11用样本估计总体-2024年高一数学寒假自学讲义（必修第二册课程）（人教2019A版专用）

11用样本估计总体（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 4 考点一：总体取值规律的估计 4 考点二：总体百分位数的估计 13 考点三：总体集中趋势的估计 18 考点四：总体离散程度的估计 25 【自学检测】 31 自学概念 1. 画频率分布直方图的步骤 (1)求极差：极差是一组数据中最大值与最小值的差. (2)决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成5～12组，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”. (3)将数据分组：分组时，第一组的左端点略小于数据中的最小值，最后一组的右端点略大于数据中的最大值，分组区间一般是“前闭后开”. (4)列频率分布表：一般分四列，即分组、频数、频率、.其中频数合计应是样本容量，频率合计是1. (5)画频率分布直方图：横轴表示样本数据，纵轴表示.小长方形的面积＝组距×＝频率.各小长方形的面积和等于1. 2. 统计图表 统计图表 主要应用 扇形图 直观描述各类数据占总数的比例 条形图和直方图 直观描述不同类别或分组数据的频数和频率 折线图 描述数据随时间的变化趋势 3. 总体百分位数的估计 (1)总体百分位数的估计 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值. (2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步：按从小到大排列原始数据. 第2步：计算i＝n×p%. 第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据，若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数. (3)四分位数 25%，50%，75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数. 4. 众数、中位数和平均数的定义 众数、中位数和平均数的定义 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数. (2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数.如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数. (3)平均数：如果n个数为x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数. 5. 频率分布直方图中的众数、中位数、平均数 (1)单峰频率分布直方图中的平均数与中位数 ①如果直方图是对称的，那么平均数与中位数大体上该差不多. ②如果直方图在右边“拖尾”，那么平均数大于中位数. ③如果直方图在左边“拖尾”，那么平均数小于中位数，也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边. (2)在频率分布直方图中，众数是最高矩形底边中点的横坐标，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，样本平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和. 6. 总体离散程度的估计 (1)总体方差和标准差 ①总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝(Yi－)2为总体方差，S＝为总体标准差. ②总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝fi(Yi－)2. (2)样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝(yi－)2为样本方差，s＝为样本标准差. (3)标准差的意义 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. 自学考点 考点一：总体取值规律的估计 一、单选题 1．（2020·内蒙古呼和浩特·二模）每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如下表所示），并根据调查结果绘制了尚不完整的统计图表（如下图） 由两个统计图表可以求得，选择D选项的人数和扇形统计图中E的圆心角度数分别为（    ） A．500，28.8° B．250，28.6° C．500，28.6° D．250，28.8° 2．（19-20高二上·云南曲靖·期末）已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图甲和乙所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为 A．160，12 B．120，12 C．160，9 D．120，9 3．（2023高一·全国·专题练习）对于频率分布直方图，下列说法中正确的是（    ） A．小长方形的高表示取某数的频率 B．小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频数 C．小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频率与组距的比 D．小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频数与组距的比 4．（2022高二下·河北·学业考试）某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布情况，从该年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，，，，，绘制成如下频率分布直方图，频率分布直方图中a的值是（    ） A．0.017 B．0.018 C．0.020 D．0.023 5．（24-25高三上·天津·阶段练习）从某小学随机抽取部分同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.已知身高在内的人数为10人，则身高在内的学生人数为（    ） A．40 B．60 C．80 D．2000 6．（21-22高一·全国·课后作业）某股票近10个交易日的价格见下表． 天数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 股价/元 4.32 4.18 4.28 4.34 4.30 4.45 4.51 4.48 4.52 4.55 下列统计图中，表示上面的数据较合适的是（    ） A．频数直方图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．条形统计图 二、多选题 7．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）2024年2月29日，国家统计局发布了我国2023年国民经济和社会发展统计公报，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合图一、图二所示统计图，下列说法正确的是（   ） 图一  2019～2023年全国居民人均可支配收入及其增长速度  图二为2023年全国居民人均消费支出及其构成 A．2019~2023年全国居民人均可支配收入逐年递增 B．2019~2023年全国居民人均可支配收入增长速度逐年递增 C．2023年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐支出费用最少 D．2023年全国居民人均消费支出中食品烟酒和居住支出费用之和占比不足60% 8．（24-25高二上·四川成都·期中）2024年2月29日，国家统计局发布了我国2023年国民经济和社会发展统计公报，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合图一、图二所示统计图，下列说法正确的是（   ） A．2019～2023年全国居民人均可支配收入逐年递增 B．2019～2023年全国居民人均可支配收入增长速度逐年递增 C．2023年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐支出费用最少 D．2023年全国居民人均消费支出中食品烟酒和居住支出费用之和占比不足60% 9．（23-24高一下·湖南·期末）已知小王2023年5月份总收入10000元，总支出5000元，他的各项收入与支出占比情况如下表： 工资 兼职 理财 其他 收入占比 衣 食 住 行 其他 支出占比 则下列判断中正确的是（    ） A．小王2023年5月份的收入主要来源是工资 B．小王2023年5月份的兼职收入低于食的支出 C．小王2023年5月份的最大支出出于食 D．小王2023年5月份的工资刚好够支出 10．（23-24高一下·内蒙古通辽·阶段练习）某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)内的学生有60人，则下列说法正确的是（    ） A．样本中支出在[50，60)内的频率为0.03 B．样本中支出不少于40元的人数为132 C．n的值为200 D．若该校有2000名学生，则估计有600人支出在[50，60)内 三、填空题 11．（2024·辽宁·三模）某同学将全班某次数学考试的成绩整理成频率分布直方图后，将每个小矩形上方线段的中点连接起来，并将小矩形擦去，得到频率分布折线图（如图所示）．已知该同学绘制频率分布直方图时确定的极差为60，组距为10，据此估计此次考试成绩的平均数是 ．    12．（2023高三·全国·专题练习）有40个数据，其中最大值为35，最小值为14，若取组距为4，则分成的组数是 13．（2024高一下·全国·专题练习）一个频率分布表（样本容量为）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在内的频率为，则估计样本在，内的数据个数共为 ． 分组 频数 3 4 5 14．（22-23高二·全国·课后作业）图1为某省某年1～4月份快递业务量统计图，图2为该省当年1～4月份快递业务收入统计图． 根据对以上统计图的理解，有下列四个说法： ①当年1～4月份快递业务量，3月份最高，2月份最低，差值接近2000万件； ②当年1～4月份快递业务量同比增长率均超过50%，在3月份最高，可能与春节后快递恢复网购迎来喷涨有关； ③从两图中看，快递业务量与业务收入的同比增长率并不完全一致，但业务量与业务收入变化高度一致； ④从1～4月份来看，快递业务量与快递业务收入有波动，但整体保持高速增长． 其中，正确的说法为 ．（写出所有满足条件的说法序号） 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C C B C AD AD ACD BCD 1．A 【分析】根据调查结果条形图中选择A的人数，结合调查结果扇形统计图中选择A的人数的比例求出接受调查市民的总人数，这样可以求出选择D选项的人数，最后根据调查结果扇形统计图求出E的圆心角度数即可. 【详解】设接受调查市民的总人数为，由调查结果条形图可知选择A的人数为300，通过调查结果扇形统计图可知：选择A的人数的比例为，因此有， 而选择D选项的人数为：， 扇形统计图中E的圆心角度数为： . 故选：A 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的应用，考查了数学运算能力，属于基础题. 2．A 【解析】根据甲图可得样本容量，再根据乙图计算对四居室满意的人数. 【详解】样本的容量， 抽取的户主对四居室满意的人数为， 故选：A. 【点睛】本题考查统计图表的识别，属基础题. 3．C 【分析】根据评率分布直方图中小矩形的高的含义，即可判断答案. 【详解】在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率， 小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频率与组距的比， 故A，B，D错误，C正确， 故选：C 4．C 【分析】由频率之和为1得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，解得 故选：C 5．B 【分析】根据频率分布直方图求得正确答案. 【详解】依题意，身高在内的学生人数为人. 故选：B 6．C 【分析】根据每种统计图的概念即可判断. 【详解】根据每种统计图的概念可知，折线图能有效地表示出每天的股价波动情况和趋势，我们比较直观地看出此股票在这天中，其价格总体趋势，也可以看出每天的变化， ∴用折线图表示不断变化的数据，是有优越性的. 故选：C. 7．AD 【分析】根据统计图表及其数据逐个选项进行分析可得结论. 【详解】对于A，根据条形图可知，2019~2023年全国居民人均可支配收入分别为30733元，32189元，35128元，36883元，39218元，逐年递增，即A正确； 对于B，根据折线图可知2020年、2022年增长速度在下降，即B错误； 对于C，根据扇形图可知，2023年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐支出费用为2904元，比衣着、生活用品及服务等要多，不是最少的，即C错误； 对于D，2023年全国居民人均消费支出中食品烟酒和居住支出费用之和占比为：，不足60%，即D正确. 故选：AD 8．AD 【分析】根据统计图及其数据逐个分析判断即可 【详解】A选项：根据折线图知，2019～2023年全国居民人均可支配收入分别为30733元，32189元，35128元，36883元，39218元，逐年递增，故A正确； B选项：根据折线图知，2020年、2022年增长速度在下降，故B错误； C选项：根据扇形图知，2023年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐支出费用为2904元，不是最少，故C错误； D选项：2023年全国居民人均消费支出中食品烟酒和居住支出费用之和占比：，故D正确. 故选：AD. 9．ACD 【分析】根据表中的数据逐个分析判断即可. 【详解】对于A项，小王2023年5月份的收入来源中工资占比为，占比最大，故A正确； 对于B项，小王2023年5月份的兼职收入为，食的支出为，故小王2023年5月份的兼职收入高于食的支出，故B错误； 对于C项，小王2023年5月份的支出中食占比为，占比最大，故C正确； 对于D项，小王2023年5月份的工资收入为，刚好够支出， 故D正确. 故选：ACD. 10．BCD 【分析】根据频率之和为1即可求解A，进而根据选项即可逐一求解. 【详解】样本中支出在[50，60)内的频率为，所以A错误； 样本容量为＝200，支出在[40，50)内的人数为， 支出不少于40元的人数为，所以B，C正确； 若该校有2000名学生，则估计有人支出在[50，60)内，故D正确． 故选：BCD. 11． 【分析】利用频率分布折线图中的数据，结合求平均数的公式求解即可. 【详解】因为该同学绘制频率分布直方图时确定的极差为60，组距为10， 结合频率分布折线图可得各组的中点数据分别为， 所以此次考试成绩的平均数大约为 故答案为：. 12． 【分析】根据分组的方法，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为最大值为35，最小值为14， 所以在样本数据中最大值与最小值的差为， 又因为组距为， 所以应该分的组数为， 所以应该分成组. 故答案为: 13．15 【分析】根据条件得到样本数据在内的频数为，即可求出结果. 【详解】因为样本中数据在内的频率为， 所以样本数据在内的频数为， 得到样本在，内的数据个数共为， 故答案为：. 14．①②③ 【分析】①分析统计图即可得到当年1～4月份快递业务量，3月份最高，2月份最低，差值的多少. ②分析统计图即可得到当年1～4月份快递业务量同比增长率，进而得出结论. ③分析统计图即可得到快递业务量与业务收入的同比增长率是否一致，业务量与业务收入变化高度是否一致. ④分析统计图即可得到快递业务量与快递业务收入的波动情况，以及整体的变化趋势. 【详解】对于①，当年1～4月份快递业务量，3月份最高，有4397万件，2月份最低，有2411万件，其差值接近2000万件，所以①正确； 对于②，当年1～4月份快递业务量的同比增长率分别为55%，53%，62%，58%，均超过50%，在3月份最高，可能与春节后快递恢复网购迎来喷涨有关，所以②正确； 对于③，由两图易知，快递业务量与业务收入的同比增长率并不完全一致，而其业务量从高到低变化是3月→4月→1月→2月，业务收入从高到低变化也是3月→4月→1月→2月，保持高度一致，所以③正确； 对于④，由图知，快递业务收入2月对1月减少，4月对3月减少，整体不具备高速增长之说，所以④不正确． 考点二：总体百分位数的估计 一、单选题 1．（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）某次数学考试后，为了分析学生的学习情况，从该年级数学成绩中随机抽取一个容量为的样本，整理得到的频率分布直方图如图所示，已知成绩在范围内的人数为60，则下列说法正确的是（    ） A．的值为200 B．这次考试的及格率（60分及以上为及格）约为 C．估计学生成绩的第75百分位数为80分 D．总体分布在的频数与总体分布在的频数相等 2．（24-25高三上·湖南·阶段练习）将某班一次数学考试的成绩（都是正整数，满分150分）统计整理后得到如下的表格： 成绩范围 0~89分 90~99分 100~109分 110~119分 120~129分 130~150分 人数 7 10 10 2 6 7 则该班这次数学考试成绩的分位数可能是（  ） A．93 B．108 C．117 D．128 二、多选题 3．（24-25高三上·山东·阶段练习）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（   ） A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比例估计为6% B．估计该地农户家庭年收入的85%分位数为10万元 C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 4．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件： 甲球员：5个数据的中位数是25，众数是23； 乙球员：5个数据的中位数是28，平均数是26； 丙球员：5个数据有1个是30，平均数是25，方差是10； 根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（    ） A．甲球员连续5场比赛得分都不低于23分 B．乙球员连续5场比赛得分都不低于23分 C．丙球员连续5场比赛得分都不低于23分 D．丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于23 三、填空题 5．（24-25高三上·上海奉贤·期中）某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的分位数为 6．（24-25高三上·上海·期中）今年国际国内金价屡创新高，金价波动也被金融媒体竞相报道 . 现抽取 2024 年前 11 个月的每月日的实物黄金价格数据如下表所示，则这组黄金价格数据的第 75 百分位数是 月份 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9月 10 月 11 月 黄金价格(元/克) 624 616 630 691 708 716 714 737 743 768 815 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C D ABD AD 1．C 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，求出的值，再结合频率分布直方图一一判断即可. 【详解】，解得， 所以成绩在范围内的频率为，人，故A错误； ，所以这次考试的及格率（60分及以上为及格）约为，故B错误； 成绩在的频率为， 所以估计学生成绩的第75百分位数为80分，故C正确； 样本分布在的频数与样本分布在的频数相等， 但总体分布在的频数与总体分布在的频数不一定相等，故D错误． 故选：C 2．D 【分析】根据百分位数的求法确定分位数所在的分数区间，即可得答案. 【详解】由题设，总人数有人，则， 结合表格数据知，这次数学考试成绩的分位数在120~129分内. 故选：D 3．ABD 【分析】根据频率分布直方图进行数据分析，确定85%分位数，平均值判断各选项． 【详解】对于A，由频率分布直方图低于4.5万元的农户比例约为，A正确； 对于B，由频率分布直方图知收入超过10.5万元的有，收入在之间的有．低于9.5万元有80%， 而因此85%分位数，B正确； 对于C，平均值约为，C错； 对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的有，D正确． 故选：ABD． 4．AD 【分析】A由中位数，众数定义可判断选项正误； B由中位数，平均数定义举特例可判断选项正误； C由平均数，方差定义结合题意举特例可判断选项正误； D.由题意结合方差平均数定义可得最大数据为30，后由百分位数结合反证法可判断选项正误. 【详解】A选项，设甲球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为、、、、，由题则，， 且23至少出现2次，故，故A正确； B选项，设乙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为，、，，，则，由题. 取，，，，可得其平均数为26满足条件，但有2场得分低于23，故B错误， C选项，设丙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为、、、、， 由已知， 所以. 取.因为、、、、的平均数为25， 所以.取，，，， 满足要求，但有一场得分低于23分，故C错误； D选项，若，此时，与题意不符； 同理可得均不合题意.则. 因为，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数为. 若，则，故，与矛盾. 所以，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于23，故D正确. 故选：AD. 5．120 【分析】先将6个数据从小到大进行排列，再根据百分位数的定义和求解步骤即可求解. 【详解】6位老年人的收缩压数据从小到大排列为：96，112，120，136，146，153， 因为，所以这组数据的分位数为120. 故答案为：120. 6．743 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】个数据按从小到大的顺序排列为： ， 因为， 所以这组黄金价格数据的第 75 百分位数是第九个数据，为. 故答案为：. 考点三：总体集中趋势的估计 一、单选题 1．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）某校高三数学老师共有20人，他们的年龄分布如下表所示： 年龄 人数 1 2 6 5 4 2 下列说法正确的是（    ） A．这20人年龄的分位数的估计值是46.5 B．这20人年龄的中位数的估计值是41 C．这20人年龄的极差的估计值是55 D．这20人年龄的众数的估计值是35 2．（23-24高一下·福建三明·阶段练习）平均数､中位数和众数都描述了数据的集中趋势，下列说法错误的是（    ） A．如果频率分布直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数大体上差不多 B．与中位数相比，平均数反映出样本数据中的更多信息 C．对分类型数据，比如产品质量等级等集中趋势的描述可以用众数 D．如果频率分布直方图在“右边”拖尾，那么平均数小于中位数 3．（2024高三·全国·专题练习）有一组数据24，29，，25，22，，20，24，28，25．若该组数据的中位数与众数相等，则平均数为（    ） A．24.4 B．25.8 C．24.4或25.8 D．24.4或24.8 4．（2024·广东韶关·一模）众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.根据某小区1000户居民的月均用水量数据（单位：），得到如图所示的频率分布直方图，记该组数据的众数为，中位数为，平均数为，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·重庆·期末）对某个班级学生的平均身高进行估算，这个班级有30位男生，20位女生，从男生中抽取5人，测得他们的平均身高为，从女生中抽取3人，测得她们的平均身高为，则这个班级的平均身高估计为（    ）. A．168.75 B．169 C．171 D．171.25 6．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（    ） A．图（1）的平均数＝中位数＞众数 B．图（2）的众数＜中位数＜平均数 C．图（2）的平均数＜众数＜中位数 D．图（3）的中位数＜平均数＜众数 7．（24-25高三上·上海·期中）某校期中考试后，为分析100名高三学生的数学学习情况，整理他们的数学成绩得到如图所示的频率分布直方图．则下列结论错误的是（   ） A．估计数学成绩的众数为75 B． C．估计数学成绩的75百分位数约为85 D．估计成绩在80分及以上的学生的平均分为87.50 二、多选题 8．（23-24高一下·河北唐山·阶段练习）已知一组数据为，6，8，x，12，且这组数据的众数为6，那么下列说法正确的是（    ） A．数据的中位数是6 B．数据的平均数是6 C． D． 9．（24-25高二上·四川南充·期中）民营经济是推进中国式现代化的生力军.为了更好地支持民营企业的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免.某机构调查了当地的中小型民营企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是（    ） A．样本数据落在区间内的频率为0.45 B．若规定年收入在500万元以内的民营企业才能享受减免税政策，估计有的当地中小型民营企业能享受到减免税政策 C．若该调查机构调查了100家民营企业，则年收入不少于400万元的有80家 D．根据频率分布直方图估计样本的中位数为500万元 10．（21-22高一下·贵州六盘水·阶段练习）已知一组数据丢失了其中一个大于3的数据，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失的数据可能是（    ） A．4 B．12 C．18 D．20 三、填空题 11．（2022高二下·辽宁·学业考试）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某班级准备利用暑假进行“请党放心，强国有我”为主题的研学旅行．为了便于识别，该班级准备定做一批容量一致的双肩包．为此，班级负责人征求班内同学的意向，得到如下数据：为了照顾到绝大多数人的需求，则应该定做双肩包的容量为 ． 容量 23 25 27 29 31 33 频数 3 4 5 26 3 2 12．（24-25高一上·四川成都·开学考试）某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为，若这组数据的中位数和平均数相等，那么 . 13．（2024高二上·新疆·学业考试）数据的平均数为8，数据的平均数为.如果满足，，…，，则 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D D C B B ABC AB AC 1．B 【分析】本题根据已知条件提供的数据，可分别计算80%分位数，中位数（50%分位数），但无法计算众数和极差. 【详解】因为，故80%分位数落在区间，设其估计值为m，则，解得，故A错误； 又因为，所以中位数（50%分位数）落在区间，设其估计值为n，则，解得，故B正确； 有表格中数据可知极差不超过，故C错误； 因为本题无法确定年龄的具体数值，故无法判断众数的值，故D错误. 故选：B. 2．D 【分析】根据一组数据的数字特征的含义理解，结合频率分布直方图即可判断. 【详解】对于A，因平均数是一组数据的平均水平，而中位数是将数据按照从小到大排列后，在最中间的那个数据或中间两个的平均数， 因频率分布直方图的形状对称，则平均数和中位数大体上差不多，故A正确； 对于B，因个别数据变动，往往会改变平均数，而不改变中位数，所以平均数反映出样本数据中的更多信息，故B正确； 对于C，因分类型数据往往是不连续的，用众数能更好地描述集中趋势，即C正确； 对于D，频率分布直方图在“右边”拖尾时，平均数应更偏向于拖尾，，而中位数两边的小矩形面积相等，故平均数必大于中位数，即D错误. 故选：D. 3．D 【分析】先将数据从小到大排列，再结合中位数，众数定义得出数据，进而相等得出，则平均数应用定义即可计算. 【详解】将已知数据从小到大排列为20，22，24，24，25，25，28，29． 因为该组数据的中位数与众数相等，所以众数只能是24和25中的一个． 因为每组数据的中位数是唯一的，所以该组数据的众数也是唯一确定的． 又该组数据中除24，25外其他数据均只出现一次，且与不可能相等，故众数只能是24和25中的一个． 若中位数与众数均为24，则，，此时平均数为； 若中位数与众数均为25，则， 此时平均数为，故该组数据的平均数为24.4或24.8． 故选：D. 4．D 【分析】由频率分布直方图结合中位数以及众数的计算即可比较大小. 【详解】观察频率分布直方图，发现是属于右边“拖尾”，所以平均数大于中位数为， 由于第一个小矩形面积为， 前2个小矩形面积之和为， 所以中位数位于之间，故可得，解得， 由频率分布直方图可知众数， 故， 故选：D. 5．C 【分析】先分别求出男、女生所占的比例，然后由均值的计算公式求解即可. 【详解】设总体身高的平均值为 男生在全部学生中所占的比例为 女生在全部学生中所占的比例为 所以 所以总体身高均值为. 故选：C. 6．B 【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A错误； 图（2）频率直方图可得，单峰不对称且“右拖尾”，最高峰偏左，众数最小， 平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边，平均数大于中位数，故B正确，C错误； 同理图（3）“左拖尾”，众数最大，平均数小于中位数，故D错误. 故选：B. 7．B 【分析】根据众数的概念可得选项A正确；利用长方形面积之和为1可得选项B错误；根据百分位数的概念可得选项C正确；根据加权平均数的计算方法可得选项D正确. 【详解】估计数学成绩的众数为（分），A选项正确. 根据题意可得，∴， B选项错误. ∵前四组的频率依次为0.1，0.15，0.35，0.3， ∴估计数学成绩的75百分位数约为（分），C选项正确. ∵成绩在80分及以上的学生的两组的频率之比为， ∴估计成绩在80分及以上的学生的平均分为，D选项正确． 故选：B． 8．ABC 【分析】根据众数、中位数、平均数的定义可得答案. 【详解】众数是指出现次数最多的数据，所以， 将这组数据按从小到大的顺序排列：，6，6，8，12， 中位数是指处于中间位置的数，即为6，平均数为． 故选：ABC. 9．AB 【分析】利用频率分布直方图的性质一一判定选项即可. 【详解】对于A，由，得， 所以数据落在区间内的频率为，A正确； 对于B，数据落在区间内的频率为，B正确； 对于C，，年收入大于或等于400万元的有四组， 其频率和是， 所以符合条件的民营企业有家，C错误； 对于D，数据落在区间内的频率为0.3， 数据落在区间内的频率为， 估计中位数为，D错误. 故选:AB. 10．AC 【分析】设丢失的数据为，即可求出平均数与众数，再对分和两种情况讨论，得到中位数，即可得到方程，解得即可； 【详解】解：设丢失的数据为，则这七个数据的平均数为，众数是3， 若，则中位数为，此时，解得； 若，则中位数为5，此时，解得. 综上所述，丢失的数据可能是4，18. 故选：AC. 11．29 【分析】根据表中数据直接求解即可. 【详解】解：由题知，容量为29的双肩包的频数为26，大于其他容量的频数， 所以，为了照顾到绝大多数人的需求，则应该定做双肩包的容量为29. 故答案为：29 12．或 【分析】利用平均数，中位数的性质结合分类讨论求解即可. 【详解】当时，将数据进行排列，得到， 因为这组数据的中位数和平均数相等，所以，解得， 当时，将数据进行排列，得到， 因为这组数据的中位数和平均数相等，所以， 解得，与范围不符，故排除 当时，将数据进行排列，得到， 因为这组数据的中位数和平均数相等，所以， 解得，经检验，和均符合题意. 故答案为：或. 13．26 【分析】根据平均数性质即可得到答案. 【详解】根据平均数性质知. 故答案为：26. 考点四：总体离散程度的估计 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）巴黎奥运会乒乓球混双决赛中，中国队以大比分战胜朝鲜队，获得了奥运会参赛历史上的首枚混双金牌．据统计这局比赛得分如下，则下列说法正确的是（    ） 中国队 朝鲜队 A．中国队局比赛得分的平均值大于分 B．朝鲜队局比赛得分的中位数为分 C．中国队局比赛得分的第百分位数大于朝鲜队局比赛得分的第百分位数 D．中国队局比赛得分的方差大于朝鲜队局比赛得分的方差 2．（2024·福建·模拟预测）已知，现有均由4个数组成的甲、乙两组数据，甲组数据的平均数与方差均为m，乙组数据的平均数与方差均为n，若将这两组数据混合，则混合后新数据的方差（    ） A．一定大于n B．可能等于n C．一定大于m且小于n D．可能等于m 3．（24-25高二上·贵州·期中）已知数据，，…，的极差为4，方差为2，则数据，，…，的极差和方差分别是（   ） A．4，2 B．4，18 C．12，2 D．12，18 4．（24-25高二上·广东汕头·期中）已知一组数据的平均数，方差，则数据的平均数、方差分别为（   ） A．16，20 B．16，80 C．18，20 D．18，80 二、多选题 5．（23-24高一下·四川雅安·期末）为普及居民的消防安全知识，某社区开展了消防安全专题讲座．为了解讲座效果，随机抽取14位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份消防安全知识问卷，这14位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的得分如图所示，下列说法正确的是（    ） A．讲座前问卷答题得分的中位数小于70 B．讲座后问卷答题得分的众数为90 C．讲座前问卷答题得分的方差大于讲座后得分的方差 D．讲座前问卷答题得分的极差大于讲座后得分的极差 6．（24-25高三上·云南昆明·期中）在某次数学测试中，甲､乙两个班的成绩情况如下表： 班级 人数 平均分 方差 甲 60 130 1 乙 40 120 2 记这两个班的数学成绩的总平均分为，总方差为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高一·全国·单元测试）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得频率分布直方图，则这500件产品质量指标值的样本方差是 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． 8．（24-25高二上·浙江·期中）已知某组数据为x，y，8，10，11．它的平均数为8，方差为6，则的值为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B D D ACD AC 1．B 【分析】A选项，利用平均数的计算公式得到答案；B选项，将数据从小到大排序，利用中位数的定义得到答案；C选项，利用百分位数的定义进行求解；D选项，方法一：有数据的分散程度进行判断，得到答案；方法二：计算出方程，比较出大小. 【详解】A选项，中国队局比赛得分的平均值为，A错误； B选项，朝鲜队局比赛的得分按从小到大的顺序排列为， 所以朝鲜队局比赛得分的中位数为，B正确； C选项，中国队局比赛的得分按从小到大的顺序排列为， 结合B项及，故从小到大选择第个数据作为第百分位数， 所以中国队、朝鲜队局比赛得分的第百分位数都为，C错误； D选项，方法一：由表格数据得中国队局比赛的得分更集中， 故中国队局比赛得分的方差小于朝鲜队局比赛得分的方差， 方法二：中国队局比赛得分的平均值为， 故方差为， 朝鲜队局比赛得分的平均值为， 故方差为， 由于，D错误． 故选：B 2．B 【分析】设甲组数据为，乙组数据为，合并后的数据为，通过题意求出混合后的方差，对于AB：通过计算来判断；对于C：通过能否成立来判断；对于D：通过能否成立来判断. 【详解】设甲组数据为，乙组数据为，合并后的数据为 方差，解得， 同理，解得， 则，对于A C：若混合后的方差大于n， ，即， 由知，，但的正负不确定，故A C错误； 对于B：若混合后的方差等于n， 则，即， 由知，当且仅当时，混合后的方差等于n，符合题意，故B正确； 对于D：若混合后的方差等于m， 则，即 由知，当且仅当时，混合后的方差等于m，不符合题意； 故选：B 3．D 【分析】根据极差和方差的性质运算可得. 【详解】新数据的极差是原数据极差的3倍，所以新数据的极差为：； 新数据的方程是原数据方差的倍，所以新数据的方差为：. 故选：D 4．D 【分析】根据平均数、方差的性质求解． 【详解】由题意数据的平均数为， 方差为， 故选：D． 5．ACD 【分析】根据题意结合统计知识逐一判断即可. 【详解】对于A：由图可知，讲座前问卷答题得分的中位数大约为，故A正确； 对于B：由图可知，讲座后问卷答题得分的众数为95，故B错误； 对于C：讲座前问卷答题得分比讲座后的较分散，即讲座前问卷答题得分的方差大于讲座后得分的方差，故C正确； 对于D：讲座前问卷答题得分的极差大约为，讲座后问卷答题得分的极差大约20，故D正确； 故选：ACD 6．AC 【分析】根据平均数、方差的求法求得正确答案. 【详解】由题，有， . 故选：AC 7．110 【分析】由频率分布直方图可得数据的平均值，再由方差的公式运算即可得解. 【详解】由频率分布直方图得抽取产品的质量指标值的样本平均值为： ， ∴样本方差 ． 故答案为：110. 【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求数据的方差，考查了运算求解能力，属于基础题. 8．65 【分析】由平均数和方差的定义求解即可. 【详解】因为x，y，8，10，11．它的平均数为8，所以， 由，得， 则， 可得：. 故答案为：65. 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（   ） A．最高气温的极差范围 B．10月的最高气温不低于5月的最高气温 C．最低气温低于0℃的月份有4个 D．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月 2．（2024·贵州黔南·一模）样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（    ） A．16 B．19 C．20 D．22 3．（2024·河南新乡·一模）为了增强学生的体质，某中学每年都要举行一次全校一分钟跳绳测试．已知某次跳绳测试中，某班学生的一分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，则该班学生一分钟跳绳次数的中位数的估计值为（结果精确到整数）（   ） A．127 B．136 C．133 D．138 4．（24-25高三上·江苏·阶段练习）高速公路管理部门在某一测速点，测得100辆车辆的速度（单位：）并汇总整理车速数据如下表，根据表中数据，下列结论中正确的是（   ） 车速 频数 6 12 18 30 24 10 A．100辆车的车速的中位数小于 B．100辆车中车速低于的车辆所占比例超过80% C．100辆车的车速的极差介于至之间 D．100辆车的车速的平均值介于至之间 5．（24-25高二上·黑龙江伊春·期中）2020年第1期深圳车牌摇号竞价指标共6668个，某机构从参加这期车牌竞拍且报价在1~8万元的人员中，随机抽取了若干人的报价，得到的部分数据整理结果如下： 报价区间 （单位：万元） 频数 10 36 40 则在这些竞拍人员中，报价不低于5万元的人数为（   ） A．30 B．42 C．54 D．80 6．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）某地铁1号线的开通运营极大地方便了市民的出行.某时刻从A站驶往B站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70，50，60，55，60，45，35，30，30，10.这组数据的第90%分位数为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 7．（24-25高三上·云南·阶段练习）在某次数学月考中，有三个多选小题，每个小题的正确答案要么是两个选项，要么是三个选项，且每个小题都是6分，在每个小题给出的四个选项中，全部选对得6分，部分选对得部分分（正确答案是三个选项的，则每个选项2分；正确答案是两个选项的，则每个选项为3分，有错选的得0分）．已知这次考试中，第一个小题的正确答案是两个选项；小明同学在这三个多选小题中，第一个小题仅能确定一个选项是正确的，由于是多选题他随机又选了一个选项；而第二个小题他随机地选了两个选项，第三个小题他随机地选了一个选项，则小明同学这三个多选小题所有可能的总得分（相同总分只记录一次）的中位数为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 8．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（   ） A．据的平均数为13 B．数据的方差为12 C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·青海·期中）如图，这是某款新能源汽车在速度､稳定性､安全性､易用性､续航能力这五个方面的综合评分的雷达图，则下列结论正确的是（    ） A．这款新能源汽车在速度方面的综合评分高于稳定性方面的综合评分 B．这款新能源汽车在速度方面的综合评分高于易用性方面的综合评分 C．这款新能源汽车在安全性方面的综合评分在这五个方面的综合评分中最低 D．这款新能源汽车在易用性方面的综合评分在这五个方面的综合评分中最高 10．（24-25高二上·重庆·阶段练习）今年是祖国的七十五华诞，为了激发学生的爱国热情，加强爱国主义教育.我校积极举行了一场“喜迎国庆 强国有我”知识竞答比赛，全校共名学参赛，比赛结束后，将这名学生的比赛成绩（单位：分）进行整理，按，，，，分成组，并绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的有（   ） A． B．估计样本的第分位数为分 C．若每组数据均以中间值作代表，则估计样本的平均数为分 D．按分层随机抽样与内的学生中抽人，则内被抽取到的学生人数为 11．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）某高中举行的纪念红军长征出发90周年的知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（    ） A．参赛成绩的众数约为75分 B．用分层抽样从该校学生中抽取容量为200的样本，则应在内的成绩抽取30人 C．参赛成绩的第75百分位数约为82.5分 D．参赛成绩的平均分约为72.8分 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·四川成都·期中）已知一组数据的平均数为10，方差为2，若这组数据，的平均数为，方差为，则 . 13．（24-25高一上·全国·课前预习）某班计划开展一些课外活动，全班有40名学生报名参加，他们就乒乓球、足球、跳绳、羽毛球等4项活动的参加人数做了统计，绘制了条形统计图如图所示，那么参加羽毛球活动的人数的频率是 . 14．（2024·广东河源·模拟预测）某中学举行数学解题比赛，其中7人的比赛成绩分别为：70，97，85，90，98，73，95，则这7人成绩的上四分位数与极差之和是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一下·山西忻州·开学考试）从某校参与数学竞赛的试卷中抽取一个样本，考查竞赛的成果分布，将样本分成组，得到频率分布直方图如图，从左到右各小组的小长方形的高的比为：：：：：，最右边的一组的频数是．请结合直方图的信息，解答下列问题：    (1)样本容量是多少？ (2)成果落在哪个范围的人数最多？并求出该小组的频数和频率； (3)估计这次数学竞赛成果的众数、中位数和平均数. 16. (15分) （24-25高二上·青海西宁·阶段练习）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的第75百分位数； 17. (15分) （24-25高一上·甘肃平凉·阶段练习）100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示．回答下列问题： (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计这次考试的平均数、众数和中位数（结果保留一位小数）． 18. (17分) （23-24高一上·全国·课后作业）为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两位同学在学校实习基地现场进行加工直径为20 mm的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据依次如下图和下表所示（单位：mm）.        平均数 方差 完全符合要求的个数 A 20 0.026 2 B 20 5 根据测试得到的有关数据，试解答下列问题： (1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些； (2)计算出的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些； (3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？请说明你的理由. 19. (17分) （23-24高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数，设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当时，为“偏少”；当时，为“一般”；当时，为“良好”；当时，为“优秀”，现将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表：    阅读本数（本） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 人数（名） 1 2 6 7 12 7 y 1 请根据以上信息回答下列问题： (1)求出本次随机抽取的学生总人数； (2)分别求出统计表中的的值； (3)估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D C C D C B ACD ABD 题号 11 答案 AC 1．C 【分析】根据折线图对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，最高气温最低的月为月，最高气温最高的月为月， 观察图象可知，最高气温的极差范围，A选项正确. B选项，通过观察折线图可知，10月的最高气温不低于5月的最高气温，B选项正确. C选项，最低气温低于0℃的月份有个，C选项错误. D选项，通过观察折线图可知，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，D选项正确. 故选：C 2．C 【分析】利用百分位数的定义进行求解. 【详解】共有10个数，，故从小到大排列，选择第7个数和第8个数的平均数作为第70百分位数，即20为第70百分位数. 故选：C. 3．D 【分析】根据中位数的定义结合频数分布直方图求解即可. 【详解】该班共有人， 因为， 所以中位数在区间内，设为， 则，解得. 故选：D. 4．C 【分析】根据频率分布直方图中，中位数的估计值、频率计算、极差的估计值以及平均数的估计值计算公式，可得答案. 【详解】对于A，，，则中位数位于，故A错误； 对于B，100辆车中车速低于的车辆数量为，频率为，故B错误； 对于C，100辆车的车速的极差小于等于，大于等于，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 5．C 【分析】先设竞拍人员总数，再根据频率等于频数除以总数得出总数，根据低于5万元的人数计算求出不低于5万元得人数. 【详解】设竞拍人员总数为，由解得； 第三组的频数为 报价低于5万元的人数为， 报价不低于5万元得人数为人. 故选：C. 6．D 【分析】根据百分位数的求法求第90%分位数. 【详解】数据从小到大排序为， 而，故第90%分位数为. 故选：D 7．C 【分析】列出小明得分的所有情况后可求得分的中位数. 【详解】小明第一小题得分可为：0，6；第二小题得分可为：0，4，6； 第三小题得分可为：0，2，3； 故其总分可为：0，2，3，4，6，7，8，9，10，12，13，14，15， 故总得分的中位数为：8. 故选：C. 8．B 【分析】由平均数以及方差计算公式可得，由平均数性质可得A正确，由方差性质计算可得B错误，计算易知C正确，结合平均数与方差公式计算可得D正确. 【详解】依题意可得； 对于A，易知，即A正确； 对于B，依题意， 所以数据的方差为，即B错误； 对于C，由可得，即C正确； 对于D，由可得，‘ 即， 可得，即D正确. 故选：B 9．ACD 【分析】由综合评分的雷达图逐项判断即可. 【详解】由雷达图可知，这款新能源汽车在速度方面的综合评分在内， 在稳定性和续航能力这两方面的综合评分都是8分， 在安全性方面的综合评分在内， 在易用性方面的综合评分是10分，故A，C， D正确， B错误． 故选：ACD. 10．ABD 【分析】根据频率分布直方图频率和为，可得判断A选项，再结合百分位数与平均数的计算公式可判断BC选项，根据频率及分层抽样的概念直接判断D选项. 【详解】A选项：由已知，解得，A选项正确； B选项：由， ， 所以第分位数， 则，解得，B选项正确； C选项：平均数为，C选项错误； D选项：由频率分布直方图可知与的频率分别为与， 则内抽取的人数为，D选项正确； 故选：ABD. 11．AC 【分析】对于A，由频率分布直方图的最高小长方形中点值即可得解；对于B，由分数在内的频率和样本容量可求解；对于C，根据频率分布直方图的数据结合百分位数的定义和求解步骤计算求解即可；对于D，根据频率分布直方图中的平均数定义的求解方法即可计算得解. 【详解】对于A：由频率分布直方图可得众数为，故A正确； 对于B：由频率分布直方图可得内应抽取人，故B错误； 对于C：分数在）内的频率为， 在）内的频率为， 因此第75百分位数位于内，第75百分位数为，故C正确； 对于D：平均数为，故D错误. 故选：AC. 12． 19 8 【分析】利用平均数的性质和方差的性质求解． 【详解】因为的平均数为，方差为， 所以，的平均数为, 方差为. 故答案为：19；8. 13．0.1/ 【分析】根据频数分布直方图求出参加羽毛球活动的人数，从而可求出其频率. 【详解】由频数分布直方图可知参加羽毛球活动的人数为4人， 所以参加羽毛球活动的人数的频率是. 故答案为： 14．125 【分析】根据百分位数、极差定义求上四分位数与极差，即可得答案. 【详解】将7个数据从小到大排列为70，73，85，90，95，97，98， 因为，所以这7人成绩的上四分位数是97，极差为， 故上四分位数与极差之和是． 故答案为：125 15．(1)68 (2)70~80分之间的人数最多，频率为，频数为24. (3)75，75.83，75 【分析】（1）先得到最右边一组的频率，从而得到样本容量. （2）由频率分布直方图易得成绩落在~分之间的人数最多，再根据频率与频数的关系可得结果. （3）根据频率分布直方图的众数、中位数和平均数的计算方法得到结果. 【详解】（1）由从左到右各小组的小长方形的高的比为：：：：：， 可得从左到右各小组的频率分别为， 故样本容量为. （2）由频率分布直方图知，成果落在~分的人数最多，该小组的频率为， 故频数为. （3）众数的估计值是， 中位数的估计值是， 平均数的估计值是. 16．(1)0.030 (2)84． 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出即得. （2）利用第75百分位数的定义，结合频率分布直方图列式计算即得. 【详解】（1）由频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1， 得， 所以. （2）成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 则样本成绩的第75百分位数为，由，得， 所以样本成绩的第75百分位数为84. 17．(1) (2)中位数：，众数：75，平均数： 【分析】（1）由频率分布直方图的面积和为1求解即可； （2）由频率分布直方图中中位数两侧的面积相等求中位数，频率与组距之比的最大值的中间值求众数，中间值乘以乘以频率求平均数； 【详解】（1）由频率分布直方图知组距为10，频率总和为1， 所以有，解得． （2）前两个小矩形面积为，第三个小矩形的面积为， 中位数要平分直方图的面积， ． 众数：75 平均数： 18．(1)B的成绩好些. (2)0.008，B的成绩好些 (3)可选派A去参赛，理由见解析 【分析】（1）从B同学完全符合要求的个数比A同学完全符合要求的个数多得到答案； （2）利用方差计算公式得到，与比较后得到结论； （3）A的成绩后来逐渐稳定，误差小，从而选A去参赛. 【详解】（1）因为A、B两位同学成绩的平均数相同，且B同学完全符合要求的个数比A同学完全符合要求的个数多，由此认为B的成绩好些； （2）∵， 且， ∴. 故在平均数相同的情况下，B的波动性小， ∴B的成绩好些； （3）从题图中折线图走势可知，尽管A的成绩前面起伏较大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A的潜力大，可选派A去参赛． 19．(1)50 (2)11；3 (3)32 【分析】（1）根据“一般”档次占比与对应人数即得； （2）根据“良好”档次占比与对应人数建立方程，求解即得的值，再由学生总数求得的值； （3）先算出“优秀”档次占比，再由总人数即可计算估计出“优秀”人数. 【详解】（1）由统计图表可知：当时，“一般”档次占比，对应的学生数为，故学生总人数为人； （2）由统计图表可知：当时，“良好”档次占比，即，解得， 又总人数为人，故，即，； （3）由统计图表可知：“优秀”档次占比为， 故该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数约为人. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11用样本估计总体（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 4 考点一：总体取值规律的估计 4 考点二：总体百分位数的估计 13 考点三：总体集中趋势的估计 18 考点四：总体离散程度的估计 25 【自学检测】 31 自学概念 1. 画频率分布直方图的步骤 (1)求极差：极差是一组数据中最大值与最小值的差. (2)决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成5～12组，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”. (3)将数据分组：分组时，第一组的左端点略小于数据中的最小值，最后一组的右端点略大于数据中的最大值，分组区间一般是“前闭后开”. (4)列频率分布表：一般分四列，即分组、频数、频率、.其中频数合计应是样本容量，频率合计是1. (5)画频率分布直方图：横轴表示样本数据，纵轴表示.小长方形的面积＝组距×＝频率.各小长方形的面积和等于1. 2. 统计图表 统计图表 主要应用 扇形图 直观描述各类数据占总数的比例 条形图和直方图 直观描述不同类别或分组数据的频数和频率 折线图 描述数据随时间的变化趋势 3. 总体百分位数的估计 (1)总体百分位数的估计 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值. (2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步：按从小到大排列原始数据. 第2步：计算i＝n×p%. 第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据，若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数. (3)四分位数 25%，50%，75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数. 4. 众数、中位数和平均数的定义 众数、中位数和平均数的定义 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数. (2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数.如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数. (3)平均数：如果n个数为x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数. 5. 频率分布直方图中的众数、中位数、平均数 (1)单峰频率分布直方图中的平均数与中位数 ①如果直方图是对称的，那么平均数与中位数大体上该差不多. ②如果直方图在右边“拖尾”，那么平均数大于中位数. ③如果直方图在左边“拖尾”，那么平均数小于中位数，也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边. (2)在频率分布直方图中，众数是最高矩形底边中点的横坐标，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，样本平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和. 6. 总体离散程度的估计 (1)总体方差和标准差 ①总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝(Yi－)2为总体方差，S＝为总体标准差. ②总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝fi(Yi－)2. (2)样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝(yi－)2为样本方差，s＝为样本标准差. (3)标准差的意义 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. 自学考点 考点一：总体取值规律的估计 一、单选题 1．（2020·内蒙古呼和浩特·二模）每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如下表所示），并根据调查结果绘制了尚不完整的统计图表（如下图） 由两个统计图表可以求得，选择D选项的人数和扇形统计图中E的圆心角度数分别为（    ） A．500，28.8° B．250，28.6° C．500，28.6° D．250，28.8° 2．（19-20高二上·云南曲靖·期末）已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图甲和乙所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为 A．160，12 B．120，12 C．160，9 D．120，9 3．（2023高一·全国·专题练习）对于频率分布直方图，下列说法中正确的是（    ） A．小长方形的高表示取某数的频率 B．小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频数 C．小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频率与组距的比 D．小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频数与组距的比 4．（2022高二下·河北·学业考试）某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布情况，从该年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，，，，，绘制成如下频率分布直方图，频率分布直方图中a的值是（    ） A．0.017 B．0.018 C．0.020 D．0.023 5．（24-25高三上·天津·阶段练习）从某小学随机抽取部分同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.已知身高在内的人数为10人，则身高在内的学生人数为（    ） A．40 B．60 C．80 D．2000 6．（21-22高一·全国·课后作业）某股票近10个交易日的价格见下表． 天数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 股价/元 4.32 4.18 4.28 4.34 4.30 4.45 4.51 4.48 4.52 4.55 下列统计图中，表示上面的数据较合适的是（    ） A．频数直方图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．条形统计图 二、多选题 7．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）2024年2月29日，国家统计局发布了我国2023年国民经济和社会发展统计公报，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合图一、图二所示统计图，下列说法正确的是（   ） 图一  2019～2023年全国居民人均可支配收入及其增长速度  图二为2023年全国居民人均消费支出及其构成 A．2019~2023年全国居民人均可支配收入逐年递增 B．2019~2023年全国居民人均可支配收入增长速度逐年递增 C．2023年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐支出费用最少 D．2023年全国居民人均消费支出中食品烟酒和居住支出费用之和占比不足60% 8．（24-25高二上·四川成都·期中）2024年2月29日，国家统计局发布了我国2023年国民经济和社会发展统计公报，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合图一、图二所示统计图，下列说法正确的是（   ） A．2019～2023年全国居民人均可支配收入逐年递增 B．2019～2023年全国居民人均可支配收入增长速度逐年递增 C．2023年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐支出费用最少 D．2023年全国居民人均消费支出中食品烟酒和居住支出费用之和占比不足60% 9．（23-24高一下·湖南·期末）已知小王2023年5月份总收入10000元，总支出5000元，他的各项收入与支出占比情况如下表： 工资 兼职 理财 其他 收入占比 衣 食 住 行 其他 支出占比 则下列判断中正确的是（    ） A．小王2023年5月份的收入主要来源是工资 B．小王2023年5月份的兼职收入低于食的支出 C．小王2023年5月份的最大支出出于食 D．小王2023年5月份的工资刚好够支出 10．（23-24高一下·内蒙古通辽·阶段练习）某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)内的学生有60人，则下列说法正确的是（    ） A．样本中支出在[50，60)内的频率为0.03 B．样本中支出不少于40元的人数为132 C．n的值为200 D．若该校有2000名学生，则估计有600人支出在[50，60)内 三、填空题 11．（2024·辽宁·三模）某同学将全班某次数学考试的成绩整理成频率分布直方图后，将每个小矩形上方线段的中点连接起来，并将小矩形擦去，得到频率分布折线图（如图所示）．已知该同学绘制频率分布直方图时确定的极差为60，组距为10，据此估计此次考试成绩的平均数是 ．    12．（2023高三·全国·专题练习）有40个数据，其中最大值为35，最小值为14，若取组距为4，则分成的组数是 13．（2024高一下·全国·专题练习）一个频率分布表（样本容量为）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在内的频率为，则估计样本在，内的数据个数共为 ． 分组 频数 3 4 5 14．（22-23高二·全国·课后作业）图1为某省某年1～4月份快递业务量统计图，图2为该省当年1～4月份快递业务收入统计图． 根据对以上统计图的理解，有下列四个说法： ①当年1～4月份快递业务量，3月份最高，2月份最低，差值接近2000万件； ②当年1～4月份快递业务量同比增长率均超过50%，在3月份最高，可能与春节后快递恢复网购迎来喷涨有关； ③从两图中看，快递业务量与业务收入的同比增长率并不完全一致，但业务量与业务收入变化高度一致； ④从1～4月份来看，快递业务量与快递业务收入有波动，但整体保持高速增长． 其中，正确的说法为 ．（写出所有满足条件的说法序号） 考点二：总体百分位数的估计 一、单选题 1．（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）某次数学考试后，为了分析学生的学习情况，从该年级数学成绩中随机抽取一个容量为的样本，整理得到的频率分布直方图如图所示，已知成绩在范围内的人数为60，则下列说法正确的是（    ） A．的值为200 B．这次考试的及格率（60分及以上为及格）约为 C．估计学生成绩的第75百分位数为80分 D．总体分布在的频数与总体分布在的频数相等 2．（24-25高三上·湖南·阶段练习）将某班一次数学考试的成绩（都是正整数，满分150分）统计整理后得到如下的表格： 成绩范围 0~89分 90~99分 100~109分 110~119分 120~129分 130~150分 人数 7 10 10 2 6 7 则该班这次数学考试成绩的分位数可能是（  ） A．93 B．108 C．117 D．128 二、多选题 3．（24-25高三上·山东·阶段练习）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（   ） A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比例估计为6% B．估计该地农户家庭年收入的85%分位数为10万元 C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 4．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件： 甲球员：5个数据的中位数是25，众数是23； 乙球员：5个数据的中位数是28，平均数是26； 丙球员：5个数据有1个是30，平均数是25，方差是10； 根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（    ） A．甲球员连续5场比赛得分都不低于23分 B．乙球员连续5场比赛得分都不低于23分 C．丙球员连续5场比赛得分都不低于23分 D．丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于23 三、填空题 5．（24-25高三上·上海奉贤·期中）某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的分位数为 6．（24-25高三上·上海·期中）今年国际国内金价屡创新高，金价波动也被金融媒体竞相报道 . 现抽取 2024 年前 11 个月的每月日的实物黄金价格数据如下表所示，则这组黄金价格数据的第 75 百分位数是 月份 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9月 10 月 11 月 黄金价格(元/克) 624 616 630 691 708 716 714 737 743 768 815 考点三：总体集中趋势的估计 一、单选题 1．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）某校高三数学老师共有20人，他们的年龄分布如下表所示： 年龄 人数 1 2 6 5 4 2 下列说法正确的是（    ） A．这20人年龄的分位数的估计值是46.5 B．这20人年龄的中位数的估计值是41 C．这20人年龄的极差的估计值是55 D．这20人年龄的众数的估计值是35 2．（23-24高一下·福建三明·阶段练习）平均数､中位数和众数都描述了数据的集中趋势，下列说法错误的是（    ） A．如果频率分布直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数大体上差不多 B．与中位数相比，平均数反映出样本数据中的更多信息 C．对分类型数据，比如产品质量等级等集中趋势的描述可以用众数 D．如果频率分布直方图在“右边”拖尾，那么平均数小于中位数 3．（2024高三·全国·专题练习）有一组数据24，29，，25，22，，20，24，28，25．若该组数据的中位数与众数相等，则平均数为（    ） A．24.4 B．25.8 C．24.4或25.8 D．24.4或24.8 4．（2024·广东韶关·一模）众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.根据某小区1000户居民的月均用水量数据（单位：），得到如图所示的频率分布直方图，记该组数据的众数为，中位数为，平均数为，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·重庆·期末）对某个班级学生的平均身高进行估算，这个班级有30位男生，20位女生，从男生中抽取5人，测得他们的平均身高为，从女生中抽取3人，测得她们的平均身高为，则这个班级的平均身高估计为（    ）. A．168.75 B．169 C．171 D．171.25 6．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（    ） A．图（1）的平均数＝中位数＞众数 B．图（2）的众数＜中位数＜平均数 C．图（2）的平均数＜众数＜中位数 D．图（3）的中位数＜平均数＜众数 7．（24-25高三上·上海·期中）某校期中考试后，为分析100名高三学生的数学学习情况，整理他们的数学成绩得到如图所示的频率分布直方图．则下列结论错误的是（   ） A．估计数学成绩的众数为75 B． C．估计数学成绩的75百分位数约为85 D．估计成绩在80分及以上的学生的平均分为87.50 二、多选题 8．（23-24高一下·河北唐山·阶段练习）已知一组数据为，6，8，x，12，且这组数据的众数为6，那么下列说法正确的是（    ） A．数据的中位数是6 B．数据的平均数是6 C． D． 9．（24-25高二上·四川南充·期中）民营经济是推进中国式现代化的生力军.为了更好地支持民营企业的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免.某机构调查了当地的中小型民营企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是（    ） A．样本数据落在区间内的频率为0.45 B．若规定年收入在500万元以内的民营企业才能享受减免税政策，估计有的当地中小型民营企业能享受到减免税政策 C．若该调查机构调查了100家民营企业，则年收入不少于400万元的有80家 D．根据频率分布直方图估计样本的中位数为500万元 10．（21-22高一下·贵州六盘水·阶段练习）已知一组数据丢失了其中一个大于3的数据，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失的数据可能是（    ） A．4 B．12 C．18 D．20 三、填空题 11．（2022高二下·辽宁·学业考试）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某班级准备利用暑假进行“请党放心，强国有我”为主题的研学旅行．为了便于识别，该班级准备定做一批容量一致的双肩包．为此，班级负责人征求班内同学的意向，得到如下数据：为了照顾到绝大多数人的需求，则应该定做双肩包的容量为 ． 容量 23 25 27 29 31 33 频数 3 4 5 26 3 2 12．（24-25高一上·四川成都·开学考试）某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为，若这组数据的中位数和平均数相等，那么 . 13．（2024高二上·新疆·学业考试）数据的平均数为8，数据的平均数为.如果满足，，…，，则 . 考点四：总体离散程度的估计 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）巴黎奥运会乒乓球混双决赛中，中国队以大比分战胜朝鲜队，获得了奥运会参赛历史上的首枚混双金牌．据统计这局比赛得分如下，则下列说法正确的是（    ） 中国队 朝鲜队 A．中国队局比赛得分的平均值大于分 B．朝鲜队局比赛得分的中位数为分 C．中国队局比赛得分的第百分位数大于朝鲜队局比赛得分的第百分位数 D．中国队局比赛得分的方差大于朝鲜队局比赛得分的方差 2．（2024·福建·模拟预测）已知，现有均由4个数组成的甲、乙两组数据，甲组数据的平均数与方差均为m，乙组数据的平均数与方差均为n，若将这两组数据混合，则混合后新数据的方差（    ） A．一定大于n B．可能等于n C．一定大于m且小于n D．可能等于m 3．（24-25高二上·贵州·期中）已知数据，，…，的极差为4，方差为2，则数据，，…，的极差和方差分别是（   ） A．4，2 B．4，18 C．12，2 D．12，18 4．（24-25高二上·广东汕头·期中）已知一组数据的平均数，方差，则数据的平均数、方差分别为（   ） A．16，20 B．16，80 C．18，20 D．18，80 二、多选题 5．（23-24高一下·四川雅安·期末）为普及居民的消防安全知识，某社区开展了消防安全专题讲座．为了解讲座效果，随机抽取14位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份消防安全知识问卷，这14位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的得分如图所示，下列说法正确的是（    ） A．讲座前问卷答题得分的中位数小于70 B．讲座后问卷答题得分的众数为90 C．讲座前问卷答题得分的方差大于讲座后得分的方差 D．讲座前问卷答题得分的极差大于讲座后得分的极差 6．（24-25高三上·云南昆明·期中）在某次数学测试中，甲､乙两个班的成绩情况如下表： 班级 人数 平均分 方差 甲 60 130 1 乙 40 120 2 记这两个班的数学成绩的总平均分为，总方差为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高一·全国·单元测试）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得频率分布直方图，则这500件产品质量指标值的样本方差是 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． 8．（24-25高二上·浙江·期中）已知某组数据为x，y，8，10，11．它的平均数为8，方差为6，则的值为 ． 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（   ） A．最高气温的极差范围 B．10月的最高气温不低于5月的最高气温 C．最低气温低于0℃的月份有4个 D．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月 2．（2024·贵州黔南·一模）样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（    ） A．16 B．19 C．20 D．22 3．（2024·河南新乡·一模）为了增强学生的体质，某中学每年都要举行一次全校一分钟跳绳测试．已知某次跳绳测试中，某班学生的一分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，则该班学生一分钟跳绳次数的中位数的估计值为（结果精确到整数）（   ） A．127 B．136 C．133 D．138 4．（24-25高三上·江苏·阶段练习）高速公路管理部门在某一测速点，测得100辆车辆的速度（单位：）并汇总整理车速数据如下表，根据表中数据，下列结论中正确的是（   ） 车速 频数 6 12 18 30 24 10 A．100辆车的车速的中位数小于 B．100辆车中车速低于的车辆所占比例超过80% C．100辆车的车速的极差介于至之间 D．100辆车的车速的平均值介于至之间 5．（24-25高二上·黑龙江伊春·期中）2020年第1期深圳车牌摇号竞价指标共6668个，某机构从参加这期车牌竞拍且报价在1~8万元的人员中，随机抽取了若干人的报价，得到的部分数据整理结果如下： 报价区间 （单位：万元） 频数 10 36 40 则在这些竞拍人员中，报价不低于5万元的人数为（   ） A．30 B．42 C．54 D．80 6．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）某地铁1号线的开通运营极大地方便了市民的出行.某时刻从A站驶往B站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70，50，60，55，60，45，35，30，30，10.这组数据的第90%分位数为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 7．（24-25高三上·云南·阶段练习）在某次数学月考中，有三个多选小题，每个小题的正确答案要么是两个选项，要么是三个选项，且每个小题都是6分，在每个小题给出的四个选项中，全部选对得6分，部分选对得部分分（正确答案是三个选项的，则每个选项2分；正确答案是两个选项的，则每个选项为3分，有错选的得0分）．已知这次考试中，第一个小题的正确答案是两个选项；小明同学在这三个多选小题中，第一个小题仅能确定一个选项是正确的，由于是多选题他随机又选了一个选项；而第二个小题他随机地选了两个选项，第三个小题他随机地选了一个选项，则小明同学这三个多选小题所有可能的总得分（相同总分只记录一次）的中位数为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 8．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（   ） A．据的平均数为13 B．数据的方差为12 C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·青海·期中）如图，这是某款新能源汽车在速度､稳定性､安全性､易用性､续航能力这五个方面的综合评分的雷达图，则下列结论正确的是（    ） A．这款新能源汽车在速度方面的综合评分高于稳定性方面的综合评分 B．这款新能源汽车在速度方面的综合评分高于易用性方面的综合评分 C．这款新能源汽车在安全性方面的综合评分在这五个方面的综合评分中最低 D．这款新能源汽车在易用性方面的综合评分在这五个方面的综合评分中最高 10．（24-25高二上·重庆·阶段练习）今年是祖国的七十五华诞，为了激发学生的爱国热情，加强爱国主义教育.我校积极举行了一场“喜迎国庆 强国有我”知识竞答比赛，全校共名学参赛，比赛结束后，将这名学生的比赛成绩（单位：分）进行整理，按，，，，分成组，并绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的有（   ） A． B．估计样本的第分位数为分 C．若每组数据均以中间值作代表，则估计样本的平均数为分 D．按分层随机抽样与内的学生中抽人，则内被抽取到的学生人数为 11．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）某高中举行的纪念红军长征出发90周年的知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（    ） A．参赛成绩的众数约为75分 B．用分层抽样从该校学生中抽取容量为200的样本，则应在内的成绩抽取30人 C．参赛成绩的第75百分位数约为82.5分 D．参赛成绩的平均分约为72.8分 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·四川成都·期中）已知一组数据的平均数为10，方差为2，若这组数据，的平均数为，方差为，则 . 13．（24-25高一上·全国·课前预习）某班计划开展一些课外活动，全班有40名学生报名参加，他们就乒乓球、足球、跳绳、羽毛球等4项活动的参加人数做了统计，绘制了条形统计图如图所示，那么参加羽毛球活动的人数的频率是 . 14．（2024·广东河源·模拟预测）某中学举行数学解题比赛，其中7人的比赛成绩分别为：70，97，85，90，98，73，95，则这7人成绩的上四分位数与极差之和是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一下·山西忻州·开学考试）从某校参与数学竞赛的试卷中抽取一个样本，考查竞赛的成果分布，将样本分成组，得到频率分布直方图如图，从左到右各小组的小长方形的高的比为：：：：：，最右边的一组的频数是．请结合直方图的信息，解答下列问题：    (1)样本容量是多少？ (2)成果落在哪个范围的人数最多？并求出该小组的频数和频率； (3)估计这次数学竞赛成果的众数、中位数和平均数. 16. (15分) （24-25高二上·青海西宁·阶段练习）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的第75百分位数； 17. (15分) （24-25高一上·甘肃平凉·阶段练习）100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示．回答下列问题： (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计这次考试的平均数、众数和中位数（结果保留一位小数）． 18. (17分) （23-24高一上·全国·课后作业）为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两位同学在学校实习基地现场进行加工直径为20 mm的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据依次如下图和下表所示（单位：mm）.        平均数 方差 完全符合要求的个数 A 20 0.026 2 B 20 5 根据测试得到的有关数据，试解答下列问题： (1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些； (2)计算出的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些； (3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？请说明你的理由. 19. (17分) （23-24高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数，设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当时，为“偏少”；当时，为“一般”；当时，为“良好”；当时，为“优秀”，现将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表：    阅读本数（本） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 人数（名） 1 2 6 7 12 7 y 1 请根据以上信息回答下列问题： (1)求出本次随机抽取的学生总人数； (2)分别求出统计表中的的值； (3)估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数. 学科网（北京）股份有限公司 $$