第一单元 1.长方体和正方体的认识

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 一 长方体和正方体 1. 长方体和正方体的认识 长方体的认识及特征 一、基础知识讲解 1.长方体各部分的名称。 围成长方体的长方形（或正方形）叫做长方体的面，面和面相交的线段叫作 棱，棱和棱的交点叫作顶点。 注意：（1）两个面相交的线不能叫做长方体的“边”，应叫做“棱”。 （2）无论从哪个角度观察长方体，最多只能同时看到三个面。 2.长方体的特征。 （1）长方体有 6个面，12 条棱，8个顶点。 （一）长方体的认识及特征 （二）长方体有关棱长的应用 （三）正方体的特征 （四）正方体有关棱长的应用 模块导航 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 6 个面都是长方形的长方体 有 2个面是正方形的长方体 （2）长方体一般是由 6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围 成的立体图形。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 3.长方体的长、宽、高。 一般情况下（如右图 1所示），相交于同一顶点的三条棱长度不相等，这三 条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。长方体有 4条长、4条宽和 4条高， 它们的长度分别相等。 长方体的长、宽、高不是固定不变的，它们会根据长方体所放位置的不同而 改变。通常来讲，固定长方体的位置后，我们一般把底面中较长的棱叫做长，较 短的棱叫做宽，和底面垂直的棱叫做高（如右图 2所示）。 二、考法技法提炼 考法：长方体的认识。 解题方法：相交于同一顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高，一个长 前后横着的棱属于相对的棱；左右横着 的棱属于相对的棱；竖着的 4条棱属于 相对的棱。相对的棱互相平行；相交于 同一顶点的 3条棱互相垂直 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 方体中有 4条长、4条宽和 4条高，所有的长都相等，所有的宽都相等，所有的 高也都相等。 例题：如图，长方体的长是（ ）cm，宽是（ ）cm， 高是（ ）cm。这个长方体有（ ）个面是正方形，5cm 长的棱有（ ）条。 【答案】5 5 8 2 8 【分析】相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高；长 和宽相等，则上下两面都是正方形；长方体的长和宽都是 5厘米，长方体中长和 宽都分别有 4条。 【详解】长 5cm，宽 5cm，高 8cm； 长和宽相等，则上，下两个面都是正方形； 2×4＝8（条） 5cm 长的棱有 8条。 【点睛】本题考查长方体的认识，熟知长、宽、高的概念就能解决问题。 三、易错提示 易错点 1：误以为长方体的每个面都是长方形。 易错诠释：长方体一般是由 6个长方形围成的立体图形，也可以由 4个长方 形和 2个正方形围成。 例题：判断：长方体的每个面都是长方形。（ ） 【答案】× 【分析】长方体有 6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都 是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个 面完全相同。 【详解】长方体有 6个面，最多有 2个面是正方形，不一定都是长方形。 故答案为：×。 【点睛】本题考查长方体的基本特征。长方体的 6个面中最多可以有 2个面 是正方形。 易错点 2：误以为有 6个面，12 条棱、8个顶点的形体就是长方体。 易错诠释：长方体有 6个面，12 条棱、8个顶点，但有 6个面，12 条棱、8 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 个顶点的图形不一定是长方体，还有可能是正方体或梯形面的立体图形。 例题：判断：有 6个面，12 条棱、8个顶点的形体一定是长方体（ ） 【答案】× 【分析】有 6个面，12 条棱、8个顶点的立体图形可能是正方体、长方体或 者有梯形面的立体图形，还有其他情况。 【详解】有 6个面，12 条棱、8个顶点的形体不一定是长方体，还有可能是 正方体、长方体或者有梯形面的立体图形等。故答案为：×。 【点睛】本题考查长方体的基本特征，注意有 6个面，12 条棱、8个顶点的 形体一定是长方体，但长方体有 6个面，12 条棱、8个顶点。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 长方体有关棱长的应用 一、基础知识讲解 长方体棱长总和的计算方法。 因为一个长方体有 12 条棱，所以它的棱长总和就是 12 条棱的长度之和，也 就是 4条长、4条宽、4条高的长度之和。即长方体的棱长总和=4 条长+4 条宽+4 条高=（长+宽+高）×4。 二、考法技法提炼 考法 1：已知长方体的长、宽、高，求棱长和。 解题方法：长方体的棱长总和=4 条长+4 条宽+4 条高=（长+宽+高）×4。 例题 1：一个长方体长 10 厘米，宽 8厘米，高 6厘米，从一个顶点引出的 棱长和是（ ）厘米，所有的棱长和是（ ）厘米。 【答案】24 96 【分析】一个长方体的长 10 厘米，宽 8厘米，高 6厘米，从一个顶点引出 的棱长和，把一组长、宽、高相加即可，它的棱长之和是：（a+b+c）×4，据此 即可求解。 【详解】从一个顶点引出的棱长和是：10+8+6=24（厘米） 棱长和是：（10+8+6）×4 =24×4 =96（厘米） 答：从一个顶点引出的棱长和是 24 厘米，棱长和是 96 厘米。 故答案为 24，96。 【点睛】本题的关键是掌握长方体有关棱长的应用，长方体有 12 条棱，有 4条长，4条宽，4条高。 考法 2：已知总棱长求长、宽、高的和。 解题方法：长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，那么长方体的长、宽、高 的和就等于总棱长÷4。 例题 2：一个棱长之和是 72 厘米的长方体，长、宽、高的和是（ ）厘 米。 【答案】18 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 【分析】根据长方体的特征，12 条棱分为互相平行的 3组，每组 4条棱的 长度相等，长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，用棱长总和除以 4即可求出长、 宽、高的和。 【详解】72÷4=18（厘米） 答：这个长方体的长、宽、高的和是 18 厘米。 【点睛】本题主要根据长方体的特征和棱长总和的计算方法解决问题。 三、易错提示 易错点 1：总棱长求长、宽、高的和出错。 易错诠释：总棱长和一组长、宽、高的和的关系是：长方体的棱长总和=（长 +宽+高）×4，或一组长、宽、高的和=长方体的棱长总和÷4。 例题 1：判断：用一根长 60cm 的铁丝刚好焊成一个长方体框架，这个框架 中相交于一个顶点的 3条棱的长度和是 20cm。（ ） 【答案】× 【分析】把一根长 60cm 的铁丝焊成一个长方体框架，该长方体框架的棱长 总和即为 60cm，根据长方体的特征可知，长方体的棱长总和可以表示为（长+宽 +高）×4，据此解答。 【详解】长方体框架中相交于一个点的三条棱的长度之和可以表示为长方体 的（长+宽+高），根据长方体的棱长总和（长+宽+高）×4可知，60÷4=15（cm）， 所以这个框架中相交于一个顶点的 3条棱的长度和是 15cm。 故答案为：×。 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握长方体棱长的计算公式。 易错点 2：误以为一个长方体长、宽、高同时扩大到原来的 n倍，它的棱长 总和就扩大到原来的 3n 倍。 易错诠释：一个长方体长、宽、高同时扩大到原来的多少倍，它的棱长总和 也是扩大到原来的多少倍。 例题 2：判断：一个长方体长、宽、高同时扩大到原来的 2倍，那么它的棱 长总和扩大到原来的 6倍。（ ） 【答案】× 【分析】本题可设原来长、宽、高分别为 a、b、c，那么现在就分别为 2a、 2b、2c，分别表示出原来与现在的棱长总和，即可得出答案。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【详解】解：设原来长为 a，宽为 b，高为 c，则现在的长为 2a，宽为 2b， 高为 2c; 原来棱长总和：（a+b+c）×4=4×（a+b+c）。 现在棱长之和：（2a+2b+2c）×4=8×（a+b+c）。 棱长总和扩大：8（a+b+c）÷4（a+b+c）=2。 一个长方体长、宽、高同时扩大到原来的 2倍，那么它的棱长总和扩大到原 来的 2倍，原题说法错误。 故答案为：×。 【点睛】本题主要考查长方体的棱长总和计算公式。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 正方体的特征 一、基础知识讲解 1.正方体的特征。 正方体是由 6个完全相同的正方形围成的立体图形。正方体有 6个面、12 条棱和 8个顶点。6个面完全相同，12 条棱的长度都相等。 2.长方体和正方体的异同。 长方体 正方体 相同点 都有 6个面、12 条棱和 8个顶点。 不同点 6 个面都是长方形（特殊情况 有两个相对的面是正方形）， 相对的面完全相同。 6 个面都是完全相同的 正方形。 相对的棱的长度相等。 12 条棱的长度都相等。 在长方体中，如果相交于一个顶点的 3条棱的长度都相等，那么这个长方体 就是正方体；如果长方体中有 3个面是相同的正方形，那么也可以断定这个长方 体是正方体。 3.长方体和正方体之间的关系。 从上表中可以看出：长方体和正方体既有相同点，又有不同点。正方体具有 长方体的所有特征，所以正方体可以看成长、宽、高都相等的长方体，即正方体 是特殊的长方体。 二、考法技法提炼 考法 1：根据已知条件围成正方体或长方体。 解题方法：根据长方体和正方体的特征进行解答。长方体或正方体的六个面 中，上下、左右、前后面两两相对，长方体对面相等，正方体 6个面都相等。 例题 1：下图分别是长方体或正方体一个顶点处的 3条棱。（单位：cm） 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 从以下图形中选择 6个面（可重复选择），围出上面的长方体或正方体。 【答案】见详解。 【分析】长方体的特征：长方体有 12 条棱，其中 4条长，4条宽，4条高， 长、宽、高相交于一个顶点，4条长互相平行且相等，4条宽互相平行且相等，4 条高互相平行且相等；正方体特征：6个面都是正方形，且面积相等，8个顶点， 12 条棱长度都相等。 【详解】第一个：2个②，2个③，2个⑤； 第二个：4个⑤，2个⑥； 第三个：6个⑥。 【点睛】掌握长方体和正方体的特征是解题的关键。 考法 2：判断正方体相对面数字、字母或文字的问题。 解题方法：在判断正方体相对面的字母或数字是什么时，直接判断很困难， 可以先找出这个面相邻面的字母或数字是什么，再判断与这个面相对的面的字母 或数字是什么。 例题2：一个正方体，各面对应1～6六个数。如图所示，4的对面一定是（ ）。 A.1 B.2 C.3 D.5 【答案】C 【分析】正方体有六个面且六个面都是正方形，正方体中相邻的面不相对， 由左图和中图可知，1和 2、3、4、6是相邻面，则 1和 5是相对面，由中图和 右图可知，3和 1、2、5、6是相邻面，则 3和 4是相对面，剩下的 2和 6是相 对面，据此解答。 【详解】分析可知，1的对面是 5，3的对面是 4，2的对面是 6，所以 4的 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 对面一定是 3。故答案为：C。 【点睛】掌握正方体的特征理解相邻的面一定不是相对面是解答题目的关键。 三、易错提示 易错点：误以为从一个面看到是正方形就判定这个立体图形就是正方体。 易错诠释：一个立体图形，从一个面看到的是正方形，这个立体图形可能是 长方体，也可能是正方体。 例题：判断：一个立体图形，从一个面看到的是正方形，这个立体图形一定 是正方体。（ ） 【答案】× 【分析】长方体有 6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都 是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形；正方体有 6 个面，6个面都是正方形；据此判断。 【详解】根据长方体和正方体的特征可知，一个立体图形，从一个面看到的 是正方形，这个立体图形不一定是正方体，原题说法错误。 故答案为：×。 【点睛】此题考查了对长方体、正方体特征的掌握。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 正方体有关棱长的应用 一、基础知识讲解 正方体的棱长总和。 因为一个正方体有 12 条棱，所以它的棱长总和就是 12 条棱的长度之和。又 因为正方体 12 条棱的长度都相等，所以它的棱长总和=棱长×12。 二、考法技法提炼 考法 1：直接套用公式解决正方体的总棱长问题。 解题方法：正方体的棱长总和=棱长×12。 例题 1：填空：一个正方体的棱长是 3厘米，这个正方体所有棱长的和是 （ ）厘米。 【答案】36 【分析】根据正方体的棱长总和公式可知，正方体的棱长总和=棱长×12， 直接代入数据计算即可得解。 【详解】3×12=36（厘米） 即这个正方体所有棱长的和是 36 厘米。 【点睛】此题主要考查正方体的棱长总和的计算方法。 考法 2：求不完整的正方体的棱长和。 解题方法：在解决求长方体（正方体）的棱长之和的实际问题时，有时候不 是所有的棱长都要计算进去。 例题 2：五一期间，外地游客小明到“广州市场步行街”买到一个礼物，这 个礼物的礼盒是一个正方体，这个礼盒用打包带按如图 所示方法捆起来（打结处打包带长 20 厘米），一共要用 多少厘米的打包带？ 【答案】660 厘米 【分析】由图可知，正方体上下两个面分别需要计算 4条棱的长度，四个侧 面分别需要计算 2条棱的长度，一共需要计算（4×2+2×4）条正方体的棱长， 再乘正方体每条棱的长度，最后加上打结处打包带的长度，据此解答。 【详解】（4×2+2×4）×40+20 =（8+8）×40+20 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 =16×40+20 =640+20 =660（厘米） 答：一共要用 660 厘米的打包带。 【点睛】本题主要考查正方体棱长之和的应用，分析图形求出需要计算棱长 的数量是解答题目的关键。 考法 3：求正方体的棱长。 解题方法：在解决用固定长度的铁丝制作长方体或正方体框架的问题时，要 注意不变量，即棱长总和相同。在这个前提下，先根据已知条件求出长方体（正 方体）的棱长总和，再结合其他条件求出正方体（长方体）的棱长。 例题 3：小明和小刚用同样长的铁丝做框架。小明做了一个长方体框架，长 7厘米、宽 5厘米，高 6厘米。小刚做了一个正方体框架，棱长是多少厘米？（铁 丝都没有剩余） 【答案】6厘米 【分析】根据长方体的总棱长公式：L=（a+b+h）×4，据此求出铁丝的长度； 再根据正方体的总棱长公式：L=12a，即用铁丝的长度除以 12 即可求出正方体框 架的棱长。 【详解】（6+5+7）×4÷12 =18×4÷12 =72÷12 =6（厘米） 答：棱长是 6厘米。 【点睛】本题考查长方体和正方体的总棱长，熟记公式是解题的关键。 三、易错提示 易错点：正方形和正方体混淆不清，导致求棱长总和误求成周长。 易错诠释：正方形是个平面图形，周长=边长×4。正方体是立体图形，棱长 总和=棱长×12。 例题：判断：一个正方体的一条棱长为 5厘米，这个正方体的棱长总和是 20 厘米。（ ） 【答案】× 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 【分析】根据正方体的棱长总和=棱长×12，已知一个正方体的一条棱长为 5厘米，代入数据即可求出正方体的棱长总和，据此解答。 【详解】5×12=60（厘米） 即这个正方体的棱长总和是 60 厘米。 故答案为：× 【点睛】此题的解题关键是灵活运用正方体的棱长总和公式求解。 橙 子 学