复习专题02 一元二次方程的概念与解法（3重点+10考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（沪教版）

专题02 一元二次方程的概念与解法 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点 1 ：一元二次方程的概念 1.一元二次方程的定义 （1）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【易错提醒】 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （2）判断方法：一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2.一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点 2 ：解一元二次方程的方法 1.解一元二次方程——直接开平方法 形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得； 如果方程能化成的形式，那么． 【易错提醒】 ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 2.解一元二次方程——配方法 （1）将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 3.解一元二次方程——公式法 （1）把叫做一元二次方程的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 4.解一元二次方程——因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 5.换元法解一元二次方程 1、把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 知识点 2 ：根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 （1）一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 2.根与系数的关系 （1）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时， ， ，反过来也成立，即，． （2）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根． ②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数． ③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等． ④判断两根的符号． ⑤求作新方程． ⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 考点剖析 【考点1 一元二次方程的定义】 1．（2024秋•徐汇区校级期中）下列方程中，关于的一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义即可得出结果． 【解答】解：．未知数的最高次数是三次，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； ．，化为，是一元二次方程，符合题意； ．该方程是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； ．当时，未知数的最高次数是一次，不一定是一元二次方程，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程是解题的关键． 2．（2024秋•浦东新区校级月考）下列方程中，是一元二次方程的有　　 ①； ②； ③； ④； ⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个． 【答案】 【分析】根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程”，据此问题可求解． 【解答】解：①是一元二次方程，符合题意； ②不是一元二次方程，不符合题意； ③不是一元二次方程，不符合题意； ④是一元二次方程，符合题意； ⑤是一元二次方程，符合题意； 所以是一元二次方程的有3个， 故选：． 【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 3．（2024秋•杨浦区期中）下列关于的方程中，一元二次方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义进行逐一判断即可． 【解答】、当时，方程不是一元二次方程，不符合题意； 、整理后为，不是一元二次方程，不符合题意； 、，是一元二次方程，符合题意； 、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如，其中、、都是常数且的方程叫做一元二次方程． 4．（2023秋•黄浦区期末）下列方程是关于的一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【解答】解：、不是整式方程，是分式方程，故本选项不合题意； 、由原方程化简得，未知数的最高次数是1，故本选项不合题意； 、由原方程可得，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意． 、方程二次项系数可能为0，故本选项不合题意； 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 5．（2023秋•浦东新区校级期末）下列方程中，是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【解答】解：．等号左边是分式，不属于一元二次方程，不符合题意； ．化简以后不含二次项，不属于二元二次方程，不符合题意； ．是一元二次方程，符合题意； ．含有两个未知数，不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的定义，一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 【考点2 一元二次方程的一般形式】 1．（2024秋•闵行区期中）一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数，一次项系数，常数项分别为　　 A．1，8，4 B．1，， C．5，8，4 D．5，， 【答案】 【分析】方程经过展开、移项、整理可得一般形式，接下来就可得到二次项系数、一次项系数和常数项． 【解答】解：将左边展开得：， 移项、合并同类项得：， 二次项系数，一次项系数，常数项分别为1，，． 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程的一般形式、、为常数，，其特征是等式左边是含一个未知数的二次三项式，右边是0，其中叫做二次项，叫做二次项系数，叫做一次项，叫做一次项系数，叫做常数项． 2．（2024秋•浦东新区校级月考）方程的二次项系数和一次项系数分别为　　 A．2和3 B．1和 C．2和 D．2和 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一般形式确定出二次项系数与一次项系数即可． 【解答】解：方程化为一般形式为：， 的二次项系数和一次项系数分别为2和． 故选：． 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一般形式为，，为常数且是解决此题的关键． 3．（2024秋•普陀区校级期中）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为　　 A．3 B．0 C． D． 【答案】 【分析】方程整理为一般形式，根据常数项为0确定出的值即可． 【解答】解：方程整理得：， 由常数项为0，得到， 解得：（舍去）或， 则， 故选：． 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，其一般形式为． 4．（2024秋•静安区校级期中）把一元二次方程：化成一般式是　　． 【分析】通过去括号，移项，合并同类项，化成一元二次方程的一般形式． 【解答】解： 故答案为：． 【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，通过去括号，移项，合并同类项，可以得到一元二次方程的一般形式． 5．（2023秋•闵行区期末）若关于的一元二次方程的常数项为0，则　　． 【答案】． 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可确定出的值． 【解答】解：由已知方程得到：． 根据题意得：， 解得：或， 当时，方程为，不合题意， 则的值为， 故答案为：． 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 【考点3 一元二次方程的解】 1．（2024秋•浦东新区校级期中）若是方程的根，则的值为　　 A． B．0 C．1 D． 【答案】 【分析】是方程的根，知，即，结合可得，据此可得答案． 【解答】解：是方程的根， ，即， ， ， 则， 故选：． 【点评】本题主要考查一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 2．（2024秋•嘉定区期中）已知是一元二次方程的一个解，则的值是　　 A．或1 B．0 C．0或1 D．0或 【答案】 【分析】根据题意可得：把代入方程中得：，从而整理得：，然后进行计算即可解答． 【解答】解：把代入方程中得： ， 整理得：， ， 解得：或， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键． 3．（2024秋•闵行区校级期中）已知方程和方程的根完全相同，则　　． 【答案】． 【分析】先解方程得到，，再把代入方程中求出，接着解方程方程可得到，然后计算的值． 【解答】解：， ，， 把代入方程得，解得， 解方程方程，解得，， ， ． 故答案为． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 4．（2024秋•闵行区期中）已知一个一元二次方程有一个根是1，且它的一次项系数是，写出一个符合要求的方程：　（答案不唯一）　． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义即可求出答案． 【解答】解：由题意可设：， 将代入，得， ， 故该方程可为：． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型． 5．（2023秋•长宁区校级期末）已知是方程的一个根，那么　　． 【答案】． 【分析】将代入原方程即可求出的值． 【解答】解：将代入， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型． 【考点4 解一元二次方程-直接开平方法】 1．（2024秋•嘉定区月考）方程有解的条件是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】因为在中，左边是一个平方式，总是大于等于0，所以必须大于等于0． 【解答】解：， ， 被开方数必须为非负数，方程才有实数根． 即． 得． 故选：． 【点评】本题考查了利用平方根解方程，应当注意到在解方程时，要先看方程是否有解，再选择适当方法解题． 2．（2024秋•闵行区校级期中）已知关于的方程没有实数根，那么的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】根据直接开方法列出不等式即可求出的范围． 【解答】解：由题意可知：， ， 故答案为：． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法——直接开方法，本题属于基础题型． 3．（2024秋•杨浦区期中）方程的解是 　，　． 【答案】，． 【分析】利用直接开平方法求解即可． 【解答】解：， ， ， 解得，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 4．（2023秋•金山区校级月考）方程的根为 　，　． 【答案】，． 【分析】这个式子先移项，变成，从而把问题转化为求的平方根． 【解答】解：由原方程移项，得 ， 直接开平方，得 ， ； ，； 故答案为：，． 【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解． （1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；，同号且；；，同号且．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． （2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点． 5．（2024秋•嘉定区月考）解方程：． 【答案】，． 【分析】根据直接开方法即可求出答案． 【解答】解：， ， 两边直接开平方得：， 则，， 解得：，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 【考点5 解一元二次方程-配方法】 1．（2024秋•嘉定区校级月考）用配方法解方程，方程变形为，则　　 A．25 B．24 C．23 D．22 【答案】 【分析】利用配方法求解即可． 【解答】解：原方程变形得：， 配方得：， 即， 故，， ， 故选：． 【点评】本题考查了配方法，正确理解配方法是解题的关键． 2．（2023秋•宝山区期末）解方程：． 【答案】，． 【分析】利用配方法求解即可． 【解答】解：， ， ，即， ， ，． 【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 3．（2024秋•闵行区校级期中）用配方法解方程：． 【答案】，． 【分析】根据解一元二次方程配方法进行计算，即可解答． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．（2023秋•嘉定区期末）用配方法解方程：． 【分析】移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：， ， ， 配方得：， ， 开方得：， 解得：，． 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键． 5．（2024秋•黄浦区期中）用配方法解方程：． 【分析】根据配方法，可得答案． 【解答】解：移项，得 ， 二次项系数化为1，得 ， 配方，得 ， 开方，得 ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，配方是解题关键，配方法的步骤是移项，二次项系数化为1，配方，开方． 【考点6 解一元二次方程-公式法】 1．（2024秋•嘉定区月考）用公式法解方程，得 　，　． 【答案】，． 【分析】利用求根公式计算即可． 【解答】解：， △ ， ，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了解一元二次方程公式法，熟知求根公式是解题的关键． 2．（2023秋•虹口区校级期末）的根为 　　． 【答案】． 【分析】利用因式分解法求解即可． 【解答】解：， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 3．（2024秋•闵行区校级期中）解方程：． 【答案】，． 【分析】整理后利用公式法解方程即可． 【解答】解：， ，， ，，， △， ， ，． 【点评】本题考查解一元二次方程公式法，解题的关键是掌握公式法的步骤． 4．（2024秋•嘉定区期中）用公式法解方程：． 【答案】，． 【分析】先求出的值，再代入公式求出方程的解即可． 【解答】解：， ，，， △， ， ，． 【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键． 5．（2024秋•长宁区校级期中）解方程：． 【答案】． 【分析】求出的值，再代入公式求出即可． 【解答】解：方程整理得， △， ， ． 【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键． 【考点7 解一元二次方程-因式分解法】 1．（2024秋•闵行区期中）方程的根是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】先把原式化为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法求解即可． 【解答】解：原式可化为， ， 或， ，． 故选：． 【点评】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法求解是解题关键． 2．（2023秋•静安区校级期中）已知三角形两边长分别为4和8，第三边的长是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为　　 A．16 B．22 C．24 D．16或22 【答案】 【分析】根据方程求得方程的两根，再根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可． 【解答】解：， ， 解得，， 第三边的长为二次方程的一根，， 边长4，4，8不能构成三角形，4，8，10能构成三角形， 三角形的周长为， 故选． 【点评】本题考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，熟练掌握一元二次方程的解法及三角形三边关系是解题关键． 3．（2024秋•城中区校级月考）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 　12　． 【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长． 【解答】解：解方程， 得，， 第三边， 第三边长为5， 周长为． 【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论． 4．（2022秋•闵行区校级期中）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是 　13　． 【分析】先利用因式分解法解方程得到，，再根据三角形三边的关系确定第三边长的长，然后计算三角形的周长． 【解答】解：， ， 或， 解得，， 当时，，不符合三角形的三边关系定理，所以舍去， 当时，三角形三边分别为3、6、4，三角形的周长是， 故答案为：13． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系． 5．（2024秋•嘉定区校级月考）方程的根是 　　． 【答案】． 【分析】利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：， ， ， 则或， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 【考点8 换元法解一元二次方程】 1．（2024秋•嘉定区期中）若，为实数，，则 　36　． 【分析】设，则原方程变为，解关于的方程求得的值，进而即可求得的值． 【解答】解：设，则原方程变为， 即， ， ，， ， ，即， ． 故答案为36． 【点评】本题考查了解一元二次方程、解根式方程和分解因式等知识点，能正确进行换元是解此题的关键． 2．（2024秋•上海校级月考）已知，那么 　7　． 【答案】7． 【分析】设，则原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程得到即的值． 【解答】解：设，则， 整理，得 ， ， 解得或（舍去）， 则． 故答案为：7． 【点评】本题考查了换元法解一元二次方程．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 3．（2024秋•徐汇区校级月考）若、为实数，且，则　4　． 【答案】4． 【分析】根据题意，设，把原方程变形为：，整理后，根据解一元二次方程的方法求解即可． 【解答】解：设， 则原方程变形为：， 整理，得， ， 解得：或， ， ， ． 故答案为：4． 【点评】本题考查了用换元法解一元二次方程，掌握换元法解一元二次方程的方法是解题的关键． 4．（2024秋•闵行区期中）解方程：． 【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：， ， ，， ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法． 【考点9 根的判别式】 1．（2024秋•徐汇区校级期中）下列方程中，没有实数根的方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．一元二次方程中，没有实数根，即根的判别式△． 【解答】解：．△，方程有两个相等的实数根，不符合题意； ．△，方程没有实数根，符合题意； ．△，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； ．△，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△，熟练掌握判别式的特征是关键． 2．（2023秋•静安区校级期末）如果方程有实数根，那么的取值范围是　　 A．且 B．且 C． D． 【答案】 【分析】分当方程是一元二次方程时和当方程是一元一次方程时两种情况求解即可． 【解答】解：关于的方程有实数根， 当方程是一元二次方程时，△， 解得：，且； 当方程是一元一次方程时，则， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当△时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△时，一元二次方程没有实数根． 3．（2024秋•徐汇区校级期中）如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是　　 A． B． C． D．或 【答案】 【分析】需要分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程进行解答． 【解答】解：①当时，，该方程是一元一次方程，有实数根； ②当时，△， 整理的：， 解得：． 故的取值范围是且． 综合①②的取值范围是． 故选：． 【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与根的判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数；（3）△方程没有实数根． 4．（2023秋•崇明区期末）下列关于的方程中一定有实数解的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分别计算△，再根据△与0的关系来确定方程有无实数根． 【解答】解：、，△，故此方程无实数解，此选项错误； 、，△，故此方程有实数解，此选项正确； 、，△，故此方程无实数解，此选项错误； 、，△（由于的值不确定，故可以，可以，故此方程不一定有实数解，此选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是注意分三种情况进行讨论． 【考点10 根与系数的关系】 1．（2024秋•浦东新区校级期中）以关于的方程的两根的相反数为根的一元二次方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由，可得出△，进而可得出关于的方程有两个不相等的实数根，设关于的方程的两个实数根分别为，，利用根与系数的关系可得出，，进而可得出，，再结合根与系数的关系，可得出以原方程的两根的相反数为根的一元二次方程为． 【解答】解：， △， 关于的方程有两个不相等的实数根． 设关于的方程的两个实数根分别为，，则，， ，， 以关于的方程的两根的相反数为根的一元二次方程为． 故选：． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 2．（2024秋•杨浦区校级月考）下列方程的两个实数根的和为3的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据根的判别式，判断有无实数根的情况，再根据根与系数的关系，逐一判断即可． 【解答】解：．△，，此方程有两个不相等的实数根，且两实数根之和等于，故此选项错误； ．△，，此方程有两个不相等的实数根，且两实数根之和等于3，故此选项正确； ．△，，此方程有两个不相等的实数根，且两实数根之和等于2，故此选项错误； ．△，此方程没有实数根，故此选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式及根与系数的关系，若，是一元二次方程的两根时． 3．（2024秋•闵行区校级期中）设方程的一个根的3倍少7为另一个根，则 　　． 【答案】． 【分析】设方程的一个根为，则另一个根为，根据根与系数的关系得出，得出，另一个根为，进一步利用两根的积得出的数值即可． 【解答】解：设方程另一个根为， 方程的一个根的3倍少7为另一个根， 一个根为， 则， 解得， 因此． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两根分别为，，则，． 4．（2024秋•杨浦区校级月考）若三个整数、、使得方程的两个根为，，则的值为　18　． 【答案】18． 【分析】先通过根与系数之间的关系得到，，再通过计算得出的解，进而得出与的解，进而可得到答案． 【解答】解：与是方程的两个根，故通过韦达定理可得到，， 故， ， 为整数， 或， 故（舍，， ， ，故， ， 故答案为：18． 【点评】本题考查了根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系是解题关键． 5．（2024秋•闵行区校级期中）已知实数、满足，，则 　或2　． 【答案】或2． 【分析】先利用根与系数的关系得，，再利用分式加法的计算法则计算即可． 【解答】解：实数、满足，， 实数、是一元二次方程的两个实数根， 当时，，满足，， ， 当时，， 故答案为：或2． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及分式的加法、运用完全平方公式求值，若，是一元二次方程的两根时，，，能熟记根与系数的关系的是解此题的关键． 6．（2024秋•闵行区校级期中）写出一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一个根为3，这个方程的一般式是：　　． 【答案】． 【分析】先得出一元二次方程的一个根为2，另一个根为3得出关于的方程，再化为一般式即可． 【解答】解：一元二次方程的一个根为2，另一个根为3， 该方程为，即． 故答案为：． 【点评】本题考查的是根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，熟知以上知识是解题的关键． 过关检测 1．（2023秋•虹口区校级期末）下列方程中，是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：．该方程是分式方程，故本选项不符合题意； ．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； ．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； ．该方程化简可得，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 2．（2024秋•闵行区校级期中）下列一元二次方程中，有实数根的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】逐一计算出各个方程的判别式，根据判别式的符号即可判断方程是否有实数根． 【解答】解：、△，故原方程无实数根，不符合题意； 、△，故原方程无实数根，不符合题意； 、△，故原方程无实数根，不符合题意； 、△，故原方程有实数根，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当△时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△时，一元二次方程没有实数根． 3．（2024秋•上海校级月考）若一元二次方程的二次项系数为3，则该方程的常数项是 　　． 【答案】． 【分析】方程常数项移到左边整理为一般形式，找出常数项即可． 【解答】解：方程整理得， 所以方程的常数项为， 故答案为：． 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，，是常数且，特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 4．（2024秋•嘉定区校级月考）已知方程的一个根是，求代数式的值． 【答案】． 【分析】根据方程根的定义，转化为代数式的求值解答． 【解答】解：是方程的一个根， ， 或， 当时， ； 当时， ． 【点评】本题考查了一元二次方程根的解，代数式求值，掌握定义，活用整体思想是解题的关键． 5．（2024秋•浦东新区校级期中）设、是方程的两个有理根，已知，那么的值为 　1　． 【答案】1． 【分析】若一元二次方程、、为常数，的两根为、，则，，根据相关计算公式求解即可． 【解答】解：由题意可知：，， ， ，， 解得：，， ，， ， 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，熟练掌握相关计算公式是解题的关键． 6．（2024秋•长宁区校级期中）如果关于的方程的两个根为，，那么关于的方程的两个根为 　，　． 【答案】，． 【分析】先利用根与系数的关系得到，，则，，所以关于的方程化为，然后利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：关于的方程的两个根为，， ，， ，， 关于的方程化为， 即， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 7．（2024秋•上海校级月考）解方程：． 【分析】先两边都除以3，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：， ， 两边开方得：， 解得：，． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 8．（2024秋•杨浦区期中）用配方法解方程：． 【答案】，． 【分析】两边配上一次项系数一半的平方即可得到，然后利用直接开平方法求解． 【解答】解：， ，即， ， ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法：先把方程二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，然后把方程两边加上一次项系数的一半得平方，这样方程左边可写成完全平方式，再利用直接开平方法解方程． 9．（2024秋•杨浦区校级月考）解方程：． 【答案】． 【分析】设解关于的方程，进而即可求解． 【解答】解：设，则原方程为， ，△， ， ，． ． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程是关键． 10．（2024秋•嘉定区校级月考）方程的解为：　，　． 【分析】首先把方程移项，把方程的右边变成0，然后对方程左边分解因式，根据几个式子的积是0，则这几个因式中至少有一个是0，即可把方程转化成一元一次方程，从而求解． 【解答】解：移项得：， 即， 于是得：或． 则方程的解为：，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了因式分解法解二元一次方程，理解因式分解法解方程的依据是关键． 11．（2024秋•闵行区期中）已知、为实数，且，求的值． 【答案】5． 【分析】设，则有，解该方程，并结合，即可获得答案． 【解答】解：根据题意，， 设，则有， 整理可得， ， 或， 解得，， 因为，， 所以， 所以，即的值为5． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，换元法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程的概念与解法 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点 1 ：一元二次方程的概念 1.一元二次方程的定义 （1）只含有___________未知数，并且未知数的最高次数是___________的整式方程叫___________． 【易错提醒】 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （2）判断方法：一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2.一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的___________． 其中ax2叫做___________，a叫做___________；bx叫做___________；c叫做___________．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成___________形式． 知识点 2 ：解一元二次方程的方法 1.解一元二次方程——直接开平方法 形如或的一元二次方程可采用___________的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得； 如果方程能化成的形式，那么． 【易错提醒】 ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 2.解一元二次方程——配方法 （1）将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫___________法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 3.解一元二次方程——公式法 （1）把叫做一元二次方程的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是___________法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 4.解一元二次方程——因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 5.换元法解一元二次方程 1、把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 知识点 2 ：根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 （1）一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△___________0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△___________0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△___________0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 2.根与系数的关系 （1）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时， ， ，反过来也成立，即，． （2）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根． ②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数． ③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等． ④判断两根的符号． ⑤求作新方程． ⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 考点剖析 【考点1 一元二次方程的定义】 1．（2024秋•徐汇区校级期中）下列方程中，关于的一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•浦东新区校级月考）下列方程中，是一元二次方程的有　　 ①； ②； ③； ④； ⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个． 3．（2024秋•杨浦区期中）下列关于的方程中，一元二次方程是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•黄浦区期末）下列方程是关于的一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•浦东新区校级期末）下列方程中，是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【考点2 一元二次方程的一般形式】 1．（2024秋•闵行区期中）一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数，一次项系数，常数项分别为　　 A．1，8，4 B．1，， C．5，8，4 D．5，， 2．（2024秋•浦东新区校级月考）方程的二次项系数和一次项系数分别为　　 A．2和3 B．1和 C．2和 D．2和 3．（2024秋•普陀区校级期中）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为　　 A．3 B．0 C． D． 4．（2024秋•静安区校级期中）把一元二次方程：化成一般式是　 　． 5．（2023秋•闵行区期末）若关于的一元二次方程的常数项为0，则　 　． 【考点3 一元二次方程的解】 1．（2024秋•浦东新区校级期中）若是方程的根，则的值为　　 A． B．0 C．1 D． 2．（2024秋•嘉定区期中）已知是一元二次方程的一个解，则的值是　　 A．或1 B．0 C．0或1 D．0或 3．（2024秋•闵行区校级期中）已知方程和方程的根完全相同，则　 　． 4．（2024秋•闵行区期中）已知一个一元二次方程有一个根是1，且它的一次项系数是，写出一个符合要求的方程：　 　． 5．（2023秋•长宁区校级期末）已知是方程的一个根，那么　 　． 【考点4 解一元二次方程-直接开平方法】 1．（2024秋•嘉定区月考）方程有解的条件是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•闵行区校级期中）已知关于的方程没有实数根，那么的取值范围是 　 　． 3．（2024秋•杨浦区期中）方程的解是 　 　． 4．（2023秋•金山区校级月考）方程的根为 　 　． 5．（2024秋•嘉定区月考）解方程：． 【考点5 解一元二次方程-配方法】 1．（2024秋•嘉定区校级月考）用配方法解方程，方程变形为，则　　 A．25 B．24 C．23 D．22 2．（2023秋•宝山区期末）解方程：． 3．（2024秋•闵行区校级期中）用配方法解方程：． 4．（2023秋•嘉定区期末）用配方法解方程：． 5．（2024秋•黄浦区期中）用配方法解方程：． 【考点6 解一元二次方程-公式法】 1．（2024秋•嘉定区月考）用公式法解方程，得 　 　． 2．（2023秋•虹口区校级期末）的根为 　 　． 3．（2024秋•闵行区校级期中）解方程：． 4．（2024秋•嘉定区期中）用公式法解方程：． 5．（2024秋•长宁区校级期中）解方程：． 【考点7 解一元二次方程-因式分解法】 1．（2024秋•闵行区期中）方程的根是　　 A．， B．， C．， D．， 2．（2023秋•静安区校级期中）已知三角形两边长分别为4和8，第三边的长是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为　　 A．16 B．22 C．24 D．16或22 3．（2024秋•城中区校级月考）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 　 　． 4．（2022秋•闵行区校级期中）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是 　 　． 5．（2024秋•嘉定区校级月考）方程的根是 　 　． 【考点8 换元法解一元二次方程】 1．（2024秋•嘉定区期中）若，为实数，，则 　 　． 2．（2024秋•上海校级月考）已知，那么 　 　． 3．（2024秋•徐汇区校级月考）若、为实数，且，则　 　． 4．（2024秋•闵行区期中）解方程：． 【考点9 根的判别式】 1．（2024秋•徐汇区校级期中）下列方程中，没有实数根的方程是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•静安区校级期末）如果方程有实数根，那么的取值范围是　　 A．且 B．且 C． D． 3．（2024秋•徐汇区校级期中）如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是　　 A． B． C． D．或 4．（2023秋•崇明区期末）下列关于的方程中一定有实数解的是　　 A． B． C． D． 【考点10 根与系数的关系】 1．（2024秋•浦东新区校级期中）以关于的方程的两根的相反数为根的一元二次方程为　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•杨浦区校级月考）下列方程的两个实数根的和为3的是　　 A． B． C． D． 3．（2024秋•闵行区校级期中）设方程的一个根的3倍少7为另一个根，则 　 　． 4．（2024秋•杨浦区校级月考）若三个整数、、使得方程的两个根为，，则的值为　 　． 5．（2024秋•闵行区校级期中）已知实数、满足，，则 　 　． 6．（2024秋•闵行区校级期中）写出一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一个根为3，这个方程的一般式是：　 　． 过关检测 1．（2023秋•虹口区校级期末）下列方程中，是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•闵行区校级期中）下列一元二次方程中，有实数根的是　　 A． B． C． D． 3．（2024秋•上海校级月考）若一元二次方程的二次项系数为3，则该方程的常数项是 　 　． 4．（2024秋•浦东新区校级期中）设、是方程的两个有理根，已知，那么的值为 　 　． 5．（2024秋•长宁区校级期中）如果关于的方程的两个根为，，那么关于的方程的两个根为 　 　． 6．（2024秋•嘉定区校级月考）方程的解为：　 　． 7．（2024秋•嘉定区校级月考）已知方程的一个根是，求代数式的值． 8．（2024秋•上海校级月考）解方程：． 9．（2024秋•杨浦区期中）用配方法解方程：． 10．（2024秋•杨浦区校级月考）解方程：． 11．（2024秋•闵行区期中）已知、为实数，且，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$