专题06：圆（2）-2024-2025学年六年级数学寒假专项提升（人教版）

专题06：圆（2） 本专题主要针对圆的内容进行逐层巩固拔高拓展，包括： 1. 掌握圆的面积的计算公式； 2. 扇形； 3. 解决相关实际问题。 1．淘气、笑笑和奇思用相同正方形纸剪图形，见下图。三个人剩下的纸（    ）。 A．淘气最多 B．笑笑最多 C．奇思最多 D．一样多 2．这是三个直径相等的圆，阴影部分的面积占一个圆面积的（    ）。 A． B． C． D． 3．河南登封“天地之中”历史建筑群是世界文化遗产之一，由郭守敬修建的“观星台”是我国最古老的天文台，距今已有700多年的历史。在观星台的顶上，还可以看到一件日晷。由铜制的指针垂直穿过圆盘中心，石制的圆盘南高北低，平行于赤道面。圆盘上等分为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二时辰。表示每个时辰的扇形对应的圆心角的度数为（    ）。 A．15° B．30° C．45° D．60° 4．《九章算术》中记载着一种求圆环面积的方法：“并中外周而半之，以径乘之为积步”。意思是：圆环面积＝（内圆周长＋外圆周长）÷2×径，径的长度是外圆半径与内圆半径的差。这种方法可以看成将一个圆环形地垫沿一条径剪开，展开后得到一个近似的等腰梯形（如图）。在这个过程中，面积保持不变。如果梯形的上底是6.28米，下底是12.56米，那么圆环形地垫的面积是（    ）平方米。 A．6.28 B．9.42 C．18.84 D．37.68 5．如图，正方形的面积是10cm2，圆的面积是（    ）cm2。 A．15.7 B．31.4 C．10 D．无法确定 6．小圆半径是大圆直径的，则大圆面积与小圆面积的比是（    ）。 A．3∶1 B．6∶1 C．9∶1 D. 8：1 7．如图，一个周长是25.12米的圆形花坛，绕它的周围外沿修一条宽2米的小路，这条小路的面积是( )平方米。 8．把一个半径是6厘米的圆分成三个扇形，这三个扇形的圆心角度数的比是2∶3∶4，这三个扇形中最大的一个面积是( )平方厘米。 9．如图，三个圆的半径都是3厘米，且圆心都在三角形的顶点处，则阴影部分的面积( )平方厘米。 10．下图是一面我国唐代铜镜的背面。铜镜的直径是24cm，外面圆与内部的正方形之间部分的面积是( )cm2。 11．王大爷用37.68米长的篱笆在屋前的空地上围了一个圆形的鸡舍，如图1，现在由于养鸡数量的增加，他利用两面墙和原有的篱笆将鸡舍改成了一个扇形，如图2，改变后鸡舍的面积增加了吗？如果增加了，增加了多少？ 12．公安部门要在一个十字路口安装红外线摄像头，摄像头的地面监控范围是周长为314米的圆（如下图）。这个摄像头的监控范围有多少平方米？ 13．如图，一枚半径是1厘米的游戏币沿着边长是4厘米的等边三角形的边绕一圈，它扫过的面积是多少平方厘米？ 14．2021年7月20日，郑州市特大暴雨引发关注。郑州大学实验灾后检查，组织人力疏通下水管道，如图所示，下水道的圆形井盖直径是80cm，底座也是一个直径超过井盖直径10cm的圆，这个井盖底座的面积有多少平方厘米？ 15．为了增加百姓的活动空间，某社区准备新建一个口袋公园，下面是口袋公园的平面设计图，空白部分为活动区域（4个完全相同的扇形），阴影部分为绿植区域。 （1）在保证活动区域和绿植面积不变的情况下，还可以有不同的设计方案，请你在图二的正方形中用圆规画出你的新设计图，并将绿植区域涂上阴影。 （2）求出绿植部分的面积。 （3）在图二中再画一个圆心角是60°的扇形。 1．D 【分析】假设正方形边长是8，分别表示出剩下纸的面积，比较即可。淘气：剩下纸的面积＝正方形面积－扇形面积；笑笑：剩下纸的面积＝正方形面积－4个圆的面积；奇思：剩下纸的面积＝正方形面积－圆的面积。 【详解】假设正方形边长是8。 淘气：8×8－3.14×82× ＝64－3.14×64× ＝64－50.24 ＝13.76 笑笑：8÷2÷2＝2 8×8－3.14×22×4 ＝64－3.14×4×4 ＝64－50.24 ＝13.76 奇思：8÷2＝4 8×8－3.14×42 ＝64－3.14×16 ＝64－50.24 ＝13.76 三个人剩下的纸一样多。 故答案为：D 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的面积公式。 2．A 【分析】三角形的内角和为180°，阴影部分合在一起刚好是一个圆心角为180°且半径与空白部分圆相等的扇形，那么阴影部分刚好是一个半圆，据此解答。 【详解】分析可知，阴影部分扇形合起来圆心角是180°是一个半圆，所以阴影部分的面积占一个圆面积的。 故答案为：A 【点睛】熟记三角形的内角和把阴影部分面积转化为半圆的面积是解答题目的关键。 3．B 【分析】根据题意，圆盘上等分为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二时辰。周角的度数是360°，表示每个时辰的扇形对应的圆心角的度数为周角的度数÷12，据此解答即可。 【详解】360°÷12＝30° 表示每个时辰的扇形对应的圆心角的度数为30°。 故答案为：B 4．B 【分析】依据题意结合图形可知，梯形的上底等于内圆的周长，梯形的下底等于外圆的周长，利用圆的周长＝3.14×半径×2，分别计算内圆，外圆的半径，进而求出内外半径差，然后根据圆环面积＝（内圆周长＋外圆周长）÷2×径，代入数据解答即可。 【详解】内圆的半径：6.28÷3.14÷2＝1（米） 外圆的半径：12.56÷3.14÷2＝2（米） （6.28＋12.56）÷2×（2－1） ＝18.84÷2×1 ＝9.42（平方米） 地垫的面积是9.42平方米。 故答案为：B 5．A 【分析】假设圆的半径是r，直径就是2r，正方形的面积等于两个直角三角形的面积和，1个直角三角形的底边是2r，高是r，根据三角形的面积＝底×高÷2，可知三角形的面积是r2，正方形的面积就是2r2。已知正方形的面积是10cm2，r2就是5cm2。根据圆的面积是，代入数据计算即可。 【详解】假设圆的半径是r。 2r×r÷2×2＝2r2 2r2＝10（cm2） r2＝10÷2＝5（cm2） 圆的面积为：（cm2） 正方形的面积是10cm2，圆的面积是15.7cm2。 故答案为：A 6．C 【分析】假设大圆直径是6厘米，小圆半径是大圆直径的，根据求一个数的几分之几是多少用乘法，求出小圆半径，圆的面积＝圆周率×半径的平方，据此分别计算大圆和小圆的面积，两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，写出大圆面积与小圆面积的比，化简即可。 【详解】假设大圆直径是6厘米。 6×＝1（厘米） [3.14×（6÷2）2] ∶（3.14×12） ＝[3.14×32] ∶（3.14×1） ＝[3.14×9] ∶（3.14×1） ＝[3.14×9÷3.14] ∶（3.14×1÷3.14） ＝9∶1 大圆面积与小圆面积的比是9∶1。 故答案为：C 7．62.8 【分析】已知圆形花坛的周长是25.12米，根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆形花坛的半径r； 绕花坛的周围外沿修一条宽2米的小路，则外圆的半径R等于花坛的半径加上2米； 求这条小路的面积，就是求圆环的面积；根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算即可求解。 【详解】圆形花坛的半径： 25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（米） 外圆的半径：4＋2＝6（米） 小路的面积： 3.14×（62－42） ＝3.14×（36－16） ＝3.14×20 ＝62.8（平方米） 这条小路的面积是62.8平方米。 8．50.24 【分析】圆的面积＝圆周率×半径的平方，据此求出圆的面积，根据比的意义，圆的面积÷总份数，求出一份数，一份数×最大份数＝最大扇形的面积，据此列式计算。 【详解】3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方厘米） 113.04÷（2＋3＋4）×4 ＝113.04÷9×4 ＝50.24（平方厘米） 这三个扇形中最大的一个面积是50.24平方厘米。 9．14.13 【分析】已知三角形的内角和是180度，据此可知阴影部分的面积可以拼成一个半径是3厘米的半圆面积，根据圆面积公式：S＝πr2，用3.14×32÷2即可求出半圆的面积。 【详解】3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（平方厘米） 阴影部分的面积14.13平方厘米。 10．164.16 【分析】已知铜镜的直径，先根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积； 用一条对角线把内部的正方形平均分成2个三角形，三角形的底等于圆的直径，高等于圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，就是这个正方形的面积； 最后用圆的面积减去正方形的面积即可求解。 【详解】圆的半径：24÷2＝12（cm） 圆的面积： 3.14×122 ＝3.14×144 ＝452.16（cm2） 正方形的面积： 24×12÷2×2 ＝288÷2×2 ＝288（cm2） 外面圆与内部的正方形之间部分的面积： 452.16－288＝164.16（cm2） 所以，外面圆与内部的正方形之间部分的面积是164.16cm2。 11．增加了；339.12平方米 【分析】从题意可知：37.68米长的篱笆＝圆的周长＝扇形的弧长。根据圆的半径：r＝C÷π÷2，圆的面积：S＝πr2，代入数据分别求出图1中圆形的鸡舍的半径和面积。图2中这个扇形的圆心角是直角。先用扇形的弧长×4求出扇形的所在圆的周长，进而求出这个圆的半径和面积，将这个圆的面积除以4，即可求出扇形的面积，再判断，最后扇形鸡舍的面积减去圆形鸡舍的面积，即可求出增加的面积。 【详解】图1： 37.68÷3.14÷2＝6（米） 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方米） 图2： 37.68×4÷3.14÷2 ＝150.72÷3.14÷2 ＝24（米） 3.14×242÷4 ＝3.14×576÷4 ＝452.16（平方米） 452.16＞113.04 增加的面积：452.16－113.04＝339.12（平方米） 答：改变后鸡舍的面积增加了，增加了339.12平方米。 12．7850平方米 【分析】根据圆的半径＝周长÷π÷2，圆的面积＝πr2，列式解答即可。 【详解】314÷3.14÷2＝50（米） （平方米） 答：这个摄像头的监控范围有7850平方米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。 13．36.56平方厘米 【分析】如图，它扫过的面积是3个边长4厘米，宽1×2厘米的长方形和一个圆的面积，长方形面积＝长×宽，圆的面积＝πr2，据此列式解答。 【详解】1×2＝2（厘米） 2×4×3＋3.14×22 ＝24＋3.14×4 ＝24＋12.56 ＝36.56（平方厘米） 答：它扫过的面积是36.56平方厘米。 【点睛】关键是具有一定的空间想象能力，掌握并灵活运用长方形和圆的面积公式。 14．1334.5平方厘米 【分析】井盖直径加10厘米就是大圆的直径，再求出半径后，结合公式计算大圆面积。然后大圆面积减去井盖的面积就是底座的面积。 【详解】80＋10＝90（厘米） 90÷2＝45（厘米） 45×45×3.14 ＝2025×3.14 ＝6358.5（平方厘米） 80÷2＝40（厘米） 40×40×3.14 ＝1600×3.14 ＝5024（平方厘米） 6358.5－5024＝1334.5（平方厘米） 答：井盖的底座面积是1334.5平方厘米。 【点睛】本题考查圆面积的计算，需要注意的是，想算面积要先求出圆的半径。 15．（1）和（3）见详解 （2）86平方米 【分析】（1）根据图一可知，活动区域的面积为一个圆的面积，绿植面积为正方形的面积减去圆的面积，据此可以在正方形中设计直径为20米的两个半圆； （2）用正方形的面积减去圆的面积即可； （3）以正方形的边长为半径，利用量角器量出60°的角，进而画出扇形即可。 【详解】（1）和（3）如图： （2） 20×20－3.14×（20÷2）² ＝400－314 ＝86（平方米）； 答：绿植部分的面积是86平方米。 【点睛】本题综合性较强，根据题图将活动区域看作一个圆，熟练掌握圆的面积公式是解答本题的关键。 答案第10页，共12页 答案第8页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$