16.1 二次根式（第02讲）讲义 2024--2025学年人教版八年级数学下册

16.1二次根式（第02讲） 题型汇总 题型1 二次根式性质的直接应用 1 题型2 利用二次根式的非负性求值 1 题型3 利用二次根式的性质化简 2 题型4 利用二次根式的性质求取值范围 2 题型5 利用二次根式的性质化简复合二次根式 2 巩固练习 4 题型1 二次根式性质的直接应用 【典例1】 下列等式不成立的是（　　） A B. C. D. 【变式1-1】（23-24春•大理鹤庆•其中）化简的结果是（    ） A. B. C. 6 D. 36 【变式1-2】（23-24春•曲靖麒麟•期末模拟）下列各式中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【变式1-3】 （23-24秋•广西崇•阶段练习）计算 ． 题型2 利用二次根式的非负性求值 【典例2】已知，如图所示，实数在数轴上的位置．化简：． 【变式2-1】（23-24春•曲靖麒麟•期末模拟）若三角形的三边长分别为，且满足，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【变式2-2】 已知直角三角形的两直角边a，b满足，则第三边的长为________． 【变式2-3】 已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为_______ ． 题型3 利用二次根式的性质化简 【典例】（2022•四川遂宁中考真题） 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【变式3-1】实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简后为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】 若a，b为实数，对应点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. b D. 【变式3-3】 化简：＝________． 题型4 利用二次根式的性质求取值范围 【典例4】（23-24秋•河北承德•期末）若，则的取值范围是          ． 【变式4-1】（22-23春•四川巴中•期中）若 ，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【变式4-2】已知＝1﹣2a，那么a的取值范围是（　　） A．a＞ B．a＜ C．a≥ D．a≤ 【变式4-3】若＝m﹣1，则m的取值范围是 　 　． 题型5 利用二次根式的性质化简复合二次根式 【典例5】（23-24秋•山东潍坊•期中）下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 双层二次根式的化简 二次根式中有一类带双层根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：化简，先思考（根据1） ． 通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有．∴，_____． 这样，我就找到了一种把部分化简的方法． 任务： (1)文中的“根据1”是________，_______； (2)根据上面的思路，化简：； (3)已知，其中a，x均为正整数，求a和x的值． 【变式5-1】 问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式： ． 【变式5-2】（23-24春•湖北恩施•期末）阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 【变式5-3】下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 双层二次根式的化简 二次根式中有一类带双层根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：化简，先思考（1）2＝12+2×12＝3（根据1） 1． 通过计算，我还发现设m（其中m，n，a，b都为正整数），则有a+b．∴a＝m2+2n2，b＝ 　 　． 这样，我就找到了一种把部分化简的方法． 任务： （1）文中的“根据1”是 　 　，b＝　 　． （2）根据上面的思路，化简：． （3）已知，其中a，x均为正整数，求a和x的值． 巩固练习 1.（21-22春•阜平•期末）下列二次根式中，化简结果为﹣5的是（　　） A． B．（﹣）2 C．﹣ D． 2.（21-22春•丽水•期末）化简结果正确的是（　　） A．4 B．﹣2 C．2 D． 3. 若，则 化简后的结果是（ ） A. xy B. C. D. 4.（23-24春•重庆两江•期末）算术平方根有如下运算：，故化简：可得或两种不同结果．给出下列说法： ①化简：，一共有4种不同的结果； ②化简：，一共有4种不同的结果； ③若，（n为正整数），则当时，. 以上说法中正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5.（23-24春•黑龙江牡丹江•期末）已知，为实数，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 6.甲、乙两人对题目“化简并求值：+，其中a=”有不同的解答. 甲的解答是：+=+=+-a=-a=； 乙解答是：+=+=+a-=a=. 在两人的解法中（ ） A. 甲正确 B. 乙正确 C. 都不正确 D. 无法确定 7.（23-24春•四川自贡•期中）如果成立，那么实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 8.若，求= ． 9.-1的最小值是 ． 10.如图所示，______． 11. 已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式：的值为 _____． 12.观察：①，②，③．……按此规律，第8个等式的是 　 ． 13.求代数式，，如图是小亮和小芳的解答过程： （1）______的解法是正确的； （2）化简代数式，（其中）； （3）若，直接写出的取值范围． 14.我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：，的算术平方根是． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： (1) (2) (3)． 试卷第 1 页，共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.1二次根式（第02讲） 题型汇总 题型1 二次根式性质的直接应用 1 题型2 利用二次根式的非负性求值 2 题型3 利用二次根式的性质化简 4 题型4 利用二次根式的性质求取值范围 5 题型5 利用二次根式的性质化简复合二次根式 7 巩固练习 10 题型1 二次根式性质的直接应用 【典例1】 下列等式不成立的是（　　） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别利用二次根式的定义和二次根式的性质化简二次根式即可得出答案． 【详解】解：A、（）2＝a，故此等式成立，故此选项不符合题意； B、＝|a|，故等式成立，故此选项不符合题意； C、＝﹣，故等式成立，故此选项不符合题意； D、∵a有意义，则a＜0， ∴a＝﹣，故此等式不成立，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（23-24春•大理鹤庆•其中）化简的结果是（    ） A. B. C. 6 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据公式进行求解即可． 【详解】解： 故选：C． 【变式1-2】（23-24春•曲靖麒麟•期末模拟）下列各式中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】A、；故A错误，不符合题意； B、；故B正确，符合题意； C、；故C错误，不符合题意； D、；故D错误，不符合题意． 故选：B． 【变式1-3】 （23-24秋•广西崇•阶段练习）计算 ． 【答案】π 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 故答案为：π． 题型2 利用二次根式的非负性求值 【典例2】已知，如图所示，实数在数轴上的位置．化简：． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据数轴判断，，的正负数，再根据绝对值的意义化简求解； 【详解】解：根据数轴可得：， ，，， ； 【变式2-1】（23-24春•曲靖麒麟•期末模拟）若三角形的三边长分别为，且满足，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，绝对值非负性，平方根的非负性质．根据绝对值非负性，平方根的非负性质得出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理即可得出三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：B． 【变式2-2】 已知直角三角形的两直角边a，b满足，则第三边的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的非负性，勾股定理，利用非负性的性质求出、的值，再用勾股定理列式求出第三边的长即可．理解算术平方根的非负性、绝对值的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ，， ，， 由勾股定理得，第三边，  故答案为：5． 【变式2-3】 已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为_______ ． 【答案】等腰直角三角形 【解析】 【详解】∵， ∴c2－a2－b2=0，且a－b=0． 由c2－a2－b2=0得c2=a2＋b2， ∴根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形． 又由a－b=0得a=b， ∴△ABC为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形 题型3 利用二次根式的性质化简 【典例3】（2022•四川遂宁中考真题） 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用数轴可得出，进而化简求出答案． 【详解】解：由数轴可得：， 则 ∴ = = = =2． 故答案为：2． 【变式3-1】实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简后为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】由数轴可知，，可得，，再化简即可． 【详解】由数轴可知， ∴， ∴ 故选：D． 【变式3-2】 若a，b为实数，对应点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. b D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有关二次根式的性质、绝对值的性质，有理数的减法的题目，熟练掌握二次根式的运算性质是关键，根据数轴表示出即可得解． 【详解】根据数轴可知： ∴ ∴ 故选：D． 【变式3-3】 化简：＝________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由题意可得： ， ∴a≥0， ∴原式＝， 故答案为：． 题型4 利用二次根式的性质求取值范围 【典例4】（23-24秋•河北承德•期末）若，则的取值范围是          ． 【答案】  【解析】解：由题意得： ， 解得：． 故答案为：． 【变式4-1】（22-23春•四川巴中•期中）若 ，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质；根据，进而即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴，又， ∴，； 解得：， 故选：B． 【变式4-2】已知＝1﹣2a，那么a的取值范围是（　　） A．a＞ B．a＜ C．a≥ D．a≤ 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可． 【解答】解：∵＝1﹣2a， ∴2a﹣1≤0，解得a≤． 故选：D． 【变式4-3】若＝m﹣1，则m的取值范围是 　 　． 【答案】B m≥1 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质得出m﹣1的取值范围进而得出答案． 【解答】解：∵＝m﹣1， ∴m﹣1≥0， 解得：m≥1． 故答案为：m≥1． 题型5 利用二次根式的性质化简复合二次根式 【典例5】（23-24秋•山东潍坊•期中）下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 双层二次根式的化简 二次根式中有一类带双层根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：化简，先思考（根据1） ． 通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有．∴，_____． 这样，我就找到了一种把部分化简的方法． 任务： (1)文中的“根据1”是________，_______； (2)根据上面的思路，化简：； (3)已知，其中a，x均为正整数，求a和x的值． 【答案】(1)完全平方公式； (2) (3)， 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的化简， （1）根据完全平方公式进行解答即可； （2）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可； （3）根据，得出，，根据x，y为正整数，问题得解． 【详解】（1）解：的根据是完全平方公式； ∵， ∴，． 故答案为：完全平方公式；． （2）解： ． （3）解：由题意得， ∴，， ∵x，y为正整数， ∴， ． 【变式5-1】 问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式： ． 【答案】/ 【解析】 【详解】解：， ． 故答案为： 【变式5-2】（23-24春•湖北恩施•期末）阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 【答案】/ 【解析】 【分析】仿照题意进行求解即可． 【详解】解： ， 故答案为： 【变式5-3】下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 双层二次根式的化简 二次根式中有一类带双层根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：化简，先思考（1）2＝12+2×12＝3（根据1） 1． 通过计算，我还发现设m（其中m，n，a，b都为正整数），则有a+b．∴a＝m2+2n2，b＝ 　 　． 这样，我就找到了一种把部分化简的方法． 任务： （1）文中的“根据1”是 　 　，b＝　 　． （2）根据上面的思路，化简：． （3）已知，其中a，x均为正整数，求a和x的值． 【答案】（1）完全平方公式；2mn． （2）见解答 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式进行解答即可； （2）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可； （3）根据a+4x2+4x12，得出a＝x2+12，4＝4x，根据a，x为正整数，求出a和x的值即可． 【解答】解：（1）（1）2＝12+2×12＝3的根据是完全平方公式； ∵a+b， ∴a＝m2+2n2，b＝2mn； 故答案为：完全平方公式；2mn． （2） ＝3； （3）由题意得a+4x2+4x12， ∴a＝x2+12，4＝4x， ∵a，x均为正整数， ∴a＝13，x＝1． 巩固练习 1.（21-22春•阜平•期末）下列二次根式中，化简结果为﹣5的是（　　） A． B．（﹣）2 C．﹣ D． 【答案】C 【解析】解：A的答案是5，B的结果是5，C的结果是﹣5，D的结果是5， 故选：C． 2.（21-22春•丽水•期末）化简结果正确的是（　　） A．4 B．﹣2 C．2 D． 【答案】C 【解析】解：＝2， 故选：C． 3. 若，则 化简后的结果是（ ） A. xy B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，有意义可得，进而即可求解． 【详解】解：∵，有意义， ∴， ∴， 故选：D． 4.（23-24春•重庆两江•期末）算术平方根有如下运算：，故化简：可得或两种不同结果．给出下列说法： ①化简：，一共有4种不同的结果； ②化简：，一共有4种不同的结果； ③若，（n为正整数），则当时，. 以上说法中正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据算术平方根的意义化简各式后，再进行判断即可． 【详解】解：①， 所以，有4种不同的结果，故①正确； ② ∵， ∴， 当时，原式； 当，原式； 当，原式； ∴②错误； ③∵， ∴ ∵， ∴ 解得，或（舍去） 故③正确， 所以，正确的结论是①③，共2个， 故选：C． 5.（23-24春•黑龙江牡丹江•期末）已知，为实数，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查利用二次根式的性质化简．根据已知条件分情况讨论，当，或，时，直接利用二次根式的性质化简，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴分情况讨论， 当，时， ∴； 当，时， ∴， 综上，的值为． 故选：D． 6.甲、乙两人对题目“化简并求值：+，其中a=”有不同的解答. 甲的解答是：+=+=+-a=-a=； 乙解答是：+=+=+a-=a=. 在两人的解法中（ ） A. 甲正确 B. 乙正确 C. 都不正确 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先利用完全平方公式变形得到原式再利用二次根式的性质得到原式 然后根据a的值去绝对值，合并即可． 【详解】原式 ∵ ∴ ∴原式 故选A. 7.（23-24春•四川自贡•期中）如果成立，那么实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【详解】 即 故选B. 8.若，求= ． 【答案】2 【解析】 【详解】试题分析：根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可． 解：由题意得，3x﹣9=0，3y﹣4=0， 解得x=3，y=， 则==2． 故答案为2． 9.-1的最小值是 ． 【答案】0 【解析】 【分析】先将化简为就能确定其最小值为1，再和1作差，即可求解． 【详解】解：-1 =-1 ∵最小值为：1， ∴-1的最小值是0． 故答案为0． 10.如图所示，______． 【答案】## 【解析】 【分析】直接利用数轴上，的位置，进而得出，，再化简得出答案． 此题主要考查了二次根式的性质和与化简、绝对值的性质，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 【详解】由数轴可得：，， 故原式． 故答案为：． 11.已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式：的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据点在数轴上的位置，得出，再根据二次根式的性质进行化简，最后根据整式加减运算法则计算即可． 【详解】解：由图可知，， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 12.观察：①，②，③．……按此规律，第8个等式的是 　 ． 【答案】 【解析】 【解析】通过观察等式的中被开方数与等式的序号的关系找到规律为： 第n个式子为：， ∴第8个等式的是：， 即：． 故答案为：． 13.求代数式，，如图是小亮和小芳的解答过程： （1）______的解法是正确的； （2）化简代数式，（其中）； （3）若，直接写出的取值范围． 【答案】（1）小芳 （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）由知，据此可得，从而作出判断； （2）利用二次根式的性质化简、代入求值即可得； （3）分三种情况，化简等号左边，再求出相应值，合并即可． 【小问1详解】 解：， ， 则， 所以小芳的解法是正确的， 故答案为：小芳； 【小问2详解】 ， ； 【小问3详解】 当时，， 解得：； 当时，； 当时，， 解得：， 综上，的取值范围是：． 14.我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：，的算术平方根是． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式； （1）将变形为完全平方式的形式，然后开平方即可； （2）先化简，再化简原式即可得出答案； （3）分别化简，合并同类二次根式即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解： ． 试卷第 1 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$