专题09：数学广角——数与形-2024-2025学年六年级数学寒假专项提升（人教版）

专题09：数学广角——数与形 本专题主要针对数与形的内容进行逐层巩固拔高拓展，包括： 1. 掌握数形结合的方法； 2. 归纳递推； 3. 解决相关实际问题。 1．如图，观察下列正三角形的三个顶点所标的数字规律，那么2014这个数在第（    ）个三角形的（    ）顶点处。 A．223，上 B．672，左下 C．672，右下 D．672，上 2．下列哪一幅图的规律和其他图不一样？（    ）。 A． B． C． D． 3．与1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1表示相同结果的算式是（    ）。 A．92 B．112 C．132 D．72＋62 4．按照下面3幅图的规律，如果每个圆的直径都是10厘米，那么第10个图形长（    ）厘米。    A．50 B．55 C．95 D．100 5．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，n等于（    ）。 A．72 B．90 C．92 D．88 6．运用规律算一算。 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝( ) 7＋9＋11＋13＋15＝( ) 7．按1，，，，……中的规律，第5个数应该是( )，这一列数越来越接近( )。 8．一个细胞，一分钟后变成2个，10分钟后细胞的个数是( )。 9．根据下面的方式摆棋子，摆第5个图案需要( )枚棋子，摆第n个图案需要( )枚棋子。 10．按规律填数。 （1）÷＝－，请再写1个具有这种规律的式子：÷＝－。 （2），，□，，…这一列数中的第三个被遮住了，它的第15个数是（    ）。 11．“转化”是解决问题的常用策略之一，有时画图可以帮助我们找到转化的方法，例如借助如图，计算。 12．八百多年前，意大利数学家莱昂纳多•斐波那契提出了“斐波拉契数列”，生活中又称“兔子数列”。意思是：假设有一对刚出生的兔子，它们在第一个月长大成年，并在之后的每个月都生出一对幼崽，而这些幼崽在长大后，也都会以同样的周期继续繁殖（如图所示），按照这种规律依此类推，在之后的每个月中各有多少对兔子呢？其结果就会形成这样一组数1、1、2、3、5、8、13、21、34…此时我们便会看到从这组数的第三项开始，每一项都是前两项之和，这便是神奇的“斐波拉契数列”，又因为从第三项起，前一项除以后一项所得商都接近0.618，所以称“黄金分割数列”。 （1）根据这组数的规律填一填：1、1、2、3、5、8、13、21、34、（    ）、（    ）、… （2）这组数的第100个数是奇数还是偶数？请说明理由。    13．各代表一个数字，下面每个图案都是由中的两个图形（可以是相同的）构成的。观察各图形与它下面的数之间的关系，请你写出最后面图形下面的“？”表示什么。 14．填数游戏：在4×4的方格中，按1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1的顺序依次填入左右或上下相邻的十六个格子内（不能斜向填入另一格），每个格子只能填一个数字。图（1）是按要求填写的（图中箭头表示填写顺序），请你完成另外四个图。 15．我国宋代数学家杨辉在1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。你能发现下面“杨辉三角”图中各数之间的关系吗？你能按照发现的规律把这个三角形图继续写下去吗？试试看。 1．D 【分析】由图可知，每个正三角形三个顶点处是三个连续的自然数，从1开始，按上、左下、右下的顺序往下，把三个连续自然数看作一个周期，用2014除以3得到三角形的个数，如果商是整数且没有余数，那么商是三角形的个数；如果商是整数并且有余数，那么（商＋1）是三角形的个数，余数是几，就按照上、左下、右下的顺序数出对应的顶点，据此解答。 【详解】2014÷3＝671……1 671＋1＝672（个） 那么2014这个数在第672个三角形的上顶点处。 故答案为：D 2．B 【分析】 由A、C、D选项综合分析，图形规律为（右÷左）×2＝上，B选项和其他图不一样。 【详解】A．9÷6×2 ＝×2 ＝3 规律为（右÷左）×2＝上 B．18÷3×2 ＝6×2 ＝12 12≠6 规律不符合（右÷左）×2＝上 C． 规律为（右÷左）×2＝上 D．0.8÷2.8×2 规律为（右÷左）×2＝上 故答案为：B 【点睛】熟练计算分数乘除法、小数乘除法，且能够结合数的所在位置进行猜测、推理，需要较强的数感。 3．D 【分析】把算式1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1看作两部分： 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13和11＋9＋7＋5＋3＋1，“根据连续奇数的和等于奇数个数的平方”可得，1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝72，11＋9＋7＋5＋3＋1＝62，据此解答。 【详解】由分析可知： 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1 ＝（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13）＋（11＋9＋7＋5＋3＋1） ＝72＋62 ＝49＋36 ＝85 故答案为：D 【点睛】本题是找规律的题型，从已知的数据中找到规律，并按规律解题。 4．B 【分析】观察题意可知，第1个图形长（5＋1×5）厘米，第2个图形长（5＋2×5）厘米，第3个图形长（5＋3×5）厘米，……以此类推，第n个图形长厘米；据此解答。 【详解】第1个图形长10厘米， 第2个图形长15厘米， 第3个图形长20厘米， …… 所以第n个图形长：厘米 当n＝10时， 5＋5×10 ＝5＋50 ＝55（厘米） 故答案为：B 【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。 5．C 【分析】根据题意，结合图形可以分析出第四个正方形左下角的数与第三个正方形右上角的数相等，第四个正方形右上角的数是同个正方形左下角的数再加上2，即可得出第四个正方形左下角的数为9，右上角的数为11，再分析出规律为：第一个正方形右下角的数是3×5－1；第二个正方形右下角的数是5×7－3；第三个正方形右下角的数是7×9－5，以此列推出n＝9×11－7。 【详解】根据题意，结合图形可以分析出第四个正方形左下角的数为9，右上角的数11， 则n＝9×11－7 ＝99－7 ＝92 故答案为：C 6． 85 55 【分析】把算式1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1看作两部分：1＋3＋5＋7＋9＋11＋13和11＋9＋7＋5＋3＋1，“根据连续奇数的和等于奇数个数的平方”可得，1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝72 ，11＋9＋7＋5＋3＋1＝62，再两部分相加即可； 7＋9＋11＋13＋15可以看作（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15）－（1＋3＋5），即82－32。据此解答。 【详解】1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1 ＝（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13）＋（11＋9＋7＋5＋3＋1） ＝72＋62 ＝49＋36 ＝85 7＋9＋11＋13＋15 ＝（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15）－（1＋3＋5） ＝82－32 ＝64－9 ＝55 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝85 7＋9＋11＋13＋15＝55 7． 0 【分析】把1看作，即这列数的规律是：分子是1、分母依次乘3；这一列分数的分子不变，分母越来越大，即分数值越来越小，越来越接近0；据此解答即可。 【详解】由分析可知： 27×3＝81 这列数为：1，，，，，…… 所以第5个数应该是；这一列数越来越接近0。 8．1024 【分析】据题意可知，一个细胞，一分钟后变成2个，每分钟的数量是前面一分钟的2倍，也就是2分钟变成（2×2）个，3分钟变成（2×2×2）个，……以此类推，n分钟后变成的数量就是n个2相乘的结果，据此解答。 【详解】2×2×2×2×2×2×2×2×2×2 ＝（2×2×2×2×2）×（2×2×2×2×2） ＝32×32 ＝1024（个） 一个细胞，一分钟后变成2个，10分钟后细胞的个数是1024。 【点睛】完成本题的关键是据题意推理其分裂的个数构成的算式的规律，由此进行解答即可。 9． 17 3n＋2 【分析】观察发现： 第一个有5枚棋子。 第二个图案在原来的图案上增加了3个棋子，即5＋3＝8（枚） 第三个图案在原来的图案上又增加了3个棋子，即5＋3×2＝11（枚） 第四个图案在原来的图案上又增加了3个棋子，即5＋3×3＝14（枚） 第五个图案在原来的图案上又增加了3个棋子，即5＋3×4＝17（枚） …… 第n个图案在原来的图案上的棋子数就是在5个的棋子的基础上增加（n－1）组3个的棋子。最后将带有字母的式子化简得出最后的式子。 【详解】5＋3×4 ＝5＋12 ＝17（枚） 5＋3（n－1） ＝5＋3n－3 ＝3n＋2 摆第5个图案需要17枚棋子，摆第n个图案需要（3n＋2）枚棋子。 10．（1） （2） 【分析】（1）观察这个算式，两个分数相除的商等于这两个分数相减的差。并且左边被除数的分子除以除数的分子的商等于右边被减数的分子减减数的分子的差除以分母的商，而且被除数的分子除以除数的分子的商比分母大1，据此分析。 （2）将每个假分数的分数部分通分可发现规律，整数部分为1、3、5、7…，分数部分分子为1、2、3、4…，据此确定第15个数。 【详解】（1）（答案不唯一） （2）、、、、… 按照规律，它的第15个数是，化简得。 11． 【分析】由图可知，把正方形看成一个边长是1的正方形，那么先平均分成两份，那么另外一份占，再把第一份平均分成两份，其中一份占，再把分为两份，其中一份是，依次类推，可分到份，所以最终可得到：，即1－＝。 【详解】 ＝1－ ＝ 12．（1）55；89； （2）100÷3＝33（组）……1（个） 这组数是按奇数、奇数、偶数……每3个数为一组，第100个数刚好是一组中的第一个数，所以是奇数。 【分析】（1）根据题意可知，从这组数据的第三项开始，每一项都是前两项之和，所以用前两项相加即可求出后一项； （2）根据题意可知，这组数据是按照奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、偶数……的规律排列的，找出几个数为一组，求第100个数是奇数还是偶数，用100除以几，如果没有余数，则第100个数是一组规律中的最后一个数，如果有余数，则看其排在一组规律中的第几个数，再看看相应位置是奇数还是偶数；据此解答。 【详解】（1）21＋34＝55 34＋55＝89 根据这组数的规律填一填：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89… （2）100÷3＝33（组）……1（个） 答：这组数是按奇数、奇数、偶数……每3个数为一组，第100个数刚好是一组中的第一个数，所以是奇数。 13．31 【分析】 由可知三角形表示2，圆表示3，正方形表示1。又由这些图案下面的数字可以发现图案里面的图形表示前面的数字，图案外面的图形表示后面的数字。根据发现的关系可知图案中，里面是圆，表示前面的数字是3，外面是正方形表示后面的数字是1；据此解答。 【详解】 通过分析可知，三角形表示2，圆表示3，正方形表示1， 图案里面的图形表示前面的数字，图案外面的图形表示后面的数字，所以表示31。 【点睛】解决此类问题可以先从组合图案中找到与图形相对应的数字，再根据图案的组合规律推算出对应的数字的排列顺序。 14．见详解 【分析】根据数字的排列顺序填数，和1相邻的数是2，和3相邻的数是2、4，和5相邻的数是4、6，据此进行填数即可。 【详解】图中的线表示填写顺序。（答案不唯一） 15．见详解 【分析】观察“杨辉三角”，发现下层中间的数等于上层相邻两个数的和，据此规律解答。 【详解】我发现“杨辉三角”图中各数之间的关系：这些数字组成的三角形是等腰三角形，两条腰上的数都是1，从第3行开始，中间的每一个数都等于它上方相邻的两个数字之和。 按照发现的规律把这个三角形图继续写下去：    【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 答案第10页，共12页 答案第8页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$