精品解析：湖南省邵阳市新邵县第三中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

新邵三中2024年下学期期中考试试卷 高一数学 时量：120分钟 分值：150分 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，，则集合中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，给出下列四个对应关系：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 5. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数对任意，总有.若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数的最小值为2 B. 若，则函数在上单调递增 C. 若，则函数的值域为 D. 若，则函数是奇函数 10. 已知幂函数的图像经过点，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 若，则 11. 用表示不超过的最大整数，例如，.已知，则（ ） A. B. 为奇函数 C. ，都有 D. 与图象所有交点的横坐标之和为4. 三､填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的定义域为__________. 13. 设函数是定义在上的偶函数，，当时，单调递增，则不等式的解集为__________. 14. 对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”.已知集合，则的“小和数”为________，的“大和数”为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合或，全集. （1）若，求，； （2）若命题“，都有”是真命题，求实数a的取值范围. 16. 已知二次函数. （1）当时，求的最值. （2）当时，求的最小值. 17. 某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系可近似地表示为.已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨. （1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； （2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润. 18. 已知函数是定义在区间上的奇函数，且. （1）求，； （2）判断在区间上的单调性，并用定义证明； （3）解关于的不等式. 19. 经过函数性质的学习，我们知道：“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“是奇函数”． （1）若为定义在上的奇函数，且当时，，求的解析式； （2）某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件是“为奇函数”．若定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形，且当时，． （i）求的解析式； （ii）若函数满足：当定义域为时值域也是，则称区间为函数的“保值”区间，若函数在上存在保值区间，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新邵三中2024年下学期期中考试试卷 高一数学 时量：120分钟 分值：150分 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，，则集合中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由交集的定义即可求解. 【详解】因为，， 所以，所以集合中元素的个数为. 故选：. 2. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由等价于或， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 3. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定判断即可. 【详解】命题的否定是. 故选：C. 4. 已知集合，，给出下列四个对应关系：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的定义一一判断即可. 【详解】对于①，当时，，故①不正确； 对于②，当时，，故②不正确； 对于③，当时，，当时，，故③正确； 对于④，当时，，当时，，故④正确. 故选：. 5. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知，分别分析汽车在加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车各个阶段路程与时间的增长关系，即可确定选项. 【详解】由已知，汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车， 由汽车经过启动后的加速行驶阶段，路程随时间上升速度越来越快，故图像的前边部分为凹升形状； 在汽车匀速行驶阶段，路程随时间上升的速度保持不变，故图像的中间部分为平升的形状，故排除选项C、选项D； 在汽车减速行驶之后停车阶段，路程随时间上升的速度越来越慢，故图像的后面部分为凸升的形状，故排除选项B； 故选：A. 6. 若，，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取，，即可判断，，；由基本不等式即可判断. 【详解】取，，满足，，且， 所以不正确； ，所以不正确； ，所以不正确； 因为，当且仅当时等号成立，所以正确. 故选：. 7. 已知定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性判断函数在各区间的正负，考虑和两种情况，将不等式转化为的正负，计算得到答案. 【详解】定义在R上的奇函数在上单调递减，故函数在上单调递减， 且，故， 函数在和上满足，在和上满足. ， 当时，，即；当时，，即. 综上所述：. 故选：A 8. 已知函数对任意，总有.若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得在上单调递增，利用单调性解不等式可得存在使不等式成立即可，解可得结果. 【详解】根据题意由任意，总有可得在上单调递增， 若不等式成立可得，可得， 即存在时使不等式成立，因此即可； 解得或； 即实数的取值范围是. 故选：C 二､多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数的最小值为2 B. 若，则函数在上单调递增 C. 若，则函数的值域为 D. 若，则函数是奇函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】当时，根据对勾函数的单调性及性质判断A，B选项，当时，结合函数奇偶性的定义可判断D，结合函数的单调性及图像可判断C选项. 【详解】当时，函数在区间单调递减，在单调递增.如下图所示 可知函数没有最小值，A错误；B正确； 当时，， 则，所以函数为奇函数，故D正确， 又因为函数在是单调递增，如图， 所以函数的值域为R，故C正确. 故选：BCD 10. 已知幂函数的图像经过点，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由幂函数定义可得A；结合图象经过点可得解析式及其定义域，即可得B；结合偶函数的定义计算即可得C；结合奇函数性质与幂函数单调性计算即可得D. 【详解】对A：由题意可得，解得，即，故A正确； 对B：由，则，故B正确； 对C：由，故不是偶函数，是奇函数，故C错误； 对D：由，在上单调递增，故可得，解得，故D正确. 故选：ABD. 11. 用表示不超过的最大整数，例如，.已知，则（ ） A. B. 为奇函数 C. ，都有 D. 与图象所有交点的横坐标之和为4. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由函数新定义及奇偶性定义可判断AB；作差法比较大小可判断C；令，得，结合新定义求得，分、、、讨论求的根，即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，所以不是奇函数， 故B错误； 对于C，，对于， ，，故，故C正确； 对于D，令，得，又， 所以，可得， 当时，满足，即2为图象交点的横坐标， 当时，，则，解得， 即为图象交点的横坐标， 当时，，则，故1不为图象交点的横坐标， 当时，，则，解得， 即为图象交点的横坐标. 综上，图象所有交点的横坐标之和为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：D选项解题关键点是，令结合分类讨论求对应根为关键. 三､填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合根式求解具体函数的定义域. 【详解】因为，所以的定义域为. 故答案为：. 13. 设函数是定义在上的偶函数，，当时，单调递增，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】因为函数是定义在上的偶函数，所以，又，所以转化为，再利用函数的单调性即可求得解集. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以， 又，由得到即， 又当时，单调递增，所以，解得：或， 故解集为. 故答案为： 14. 对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”.已知集合，则的“小和数”为________，的“大和数”为________. 【答案】 ①. 5 ②. 80 【解析】 【分析】根据给定定义直接求出的“小和数”；求出集合的所有非空子集中含有每个元素的子集个数即可求出的“大和数”. 【详解】依题意，的“小和数”为； 集合的所有非空子集中，含有数的子集，可视为集合的每个子集与的并集， 因此含有数的子集个数为，同理含有数的子集个数均为， 所以的“大和数”为. 故答案为：5；80 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合或，全集. （1）若，求，； （2）若命题“，都有”是真命题，求实数a的取值范围. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再根据交集和并集的定义运算即可； （2）由已知可得，进而根据包含关系求解. 【小问1详解】 当时，，而或， 则，. 【小问2详解】 若命题“，都有”是真命题，则， 由，所以或，即或， 故的取值范围为或. 16. 已知二次函数. （1）当时，求的最值. （2）当时，求的最小值. 【答案】（1）函数最小值,函数最大值 （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数的单调性即可求出函数最大最小值. （2）分别讨论函数在不同区间上的最小值再总结出在整个实数域上的最小值即可. 【小问1详解】 二次函数对称轴为，开口向上. 所以在上递减，在上递增.所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 ①当时，在上递增，所以；②当即时， ③当，即时，在上递减，所以 综上可得 17. 某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系可近似地表示为.已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨. （1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； （2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润. 【答案】（1）年产量为200吨时，平均成本最低为20万元； （2）年产量为220吨时，最大利润为840万元. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出平均成本的关系式，再利用基本不等式求解即得. （2）求出年利润关于年产量的函数关系，再利用二次函数求出最大值. 【小问1详解】 依题意，生产每吨产品的平均成本为， 而，当且仅当，即时取等号， 所以年产量为200吨时，平均成本最低为20万元. 【小问2详解】 设利润为，则， 而，因此当时，， 所以年产量为220吨时，最大利润为840万元. 18. 已知函数是定义在区间上的奇函数，且. （1）求，； （2）判断在区间上的单调性，并用定义证明； （3）解关于的不等式. 【答案】（1），； （2） 在区间上单调递增，证明如下： 由（1）得，令， 则 ， 由，所以，，，， 所以，即， 所以在区间上单调递增； （3）. 【解析】 【分析】（1）结合奇函数性质与计算即可得解； （2）结合函数单调性定义，令，得到的正负即可得； （3）结合奇函数与单调性定义计算即可得解. 【小问1详解】 函数是定义在区间上的奇函数， 所以，即， 因为，所以，所以， 所以， 当，有， 所以是定义在区间上的奇函数，符合要求， 所以，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由得， 由在区间上单调递增， 所以，解得， 所以. 19. 经过函数性质的学习，我们知道：“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“是奇函数”． （1）若为定义在上的奇函数，且当时，，求的解析式； （2）某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件是“为奇函数”．若定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形，且当时，． （i）求的解析式； （ii）若函数满足：当定义域为时值域也是，则称区间为函数的“保值”区间，若函数在上存在保值区间，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由奇偶性的定义求解即可； （2）（i）由题意可知为奇函数，进而，由此可求出时的解析式，即可求解； （ii）由的单调性结合“保值”区间的定义，分类讨论即可求解 【小问1详解】 为定义在上的奇函数， 当时，， 所以， 又， 所以； 【小问2详解】 （i）因为定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形， 所以为奇函数， 所以，即， 时，， 所以． 所以； （ii）， 当时，在单调递增， 当时，则 即方程在有两个不相等的根， 即有两个不相等的根， 令，则 又， 所以有不可能有两个不相等的根； 当时，在单调递增， 当时，则， 即方程在有两个不相等的根， 即在有两个不相等的根， 令，则 又，解得， 当时，易知在上单调递增， 所以在单调递增， 此时， 即， 令，则易知在单调递减， 所以即， 又时，， 当且仅当，即时取等， 所以，此时无解； 综上可知：的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $