16.1二次根式（第01讲）讲义 2024--2025学年人教版八年级数学下册

16.1二次根式（第01讲） 题型汇总 知识点一 二次根式的概念 1 题型1 二次根式的辨别 1 知识点二 二次根式有意义的条件 2 题型2 利用二次根式有意义的条件求值 2 题型3 利用二次根式有意义的条件求取值范围 2 巩固练习 2 知识点一 二次根式的概念 二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。 【注意】（1）二次根式中，被开方数a可以是具体的数或代数式。 （2）二次根式 中a是一个非负数。 基础过关 1．下列各式是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．在式子，，，，中，是二次根式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型1 二次根式的辨别 【典例1】（23-24春•大理鹤庆•期中）下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【变式1-1】 下列各式是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【变式1-2】 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【变式1-3】 下列各式是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 知识点二 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，有意义。 注意：当二次根式存在在分母的位置时，被开方数只能大于零。 基础过关 1.要使二次根式有意义，x的值不可以取（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2.以下二次根式中，未知数取任意实数都有意义的是（    ） A． B． C． D． 题型2 利用二次根式有意义的条件求值 【典例2】已知满足． （1）有意义，的取值范围是 ；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得 （2）根据（1）的分析，求的值． 【变式2-1】（22-23秋•珙县•期末模拟）已知y＝+﹣3，则xy＝（　　） A．﹣15 B．﹣9 C．9 D．15 【变式2-2】 若二次根式有意义，且是一个完全平方式，则满足条件的值为（　　） A. B. C. 12 D. 【变式2-3】 已知，则的值（ ） A. 2011 B. 2012 C. 2013 D. 2014 题型3 利用二次根式有意义的条件求取值范围 【典例3】（2024•四川雅安中考真题） 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 【变式3-1】函数中，自变量的取值范围在数轴上表示正确的是(    ) A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24春•江西宜春•期末模拟）使有意义的x的取值范围是_______． 【变式3-3】 若二次根式有意义，则的取值范围为______． 巩固练习 1． 下列各式中，属于二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2． 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3．（22-23秋•渠县•期中）已知x，y为实数，且满足++2，则xy的值为（　　） A．4 B．6 C．9 D．16 4．（21-22春•龙口•期末）已知a满足|2021﹣a|+＝a，则a﹣20212＝（　　） A．0 B．1 C．2021 D．2022 5．（21-22春•东莞•期中）已知实数a满足|a﹣2006|+＝a，那么a﹣20062的值是（　　） A．2005 B．2006 C．2007 D．2008 6．（23-24春•大理鹤庆•期中）在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7．函数y＝中自变量x的取值范围是（ ） A. x＞﹣3且x≠0 B. x≠0 C. x＞﹣3 D. x≠﹣3或x≠0 8．代数式有意义，则x的取值范围是(　　) A. x≥－1且x≠1 B. x≠1 C. x≥1且x≠－1 D. x≥－1 9．使代数式有意义的整数有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 10.使二次根式有意义的x的取值范围是______________． 11.＝2，则a＝ ． 12.若等式成立，则x的取值范围_______ 13.求下列二次根式中字母x的取值范围． (1)． (2)． (3)． (4)． 14.已知实数n满足等式m． （1）当m＝6时，求n的值； （2）若m，n都是正整数，求n的最小值． 试卷第 1 页，共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.1二次根式（第01讲） 题型汇总 知识点一 二次根式的概念 1 基础过关 1 题型1 二次根式的辨别 2 知识点二 二次根式有意义的条件 3 题型2 利用二次根式有意义的条件求值 4 题型3 利用二次根式有意义的条件求取值范围 6 巩固练习 7 知识点一 二次根式的概念 二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。 【注意】（1）二次根式中，被开方数a可以是具体的数或代数式。 （2）二次根式 中a是一个非负数。 基础过关 1．下列各式是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，逐一判断． 【解答】解：A、2＞0一定成立，被开方数是非负数，故选项正确； B、当m＜0时，二次根式无意义，故选项错误； C、被开方数为负数，二次根式无意义，故选项错误； D、是三次根式，故选项错误． 故选：A． 2．在式子，，，，中，是二次根式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】 【分析】二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，进而得出答案． 【解答】解：，，是二次根式，共3个． 故选：B． 题型1 二次根式的辨别 【典例1】（23-24春•大理鹤庆•期中）下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据形如（a≥0）的式子叫做二次根式判断即可． 【详解】解：A、当a+1＜0时，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、当a-1＜0时，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、当a=0时，a2-1=-1＜0，不二次根式，故此选项不符合题意； D、∵a2≥0，∴a2+2＞0，是二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式1-1】 下列各式是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义，掌握形如的式子是二次根式解题即可． 【详解】解：A. 是二次根式； B. 无意义，不是二次根式； C. 无意义，不是二次根式； D. ，根指数为，不是二次根式； 故选A． 【变式1-2】 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次根式的定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴一定是二次根式， 而、和中的被开方数均不能保证大于等于0，故不一定是二次根式， 故选：C． 【变式1-3】 下列各式是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义，掌握形如的式子是二次根式解题即可． 【详解】解：A. 是二次根式； B. 无意义，不是二次根式； C. 无意义，不是二次根式； D. ，根指数为，不是二次根式； 故选A． 知识点二 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，有意义。 注意：当二次根式存在在分母的位置时，被开方数只能大于零。 基础过关 1.要使二次根式有意义，x的值不可以取（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案． 【解答】解：要使二次根式有意义， 则x﹣3≥0， 解得：x≥3， 故x的值不可以取2． 故选：A． 2.以下二次根式中，未知数取任意实数都有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件,逐项分析计算得出答案． 【解析】A.当时，，二次根式无意义，A选项不符合题意； B.当时，，二次根式无意义，B选项不符合题意； C.当 时，，二次根式无意义，C选项不符合题意； D.在实数范围内，，，D选项符合题意． 故选：D 题型2 利用二次根式有意义的条件求值 【典例2】已知满足． （1）有意义，的取值范围是 ；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得 （2）根据（1）的分析，求的值． 【答案】（1）；；（2）2020 【解析】 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件，即可求出a的取值范围；根据a的取值范围，结合绝对值的意义，即可进行化简. （2）根据（1）的分析进行化简，求出，然后求出答案即可. 【详解】解：（1）∵有意义， ∴， ∴； ∴， ∴； 故答案为：；； （2）由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 【变式2-1】（22-23秋•珙县•期末模拟）已知y＝+﹣3，则xy＝（　　） A．﹣15 B．﹣9 C．9 D．15 【答案】A 【解析】解：∵y＝+﹣3， ∴， ∴x﹣5＝0， 解得：x＝5， ∴y＝﹣3， 故xy＝5×（﹣3）＝﹣15． 故选：A． 【变式2-2】 若二次根式有意义，且是一个完全平方式，则满足条件的值为（　　） A. B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义，可得的取值范围，根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：二次根式有意义， ∴，即， 又∵是一个完全平方式，即或， ∴或， ∴或，且， 故选：. 【变式2-3】 已知，则的值（ ） A. 2011 B. 2012 C. 2013 D. 2014 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式的被开方数是非负数、绝对值的计算法则求得的值，将其代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选C． 题型3 利用二次根式有意义的条件求取值范围 【典例3】（2024•四川雅安中考真题） 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，从而可得答案． 【详解】解：代数式有意义， 故答案为： 【变式3-1】函数中，自变量的取值范围在数轴上表示正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的范围，表示在数轴上即可． 【详解】解：由，得到x+2≥0， 解得：x≥-2， 表示在数轴上，如图所示： ， 故选D． 【变式3-2】（23-24春•江西宜春•期末模拟）使有意义的x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式得： x+1≥0， 解得x≥﹣1． 故答案为x≥﹣1． 【变式3-3】 若二次根式有意义，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 巩固练习 1．下列各式中，属于二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的定义逐项分析判断即可，形如的式子是二次根式． 【详解】解：A. 不是二次根式，故该选项不正确，不符合题意； B. ，不是二次根式，故该选项不正确，不符合题意； C. 是二次根式，故该选项正确，符合题意； D. 不是二次根式，故该选项不正确，不符合题意； 故选C 2．下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，有可能小于0，故不一定是二次根式，不合题意； B、，，故一定是二次根式，符合题意； C、，若时，无意义，不合题意； D、是三次根式，故此选项不合题意； 故选：B． 3．（22-23秋•渠县•期中）已知x，y为实数，且满足++2，则xy的值为（　　） A．4 B．6 C．9 D．16 【答案】C 【解析】解：由题意得： x﹣3≥0，3﹣x≥0， ∴x＝3， ∴y＝2， ∴xy＝32＝9， 故选：C． 4．（21-22春•龙口•期末）已知a满足|2021﹣a|+＝a，则a﹣20212＝（　　） A．0 B．1 C．2021 D．2022 【答案】D 【解析】解：由题意得： a﹣2022≥0， ∴a≥2022， ∴2021﹣a＜0， ∵|2021﹣a|+＝a， ∴a﹣2021+＝a， ∴＝2021， ∴a﹣2022＝20212， ∴a﹣20212＝2022， 故选：D． 5．（21-22春•东莞•期中）已知实数a满足|a﹣2006|+＝a，那么a﹣20062的值是（　　） A．2005 B．2006 C．2007 D．2008 【答案】C 【解析】解：由题意可得，a﹣2007≥0， ∴a≥2007， ∵|a﹣2006|+＝a， ∴a﹣2006+＝a， ＝2006， a﹣2007＝20062， ∴a﹣20062＝2007， 故选：C． 6．（23-24春•大理鹤庆•期中）在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．即根据二次根式的性质：被开方数大于等于0，列不等式求解，即可解题． 【详解】解：函数解析式为， 自变量x取值范围是，解得， 故选：B． 7． 函数y＝中自变量x的取值范围是（ ） A. x＞﹣3且x≠0 B. x≠0 C. x＞﹣3 D. x≠﹣3或x≠0 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式及分式有意义的条件求解即可得． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得：， 解得：， ∵在分母上， ∴， ∴． 故选：C． 8． 代数式有意义，则x的取值范围是(　　) A. x≥－1且x≠1 B. x≠1 C. x≥1且x≠－1 D. x≥－1 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式以及二次根式有意义的条件列出不等式求解即可. 【详解】依题意，得 x+1≥0且x﹣1≠0， 解得 x≥﹣1且x≠1． 故选A． 9． 使代数式有意义的整数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合代数式有意义的条件，分别根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得， ∴使代数式有意义的整数有，，0，1． 共有4个． 故选：B． 10.使二次根式有意义的x的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，列不等式求解即可． 【解析】解：由题意得：3+2x≥0，解得：． 故答案是． 11.＝2，则a＝ ． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据二次根式有意义的条件得到，再根据算术平方根的定义求解即可得出结果． 【详解】解： ， ，解得， 故答案为：． 12.若等式成立，则x的取值范围_______ 【答案】≥0且 【解析】 【分析】根据≥0，即可推出的正负． 【解答】解：∵ ∴≥0且 13.求下列二次根式中字母x的取值范围． (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)； (2)x为任意实数； (3)； (4)． 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0 ，即可求解． 【解析】（1）解：根据二次根式有意义的条件得：， 解得：； （2）解：根据二次根式有意义的条件得：， 解得：x为任意实数； （3）解：根据二次根式有意义、分式有意义的条件得：且， 解得； （4）解：根据二次根式有意义的条件得：， 解得． 14.已知实数n满足等式m． （1）当m＝6时，求n的值； （2）若m，n都是正整数，求n的最小值． 【答案】（1）n＝1.5；（2）m＝9 【解析】 【分析】（1）根据题意得出9+18n＝36，进而解答即可； （2）根据二次根式的定义进行分析解答即可． 【解答】解：（1）因为等式m，m＝6， 可得：9+18n＝36， 解得：n＝1.5； （2）因为实数m满足等式m3，m，n都是正整数， 当n＝4时．1+2n＝9， m＝9． 试卷第 1 页，共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$