专题06 对概率的进一步认识（考题猜想，易错必刷23题8种题型）（期末复习专项训练）九年级数学上学期鲁教版

专题06 对概率的进一步认识 （易错必刷23题8种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 用列举法求概率的步骤 · 用列表法或树状图法求概率的步骤 · 利用概率判断游戏的公平性 · 概率的实际应用 · 频率与概率的概念 · 求某件事情的频率 · 由频率估计概率 · 概率与统计图的综合应用 1． 用列举法求概率的步骤（共3小题） 1.（2024九年级上·全国·专题练习）某电视台举行歌手大奖赛，每场比赛都有编号为共道综合素质测试题供选手随机抽取作答．在某场比赛中，前两位选手分别抽走了2号题和7号题，则第3位选手抽中8号题的概率是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·山西·模拟预测）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，从这五个点中随机选择三个点，则经过这三个点能够画出圆的概率为（    ） A． B． C． D． 3.（23-24九年级上·全国·单元测试）一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率为（    ） A． B． C． D． 2． 用列表法或树状图法求概率的步骤（共3小题） 1.（24-25九年级上·湖北十堰·阶段练习）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 ． 2.．（2024·河南·模拟预测）体育课上，老师要求全班男生从“引体向上、坐位体前屈、立定跳远、一分钟跳绳、掷实心球”这五个项目中任意抽选两项进行测试，则张亮同时选择“立定跳远”和“一分钟跳绳”两个项目的概率是 ． 3.（24-25九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）小明和小华所在的班级需要到校大礼堂统一听讲座，该校大礼堂共有4个入口，每个学生可以选择其中任意一个入口进入大礼堂．则小明和小华从不同入口进入校大礼堂的概率是 ． 3． 利用概率判断游戏的公平性（共3小题） 1.（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明和小亮通过一个“配紫色”游戏决定谁去观看校艺术节汇演．规则是：有两个相同的转盘（甲盘，乙盘），每个转盘被分为三个面积相等的扇形，同时转动两个转盘，若一转盘转出红色而另一转盘为蓝色，则可以配成紫色，此时小明获胜．否则小亮获胜． (1)转动转盘甲一次，转出蓝色的概率是__________； (2)请用树状图或列表法分析这个游戏是否公平． 2.（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，小亮和小芳玩转盘游戏，将一个材质均匀的转盘平均分成个扇形并标上数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线则重新转动转盘）．小芳提议：若转出的数字是的倍数，则小芳获胜；若转出的数字是的倍数，则小亮获胜． (1)你认为小芳的提议对游戏双方是否公平?为什么? (2)请你利用这个转盘设计一种对两人都公平的游戏规则． 3.（21-22七年级下·宁夏中卫·期末）在“五·四”青年节中，全校举办了文艺汇演活动．小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额．小丽想出了一个办法，她将一个转盘（均质的）均分成6份，如图所示．  游戏规定：随意转动转盘， (1)指针指到1的可能性是多少？ (2)若指针指到3，则小丽去；若指针指到2，则小芳去．若你是小芳，会同意这个办法 吗？为什么？ 4． 概率的实际应用（共3小题） 1.（2022·山西·一模）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择： 方案一：是直接获得20元的礼金卷； 方案二：是得到一次摇奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少． 指针指向 两红 一红一蓝 两蓝 礼金券（元） 18 9 18 (1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． (2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠． 2.（22-23九年级上·河南平顶山·期末）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择： 方案一：是直接获得20元的礼金卷； 方案二：是得到一次播奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少． 指针指向 两红 一红一蓝 两蓝 礼金券（元） 27 9 27 (1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． (2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠． 3.（2024七年级下·全国·专题练习）一次抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，如果你只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题： (1)直接写出翻牌得到“手机”奖品的可能性的大小； (2)请你根据题意设计翻奖牌反面的奖品，包含（手机、微波炉、球拍、电影票，谢谢参与）使得最后抽到“球拍”的可能性大小是． 5． 频率与概率的概念（共3小题） 1.（22-23八年级上·吉林长春·期末）某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 2.（20-21九年级上·河南洛阳·期末）下列说法错误的是（   ） A．随着试验次数的增多，某一事件发生的频率就会不断增大 B．一个事件在试验中出现的次数越多，频数就越大 C．试验的总次数一定时，频率与频数成正比 D．频数与频率都能反映一个事件出现的频繁程度 3.（20-21九年级上·湖南湘西·期末）下列说法错误的是（　　　） A．概率很小的事件不可能发生 B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率 C．必然事件发生的概率是 D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求 6． 求某件事情的频率（共2小题） 1.（23-24八年级下·安徽淮北·期末）“长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·陕西咸阳·模拟预测）六一国际儿童节，某景区为孩子们精心打造了一场以“童心童梦，趣玩六一”为主题的亲子嘉年华活动．该景区内有一摊位推出了掷硬币、摸小球赢玩偶游戏，他准备了一枚硬币和四个小球，在这四个小球上分别标记数字1、2、3、4，每个小球除数字不同外其余均相同，将这四个小球放入一个不透明的箱子中． (1)若将硬币随机掷次，其中正面朝上的次数为次，则在这次掷硬币中，该硬币正面朝上的频率为________； (2)游戏规定：参与者先掷硬币，若该硬币正面朝上，则所得的数字记为1；若该硬币反面朝上，则所得的数字记为0．接下来，参与者再从箱子里的四个小球中随机摸出一个，记录所摸小球上的数字（即为所得数字）．如果两次所得的数字之和大于3，则可赢得玩偶，其余情况，不能赢得玩偶．乐乐参加了一次赢玩偶游戏，请用列表或画树状图的方法求他获得玩偶的概率． 7． 由频率估计概率（共3小题） 1.（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中 ； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； (3)估计袋子中有白球 个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 2.（22-23九年级上·陕西西安·期中）九（1）班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“手工”区域的次数 落在“手工”区域的频率 (1)求出的值； (2)请估计当很大时，频率将会接近______；假如你去转动该转盘一次，你获得“手工”奖品的概率约是______．（精确到） 3.（23-24七年级下·河南郑州·期末）同学们要善于用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． (1)观察发现 为了解某种小麦的发芽率，小明团队进行了试验，他们在相同条件下进行发芽试验，结果如下表： 试验的麦粒数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的麦粒数m 94 191 473 954 1906 4748 发芽的频率m ①当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为， 是小麦发芽的概率吗？（   ） A．是             B．不是 ②当任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是 (结果精确到) (2)探究迁移 七一班的学习小组在草地的外围画了一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录． 记录结果如下： 项目名称 组别 一组 二组 三组 四组 石子落在草地内的次数 112 92 177 121 石子落在草地外长方形内的次数 28 24 43 33 石子落在长方形外的次数 10 24 32 28 同学们将四个小组的数据收集并整理，他们认为用概率的相关知识就能算出草地的面积大约是多少平方米，请你帮他们写出计算过程．(结果保留整数) (3)拓展应用 如图，学校操场旁的地面上铺满了正方形的地砖， 现在向这一地面上抛掷半径为的圆碟，圆碟与地砖间的缝隙相交的概率是 ．(直接写出答案) 8． 概率与统计图的综合应用（共3小题） 1.（24-25九年级上·四川成都·期中）近年来，环保教育越来越受到重视．为了提高学生的环保意识和参与度，某中学计划开展一系列环保活动，在活动开始前，为了解学生对于不同环保主题的参与意愿，学校对学生进行了一次环保参与意愿调查，根据收集到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图． (1)本次一共调查了 位同学，请补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，请求出“垃圾分类”对应的圆心角度数； (3)为了进一步提升学生水资源保护意识，学校从愿意参与“水资源保护”的同学中随机抽取4人（两男两女）参与“水资源保护”知识竞赛，主办方将从4位同学中选出2名水资源保护小达人，请用列表法或画树状图的方法求出水资源保护小达人中恰好是一男一女的概率． 2.（23-24九年级下·河北石家庄·期末）为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）． 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： (1)获奖总人数为__________人，__________，A所对的圆心角度数是__________； (2)学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 3.（2023·四川乐山·模拟预测）某校为了解学生对“A：古诗词，B：国画，C：武术，D：书法”等中国传统文化项目的最喜爱情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查（每人限选一项），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图（如图），根据图中的信息解答下列问题： (1)在这次调查中，一共调查了 名学生；扇形统计图中，项目D对应扇形的圆心角为 度； (2)若该校共有学生2000人，请根据上述调查结果估计该校学生中最喜爱“A：古诗词”的有多少人； (3)若该校在A，B，C，D四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选中项目A和D的概率． $$专题06 对概率的进一步认识 （易错必刷23题8种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 用列举法求概率的步骤 · 用列表法或树状图法求概率的步骤 · 利用概率判断游戏的公平性 · 概率的实际应用 · 频率与概率的概念 · 求某件事情的频率 · 由频率估计概率 · 概率与统计图的综合应用 1． 用列举法求概率的步骤（共3小题） 1.（2024九年级上·全国·专题练习）某电视台举行歌手大奖赛，每场比赛都有编号为共道综合素质测试题供选手随机抽取作答．在某场比赛中，前两位选手分别抽走了2号题和7号题，则第3位选手抽中8号题的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率．根据题意列举出所有可能的结果求概率是解题的关键． 由题意知，第3位选手从1、3、4、5、6、8、9、共8个题中抽一个号，共有8种等可能的结果，然后求概率即可． 【详解】解：由题意知，前两位选手抽走2号题、7号题，则第3位选手从1、3、4、5、6、8、9、共8个题中抽一个号，共有8种等可能的结果， ∴抽中8号题的概率为， 故选：C． 2.（2024·山西·模拟预测）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，从这五个点中随机选择三个点，则经过这三个点能够画出圆的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用列举法求概率以及圆确定的条件，根据题意可得出所有等可能的结果以及经过这三个点能够画出圆的结果，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：从这五个点中随机选择三个点，所有等可能的结果有：，，，，，，，，，共10种， 其中经过这三个点能够画出圆的结果有： ，，，，，， 共6种， ∴经过这三个点能够画出圆的概率为． 故选：D 3.（23-24九年级上·全国·单元测试）一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了概率的计算，根据题意画出图形，得出所有可能的情况数，然后找出符合题意的情况数，最后根据概率公式求出结果即可． 【详解】解：如图， 根据图可知：以B，C，D随机而坐的结果数共有6种，其中A与B不相邻而坐的结果有2种， ∴A与B不相邻而坐的概率为：． 故选：A． 2． 用列表法或树状图法求概率的步骤（共3小题） 1.（24-25九年级上·湖北十堰·阶段练习）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了列树状图求概率，先根据列树状图得出共有等可能的结果，抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有种，再结合概率公式进行求解，即可作答． 【详解】解：把《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为， 列树状图如下： ∴共有等可能的结果，抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有种， ∴抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是， 故答案为：． 2.．（2024·河南·模拟预测）体育课上，老师要求全班男生从“引体向上、坐位体前屈、立定跳远、一分钟跳绳、掷实心球”这五个项目中任意抽选两项进行测试，则张亮同时选择“立定跳远”和“一分钟跳绳”两个项目的概率是 ． 【答案】/0.1 【分析】本题考查了列表法与树状图法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 用分别表示“引体向上、坐位体前屈、立定跳远、一分钟跳绳、掷实心球”这五个项目，画树状图展示所有种等可能的结果数，找出选择“立定跳远”和“一分钟跳绳”测试项目的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：用分别表示“引体向上、坐位体前屈、立定跳远、一分钟跳绳、掷实心球”这五个项目，画树状图为： ∴共有种等可能的结果数，其中选择“立定跳远”和“一分钟跳绳”测试项目的结果数种， ∴选择“立定跳远”和“一分钟跳绳”测试项目的概率． 故答案为：． 3.（24-25九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）小明和小华所在的班级需要到校大礼堂统一听讲座，该校大礼堂共有4个入口，每个学生可以选择其中任意一个入口进入大礼堂．则小明和小华从不同入口进入校大礼堂的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列表法或树状图法求概率的方法是解题的关键． 设该校大礼堂个入口分别为，，，，根据题意画出树状图，由树状图可以得出小明和小华进入校大礼堂的情况总数及小明和小华从不同入口进入校大礼堂的情况数，然后代入概率公式求概率即可． 【详解】解：设该校大礼堂个入口分别为，，，， 根据题意，画树状图如下： 由树状图可以看出，小明和小华进入校大礼堂的情况共有种，其中小明和小华从不同入口进入校大礼堂的情况共有种， 小明和小华从不同入口进入校大礼堂的概率是， 故答案为：． 3． 利用概率判断游戏的公平性（共3小题） 1.（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明和小亮通过一个“配紫色”游戏决定谁去观看校艺术节汇演．规则是：有两个相同的转盘（甲盘，乙盘），每个转盘被分为三个面积相等的扇形，同时转动两个转盘，若一转盘转出红色而另一转盘为蓝色，则可以配成紫色，此时小明获胜．否则小亮获胜． (1)转动转盘甲一次，转出蓝色的概率是__________； (2)请用树状图或列表法分析这个游戏是否公平． 【答案】(1) (2)游戏不公平 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比，求出事件A或B的概率． (1)直接利用概率公式计算即可； (2)先画出树状图展示所有种等可能的结果数，再找出配成紫色的结果数和配不成紫色的结果数，然后根据概率公式求解即可； 【详解】（1）解：转动转盘甲一次，转出蓝色的概率是， 故答案为：； （2）解：这个游戏不公平，理由如下： 画树状图如下： 共有9种可能出现的结果，其中配成紫色的有5种，配不成紫色的有4种， ，因此游戏不公平． 2.（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，小亮和小芳玩转盘游戏，将一个材质均匀的转盘平均分成个扇形并标上数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线则重新转动转盘）．小芳提议：若转出的数字是的倍数，则小芳获胜；若转出的数字是的倍数，则小亮获胜． (1)你认为小芳的提议对游戏双方是否公平?为什么? (2)请你利用这个转盘设计一种对两人都公平的游戏规则． 【答案】(1)不公平，理由见详解 (2)游戏规则见详解 【分析】本题考查的是概率，熟练掌握如何计算概率是解题的关键． （1）分别求出小芳和小亮的胜率，再进行比较即可． （2）设计出两者胜算相等的方案即可． 【详解】（1）不公平， ∵转出的数字是的倍数，有三种情况，即为、、，总共会出现九种情况， ∴小芳获胜的概率为， 又∵转出的数字是的倍数，有两种情况，即为、，总共会出现九种情况 ∴小亮获胜的概率为， ∴这样的游戏规则不公平． （2）我设计的方法是：转出数字大于小亮胜，转出数字小于小芳胜（方法不唯一，合理即可）， ∵转出数字大于的情况有四种，转出数字小于的情况也有四种， ∴双方获胜的概率都是， 故这样的游戏方法就公平了． 3.（21-22七年级下·宁夏中卫·期末）在“五·四”青年节中，全校举办了文艺汇演活动．小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额．小丽想出了一个办法，她将一个转盘（均质的）均分成6份，如图所示．  游戏规定：随意转动转盘， (1)指针指到1的可能性是多少？ (2)若指针指到3，则小丽去；若指针指到2，则小芳去．若你是小芳，会同意这个办法 吗？为什么？ 【答案】(1) (2)不同意，理由见解析． 【分析】根据题意需求出指针指到1的可能性即概率，由概率的计算公式即可得到答案； 先求出各自获胜的概率，即可得出是否公平，则可得出结论． 【详解】（1） 答：指针指到１的可能性为． （2）小丽获胜的概率为： 小芳获胜的概率为： 此办法不公平，若我是小芳，我不同意这个办法． 答：若我是小芳，我不同意这个办法． 【点睛】本题考查了概率的定义及应用，认真读题，正确理解题意求出概率是解题的关键． 4． 概率的实际应用（共3小题） 1.（2022·山西·一模）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择： 方案一：是直接获得20元的礼金卷； 方案二：是得到一次摇奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少． 指针指向 两红 一红一蓝 两蓝 礼金券（元） 18 9 18 (1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． (2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠． 【答案】(1) (2)方案一，见解析； 【分析】（1）根据列表法（或画树状图法）求指针分别指向一红区和一蓝区的概率即可； （2）根据（1）的树状图求出方案二的平均收益即可判断； 【详解】（1）解：由题可知，转盘A中红色区域的圆心角的度数是蓝色区域的圆心角的度数的2倍，转盘B中蓝色区域的圆心角的度数是红色区域的圆心角的度数的2倍，故可画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的情况，其中两个转盘指针一个指向红色区域、一个指向蓝色区域的情况有5种， ∴P(一红区和一蓝区)= （2）由（1）中的树状图可知，指针指向两个红色区域有2种情况，指向两个蓝色区域也有2种情况 ， ∴P(两个红区)= ，P(两个蓝区)= ， ∴方案二的平均收益为：， ∵13<20， ∴若只考虑获得最多的礼品券，选择方案一更加实惠； 【点睛】本题主要考查列表法（或画树状图法）求概率，掌握概率的求解方法是解题的关键． 2.（22-23九年级上·河南平顶山·期末）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择： 方案一：是直接获得20元的礼金卷； 方案二：是得到一次播奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少． 指针指向 两红 一红一蓝 两蓝 礼金券（元） 27 9 27 (1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． (2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠． 【答案】(1) (2)方案一比较实惠 【分析】（1）根据题意列出表格，然后根据概率公式求出结果即可； （2）先分别算出指针指在两个红色区域，两个蓝色区域的概率，算出按方案二获得礼金券的平均值，最后进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：列表格如下： 蓝 蓝 红 蓝 （蓝，蓝） （蓝，蓝） （蓝，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） ∵由表格可知，共有9种等可能结果，其中转盘指针分别指向一红区和一蓝区的情况数有5种， ∴两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． （2）解：∵， ∴如果选择方案二，获得礼金券的平均值为： （元）， ∵， ∴选择方案一比较实惠． 【点睛】本题主要考查了列表法或画树状图法求概率，解题的关键是根据题意列出表格或画出树状图，熟练掌握概率的基本公式． 3.（2024七年级下·全国·专题练习）一次抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，如果你只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题： (1)直接写出翻牌得到“手机”奖品的可能性的大小； (2)请你根据题意设计翻奖牌反面的奖品，包含（手机、微波炉、球拍、电影票，谢谢参与）使得最后抽到“球拍”的可能性大小是． 【答案】(1) (2)设计九张牌中有四张写着球拍，其它的五张牌中手机、微波炉、电影票各一张，谢谢参与两张（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了随机事件的可能性，掌握可能性的计算公式是解题的关键． （1）先确定所有等可能结果数、翻到“手机”的结果数，然后运用概率公式计算即可； （2）设计一个有等可能结果数为9，翻到“球拍”的结果数为4的方案即可． 【详解】（1）解：由题意可知一共有9张牌，其中“手机”有2张，则抽到“手机”奖品的可能性是：． （2）解：设计九张牌中有四张写着球拍，其它的五张牌中手机、微波炉、电影票各一张，谢谢参与两张．（答案不唯一） 5． 频率与概率的概念（共3小题） 1.（22-23八年级上·吉林长春·期末）某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 【答案】C 【分析】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的定义是解题关键． 直接利用频率求法，频数÷总数＝频率，进而得出答案． 【详解】解：∵某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次， ∴出现反面的频率是． 故选：C 2.（20-21九年级上·河南洛阳·期末）下列说法错误的是（   ） A．随着试验次数的增多，某一事件发生的频率就会不断增大 B．一个事件在试验中出现的次数越多，频数就越大 C．试验的总次数一定时，频率与频数成正比 D．频数与频率都能反映一个事件出现的频繁程度 【答案】A 【分析】直接利用频数与频率的定义分析得出答案． 【详解】A、随着试验次数的增多，某一事件发生的频率不会改变，故原说法错误，符合题意； B、一个事件A试验中出现的次数越多，频数就越大，正确，不合题意； C、试验的总次数一定时，频率与频数成正比，正确，不合题意； D、频数与频率都能反映一个事件出现的频繁程度，正确，不合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了频数与频率，正确掌握相关定义是解题关键． 3.（20-21九年级上·湖南湘西·期末）下列说法错误的是（　　　） A．概率很小的事件不可能发生 B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率 C．必然事件发生的概率是 D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求 【答案】A 【分析】根据随机事件的定义判断即可； 【详解】概率很小的事件有可能发生，故A错误； 通过大量重复试验，可以用频率估计概率，故B正确； 必然事件发生的概率是，故C正确； 投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求，故D正确； 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了随机事件和概率的意义，准确分析判断是解题的关键． 6． 求某件事情的频率（共2小题） 1.（23-24八年级下·安徽淮北·期末）“长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求频率，直接利用频率公式进行计算即可． 【详解】解：一共40个字母，字母“i”出现了4次， ∴； 故选C． 2.（2024·陕西咸阳·模拟预测）六一国际儿童节，某景区为孩子们精心打造了一场以“童心童梦，趣玩六一”为主题的亲子嘉年华活动．该景区内有一摊位推出了掷硬币、摸小球赢玩偶游戏，他准备了一枚硬币和四个小球，在这四个小球上分别标记数字1、2、3、4，每个小球除数字不同外其余均相同，将这四个小球放入一个不透明的箱子中． (1)若将硬币随机掷次，其中正面朝上的次数为次，则在这次掷硬币中，该硬币正面朝上的频率为________； (2)游戏规定：参与者先掷硬币，若该硬币正面朝上，则所得的数字记为1；若该硬币反面朝上，则所得的数字记为0．接下来，参与者再从箱子里的四个小球中随机摸出一个，记录所摸小球上的数字（即为所得数字）．如果两次所得的数字之和大于3，则可赢得玩偶，其余情况，不能赢得玩偶．乐乐参加了一次赢玩偶游戏，请用列表或画树状图的方法求他获得玩偶的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了频率，画树状图或列表求概率，熟练掌握画树状图或列表求概率是解题的关键． （1）利用频率的概念求解即可； （2）利用画树状图或列表求概率即可． 【详解】（1）解：该硬币正面朝上的频率， 故答案为：； （2）画树状图如下： 由图知，一共有8种等可能的情况，其中所得数字之和大于3的有3种， 所以他获得玩偶的概率是． 7． 由频率估计概率（共3小题） 1.（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中 ； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； (3)估计袋子中有白球 个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）摸到黑球的频率为，故为． （2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近． （3）摸到黑球的频率约为，故摸到白球的频率约为，则估计袋子中有白球（个）． （4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时，即黑球个数等于白球个数，故可在袋子中增加相同的白球数：（个）， 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近， 故答案为：． （3）摸到黑球的频率约为， 故摸到白球的频率约为， 则估计袋子中有白球（个）， 故答案为：． （4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时， 即黑球个数等于白球个数， 故可在袋子中增加相同的白球数：（个）， 此时黑白球均为个，摸到黑白球的可能性大小均为． 故答案为：． 2.（22-23九年级上·陕西西安·期中）九（1）班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“手工”区域的次数 落在“手工”区域的频率 (1)求出的值； (2)请估计当很大时，频率将会接近______；假如你去转动该转盘一次，你获得“手工”奖品的概率约是______．（精确到） 【答案】(1)， (2)， 【分析】(1)根据频率频数总数求解即可； (2)根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“手工”的概率． 【详解】（1） 解：∵转动转盘的次数为，落在“手工”区域的频率为， ∴， ∵转动转盘的次数为，落在“手工”区域的频率为， ∴， （2） 解：∵根据表格信息可知：落在“手工”区域的频率的平均数大约为：, ∴当n很大时，频率将会接近， ∴假如你去转动该转盘一次，你获得“手工”奖品的概率约是． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，明确题意，利用数形结合的思想是解题的关键． 3.（23-24七年级下·河南郑州·期末）同学们要善于用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． (1)观察发现 为了解某种小麦的发芽率，小明团队进行了试验，他们在相同条件下进行发芽试验，结果如下表： 试验的麦粒数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的麦粒数m 94 191 473 954 1906 4748 发芽的频率m ①当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为， 是小麦发芽的概率吗？（   ） A．是             B．不是 ②当任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是 (结果精确到) (2)探究迁移 七一班的学习小组在草地的外围画了一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录． 记录结果如下： 项目名称 组别 一组 二组 三组 四组 石子落在草地内的次数 112 92 177 121 石子落在草地外长方形内的次数 28 24 43 33 石子落在长方形外的次数 10 24 32 28 同学们将四个小组的数据收集并整理，他们认为用概率的相关知识就能算出草地的面积大约是多少平方米，请你帮他们写出计算过程．(结果保留整数) (3)拓展应用 如图，学校操场旁的地面上铺满了正方形的地砖， 现在向这一地面上抛掷半径为的圆碟，圆碟与地砖间的缝隙相交的概率是 ．(直接写出答案) 【答案】(1)①不是② (2)草地的大体面积为16平方米 (3) 【分析】此题考查了频率估计概率，据此进行解答即可． （1）①当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为，只是一次试验的频率，不能代表概率，据此进行解答即可；②表格看，经过多次大量重复试验，频率稳定在左右，即可得到答案； （2）分别求出四个组石子落在草地内的次数占石子落在=长方形内的次数比，即可估计石子落在草地内的概率，再用长方形面积乘以概率即可； （3）利用几何概率进行解答即可． 【详解】（1）①解：当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为，只是一次试验的频率，不能代表概率，即不是小麦发芽的概率， 故选：B ②从表格看，经过多次大量重复试验，频率稳定在左右， ∴当任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是， （2）解： 分别求出四个组石子落在草地内的次数占石子落在=长方形内的次数比如下： 一组： 二组： 三组： 四组： ∴估计石子落在草地内的概率约为0.8， ∴草地的大体面积为：（平方米）， 答：草地的大体面积为平方米． （3）解：∵圆碟的圆心如果在正方形的地砖的中心部位的范围外，则与地砖间隙相交， ∴圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约是． 故答案为： 8． 概率与统计图的综合应用（共3小题） 1.（24-25九年级上·四川成都·期中）近年来，环保教育越来越受到重视．为了提高学生的环保意识和参与度，某中学计划开展一系列环保活动，在活动开始前，为了解学生对于不同环保主题的参与意愿，学校对学生进行了一次环保参与意愿调查，根据收集到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图． (1)本次一共调查了 位同学，请补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，请求出“垃圾分类”对应的圆心角度数； (3)为了进一步提升学生水资源保护意识，学校从愿意参与“水资源保护”的同学中随机抽取4人（两男两女）参与“水资源保护”知识竞赛，主办方将从4位同学中选出2名水资源保护小达人，请用列表法或画树状图的方法求出水资源保护小达人中恰好是一男一女的概率． 【答案】(1)200，图见解析 (2) (3) 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）用选择“水资源保护”的人数除以扇形统计图中“水资源保护”的百分比可得本次调查的学生人数；分别求出选择“节能减排”和“植树造林”的人数，补全条形统计图即可． （2）用乘以“垃圾分类”的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及水资源保护小达人中恰好是一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：本次一共调查了（位）同学， ∴选择“节能减排”的人数为（人）， ∴选择“植树造林”的人数为（人）． 补全条形统计图如图所示． 故答案为：200． （2）解：“垃圾分类”对应的圆心角度数为． （3）解：列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） 共有12种等可能的结果，其中水资源保护小达人中恰好是一男一女的结果有8种， ∴水资源保护小达人中恰好是一男一女的概率为． 2.（23-24九年级下·河北石家庄·期末）为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）． 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： (1)获奖总人数为__________人，__________，A所对的圆心角度数是__________； (2)学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)40，30，36 (2) 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，树状图法求概率： （1）的人数除以所占的比例求出总人数，利用条形图中的数据求出的人数，再除以总人数求出的值，360度乘以的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：获奖总人数为（人）， ，即； A所对的圆心角度数； 故答案为：40，30，36 （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为6， 所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 3.（2023·四川乐山·模拟预测）某校为了解学生对“A：古诗词，B：国画，C：武术，D：书法”等中国传统文化项目的最喜爱情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查（每人限选一项），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图（如图），根据图中的信息解答下列问题： (1)在这次调查中，一共调查了 名学生；扇形统计图中，项目D对应扇形的圆心角为 度； (2)若该校共有学生2000人，请根据上述调查结果估计该校学生中最喜爱“A：古诗词”的有多少人； (3)若该校在A，B，C，D四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选中项目A和D的概率． 【答案】(1)200，90 (2)800人 (3) 【分析】本题考查的是折线统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比，能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据折线统计图中C的人数和扇形统计图中C所占的百分比，求出总数； （2）用总人数乘以喜爱项目A的占比即可； （3）用树状图列出所有等可能情况，再根据题意求得概率． 【详解】（1）解：调查的学生数为人， 项目D对应扇形的圆心角为， 故答案为：，； （2）解：(人)， ∴该校学生中最喜爱“A：古诗词”的有800人； （3）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中恰好选中项目A和D的结果有2种. ∴恰好选中项目和的概率为． $$