Ｂ分别表示数１和槡２，点Ｂ到点Ａ的距离与点 Ｃ到原点的距离相等，设点Ｃ所表示的数为ｃ． （１）求ｃ的值； （２）若ｍ为（ｃ－槡２）的相反数，ｎ为（ｃ－３）的绝对 值，求６ｍ＋ｎ的整数部分的立方根． １７．（１４分）已知小正方形ＡＢＣＤ的边长为槡２，把它 的各边延长一倍得到新正方形Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，如图３－①； 把正方形Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的边长按原方法延长一倍得到新正 方形Ａ２Ｂ２Ｃ２Ｄ２，如图３－②；以此下去得到相应正方形 ＡｎＢｎＣｎＤｎ及图３－○ｎ． （１）直角三角形Ｃ１Ｄ１Ｃ的面积是 ，正方形 Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的面积是 ，边长是 ； （２）直角三角形 Ｃ２Ｄ２Ｃ１的面积是 ，正方 形Ａ２Ｂ２Ｃ２Ｄ２的面积是 ，边长是 ； （３）探究正方形ＡｎＢｎＣｎＤｎ的面积和边长与序列数 ｎ的关系                                                                                                                                                               ． !" ! #$%"& '()*+, "#$"% -. ! !"#$ ! & ! ! " # $ ! " " " # " $ " ! ' " ' # ' $ ' ! " ! " # $ # " " " $ " ! " % ! " ! ' ( " ' ! # ! " 书 １８期２版 专题一　数据的收集 １．Ｄ；　２．Ａ；　３．Ｃ；　４．１２． ５．（１）２４＋１６＋８＋１０＋１６＝７４（次）． 答：小明家５月份一共打了７４次电话． （２）通话时间不超过１５ｍｉｎ的频数是：２４＋１６＋８ ＝４８，频率是：４８÷７４＝２４３７． ６．（１）２００，６４，０．０６； （２）因为０．１４＋０．０６＝２０％，所以一等奖的分数 线为大于或等于８０分． 专题二　数据的表示 １．Ｂ；　２．Ｄ；　３．５． ４．（１）３８５，０．１２； （２）补图略； （３）８８＋２２０＋２７５＝５８３（名）． 答：该校安全意识不强的学生有５８３名． ５．（１）２００； （２）Ｄ所占百分比为：３０２００×１００％ ＝１５％． 所以扇形统计图中，“Ｄ”所在扇形圆心角的度数 为：３６０°×１５％ ＝５４°． 喜欢Ｃ类书籍的人数是：２００×３０％ ＝６０，补图略． １８期３，４版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０１１１２ 答案 Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ｄ Ｄ Ｄ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ 二、１３．扇形；　１４．０．３２５；　１５．２．４；　１６．２０． 三、１７．（１）这个时段监测到的车辆数为：６÷１２％ ＝５０．所以ａ＝５０－６－８－１５－３－２＝１６． （２）车速为４４ｋｍ／ｈ的车辆数的频率为：３÷５０＝ ０．０６． １８．（１）４０，４６； （２）扇形统计图中，“科技类”的扇形圆心角的度 数为：３６０°×４６２００＝８２．８°． １９．（１）选择Ａ公司订餐．理由如下： Ａ公司送餐用时在２４分钟和３０分钟内波动，波动 较小；Ｂ公司送餐用时在１４分钟和３５分钟内波动，波动 较大． （２）选择Ｂ公司订餐．理由如下： Ａ公司１０个工作日送餐用时都超过２０ｍｉｎ，故送 餐用时超过２０ｍｉｎ；Ｂ公司１０个工作日送餐用时的平 均数为： １ １０×（２０＋１８＋２１＋１６＋３４＋３２＋１５＋１４＋ ３５＋１５）＝２２（ｍｉｎ），接近２０ｍｉｎ． ２０．（１）八年级的学生有：６６÷５５％ ＝１２０（人）．所 以选择Ａ研学点的学生有：１２０×１５％ ＝１８（人）．所以 选择Ｃ研学点的学生有：１２０－１８－６６－６＝３０（人）． 补图略． （２）选择Ｃ研学点的学生的频率为：３０１２０＝０．２５． ２１．（１）２００； （２）５４°； （３）由题意，得 Ｃ类型的家长有：２００－３０－４０－ １２０＝１０（名）．补图略． ２２．（１）Ｂ，２７５，９７．２； （２）８月份总销售量为：２７０÷２７％ ＝１０００（台）． 所以８月份其他品牌的空调销售总量是：１０００× （１００％ －２７％ －２３．４％ －２７．５％）＝２２１（台）． （３）答案不惟一，合理即可． 复习专号参考答案 《数的开方》专项练习 １．±１２，１２，－７；　２．２５；　３．４． ４．有理数集合：｛３槡５１２，３．１４１５９２６，－０．４５６，０， ５ １１， （－７）槡 ２，…｝； 无理数集合：｛π，－３槡９， ０．槡 １，３．１３１１３１１１３…（相邻 两个３之间１的个数逐次加１），…｝； 正实数集合：｛ ３ 槡５１２，π，３．１４１５９２６， ５ １１， ０．槡 １， ３．１３１１３１１１３…（相邻两个３之间１的个数逐次加１）， （－７）槡 ２，…｝； 整数集合：｛ ３ 槡５１２，０， （－７）槡 ２，…｝． ５．Ｂ；　６．槡３，２－槡５，槡５－２；　７．Ｄ；　８．Ｄ． ９．因为２ａ－１的算术平方根是３，所以２ａ－１＝９． 解得ａ＝５．因为３ａ＋ｂ－９的立方根是２，所以３ａ＋ｂ －９＝８．解得ｂ＝２．因为ｃ是槡１７的整数部分，而４＜ 槡１７＜５，所以ｃ＝４．所以ａ＋２ｂ＋ｃ＝１３． １０．（１）＜，（２）＞． １１．从左到右各点对应的实数分别为：Ａ＝－π，Ｅ ＝－槡５，Ｂ＝－１．５，Ｄ＝０．４，Ｆ＝槡３，Ｃ＝槡１５． 根据数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大， 得槡１５＞槡３＞０．４＞－１．５＞－槡５＞－π． １２．Ｄ． １３．（１）３２；　（２）ｘ＝２或ｘ＝－１． 《数的开方》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ａ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ａ Ｃ 二、９．±３，槡２－１；　１０．２；　１１．（１）＞，（２）＜； １２．－３ａ＋ｂ－ｃ． 三、１３．无理数集合：｛０．１２１１２１１１２…（相邻两个２ 之间１的个数逐次加１），｜－槡６｜， π ３，…｝； 负整数集合：｛－２３，－２２，…｝； 分数集合：｛３．１４，（－１１３） ２，２０％，…｝； 正数集合：｛３．１４，０．１２１１２１１１２…（相邻两个２之间１ 的个数逐次加１），（－１１３） ２，｜－槡６｜， π ３，２０％，…｝． １４．（１）－１０；　（２）２．８５；　（３）槡５－ ３ ５． １５．（１）ｘ＝１１２或ｘ＝－ １１ ２；　（２）ｘ＝１． １６．（１）因为３既是ａ－１的算术平方根，又是ａ＋ ２ｂ＋１的立方根，所以ａ－１＝９，ａ＋２ｂ＋１＝２７．解得 ａ＝１０，ｂ＝８．所以ａ２－ｂ２＝１０２－８２＝３６．所以ａ２－ ｂ２的平方根为：±槡３６＝±６． （２）因为ａ的两个平方根为２ｂ－１和ｂ＋４，所以２ｂ －１＋ｂ＋４＝０．解得ｂ＝－１．所以ａ＝９．所以ａ＋ｂ＝ ８．所以ａ＋ｂ的立方根是２． １７．（１）槡７３－８． （２）因为１６＜１９＜２５，所以４＜槡１９＜５．所以 ０＜槡１９－４＜１．因为ａ是槡１９－４的整数部分，ｂ是 槡１９－４的小数部分，所以ａ＝０，ｂ＝槡１９－４．所以（ａ ＋１）３＋（ｂ＋４）２ ＝１＋１９＝２０． （３）因为１＜３＜４，所以１＜槡３＜２．所以３＜２ ＋槡３＜４．因为ｍ是２＋槡３的整数部分，ｎ是２＋槡３的 小数部分，所以ｍ＝３，ｎ＝２＋槡３－３＝槡３－１．所以ｍ －ｎ的相反数为：－（ｍ－ｎ）＝ｎ－ｍ＝槡３－４． 《数的开方》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ａ Ｄ Ｂ Ｂ Ａ Ｃ Ｄ 二、９．１－槡３；　１０．５， ３ 槡１０；　１１．槡５＋２； １２．（２，－２７）． 三、１３．（１）－２；　（２）ｘ＝－１４． １４．因为Ｍ＝３ｍ＋２ｎ＋１１４ｎ－槡 ３是１４ｎ－３的算术平方 根，Ｎ ＝ ２ｍ＋５ｍ＋槡 ６５是 ｍ ＋６５的立方根，所以 ３ｍ＋２ｎ＋１＝２， ２ｍ＋５＝３{ ． 解 得 ｍ＝－１， ｎ＝２{ ． 所 以 Ｍ ＝ １４×２－槡 ３＝槡２５＝５，Ｎ＝ ３－１＋槡 ６５＝ ３ 槡６４＝ ４．所以（Ｎ－Ｍ）７３ ＝（４－５）７３ ＝－１． １５．因为从四个顶点处分别剪掉一个面积为 ２５ｃｍ２的正方形，所以剪掉的正方形的边长为５ｃｍ． 设原正方形铁皮的边长为ｘｃｍ． 由题意，得５（ｘ－１０）２ ＝１８０． 解得ｘ＝１６或ｘ＝４（不合题意，舍去）． 答：原正方形铁皮的边长为１６ｃｍ． １６．（１）ｃ＝槡２－１． （２）由题意，得ｍ＝－（ｃ－槡２）＝－（槡２－１－槡２） ＝１，ｎ＝｜ｃ－３｜＝｜槡２－１－３｜＝４－槡２．所以６ｍ＋ ｎ＝６×１＋（４－槡２）＝１０－槡２．因为１＜槡２＜２，所 以 －２＜－槡２＜－１．所以８＜１０－槡２＜９．所以６ｍ＋ ｎ的整数部分是８，３槡８＝２，即６ｍ＋ｎ的整数部分的立方 根是２． １７．（１）２，１０，槡１０；　（２）１０，５０，槡５０； （３）由（１）（２）可知，正方形Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的面积是：２ ×５＝１０，边长为槡１０；正方形 Ａ２Ｂ２Ｃ２Ｄ２的面积是：１０ ×５＝２×５２ ＝５０，边长为槡５０；…．以此类推，正方形 ＡｎＢｎＣｎＤｎ的面积是２×５ ｎ，边长为 ２×５槡 ｎ． 《整式的乘除》专项练习 １．Ｃ；　２．Ｃ；　３．Ｄ；　４．２０． ５．（１）ｍ１０；　（２）－２ａ８． ６．Ａ． ７．（１）－１６ｘ１３ｙ１７；　（２）－２ａ２０；　（３）－２７ａ６ｎ＋４． ８．３ｘｙ－ｙ２＋１２ｙ． ９．（１）３ｘ２＋ｘ；　（２）－９ｘ２ｙ２－３ｘ３ｙ２． １０．６． １１．Ｓ＝（２ａ＋ｂ）（ａ＋ｂ）－ａ２ ＝２ａ２＋２ａｂ＋ａｂ＋ ｂ２－ａ２ ＝ａ２＋３ａｂ＋ｂ２． １２．－２ｘ２ｙ３ｚ＋１． １３．（１）３ｍ６；　（２）－ａ７；　（３）２ｘｙ－２． １４．４． １５．（１）２ａ２－６ａ＋２５；　（２）１６ｘ４－７２ｘ２＋８１； （３）７ｘｙ－ｙ２． １６．ｘ２－６ｘ＋９－４ｙ２；　１７．Ｃ；　１８．－３；　１９．Ｂ． ２０．（１）（ｘ＋２ｙ）（２ｍ＋ｎ）（２ｍ－ｎ）； （２）（ｙ＋２）２（ｙ－２）２；　（３）ｘ（ｘ－１）（ｘ２＋１）． ２１．Ａ；　２２．Ｂ． 《整式的乘除》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｃ Ｄ Ａ Ｄ Ｄ Ｄ Ｂ 二、９．ａ（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）；　１０．－３×１０２； １１．ｘ２－ｘ－２；　１２．４０． 三、１３．（１）ａ－４ａ２；　（２）－３ｂ； （３）－４ｘ４－２ｘ３－ｘ２． １４．因为（ｘ＋ｙ）２ ＝ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２，ｘ＋ｙ＝４，ｘｙ＝ ３，所以ｘ２＋ｙ２ ＝（ｘ＋ｙ）２－２ｘｙ＝４２－２×３＝１０． １５．因为ｘ２＋ｘ＝１３，所以３ｘ ２＋３ｘ＝１．所以６ｘ４                                                                                                                                                                                   ＋ !"#$ !" 书 １５ｘ３＋１０ｘ２－１＝（６ｘ４＋６ｘ３－２ｘ２）＋（９ｘ３＋９ｘ２－３ｘ） ＋（３ｘ２＋３ｘ－１）＝２ｘ２（３ｘ２＋３ｘ－１）＋３ｘ（３ｘ２＋３ｘ－ １）＋（３ｘ２＋３ｘ－１）＝（３ｘ２＋３ｘ－１）（２ｘ２＋３ｘ＋１）＝ ０． １６．（１）因为（ｘ－ａ）（２ｘ＋ｂ）＝２ｘ２＋（－２ａ＋ｂ）ｘ －ａｂ＝２ｘ２－７ｘ＋３，所以－２ａ＋ｂ＝－７．因为（ｘ＋ａ）（ｘ ＋ｂ）＝ｘ２＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝ｘ２＋２ｘ－３．所以ａ＋ｂ＝ ２．所以（－２ａ＋ｂ）（ａ＋ｂ）＝－７×２＝－１４． （２）解 －２ａ＋ｂ＝－７， ａ＋ｂ＝２{ ， 得 ａ＝３， ｂ＝－１{ ．所以（ｘ＋ ３）（２ｘ－１）＝２ｘ２＋５ｘ－３． １７．（１）（ｘ－１）（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋４）＋９ ＝［（ｘ－１）（ｘ＋４）］［（ｘ＋１）（ｘ＋２）］＋９ ＝（ｘ２＋３ｘ－４）（ｘ２＋３ｘ＋２）＋９． 设ｘ２＋３ｘ＝Ｍ，原式 ＝（Ｍ－４）（Ｍ＋２）＋９＝Ｍ２ －２Ｍ－８＋９＝Ｍ２－２Ｍ＋１＝（Ｍ－１）２ ＝（ｘ２＋３ｘ －１）２． （２）（ｘ－６）（ｘ－２）（ｘ＋１）（ｘ＋３）＋９ｘ２ ＝［（ｘ－６）（ｘ＋１）］［（ｘ－２）（ｘ＋３）］＋９ｘ２ ＝（ｘ２－５ｘ－６）（ｘ２＋ｘ－６）＋９ｘ２． 设ｘ２－６＝Ｍ，原式 ＝（Ｍ－５ｘ）（Ｍ＋ｘ）＋９ｘ２＝ Ｍ２－５ｘ２－４Ｍｘ＋９ｘ２ ＝Ｍ２－４Ｍｘ＋４ｘ２ ＝（Ｍ－２ｘ）２ ＝（ｘ２－６－２ｘ）２． 《整式的乘除》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｄ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ Ａ 二、９．－６ｘ３ｙ３；　１０．４；　１１．２４；　１２．－６９． 三、１３．（１）２ｍｎ（４ｍ－１）； （２）（ｘ＋７）（２ａ＋３）（２ａ－３）；　（３）（ｘ－２ｙ－２）２． １４．（１）由题意，得Ｓ＝（３ａ＋２ｂ）（２ａ＋３ｂ）－ａ（３ａ ＋２ｂ）＝６ａ２＋９ａｂ＋４ａｂ＋６ｂ２－３ａ２－２ａｂ＝３ａ２＋１１ａｂ ＋６ｂ２． （２）当ａ＝３，ｂ＝６，Ｓ＝３×３２＋１１×３×６＋６× ６２ ＝４４１． １５．（ｘ２＋ｎｘ）（ｘ２－３ｘ＋ｍ）＝ｘ４－３ｘ３＋ｍｘ２＋ｎｘ３ －３ｎｘ２＋ｍｎｘ＝ｘ４＋（ｎ－３）ｘ３＋（ｍ－３ｎ）ｘ２＋ｍｎｘ．根 据题意，得ｎ－３＝０，ｍ－３ｎ＝０．解得ｍ＝９，ｎ＝３． １６．（１）（２ｘ，ｋｘ）（ｙ，－ｙ）＝（２ｘ）２＋（－ｙ）２－ ｋｘｙ＝４ｘ２－ｋｘｙ＋ｙ２．因为４ｘ２－ｋｘｙ＋ｙ２是一个整式的 平方，所以ｋ＝±４． （２）（３ｘ＋ｙ，２ｘ２＋３ｙ２）（３，ｘ－３ｙ）＝（３ｘ＋ｙ）２ ＋（ｘ－３ｙ）２－３（２ｘ２＋３ｙ２）＝９ｘ２＋６ｘｙ＋ｙ２＋ｘ２－６ｘｙ ＋９ｙ２－６ｘ２－９ｙ２＝４ｘ２＋ｙ２＝（２ｘ＋ｙ）２－４ｘｙ＝１０４． 因为２ｘ＋ｙ＝１２，所以１２２－４ｘｙ＝１０４．解得ｘｙ＝１０． １７．（１）１，０． （２）因为ｘ２＋２ｙ２－２ｘｙ＋６ｙ＋９＝０，所以（ｘ－ｙ）２ ＋（ｙ＋３）２ ＝０．所以ｘ－ｙ＝０，ｙ＋３＝０．解得ｘ＝ｙ ＝－３．所以ｘｙ＝（－３）×（－３）＝９． （３）因为２ａ２＋ｂ２－４ａ－６ｂ＋１１＝０，所以２（ａ－ １）２＋（ｂ－３）２ ＝０．所以ａ－１＝０，ｂ－３＝０．解得ａ ＝１，ｂ＝３．由三角形的三边关系，得２＜ｃ＜４．因为ｃ 是整数，所以ｃ＝３．所以△ＡＢＣ的周长为：１＋３＋３＝ ７． 《全等三角形》专项练习 １．两条直线相交，这两条直线一定不平行； ２．Ａ；　３．Ｃ；　４．Ｃ． ５．（１）因为△ＡＢＦ≌△ＢＣＧ，所以ＡＢ＝ＢＣ＝５， ＢＦ＝ＣＧ＝３．所以ＣＦ＝ＢＣ－ＢＦ＝２． （２）因为正五边形ＡＢＣＤＥ的各个内角都相等，所 以∠ＡＢＣ＝ １５×（５－２）×１８０°＝１０８°．因为△ＡＢＦ ≌△ＢＣＧ，所以∠ＢＡＦ＝∠ＣＢＧ．所以∠ＡＨＧ＝∠ＢＡＦ ＋∠ＡＢＨ＝∠ＣＢＧ＋∠ＡＢＨ＝∠ＡＢＣ＝１０８°． ６．Ｂ． ７．△ＡＤＥ≌△ＣＡＢ．理由如下： 因为∠ＤＣＥ＝∠ＣＥＤ，所以ＣＤ＝ＤＥ．因为ＡＢ＝ ＣＤ，所以ＡＢ＝ＤＥ．在△ＡＤＥ和△ＣＡＢ中，因为ＡＥ＝ＣＢ， ＤＥ＝ＡＢ，ＡＤ＝ＣＡ，所以△ＡＤＥ≌△ＣＡＢ（Ｓ．Ｓ．Ｓ．）． ８．Ｄ；　９．Ｃ． １０．因为ＤＥ⊥ＡＣ，所以∠ＤＥＣ＝９０°＝∠Ｂ．因为 ＣＤ∥ＡＢ，所以∠Ａ＝∠ＤＣＥ．在△ＣＥＤ和△ＡＢＣ中， 因为 ∠ＤＣＥ＝∠Ａ，ＣＥ＝ＡＢ，∠ＤＥＣ＝∠Ｂ，所以 △ＣＥＤ≌△ＡＢＣ（Ａ．Ｓ．Ａ．）． １１．Ｂ． １２．因为∠３＝∠４，所以１８０°－∠３＝１８０°－∠４， 即∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ．在△ＡＣＢ和△ＡＣＤ中，因为∠１＝ ∠２，ＡＣ ＝ ＡＣ，∠ＡＣＢ ＝ ∠ＡＣＤ，所 以 △ＡＣＢ≌ △ＡＣＤ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所以ＡＢ＝ＡＤ． １３．因为ＡＢ∥ＤＥ，所以∠Ａ＝∠ＥＤＦ．在△ＡＢＣ和 △ＤＥＦ中，因为∠Ａ＝∠ＥＤＦ，∠Ｂ＝∠Ｅ，ＢＣ＝ＥＦ，所 以△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＣ＝ＤＦ．所以ＡＣ －ＤＣ＝ＤＦ－ＤＣ，即ＡＤ＝ＣＦ． １４．３；　１５．４０°或１００°． １６．（１）因为 ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ，所以 ∠ＣＡＤ ＝ ∠ＥＡＤ．因为 ＤＥ∥ ＡＣ，所以 ∠ＡＤＥ＝∠ＣＡＤ．所以 ∠ＡＤＥ＝∠ＥＡＤ．因为ＡＤ⊥ＢＤ，所以∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＥ ＋∠ＢＤＥ＝９０°．所以∠ＥＡＤ＋∠ＡＢＤ＝９０°．所以∠ＢＤＥ ＝∠ＡＢＤ．所以ＤＥ＝ＢＥ，即△ＢＤＥ是等腰三角形． （２）因为 ＣＤ∥ ＡＢ，所以 ∠ＣＤＡ＝∠ＥＡＤ ＝ ∠ＥＤＡ．在△ＡＣＤ和△ＡＥＤ中，因为∠ＣＤＡ＝∠ＥＤＡ， ＡＤ ＝ ＡＤ，∠ＣＡＤ ＝ ∠ＥＡＤ， 所 以 △ＡＣＤ ≌ △ＡＥＤ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所以ＣＤ＝ＥＤ．所以ＣＤ＝ＢＥ． １７．５；　１８．１２６°． １９．因为△ＡＢＣ为等边三角形，所以ＡＣ＝ＢＣ，∠Ｂ ＝∠ＡＣＢ＝６０°．因为ＡＤ∥ＢＣ，所以∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＢ ＝６０°＝∠Ｂ．在△ＤＡＣ和△ＥＢＣ中，因为ＡＤ＝ＢＥ， ∠ＤＡＣ ＝ ∠Ｂ，ＡＣ ＝ ＢＣ， 所 以 △ＤＡＣ ≌ △ＥＢＣ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以ＤＣ＝ＥＣ，∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ．所 以∠ＥＣＤ＝∠ＡＣＤ＋∠ＡＣＥ＝∠ＢＣＥ＋∠ＡＣＥ ＝ ∠ＡＣＢ＝６０°．所以△ＤＥＣ为等边三角形． ２０．图略． ２１．Ｂ；　２２．４０°． ２３．因为∠ＥＢＣ＝∠Ａ＋∠ＡＣＢ＝∠ＢＣＥ，所以ＣＥ ＝ＢＥ．所以点Ｅ在ＢＣ的垂直平分线上． ２４．Ａ；　２５．Ｂ． ２６．因为∠１＝∠２，所以ＤＢ＝ＤＣ．因为ＤＢ⊥ＡＢ， ＤＣ⊥ＡＣ，所以ＡＤ平分∠ＢＡＣ． 《全等三角形》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｂ Ｂ Ａ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ 二、９．５０°；　１０．５５°；　１１．５；　１２．６． 三、１３．图略． １４．因为ＡＦ＝ＣＥ，所以ＡＦ－ＥＦ＝ＣＥ－ＥＦ，即ＡＥ ＝ＣＦ．在△ＡＢＥ和△ＣＤＦ中，因为ＡＢ＝ＣＤ，ＡＥ＝ＣＦ， ＢＥ＝ＤＦ，所以△ＡＢＥ≌△ＣＤＦ（Ｓ．Ｓ．Ｓ．）．所以∠Ａ＝ ∠ＤＣＦ．所以ＡＢ∥ＣＤ． １５．过点Ｆ作ＦＧ⊥ＡＢ于点Ｇ，图略．所以∠ＡＧＦ＝ ∠ＥＤＣ＝９０°，ＦＧ＝ＢＥ＝２０米，ＢＧ＝ＥＦ＝１米．因为 ∠１与∠２互余，所以 ∠１＋∠２＝９０°．因为 ∠１＋ ∠ＥＣＤ＝９０°，所以∠２＝∠ＥＣＤ．在△ＡＦＧ和△ＥＣＤ 中，因为∠ＡＧＦ＝∠ＥＤＣ，ＦＧ＝ＣＤ，∠２＝∠ＥＣＤ，所 以△ＡＦＧ≌△ＥＣＤ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所以ＡＧ＝ＥＤ＝ＢＤ－ ＢＥ＝３８米．所以ＡＢ＝ＡＧ＋ＢＧ＝３９米． 答：单元楼ＡＢ的高为３９米． １６．（１）ＤＥ∥ＡＣ．证明如下： 因为 ＡＤ是 ∠ＢＡＣ的平分线，所以 ∠ＣＡＤ ＝ ∠ＥＡＤ．因为 ＥＦ垂直平分 ＡＤ，所以 ＥＡ＝ＥＤ．所以 ∠ＥＡＤ＝∠ＥＤＡ．所以 ∠ＣＡＤ＝∠ＥＤＡ．所以 ＤＥ∥ ＡＣ． （２）因为ＥＦ垂直平分 ＡＤ，所以 ＦＡ＝ＦＤ．所以 ∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ．所以 ∠ＦＡＤ－∠ＥＡＤ＝∠ＦＤＡ－ ∠ＥＤＡ，即∠ＥＡＦ＝∠ＥＤＦ．因为ＤＥ∥ＡＣ，所以∠Ｃ＝ ∠ＥＤＦ．所以∠Ｃ＝∠ＥＡＦ． １７．（１）△ＢＣＭ≌△ＡＣＮ．理由如下： 因为ＣＡ＝ＣＢ，ＢＮ＝ＡＭ，所以ＣＡ－ＡＭ＝ＣＢ－ＢＮ， 即ＣＭ＝ＣＮ．在△ＢＣＭ和△ＡＣＮ中，因为ＣＭ＝ＣＮ，∠Ｃ ＝∠Ｃ，ＣＢ＝ＣＡ，所以△ＢＣＭ≌△ＡＣＮ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． （２）因为 △ＢＣＭ ≌ △ＡＣＮ，所以 ∠ＣＢＭ ＝ ∠ＣＡＮ．因为ＡＥ＝ＤＥ，所以∠ＥＡＤ＝∠ＥＤＡ．因为ＡＧ ∥ＢＣ，所以∠ＧＡＣ＝∠ＡＣＢ＝α，∠ＡＤＢ＝∠ＤＢＣ．所 以∠ＡＤＢ＝∠ＣＡＮ．所以∠ＢＤＥ＝∠ＡＤＢ＋∠ＥＤＡ＝ ∠ＣＡＮ＋∠ＥＡＤ＝１８０°－∠ＧＡＣ＝１８０°－α． 《全等三角形》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｂ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ 二、９．１５；　１０．５ｃｍ；　１１．１５０°；　１２．７０． 三、１３．因为∠ＡＣＤ＝１２０°，∠Ａ＝６０°，所以∠Ｂ＝ ∠ＡＣＤ－∠Ａ＝６０°，∠ＡＣＢ＝１８０°－∠ＡＣＤ＝６０°．所 以△ＡＢＣ是等边三角形． １４．（１）在△ＡＢＣ和△ＢＡＤ中，因为ＡＣ＝ＢＤ，ＢＣ ＝ＡＤ，ＡＢ＝ＢＡ，所以△ＡＢＣ≌△ＢＡＤ（Ｓ．Ｓ．Ｓ．）． （２）由（１）知 △ＡＢＣ≌ △ＢＡＤ．所以 ∠ＣＢＡ＝ ∠ＤＡＢ．所以ＯＡ＝ＯＢ．因为ＯＥ⊥ＡＢ，所以ＡＥ＝ＢＥ． １５．（１）因为 ∠Ａ＝∠ＡＤＥ，所以 ＤＥ＝ＡＥ．因为 ＢＥ是边ＡＣ上的中线，所以ＡＥ＝ＣＥ．因为ＢＤ＝ＣＥ，所 以ＢＤ＝ＤＥ．所以点Ｄ在ＢＥ的垂直平分线上． （２）因为ＢＤ＝ＤＥ，所以 ∠ＡＢＥ＝∠ＤＥＢ．所以 ∠Ａ＝∠ＡＤＥ＝∠ＡＢＥ＋∠ＤＥＢ＝２∠ＡＢＥ．所以 ∠ＢＥＣ＝∠Ａ＋∠ＡＢＥ＝３∠ＡＢＥ． １６．（１）７５°． （２）在ＥＢ上截取 ＥＮ＝ＣＥ，连结 ＣＮ，图略．所以 ∠ＥＣＮ＝∠ＥＮＣ．因为ＣＦ⊥ＡＢ，所以∠ＡＥＣ＝９０°．所以 ∠ＥＮＣ＝１２∠ＡＥＣ＝４５°＝∠Ｆ，∠ＮＡＣ＋∠ＡＣＥ＝９０°． 因为 ∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＥ＋∠ＦＣＤ＝９０°，所以 ∠ＮＡＣ＝ ∠ＦＣＤ．在△ＡＣＮ和△ＣＤＦ中，因为∠ＡＮＣ＝∠Ｆ，∠ＮＡＣ ＝∠ＦＣＤ，ＡＣ＝ＣＤ，所以△ＡＣＮ≌△ＣＤＦ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所 以ＡＮ＝ＣＦ．所以ＡＮ－ＥＮ＝ＣＦ－ＣＥ，即ＡＥ＝ＦＥ． １７．（１）过点Ｐ作ＰＦ∥ＡＣ交ＢＣ于点Ｆ，图略．所 以∠ＰＦＢ＝∠ＡＣＢ，∠ＰＦＤ＝∠ＱＣＤ，∠ＤＰＦ＝∠Ｑ． 因为点Ｐ和点Ｑ同时出发，且速度相同，所以ＢＰ＝ＣＱ． 因为ＡＢ＝ＡＣ，所以∠Ｂ＝∠ＡＣＢ．所以∠Ｂ＝∠ＰＦＢ． 所以ＢＰ＝ＰＦ．所以ＰＦ＝ＣＱ．在△ＰＦＤ和△ＱＣＤ中， 因为∠ＰＦＤ＝∠ＱＣＤ，ＰＦ＝ＱＣ，∠ＤＰＦ＝∠Ｑ，所以 △ＰＦＤ≌ △ＱＣＤ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所以 ＤＰ＝ＤＱ＝ １２ＰＱ ＝５． （２）线段ＤＥ的长保持不变．理由如下： 当点 Ｐ在线段 ＡＢ上时，由（１），得 △ＰＦＤ≌ △ＱＣＤ，ＰＢ＝ＰＦ．所以ＦＤ＝ＣＤ．因为ＰＥ⊥ＢＣ，所以ＥＦ ＝１２ＢＦ．所以ＤＥ＝ＥＦ＋ＦＤ＝ １ ２ＢＦ＋ １ ２ＣＦ＝ １ ２ＢＣ ＝３． 当点Ｐ在ＢＡ的延长线上时，过点Ｐ作ＰＧ∥ＡＣ交 ＢＣ的延长线于点 Ｇ，图略．所以 ∠Ｇ＝∠                                                                                                                                                                                   ＱＣＤ ＝ !"#$ !" 书 ∠ＡＣＢ，∠ＤＰＧ＝∠Ｑ．因为 ＡＢ＝ＡＣ，所以 ∠Ｂ＝ ∠ＡＣＢ．所以∠Ｂ＝∠Ｇ．所以ＧＰ＝ＢＰ．因为ＰＥ⊥ＢＣ， 所以ＥＧ＝ １２ＢＧ．因为 ＢＰ＝ＣＱ，所以 ＧＰ＝ＣＱ．在 △ＰＧＤ和△ＱＣＤ中，因为∠ＤＰＧ＝∠Ｑ，ＧＰ＝ＣＱ，∠Ｇ ＝∠ＱＣＤ，所以△ＰＧＤ≌△ＱＣＤ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所以ＤＧ＝ ＤＣ．所以ＤＥ＝ＥＧ－ＤＧ＝１２ＢＧ－ １ ２ＣＧ＝ １ ２ＢＣ＝３． 综上所述，线段ＤＥ的长保持不变． 《勾股定理》专项练习 １．Ａ；　２．Ｃ． ３．（１）因为ＡＢ＝ＡＣ＝１３，Ｆ是ＢＣ的中点，所以 ＡＦ⊥ ＢＣ，ＢＦ ＝ＣＦ．因为 ＡＦ ＝１２，所以 ＢＦ ＝ ＡＢ２－ＡＦ槡 ２ ＝５． （２）连结ＣＤ，图略．因为ＢＦ＝ＣＦ＝５，所以ＢＣ＝１０． 所以Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＢＣ·ＡＦ＝６０．因为Ｄ是ＡＢ的中点，所以 Ｓ△ＡＤＣ ＝ １ ２Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＣ·ＤＥ＝３０．解得ＤＥ＝ ６０ １３． ４．（１）当点Ｐ是边ＡＣ的中点时，△ＰＢＣ的面积为 △ＡＢＣ面积的一半．所以ｔ＝８． （２）根据题意，得ＡＰ＝ｔｃｍ．则ＰＣ＝（１６－ｔ）ｃｍ． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，根据勾股定理，得 ＢＣ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２ ＝１２ｃｍ．在Ｒｔ△ＰＣＢ中，由勾股定理，得ＰＣ２＋ＢＣ２＝ ＰＢ２，即（１６－ｔ）２＋１２２＝ｔ２．解得ｔ＝１２．５．所以当ｔ的 值为１２．５时，ＡＰ＝ＰＢ． ５．连结ＤＢ，过点Ｄ作△ＢＣＤ中ＢＣ边上的高ＤＦ， 图略，则 ＤＦ＝ＥＣ＝ｂ－ａ．因为 Ｓ四边形ＡＤＣＢ ＝Ｓ△ＡＣＤ ＋ Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ｂ ２＋１２ａｂ，Ｓ四边形ＡＤＣＢ ＝Ｓ△ＡＤＢ＋Ｓ△ＤＣＢ ＝ １ ２ｃ ２ ＋１２ａ（ｂ－ａ），所以 １ ２ｂ ２＋１２ａｂ＝ １ ２ｃ ２＋１２ａ（ｂ－ａ）． 整理，得ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２． ６．Ｄ． ７．（１）连结ＡＣ，图略．因为ＡＤ⊥ＣＤ，所以∠Ｄ＝ ９０°．所以ＡＤ２＋ＣＤ２＝ＡＣ２．因为ＣＤ２＋ＡＤ２＝２ＡＢ２，所 以ＡＣ２＝２ＡＢ２．因为ＢＣ＝ＡＢ，所以ＡＣ２＝ＡＢ２＋ＢＣ２． 所以∠ＡＢＣ＝９０°．所以ＡＢ⊥ＢＣ． （２）因为ＣＤ＝１３ＡＢ，所以ＡＢ＝３ＣＤ．因为ＡＤ＝ １７，所以ＣＤ２＋１７２＝２×（３ＣＤ）２．解得ＣＤ＝槡１７．所 以ＡＢ＝ＢＣ＝ 槡３ １７． ８．Ｂ；　９．２；　１０．Ａ；　１１．槡４５；　１２．１３ｍ； １３．ａ，ｂ都不能被５整除． 《勾股定理》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ａ Ａ Ｂ Ｃ Ａ Ａ Ｄ 二、９．是；　１０．２；　１１．＜；　１２．６．５． 三、１３．根据题意，得ＡＢ＝ １５２－１２槡 ２ ＝９（ｃｍ）． 所以Ｓ半圆 ＝ π×（９２） ２ ２ ＝ ８１ ８π（ｃｍ ２）． １４．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝９０°，因为ＡＢ＝１２，ＢＣ＝ １６，所以ＡＣ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２ ＝２０．因为ＣＤ＝２１，ＡＤ＝ ２９，所以ＡＣ２＋ＣＤ２ ＝８４１，ＡＤ２ ＝８４１．所以ＡＣ２＋ＣＤ２ ＝ＡＤ２．所以△ＡＣＤ是直角三角形． １５．过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，图略．由题意，得ＡＯ ＝ＢＯ＝ＡＤ＝ＢＣ．因为ＯＥ＝１２ＣＤ＝０．０４米，所以ＡＥ ＝（ＡＯ－０．０４）米．在Ｒｔ△ＡＤＥ中，∠ＤＥＡ＝９０°，ＤＥ＝ ０．２８米，所以 ＡＥ２＋ＤＥ２ ＝ＡＤ２，即（ＡＯ－０．０４）２ ＋ ０．２８２ ＝ＡＯ２．解得ＡＯ＝１．所以ＡＢ＝２ＡＯ＝２米． １６．三边分别为ｈ，ａ＋ｂ，ｃ＋ｈ的三角形是直角三角 形．理由如下： 根据勾股定理，得 ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２．△ＡＢＣ的面积为 １ ２ａｂ＝ １ ２ｃｈ，所以ａｂ＝ｃｈ．所以（ａ＋ｂ） ２＝ａ２＋２ａｂ＋ ｂ２ ＝ｃ２＋２ｃｈ．所以（ｃ＋ｈ）２＝ｃ２＋２ｃｈ＋ｈ２＝（ａ＋ｂ）２ ＋ｈ２．所以三边分别为ｈ，ａ＋ｂ，ｃ＋ｈ的三角形是直角三 角形． １７．（１）槡３４． （２）如图１，将长方体沿侧 面展开，此时 ＡＰ的长最短．当 ｔ ＝５秒时，Ｃ１Ｐ＝５，所以 ＣＰ＝ ＣＣ１－Ｃ１Ｐ＝６．因为ＡＣ＝ＡＢ＋ ＢＣ＝８，所以ＡＰ＝ ＡＣ２＋ＣＰ槡 ２ ＝１０．所以点 Ｑ的速度至少为： １０ ５ ＝２（单位 ／秒）． 《勾股定理》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｃ Ｄ Ｂ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ 二、９．这两个角所对的边相等；　１０．－２－槡１３； １１．槡５；　１２．槡３４． 三、１３．△ＡＢＣ是直角三角形．理由如下： 因为ａ＝ｎ２－１，ｂ＝２ｎ，ｃ＝ｎ２＋１，所以ａ２＋ｂ２＝ （ｎ２－１）２＋（２ｎ）２ ＝ｎ４－２ｎ２＋１＋４ｎ２ ＝ｎ４＋２ｎ２＋ １＝（ｎ２＋１）２，ｃ２＝（ｎ２＋１）２．所以ａ２＋ｂ２＝ｃ２．所以 △ＡＢＣ是直角三角形． １４．因为ＡＤ＋ＡＣ＝１５，ＢＤ＝１０，所以ＡＣ＝１５－ ＡＤ，ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＤ＝ＡＤ＋１０．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝ ９０°，ＢＣ＝５，所以ＡＢ２＋ＢＣ２＝ＡＣ２，即（ＡＤ＋１０）２＋５２ ＝（１５－ＡＤ）２．解得ＡＤ＝２．所以ＡＢ＝ＡＤ＋１０＝１２． １５．如图２． （１）出发３秒钟时，ＣＣ１＝４×３＝１２（米），ＢＢ１＝ ３×３＝９（米）．因为ＡＣ＝４０米，ＡＢ＝３０米，所以ＡＣ１ ＝ＡＣ－ＣＣ１＝２８米，ＡＢ１＝ＡＢ－ＢＢ１＝２１米．所以Ｂ１Ｃ１ ＝ ＡＣ２１＋ＡＢ槡 ２ １ ＝３５米 ＞３２米． 答：出发３秒钟时，遥控信号不会相互干扰． （２）设出发ｔ秒时，两赛车距Ａ点的距离之和为３５米． 根据题意，得４０－４ｔ＋３０－３ｔ＝３５．解得ｔ＝５．此时ＡＣ１ ＝４０－４×５＝２０（米），ＡＢ１ ＝３０－３×５＝１５（米）． 所以Ｂ１Ｃ１ ＝ ＡＣ ２ １＋ＡＢ槡 ２ １ ＝２５米 ＜３２米． 答：当两赛车距Ａ点的距离之和为３５米时，遥控信 号会相互干扰． １６．（１）如图３－①，过点Ａ作ＡＭ垂直于墙面，垂 足为点Ｍ． 根据题意，得ＡＭ ＝４０ｃｍ． 在Ｒｔ△ＡＯＭ中，ＯＭ ＝ ＡＯ２－ＡＭ槡 ２ ＝３０ｃｍ． 答：小凳子的高度为３０ｃｍ． （２）如图３－②，延长ＢＡ交墙面于点Ｎ． 所以∠ＢＮＣ＝９０°． 因为ＯＣ＝９０ｃｍ，所以ＣＮ＝ＯＣ－ＯＮ＝６０ｃｍ． 在Ｒｔ△ＢＣＮ中，根据勾股定理，得 ＢＮ２＋ＣＮ２ ＝ ＢＣ２，即（ＡＢ＋４０）２＋６０２ ＝（ＡＢ＋６０）２． 解得ＡＢ＝４０ｃｍ． 所以ＢＣ＝６０＋４０＝１００（ｃｍ）． 答：小凳子宽ＡＢ为４０ｃｍ，木杆ＢＣ的长度为１００ｃｍ． １７．（１）因为ＡＢ＝ＢＣ，ＡＣ＞ＡＢ，所以ａ＝ｃ，ｂ＞ｃ． 因为△ＡＢＣ是“类勾股三角形”，所以ａｃ＋ａ２＝ｂ２，即ｃ２ ＋ａ２＝ｂ２．所以△ＡＢＣ是等腰直角三角形．所以∠Ａ＝ ４５°． （２）过点Ｃ作ＣＧ⊥ＡＢ于点Ｇ，图略．由题意，得ＡＤ ＝ＣＤ＝ＢＣ＝ａ．所以ＤＢ＝ＡＢ－ＡＤ＝ｃ－ａ．因为ＣＧ ⊥ＡＢ，所以ＤＧ＝ＢＧ＝１２（ｃ－ａ）．所以ＡＧ＝ＡＤ＋ＤＧ ＝ａ＋１２（ｃ－ａ）＝ １ ２（ａ＋ｃ）．在Ｒｔ△ＡＣＧ中，ＣＧ ２ ＝ ＡＣ２－ＡＧ２＝ｂ２－［１２（ｃ＋ａ）］ ２．在Ｒｔ△ＢＣＧ中，ＣＧ２＝ ＢＣ２－ＢＧ２ ＝ａ２－［１２（ｃ－ａ）］ ２．所以 ｂ２－［１２（ａ＋ ｃ）］２＝ａ２－［１２（ｃ－ａ）］ ２．整理，得ｂ２＝ａｃ＋ａ２．所以 △ＡＢＣ是“类勾股三角形”． 《数据的收集与表示》专项练习 １．Ｂ；　２．Ｄ；　３．Ｂ；　４．Ｃ；　５．１８； ６．（１）０．１５，２４，０．１，６０，（２）４９．５～５９．５，（３）２４； ７．３６°；　８．Ｂ． ９．（１）１５，５，０．１５； （２）扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的 度数为：３６０°×０．１５＝５４°． １０．１０，４０；　１１．Ｂ；　１２．Ａ；　１３．条形． １４．（１）一、二、三、四季度销售额分别为３８千元、 ２４千元、７７千元、１２千元，可用条形统计图表示，图略； （２）总销售额为１１６８千元，一、二、三、四季度销 售额占总销售额的百分比分别约为 ３３％，２０５％， ６５９％，１０３％，可用扇形统计图表示，图略； （３）答案不惟一，合理即可． 《数据的收集与表示》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｂ Ａ Ａ Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ 二、９．折线统计图；　１０．④；　１１．１０；　１２．８４． 三、１３．图略． １４．（１）３，１５． （２）补图略． （３）被抽取同学的优秀率为： １５１＋３＋１１＋１５× １００％ ＝５０％． １５．（１）１月的销售额为：３５－１０－８－４－８＝ ５（万元），补图略． （２）８×１５％ ＝１．２（万元）． 答：该店最畅销饮品去年 １２月的销售额是 １２万元． （３）不同意．理由如下： ３月 最 畅 销 饮 品 的 销 售 额 为：８×１０％ ＝ ０．８（万元），１月最畅销饮品的销售额为：５×１１％ ＝ ０．５５（万元）．因为０．８＞０．５５，所以店长的看法不正 确． １６．（１）由题意，得１２÷３＝４（人）． 答：９０２班Ｄ等级的人数为４． （２）因为九年级每班选相同数量同学参加比赛                                                                                                                                                                                   ， !"#$ !" ! 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" ! $ ' ( 书 所以９０１班的总人数为：４÷１６％ ＝２５．所以９０１班Ｃ等 级的人数为：２５－６－１２－５＝２．补图略． （３）９０１班的优秀率为：６＋１２２５ ×１００％ ＝７２％，９０２ 班的优秀率为：４４％ ＋４％ ＝４８％．因为４８％ ＜７２％， 所以９０１班的成绩更优秀． 八年级第一学期期末综合质量检测卷（一） 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案 Ｃ Ｃ Ａ Ｂ Ｄ Ｄ Ｃ Ｃ Ａ Ｃ Ｃ Ｄ 二、１３．ｙ３；　１４．如果一个数是正数，那么它的算 术平方根是有理数；　１５．答案不惟一，如ＰＡ＝ＰＢ； １６．３０°． 三、１７．（１）－２；　（２）１０－槡５． １８．因为ＡＤ⊥ＢＣ，所以∠ＡＤＢ＝９０°．所以∠ＢＡＤ ＝９０°－∠Ｂ＝２０°．因为点Ｄ到ＡＢ，ＡＣ的距离相等，所 以∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ＝２０°． １９．（１）因为∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝９千米，ＡＢ＝１５千 米，所以ＢＣ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２ ＝１２千米．因为ＢＤ＝５千 米，所以 ＣＤ ＝ＢＣ－ＢＤ ＝７千米．所以 ＡＤ ＝ ＡＣ２＋ＣＤ槡 ２ ＝槡１３０千米． （２）因为ＤＨ⊥ ＡＢ，所以 Ｓ△ＡＢＤ ＝ １ ２ＢＤ·ＡＣ＝ １ ２ＡＢ·ＤＨ．解得ＤＨ＝３千米．所以修建公路ＤＨ的费 用为：３×２０００＝６０００（万元）． ２０．（１）因为ＡＥ∥ＢＣ，所以∠ＤＡＥ＝∠Ｂ，∠ＥＡＣ ＝∠ＡＣＢ．因为Ｅ为△ＡＢＣ的外角平分线上的一点，所 以∠ＤＡＥ＝∠ＥＡＣ．所以∠Ｂ＝∠ＡＣＢ．所以ＡＢ＝ＡＣ， 即△ＡＢＣ是等腰三角形． （２）在△ＡＢＦ和△ＣＡＥ中，因为ＡＢ＝ＣＡ，∠Ｂ＝ ∠ＥＡＣ，ＢＦ＝ＡＥ，所以 △ＡＢＦ≌ △ＣＡＥ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所 以ＡＦ＝ＣＥ． ２１．（１）１０％． （２）本次调查的学生总人数是：２５÷２５％ ＝１００． （３）喜欢Ｂ类的学生有：１００×３５％ ＝３５（人），补 图略． （４）建议选择跳竹竿舞，因为选择跳竹竿舞的人 数比较少，得名次的可能性大． ２２．（１）ｘ４＋４ｙ４ ＝ｘ４＋４ｘ２ｙ２＋４ｙ４－４ｘ２ｙ２ ＝（ｘ２ ＋２ｙ２）２－（２ｘｙ）２＝（ｘ２＋２ｙ２＋２ｘｙ）（ｘ２＋２ｙ２－２ｘｙ）． （２）ａ４＋ａ２ｂ２＋ｂ４ ＝ａ４＋２ａ２ｂ２＋ｂ４－ａ２ｂ２ ＝（ａ２ ＋ｂ２）２－（ａｂ）２ ＝（ａ２＋ｂ２＋ａｂ）（ａ２＋ｂ２－ａｂ）． 八年级第一学期期末综合质量检测卷（二） 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案 Ｄ Ａ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ｂ Ｄ Ａ Ｄ Ｃ Ｄ 二、１３．槡７，槡３－１．７；　１４．绝对值相等的两个数相 等；　１５．６５°；　１６．４或３６． 三、１７．（１）ｘ＝－１２或ｘ＝－ ３ ２； （２）ｘ＝－５３． １８．（１）３ｘ４＋４ｘ２－２； （２）（ｘ－ｙ）（ｘ＋１）（ｘ－１）． １９．ＡＦ⊥ＤＥ．理由如下： 因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＧ是△ＡＢＣ的边ＢＣ上的中线，所 以∠ＢＡＧ ＝∠ＣＡＧ．由对顶角相等，得 ∠ＤＡＦ ＝ ∠ＢＡＧ，∠ＥＡＦ＝∠ＣＡＧ．所以∠ＤＡＦ＝∠ＥＡＦ．又因为 ＡＤ＝ＡＥ，所以ＡＦ⊥ＤＥ． ２０．根据勾股定理，得 ＡＣ２ ＝ＡＢ２－ＢＣ２ ＝ＡＤ２－ ＣＤ２，即８．５２－（ＣＤ＋４．５）２＝５２－ＣＤ２．解得ＣＤ＝３． 所以ＡＣ＝ ＡＤ２－ＣＤ槡 ２ ＝４．所以 Ｓ阴影部分 ＝ １ ２ＢＤ· ＡＣ＝９． ２１．（１）因为 ＡＥ⊥ ＢＣ，所以 ∠ＡＥＢ＝９０°．因为 ∠ＡＤＣ＝６０°，所以∠ＤＡＥ＝９０°－∠ＡＤＣ＝３０°．因为 ∠ＣＡＥ＝１５°，所以∠ＣＡＦ＝∠ＤＡＥ＋∠ＣＡＥ＝４５°．因 为ＣＦ⊥ＡＤ，所以∠ＡＦＣ＝９０°．所以∠ＡＣＦ＝９０°－ ∠ＣＡＦ＝４５°． （２）由（１）知∠ＡＣＦ＝∠ＣＡＦ＝４５°．所以ＡＦ＝ ＣＦ．因为ＣＦ⊥ＡＤ，所以∠ＣＦＤ＝９０°．所以∠ＦＣＤ＝ ９０°－∠ＡＤＣ＝３０°＝∠ＦＡＧ．在△ＡＦＧ和△ＣＦＤ中， 因为∠ＦＡＧ＝∠ＦＣＤ，ＡＦ＝ＣＦ，∠ＡＦＧ＝∠ＣＦＤ，所以 △ＡＦＧ≌△ＣＦＤ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所以ＧＦ＝ＤＦ． ２２．（１）由题意，得Ｓ１＝（ｘ＋５）（ｙ＋５）＝ｘｙ＋５（ｘ ＋ｙ）＋２５，Ｓ２ ＝（ｘ－２）（ｙ－２）＝ｘｙ－２（ｘ＋ｙ）＋４． 所以Ｓ１－Ｓ２ ＝ｘｙ＋５（ｘ＋ｙ）＋２５－ｘｙ＋２（ｘ＋ｙ）－４ ＝７（ｘ＋ｙ）＋２１＝７（ｘ＋ｙ＋３）．因为ｘ，ｙ都为正整数， 所以Ｓ１与Ｓ２的差一定是７的倍数． （２）由题意，得Ｓ１－Ｓ２ ＝１９６，即７（ｘ＋ｙ＋３）＝ １９６．所以ｘ＋ｙ＋３＝２８．所以ｘ＋ｙ＝２５．所以２（ｘ＋ｙ） ＝５０．所以原长方形的周长为５０ｃｍ． （３）ｘ－ｙ＝５．理由如下： 由题意可知，两个长方形必须有一条边相等．所以 只能面积为Ｓ１的长方形的宽和原长方形的长相等，则 有ｙ＋５＝ｘ，即ｘ－ｙ＝５． 八年级第一学期期末综合质量检测卷（三） 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ Ｃ Ｃ Ｂ Ａ Ｃ Ｃ Ｃ Ｂ 二、１３．３ａ（ａ－７ｂ）；　１４．８；　１５．９；　１６．２． 三、１７．（１）－７ｘ（１－ｘ）２； （２）（５ｘ＋４ｙ）（ｘ＋８ｙ）． １８．图略． １９．因为４２ｘ×５２ｘ＋１－４２ｘ＋１×５２ｘ ＝５×４２ｘ×５２ｘ－４ ×４２ｘ×５２ｘ ＝２０２ｘ ＝２０３ｘ－４，所以２ｘ＝３ｘ－４．解得ｘ＝４． ２０．（１）抽取学生的总人数为：９÷１５％ ＝６０．所以 ｘ＝６０－６－２４－９＝２１． （２）Ａ等级所占的百分比为：６６０×１００％ ＝１０％，Ｃ 等级所占的百分比为： ２４ ６０×１００％ ＝４０％．所以 ｍ＝ １０，ｎ＝４０． Ｃ等级所对应扇形的圆心角的度数为：３６０°×４０％ ＝１４４°． ２１．在ＣＢ上截取 ＣＭ ＝ＣＥ，连结 ＤＭ，图略．因为 ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，ＣＤ平分 ∠ＡＣＢ，所以 ∠ＡＢＤ ＝ ∠ＭＢＤ，∠ＥＣＤ＝∠ＭＣＤ．在 △ＣＤＥ和 △ＣＤＭ中，因 为ＣＥ＝ＣＭ，∠ＥＣＤ＝∠ＭＣＤ，ＣＤ＝ＣＤ，所以△ＣＤＥ ≌ △ＣＤＭ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． 所 以 ＤＥ ＝ ＤＭ，∠ＣＥＤ ＝ ∠ＣＭＤ．所以∠ＣＥＤ－∠ＡＢＤ＝∠ＣＭＤ－∠ＭＢＤ，即 ∠Ａ＝∠ＢＤＭ．因为 ∠Ａ＝２∠ＢＤＦ，所以 ∠ＢＤＭ ＝ ２∠ＢＤＦ＝∠ＭＤＦ＋∠ＢＤＦ．所以∠ＭＤＦ＝∠ＢＤＦ．因 为ＧＤ＝ＤＥ，所以ＧＤ＝ＤＭ．在△ＤＧＦ和△ＤＭＦ中，因 为ＤＧ＝ＤＭ，∠ＧＤＦ＝∠ＭＤＦ，ＤＦ＝ＤＦ，所以△ＤＧＦ ≌△ＤＭＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以ＦＧ＝ＦＭ．所以ＣＦ＝ＦＭ＋ ＣＭ ＝ＦＧ＋ＣＥ． ２２．（１）因为ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，∠Ｂ＝９０°，所以ＡＣ ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２ ＝５．当０＜ｔ≤３时，ＢＱ＝ｔ．所以Ｓ＝ １ ２×４ｔ＝２ｔ；当３＜ｔ≤５时，ＡＱ＝ｔ－３，则ＢＱ＝３－ （ｔ－３）＝６－ｔ．所以Ｓ＝１２×４×（６－ｔ）＝１２－２ｔ． （２）因为ＰＱ的垂直平分线过点Ｃ，所以ＣＰ＝ＣＱ． 当０＜ｔ≤３时，４２＋ｔ２＝（５－ｔ）２，解得ｔ＝９１０；当３＜ ｔ≤５时，４２＋（６－ｔ）２＝（５－ｔ）２，解得ｔ＝２７２（舍去）． 所以ＡＱ＝ＡＢ－ＢＱ＝２１１０． 八年级第一学期期末综合质量检测卷（四） 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案 Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ａ Ｂ Ｃ Ｃ Ｄ Ｃ Ｄ Ｃ 二、１３．（ｍ＋ｎ－３）２；　１４．１５０°；　１５．１；　１６．１． 三、１７．（１）－２；　（２）１３２ｘ＋３． １８．（１）因为２ａ＋３的立方根是３，ａ＋ｂ－１的算术 平方根是４，所以２ａ＋３＝２７，ａ＋ｂ－１＝１６．解得ａ＝ １２，ｂ＝５．因为３＜槡１１＜４，所以槡１１的整数部分是 ３．所以ｃ＝３． （２）因为ａ＝１２，ｂ＝５，ｃ＝３，所以ａ－４ｂ＋３ｃ＝１． 因为１的平方根是 ±１，所以ａ－４ｂ＋３ｃ的平方根是 ±１． １９．（１）因为ＡＢ∥ＣＤ，所以 ∠ＡＢＣ＝∠ＥＣＤ．在 △ＡＢＣ和△ＥＣＤ中，因为∠ＡＢＣ＝∠ＥＣＤ，∠Ａ＝∠Ｅ， ＡＣ＝ＥＤ，所以△ＡＢＣ≌△ＥＣＤ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＢＣ＝ ＣＤ． （２）因为 ＢＣ＝ＣＤ，所以 ∠ＣＢＤ＝∠ＣＤＢ．所以 ∠ＡＢＣ＋∠ＣＢＤ ＝∠ＥＣＤ＋∠ＣＤＢ，即 ∠ＡＢＤ ＝ ∠ＥＢＤ． ２０．（１）八年级学生有：１０００×２５％ ＝２５０（人）， 七年级学生有：１０００－２５０－３５０＝４００（人），补图略． （２）１４４． （３）七年级男生有：４００×６０％ ＝２４０（人），女生 有：４００－２４０＝１６０（人）； 八年级男生有：２５０×５０％ ＝１２５（人），女生有： ２５０－１２５＝１２５（人）； 九年级男生有：３５０×６０％ ＝２１０（人），女生有： ３５０－２１０＝１４０（人）． 用条形统计图表示，如图４所示： ２１．（１）因为 ｘ＋ｙ＝４，ｘ２＋ｙ２ ＝２，所以 ｘｙ＝ （ｘ＋ｙ）２－（ｘ２＋ｙ２） ２ ＝７． （２）①７；　②３． （３）因为ＡＤ＝１６，Ｓ△ＡＯＣ＋Ｓ△ＢＯＤ ＝６８，所以ＡＯ＋ ＤＯ＝１６，１２ＡＯ ２＋１２ＤＯ ２＝６８．所以ＡＯ２＋ＤＯ２＝１３６． 所以Ｓ直角三角板 ＝ １ ２ＡＯ·ＤＯ＝ １ ４［（ＡＯ＋ＤＯ） ２－（ＡＯ２ ＋ＤＯ２）］＝３０． ２２．（１）因为 ∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ，所以 ＡＢ＝ＢＣ＝ １０．因为ＢＦ＝８，所以ＣＦ＝ＢＣ－ＢＦ＝２． （２）延长ＣＤ至点Ｍ，使ＤＭ＝ＤＣ，连结ＦＭ，图略． 因为点Ｄ为ＡＦ的中点，所以 ＡＤ＝ＦＤ．在 △ＡＣＤ和 △ＦＭＤ中，因为 ＤＣ＝ＤＭ，∠ＡＤＣ＝∠ＦＤＭ，ＡＤ＝ ＦＤ，所以 △ＡＣＤ≌ △ＦＭＤ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以 ∠ＡＣＤ＝ ∠Ｍ，ＡＣ＝ＦＭ．因为 ∠ＡＣＥ＝∠Ｂ，所以 ∠ＡＣＥ＋ ∠ＢＣＥ＝∠Ｂ＋∠ＢＣＥ，即∠ＡＣＢ＝∠ＡＥＣ，∠ＣＦＭ＝ １８０°－∠Ｍ－∠ＭＣＦ＝１８０°－∠ＡＣＤ－∠ＭＣＦ＝１８０° －∠ＡＣＥ－∠ＢＣＥ＝１８０°－∠Ｂ－∠ＢＣＥ＝∠ＢＥＣ．因 为∠ＡＣＢ＝∠ＢＡＣ，所以∠ＡＥＣ＝∠ＢＡＣ．所以ＡＣ＝ ＣＥ．所以ＦＭ＝ＣＥ．因为ＡＢ＝ＢＣ，ＡＥ＝ＢＦ，所以ＡＢ－ ＡＥ＝ＢＣ－ＢＦ，即ＢＥ＝ＣＦ．在△ＣＭＦ和△ＢＣＥ中，因 为ＭＦ＝ＣＥ，∠ＣＦＭ＝∠ＢＥＣ，ＣＦ＝ＢＥ，所以△ＣＭＦ ≌△ＢＣＥ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以 ∠Ｍ ＝∠ＢＣＥ．所以 ∠ＡＣＤ ＝∠                                                                                                                                                                                   ＢＣＥ． !"#$ !" ! 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