内容正文:
第1单元 小数乘法
【必刷点1】小数乘整数 1
【必刷点2】小数乘小数 3
【必刷点3】积的近似数 4
【必刷点4】小数乘法运算规律 5
【必刷点5】分段计费问题(小数乘法) 7
【必刷点1】小数乘整数
一、核心考点
1.小数乘整数的定义与意义:理解小数乘整数表示的是求几个相同小数的和的简便运算。
掌握小数乘整数的计算方法,包括将小数转化为整数进行计算,再确定积的小数位数。
2.小数乘整数的计算法则:先按照整数乘法的计算方法求出积。再看因数中有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点。积的小数位数不够时,要在前面用0补足,再点小数点。
二、解题方法
1.直接计算法:直接按照小数乘整数的计算法则进行计算。注意小数点的位置,确保积的小数位数正确。
2.凑整法:利用乘法运算律,将小数与整数相乘转化为容易计算的整数乘法。例如,将小数凑成整数,或者将整数凑成容易计算的数(如10、100等)。
3.分段计算法:
在处理复杂的小数乘法时,可以将问题分解为几个简单的部分进行计算。例如,在解决分段计费问题时,可以先计算每一段的费用,再求和。
4.估算法:
在不需要精确结果的情况下,可以使用估算法进行快速计算。例如,将小数估算为接近的整数或分数,然后进行乘法运算。
1.一种牛奶每100克含3.5克蛋白质,小明每天喝300克这种牛奶,所含蛋白质一共是( )克。
A.15 B.3.5 C.10.5 D.13.5
2.吋和寸都是长度单位。寸是我国传统长度单位,寸=毫米;吋是英美制长度单位吋=毫米。如图,吋相当于成人大拇指上面一节的长,那么吋相当于( )。
A.课桌宽度 B.课本宽度 C.粉笔长度 D.黑板高度
3.如果一个漏水的水龙头每小时漏水2.8千克,估计一下,下面( )的数据最接近这个水龙头一年漏水的质量(一年365天)。
A.24吨 B.2500千克 C.2.5吨 D.1.1吨
4.下图是一张片剂药的部分包装说明,请根据说明填空。每次最多服( )克,一天最少服( )克。
感冒清片
每片重0.22克
口服,一次3~4片,一日三次
5.每块木板长10厘米,把9块这样的木板照如图粘在一起,长( )厘米。(重叠部分均为1.5厘米)
……
【必刷点2】小数乘小数
一、核心考点
1.小数乘小数的计算方法:理解小数乘小数表示的是求一个数的几分之几是多少。掌握小数乘小数的计算步骤:先按照整数乘法的法则求出积,再看因数中一共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点。如果小数的末尾出现0时,根据小数的基本性质,要把它去掉。
2.积的小数位数:明确积的小数位数与因数中小数位数的关系。当因数中小数位数不同时,积的小数位数等于因数中小数位数之和。当因数中小数位数相同时,积的小数位数等于其中一个因数的小数位数。
二、解题方法
1.直接计算法:直接按照小数乘小数的计算法则进行计算。注意小数点的位置,确保积的小数位数正确。
2.凑整法:利用乘法运算律,将小数与小数相乘转化为容易计算的整数乘法。例如,将小数凑成整数或容易计算的分数,然后进行乘法运算。
3.拆分法:将一个复杂的小数乘法问题拆分为几个简单的小数乘法问题。例如,将一个小数拆分为整数部分和小数部分,然后分别与另一个小数相乘,最后求和。
4.利用图形辅助理解:在理解小数乘法的意义时,可以利用图形(如长方形面积)进行辅助理解。通过图形的直观展示,帮助学生更好地理解小数乘法的概念和计算方法。
6.下列各式中,积比两个因数都小的是( )。
A.2.35×3.2 B.0.88×0.64 C.0.38×1.02 D.1.35×1
7.下面与4.5×1.26的积相等的算式是( )。
A.0.45×0.126 B.45×12.6 C.0.45×126 D.0.045×126
8.的积是( )位小数,如果把8.56扩大到原来的100倍,要使积不变,6.2的小数点应该向( )。
9.永辉超市的苹果每千克6.08元,妈妈要买2.8千克,带18元够吗?
10.一辆汽车从甲地开往乙地,以42.5千米/时的速度行了1.5时,再行驶26千米就可以到达两地的中点。甲、乙两地相距多少千米?
【必刷点3】积的近似数
一、核心考点
1.求积的近似数的方法:掌握用“四舍五入”法求积的近似数。根据题目要求,确定需要保留的小数位数。观察需要保留的下一位数字,如果大于等于5,则进位;如果小于5,则舍去。
2.积的近似数的表示:使用约等号(≈)表示积的近似数。注意小数末尾的0不能随意去掉,因为它表示精确度。
3.积的近似数的应用:理解积的近似数在日常生活和实际问题中的应用。能够根据实际需要,选择合适的精度进行近似计算。
二、解题方法
1.直接计算法:先按照小数乘法的法则求出积。再根据题目要求,确定需要保留的小数位数。使用“四舍五入”法求出积的近似数。
2.观察法:在某些情况下,可以通过观察题目中给出的数字,直接判断积的近似数的范围。
例如,当题目要求保留一位小数时,可以观察乘积的第二位小数,如果它小于5,则直接舍去;如果大于等于5,则第一位小数进位。
3.利用计算器:在实际计算中,可以利用计算器求出积的精确值。然后根据题目要求,使用“四舍五入”法手动求出近似数。
11.一个两位小数精确到十分位是5.0,这个数最小是( )。
A.4.99 B.5.1 C.4.95
12.长沙县某小学在校园里开辟了一块劳动教育实践种植园基地,让学生在种植中体验劳动的乐趣。其中一块茄子种植地长6.85米,宽2.93米,估一估,它的实际面积会( )21平方米。
A.大于 B.小于 C.等于 D.无法确定
13.真真在计算3.7×1.6时,没有看到两个因数中的小数点,她这样计算的结果会是正确结果的( )倍,正确结果是( ),保留一位小数约是( )。
14.8.24×0.17的积有 位小数,如果四舍五入到百分位是 。
15.2.38×6.7的积是( )位小数,积是( ),保留一位小数是( ),精确到个位是( )。
【必刷点4】小数乘法运算规律
一、核心考点
1.乘法运算定律的应用:掌握乘法交换律、结合律和分配律在小数乘法中的应用。利用这些运算定律,可以将复杂的小数乘法转化为简单的整数乘法,或者将多个小数乘法合并为一个,从而简化计算。
2.凑整法:通过调整因数的位置或拆分因数,使得乘积能够凑成整数或容易计算的数。凑整法可以显著减少计算量,提高计算效率。
3.拆分法:将一个复杂的小数乘法问题拆分为几个简单的小数乘法问题。拆分法通常与乘法分配律结合使用,以便进一步简化计算。
二、解题方法
1.利用乘法运算定律简化计算:
交换律:a×b=b×a,可以调整因数的位置,使得计算更简便。
结合律:(a×b)×c=a×(b×c),可以将容易凑整的因数结合在一起先算。
分配律:(a+b)×c=a×c+b×c,可以将一个复杂的乘法问题拆分为几个简单的乘法问题。
2.凑整法:观察因数,找到可以凑整的因数对,如2.5和4、0.5和2等。将这些因数对放在一起先算,可以简化计算过程。
3.拆分法:将一个因数拆分为两个数的和或差,如5.8可以拆分为5+0.8。然后利用乘法分配律进行计算,如5.8×10.1=(5+0.8)×10.1=5×10.1+0.8×10.1。
16.用简便方法计算。
8.42×5.6+5.6×1.58 42.5×0.125×0.8 28.1×99+28.1
17.怎样算简便就怎样算。
(1)102×4.5 (2)12.5×1.7+8.3×12.5 (3)32×2.5×1.25
18.用递等式计算,能简算的要简算。
4×7.5×2.5 (8+0.8)×1.25 45×9.8
19.脱式计算,能简算的要简算。
1.9+19.9+199.9+0.3 12.6+7.4×3 25.6×9.9+2.56 5.8×10.1
20.计算下面各题,怎样简便就怎样计算。
(1)1.01+1.01×99 (2)45÷1.25÷8 (3)0.25×3.2×1.25
【必刷点5】分段计费问题(小数乘法)
一、核心考点
1.理解分段计费的概念:分段计费是指按照不同的计费标准,将计费对象分成几个区间或段,每个区间或段内的计费标准不同。需要理解并识别题目中的分段计费标准,如起步价、单价、分段界限等。
2.掌握分段计费的计算方法:根据题目中的分段计费标准,分别计算每个区间或段内的费用。最后将所有区间或段内的费用相加,得出总费用。
3.应用分段计费解决实际问题:能够将分段计费问题应用到实际生活中,如出租车费用、水费、电费、邮寄费用等。能够根据题目中的信息,灵活调整计算方法,解决实际问题。
二、解题方法
1.明确分段计费标准:仔细阅读题目,明确每个区间或段的计费标准和界限。注意题目中的特殊条件,如不足某单位按某单位计算(如不足1千米按1千米计算)。
2.分段计算费用:根据计费标准和界限,将计费对象分成不同的区间或段。分别计算每个区间或段内的费用,注意要按照题目中的计费标准进行计算。
3.求和得出总费用:将所有区间或段内的费用相加,得出总费用。如果题目要求保留一定位数的小数,要进行四舍五入或取整处理。
21.某市居民用水按阶梯分段收费,收费标准如下表:
分档
户月用水量(吨)
水费价格标准(元/吨)
第一档
0~26
1.98
第二档
27~34
2.97
第三档
34以上
3.96
张老师家上月用水32吨,水费是多少元?
22.自来水公司为鼓励节约用水,采取按月分段计费的方法收取消费。12吨以内的每吨2.5元,超过12吨的部分,每吨3.8元。
(1)小丰家上个月用水量为11吨,应缴水费多少元?
(2)小倩家上个月用水量是20吨,应缴水费多少元?
23.某地打固定电话每次前3分钟及以内收费0.22元,超过3分钟的部分每分钟收费0.11元(不足1分钟,按1分钟计算)。妈妈有一次通话7分12秒,她这一次通话的费用是多少?
24.星期天妈妈开车带雯雯到电影院看电影,上午9:00到达电影院,妈妈把车停放在电影院收费停 车场,然后去看电影了,中午12:20电影结束开车回家,出停车场时微信扫码支付,微信显示扣除9.5元,请同学们通过计算检验一下扣除费用对不对。
收费标准:
2小时(含2小时)5元。
2小时以上,每0.5小时收费1.5元。
(不足0.5小时的按0.5小时计算)
25.为欢庆佳节,爸爸妈妈带聪聪去哈尔滨游玩,先到道里区体验剪纸、手工布艺、手抓鼓制作、黑陶制作等一系列非遗项目,感知中国传统文化。他们下了火车乘坐出租车前往,到达目的地后,里程表显示14.3千米,请你帮聪聪爸爸算算应付出租车费多少钱?
哈尔滨市出租车计价标准
行驶里程(不足1千米,按1千米计算)
出租车费
3千米以内(包括3千米)
9元
超过3千米的部分
每千米1.9元
参考答案:
1.C
【分析】先求出300里有3个100,这种牛奶每100克含3.5克蛋白质,小明每天喝300克这种牛奶,即所含蛋白质有3个3.5克。
【详解】300÷100×3.5
=3×3.5
=10.5(克)
一种牛奶每100克含3.5克蛋白质,小明每天喝300克这种牛奶,所含蛋白质一共是10.5克。
故答案为:C
2.B
【分析】由题意可知,吋=25.4毫米=2.54厘米,则吋就是7×2.54=17.78厘米,据此选择即可。
【详解】7×2.54=17.78(厘米)
则吋相当于课本的宽度。
故答案为:B
【点睛】本题考查小数乘法,明确小数乘法的计算方法是解题的关键。
3.A
【分析】根据题意,已知这个水龙头每小时漏水的千克数乘24小时,计算出一天漏水的千克数,再乘一年的天数,即可求出这个水龙头一年漏水的千克数,注意计算时用估算的方法计算出结果,并进行单位换算。
【详解】2.8×24×365
≈3×20×400
=24000(千克)
24000千克=24吨
所以,这个水龙头一年漏水的质量大约是24吨。
故答案为:A
【点睛】熟练掌握估算的计算方法,是解答此题的关键。
4. 0.88 1.98
【分析】要计算每次最多服多少克,就用每次最多服的片数乘每片的重量;要计算一天最少服多少克,就用每次最少服的片数乘每片的重量,再乘一天服用的次数,即可解答。
【详解】4×0.22=0.88(克)
3×0.22×3=1.98(克)
即每次最多服0.88克,一天最少服1.98克。
5.78
【分析】由题可知,2块粘在一起的木板总长减少1个1.5厘米,3块粘在一起总长减少2个1.5厘米,依次类推,把9块这样的木板照如图粘在一起,那么总长就少了(9-1)个1.5厘米,先用10乘9求出总长,再减去粘在一起减少的长度即可。
【详解】
(厘米)
所以,把9块这样的木板照图粘在一起,长78厘米。
【点睛】此题考查了小数乘法的应用,关键能理解重叠部分对总长的影响。
6.B
【分析】一个数乘小于1的小数,积小于这个数;一个数乘1,积等于这个数;一个数乘大于1的小数,积大于这个数;据此解答。
【详解】A.2.35×3.2,因为3.2>1,所以积大于2.35,不符合题目说法;
B.0.88×0.64,因为0.64<1,0.88<1,所以积小于0.88,并且也小于0.64,符合题目说法;
C.0.38×1.02,因为1.02>1,所以积大于0.38,不符合题目说法;
D.1.35×1,因为1=1,所以积等于1.35,积等于其中的一个因数,不符合题目说法。
故答案为:B
7.D
【分析】积的变化规律(1)两个数相乘,一个因数乘n(或除以n),另一个因数不变,那么它们的积也乘n(或除以n)(n为非0自然数);(2)两个数相乘,一个因数扩大到原来的a倍,另一个因数扩大到原来的b倍,积就扩大到原来的ab倍;(3)两个数相乘,一个因数乘n,另一个因数除以n,那么它们的积不变。据此逐项分析解答。
【详解】A.0.45×0.126与原算式比较,一个因数除以10,另一个因数也除以10,那么乘积是原算式的乘积除以100,与原算式的积不相等;
B.45×12.6与原算式比较,一个因数乘10,另一个因数也乘10,那么乘积是原算式的乘积乘100,与原算式的积不相等;
C.0.45×126与原算式比较,一个因数除以10,另一个因数乘100,那么乘积是原算式的乘积先除以10再乘100,相当于乘10,与原算式的积不相等;
D.0.045×126与原算式比较,一个因数除以100,另一个因数乘100,那么乘积是原算式的乘积先除以100再乘100,即与原算式的积相等。
故答案为:D
8. 三/3 左移动2位
【分析】小数乘法法则:(1)按整数乘法的法则先求出积;(2)看因数中一个有几位小数,就从积的右边起数出几位点上小数点。如果一个因数扩大到原来的几倍,另一个因数缩小到原来的几分之一,那么积不变。
【详解】的积是三位小数,如果把8.56扩大到原来的100倍,要使积不变,6.2应该缩小到原来的,相当于6.2的小数点向左移动两位。
所以的积是三位小数,如果把8.56扩大到原来的100倍,要使积不变,6.2的小数点应该向左移动2位。
9.够
【分析】根据,代入数据计算2.8千克苹果的价钱,再与18比较,大于18则不够,小于18则够。
【详解】(元)
答:带18元够。
10.179.5千米
【分析】速度×时间=路程,据此求出汽车1.5时的路程,再将这个路程加上26千米,求出两地距离的一半。再将距离的一半乘2,即可求出甲、乙两地相距多少千米。
【详解】(42.5×1.5+26)×2
=(63.75+26)×2
=89.75×2
=179.5(千米)
答:甲、乙两地相距179.5千米。
11.C
【分析】要考虑5.0是一个两位小数的近似数,有两种情况:“四舍”得到的5.0最大是5.04,“五入”得到的5.0最小是4.95,由此解答即可。
【详解】一个两位小数精确到十分位是5.0,这个两位小数最小是4.95。
故答案为:C
12.B
【分析】根据长方形的面积=长×宽,把小数估算成整数,先算出这块茄子种植地的面积,然后再与21平方米进行比较,据此解答。
【详解】因为6.28≈7,2.93≈3,7×3=21,且6.28<7,2.93<3,
所以6.85×2.93<21,因此实际面积小于21平方米。
故答案为:B
13. 100 5.92 5.9
【分析】在计算3.7×1.6时,真真没看到小数点,当成37×16来算了。3.7到37,小数点向右移动了一位,就扩大到原来的10倍;1.6到16,小数点向右移动了一位,也扩大到原来的10倍。两个因数都扩大10倍,那它们的积就扩大到原来的10×10=100倍。所以她这样算出来的结果是正确结果的100倍。正确计算3.7×1.6,先按照整数乘法算出37×16=592,因为3.7有一位小数,1.6有一位小数,一共两位小数,所以从592的右边数出两位点上小数点,就是5.92。要保留一位小数,就看小数部分的第二位,也就是百分位,5.92的百分位是2,比5小,舍去,所以约是5.9。
【详解】她这样计算的结果会是正确结果的100倍,正确结果是5.92,保留一位小数约是5.9。
14. 四 1.40
【分析】小数乘法法则:先按照整数乘法的计算法则算出积,再看因数中共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点;如果位数不够,就用“0”补足;
保留几位小数,就看保留小数的下一位小数,再根据“四舍五入”法进行解答。
【详解】8.24×0.17=1.4008;有四位小数。
1.4008≈1.40
8.24×0.17的积有四位小数,如果四舍五入到百分位是1.40。
15. 三 15.946 15.9 16
【分析】小数乘法的计算法则:小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积,再看因数中一共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点;如果小数的位数不够,需要在前面补0占位。保留一位小数就是精确到十分位,要看百分位上的数字是几,然后根据四舍五入的方法取近似值。精确到个位,要看十分位上的数字是几,然后根据四舍五入的方法取近似值。
【详解】2.38×6.7=15.946
15.946≈15.9
15.946≈16
2.38×6.7的积是三位小数,积是15.946,保留一位小数是15.9,精确到个位是16。
16.56;4.25;2810
【分析】8.42×5.6+5.6×1.58,根据乘法分配律的逆运算,原式化为:5.6×(8.42+1.58),再进行计算;
42.5×0.125×0.8,根据乘法结合律,原式化为:42.5×(0.125×0.8),再进行计算;
28.1×99+28.1,根据乘法分配律的逆运算,原式化为:28.1×(99+1),再进行计算。
【详解】8.42×5.6+5.6×1.58
=5.6×(8.42+1.58)
=5.6×10
=56
42.5×0.125×0.8
=42.5×(0.125×0.8)
=42.5×0.1
=4.25
28.1×99+28.1
=28.1×(99+1)
=28.1×100
=2810
17.(1)459;(2)125;(3)100
【分析】(1)102=100+2,先将102改写,再根据乘法分配律计算;
(2)逆用乘法分配律,用12.5乘1.7与8.3的和;
(3)因为125×8=1000,25×4=100,所以把32写成4乘8的积,再用4与2.5的积去乘8与1.25的积。
【详解】(1)102×4.5
=(100+2)×4.5
=100×4.5+2×4.5
=450+9
=459
(2)12.5×1.7+8.3×12.5
=12.5×(1.7+8.3)
=12.5×10
=125
(3)32×2.5×1.25
=(4×8)×2.5×1.25
=(4×2.5)×(8×1.25)
=10×10
=100
18.75;11;441
【分析】4×7.5×2.5,根据乘法交换律,将算式变为4×2.5×7.5进行简算即可;
(8+0.8)×1.25,根据乘法分配律,将算式变为8×1.25+0.8×1.25进行简算即可;
45×9.8,先将9.8变为10-0.2,然后根据乘法分配律,将算式变为45×10-45×0.2进行简算即可。
【详解】4×7.5×2.5
=4×2.5×7.5
=10×7.5
=75
(8+0.8)×1.25
=8×1.25+0.8×1.25
=10+1
=11
45×9.8
=45×(10-0.2)
=45×10-45×0.2
=450-9
=441
19.222;34.8;256;58.58
【分析】(1)先把原式化为(2-0.1)+(20-0.1)+(200-0.1)+0.3,再根据带符号搬家和减法的性质化为(2+20+200)-(0.1+0.1+0.1)+0.3,依此进行计算即可;
(2)先算乘法,再算加法即可;
(3)先把原式化为25.6×9.9+2.56×1,再根据积不变的性质,把原式化为25.6×9.9+25.6×0.1,再根据乘法分配律的逆运算化为25.6×(9.9+0.1),依此进行计算即可;
(4)先把原式化为5.8×(10+0.1),再根据乘法分配律化为5.8×10+5.8×0.1,依此进行计算即可。
【详解】1.9+19.9+199.9+0.3
=(2-0.1)+(20-0.1)+(200-0.1)+0.3
=2-0.1+20-0.1+200-0.1+0.3
=(2+20+200)-(0.1+0.1+0.1)+0.3
=222-0.3+0.3
=222-(0.3-0.3)
=222-0
=222
12.6+7.4×3
=12.6+22.2
=34.8
25.6×9.9+2.56
=25.6×9.9+2.56×1
=25.6×9.9+25.6×0.1
=25.6×(9.9+0.1)
=25.6×10
=256
5.8×10.1
=5.8×(10+0.1)
=5.8×10+5.8×0.1
=58+0.58
=58.58
20.(1)101;(2)4.5;(3)1
【分析】(1)根据乘法分配律,把式子转化为1.01×(1+99)进行简算;
(2)根据除法的性质,把式子转化为45÷(1.25×8)进行简算;
(3)把3.2看作0.8×4,再根据乘法结合律和交换律,把式子转化为0.25×4×(0.8×1.25)进行简算。
【详解】(1)1.01+1.01×99
=1.01×(1+99)
=1.01×100
=101
(2)45÷1.25÷8
=45÷(1.25×8)
=45÷10
=4.5
(3)0.25×3.2×1.25
=0.25×(0.8×4)×1.25
=0.25×4×(0.8×1.25)
=1×1
=1
21.69.3元
【分析】,可知要用第一档收费标准和第二档收费标准,可先计算第一档26吨水费的价钱,再计算第二档吨水费的价钱,根据,代入数据计算即可得两档收费的价钱,最后相加即可得解。
【详解】
(元)
答:水费是69.3元。
22.(1)27.5元
(2)60.4元
【分析】(1)小丰家上个月用水量不超过12吨,根据单价×数量=总价,相应单价×用水吨数=应缴水费;
(2)小倩家上个月用水量超过12吨,先求出超出12吨的部分,乘对应收费标准,再加上12吨以内的单价×12,即可求出应缴水费。
【详解】(1)2.5×11=27.5(元)
答:应缴水费27.5元。
(2)(20-12)×3.8+2.5×12
=8×3.8+30
=30.4+30
=60.4(元)
答:应缴水费60.4元。
23.0.77元
【分析】妈妈通话7分12秒,超过3分钟的部分是4分12秒,要按5分钟计算。单价×数量=总价,据此用0.11乘5求出超过3分钟的部分的话费,再加上前3分钟的话费0.22元,即可求出她这一次通话的费用。
【详解】7分12秒-3分钟=4分12秒
0.11×5+0.22
=0.55+0.22
=0.77(元)
答:她这一次通话的费用是0.77元。
24.扣除的费用正确。
【分析】妈妈开车在停车场的时间是:9:00到12:20,时间间隔为3小时20分。根据收费标准,2小时内收费5元,比2小时多1小时20分,即多了2个0.5小时和20分钟,由于不足0.5小时的按0.5小时计算,则多了3个0.5小时的收费。据此计算得出答案。
【详解】根据题意得:雯雯妈妈在电影院停车场停车3小时20分钟,约等于3.5小时,比2小时多了3个0.5小时。
则费用为:5+1.5×3
=5+4.5
=9.5(元)
答:停车费用是9.5元,则扣除得费用正确。
25.31.8元
【分析】聪聪家乘出租车行驶14.3千米,按15千米计,15千米>3千米,所以分成两段收费:
第一段,行驶3千米,收费9元;
第二段,行驶超过3千米的部分,单价1.9元,路程(15-3)千米,根据“单价×数量=总价”,求出这一段路程的费用;
最后把这两段的车费相加,即是应付的出租车费。
【详解】14.3千米按15千米计。
9+1.9×(15-3)
=9+1.9×12
=9+22.8
=31.8(元)
答:应付出租车费31.8元。
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