专题05 指数函数与对数函数-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（河南专用）

专题05 指数函数与对数函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解整数指数幂和有理数指数幂的概念 · 理解指数函数的概念，掌握指数函数的图像和性质 · 理解对数的概念及性质，掌握对数的运算法则，了解常用对数和自然对数 · 理解对数函数的概念，掌握对数函数的图像和 考点预测 · 实数指数幂的运算 · 指数函数的图像和性质 · 对数的概念及运算法则 · 对数函数的概念、图像和性质 · 与对数函数有关的函数定义域的求法 · 性质 要点自测 （1） 分数指数幂 （1）规定： 且； 且； 0的正分数指数幂等于______；0的负分数指数幂______________． （2）有理数指数幂的运算性质：______，______，______其中，（有理数指数幂的运算性质对于依然成立）. （3）要点提醒：幂的运算性质要注意从等号右边变形到左边的应用；两个重要结论，；初中学过的两个公式， （二）指数函数的图像和性质 图像 定义域 ______ 值域 ______ 性质 当时，______，指数函数的图像恒过定点______ 当时，______；当时，______ 当时，______；当时，______ 在为______函数 在为______函数 要点提醒 解含指数的方程和不等式，结合指数函数是与之间的一一对应关系，通常变形为同底，再利用单调性解决问题 （三）幂函数 （1）幂函数的解析式为______（是常数） （2）两条性质：第一：所有幂函数的图像都经过点______； 第二：当时，在上是______函数，当时，在 上是______函数。 （四）对数的概念 如果，（，，），那么数叫做以为底的对数，记作______； 其中叫做对数的底数，叫做真数； 常用对数：以为底的对数称作常用对数，简记为______； 自然对数：以为底的对数称作常用对数，简记为______（其中）． （五）对数的性质及运算法则 (1)对数的运算法则 如果且，那么 ____________ ____________ ____________ (2)对数恒等式：______． (3)对数的换底公式（均大于零且不等于1）； 由换底公式可推得两个重要结论，logab＝。 (4)要点提醒：对数即指数；两个结论要记住，； （六）对数函数的图像和性质 图像 定义域 ______ 值域 ______ 性质 当时，______，指数函数的图像恒过定点______ 当时，_____；当时，______ 当时，_____；当时，______ 在为______函数 在为______函数 要点提醒 （1）对数的符号判断可用口诀“同正异负”记忆；（2）解含对数的方程和不等式，结合指数函数是与之间的一一对应关系，通常变形为同底，再利用单调性解决问题。 考点突破 考点1 幂的运算考查 【例1】将写成分数指数幂的形式为____________. 【例2】已知，则____________. 【突破训练】1、设，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（ ） A. B. C. D. 2、已知，则_______________ 考点2 幂、对数比较大小 【例3】已知，，，则的大小关系是(　 　) A． B． C．　 D． 【例4】设，，，则（　　） A． B． C．　 D． 【突破训练】1、三个数，，的大小关系是 ( ) . . . . 2、已知，，，则下列结论正确的是( ) A． B． C．　 D． 考点3 对数的运算 【例5】计算：_______________ 【例6】函数，，则_______________ 【突破训练】1、已知，则_______________（用含的式子表示结果） 2、已知，，，，则下列等式一定成立的是（　　） A． B． C．　 D． 考点4 含指数、对数的不等式求解 【例7】若，求的取值范围。 【例8】已知，那么实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【突破训练】1、已知，那么实数的取值范围是（ ） A． B． C． D．无法确定 2、解不等式． 考点5 与指数、对数有关的函数定义域的求法 【例9】函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【例10】求函数的定义域. 【突破训练】求下列函数的定义域： （1） ；（2）. 考点6 与指数、对数有关的函数综合问题 【例11】求下列函数值域: （1） ；（2）. 【例12】函数的图像一定经过点_______________. 【突破训练】1、函数的图像一定经过点_______________. 2、函数的增区间是_______________ 模拟演练 一、选择题 1.当时，函数的值恒大于1，则实数的取值范围是……………（ ） A. B. C. D. 2. 设，，，则…………………………………………………（ ） A． B． C．　 D． 3.设，且，那么实数………………………………………………..（ ） A. B. C. D. 4.函数的定义域是……………………………………………（ ） A． B． C． D． 5.已知且， “”是“”………………………………（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题 6. 函数的定义域是 ； 7.计算： ； 8.若函数（且）在上的最大值为4，那么实数 ； 9.若，则 ； 10.函数的值域是 . 三、解答题 11.已知函数（，且）的定义域是，若在定义域上的最大值比最小值大，求实数的值. 12. 已知函数， （1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由. 13. 已知函数，证明:对于任何非零实数均有＞. 14. 已知函数 ， （1）求函数 的定义域； （2）若，求的取值范围. 15. 已知定义域为的函数是奇函数. (1)求的值；(2)解不等式． $$ 专题05 指数函数与对数函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解整数指数幂和有理数指数幂的概念 · 理解指数函数的概念，掌握指数函数的图像和性质 · 理解对数的概念及性质，掌握对数的运算法则，了解常用对数和自然对数 · 理解对数函数的概念，掌握对数函数的图像和 考点预测 · 实数指数幂的运算 · 指数函数的图像和性质 · 对数的概念及运算法则 · 对数函数的概念、图像和性质 · 与对数函数有关的函数定义域的求法 · 性质 要点自测 （1） 分数指数幂 （1）规定： 且； 且； 0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． （2）有理数指数幂的运算性质：， ，其中，（有理数指数幂的运算性质对于依然成立）. （3）要点提醒：幂的运算性质要注意从等号右边变形到左边的应用；两个重要结论，；初中学过的两个公式， （二）指数函数的图像和性质 图像 定义域 值域 性质 当时，，指数函数的图像恒过定点 当时，；当时， 当时，；当时， 在为增函数 在为减函数 要点提醒 解含指数的方程和不等式，结合指数函数是与之间的一一对应关系，通常变形为同底，再利用单调性解决问题 （三）幂函数 （1）幂函数的解析式为（是常数） （2）两条性质：第一：所有幂函数的图像都经过点； 第二：当时，在上是增函数，当时，在 上是减函数。 （四）对数的概念 如果，（，，），那么数叫做以为底的对数，记作； 其中叫做对数的底数，叫做真数； 常用对数：以为底的对数称作常用对数，简记为； 自然对数：以为底的对数称作常用对数，简记为（其中）． （五）对数的性质及运算法则 (1)对数的运算法则 如果且，那么 (2)对数恒等式：． (3)对数的换底公式（均大于零且不等于1）； 由换底公式可推得两个重要结论，logab＝。 (4)要点提醒：对数即指数；两个结论要记住，； （六）对数函数的图像和性质 图像 定义域 值域 性质 当时，，指数函数的图像恒过定点 当时，；当时， 当时，；当时， 在为增函数 在为减函数 要点提醒 （1）对数的符号判断可用口诀“同正异负”记忆；（2）解含对数的方程和不等式，结合指数函数是与之间的一一对应关系，通常变形为同底，再利用单调性解决问题。 考点突破 考点1 幂的运算考查 【例1】将写成分数指数幂的形式为____________. 【答案】 【解析】根据指数式和根式的规定，可得. 【例2】已知，则____________. 【答案】 【解析】由，两边平方得，，展开得，。再次平方得，. 【突破训练】1、设，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，故选C. 2、已知，则_______________ 【答案】 【解析】因为，所以，即 所以. 考点2 幂、对数比较大小 【例3】已知，，，则的大小关系是(　 　) A． B． C．　 D． 【答案】D 【解析】，函数在上是减函数， 又，，，，故选D. 【例4】设，，，则（　　） A． B． C．　 D． 【答案】C 【解析】，， ，故选C 【突破训练】1、三个数，，的大小关系是 ( ) . . . . 【答案】C 【解析】，， ，，故选C 2、已知，，，则下列结论正确的是( ) A． B． C．　 D． 【答案】B 【解析】，， 又，，而，，故选B 考点3 对数的运算 【例5】计算：_______________ 【答案】 【解析】 【例6】函数，，则_______________ 【答案】 【解析】， ，， 又， 【突破训练】1、已知，则_______________（用含的式子表示结果） 【答案】 【解析】，． 2、已知，，，，则下列等式一定成立的是（　　） A． B． C．　 D． 【答案】B 【解析】由，可得，由，可得 ，又 ， ，故选B. 考点4 含指数、对数的不等式求解 【例7】若，求的取值范围。 【答案】D 【解析】原不等式可变形为 又函数在上是增函数， 原不等式等价于，即， 解得， 故的取值范围是． 【例8】已知，那么实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式等价于，或，解得，或 故选A. 【突破训练】1、已知，那么实数的取值范围是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【解析】，又， 故选C. 2、解不等式． 【答案】 【解析】函数在上是增函数 不等式等价于 解得 不等式的解集为 考点5 与指数、对数有关的函数定义域的求法 【例9】函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】要使得函数有意义，须，解得， 所以函数的定义域为，故选A. 【例10】求函数的定义域. 【答案】A 【解析】要使得函数有意义，须，即解得， 所以函数的定义域为. 【突破训练】求下列函数的定义域： （1） ；（2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）要使函数有意义，须满足解得 函数的定义域为. （2）要使函数有意义，须满足解得 函数的定义域为. 考点6 与指数、对数有关的函数综合问题 【例11】求下列函数值域: （1） ；（2）. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）函数和在区间上是增函数，函数在区间上是增函数，，，故函数的值域为. （2）函数在上是增函数，，即， ，则，故函数的值域为. 【例12】函数的图像一定经过点_______________. 【答案】 【解析】因为无论取何值，，所以，所以函数的图像恒过点 【突破训练】1、函数的图像一定经过点_______________. 【答案】 【解析】因为无论取何值，，所以，所以函数的图像恒过点。 2、函数的增区间是_______________ 【答案】 【解析】由，解得。又因为 所以函数在区间上是增函数， 又因为，所以函数在其定义域上是增函数。 所以函数的增区间为. 模拟演练 一、选择题 1.当时，函数的值恒大于1，则实数的取值范围是……………（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由指数函数性质可知，，解得，故选A. 2. 设，，，则…………………………………………………（ ） A． B． C．　 D． 【答案】C 【解析】由指对数性质可知，，， 又，，所以，故选C. 3.设，且，那么实数………………………………………………..（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，， ， ，，即，，故选C. 4.函数的定义域是……………………………………………（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使函数有意义，须满足解得 函数的定义域为. 5.已知且， “”是“”………………………………（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】结合对数函数性质，由，得，或， 由，得和同号， 又因为，所以或， 是的充要条件，故选C. 二、填空题 6. 函数的定义域是 ； 【答案】 【解析】要使函数有意义，须满足解得 函数的定义域为. 7.计算： ； 【答案】2 【解析】 . 8.若函数（且）在上的最大值为4，那么实数 ； 【答案】 【解析】由题意可知，若时，，解得，若时，，解得 故. 9.若，则 ； 【答案】 【解析】，，，. 10.函数的值域是 . 【答案】 【解析】函数和在区间上是增函数，函数在区间上是增函数，，故函数的值域为. 三、解答题 11.已知函数（，且）的定义域是，若在定义域上的最大值比最小值大，求实数的值. 【答案】 【解析】函数在区间上是单调函数 若，依题得，解得，若，则，解得 综上所述，. 12. 已知函数， （）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由. 【答案】（1）；（2）奇函数 【解析】（1）要函数有意义，须，解得 所以函数的定义域为； （2）函数是奇函数，理由如下： 有（1）知的定义域为，对于任意的，都有 且 所以是奇函数. 13. 已知函数，证明:对于任何非零实数均有＞. 【答案】详见“解析” 【解析】 ，并且定义域为 又， 为偶函数 又时，，，. ， ，而在其定义域上是偶函数， 综上对于任何非零实数均有. 14. 已知函数 ， （1）求函数 的定义域； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）要使函数有意义，须，解得 所以函数的定义域为； （2）由，可得 ， ，即，解得 又，， 故的取值范围为. 15. 已知定义域为的函数是奇函数. (1)求的值；(2)解不等式． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）函数是定义域为的奇函数 ，即，解得 则，再由，得 解得； （2）由（1）知函数，且定义域为， 设，且 则 ， ，， 又，，则， 所以在上是增函数 又不等式可变形成， 又为奇函数， 又在上是增函数，，整理得， 解得， 故不等式的解集为. $$