专题5.5 期末复习之选择压轴题十八大题型总结-【新教材】2024-2025学年七年级数学上册举一反三系列（华东师大版2024）

专题5.5 期末复习之选择压轴题十八大题型总结 【华东师大版2024】 【题型1 丰富的图形世界】 2 【题型2 数轴与绝对值的化简】 4 【题型3 有理数的运算】 8 【题型4 幻方与程序框图】 11 【题型5 有理数运算的应用】 15 【题型6 列代数式】 18 【题型7 代数式求值】 20 【题型8 整式加减与周长问题】 22 【题型9 立体图形的视图】 27 【题型10 立体图形的表面展开图】 30 【题型11 线段的和差】 33 【题型12 线段中的动点问题】 37 【题型13 角的计算】 40 【题型14 角中的旋转问题】 44 【题型15 由平行线的判定与性质求值】 48 【题型16 新定义问题】 54 【题型17 规律探究】 58 【题型18 多结论问题】 61 【题型1 丰富的图形世界】 【例1】（24-25七年级·山东济南·期中）一个不透明立方体的6个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，任意两对面上所写的两个数字之和为7，将这样的几个立方体按照相接触两个面上的数字之和为8，摆放成一个几何体，这个几何体从三个不同方向看到的形状如图所示，图中所标注的是部分面上所见的数字，则所代表的数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的三视图， 从三视图中2开始，结合主视图可得到下层正面为6的正方体左右两面的数字为3和4，进而确定正方体上下两面是2和5，在底面是5与2两种情况考虑，从下往上即可得出答案． 【详解】解：由题意可知还原这个立体图形的形状， 左视图中的2的对面是5，紧临的是3，其对面是4，再接下来是4，其对面是3； 主视图中小正方体正面是6，后面是1，右面是3，上下两个面就是2，5相对； 当底面是5，上面是2，紧临的是6，其对面是1，接触的两个面上的数字之和为8，则★应该是7，不可能； 所以底面只能是2，上面是5，紧临的是3，其对面是4，接下来紧临的还是4，则★为其对面，所以是3． 故选：B． 【变式1-1】（24-25七年级·山东淄博·期中）如图，是一个正方体的表面展开图，已知该正方体的每个面都有一个有理数．若相对面上的两个数的和都为，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体相对两面上的数字，代数式求值，由图可得，的对面是，的对面是，的对面是，根据相对面上的两个数的和都为，列式求出的值，再代入代数式计算即可求解，求出的值是解题的关键． 【详解】解：由图可得，的对面是，的对面是，的对面是， ∵相对面上的两个数的和都为， ∴，，， ∴，，， ∴， 故选：． 【变式1-2】（23-24·浙江金华·七年级校考期中）下列属于如图所示正方体的展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据正方体表面三角形和长方形的位置关系逐项判定即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】、选项两个长方形所在面互为相对面，不符合题意； 、选项当三角形所在面为正面时，其中一个长方形所在面为左面，不符合题意； 、选项经过折叠得到题图几何体，符合题意； 、选项三角形所在面和其中一个长方形所在面互为相对面，不符合题意； 故选：． 【变式1-3】（23-24七年级·上海宝山·期末）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了正方体相对两面上的字，找出变化的规律是解题的关键． 先向右翻滚，然后按逆时针方向旋转，叫做一次变换，那么连续次变换则是一个循环．本题先要找出次变换是一个循环，然后再求被整除后余数是几，从而确定第次变换后的点数． 【详解】解：第一次变换后朝上一面的点数为5， 第二次变换后朝上一面的点数为6， 第三次变换后朝上一面的点数为3， 第四次变换后朝上一面的点数为5， 连续3次变换是一个循环， 余， 连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是5， 故选：． 【题型2 数轴与绝对值的化简】 【例2】（23-24七年级·四川达州·期中）若，则的值可能是（    ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，根据，即a、b全为正数时，或a、b为一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可． 【详解】解：， 设时， ， 或时， ，或， 时， ， 综上可得：或， 故选：B． 【变式2-1】（23-24七年级·广东广州·期末）如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6，|b﹣d|＝2|b﹣c|，则|c﹣d|＝（　　）    A．1 B．1.5 C．2.5 D．2 【答案】D 【分析】根据|a−d|＝10，|a−b|＝6得出b和d之间的距离，从而求出b和c之间的距离，然后假设a表示的数为0，分别求出b，c，d表示的数，即可得出答案． 【详解】解：∵|a−d|＝10， ∴a和d之间的距离为10， 假设a表示的数为0，则d表示的数为10， ∵|a−b|＝6， ∴a和b之间的距离为6， ∴b表示的数为6， ∴|b−d|＝4， ∴|b−c|＝2， ∴c表示的数为8， ∴|c−d|＝|8−10|＝2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离、绝对值的意义，关键是要能恰当的设出a、b、c、d表示的数． 【变式2-2】（23-24七年级·广东东莞·阶段练习）如图，已知数轴上点、、所对应的数、、都不为0，且是的中点，如果，则原点的大致位置在（    ）    A．的左边 B．与之间 C．与之间 D．的右边 【答案】B 【分析】可得，从而可得 ；然后根据选项判断，，的符号，进行化简即可求解． 【详解】解： 是的中点， ， ； A． 在的左边，，，， ， 故此项不符合题意； B． 在与之间时，，，， ， 故此项符合题意； C．在与之间时，，，， ， 故此项不符合题意； D．在的右边时，，，， ， 故此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了利用绝对值性质进行化简，掌握性质是解题的关键． 【变式2-3】（23-24七年级·重庆江北·阶段练习）已知有理数a，c，若，且，则所有满足条件的数c的和是（　　） A．﹣6 B．2 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据绝对值的代数意义对进行化简，或，解得或有两个解，分两种情况再对进行化简，继而有两个不同的绝对值等式，和，每个等式同样利用绝对值的代数意义化简，分别得到c的值有两个，故共有四个值，再进行相加，得到所有满足条件的数的和． 【详解】 ， 或， 或， 当时，等价于，即， 或， 或； 当时，等价于，即， 或， 或， 故或或或， 所有满足条件的数的和为：． 故答案为：D 【点睛】本题主要考查了绝对值的代数意义，负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，解题的关键在于经过两次分类讨论，的值共有4种可能，不能重复也不能遗漏． 【题型3 有理数的运算】 【例3】（23-24七年级·广东东莞·期中）已知和是一对互为相反数，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先用绝对值非负性求出a、b的值，代入到所求的代数式中再运用进行简便运算． 【详解】∵和是一对互为相反数 ∴+=0 ∴a=1，b=2 ∴ = = = = = 故选：C． 【点睛】此题考查绝对值的非负性和有理数的简便运算．其关键是要发现并运用对，，等进行裂项，并两俩抵消． 【变式3-1】（23-24七年级·上海宝山·期末）如果，，那么与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】相乘的这些分数的特点是分母都是偶数，分子都是奇数；再写出一道分数相乘，使它们分子都是偶数，分母都是奇数， 把这两道算式相乘，得出积为，由此进一步再做比较即可得解． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴，即， 故选A． 【点睛】本题考查了比较有理数的大小，采用适当的方式将有理数放大后比较是解题的关键． 【变式3-2】（23-24七年级·山西·期中）小明在计算机上设置了一个运算程序：任意输入一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2．通过对输出结果的观察，他发现了一个有意思的现象：无论输入的自然数是多少，按此规则经过若干次运算后可得到1．例如：如图所示，输入自然数5，最少经过5次运算后可得到1．如果一个自然数a恰好经过7次运算后得到1，则所有符合条件的a的值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的a的值为多少即可． 【详解】解：根据分析，可得 则所有符合条件的a的值为：128、21、20、3． 故答案为：D． 【点睛】此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律． 【变式3-3】（23-24七年级·广东深圳·期中）对于正数，规定，例如，则 的结果是（　　） A． B．4 C． D．4 【答案】A 【分析】计算出的值，总结出其规律，再求所求的式子的值即可． 【详解】解：， ，， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，代数式求值，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答． 【题型4 幻方与程序框图】 【例4】（23-24七年级·浙江温州·期中）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（        ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】共有个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这 个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为，然后利用这个原理将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果． 【详解】解：因为共有个数，每一条边上个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为， 所以这一行最后一个圆圈数字应填， 则所在的横着的一行最后一个圈为， 这一行第二个圆圈数字应填， 目前数字就剩下， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这两行交汇处是最下面那个圆圈，应填， 所以这一行第三个圆圈数字应为， 则所在的横行，剩余3个圆圈里分别为，要使和为2，则为 故选： 【点睛】本题主要考查了幻方的应用，找到每一行的规律并正确进行填数是解题的关键． 【变式4-1】（23-24七年级·河南濮阳·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，，则第2018次输出的结果为　　 A．0 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意找出规律即可求出答案． 【详解】第一次输出为24， 第二次输出为12， 第三次输出为6， 第四次输出为3， 第五次输出为6， 第六次输出为3， …… 从第三次起开始循环，∴（2018﹣2）÷2=1008 故第2018次输出的结果为：3． 故选B． 【点睛】本题考查了数字规律，解题的关键是正确理解程序图找出规律，本题属于基础题型． 【变式4-2】（23-24七年级·辽宁沈阳·期中）把这个数填入的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都等于，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”(图1)，“洛书”是世界上最早的“幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为(　　)． A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算；根据任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都等于，可得①，②，③表示的数，即可求出的值． 【详解】解：如图， 任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都等于， 对角线上①处数字与，的和为， ①处的数字为：， 又中间一列②处数字与，的和为， ②处上的数字为： 最正面一行数字之和为 ③处数字为 最后一列之和为， ， 故选：D． 【变式4-3】（23-24七年级·湖南长沙·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现，2，，，5，，6，8填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则图中的值为（    ）    A． B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，要先读懂题意，根据题意获取数量关系，再用尝试法，直到找到合理的数值，本题综合性比较强，比较注重逻辑推理．由题意可知，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．所以有，进而得，，，再利用尝试法，把数据代入验证，可得，，，的值，并代入计算可得结论． 【详解】解：由题意可得： ， 所以有，，， 由图中可知，，，的值，由，，5，，6，8中取得， 由于，且只有， ，， 这时，的值从，，中取得， 当和，计算验证，都不符合题意， 所以时，符合题意． 具体数值如下图所示，    所以，，，， 则． 故选：B． 【题型5 有理数运算的应用】 【例5】（23-24七年级·浙江绍兴·期末）大数据时代出现了滴滴打车服务，二孩政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭，②A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，每种情况下分析乘坐人员的情况，可得其乘坐方式的数目． 【详解】解：根据题意，分2种情况讨论： ①A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭， 可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车， 有种乘坐方式； ②A户家庭的孪生姐妹不在甲车上， 需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个小孩都在甲车上， 对于剩余的2个家庭，从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车， 有种乘坐方式； 则共有种乘坐方式； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘法的应用，关键是依据题意，分析“乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭”的可能情况． 【变式5-1】（2024七年级·全国·专题练习）共享单车已经成为许多城市中的重要交通工具，在北京上班的李雷，周一到周五要骑共享单车在单位宿舍与办公室之间进行两个往返，每个单程用时10分钟；周末和节假日回家（连续假日时，只需往返一次），从宿舍到家单程骑行要50分钟．有，，，四家共享单车公司，其收费规则如下表所示，其中，使用半小时为一次；使用不足半小时，按一次计费．如果不考虑押金和服务等因素，仅从用车付费的角度，且只使用一个公司的单车，则李雷在2021年2月26日（周五）到7月13日（周二）期间，用（    ）公司的共享单车最划算（注：清明、端午各有三天假期，五一有五天假期）． 公司 计费 付费优惠 1元/次 没有 1.5元/次 周末和节假日骑行免费 1.5元/次 每月可以抽到一张奖券，用此券免费不计次连续骑行一周 1.5元/次 每骑行付费一次，下次骑行免费 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算2021年2月26日（周五）到7月13日（周二）的工作日与假期的天数，获得骑行的次数与时间，然后计算不同方案所需总费用，进行比较即可． 【详解】解：这段时间有20周，19个周末（含假清明、五一，端午），不足半小时的次数有个，还有个50分钟（回家、返公司）的单程． ∴若用公司的车，约需付费：（元）； 若用公司的车，约需付费：（元）； 若用公司的车，大体认为在4.5个月的周期里，可以免单4.5周，计费的工作日不超过天，周末加法定假日不超过15个，大约需付费不超过：（元）； 若用公司的车，约需付费：（元）． 综上所述，选用公司的车最省钱，也就是最划算． 故选D． 【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用．解题的关键与难点在于理解题意． 【变式5-2】（23-24七年级·福建厦门·期末）周六，小巧和同学一行共10人相约一起去看电影，电影院的价目表显示，电影票45元/张，也可以购买套餐，套餐价格如下表所示．不论是单买或购买套餐，购买一定金额还可参加“满减”的优惠活动． 套餐 内容 价格（元） 优惠活动 套餐A 1张电影票＋1桶爆米花 60 消费满300元，减25元 消费满600元，减60元 套餐B 1张电影票＋1桶爆米花＋1个主题纪念币 70 若全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币，还需要一些爆米花一起共享，则最少需要支付（    ） A．530元 B．540元 C．545元 D．550元 【答案】B 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，根据题意，得到至少要购买5份套餐，再结合优惠活动进行求解即可．读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键． 【详解】解：∵全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币， ∴至少要购买5份套餐， ①当购买5份套餐，其余全部购买电影票时： （元）， ∵消费满300元，减25元， ∴共消费：元， ②当购买6份套餐，其余全部购买电影票时： 元， ∵消费满600元，减60元， ∴共消费：元， 此时最优惠， 故选B． 【变式5-3】（2024七年级·全国·竞赛）如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形空容器，底面的面积之比为，甲容器高度处有一根管子与乙容器相连通（连通管的影响忽略不计），乙容器高度处有一根管子与丙容器相连通，且两根连通管相同．现在向甲容器匀速注水，记注水时间为分钟，若时，甲容器里的水开始流向乙容器．当乙容器里的水比丙容器里的水高时，的值为（    ）      A．5.5 B．5.5或7.5 C．5.5或7 D．7或7.5 【答案】C 【分析】本题考查有理数的应用，分类讨论是解决问题的关键．根据题意，分两种情况，乙容器水高，丙容器无水时；丙中进水，乙中水到达与丙连接的管子处时，丙到达时，计算求解即可． 【详解】解： 时，甲容器里的水开始流向乙容器，即甲中水上升了，甲中注水速度为， 甲、乙、丙的底面的面积之比为，则注水的速度之比为， 乙的注水速度为，丙的注水速度为， 当乙容器里的水比丙容器里的水高时， 乙容器水高，丙容器无水，； 丙中进水，乙中水到达与丙连接的管子处时，用时，假设在此之后注水分钟，乙比丙高，则丙要到达， ， ， 综上所述，的值为或． 故选：． 【题型6 列代数式】 【例6】（23-24七年级·湖北孝感·期末）某轮船在静水中的速度为u千米/时，A港、B港之间的航行距离为S千米，水流速度为v千米/时．如果该轮船从A港驶往B港，接着返回A港，航行所用时间为小时，假设该轮船在静水中航行2S千米所用时间为小时，那么与的大小关系为（　　） A．＜ B．＞ C．＝ D．与u，v的值有关 【答案】B 【详解】解：t1==， t2=， t1﹣t2=﹣= ， 因为u＞v＞0， 所以t1﹣t2＞0，即t1＞t2． 故选B． 【点睛】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．解决本题的关键是表示轮船顺水和逆水中的速度． 【变式6-1】（2024·安徽合肥·一模）某某市2019年的扶贫资金为a万元，比2018年增长了，计划2020年的增幅调整为上一年的2倍，则这3年的扶贫资金总额将达到（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】D 【分析】本题主要考查列代数式，根据题意先求出2018年和2020年扶贫资金，再求得这三年的扶贫资金总额即可． 【详解】解：∵2019年的扶贫资金为a万元，比2018年增长了， ∴2018年的扶贫资金为万元， ∵计划2020年的增幅调整为上一年的2倍， ∴2020年的扶贫资金为万元， ∴这3年的扶贫资金总额将达到：万元． 故选：D． 【变式6-2】（23-24七年级·山东德州·期中）甲、乙两店卖豆浆，每杯售价均相同．已知甲店的促销方式是：每买2杯，第1杯原价，第2杯半价；乙店的促销方式是；每买3杯，第1、2杯原价，第3杯免费．若东东想买12杯豆浆，则下列所花的钱最少的方式是（    ） A．在甲店买12杯 B．在甲店买8杯，在乙店买4杯 C．在甲店买6杯，在乙店买6杯 D．在乙店买12杯 【答案】D 【分析】设每杯售价元，分别计算每个选项中的花费，再进行比较即可．本题考查了整式加减的应用，读懂题意并根据题意表示出所花费用是解题的关键． 【详解】解：设每杯售价x元， 在甲店购买12杯的费用为（元）； 在甲店买8杯，在乙店买4杯的费用为（元）； 在甲店买6杯，在乙店买6杯的费用为（元）； 在乙店购买12杯的费用为（元）； 在乙店买12杯花钱最少， 故选：D． 【变式6-3】（23-24七年级·山东青岛·单元测试）萱萱的妈妈下岗了，在国家政策的扶持下开了一家商店，全家每个人都要出一份力，妈妈告诉萱萱说，她第一次进货时以每件元的价格购进了件牛奶；每件元的价格购进了件洗发水，萱萱建议将这两种商品都以元的价格出售，则按萱萱的建议商品卖出后，商店（ ） A．赚钱 B．赔钱 C．不嫌不赔 D．无法确定赚与赔 【答案】D 【分析】此题可以先列出商品的总进价的代数式，再列出按萱萱建议卖出后的销售额，然后利用销售额减去总进价即可判断出该商店是否盈利. 【详解】由题意得，商品的总进价为， 商品卖出后的销售额为， 则， 因此，当时，该商店赚钱：当时，该商店赔钱；当时，该商店不赔不赚. 故答案为D. 【点睛】本题主要考查列代数式及整数的加减，分类讨论的思想是解题的关键. 【题型7 代数式求值】 【例7】（2024·湖北武汉·二模）已知一列数的和，且，则的值是(    ) A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】设， 则可推出，从而得到，，故，从而得到． 【详解】解：设， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∴ 故选：D 【点睛】本题考查整式的加减法，推导是解题的关键． 【变式7-1】（23-24七年级·河北保定·期末）已知 ，那么代数式的是（　　） A． B．0 C．3 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值．熟练掌握整体代入法求代数式的值是解决问题的关键． 根据已知条件推出式子与的值，代入计算即得． 【详解】解：∵， ∴， 即，， ∴． 故选：D． 【变式7-2】（23-24七年级·全国·单元测试）已知m，n为常数，代数式2x4y＋mx|5－n|y＋xy化简之后为单项式，则mn的值共有(　  　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意可得m=-1，|5-n|=1或m=-2，|5-n|=4，求出m、n的值，然后求出mn的值即可． 【详解】∵代数式2x4y＋mx|5－n|y＋xy化简之后为单项式， ∴化简后的结果可能为2x4y，也可能为xy， 当结果为2x4y时，m=-1，|5-n|=1， 解得：m=-1，n=4或n=6， 则mn=（-1）4=1或mn=（-1）6=1； 当结果为xy时，m=-2，|5-n|=4， 解得：m=-2，n=1或n=9， 则mn=（-2）1=-2或mn=（-2）9=-29， 综上，mn的值共有3个， 故选C. 【点睛】本题考查了合并同类项，解答本题的关键是掌握合并同类项的法则． 【变式7-3】（23-24七年级·河南郑州·阶段练习）若满足方程，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质分情况讨论m的取值范围即可解答. 【详解】当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 所以 故选D 【点睛】本题考查绝对值的性质以及有理数的加减，熟练掌握以上知识点是解题关键. 【题型8 整式加减与周长问题】 【例8】（23-24七年级·浙江宁波·期中）如图，在长方形中放入一个大正方形和两个大小相同的小正方形及，其中在边上，与在同一条直线上且，延长交于点K，三个阴影部分的面积分别记为，，，已知长方形的面积，则下列式子可计算出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式与几何图形，延长交于点，得到，即四边形的面积为，再得到，即四边形的面积为，再利用得到四边形的面积为4，即可解答，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， 两个大小相同的小正方形及， ， ， 即， 四边形的面积等于， 同理可得， ， 四边形的面积等于， ， ， 即， ， ， 四边形为正方形，两个大小相同的小正方形及， ，， ， 即， 正方形的面积为4， 长方形的面积已知， 已知， 故答案为：D． 【变式8-1】（23-24七年级·浙江宁波·期末）将四张正方形纸片①，②，③，④按如图方式放入长方形内（相邻纸片之间互不重叠也无缝隙），未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其中一个正方形的边长即可，则要知道的那个正方形编号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，根据图形列出阴影部分的周长是解答本题的关键． 设正方形纸片①②③④的边长为、、、；列出两个阴影部分边长之差即可得到结果． 【详解】解：设正方形纸片①②③④的边长为、、、，如图： 左上角阴影部分的周长为：， 右下角阴影部分的周长为：， ∴两部分阴影周长值差为： ， ∴要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其①正方形的边长即可， 故选：A． 【变式8-2】（23-24七年级·浙江宁波·期末）如图所示：把两个正方形放置在周长为m的长方形ABCD内，两个正方形的重叠部分的周长为n（图中阴影部分所示），则这两个正方形的周长和可用代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正方形AKIE的周长表示为AK+KJ+JI+IH+HE+EM+MA，正方形FCLG的周长表示为GJ+JF+FC+CL+LH+HG，再利用线段的和差，求解即可． 【详解】解：∵长方形ABCD的周长为m，阴影部分的周长为n， ∴AB+BC，JI+HI=， 延长FG交AD于M， 正方形AKIE的周长为：AK+KJ+JI+IH+HE+EM+MA， 正方形FCLG的周长为：GJ+JF+FC+CL+LH+HG， ∵AK+JF=AB，KJ+FC=BC， ∴AK+JF+KJ+FC= AB+BC=， ∵AM+GL=AD=BC， ∴AM+GL+LC=BC+AB-DL=-DL， ∴GJ+JI+EI+ME=GJ+JI+HI+EH+GH= GJ+JI+HI+GH+EH=2(GJ+JI)+EH=n+EH， ∵EH=DL， ∴正方形AKIE的周长+正方形FCLG的周长=+-DL+ n+EH=m+n． 故选：A． ． 【点睛】本题考查了列代数式、正方形的周长、长方形的周长，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 【变式8-3】（23-24七年级·江苏无锡·期末）将图①中周长为36的长方形纸片剪成1号，2号，3号，4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为53的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 （　　） A．44 B．53 C．46 D．55 【答案】A 【分析】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，根据图1中长方形的周长为36，求得，根据图2中长方形的周长为53，求得AB=，没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长，计算即可得到答案． 【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 由图1中长方形的周长为36，可得，，解得：， 如图，图2中长方形的周长为53， ∴， ∴， 根据题意得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长， ∴ ． 故选A． 【点睛】本题主要考查了整式加减的应用，设出未知数、正确列代数式表示各线段的长是解答本题的关键． 【题型9 立体图形的视图】 【例9】（2024·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）如图，某几何体的主视图和它的左视图，则搭建这样的几何体最少需要的小正方体为（    ）    A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【分析】根据主视图和左视图分析即可． 【详解】解：∵主视图有4个小正方体组成，左视图有3个小正方体组成， ∴几何体的底层最少3个小正方体，第二层最少有1个小正方体， 因此组成这个几何体的小正方体的个数为个， 故选：． 【点睛】本题考查由几何体判断三视图，考查了对三视图的熟练掌握程度，也体现了对空间想象能力的考查，解题的关键是掌握“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案． 【变式9-1】（2024·河北邯郸·七年级期中）如图1，一个2×2的平台上已经放了三个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图2所示，平台上至少还需再放这样的正方体（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，正确地得出小正方体的个数是解题的关键． 根据题意主视图和左视图判断只需要在①和②两个正方体上方各加一个小正方体即可． 【详解】解：只需要在①和②两个正方体上方各加一个小正方体即可， ∴至少放2块正方体， 故选：B． 【变式9-2】（24-25七年级·河北保定·阶段练习）如图所示，一个几何体的三视图均相同，则搭成此几何体的小正方体可能有（    ）个．    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查的是根据三视图还原堆砌图形，先从俯视图入手，结合主视图与左视图得到该堆砌图形需要的小正方体的最小数量与最多数量，从而可得答案． 【详解】解：如图，    该堆砌图形的小正方体的个数最小为个， 如图，    该堆砌图形的小正方体的个数最多为个， ∴C符合题意， 故选C 【变式9-3】（24-25七年级·山东德州·阶段练习）若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积（不包括与桌面接触的面）超过8，则正方体的个数至少是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查三视图与表面积，画出俯视图，可得相邻两个正方体中，上边一个正方体的一个面的面积为下边一个正方体的一个面的面积的一半，据此求解即可． 【详解】解：塔形的俯视图如下： ∴不管多少个正方体，俯视图的面积都不变都是， ∵上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点， ∴连接俯视图对角线后，所有最小的三角形都是全等的等腰直角三角形， ∴相邻两个正方体中，上边一个正方体的一个面的面积为下边一个正方体的一个面的面积的一半， ∴只有一个正方体时面积为； 两个正方体时塔形露在外面的面积为； 三个正方体时塔形露在外面的面积为； ∴如果塔形露在外面的面积（不包括与桌面接触的面）超过8，则正方体的个数至少是四个， 故选：C． 【题型10 立体图形的表面展开图】 【例10】（24-25七年级·江苏宿迁·期末）动手操作：做一个正方体木块，在正方体的各面分别写上1，2，3，4，5，6这6个不同的数字，若它可以摆放成如图所示的两种不同位置，请你判断数字5对面的数字是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】根据图形以及数字的摆放，第一图可得的下面为1，1的右边为4，第二个图可知的下面是5，5的右边是2，画出展开图即可求解． 【详解】解：根据图形以及数字的摆放，第一图可得的下面为1，1的右边为4， 第二个图可知的下面是5，5的右边是2 将正方形展开如图所示， ∴的对面是， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方体展开图，相对面上的字，注意数字的摆放是解题的关键． 【变式10-1】（24-25七年级·山西太原·阶段练习）下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要是正方体的展开图形，将一个正方体展开，可能得到的形状有以下几种：①“一四一”型；②“二三一”型或“一三二”型；③“二二二”型；④“三三”型；结合题中所给的图形，运用正方体常见展开的几种形式分析求解即可． 【详解】解：根据正方体的表面展开图，选A、B、C、D四个位置即可． 故选：D． 【变式10-2】（24-25七年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知线段是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点、两点嵌有一圈长度最短的金属丝．现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆柱的侧面展开图，解题的关键是根据由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解答即可． 【详解】解：∵圆柱的侧面展开面为长方形， ∴展开后应该是两条线段，且有公共点． 故选：C． 【变式10-3】（24-25七年级·甘肃兰州·期中）下列说法中正确的是（    ）． A．折叠①，可得到图甲所示的正方体纸盒 B．图乙所示长方形绕它的对角线所在直线旋转一周，形成的几何体是② C．用一个平面去截图丙，截面图形可能是四边形 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】（1）A选项通过想象可以得出两个黑色实心圆在对面上 （2）B选项就要根据实际图形结合空间想象快速判断出旋转后的物体中间并不是一个点 （3）C选项考虑竖向切割，截面图形是一个四边形 【详解】A、两个黑色实心圆在对面，此选项错误； B、如图所示： C、如图所示： 故选：C． 【点睛】主要考查了图形折叠、旋转以及切割之后所得到的立方图纸，解决这种题目的方法是要多做、多画． 【题型11 线段的和差】 【例11】（23-24七年级·重庆·期末）已知点C在线段上，，点D，E在线段上，点D在点E的左侧．若，线段在线段上移动，且满足关系式，则的值为（    ）    A．5 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】设，则，求得，设，当点E在线段之间时，得到，求得，进而即可求出；当点E在线段之间时，同理可求出与条件不符，故舍去； 【详解】设，则， ∴． ∵， ∴． 设， 当点E在线段之间时，如图，    ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点E在线段之间时，如图，    ∴， ∴． ∵， ∴， 解得：，不符合题意，舍； 综上可得． 故选B． 【点睛】本题主要考查两点间的距离及线段的和与差．解答的关系是分类讨论点E的位置． 【变式11-1】（23-24七年级·四川绵阳·期末）已知线段，点在线段上，，反向延长线段至，使，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和与差，正确画出图形，熟练掌握线段之间的运算是解题关键．先画出图形，设，则，，再根据可得，从而可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： 设， ∵，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式11-2】（23-24七年级·河南驻马店·期末）有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，则线段的长是（    ） A．2 B．4 C．2或14 D．4或14 【答案】C 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差计算．根据题意运用分类讨论画出两个图形，运用线段中点的定义与线段的和差即可解答． 【详解】分两种情况讨论： ①如图，， ∵点E是线段的中点， ∴， ∴， ∵点D是折线的“折中点”， ∴，即 ∴； ②如图，， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∴； 综上所述，线段的长为2或14． 故选：C 【变式11-3】（23-24七年级·重庆江津·期末）如图1，线段表示一条拉直的细线，、两点在线段上，且，.若先固定点，将折向，使得重叠在上；如图2，再从图2的点及与点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设OB=3x，依次表示出BP、OA、AP、AB的长度，折叠后从点B处剪开得到AB段为2x，OB=3x，BP=5x，即可得到比值. 【详解】设OB=3x，则BP=7x， ∴OP=OB+BP=10x， ∵， ∴OA=4x，AP=6x， ∴AB=OA-OB=x， 将折向，使得重叠在上，再从点重叠处一起剪开， 得到的三段分别为：2x、3x、5x， 故选：D. 【点睛】此题考查线段的和差计算，设未知数分别表示各段的长度使分析更加简单，注意折叠后AB段的长度应是原AB段的2倍，由此计算即可. 【题型12 线段中的动点问题】 【例12】（23-24七年级·浙江宁波·期末）数轴上，点对应的数是，点对应的数是，点对应的数是0.动点、从、同时出发，分别以每秒3个单位和每秒1个单位的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设运动时间为t秒，根据题意可知AP=3t，BQ=t，AB=2，然后分类讨论:①当动点P、Q在点O左侧运动时，②当动点P、Q运动到点O右侧时，利用各线段之间的和、差关系即可解答. 【详解】解:设运动时间为t秒，由题意可知: AP=3t， BQ=t， AB=|-6-(-2)|=4，BO=|-2-0|=2， ①当动点P、Q在点O左侧运动时， PQ=AB-AP+BQ=4-3t+t=2(2-t)， ∵OQ= BO- BQ=2-t， ∴PQ= 2OQ ； ②当动点P、Q运动到点O右侧时， PQ=AP-AB-BQ=3t-4-t=2(t-2)， ∵OQ=BQ- BO=t-2， ∴PQ= 2OQ， 综上所述，在运动过程中，线段PQ的长度始终是线段OQ的长的2倍， 即PQ= 2OQ一定成立. 故选: A. 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题及数轴上两点间的距离，解题时注意分类讨论的运用. 【变式12-1】（23-24七年级·河南驻马店·期末）线段 ，点A从点M开始向点N以每秒1个单位长度的速度运动，点B从点N开始以每秒2个单位长度的速度向点M运动，当时，t的值为（    ） A．秒 B．秒 C．12秒 D．秒或12秒 【答案】D 【分析】分A，B相遇前和相遇后两种情况，列代数式表示出的长度，根据等量关系列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得，， 当时，分两种情况： 当A，B相遇前，， 因此， 解得； 当A，B相遇后，， 因此， 解得； 故当时，t的值为秒或12秒． 故选D． 【点睛】本题考查线段的和差关系，一元一次方程的应用，解题的关键是注意分类讨论． 【变式12-2】（23-24七年级·浙江金华·期末）如图，已知线段AB=a，线段CD=b，线段CD在线段AB上运动（点C、D始终在线段AB上），在CD的运动中，则图中所有线段的长度和是（   ） A．2a+2b B．3a+b C．3a+2b D．随着CD位置的改变而发生变化 【答案】B 【分析】先找出图中的所有线段，然后求和可，即求AC+AD+AB+CD+CB+DB的值． 【详解】解：如图，AB=a，CD=b， AC+AD+AB+CD+CB+DB = =AB+AB+AB+CD =3a+b， 故选B． 【点睛】本题主要考查了找线段，两点间的距离及线段的和差，解的关键是找出图中所有的线段． 【变式12-3】（23-24七年级·云南昆明·期末）如图，数轴上的点和点分别表示0和10，点是线段上一动点.点沿以每秒2个单位的速度往返运动1次，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过10秒）.若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（   ） A．秒或秒 B．秒或秒或或秒 C．3秒或7秒 D．3秒或或7秒或秒 【答案】B 【分析】根据点P的位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用路程÷速度=时间即可得出结论． 【详解】解：∵数轴上的点和点分别表示0和10 ∴OA=10 ∵是线段的中点， ∴OB=AB= ①当点P由点O向点A运动，且未到点B时，如下图所示， 此时点P运动的路程OP=OB－PB=3 ∴点P运动的时间为3÷2=s； ②当点P由点O向点A运动，且已过点B时，如下图所示， 此时点P运动的路程OP=OB+PB=7 ∴点P运动的时间为7÷2=s； ③当点P由点A向点O运动，且未到点B时，如下图所示， 此时点P运动的路程为OA＋AP=OA＋AB－PB=13 ∴点P运动的时间为13÷2=s； ④当点P由点A向点O运动，且已过点B时，如下图所示， 此时点P运动的路程为OA＋AP=OA＋AB＋PB=17 ∴点P运动的时间为17÷2=s； 综上所述：当时，则运动时间的值为秒或秒或或秒 故选B． 【点睛】此题考查的是数轴与动点问题和线段的和与差，掌握各线段的关系和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 【题型13 角的计算】 【例13】（23-24七年级·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知 或． 故选：A． 【变式13-1】（23-24七年级·吉林长春·期末）如图，点，，在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，邻补角的性质，明确题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键．根据，可得，从而得到，再由平分，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A 【变式13-2】（23-24七年级·河南驻马店·期末）如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用角平分线的定义求出即可解决问题． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查角的和差定义，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式13-3】（23-24七年级·江苏南通·期末）如图，，则，，之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与余角有关的计算．解题的关键是熟练掌握余角的定义．两个角的和等于，称为这两个角互为余角． 根据余角性质可得，得到，结合，即可得到答案． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【题型14 角中的旋转问题】 【例14】（23-24七年级·广西钦州·期末）如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（　 ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查角的动态问题和一元一次方程的应用，分两种情况进行讨论：当转动较小角度的平分时，；当转动较大角度的平分时，；分别依据角的和差关系进行计算即可得到的值． 【详解】解：分两种情况： ①如图平分时，， 即， 解得； ②如图平分时，， 即， 解得． 综上所述，当平分时，的值为2.5或32.5． 故选：D． 【变式14-1】（23-24七年级·河北保定·期中）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，明确题意，理清图中各角度之间的数量关系是解答本题的关键．由是的平分线得，进而求得，结合得，再分两种情况：当在下方时，，当在上方时，分别讨论即可求解． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， 而， ∴， 如图，当在下方时， 此时，； 如图，当在上方时， 此时，； 即：或， 故选：C． 【变式14-2】（23-24七年级·山东聊城·期中）图1，点，，依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间一定为20秒 C．当值为36秒时，射线恰好平分 D．旋转过程中，使射线是由射线，，中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的平分线，这样的值有两个 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，由题意知，；当时，；当时，；令，计算求解可判断选项A的正误；令，，计算求解可判断选项B的正误；将代入，求出的值，然后根据求解的值，根据与的关系判断选项C的正误；根据平分t的值有2个，结合C选项的求解过程即可判断D． 【详解】解：由题意知，；当时，；当时，； 令，即，解得秒， ∴存在的情况； 故A错误，不符合题意； 令，即，解得秒， 令，即，解得秒， ∴当时，两射线的旋转时间t不一定为20秒； 故B错误，不符合题意； 当时，， ∴， ∵， ∴射线恰好平分， 故C正确，符合题意； 当平分时，或， 解得或， 再由时射线恰好平分，故D说法错误，不符合题意 故选C． 【变式14-3】（23-24七年级·重庆沙坪坝·期末）如图，已知O为直线上一点，以O为端点作射线，，将射线绕点O逆时针旋转，旋转速度为，旋转后对应射线为，旋转时间为t秒，当与重合时运动停止，射线为的角平分线，射线为的四等分线，即，当时，t的值为（    ） A．或28 B．或28 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是分类讨论思想的应用．分两种情况：①当时，，，可得，②当时，，，有，解方程可得答案． 【详解】解：①当时，， ∵射线为的角平分线，射线为的四等分线， ∴，， ∴， 解得（舍去）或； ②当时，， ∵射线为的角平分线，射线为的四等分线， ∴，， ， 解得（舍去）或； 综上所述，t的值为或28； 故选：B． 【题型15 由平行线的判定与性质求值】 【例15】（24-25八年级·浙江温州·期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MNPK，则∠KHD的度数为（　　） A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106° 【答案】D 【分析】分两种情况讨论，①当在上方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，求出的度数，再根据即可求解；②当在下方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，再根据即可求解． 【详解】解：①当在上方时，延长、相交于点，如图所示 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵翻折 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ②当在下方时，延长、相交于点，如图所示 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵翻折 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选D． 【点睛】本题考查了翻折、平行线的判定和性质、对顶角等知识点，分情况讨论，画出对应图形进行求解是解答本题的关键． 【变式15-1】（24-25八年级·全国·期中）将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，过作，由平行公理推论得，则，，从而求解，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 【变式15-2】（24-25八年级·浙江金华·阶段练习）如图，已知直线，被直线所截，且，，分别平分，；，分别平分和；，分别平分，…依次规律，得点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质，以及角平分线的定义，三角形内角和定理，求得,进而发现规律，即可求得的度数． 【详解】 ，分别平分，； 同理可得 …… 发现规律： 故选：B 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，发现规律是解题的关键． 【变式15-3】（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，，N为上一点，直线交于M，交于F，且，若点P为射线上一点，平分，平分交于H，交于T，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，三角形的外角的性质和三角形的内角和定理，分点在线段上和在射线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，如图： ∵平分，平分， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在射线上时，如图： ∵平分，平分， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上：或； 故选D． 【题型16 新定义问题】 【例16】（23-24七年级·浙江湖州·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 【变式16-1】（23-24七年级·湖北恩施·阶段练习）下图是由同样大小的按一定规律排列而成，其中第①个图形中有4个，第②个图形中有9个，第③个图形中有14个，…，则第⑧个图形中的个数为（    ） A．34 B．39 C．40 D．44 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化类．解决本题的关键是观察图形，探究变化规律． 根据图形的变化寻找规律，写出一般式，即可求解． 【详解】解：观察图形，可知： 第①个图形有4个，即， 第②个图形有9个，即， 第③个图形有14个，即， 第④个图形有19个，即， … 第n个图形有个， 当时，． 第⑧个图形中的个数为39． 故选：B． 【变式16-2】（23-24七年级·广东广州·期末）定义新运算：对任意非零实数，有，则（） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式—数字规律找到运算规律（）是解题关键． 【详解】解∶原式 故选：D． 【变式16-3】（23-24七年级·安徽滁州·期末）规定，，例如，，下列结论中，正确的是（    ） ①若，则； ②若，则； ③能使成立的的值不存在； ④式子的最小值是． A．①② B．①②④ C．①④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查定义新运算，化简绝对值，整式的加减运算，根据新运算的法则，结合绝对值的意义，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，则：， ∴， ∴；故①正确； 当时，则；故②错误； 当时，则：，解得：，故③错误； ， ∴当在和之间时，有最小值为：；故④正确； 故选C． 【题型17 规律探究】 【例17】（23-24七年级·陕西西安·期中）对一组数的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：；且规定（为大于的整数），如,，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：根据变换的计算法则可得：(1，-1)=(0，2)，(1，-1)= (2，-2)，(1，-1)= (0，4)，(1，-1)= (4，-4)，(1，-1)= (0，8)，(1，-1)= (8，-8)，根据规律我们可以得出=. 点睛：本题主要考查的就是新的运算的应用以及规律的发现和推测问题，解决这个问题理解新定义的计算法则和找出答案的规律是解题的关键.在解决这种问题的时候我们一般都是根据所给出的新定义求出前面几个的答案，然后根据答案找出一般性的规律，最后根据一般性的规律得出答案. 【变式17-1】（23-24七年级·陕西渭南·期末）用黑、白棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有黑色棋子7颗，第②个图案中有黑色棋子10颗，第③个图案中有黑色棋子13颗，依照此规律排列下去，则第个图案中有黑色棋子（   ） A．301颗 B．304颗 C．307颗 D．310颗 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据已知图形得出规律“第n个图形中黑色棋子的个数为”，找到正确的规律是解题的关键． 【详解】解：第一个图形中有颗黑色棋子； 第二个图形中有颗黑色棋子； 第三个图形中有颗黑色棋子； ， 则第n个图形中黑色棋子的个数为， 第100个图形中黑色棋子的个数为个， 故选：B． 【变式17-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2023次刚好爬到数轴上的原点处，小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是（   ） A．99 B．100 C．101 D．102 【答案】C 【分析】本题考查数字变化的规律和有理数的加减运算，理解题意观察出数字变化规律是解题的关键． 先根据题意求出点A所表示的数，再求出小虫第一次经过时的爬行次数，据此可解决问题． 【详解】解：设点A所表示的数为a， 则第1次爬行后的点所表示的数为， 第2次爬行后的点所表示的数为， 第3次爬行后的点所表示的数为， 第4次爬行后的点所表示的数为， …， ∴第2n次爬行后的点所表示的数为， 故第2022次爬行后的点所表示的数为， 则第2023次爬行后的点所表示的数为． ∵第2023次刚好爬到数轴上的原点处， ∴， 则， 即点A所表示的数为． ∵， ∴表示的点在A点的右边，与A点相距962个单位长度． ∵第1次爬行后的点在点A的右边1个单位长度处， 第3次爬行后的点在点A的右边2个单位长度处， 第5次爬行后的点在点A的右边3个单位长度处， ……， ∴第次爬行后的点在点A的右边n个单位长度处，且， 即小虫爬行第1923次时，对应点所表示的数为， ∴从第1923次开始（包括第1923次），后面的每次爬行都经过这个数． ∵， ∴小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是101． 故选：C． 【变式17-3】（23-24七年级·广东东莞·期中）某公园将免费开放一天，早晨6时30分有2人进公园，第一个30min内有4人进去并出来1人，第二个30min内进去8人并出来2人，第三个30min内进去16人并出来3人，第四个30min内进去32人并出来4人，······按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是（  ） A． B．4039 C．8124 D．16304 【答案】B 【分析】由每个30分钟进去的人数可构成一列数，利用观察法求出这一列数的规律，由于从早晨6时30分到上午Il时30分共有10个30分钟，故求这一列数的前11个数的和，即可得上午11时30分公园内的人数． 【详解】解：根据题意知： 早晨6时30分有2人进公园，则， 第一个30min内有4人进去并出来1人，则， 第二个30min内进去8人并出来2人，则， 第三个30min内进去16人并出来3人，则， 第四个30min内进去32人并出来4人，则， …… ∴第十个30min（即上午11时30分）内进去的人和出来的人数可表示为， ∴到上午11时30分公园内的人数为： 设， ∴，， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：B． 【点睛】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，运用了归纳推理、转化的解题方法．解题时要善于将实际问题转化为数学问题，运用数学知识解决问题．解题的关键是归纳出题干所给式子的规律． 【题型18 多结论问题】 【例18】（2024·重庆·一模）有n个依次排列的整式：第一项是a2，第二项是a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第二项与b2相加作为第三项，将b2加2记为b3，将第三项与b3相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论： ①b3＝2a+5； ②当a＝2时，第3项为16； ③若第4项与第5项之和为25，则a＝7； ④第2022项为（a+2022）2； ⑤当n＝k时，b1+b2+…+bk＝2ak+k2； 以上结论正确的是（　　） A．①②⑤ B．①③⑤ C．①②④ D．②④⑤ 【答案】A 【分析】根据题目中的描述，按规律写出前几项验证相关选项，最后得到，第项为，进一步验证即可得到结论． 【详解】解：第一项是a2， 第二项是a2+2a+1， 用第二项减去第一项，所得之差记为b1，则， 将b1加2记为b2，则， 将第二项与b2相加作为第三项，则第三项是， 当a＝2时，第三项是，②正确； 将b2加2记为b3，则，①正确； 第三项与b3相加作为第四项，则第四项是， 将b3加2记为b4，则， 第四项与b4相加作为第五项，则第五项是， 第4项与第5项之和为25，则 ，解得a＝0或，③错误； … 综上所述：，第项为， 第2022项为，④错误； 当时， ， 故选：A． 【点睛】本题考查整式规律，根据题目要求，通过前面几项找到一般项的规律是解决问题的关键． 【变式18-1】（23-24七年级·浙江金华·期中）如图，在数轴上，点表示，将点沿数轴做如下移动，第一次点向右平移2个单位长度到达点，第二次将点向左移动4个单位长度到达，第三次将点向右移动6个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，给出以下结论：①表示5；②；③若点到原点的距离为15，则； ④当为奇数时，；以上结论正确的是（    ）    A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】先根据数轴的定义分别求出点表示的数，再归纳类推出一般规律，然后逐个判断即可得． 【详解】由题意，点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， 归纳类推得：当n为奇数时，；当n为偶数时，，其中n为正整数， 则表示的数为5，结论①正确； ，， ，则结论②错误； 当n为奇数时，， 当n为偶数时，，解得， 即若点到原点的距离为15，则或，结论③错误； 当为奇数时，， ， ， ， ， ， 即当为奇数时，，结论④正确； 综上，结论正确的是①④， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值、有理数的乘方、一元一次方程的应用，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 【变式18-2】（23-24七年级·重庆·期中）数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“H运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，1，2进行“H运算”，得．下列说法：①对m，进行“H运算”的结果是3，则m的值是2；②对，，5进行“H运算”的结果是16，则n的取值范围是；③对a，a，b，c进行“H运算”，化简后的结果可能存在8种不同的表达式．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，掌握绝对值运算，整式的运算是解题的关键． ①根据“运算”的运算方法进行运算，即可判定； ②根据“运算”的运算方法进行运算，即可判定； ③首先根据“运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定． 【详解】解：①由题意，，可得或，故①错误； ②由题意， ∴，故②错误； ③对，，进行“差绝对值运算”得：， 当，，，， 当，，，， 当，，，， 当，，，， 当，，，， 当，，，， 当，，，， 当，，，， ，，的“运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有7种， 故③错误； ∴①②③都错误，正确的没有． 故选：A． 【变式18-3】（23-24七年级·重庆开州·期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断． 【详解】①如图可得，所以平分，①正确； ②当时，设， ∵平分， ∴， ∴ ，， ∴， 当时，设， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③时，时，时故③正确； ④当时，当时，故④错误； 综上所述，正确的结论为①②③； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.5 期末复习之选择压轴题十八大题型总结 【华东师大版2024】 【题型1 丰富的图形世界】 1 【题型2 数轴与绝对值的化简】 2 【题型3 有理数的运算】 3 【题型4 幻方与程序框图】 4 【题型5 有理数运算的应用】 5 【题型6 列代数式】 6 【题型7 代数式求值】 7 【题型8 整式加减与周长问题】 7 【题型9 立体图形的视图】 9 【题型10 立体图形的表面展开图】 10 【题型11 线段的和差】 11 【题型12 线段中的动点问题】 12 【题型13 角的计算】 13 【题型14 角中的旋转问题】 14 【题型15 由平行线的判定与性质求值】 15 【题型16 新定义问题】 16 【题型17 规律探究】 17 【题型18 多结论问题】 18 【题型1 丰富的图形世界】 【例1】（24-25七年级·山东济南·期中）一个不透明立方体的6个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，任意两对面上所写的两个数字之和为7，将这样的几个立方体按照相接触两个面上的数字之和为8，摆放成一个几何体，这个几何体从三个不同方向看到的形状如图所示，图中所标注的是部分面上所见的数字，则所代表的数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-1】（24-25七年级·山东淄博·期中）如图，是一个正方体的表面展开图，已知该正方体的每个面都有一个有理数．若相对面上的两个数的和都为，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24·浙江金华·七年级校考期中）下列属于如图所示正方体的展开图的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24七年级·上海宝山·期末）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型2 数轴与绝对值的化简】 【例2】（23-24七年级·四川达州·期中）若，则的值可能是（    ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 【变式2-1】（23-24七年级·广东广州·期末）如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6，|b﹣d|＝2|b﹣c|，则|c﹣d|＝（　　）    A．1 B．1.5 C．2.5 D．2 【变式2-2】（23-24七年级·广东东莞·阶段练习）如图，已知数轴上点、、所对应的数、、都不为0，且是的中点，如果，则原点的大致位置在（    ）    A．的左边 B．与之间 C．与之间 D．的右边 【变式2-3】（23-24七年级·重庆江北·阶段练习）已知有理数a，c，若，且，则所有满足条件的数c的和是（　　） A．﹣6 B．2 C．8 D．9 【题型3 有理数的运算】 【例3】（23-24七年级·广东东莞·期中）已知和是一对互为相反数，的值是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24七年级·上海宝山·期末）如果，，那么与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24七年级·山西·期中）小明在计算机上设置了一个运算程序：任意输入一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2．通过对输出结果的观察，他发现了一个有意思的现象：无论输入的自然数是多少，按此规则经过若干次运算后可得到1．例如：如图所示，输入自然数5，最少经过5次运算后可得到1．如果一个自然数a恰好经过7次运算后得到1，则所有符合条件的a的值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-3】（23-24七年级·广东深圳·期中）对于正数，规定，例如，则 的结果是（　　） A． B．4 C． D．4 【题型4 幻方与程序框图】 【例4】（23-24七年级·浙江温州·期中）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（        ） A． B． C．3 D．4 【变式4-1】（23-24七年级·河南濮阳·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，，则第2018次输出的结果为　　 A．0 B．3 C．5 D．6 【变式4-2】（23-24七年级·辽宁沈阳·期中）把这个数填入的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都等于，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”(图1)，“洛书”是世界上最早的“幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为(　　)． A．1 B．3 C．6 D．9 【变式4-3】（23-24七年级·湖南长沙·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现，2，，，5，，6，8填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则图中的值为（    ）    A． B．5 C．6 D． 【题型5 有理数运算的应用】 【例5】（23-24七年级·浙江绍兴·期末）大数据时代出现了滴滴打车服务，二孩政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．48种 【变式5-1】（2024七年级·全国·专题练习）共享单车已经成为许多城市中的重要交通工具，在北京上班的李雷，周一到周五要骑共享单车在单位宿舍与办公室之间进行两个往返，每个单程用时10分钟；周末和节假日回家（连续假日时，只需往返一次），从宿舍到家单程骑行要50分钟．有，，，四家共享单车公司，其收费规则如下表所示，其中，使用半小时为一次；使用不足半小时，按一次计费．如果不考虑押金和服务等因素，仅从用车付费的角度，且只使用一个公司的单车，则李雷在2021年2月26日（周五）到7月13日（周二）期间，用（    ）公司的共享单车最划算（注：清明、端午各有三天假期，五一有五天假期）． 公司 计费 付费优惠 1元/次 没有 1.5元/次 周末和节假日骑行免费 1.5元/次 每月可以抽到一张奖券，用此券免费不计次连续骑行一周 1.5元/次 每骑行付费一次，下次骑行免费 A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24七年级·福建厦门·期末）周六，小巧和同学一行共10人相约一起去看电影，电影院的价目表显示，电影票45元/张，也可以购买套餐，套餐价格如下表所示．不论是单买或购买套餐，购买一定金额还可参加“满减”的优惠活动． 套餐 内容 价格（元） 优惠活动 套餐A 1张电影票＋1桶爆米花 60 消费满300元，减25元 消费满600元，减60元 套餐B 1张电影票＋1桶爆米花＋1个主题纪念币 70 若全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币，还需要一些爆米花一起共享，则最少需要支付（    ） A．530元 B．540元 C．545元 D．550元 【变式5-3】（2024七年级·全国·竞赛）如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形空容器，底面的面积之比为，甲容器高度处有一根管子与乙容器相连通（连通管的影响忽略不计），乙容器高度处有一根管子与丙容器相连通，且两根连通管相同．现在向甲容器匀速注水，记注水时间为分钟，若时，甲容器里的水开始流向乙容器．当乙容器里的水比丙容器里的水高时，的值为（    ）      A．5.5 B．5.5或7.5 C．5.5或7 D．7或7.5 【题型6 列代数式】 【例6】（23-24七年级·湖北孝感·期末）某轮船在静水中的速度为u千米/时，A港、B港之间的航行距离为S千米，水流速度为v千米/时．如果该轮船从A港驶往B港，接着返回A港，航行所用时间为小时，假设该轮船在静水中航行2S千米所用时间为小时，那么与的大小关系为（　　） A．＜ B．＞ C．＝ D．与u，v的值有关 【变式6-1】（2024·安徽合肥·一模）某某市2019年的扶贫资金为a万元，比2018年增长了，计划2020年的增幅调整为上一年的2倍，则这3年的扶贫资金总额将达到（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【变式6-2】（23-24七年级·山东德州·期中）甲、乙两店卖豆浆，每杯售价均相同．已知甲店的促销方式是：每买2杯，第1杯原价，第2杯半价；乙店的促销方式是；每买3杯，第1、2杯原价，第3杯免费．若东东想买12杯豆浆，则下列所花的钱最少的方式是（    ） A．在甲店买12杯 B．在甲店买8杯，在乙店买4杯 C．在甲店买6杯，在乙店买6杯 D．在乙店买12杯 【变式6-3】（23-24七年级·山东青岛·单元测试）萱萱的妈妈下岗了，在国家政策的扶持下开了一家商店，全家每个人都要出一份力，妈妈告诉萱萱说，她第一次进货时以每件元的价格购进了件牛奶；每件元的价格购进了件洗发水，萱萱建议将这两种商品都以元的价格出售，则按萱萱的建议商品卖出后，商店（ ） A．赚钱 B．赔钱 C．不嫌不赔 D．无法确定赚与赔 【题型7 代数式求值】 【例7】（2024·湖北武汉·二模）已知一列数的和，且，则的值是(    ) A．2 B． C．3 D． 【变式7-1】（23-24七年级·河北保定·期末）已知 ，那么代数式的是（　　） A． B．0 C．3 D．9 【变式7-2】（23-24七年级·全国·单元测试）已知m，n为常数，代数式2x4y＋mx|5－n|y＋xy化简之后为单项式，则mn的值共有(　  　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-3】（23-24七年级·河南郑州·阶段练习）若满足方程，则等于（   ） A． B． C． D． 【题型8 整式加减与周长问题】 【例8】（23-24七年级·浙江宁波·期中）如图，在长方形中放入一个大正方形和两个大小相同的小正方形及，其中在边上，与在同一条直线上且，延长交于点K，三个阴影部分的面积分别记为，，，已知长方形的面积，则下列式子可计算出的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24七年级·浙江宁波·期末）将四张正方形纸片①，②，③，④按如图方式放入长方形内（相邻纸片之间互不重叠也无缝隙），未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其中一个正方形的边长即可，则要知道的那个正方形编号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式8-2】（23-24七年级·浙江宁波·期末）如图所示：把两个正方形放置在周长为m的长方形ABCD内，两个正方形的重叠部分的周长为n（图中阴影部分所示），则这两个正方形的周长和可用代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24七年级·江苏无锡·期末）将图①中周长为36的长方形纸片剪成1号，2号，3号，4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为53的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 （　　） A．44 B．53 C．46 D．55 【题型9 立体图形的视图】 【例9】（2024·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）如图，某几何体的主视图和它的左视图，则搭建这样的几何体最少需要的小正方体为（    ）    A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式9-1】（2024·河北邯郸·七年级期中）如图1，一个2×2的平台上已经放了三个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图2所示，平台上至少还需再放这样的正方体（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-2】（24-25七年级·河北保定·阶段练习）如图所示，一个几何体的三视图均相同，则搭成此几何体的小正方体可能有（    ）个．    A．6 B．8 C．10 D．12 【变式9-3】（24-25七年级·山东德州·阶段练习）若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积（不包括与桌面接触的面）超过8，则正方体的个数至少是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型10 立体图形的表面展开图】 【例10】（24-25七年级·江苏宿迁·期末）动手操作：做一个正方体木块，在正方体的各面分别写上1，2，3，4，5，6这6个不同的数字，若它可以摆放成如图所示的两种不同位置，请你判断数字5对面的数字是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【变式10-1】（24-25七年级·山西太原·阶段练习）下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25七年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知线段是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点、两点嵌有一圈长度最短的金属丝．现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25七年级·甘肃兰州·期中）下列说法中正确的是（    ）． A．折叠①，可得到图甲所示的正方体纸盒 B．图乙所示长方形绕它的对角线所在直线旋转一周，形成的几何体是② C．用一个平面去截图丙，截面图形可能是四边形 D．以上说法都不对 【题型11 线段的和差】 【例11】（23-24七年级·重庆·期末）已知点C在线段上，，点D，E在线段上，点D在点E的左侧．若，线段在线段上移动，且满足关系式，则的值为（    ）    A．5 B． C．或 D． 【变式11-1】（23-24七年级·四川绵阳·期末）已知线段，点在线段上，，反向延长线段至，使，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（23-24七年级·河南驻马店·期末）有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，则线段的长是（    ） A．2 B．4 C．2或14 D．4或14 【变式11-3】（23-24七年级·重庆江津·期末）如图1，线段表示一条拉直的细线，、两点在线段上，且，.若先固定点，将折向，使得重叠在上；如图2，再从图2的点及与点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是（    ） A． B． C． D． 【题型12 线段中的动点问题】 【例12】（23-24七年级·浙江宁波·期末）数轴上，点对应的数是，点对应的数是，点对应的数是0.动点、从、同时出发，分别以每秒3个单位和每秒1个单位的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（23-24七年级·河南驻马店·期末）线段 ，点A从点M开始向点N以每秒1个单位长度的速度运动，点B从点N开始以每秒2个单位长度的速度向点M运动，当时，t的值为（    ） A．秒 B．秒 C．12秒 D．秒或12秒 【变式12-2】（23-24七年级·浙江金华·期末）如图，已知线段AB=a，线段CD=b，线段CD在线段AB上运动（点C、D始终在线段AB上），在CD的运动中，则图中所有线段的长度和是（   ） A．2a+2b B．3a+b C．3a+2b D．随着CD位置的改变而发生变化 【变式12-3】（23-24七年级·云南昆明·期末）如图，数轴上的点和点分别表示0和10，点是线段上一动点.点沿以每秒2个单位的速度往返运动1次，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过10秒）.若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（   ） A．秒或秒 B．秒或秒或或秒 C．3秒或7秒 D．3秒或或7秒或秒 【题型13 角的计算】 【例13】（23-24七年级·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式13-1】（23-24七年级·吉林长春·期末）如图，点，，在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（23-24七年级·河南驻马店·期末）如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（    ）．    A． B． C． D． 【变式13-3】（23-24七年级·江苏南通·期末）如图，，则，，之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【题型14 角中的旋转问题】 【例14】（23-24七年级·广西钦州·期末）如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（　 ） A． B． C．或 D．或 【变式14-1】（23-24七年级·河北保定·期中）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．无法计算 【变式14-2】（23-24七年级·山东聊城·期中）图1，点，，依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间一定为20秒 C．当值为36秒时，射线恰好平分 D．旋转过程中，使射线是由射线，，中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的平分线，这样的值有两个 【变式14-3】（23-24七年级·重庆沙坪坝·期末）如图，已知O为直线上一点，以O为端点作射线，，将射线绕点O逆时针旋转，旋转速度为，旋转后对应射线为，旋转时间为t秒，当与重合时运动停止，射线为的角平分线，射线为的四等分线，即，当时，t的值为（    ） A．或28 B．或28 C．或 D． 【题型15 由平行线的判定与性质求值】 【例15】（24-25八年级·浙江温州·期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MNPK，则∠KHD的度数为（　　） A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106° 【变式15-1】（24-25八年级·全国·期中）将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，与的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式15-2】（24-25八年级·浙江金华·阶段练习）如图，已知直线，被直线所截，且，，分别平分，；，分别平分和；，分别平分，…依次规律，得点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式15-3】（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，，N为上一点，直线交于M，交于F，且，若点P为射线上一点，平分，平分交于H，交于T，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【题型16 新定义问题】 【例16】（23-24七年级·浙江湖州·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【变式16-1】（23-24七年级·湖北恩施·阶段练习）下图是由同样大小的按一定规律排列而成，其中第①个图形中有4个，第②个图形中有9个，第③个图形中有14个，…，则第⑧个图形中的个数为（    ） A．34 B．39 C．40 D．44 【变式16-2】（23-24七年级·广东广州·期末）定义新运算：对任意非零实数，有，则（） A． B．1 C． D． 【变式16-3】（23-24七年级·安徽滁州·期末）规定，，例如，，下列结论中，正确的是（    ） ①若，则； ②若，则； ③能使成立的的值不存在； ④式子的最小值是． A．①② B．①②④ C．①④ D．①②③④ 【题型17 规律探究】 【例17】（23-24七年级·陕西西安·期中）对一组数的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：；且规定（为大于的整数），如,，，则（  ） A． B． C． D． 【变式17-1】（23-24七年级·陕西渭南·期末）用黑、白棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有黑色棋子7颗，第②个图案中有黑色棋子10颗，第③个图案中有黑色棋子13颗，依照此规律排列下去，则第个图案中有黑色棋子（   ） A．301颗 B．304颗 C．307颗 D．310颗 【变式17-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2023次刚好爬到数轴上的原点处，小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是（   ） A．99 B．100 C．101 D．102 【变式17-3】（23-24七年级·广东东莞·期中）某公园将免费开放一天，早晨6时30分有2人进公园，第一个30min内有4人进去并出来1人，第二个30min内进去8人并出来2人，第三个30min内进去16人并出来3人，第四个30min内进去32人并出来4人，······按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是（  ） A． B．4039 C．8124 D．16304 【题型18 多结论问题】 【例18】（2024·重庆·一模）有n个依次排列的整式：第一项是a2，第二项是a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第二项与b2相加作为第三项，将b2加2记为b3，将第三项与b3相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论： ①b3＝2a+5； ②当a＝2时，第3项为16； ③若第4项与第5项之和为25，则a＝7； ④第2022项为（a+2022）2； ⑤当n＝k时，b1+b2+…+bk＝2ak+k2； 以上结论正确的是（　　） A．①②⑤ B．①③⑤ C．①②④ D．②④⑤ 【变式18-1】（23-24七年级·浙江金华·期中）如图，在数轴上，点表示，将点沿数轴做如下移动，第一次点向右平移2个单位长度到达点，第二次将点向左移动4个单位长度到达，第三次将点向右移动6个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，给出以下结论：①表示5；②；③若点到原点的距离为15，则； ④当为奇数时，；以上结论正确的是（    ）    A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④ 【变式18-2】（23-24七年级·重庆·期中）数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“H运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，1，2进行“H运算”，得．下列说法：①对m，进行“H运算”的结果是3，则m的值是2；②对，，5进行“H运算”的结果是16，则n的取值范围是；③对a，a，b，c进行“H运算”，化简后的结果可能存在8种不同的表达式．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式18-3】（23-24七年级·重庆开州·期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$