1.1 二次根式（4大题型提分练，同步练习）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（浙教版）

1.1二次根式 题型一 二次根式的概念 1．在下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．在式子，，，，，，中，二次根式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．请写出一个大于2且小于3的二次根式： ． 题型二 二次根式有意义的条件 1．式子有意义的条件是 ． 2．函数中自变量x的取值范围是 ． 3．成立的条件是（    ） A． B． C． D． 4．函数中自变量x的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 5．在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 题型三 求二次根式的值 1．已知那么 ． 2．当时，二次根式的值为 ． 3．当时，二次根式的值是 4．已知函数，那么 ． 5．当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 题型四 求二次根式的参数 1．若，满足，则 ． 2．已知，则 ． 3．若x，y为实数，且，则 ． 4．任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算． (1)用含m的代数式表示该程序的运算过程并化简； (2)当时，求输出的结果． 1．观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（　　） A． B． C． D． 2．已知，则值等于 ． 3．如图，方格纸中每个小方格的边长为．求的周长．    4．一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． 5．化简求值：，其中． 6．已知、、满足． (1)求 、、 的值； (2)判断： 以 、、为三角形的三边长能否构成三角形?若能，判断这个三角形的形状；若不能，请说 明理由． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1二次根式 题型一 二次根式的概念 1．在下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式．二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2，根据概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、，被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； B、，根指数为3，不是二次根式，不符合题意； C、，不能确定被开方数是否为非负数，不一定是二次根式，不符合题意； D、，能满足被开方数为非负数，故是二次根式，符合题意； 故选：D． 2．在式子，，，，，，中，二次根式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如“”这样的式子是二次根式．根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：，，，，是二次根式， ，没有意义， 不是二次根式， 是整式， 即二次根式有4个， 故选：C． 3．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可． 【详解】解：①当时，不是二次根式； ②当时，不是二次根式； ③是二次根式； ④当时，不是二次根式； ⑤是二次根式； ⑥是二次根式． 故选B． 4．请写出一个大于2且小于3的二次根式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意得出，，然后取根式即可． 【详解】解：∵，， ∴大于2且小于3的二次根式为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】题目主要考查二次根式的比较大小，熟练掌握比较大小的方法是解题关键． 题型二 二次根式有意义的条件 1．式子有意义的条件是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查代数式有意义，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 2．函数中自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为： 3．成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件， 根据二次根式有意义的条件可得出， 解一元一次不等式即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：， 解得∶， 故选：B. 4．函数中自变量x的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】考查了函数自变量的范围，根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出的范围． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：且． 故选：A． 5．在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件．首先根据二次根式中被开方数为非负数可得，根据分式的分母不为可得，从而可得函数中，自变量的取值范围． 【详解】解：中是被开方数， ， ， 中是分母， ， ， 函数中，自变量的取值范围是且． 故选：D ． 题型三 求二次根式的值 1．已知那么 ． 【答案】81 【分析】先求出x值，再求平方即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：81． 【点睛】本题考查了二次根式的意义，掌握二次根式的意义和运算方法是正确求解的基本方法． 2．当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义以及二次根式求值．代入求值是解题的关键． 把的值代入已知二次根式中，然后将其化为最简二次根式． 【详解】解：把代入，得． 故答案为：． 3．当时，二次根式的值是 【答案】1 【分析】本题考查二次根式求值． 将的值代入计算可得． 【详解】解：将代入，得：， 故答案为：1． 4．已知函数，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据被开方数是非负数且分母不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， 解得． 故答案为：． 5．当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． （2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：当 时， ； （2）解： 当 时， ． 题型四 求二次根式的参数 1．若，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解： ， ，， ，， ， 故答案为：． 2．已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，同底数幂的乘法，积的乘方等知识，先利用二次根式有意义的条件，分式有意义的条件求出x的值，从而得出y的值，代入中，利用同底数幂的乘法公式，积的乘方公式求解即可． 【详解】解：依题意得：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 3．若x，y为实数，且，则 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，继而解得，则，再代入求值． 【详解】解：由题意得， ∴解得：， ∴， ∴， 故答案为：2024． 4．任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算． (1)用含m的代数式表示该程序的运算过程并化简； (2)当时，求输出的结果． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了代数式求值，正确得出运算程序是解题的关键． （1）直接利用运算程序进而得出关于m的代数式； （2）把已知数据代入求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）解：当时， ， ∴输出的结果是． 1．观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的知识，关键是仔细观察所给的式子，根据所给的式子得出规律．仔细观察所给式子，可得出根号外面的数字等于被开方数中的分子，被开方数的分母为分子上的数的平方减去1，依据规律进行计算即可． 【详解】解：根据所给式子的规律可得：， 解得：． 故选：B． 2．已知，则值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值性质的应用以及实数混合运算，由二次根式定义可知，，所以，故方程为，可得，代入即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 3．如图，方格纸中每个小方格的边长为．求的周长．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键．利用勾股定理确定、的长即可得解． 【详解】解：由题意可得，， ∴根据勾股定理，得 ∴的周长． 4．一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据算术平方根把公式变形即可； （）把，代入即可求解； 本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：当，时， ∴． 5．化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先将除法转化为乘法，再约分，然后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，再根据二次根式有意义的条件求出，；最后把x与y的值代入化简后的式子，计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵， ∴，， ∴，， ∴原式． 6．已知、、满足． (1)求 、、 的值； (2)判断： 以 、、为三角形的三边长能否构成三角形?若能，判断这个三角形的形状；若不能，请说 明理由． 【答案】(1)，， (2)以 、、为三角形的三边长能构成三角形，这个三角形是直角三角形 【分析】（1）根据非负数之和等于零，则每个非负数等于零，分别建立方程求解即可； （2）用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形；然后根据勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ，，， 解得：，，； （2） ，，，且， ， 以 、、为三角形的三边长能构成三角形； ， 这个三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查了非负数的性质，二次根式有意义的条件和构成三角形的条件，勾股定理的逆定理，解题的关键是灵活运用相关知识． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$