专题01 集合与充要条件（6大基础题型2重难点 题型训练） -【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（全国通用）

专题01 集合与充要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 题型/题组目录 · 题型一 集合的概念与表示 · 题型二 元素与集合的关系 · 题型三 集合间的基本关系 · 题型四 集合的基本运算 · 题型五 命题的概念及其真假 · 题型六 充分条件与必要条件 · 重难点题型一 集合中的求参问题 · 重难点题型二 由充要关系求参 题组/题型一 集合的概念与表示 【典例1】下面给出的四类对象中，能构成集合的是（    ） A．某班视力较好的同学 B．某小区长寿的人 C．的近似值 D．方程的实数根 【典例2】集合用列举法表示 【典例3】对集合用描述法来表示，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【变式2】方程组的解集为 ． 【变式3】集合，、为实数是指（　　） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第二、四象限的所有点组成的集合 题组/题型二 集合与元素的关系 【典例1】已知集合，下列说法错误的（ ） A. B. C. D. 【变式1】给出下列关系：（1）;（2）;（3）;（4）;（5），其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题组/题型三 集合间的基本关系 【典例1】下列表述正确的是（ ）． A． B． C． D． 【典例2】已知集合且，则a等于（    ） A．1 B． C． D．2 【变式1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】集合的真子集的个数是（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 题组/题型四 集合的基本运算 【典例1】设集合，则，则等于（    ） A． B． C． D． 【典例2】设集合，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知集合，集合为整数集，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】若全集，则（    ） A． B． C． D． 题组/题型五 命题的概念及其真假 【典例1】下列语句中，不能成为命题的是（    ） A． B． C．若，则 D．三角形的三条中线交于一点 【典例2】下列命题是真命题的是（    ） A．且 B．或 C． D．方程有实根 【变式1】下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 【变式2】下列命题：（1）等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合；（2）在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角平分线上；（3）直角三角形的两个锐角互余；（4）有一个角等于的三角形是等边三角形；（5）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为16．其中正确的命题个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题组/题型六 充分条件与必要条件 【典例1】“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】是的（    ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】指出下列各组命题中，是的什么条件：（填“充分非必要条件”、“必要非充分条件”等） (1)：；：. (2)：同位角相等；：两直线平行. (3)：；：. (4)：；：. 重难点题型一 集合中的求参问题 【典例1】设集合，集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】设集合，，全集,且Ø，求实数的取值范围. 【变式1】设集合，，若，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 重难点题型二 由充要关系求参 【典例1】已知或，或，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ． 【变式1】若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是 . 【变式2】“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 . $$专题01 集合与充要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 题型/题组目录 · 题型一 集合的概念与表示 · 题型二 元素与集合的关系 · 题型三 集合间的基本关系 · 题型四 集合的基本运算 · 题型五 命题的概念及其真假 · 题型六 充分条件与必要条件 · 重难点题型一 集合中的求参问题 · 重难点题型二 由充要关系求参 题组/题型一 集合的概念与表示 【典例1】下面给出的四类对象中，能构成集合的是（    ） A．某班视力较好的同学 B．某小区长寿的人 C．的近似值 D．方程的实数根 【答案】D 【解析】对于A，描述的对象“视力较好”不确定，不能构成集合，A不是； 对于B，描述的对象“长寿”不确定，不能构成集合，B不是； 对于C，没有给出精确度，描述的对象“π 的近似值”不确定，不能构成集合，C不是； 对于D，方程的实数根是和1，明确可知，能构成集合，D是. 故选：D. 【典例2】集合用列举法表示 【答案】 【解析】由且，得到或或或， 所以集合用列举法表示为， 故答案为：. 【典例3】对集合用描述法来表示，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】集合是不超过5的正整数的倒数形成的集合， 对于AB，集合AB中的有负数，AB不是； 对于C，集合中没有，C不是； 对于D，满足对集合的描述，D是. 故选：D. 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【解析】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性， 所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性， 所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B. 【变式2】方程组的解集为 ． 【答案】 【解析】由题意，即，解得， 从而. 故答案为：. 【变式3】集合，、为实数是指（　　） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第二、四象限的所有点组成的集合 【答案】C 【解析】集合，、为实数， ， 同号， 当时，集合指第一象限内的所有点组成的集合， 当时，集合指第三象限内的所有点组成的集合， 故是指第一和第三象限内的所有点组成的集合． 故选：C． 题组/题型二 集合与元素的关系 【典例1】已知集合，下列说法错误的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】分析集合的元素，根据元素与集合的关系进行判断. 【解析】∵集合，故集合A的元素有，，. 则，，，，即ABD正确. 不是集合A的元素，故. 故选：C. 【变式1】给出下列关系：（1）;（2）;（3）;（4）;（5），其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】（1）因为是有理数，所以； （2）因为是无理数，所以； （3）因为是整数，所以； （4）因为是自然数，所以， （5）因为是有理数，所以， 所以正确的个数有2个. 故选：B. 题组/题型三 集合间的基本关系 【典例1】下列表述正确的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，两个集合之间是包含关系，故A错误； 对于B，，是相等的集合，故B错误； 对于C，空集是任何集合的子集，故C正确； 对于D，空集与一个非空集合不相等，故D错误． 故选：C． 【典例2】已知集合且，则a等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解析】由集合且，得，所以. 故选：D. 【变式1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，A错误；，元素与集合不能用符号，B错误； 根据子集的定义，有，C正确；集合不是集合中的元素，不能用符号，D错误． 故选：C. 【变式2】集合的真子集的个数是（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【解析】由题知，所以集合的真子集的个数是． 故选：A. 题组/题型四 集合的基本运算 【典例1】设集合，则，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合在数轴上表示如图所示： 由图可得. 故选：B. 【典例2】设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由解得， 因为，， 所以， 故选：B 【典例3】设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若全集，集合，则. 故选：D. 【变式1】已知集合，集合为整数集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，集合为整数集， 所以. 故选：B. 【变式2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，则. 故选：A. 【变式3】若全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，而， 所以. 故选：C 题组/题型五 命题的概念及其真假 【典例1】下列语句中，不能成为命题的是（    ） A． B． C．若，则 D．三角形的三条中线交于一点 【答案】B 【解析】由命题是用语言、符号、式子表达，可判断真假的陈述句知：A、C、D均为命题， 对于B，无法判断真假，故不是命题； 故选：B. 【典例2】下列命题是真命题的是（    ） A．且 B．或 C． D．方程有实根 【答案】B 【解析】对于A, 为真命题，为假命题，故且为假命题， 对于B，为假命题，为真命题，所以或为真命题， 对于C，为假命题， 对于D，,故方程没有实数根，故D错误， 故选：B. 【变式1】下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 【答案】B 【解析】因为命题是能判断真假的陈述语句，选项A，C和D不能判断真假，选项B可以判断真假， 故选：B. 【变式2】下列命题：（1）等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合；（2）在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角平分线上；（3）直角三角形的两个锐角互余；（4）有一个角等于的三角形是等边三角形；（5）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为16．其中正确的命题个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】（1）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合，故（1）是假命题． （2）在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，故（2）是真命题． （3）直角三角形的两个锐角互余，故（3）是真命题． （4）有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，故（4）是假命题． （5）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，当腰长为5时，这个等腰三角形的周长为16， 当腰长为6时，这个等腰三角形的周长为17，所以这个等腰三角形的周长为16或17.故（5）是假命题． 故选：B． 题组/题型六 充分条件与必要条件 【典例1】“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，；而当时，或， 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 故选：A. 【典例2】“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】，解得或， 则“”可以推出“”，但“”无法推出“”， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式1】是的（    ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，可得一定成立，所以充分性成立； 反之：当时，不一定成立，所以必要性不成立， 所以是的充分不必要条件. 故选：C. 【变式2】指出下列各组命题中，是的什么条件：（填“充分非必要条件”、“必要非充分条件”等） (1)：；：. (2)：同位角相等；：两直线平行. (3)：；：. (4)：；：. 【解】（1）由可得或者， 故是的必要不充分条件， （2）同位角相等，两直线平行；当两直线平行时，同位角相等， 故是的充要条件 （3）由可得或，故是的既不充分也不必要条件， （4）由可得，故是的充分不必要条件， 重难点题型一 集合中的求参问题 【典例1】设集合，集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合，集合, 在数轴上作出图形如下图所示， 根据上述图形，可以得到实数的取值范围是. 故选：D. 【典例2】设集合，，全集,且Ø，求实数的取值范围. 【答案】m≥2. 【解析】解：A={x|x+m≥0}={x|x≥-m}，因为(CUA)∩B=Ø，所以-m≤-2，即m≥2. 【变式1】设集合，，若，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 又，结合数轴分析可得， 所以, 故选：B. 【变式2】已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为，所以，解得或2． 当时，，不满足互异性，舍去； 当时，集合，此时，符合题意，故． 故选：B. 重难点题型二 由充要关系求参 【典例1】已知或，或，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为是的必要不充分条件，所以且等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围是：． 【变式1】若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由于“”的充分不必要条件是“”，故， 故， 【变式2】“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意得，则. 故答案为：. $$