复习专题01 二次根式（6重点+11考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（沪教版）

专题01 二次根式 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点 1 ：二次根式的概念 1.二次根式有意义的条件 （1）二次根式的概念：形如的式子叫做___________． （2）二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是___________． （3）二次根式具有非负性：是一个___________． 【规律方法】 二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点 2 ：二次根式的性质 1.二次根式的基本性质： ①双重非负性：___________ ② （任何一个非负数都可以写成一个数的___________的形式）． ③（算术平方根的意义） 2.二次根式的化简： ①利用二次根式的___________进行化简； ②利用___________和___________进行化简． ； 3.化简二次根式的步骤 ①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法总结】 二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 知识点 3 ：最简二次根式与同类二次根式 1.最简二次根式的概念： 被开方数不含___________；被开方数中不含___________． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做___________． 2.最简二次根式的条件： ①被开方数的因数是整数或字母，因式是整式； ②被开方数中___________可化为平方数或平方式的因数或因式． 3.同类二次根式： （1）概念：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的___________相同，就把这几个二次根式叫做___________． （2）合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，___________和___________不变． 【易混易错提醒】 （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 知识点 4 ：二次根式的运算 1.二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：___________ （2）二次根式的乘法法则：___________ （3）商的算术平方根的性质：___________ （4）二次根式的除法法则：___________ 【规律方法总结】 在使用性质时一定要注意的条件限制，如果，使用该性质会使二次根式无意义；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 2.分母有理化 （1）分母有理化是指___________． 分母有理化常常是___________（分母只有一项）或___________． 例如：①；② （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 3.二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 4.二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用． 注意： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点 5 ：二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 注意：结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 知识点 6 ：二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 考点剖析 【考点1 二次根式的定义】 1．（2024秋•浦东新区校级月考）下列式子一定是二次根式的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•长宁区校级期中）下列代数式，，33，，中，二次根式有　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．（2023春•路北区期末）若是二次根式，则，应满足的条件是　　 A．，均为非负数 B．，同号 C．， D． 【考点2 二次根式有意义的条件】 1．（2023秋•崇明区期末）若等式成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•浦东新区校级月考）已知满足，则的值为 　 　． 3．（2024秋•徐汇区校级期中）若，则 　 　． 【考点3二次根式的性质与化简】 1．（2024秋•浦东新区校级期中）二次根式化成最简结果为　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•徐汇区校级期中）化简：（其中 　 　． 3．（2024秋•徐汇区校级期中）将根号外的因式移到根号内得 　 　． 【考点4最简二次根式】 1．（2024秋•徐汇区校级期中）在下列各式中，是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•闵行区校级期中）下列二次根式中，最简二次根式是　　 A． B． C． D． 3．（2024秋•闵行区校级期中）下列根式中，是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【考点5二次根式的乘除法】 1．（2024秋•浦东新区校级期中）若是整数，且有意义，则的值是　　 A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5 2．（2022秋•浦东新区期中）下列等式正确的是　　 A． B． C． D．． 3．（2024秋•黄浦区期中）计算：　 　． 4．（2023秋•宝山区期末）计算：　 　． 【考点6分母有理化】 1．（2024秋•徐汇区校级期中）下列各式中，与互为有理化因式的是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•浦东新区期中）的一个有理化因式是　　 A． B． C． D． 3．（2024秋•嘉定区期中）的一个有理化因式是　　 A． B． C． D． 【考点7同类二次根式】 1．（2024秋•徐汇区校级期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•徐汇区校级期中）根式，，，中，与是同类二次根式的有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024秋•闵行区校级期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 【考点8二次根式的加减法】 1．（2023秋•浦东新区期末）化简： 　 　． 2．（2024秋•闵行区校级期中）计算：． 3．（2024秋•闵行区校级期中）计算：． 4．（2024秋•浦东新区校级期中）计算：． 【考点9二次根式的混合运算】 1．（2024秋•杨浦区期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•上海期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 3．（2024秋•崇明区期中）下列计算中，正确的是　　 A． B． C． D． 4．（2024秋•闵行区期中）下列等式正确的是　　 A． B． C． D． 5．（2024秋•普陀区期中）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【考点10二次根式的化简求值】 1．（2024秋•闵行区校级期中）已知实数满足，那么等于　 　． 2．（2024秋•静安区校级期中）当时，多项式的值为 　 　． 3．（2024秋•上海期中）已知，则代数式的值是 　 　． 4．（2024秋•徐汇区校级期中）已知，求代数式的值． 5．（2024秋•浦东新区校级期中）若为实数，求的值． 【考点11二次根式的应用】 1．（2024秋•徐汇区校级期中）不等式的解集为　 　． 2．（2024秋•徐汇区校级期中）不等式的解集是 　 　． 3．（2024秋•浦东新区校级期中）等腰三角形两边长分别是和，那么这个等腰三角形的周长是 　 　． 4．（2024秋•嘉定区期中）不等式的解集是 　 　． 过关检测 1．（2022秋•嘉定区期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数为　 　． 2．（2023秋•杨浦区校级期中）若是二次根式，则的值为 　 　． 3．（2024秋•闵行区校级期中）若二次根式有意义，则的取值范围是 　 　． 4．（2024秋•闵行区校级期中）化简：　 　． 5．（2024秋•静安区校级期中）下列各式中属于最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 6．（2024秋•浦东新区期中）下列二次根式中，最简二次根式是　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•杨浦区期末）计算：　 　． 8．（2023秋•金山区期末）计算：　 　． 9．（2024秋•黄浦区期中）对所有实数，，下列等式从左到右一定成立的是　　 A． B． C． D． 10．（2024秋•嘉定区校级月考）已知：，，则与的关系是　　 A． B． C． D． 11．（2024秋•浦东新区校级期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 12．（2024秋•浦东新区期中）下列二次根式中，与不是同类二次根式的为　　 A． B． C． D． 13．（2024春•浦东新区期末）下列运算中，正确的是　　 A． B． C． D． 14．（2024秋•松江区校级月考）下列结论正确的是　　 A． B．不是最简二次根式 C． D． 15．（2024秋•浦东新区校级期中）先化简，后求值：，其中，． 16．（2024秋•浦东新区期中）已知，，求出的值． 17．（2024秋•浦东新区期中）不等式的解集是 　 　． 18．（2024秋•长宁区校级期中）不等式的解集为 　 　． 19．（2024秋•嘉定区期中）计算：． 20．（2024秋•长宁区校级期中）计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点 1 ：二次根式的概念 1.二次根式有意义的条件 （1）二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性：是一个非负数． 【规律方法】 二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点 2 ：二次根式的性质 1.二次根式的基本性质： ①双重非负性：，. ② （任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③（算术平方根的意义） 2.二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ； 3.化简二次根式的步骤 ①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法总结】 二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 知识点 3 ：最简二次根式与同类二次根式 1.最简二次根式的概念： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 2.最简二次根式的条件： ①被开方数的因数是整数或字母，因式是整式； ②被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 3.同类二次根式： （1）概念：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． （2）合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【易混易错提醒】 （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 知识点 4 ：二次根式的运算 1.二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质： （2）二次根式的乘法法则： （3）商的算术平方根的性质： （4）二次根式的除法法则： 【规律方法总结】 在使用性质时一定要注意的条件限制，如果，使用该性质会使二次根式无意义；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 2.分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①；② （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 3.二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 4.二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用． 注意： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点 5 ：二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 注意：结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 知识点 6 ：二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 考点剖析 【考点1 二次根式的定义】 1．（2024秋•浦东新区校级月考）下列式子一定是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式进行判断即可． 【解答】解：， ， 一定是二次根式， 而、和中的被开方数均不能保证大于等于0，故不一定是二次根式， 故选：． 【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键． 2．（2023秋•长宁区校级期中）下列代数式，，33，，中，二次根式有　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】 【分析】形如的式子叫做二次根式．据此判断给出的式子有多少个二次根式． 【解答】解：形如的式子叫做二次根式． 在，，33，，中， 33不含根号，被开方数小于0，不符合要求，不是二次根式，其余3个是二次根式， 所以，二次根式有3个． 故选：． 【点评】本题主要考查二次根式的定义．解决问题的关键是理解：形如的式子叫做二次根式． 3．（2023春•路北区期末）若是二次根式，则，应满足的条件是　　 A．，均为非负数 B．，同号 C．， D． 【分析】根据二次根式的定义得出根式有意义的条件，再逐个判断即可． 【解答】解：是二次根式， ， 、、可以都是负数，故本选项错误； 、可以，故本选项错误； 、、可以都是负数，故本选项错误； 、，故本选项正确； 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的定义的应用，注意：当时，叫二次根式． 【考点2 二次根式有意义的条件】 1．（2023秋•崇明区期末）若等式成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求得答案． 【解答】解：若成立， 则， 故选：． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 2．（2024秋•浦东新区校级月考）已知满足，则的值为 　 　． 【答案】2025． 【分析】根据实数的性质可得，进而得到，则可求出． 【解答】解；有意义， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2025． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 3．（2024秋•徐汇区校级期中）若，则 　 　． 【答案】3． 【分析】由题意易得，，然后可得，，进而问题可求解． 【解答】解：由题意得：，， 解得， 把代入， ， ； 故答案为：3． 【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件、分数指数幂，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键； 【考点3二次根式的性质与化简】 1．（2024秋•浦东新区校级期中）二次根式化成最简结果为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，进而可得结果． 【解答】解：根据二次根式有意义的条件可知： ， 原式． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，解决本题的关键是掌握二次根式的性质． 2．（2024秋•徐汇区校级期中）化简：（其中 　 　． 【答案】． 【分析】根据二次根式的性质，得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【解答】解：二次根式有意义， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 3．（2024秋•徐汇区校级期中）将根号外的因式移到根号内得 　 　． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【解答】解：有意义， ， ， ， ， 原式， 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 【考点4最简二次根式】 1．（2024秋•徐汇区校级期中）在下列各式中，是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义解答即可． 【解答】解：、，不是最简二次根式，不符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意， 故选：． 【点评】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的条件是解题的关键． 2．（2024秋•闵行区校级期中）下列二次根式中，最简二次根式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可． 【解答】解：、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 、被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 、被开方数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是关键． 3．（2024秋•闵行区校级期中）下列根式中，是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【解答】解：、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 【考点5二次根式的乘除法】 1．（2024秋•浦东新区校级期中）若是整数，且有意义，则的值是　　 A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求得答案． 【解答】解：有意义， ， 解得：， 是整数， 或4或5， 原式或1， 故选：． 【点评】本题考查二次根式的乘除法，二次根式有意义的条件，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 2．（2022秋•浦东新区期中）下列等式正确的是　　 A． B． C． D．． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的性质分别化简，进而得出答案． 【解答】解：．，故此选项符合题意； ．，故此选项不合题意； ．，故此选项不合题意； ．，故此选项不合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算以及二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键． 3．（2024秋•黄浦区期中）计算：　 　． 【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【解答】解：原式． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键． 4．（2023秋•宝山区期末）计算：　 　． 【分析】本题需先对二次根式进行化简，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可求出结果． 【解答】解：， ， ． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，在解题时要能根据二次根式的乘法法则，求出正确答案是本题的关键． 【考点6分母有理化】 1．（2024秋•徐汇区校级期中）下列各式中，与互为有理化因式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据有理化因式的定义进行判断即可． 【解答】解：根据互为有理化因式定义可知： 与互为有理化因式的是， 故选：． 【点评】本题考查了是分母有理化，熟练掌握两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式称作互为有理化因式是解题的关键． 2．（2024秋•浦东新区期中）的一个有理化因式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】有理化因式是指两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个二次根式互为有理化因式，由此解答即可． 【解答】解：， 的一个有理化因式是， 故选：． 【点评】本题考查了分母有理化，熟练掌握有理化因式的概念是解题的关键． 3．（2024秋•嘉定区期中）的一个有理化因式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据有理化的定义以及二次根式的乘除法则解决此题． 【解答】解：、根据二次根式的乘法法则，不是的一个有理化因式，故不符合题意； 、，是的一个有理化因式，故符合题意； 、根据二次根式的乘法法则，不是的一个有理化因式，故不符合题意； 、根据二次根式的乘法法则，不是的一个有理化因式，故不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查分母有理化，熟练掌握有理化的定义以及二次根式的乘除法则是解决本题的关键． 【考点7同类二次根式】 1．（2024秋•徐汇区校级期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质对各数进行化简，然后根据同类二次根式的定义判断作答即可． 【解答】解：由题意知，， 、，与不是同类二次根式，故不符合题意； 、，与不是同类二次根式，故不符合题意； 、，与不是同类二次根式，故不符合题意； 、，与是同类二次根式，故符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，同类二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，同类二次根式是解题的关键． 2．（2024秋•徐汇区校级期中）根式，，，中，与是同类二次根式的有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】根据同类二次根式的定义解答即可． 【解答】解：与不是同类二次根式； 与是同类二次根式； 与不是同类二次根式 只有与是同类二次根式，共1个， 故选：． 【点评】本题考查了同类二次根式的定义，熟知几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 3．（2024秋•闵行区校级期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据同类二次根式的定义进行解题即可． 【解答】解：、与不是同类二次根式，不符合题意； 、，与是同类二次根式，符合题意； 、，与不是同类二次根式，不符合题意； 、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查同类二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【考点8二次根式的加减法】 1．（2023秋•浦东新区期末）化简： 　 　． 【分析】根据二次根式的性质解答即可． 【解答】解：， ， 原式． 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次根式的性质，熟知二次根式具有非负性是解题的关键． 2．（2024秋•闵行区校级期中）计算：． 【答案】． 【分析】先化简各个二次根式，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式加减运算法则是关键． 3．（2024秋•闵行区校级期中）计算：． 【答案】． 【分析】先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．（2024秋•浦东新区校级期中）计算：． 【答案】． 【分析】先去括号，再把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式的加减法则是解题的关键． 【考点9二次根式的混合运算】 1．（2024秋•杨浦区期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式的加减法对进行判断；根据二次根式的除法法则对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断． 【解答】解：、与不能合并，所以选项错误； 、原式，所以选项正确； 、原式，所以选项错误； 、原式，所以选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 2．（2024秋•上海期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用分母有理化可对进行判断；根据二次根式的加减运算可对进行判断；利用二次根式的性质可对进行判断；根据二次根式的乘法法则可对进行判断． 【解答】解：、原式，所以选项错误； 、与不能合并，所以选项错误； 、原式，所以选项错误； 、原式，所以选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 3．（2024秋•崇明区期中）下列计算中，正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用二次根式的加减法对进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；利用分母有理化对进行判断；根据二次根式的性质对进行判断． 【解答】解：．与不能合并，所以选项不符合题意； ．原式，所以选项符合题意； ．原式，所以选项不符合题意； ．原式，所以选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． 4．（2024秋•闵行区期中）下列等式正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质与混合运算逐项分析判断，即可求解． 【解答】解：．，故该选项不正确，不符合题意； ．，故该选项不正确，不符合题意； ．，故该选项不正确，不符合题意； ．，故该选项正确，符合题意， 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 5．（2024秋•普陀区期中）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘法运算法则与二次根式的化简逐一分析各选项即可． 【解答】解：、，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意， 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 【考点10二次根式的化简求值】 1．（2024秋•闵行区校级期中）已知实数满足，那么等于　 　． 【分析】实数满足，如果，，得，符合； 如果，，得，不符合； 如果，得，不符合； 所以得出的范围为． 然后化简即可． 【解答】解：讨论的范围 如果，，得，符合； 如果，，得，不符合； 如果，得，不符合； 所以得出的范围为． 所以． 所以本题的答案为． 【点评】此题应注意的取值范围，考查绝对值与开跟后的取值正负问题． 2．（2024秋•静安区校级期中）当时，多项式的值为 　 　． 【答案】． 【分析】根据已知条件，得到，进而得到，将多项式转化为，再代值计算即可． 【解答】解：， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 3．（2024秋•上海期中）已知，则代数式的值是 　 　． 【答案】0． 【分析】根据，可以得到的值，然后将所求式子变形，再将的值整体代入计算即可． 【解答】解：， ， ， 故答案为：0． 【点评】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 4．（2024秋•徐汇区校级期中）已知，求代数式的值． 【分析】先将、分母有理化，再将、的值代入因式分解后的代数式即可解答． 【解答】解：； ． 原式． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟悉分母有理化及因式分解即可轻松解答． 5．（2024秋•浦东新区校级期中）若为实数，求的值． 【答案】． 【分析】根据二次根式有意义的条件求出的值，然后根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：根据题意得， ， 解得， ． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，正确求出的值是解题的关键． 【考点11二次根式的应用】 1．（2024秋•徐汇区校级期中）不等式的解集为　 　． 【答案】． 【分析】先移项、合并同类项，再系数化为1即可求解． 【解答】解：， 移项得、：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了分母有理化和求不等式解集，解题关键熟练掌握分母有理化方法，准确进行计算． 2．（2024秋•徐汇区校级期中）不等式的解集是 　 　． 【答案】． 【分析】按照解不等式的步骤进行即可． 【解答】解：移项得：， 合并同类项得：， 解得：， ； 故答案为：． 【点评】本题考查了解一元一次不等式和二次根式分母有理化，熟练掌握分母有理化是关键． 3．（2024秋•浦东新区校级期中）等腰三角形两边长分别是和，那么这个等腰三角形的周长是 　 　． 【答案】． 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长是和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解答】解：分情况讨论： ①当三边是，，时，符合三角形的三边关系，此时周长为； ②当三角形的三边是，，时，不符合三角形的三边关系，构成不了三角形． 这个等腰三角形的周长是； 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 4．（2024秋•嘉定区期中）不等式的解集是 　 　． 【答案】． 【分析】按照解一元一次不等式的步骤计算即可． 【解答】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的计算和解一元一次不等式，熟练掌握分母有理化和解一元一次不等式的步骤是解题关键． 过关检测 1．（2022秋•嘉定区期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数为　 　． 【分析】因为是整数，且，则是完全平方数，满足条件的最小正整数为5． 【解答】解：，且是整数； 是整数，即是完全平方数； 的最小正整数值为5． 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式得出是解题关键． 2．（2023秋•杨浦区校级期中）若是二次根式，则的值为 　 　． 【答案】4． 【分析】根据二次根式的定义得到且，然后解方程和不等式得到满足条件的的值． 【解答】解：是二次根式， ， 解得，， ， ． 故答案为：4． 【点评】本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式． 3．（2024秋•闵行区校级期中）若二次根式有意义，则的取值范围是 　 　． 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得，解不等式求范围． 【解答】解：根据题意，使二次根式有意义，即， 解得； 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的意义，只需使被开方数大于或等于0即可． 4．（2024秋•闵行区校级期中）化简：　 　． 【答案】． 【分析】根据最简二次根式的定义，需将根式内的分母去掉，因此要根据的符号和被开方数的非负性判断出的符号，然后再化简． 【解答】解：由条件可知：， ． 【点评】本题考查化简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是关键． 5．（2024秋•静安区校级期中）下列各式中属于最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【解答】解：、是最简二次根式，符合题意； 、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 6．（2024秋•浦东新区期中）下列二次根式中，最简二次根式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【解答】解：、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 7．（2023秋•杨浦区期末）计算：　 　． 【答案】． 【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 8．（2023秋•金山区期末）计算：　 　． 【答案】． 【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的乘法，掌握运算法则是解题的关键． 9．（2024秋•黄浦区期中）对所有实数，，下列等式从左到右一定成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】．根据算术平方根的非负性质判断即可； ．根据二次根式有意义的条件判断即可； ．根据偶次方的非负性质判断即可； ．根据二次根式乘法运算法则计算即可． 【解答】解：当时，， 当时，， 不一定成立，不符合题意； 当且时，， 当且时，和均无意义， 不一定成立，不符合题意； ， 不成立，不符合题意； ， 一定成立，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查分母有理化、二根式的性质与化简、二次根式乘除法，掌握算术平方根和偶次方的非负性质、二次根式有意义的条件、二次根式乘法运算法则是解题的关键． 10．（2024秋•嘉定区校级月考）已知：，，则与的关系是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先分母有理化求出、，再分别代入求出、、、、，求出每个式子的值，即可得出选项． 【解答】解：分母有理化，可得，， ，故选项错误； ，故选项错误； ，故选项正确； ，， ，故选项错误； 故选：． 【点评】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键． 11．（2024秋•浦东新区校级期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】将各选项中的二次根式化为最简，然后根据同类二次根式的被开方数相同即可判断出答案． 【解答】解：、，，两者被开方数相同，是同类二次根式，故本选项正确； 、与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误； 、，，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误； 、，，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误． 故选：． 【点评】此题考查了同类二次根式的知识，属于基础题，解答本题需要掌握二次根式的化简法则及同类二次根式的被开方数相同． 12．（2024秋•浦东新区期中）下列二次根式中，与不是同类二次根式的为　　 A． B． C． D． 【分析】根据同类二次根式的概念进行分析排除，即几个最简二次根式的被开方数相同，则它们是同类二次根式． 【解答】解：、，与是同类二次根式； 、，与是同类二次根式； 、，与不是同类二次根式； 、，与是同类二次根式． 故选：． 【点评】此题考查了同类二次根式的概念，关键是能够正确把二次根式化成最简二次根式． 13．（2024秋•嘉定区期中）计算：． 【答案】． 【分析】直接化简二次根式，再合并同类二次根式得出答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键． 14．（2024秋•长宁区校级期中）计算：． 【答案】． 【分析】根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 15．（2024春•浦东新区期末）下列运算中，正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：、，原计算错误，不符合题意； 、，原计算错误，不符合题意； 、，原计算错误，不符合题意； 、，正确，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 16．（2024秋•松江区校级月考）下列结论正确的是　　 A． B．不是最简二次根式 C． D． 【答案】 【分析】根据最简二次根式，二次根式的性质与化简，二次根式的除法法则进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：、，故不符合题意； 、是最简二次根式，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式有意义的条件，最简二次根式，二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17．（2024秋•浦东新区校级期中）先化简，后求值：，其中，． 【答案】；． 【分析】先分别将分子、分母进行因式分解，再约分、合并同类项得到最简结果，最后将，的值代入计算即可． 【解答】解：原式 ． 当，时，原式． 【点评】本题考查二次根式的化简求值、分式的化简求值、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 18．（2024秋•浦东新区期中）已知，，求出的值． 【答案】． 【分析】先化简和，求出，，代入化简后的式子计算即可． 【解答】解：，， ，， 原式 ． 【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 19．（2024秋•浦东新区期中）不等式的解集是 　 　． 【答案】． 【分析】先移项，合并同类项，系数化为1，再根据二次根式的性质化简即可求解． 【解答】解：， ， 解得， 即． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式，二次根式的应用，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 20．（2024秋•长宁区校级期中）不等式的解集为 　　． 【答案】． 【分析】根据解一元一次不等式的步骤求解即可． 【解答】解：， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的应用，解一元一次不等式，解题的关键是掌握解不等式的方法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$