第六章 图形的初步知识 期末专练— 2024-2025学年浙教版数学七年级上册

( 2024-2025学年 浙江七年级数学 期末专练 （图形的初步知识） ) ( 数缺形时少直观 19 / 19 形少数时难入微 ) 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025学年浙江七上期末专练—图形的初步知识 一．线段知识总结 1. 两点确定一条直线；两点之间线段最短； 2. 连接两点的线段的长度叫两点间的距离；点到直线的最短距离是垂线段的长度； 3. 线段的和与差：能够根据线段的和或者差，表示出来题目中所求的线段与题目条件中 线段的关系，解题方法：学会设置未知数，这样容易看清楚线段之间的关系，然后列出方程解决问题。 4. 涉及动点问题，关注动点运动的方向，速度以及运动的时间，画出满足题意的图，找出关系，列式解决。 5. 题目中关注点的位置，看清楚在线段上（1个位置），在射线上（2个位置），还是在直线上（3个位置，左中右），考虑分类讨论。 1．【★★】（2023秋•上城区期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是　　 A．用两颗钉子就可以把木条固定在墙上 B．在砌墙前，师傅会在墙两端拉一根笔直的水平线 C．植树时栽下两棵树，同一行树就可以栽在同一条直线上 D．把弯曲的公路改直，缩短路程 2．【★★】（2023秋•西湖区期末）爸爸准备从家出发去杭州奥体中心体育场，打开导航， 显示两地的直线距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为， ，（如图），能解释这一现象最合理的数学知识是　　 A．两点之间，线段最短 B．两点之间，直线最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 3．【★★★】（2023秋•杭州期末）如图，是直线外一点，，，三点在直线上，且于点，，则下列结论中正确的是　　 ①线段的长度是点到直线的距离； ②线段的长度是点到直线的距离； ③在，，三条线段中，最短； ④线段的长度是点到直线的距离．A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④ 4．【★★★】（2023秋•西湖区期末）杭衢高铁线上，要保证建德、建德南、龙游北、衢江、衢州西、江山这6个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票 　　种．（注往返的车票不同） 5．【★★★】（2023秋•钱塘区期末）如图，已知线段的长度为7，线段的长度为，若图中所有线段的长度之和为25，则的值为 　　． 6．【★★】（2023秋•海曙区期末）如图所示，平面上有四个点，，，，按下列语句画图： （1）画直线，射线与线段； （2）在直线上找一点使得，的值最小，并写出作图依据． 7．【★★】（2023秋•杭州期末）如图，已知平面上有三点，，．用无刻度直尺和圆规作图（请保留作图痕迹）； （1）画线段，直线，射线； （2）在线段上找一点，使得． 8．【★★】（2023秋•仙居县期末）如图，在平面内有不共线的三个点，，． （1）按下列要求作图： 分别作直线、射线，连接． （2）思考：在线段上任取一点（不与点、重合），连接． ①若，、分别是线段和的中点．则线段的长为 　　； ②比较与的大小，并说明理由． 9．【★★★】（2023秋•拱墅区期末）如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点在线段上．由操作可知，线段　　 A． B． C． D． 10．【★★】（2023秋•上城区期末）已知点是线段上一点，，分别是线段，的中点，若，，求的长． 11．【★★】（2023秋•台州期末）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点，求： （1）求的长度； （2）求的长度． 12．【★★★】（2023秋•西湖区期末）如图，已知线段上依次有，，，四个点，其中是中点，是中点，，，则　　． 13．【★★★】（2023秋•拱墅区期末）如图，已知，点是线段的中点．若点在线段上，且满足．你认为有几种可能？根据题意在答卷的图中标出点的大致位置，求的长． 14．【★★★】（2023秋•杭州期末）如图，点为线段上一点，与的长度之比为，为线段的中点． （1）若，求的长； （2）若是线段的中点，若，求的长（用含的代数式表示）． 15．【★★★】（2023秋•武义县期末）如图，，是线段上的点，点在线段上，点在线段的延长线上，且，． （1）用直尺和圆规作点和；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）若点是的中点，，，求线段的长； （3）若，且，，求线段的长． 16．【★★★】（2023秋•滨江区期末）如图，点为线段上一点，线段与的长度之比为．若点为线段的中点，点为线段中点． （1）当线段时，求线段的长； （2）当线段时，求线段的长（用的代数式表示）． 17．【★★★】（2023秋•镇海区期末）如图，已知线段，点为线段上一动点，点在线段上且满足． （1）当点为中点时，求的长； （2）若为中点，当时，求的长． 18．【★★★★】（2023秋•衢江区期末）一根绳子长为，，是绳子上任意两点在的左侧）．将，分别沿，两点翻折（翻折处长度不计），，两点分别落在上的点，处． （1）当时，，两点间的距离为 　　． （2）当，两点间的距离为时，的长为 　　． 19．【★★★★】（2022秋•镇海区期末）如图，点为数轴原点，点对应的数为，点对应的数为10． （1）点是数轴上、之间的一个点，且，求线段的长及点对应的数． （2）点从点出发以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，点从点出发以每秒1个单位的速度沿数轴负方向运动．、两点同时出发，设运动时间为秒．当满足，求运动时间． 20．【★★★★】（2023秋•玉环市期末）如图，点，是数轴上的两点，表示，表示100，动点分别从点，同时出发、相向而行，若点的速度是每秒2个单位长度，点的速度每秒3个单位长度，当点到达点时，两点立即停止运动，设运动时间为秒． （1）点表示的数为：　　；点表示的数为：　　；（用含的式子表示） （2）若的结果是一个定值，求的值； （3）当为何值时，，两点相距40个单位长度． 21．【★★★★★】（2023秋•东阳市期末）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且 （1）若，求的长． （2）当在线段的延长线上时，如图②所示，若点，分别是线段，的中点，求的长． （3）当运动到某一时刻，使得点与点重合时，若点是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 22．【★★★★★】（2023秋•上城区期末）如图（1），已知，为数轴上的两点，点表示原点，点表示的数为．动点从出发做匀速运动，动点从出发做匀速运动． （1）若动点向右运动，动点向左运动，且两点同时出发，它们运动的时间、在数轴上的位置所表示的数记录如下表．请将表格补充完整． 时间（秒 0 1 2 点在数轴上的位置所表示的数 　　 点在数轴上的位置所表示的数 　　 3 2 （2）若点先出发2秒后，点开始运动，它们以（1）中各自的速度和方向运动，求两点相遇时的位置所表示的数． （3）如图（2），若动点，以（1）中各自的速度同时反方向运动，同一时刻数轴上另有一动点以恒定速度和方向从点出发运动．在运动过程中，如果点为线段的中点，且，试求点的运动方向和速度． 23．【★★★★★】（2023秋•北仑区期末）定义：在同一直线上有，，三点，若点到，两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． （1）线段的中点 　　该线段的“倍距点”．（填“是”或者“不是” （2）已知，点是线段的“倍距点”，直接写出　　． （3）如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 2、 角知识总结 1. 互余角和为900,互补角和为1800； 2. 平角是1800，对顶角相等；垂直为900； 3. 角度的度分秒的进率为60；1度=60分，1分=60秒； 4. 角度间的关系：利用已知条件，表达所求的角，若角之间关系比较多，可以设未知数，把关系表示出来，利用角之间的已知关系或者互余，互补或者平角这些隐藏的关系来建立方程解决问题； 24．【★★】（2023秋•上城区期末）下列图形中，与是对顶角的是　　 A．B． C． D． 25．【★★】（2023秋•德清县期末）下列结论中不正确的是　　 A．一个角的补角一定大于这个角 B．一个角的度数为，则这个角的补角的度数为 C．若，，那么 D．一个角的余角是这个角的2倍，那么这个角是30度 26．【★★★】（2023秋•嘉兴期末）如图，射线，在的内部．若，，则为　　 A． B． C． D． 第26题 第27题 27．【★★★】（2023秋•海曙区期末）如图，已知，，且，则等于　　 A． B． C． D． 28．【★★★】（2023秋•杭州期末）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中与一定相等的是　　 A． B． C． D． 29．【★★】（2023秋•金东区期末）已知一个角的补角是它余角的3倍，则这个角的度数为　　． 30．【★★】（2023秋•滨江区期末）若的补角是的2倍，则　　度． 31．【★★★】（2023秋•拱墅区期末）已知是的补角，是的补角，若，，则的度数为 　　． 32．【★★★】（2023秋•钱塘区期末）（1）已知，，求，的值． （2）如果的补角是的余角的3倍，求的度数． 33．【★★★】（2023秋•台州期末）如图，，则，，之间的数量关系为　　 A． B． C． D． 34． 【★★★】（2023秋•滨江区期末）如图，直线，交于点，． 若，平分，则下列角中，与互余的是　　 A． B． C． D． 35．【★★★★】（2023秋•拱墅区期末）在综合与实践课上，将与两个角的关系记为 ，探索的大小与两个角的类型之间的关系．　　 A．当时，若为锐角，则为锐角 B．当时，若为钝角，则为钝角 C．当时，若为锐角，则为锐角 D．当时，若为锐角，则为钝角 36．【★★】（2023秋•杭州期末）如图，直线与相交于点，． ，则的度数是 　　． 37．【★★★】（2023秋•北仑区期末）如图，已知点、、在同一直线上，，平分． （1）若，求和的度数． （2）若恰好平分，求的度数． 38．【★★★】（2023秋•温州期末）如图，直线与相交于点，平分． （1）当时，求的度数． （2）已知，，求的度数． 39．【★★★】（2023秋•鄞州区期末）如图1，点在直线上，作射线，，平分，点在平面内，与互余． （1）如图2，当在内时，若，求的度数； （2）设，用含的代数式表示的度数． 40．【★★★】（2023秋•台州期末）如图，是的角平分线，是内部的一条射线． （1）图中共有 　　个角； （2）若，且，求的度数； （3）若是的角平分线，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 41．【★★★】（2023秋•路桥区期末）如图，已知，射线，，其中射线在的内部． （1）若， ①当平分时，则　　； ②当时，求的度数． （2）若，，用含的式子直接表示的度数． 42． 【★★★】（2023秋•德清县期末）如图所示的纸片，平分， 把沿对折成与重合），从点引一条射线， 使，再沿把角剪开，若剪开后得到的3个角中最大的一个角为， 则　　． 43．【★★★★】（2023秋•拱墅区期末）如图，点在直线上，在直线的同侧作射线，，若，且和互余．作平分，平分，则　　 A． B． C． D． 44．【★★★★】（2023秋•钱塘区期末）如图，直线，相交于点，平分，设，，下列结论： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若平分，则． 其中正确的结论是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 45．【★★★★★】（2023秋•拱墅区期末）如图，在内部顺次有一组射线 ，，，，满足，， ，，，若， 则　　．（用含，的代数式表示） 46．【★★★★】（2023秋•上城区期末）直线，相交于点，过点作． （1）如图（1），若，求的度数． （2）如图（2），作射线使，则是的平分线．请说明理由． （3）在图（1）上作，写出与的数量关系，并说明理由． 3、 角的动点的问题： 1. 看清楚运动方向，运动时间范围，画出满足题意的图，把用到的角用时间t表示出来，再用角之间的关系建立方程求解即可； 2. 动点问题含有直角三角板：一副直角三角板是指300、600、900和450、450、900的三角板，这是隐含的角度，并且在运动过程中夹角固定不变的， 47．【★★★★★】（2023秋•西湖区期末）如图，是平角，射线从开始，先顺时针绕点向射线旋转，到达后再绕点逆时针向射线旋转，速度为6度秒．射线从开始，以4度秒的速度绕点向旋转，到当到达时，射线与都停止运动．当时，有以下的值：①；②；③；④．其中正确的序号是　　 A． ③ B．④ C．①②④ D．①②③ 48．【★★★★】（2023秋•拱墅区期末）综合与实践． 问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们观察两个问题． 问题1：已知，平分，平分，则　　． 问题2：已知，点是的中点，点是的中点，则　　． 数学思考：（1）完成问题1与问题2的填空． 深入探究：同学们通过观察，发现了这两个问题的联系． （2）老师请同学们继续思考下面的问题，并提出一个与它有联系的问题． 如图1，点在直线上，，在直线同侧），，分别平分，．求的度数（无需作答）． 完成下列问题的解答： ①“运河小组”提出问题：如图2，线段，点，在线段上，，点，分别是线段，的中点，求的长． ②“武林小组”提出问题：如图3，点在直线上，，在直线两侧），，分别平分，．求的度数． 49．【★★★★】（2023秋•舟山期末）已知是直线上的一点，是直角，平分． 【猜想】 如图1，当的两边在直线同侧时，小明通过实验测量得到与的相关数量，如下表： 猜想与的数量关系． 【探究】小明将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置．探究和的数量关系是否符合【猜想】中的结论，并说明理由． 【拓展】将图1中的边与重合的位置开始，绕顶点顺时针旋转，旋转的速度为每秒10度，旋转时间秒，为的角平分线，当时，求的值． 50．【★★★★★】（2023秋•东阳市期末）如图①，射线在的内部，图中的3个角：，，，若其中有一个角的度数是另一个角的两倍，则称射线是的“好线”；如图②，一副三角板的边，在直线上，边，重合在射线上，现将三角板绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，当边与射线重合时，两块三角板都停止转动，设旋转时间为秒． （1）在旋转过程中，当时，射线是的好线吗？请说明理由． （2）当秒时，求的度数． （3）当三角板直角边所在的射线是的“好线”时，求的值． 51．【★★★★★】（2023秋•滨江区期末）【综合与实践】：线段和角有很多相似之处，如都可以度量，都能进行大小比较等．小滨根据“角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形”，研究了一个问题： 【操作发现】：如图，射线从出发，绕着端点以每秒的速度逆时针旋转，回到位置时，停止旋转．当射线旋转24秒时到达位置，继续旋转30秒，到达位置，若平分，求的度数； 【特例研究】：在上述条件下，若射线从出发，继续旋转秒，问是否存在，使得？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 52．（2022秋•镇海区期末）如图1，已知点在直线上，射线、分别在直线的上、下两侧且，始终是的平分线． （1）若，求的度数． （2）如图2，设，已知，求的值． （3）如图3，在满足（2）的条件下，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点以每秒的速度顺时针旋转，射线、同时开始旋转，记旋转时间为秒．当和互余时，求旋转时间的值． 53．【★★★★★】（2023秋•西湖区期末）数学实验课上，同学们探究角度之间的关系． （1）将两块三角板如图1方式摆放，其中，，作平分，平分． ①当分别为和时，求的度数； ②当在内转动时，的度数是否保持不变，请说明理由． （2）如图2，在内，设，，，作平分，平分，请用含，的代数式表示． 54．【★★★★】（2023秋•仙居县期末）已知：两块三角尺（直角三角形和直角三角形，，按如图1摆放，点、、在同一条直线上，、分别平分和． （1）求的度数； （2）求的度数； （3）将三角尺绕点按顺时针方向转动至如图2的位置，在转动过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由． 55．【★★★★】（2023秋•杭州期末）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将一直角三角板的直角顶点放在直线上，，是三角板的两条直角边，三角板可绕点任意旋转，射线平分．当三角板绕点旋转到图1的位置时，，试求的度数； 数学思考：（1）请你解答老师提出的问题． 数学探究：（2）老师提出，当三角板绕点旋转到图2的位置时，射线平分，请同学们猜想与之间有怎样的数量关系？并说明理由； 深入探究：（3）老师提出，当三角板绕点旋转到图3的位置时，射线平分，请同学们猜想与之间有怎样的数量关系？并说明理由． 56．【★★★★★】（2023秋•海曙区期末）如图1，在直线上取一点，向上作一条射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方．如图2，将直角三角板绕点逆时针转动，当与第一次重合时停止． （1）如图2，时，若和互余，且满足始终在内部，求此时的度数； （2）如图2，当始终在内部时，猜想与有怎样的数量关系（用含的等式表示），并说明理由； （3）如图2，当时，若直角三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，与第一次重合时停止，在旋转的过程中，若恰好有，旋转的时间是 　　秒．（直接写出结果） 四、折叠问题：折叠前后所以对应的角都是相等，标注在图上，用同一个字母表示，再根据角之间的关系进行解题。初一重点考察长方形正方形的折叠，注意折叠后会出现45度角或者90度角。 57．【★★★】（2023秋•上城区期末）按如图的方法折纸，则　　． 58．【★★★★】（2023秋•武义县期末）东东发现折纸中蕴含着丰富的数学问题，他将长方形纸片按如图1所示折叠，点在边上，点，在其它三边上，和为两条折痕，且折叠后重叠的纸片最多不超过三层．东东在探究的过程中，发现随着点，的位置变化而变化，为了研究方便，把记为，记为． （1）如图1，当，时，求的度数． （2）如图2，当点，，在同一直线上（即时，探究和的数量关系，并说明理由． （3）在和中，当其中一个角是另一个角的3倍时，求的度数． 59．【★★★★★】（2023秋•义乌市期末）定义：如果有三个角，，，满足，则称是和的“减余角”． （1）已知，，若是和的“减余角”，则　　． （2）现有一张正方形纸片，如图1所示，点为线段上一点（不与、重合）．连结，将纸片沿着对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为． ①若是和的“减余角”，求的度数． ②再将此正方形纸片沿着所在直线对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为，如图2所示．是否存在，，中的一个角是其它两个角的“减余角”？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 60．【★★★★★】（2023秋•钱塘区期末）综合与实践． 数学活动课上，老师带领学生分小组开展折纸飞机活动，依次按图中八个步骤进行． （1）勤学小组发现，通过这样的方式折纸可以计算第2步和第4步中角的度数．如图①，　　度；如图②，　　度． （2）奋进小组发现，改变折纸方法也能计算出角度．如图③，将长方形纸片分别沿，折叠，点落在点处，点落在点处，使得点、、在同一直线上，请求出图中的度数． （3）腾飞小组在原有基础上进行创新探究．将长方形纸片分别沿，折叠，使得折叠后的两部分之间有空隙（如图④或有重叠（如图⑤，设空隙部分（或重叠部分）的，请分别求出图④与图⑤中的．（用含的代数式表示） 2024-2025学年浙江七上期末专练—图形的初步知识 答案解析 1．（2023秋•上城区期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是　　 A．用两颗钉子就可以把木条固定在墙上 B．在砌墙前，师傅会在墙两端拉一根笔直的水平线 C．植树时栽下两棵树，同一行树就可以栽在同一条直线上 D．把弯曲的公路改直，缩短路程 【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短，进行解答即可． 【解答】解：、用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，故此选项不合题意； 、在砌墙前，师傅会在墙两端拉一根笔直的水平线，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，故此选项不合题意； 、植树时栽下两棵树，同一行树就可以栽在同一条直线上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，故此选项不合题意； 、把弯曲的公路改直，缩短路程，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释，故此选项符合题意； 故选：． 2．（2023秋•西湖区期末）爸爸准备从家出发去杭州奥体中心体育场，打开导航，显示两地的直线距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为，，（如图），能解释这一现象最合理的数学知识是　　 A．两点之间，线段最短 B．两点之间，直线最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【分析】根据线段的性质，可得答案． 【解答】解：从地去往地，打开导航、显示两地的直线距离为，理由是两点之间线段最短， 故选：． 3．（2023秋•杭州期末）如图，是直线外一点，，，三点在直线上，且于点，，则下列结论中正确的是　　 ①线段的长度是点到直线的距离； ②线段的长度是点到直线的距离； ③在，，三条线段中，最短； ④线段的长度是点到直线的距离． A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④ 【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”，“从直线外一点到这条线段的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可得解． 【解答】解：于点， 线段的长度是点到直线的距离，故①正确，④错误； ， 线段的长度是点到直线的距离，故②正确； 根据垂线段最短，在，，三条线段中，最短，故③正确； 故选． 4．（2023秋•西湖区期末）杭衢高铁线上，要保证建德、建德南、龙游北、衢江、衢州西、江山这6个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票 　30　种．（注往返的车票不同） 【分析】把6个车站建德、建德南、龙游北、衢江、衢州西、江山看作是直线上的6个点，就把求单程车票的种数转化为求直线上线段的条数，据此先求出直线上线段的条数，然后再乘以2即可得出需要印制不同的火车票的种数． 【解答】解：把6个车站建德、建德南、龙游北、衢江、衢州西、江山看作是直线上的6个点， 则这条直线上的线段条数就是单程车票的种数， 直线上有6个点， 这条直线上的条数为：（条， 单程火车票的种数为15种， 又往返的车票不同， 需要印制不同的火车票30种． 故答案为30种． 5．（2023秋•钱塘区期末）如图，已知线段的长度为7，线段的长度为，若图中所有线段的长度之和为25，则的值为 　4　． 【分析】依据线段长度为7，可得，依据长度为，可得，进而得出结论． 【解答】解：线段长度为7， ， 又长度为， ， 图中所有线段的长度和为：， ， 故答案为：4． 6．（2023秋•海曙区期末）如图所示，平面上有四个点，，，，按下列语句画图： （1）画直线，射线与线段； （2）在直线上找一点使得，的值最小，并写出作图依据． 【分析】（1）根据直线、射线、线段的定义画图即可． （2）根据两点之间线段最短，连接，交直线于点，即可得出答案． 【解答】解：（1）如图，直线、射线、线段即为所求． （2）如图，连接，交直线于点， 则点即为所求． 作图依据：两点之间线段最短． 7．（2023秋•杭州期末）如图，已知平面上有三点，，．用无刻度直尺和圆规作图（请保留作图痕迹）； （1）画线段，直线，射线； （2）在线段上找一点，使得． 【分析】（1）根据直线，射线，线段的定义画出图形； （2）在上截取线段，使得，点即为所求． 【解答】解：（1）如图，线段，直线，射线即为所求； （2）如图，点即为所求． 8．（2023秋•仙居县期末）如图，在平面内有不共线的三个点，，． （1）按下列要求作图： 分别作直线、射线，连接． （2）思考：在线段上任取一点（不与点、重合），连接． ①若，、分别是线段和的中点．则线段的长为 　　； ②比较与的大小，并说明理由． 【分析】（1）根据直线、射线及线段作法直接作图即可得到答案； （2）①由线段中点定义，表示线段关系，利用线段和差关系求解即可得到答案；②根据图形表示出线段关系，再由三角形三边关系得到，代入求解即可得到答案． 【解答】解：（1）如图所示： 直线、射线，连接即为所求； （2）如图所示： ①、分别是线段和的中点， ，， ， 故答案为：； ②解：， 理由如下： ，在中，由三边关系可得， ，即． 9．（2023秋•拱墅区期末）如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点在线段上．由操作可知，线段　　 A． B． C． D． 【分析】根据图形中线段的和差关系可得，即即可． 【解答】解： ． 故选：． 10．（2023秋•上城区期末）已知点是线段上一点，，分别是线段，的中点，若，，求的长． 【分析】根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可． 【解答】解：，分别是线段，的中点， ，， ． 11．（2023秋•台州期末）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点，求： （1）求的长度； （2）求的长度． 【分析】（1）由中点的含义直接作答即可； （2）先求解线段，，再利用，即可得到答案． 【解答】解：（1）是中点，且， ． （2），， ， 是中点， ，而， ． 12．（2023秋•西湖区期末）如图，已知线段上依次有，，，四个点，其中是中点，是中点，，，则　4　． 【分析】根据线段中点的定义得到，，然后根据线段的和差即可得到结论． 【解答】解：是中点，是中点， ，， ， ，， ， ， ， 故答案为：4． 13．（2023秋•拱墅区期末）如图，已知，点是线段的中点．若点在线段上，且满足．你认为有几种可能？根据题意在答卷的图中标出点的大致位置，求的长． 【分析】有两种情况：①当在左侧时，由，点是线段的中点，可得，而，知，故；②当在右侧时，同理可得． 【解答】解：有两种情况： ①当在左侧时，如图： ，点是线段的中点， ， ， ， ， 解得； ②当在右侧时，如图： ，点是线段的中点， ， ， ， ， 解得； 综上所述，的长为6或3． 14．（2023秋•杭州期末）如图，点为线段上一点，与的长度之比为，为线段的中点． （1）若，求的长； （2）若是线段的中点，若，求的长（用含的代数式表示）． 【分析】（1）先根据已知条件设，，再根据，列出关于的方程，求出，，，最后根据，求出答案即可；（2）先根据已知条件把和用表示出来，然后再根据线段中点的性质，把，、和用表示出来，最后根据，求出即可． 【解答】解：（1）， 设，， ， ， 解得：， ，， 为线段的中点， ， ； （2）， ， 为线段的中点， ， ， 是线段的中点， ， ， ， 解得：． 15．（2023秋•武义县期末）如图，，是线段上的点，点在线段上，点在线段的延长线上，且，． （1）用直尺和圆规作点和；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）若点是的中点，，，求线段的长； （3）若，且，，求线段的长． 【分析】（1）在线段上作即可，在线段的延长线上时，作线段即可； （2）先求解，，再结合中点的含义求解，再利用线段和差运算的含义可得答案； （3）设 ，可得 ， ，，再利用建立方程求解，从而可得答案． 【解答】解：（1）如图， （2）， ，， 点是的中点， ， ， ． （3）设 ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 16．（2023秋•滨江区期末）如图，点为线段上一点，线段与的长度之比为．若点为线段的中点，点为线段中点． （1）当线段时，求线段的长； （2）当线段时，求线段的长（用的代数式表示）． 【分析】（1）根据的长，求出和，再根据线段中点的定义求出和即可解答； （2）根据线段与的长度之比为，设出设，，则，根据线段中点的定义列出等式解答即可． 【解答】解：（1），线段与的长度之比为， ，， 点为线段的中点，点为线段中点， ，， ； （2）设，， 则， 点为线段的中点，点为线段中点， ，， ， 解得， 即． 17．（2023秋•镇海区期末）如图，已知线段，点为线段上一动点，点在线段上且满足． （1）当点为中点时，求的长； （2）若为中点，当时，求的长． 【分析】（1）根据线段中点的性质计算即可； （2）根据线段中点的性质和给出的数据，结合图形计算． 【解答】解：（1）点为中点，， ， ， ； （2）如图， 为中点， ， ， ， ， ， ， ， ． 如图， 为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 综上所述，的长为6或1.2． 18．（2023秋•衢江区期末）一根绳子长为，，是绳子上任意两点在的左侧）．将，分别沿，两点翻折（翻折处长度不计），，两点分别落在上的点，处． （1）当时，，两点间的距离为 　　． （2）当，两点间的距离为时，的长为 　　． 【分析】（1）由已知，翻折后，则，两点间的距离为，由此即可求解； （2）分两种情况：及，即可求解． 【解答】解：（1），， ， 由于翻折，如图，则，， ， ，两点间的距离为； （2）当时，如图， 由于翻折，则，， 由图知，，即， ， ； 当时，如图， 则，即， ， ； 综上，的长为或． 19．（2022秋•镇海区期末）如图，点为数轴原点，点对应的数为，点对应的数为10． （1）点是数轴上、之间的一个点，且，求线段的长及点对应的数． （2）点从点出发以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，点从点出发以每秒1个单位的速度沿数轴负方向运动．、两点同时出发，设运动时间为秒．当满足，求运动时间． 【分析】（1）运用线段的和差解题即可； （2）根据两点间距离公式表示，，根据列方程解题即可． 【解答】解：（1），， ， 对应的数为； （2）点表示的数为，点表示的数为． ， 又，，且， ， 解得：或10． 20．（2023秋•玉环市期末）如图，点，是数轴上的两点，表示，表示100，动点分别从点，同时出发、相向而行，若点的速度是每秒2个单位长度，点的速度每秒3个单位长度，当点到达点时，两点立即停止运动，设运动时间为秒． （1）点表示的数为：　　；点表示的数为：　　；（用含的式子表示） （2）若的结果是一个定值，求的值； （3）当为何值时，，两点相距40个单位长度． 【分析】（1）根据点、的运动速度，用数轴上点表示有理数即可； （2）根据，结合为定值，，求出结果即可； （3）分两种情况进行讨论：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，分别列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）点表示的数为：，点表示的数为． 故答案为：；． （2） ， 为定值， ， 解得：． （3）当点在点的左侧时，， 解得：； 当点在点的右侧时，， 解得：， 综上分析可知，或32时，，两点相距40个单位长度． 21．（2023秋•东阳市期末）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且 （1）若，求的长． （2）当在线段的延长线上时，如图②所示，若点，分别是线段，的中点，求的长． （3）当运动到某一时刻，使得点与点重合时，若点是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 【分析】先根据非负数的性质求出，，则，． （1）若，则有以下两种情况，①当点在点的左侧时，则，根据可得的长；②当点在点的右侧时，根据可得的长； （2）设，则，根据线段中点定义得，，，从而得，由此可得的长； （3）设，根据点与点重合，点在点的左侧得点在线段上，再根据点在线段的延长线上画出图形，结合图形得，，则，据此可得出结论． 【解答】解：，，， ，， 解得：，， ，， （1）若，则有以下两种情况， ①当点在点的左侧时，如图1①所示： ，，， ， ； ②当点在点的右侧时，如图1②所示： ，，， ； 综上所述：线段的长为17或25． （2）设，如图2所示： ， 点，分别是线段，的中点， ，， ， ； （3）为定值，理由如下： 设， 点与点重合，点在点的左侧， 点在线段上， 又点在线段的延长线上，如图3所示： ，， ， ． 22．（2023秋•上城区期末）如图（1），已知，为数轴上的两点，点表示原点，点表示的数为．动点从出发做匀速运动，动点从出发做匀速运动． （1）若动点向右运动，动点向左运动，且两点同时出发，它们运动的时间、在数轴上的位置所表示的数记录如下表．请将表格补充完整． 时间（秒 0 1 2 点在数轴上的位置所表示的数 　　 点在数轴上的位置所表示的数 　　 3 2 （2）若点先出发2秒后，点开始运动，它们以（1）中各自的速度和方向运动，求两点相遇时的位置所表示的数． （3）如图（2），若动点，以（1）中各自的速度同时反方向运动，同一时刻数轴上另有一动点以恒定速度和方向从点出发运动．在运动过程中，如果点为线段的中点，且，试求点的运动方向和速度． 【分析】（1）从表中得点1秒运动3个单位长度，故2秒运动到；从表中得点1秒运动1个单位长度，故0秒位于； （2）先求相遇时间为秒，再求相遇时的位置所表示的数为：． （3）设运动速度为个长度单位秒，运动时间为秒，当点向左运动时，点用两个不同的式子表示，求得，不合题意，舍去；当点向右运动时，可得，从而判断点向右运动，速度为1个长度单位秒． 【解答】解：（1）从表中得点1秒运动（个单位长度）， 秒运动到， 从表中得点1秒运动（个单位长度）， 秒位于， 故答案为：，4． （2）相遇时间为：（秒， 相遇时的位置所表示的数为：． （3）设运动速度为个长度单位秒，运动时间为秒， 表示的数为：，表示的数为：， 当点向左运动时，表示的数为：， 为线段的中点， 表示的数为：， 又， ， ， 不合题意，舍去； 当点向右运动时，表示的数为：， 为线段的中点， 表示的数为：， 又， ， ， 故答案为：点向右运动，速度为1个长度单位秒． 23．（2023秋•北仑区期末）定义：在同一直线上有，，三点，若点到，两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． （1）线段的中点 　不是　该线段的“倍距点”．（填“是”或者“不是” （2）已知，点是线段的“倍距点”，直接写出　　． （3）如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 【分析】（1）设线段的中点为，看和是否呈2倍关系即可判断线段的中点是不是该线段的“倍距点”； （2）根据点是线段的“倍距点”，可得或，根据点在线段上和直线上即可求得的值； （3）①算出点表示的数，用表示出点，进而表示出和的长，根据或列式即可求得的值；②用分别表示出点和点，进而表示出和的长，根据或列式求值即可求得的值． 【解答】解：（1）设线段的中点为， ． 点到，两点的距离不呈2倍关系． 线段的中点不是线段的“倍距点”． 故答案为：不是． （2）点是线段的“倍距点”， 或． ①点在线段上，． ， ； ②点在线段上，． ． ③点在点的左边，． ； ④点在点的右边，． ． 故答案为：3或6或9或18． （3）点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点， 点表示的数为：． 由题意得：点表示的数为． ，． 点为的“倍距点”， 或． ①． ， 或． 解得：或． ②． ， 或． 解得：（不合题意，舍去）或． 综上：为4或10或2.5． 答：当为4或10或2.5时，点为的“倍距点”； （3）由题意得：点表示的数为：，点表示的数为：． ，． 点为的“倍距点”， ，． ①． ． 或， 解得：或； ②． ． 或． 解得：或． 综上：的值为5或8或10或13． 24．（2023秋•上城区期末）下列图形中，与是对顶角的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据对顶角的定义进行选择即可． 【解答】解：只有两直线相交时，才产生对顶角 与是对顶角的是， 故选：． 25．（2023秋•德清县期末）下列结论中不正确的是　　 A．一个角的补角一定大于这个角 B．一个角的度数为，则这个角的补角的度数为 C．若，，那么 D．一个角的余角是这个角的2倍，那么这个角是30度 【分析】根据余角、补角的性质、同角的余角相等的性质进行判断即可． 【解答】解：、角的补角等于这个角，故原说法错误，符合题意； 、一个角的度数为，则这个角的补角的度数为，故原说法正确，不符合题意； 、若，，那么，故原说法正确，不符合题意； 、一个角的余角是这个角的2倍，那么这个角是30度，故原说法正确，不符合题意． 故选：． 26．（2023秋•嘉兴期末）如图，射线，在的内部．若，，则为　　 A． B． C． D． 【分析】由可得结论． 【解答】解：设，， 而， ， ， 故选：． 27．（2023秋•海曙区期末）如图，已知，，且，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】找到题中的度数是的度数的几分之几，再根据，用分数除法求出结果． 【解答】解：，， ， ， 故选：． 28．（2023秋•杭州期末）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中与一定相等的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一副三角板中每一个角的度数，进行计算逐一判断即可解答． 【解答】解：、由题意得：， 但， 故不符合题意； 、如图： 由题意得： ，， ， 故符合题意； 、由题意得： ，， ， 故不符合题意； 、由题意得： ，， ， 故不符合题意； 故选：． 29．（2023秋•金东区期末）已知一个角的补角是它余角的3倍，则这个角的度数为　　． 【分析】根据互为余角的和等于，互为补角的和等于用这个角表示出它的余角与补角，然后列方程求解即可． 【解答】解：设这个角为，则它的余角为，补角为， 根据题意得，， 解得． 故答案为：． 30．（2023秋•滨江区期末）若的补角是的2倍，则　60　度． 【分析】根据补角的定义及已知条件列出方程，即可求得答案． 【解答】解：的补角是的2倍， ， ． 故答案为：60． 31．（2023秋•拱墅区期末）已知是的补角，是的补角，若，，则的度数为 　　． 【分析】根据题意和的度数相等，解出的值，求出的度数，再根据互为补角的两个角的和为180度，求出的度数． 【解答】解：， ， ， ， 故答案为：． 32．（2023秋•钱塘区期末）（1）已知，，求，的值． （2）如果的补角是的余角的3倍，求的度数． 【分析】（1）利用角的和差关系进行计算，即可解答； （2）利用补角和余角的定义可得，然后进行计算即可解答． 【解答】解：（1），， ， ， 即：；； （2）的补角是的余角的3倍， ， 解得：． 33．（2023秋•台州期末）如图，，则，，之间的数量关系为　　 A． B． C． D． 【分析】由，得出，而，即可得到答案． 【解答】解：， ， ， ， ， 故选：． 34．（2023秋•滨江区期末）如图，直线，交于点，．若，平分，则下列角中，与互余的是　　 A． B． C． D． 【分析】由垂直的定义可得，；由余角的定义可得，，由等角的余角相等可得，，因为平分，所以，则与互余的角是，． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 与互余的角是，， 故选：． 35．（2023秋•拱墅区期末）在综合与实践课上，将与两个角的关系记为，探索的大小与两个角的类型之间的关系．　　 A．当时，若为锐角，则为锐角 B．当时，若为钝角，则为钝角 C．当时，若为锐角，则为锐角 D．当时，若为锐角，则为钝角 【分析】根据，当时，则，由为锐角得，进而得，由此可对选项进行判断；根据为钝角得，进而得，由此可对选项进行判断；当时，则，根据为锐角得，进而得，据此可对选项，选项进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：， 当时， ， 又为锐角， ， ， ， 为锐角， 故选项正确， 为钝角， ， ， ， 是锐角， 故选项不正确； 当时， ， 又为锐角， ， ， ， 可能是锐角也可能是钝角， 故选项，选项不正确． 故选：． 36．（2023秋•杭州期末）如图，直线与相交于点，．，则的度数是 　　． 【分析】根据两直线垂直，可得的度数，根据对顶角的性质，可得的度数，根据角的和差，可得答案． 【解答】解：， ． 与是对顶角， ． 由角的和差，得 ， 故答案为：． 37．（2023秋•北仑区期末）如图，已知点、、在同一直线上，，平分． （1）若，求和的度数． （2）若恰好平分，求的度数． 【分析】（1）根据垂直定义可得，从而可得，再利用平角定义可得，然后利用角平分线的定义可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答； （2）根据角平分线的定义可得，，再根据垂直定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用等角的补角相等可得，从而可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）， ， ， ， ， 平分， ， ， 的度数为，的度数为； （2）恰好平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的度数为． 38．（2023秋•温州期末）如图，直线与相交于点，平分． （1）当时，求的度数． （2）已知，，求的度数． 【分析】（1）因为，，可得，又因平分，可得的度数； （2）因为，所以，即，又因，可得的度数，根据平分，，可得的度数． 【解答】解：（1），， ， 平分， ； （2）， ， ， ， ， 平分，， ． 39．（2023秋•鄞州区期末）如图1，点在直线上，作射线，，平分，点在平面内，与互余． （1）如图2，当在内时，若，求的度数； （2）设，用含的代数式表示的度数． 【分析】（1）根据平角的定义可求出的度数，再由平分线的定义可得出的度数，最后由互余的定义可得出结论； （2）根据题意，需要分两种情况：①当点在内时；②当点在外部时，分别求解即可． 【解答】解：（1）， ， 平分， ， 与 互余， ． （2）①当在 内时， ， 平分， ； 与 互余， ． ； ②如图，当在 外部时， ， ， 平分， ， 与 互余， ， ． 综上，的度数为或． 40．（2023秋•台州期末）如图，是的角平分线，是内部的一条射线． （1）图中共有 　6　个角； （2）若，且，求的度数； （3）若是的角平分线，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据角的定义，写出所有角，即可； （2）根据，设，，中点得到，根据，列出方程进行求解即可； （3）根据是的角平分线，得到，再根据，即可得出结论． 【解答】解：（1）图中有，，，，，，共6个角； 故答案为：6； （2）， 设，， 是的角平分线， ， ， ， ； （3），理由如下： 是的角平分线， ， ， 是的角平分线， ， ， ． 41．（2023秋•路桥区期末）如图，已知，射线，，其中射线在的内部． （1）若， ①当平分时，则　25　； ②当时，求的度数． （2）若，，用含的式子直接表示的度数． 【分析】（1）①根据角平分线的定义、角的和差关系解决此题； ②根据角平分线的定义、角的和差关系解决此题； （2）根据角平分线的定义、角的和差关系解决此题． 【解答】解：（1）①，， ． 又平分， ． 故答案为：． ②当在内部时，如图所示， ，， ． 又， ． ． 当在外部时，如图所示， 由上述可知， ． （2）或．理由如下： 当在内部时， ，， ． 又， ． ． 当在外部时， 由上述可知． ． 42．（2023秋•德清县期末）如图所示的纸片，平分，把沿对折成与重合），从点引一条射线，使，再沿把角剪开，若剪开后得到的3个角中最大的一个角为，则　120　． 【分析】根据题意得，，然后根据角的和差即可得到结论． 【解答】解：如图， 由题意得，， ， ， ， 故答案为：120． 43．（2023秋•拱墅区期末）如图，点在直线上，在直线的同侧作射线，，若，且和互余．作平分，平分，则　　 A． B． C． D． 【分析】设，由和互余得，则，再由平分得，进而得，然后由得，再由平分得，进而得，由此得，据此即可得出答案． 【解答】解：设， 和互余， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ．故选项正确，符合题意； ． ，， 故选项，，不符合题意． 故选：． 44．（2023秋•钱塘区期末）如图，直线，相交于点，平分，设，，下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若平分，则． 其中正确的结论是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】根据垂直定义，角平分线的定义以及图形中角的和差关系逐项进行判断即可． 【解答】解：①平分， ， ， ， ，而， ， 即， 因此①正确； ②， ， ， ， ， 因此②正确； ③，平分， ， 只有当时，； 而与是否垂直不确定， 因此③不正确； ④平分，平分， ，， ， ， 即， 因此④正确． 综上所述，正确的结论有①②④， 故选：． 45．（2023秋•拱墅区期末）如图，在内部顺次有一组射线，，，，满足，，，，，若，则　　．（用含，的代数式表示） 【分析】首先计算，，，，以此类推，，由此得，然后再根据可得出答案． 【解答】解：， ，，， ，以此类推，， ， ． 46．（2023秋•上城区期末）直线，相交于点，过点作． （1）如图（1），若，求的度数． （2）如图（2），作射线使，则是的平分线．请说明理由． （3）在图（1）上作，写出与的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据垂直的定义进行计算即可； （2）根据垂直的定义，对顶角相等以及等角的余角相等可得答案； （3）根据垂直的定义，平角的定义以及对顶角相等、同角的余角相等进行计算即可． 【解答】解：（1）． ，即， ， ； （2）． ，即， ， ， 又， ， 即是的平分线； （3），理由如下： 如图，， ， ，即， ． ，即， ， ， ， ． 如图，， ， ， ， ， 又， ， ， ． 47．（2023秋•西湖区期末）如图，是平角，射线从开始，先顺时针绕点向射线旋转，到达后再绕点逆时针向射线旋转，速度为6度秒．射线从开始，以4度秒的速度绕点向旋转，到当到达时，射线与都停止运动．当时，有以下的值：①；②；③；④．其中正确的序号是　　 A．③ B．④ C．①②④ D．①②③ 【分析】分，及三种情况考虑，当时，，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值；当时，，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值；当时，，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值． 【解答】解：（秒，（秒，（秒． 当时，，， ， 解得：； 当时，，， ， 解得：； 当时，，， ， 解得：． 正确的序号是①②④． 故选：． 48．（2023秋•拱墅区期末）综合与实践． 问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们观察两个问题． 问题1：已知，平分，平分，则　　． 问题2：已知，点是的中点，点是的中点，则　　． 数学思考：（1）完成问题1与问题2的填空． 深入探究：同学们通过观察，发现了这两个问题的联系． （2）老师请同学们继续思考下面的问题，并提出一个与它有联系的问题． 如图1，点在直线上，，在直线同侧），，分别平分，．求的度数（无需作答）． 完成下列问题的解答： ①“运河小组”提出问题：如图2，线段，点，在线段上，，点，分别是线段，的中点，求的长． ②“武林小组”提出问题：如图3，点在直线上，，在直线两侧），，分别平分，．求的度数． 【分析】（1）问题1：根据平分得，再根据平分可得出的度数； 问题2：根据点是的中点得，再根据点是的中点可得出的长度； （2）①先求出，再根据线段中点的定义得，，进而得，据此可求出的长； ②设，根据垂直的定义及平角的定义得，，再根据角平分线的定义得，，由此得，据此可求出的度数． 【解答】解：（1）问题，平分， ， 平分， ； 故答案为：． 问题，点是的中点， ， 点是的中点， ， 故答案为：15． （2）①线段，点，在线段上，， ， 点，分别是线段，的中点， ，， ， ； ②设， 点在直线上， ，， ，分别平分，， ，， ， ． 49．（2023秋•舟山期末）已知是直线上的一点，是直角，平分． 【猜想】 如图1，当的两边在直线同侧时，小明通过实验测量得到与的相关数量，如下表： 猜想与的数量关系． 【探究】 小明将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置．探究和的数量关系是否符合【猜想】中的结论，并说明理由． 【拓展】 将图1中的边与重合的位置开始，绕顶点顺时针旋转，旋转的速度为每秒10度，旋转时间秒，为的角平分线，当时，求的值． 【分析】猜想：由角平分线的定义结合角的和差运算可得，而，从而可得结论； 探究：设，则，由角平分线可得，再结合角的和差运算可得结论； 拓展：分两种情况讨论：①当时，，则，②当时，，则，再建立方程求解即可． 【解答】解：猜想：平分， ， ， ， ， ， ， ， 探究：符合，理由如下：如图， 设，则， 平分， ， ， ， ， 拓展：①当时，，则， 为的角平分线，， ， 平分， ， ， ， ②当时，，则， 为的角平分线，， ， 平分， ， ， ． 综上所述，的值为3或15． 50．（2023秋•东阳市期末）如图①，射线在的内部，图中的3个角：，，，若其中有一个角的度数是另一个角的两倍，则称射线是的“好线”；如图②，一副三角板的边，在直线上，边，重合在射线上，现将三角板绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，当边与射线重合时，两块三角板都停止转动，设旋转时间为秒． （1）在旋转过程中，当时，射线是的好线吗？请说明理由． （2）当秒时，求的度数． （3）当三角板直角边所在的射线是的“好线”时，求的值． 【分析】（1）根据“好线”的定义判断即可． （2）先求出和的度数，再求出的度数即可． （3）分情况讨论，当是的“好线”时和当是的“好线”时两种情况进行讨论即可． 【解答】解：（1）如图，当时， ， ， ， 即射线是的好线． （2）由题意得， ， ， ； （3）当边与射线重合时，两块三角板都停止转动， （秒， 当是的“好线”时， 根据题意得，，或 当是的“好线”时， ①时， ， 解得． 当时， ， ②当时， ， 解得． ③当时， ， 解得． 当是的“好线”时，，， 当时， ， ， 当时， ， ， 综上所述，当秒或秒或 秒或秒或时，三角板直角边所在的射线是的“好线”． 51．（2023秋•滨江区期末）【综合与实践】：线段和角有很多相似之处，如都可以度量，都能进行大小比较等．小滨根据“角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形”，研究了一个问题： 【操作发现】：如图，射线从出发，绕着端点以每秒的速度逆时针旋转，回到位置时，停止旋转．当射线旋转24秒时到达位置，继续旋转30秒，到达位置，若平分，求的度数； 【特例研究】：在上述条件下，若射线从出发，继续旋转秒，问是否存在，使得？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【分析】【操作发现】根据“路程速度时间”计算求解； 【特例研究】根据“”列方程求解． 【解答】解：【操作发现】由题意得：，， 平分， ， ； 【特例研究】：存在；， ， ， ，或， 解得：，或， 存在秒或秒时，使得． 52．（2022秋•镇海区期末）如图1，已知点在直线上，射线、分别在直线的上、下两侧且，始终是的平分线． （1）若，求的度数． （2）如图2，设，已知，求的值． （3）如图3，在满足（2）的条件下，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点以每秒的速度顺时针旋转，射线、同时开始旋转，记旋转时间为秒．当和互余时，求旋转时间的值． 【分析】（1）先根据角平分线的定义求出，然后根据求解即可； （2）由角平分线的定义得，结合，根据列方程求解即可； （3）分3种情况求解即可． 【解答】解：（1）平分， ， ． （2）平分， ， ， ， ， ， ． （3）当时，， ①当时， ，， ， ； ②当时， ，， （舍； ③当时， ，， ， ； 综上秒或45秒． 53．（2023秋•西湖区期末）数学实验课上，同学们探究角度之间的关系． （1）将两块三角板如图1方式摆放，其中，，作平分，平分． ①当分别为和时，求的度数； ②当在内转动时，的度数是否保持不变，请说明理由． （2）如图2，在内，设，，，作平分，平分，请用含，的代数式表示． 【分析】（1）①先求出，根据角平分线定义得出，，再分别根据时，时，求出结果即可； ②先求出，根据角平分线定义得出，，求出，即可得出答案； （2）根据，，得出，根据角平分线定义得出，，求出得出． 【解答】解：（1）①，， ， 平分，平分， ，， 当时，， 则，， ； 当时，， 则，， ； ②当在内转动时，的度数保持不变；理由如下： ，， ， 平分，平分， ，， ， ； （2）当在内转动时，，， ， 平分，平分， ，， ， ． 54．（2023秋•仙居县期末）已知：两块三角尺（直角三角形和直角三角形，，按如图1摆放，点、、在同一条直线上，、分别平分和． （1）求的度数； （2）求的度数； （3）将三角尺绕点按顺时针方向转动至如图2的位置，在转动过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由． 【分析】（1）根据题意，数形结合，利用平角定义求解即可得到答案； （2）根据题意，利用角平分线性质，数形结合，用已知角表示出所求角即可得到答案； （3）根据题意，设，利用角平分线性质，数形结合，用已知角表示出所求角即可得到答案． 【解答】解：（1）、、在同一条直线上， ， ，， ； （2），平分， ， 由（1）知， 平分， ， ； （3）的度数在转动过程中不会变化， 设， 平分，则，， 平分， ， ． 55．（2023秋•杭州期末）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将一直角三角板的直角顶点放在直线上，，是三角板的两条直角边，三角板可绕点任意旋转，射线平分．当三角板绕点旋转到图1的位置时，，试求的度数； 数学思考：（1）请你解答老师提出的问题． 数学探究：（2）老师提出，当三角板绕点旋转到图2的位置时，射线平分，请同学们猜想与之间有怎样的数量关系？并说明理由； 深入探究：（3）老师提出，当三角板绕点旋转到图3的位置时，射线平分，请同学们猜想与之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【分析】（1）根据余角的概念求出，根据角平分线的定义求出，再根据邻补角的概念计算即可； （2）仿照（1）的作法解答即可； （3）根据角平分线的定义、邻补角的概念用表示出，结合图形用表示出，两式相加得到答案． 【解答】解：（1），， ， 平分， ， ； （2）． 理由如下：， ， 平分， ， ； （3）． 理由如下：平分， ， ①， ， ， ②， ①②，得． 56．（2023秋•海曙区期末）如图1，在直线上取一点，向上作一条射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方．如图2，将直角三角板绕点逆时针转动，当与第一次重合时停止． （1）如图2，时，若和互余，且满足始终在内部，求此时的度数； （2）如图2，当始终在内部时，猜想与有怎样的数量关系（用含的等式表示），并说明理由； （3）如图2，当时，若直角三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，与第一次重合时停止，在旋转的过程中，若恰好有，旋转的时间是 　25.2或54　秒．（直接写出结果） 【分析】（1）因为和互余，，可得，所以，已知，可得的度数； （2），因为，所以，即，可得与的数量关系； （3）分在直线上方、不在直线上方两种情况讨论． 【解答】解：（1）和互余， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ； （3）设旋转的时间为秒， ①在直线上方时， ，， ， ， ， ， 解得：， ，， ， ， ， ， 解得：， ②不在直线上方时， ，， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：25.2或54． 57．（2023秋•上城区期末）按如图的方法折纸，则　90　． 【分析】利用折叠的性质及余角和补角的定义进行分析即可判断． 【解答】解：根据折叠的性质可知，，， ， ，即， 故答案为：90． 58．（2023秋•武义县期末）东东发现折纸中蕴含着丰富的数学问题，他将长方形纸片按如图1所示折叠，点在边上，点，在其它三边上，和为两条折痕，且折叠后重叠的纸片最多不超过三层．东东在探究的过程中，发现随着点，的位置变化而变化，为了研究方便，把记为，记为． （1）如图1，当，时，求的度数． （2）如图2，当点，，在同一直线上（即时，探究和的数量关系，并说明理由． （3）在和中，当其中一个角是另一个角的3倍时，求的度数． 【分析】（1）根据折叠的性质解题即可； （2）根据折叠的性质计算即可解题； （3）分三种情况分别画图，列方程进行计算解题． 【解答】解：（1）由折叠可得：，， ； （2），理由如下： 由折叠可得：，， ， ； （3）如图1所示，由折叠可得：，， ， ， 当时，， 解得； 如图3，， 当时，， 解得：； 如图4所示，， 当时，， 解得：； 综上所述，在和中，当其中一个角是另一个角的3倍时，的度数为或或． 59．（2023秋•义乌市期末）定义：如果有三个角，，，满足，则称是和的“减余角”． （1）已知，，若是和的“减余角”，则　　． （2）现有一张正方形纸片，如图1所示，点为线段上一点（不与、重合）．连结，将纸片沿着对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为． ①若是和的“减余角”，求的度数． ②再将此正方形纸片沿着所在直线对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为，如图2所示．是否存在，，中的一个角是其它两个角的“减余角”？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由“减余角”得，再计算即可． （2）由“减余角”得，再利用平角计算即可． （3）分两种情况讨论：当时，当时，再利用“减余角”定义计算即可． 【解答】解：（1）是和的“减余角”， ， ， 故答案为：． （2）是和的“减余角”， ， ， ， ， 由对折得， ． （3）存在，，中的一个角是其它两个角的“减余角”． 理由如下： 由对折设， ， ． 当时， ， ， 由平角， ， ， ． 当时， ， ， 由平角， ， ． 综上所述，或． 60．（2023秋•钱塘区期末）综合与实践． 数学活动课上，老师带领学生分小组开展折纸飞机活动，依次按图中八个步骤进行． （1）勤学小组发现，通过这样的方式折纸可以计算第2步和第4步中角的度数．如图①，　90　度；如图②，　　度． （2）奋进小组发现，改变折纸方法也能计算出角度．如图③，将长方形纸片分别沿，折叠，点落在点处，点落在点处，使得点、、在同一直线上，请求出图中的度数． （3）腾飞小组在原有基础上进行创新探究．将长方形纸片分别沿，折叠，使得折叠后的两部分之间有空隙（如图④或有重叠（如图⑤，设空隙部分（或重叠部分）的，请分别求出图④与图⑤中的．（用含的代数式表示） 【分析】（1），，可得、； （2）由可得； （3）分别对照图④、图⑤计算． 【解答】解：（1）由于折叠，， ， 故答案为：90，45； （2）由于折叠，，， 四边形是长方形，即， ； （3）如图④，由于折叠，，， 四边形是长方形，即， ， ， ， 如图⑤，由于折叠，，， 四边形是长方形，即， ， ， ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$